58854

Ділення многочленів за схемою Горнера

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Освітня: Формування вмінь ділити многочлен на двучлен користуючись схемою Горнера; навчити розв’язувати рівняння вищих степенів за допомогою схеми Горнера. Розвиваюча: розвивати алгоритмічне мислення учнів використовуючи синтаксис і правила застосування операторів...

Украинкский

2014-04-30

160.5 KB

7 чел.

Урок з алгебри в 10 класі з використанням еом.

«Ділення многочленів за схемою Горнера»

Мета уроку:

Освітня: Формування вмінь ділити многочлен на двучлен, користуючись схемою Горнера; навчити розв’язувати рівняння вищих степенів за допомогою схеми Горнера.

Розвиваюча: розвивати алгоритмічне мислення учнів, використовуючи синтаксис і правила застосування операторів циклу з параметром, з передумовою, з післяумовою; вміння виконувати, змінювати і  складати циклічні програми із заздалегідь відомою кількістю повторень, невідомою кількістю повторень; задавати початкові значення змінним, які використовуються в циклі; вибирати придатний для даної задачі варіант команди повторення; застосовувати цикли при розв’язуванні задач.

Виховна: виховувати математичну культуру, інтерес до предметів, показати широту застосування ЕОМ до розв’язання математичних задач.

Тип уроку: урок формування вмінь та навичок з елементами дослідження і порівняння.

Хід уроку:

І. Організаційний момент.

 Вчитель інформатики: Сьогодні у нас урок алгебри з використанням комп’ютерів. Застосовуючи накопичені знання з інформатики, а це алгоритмічний підхід до розв’язування задач, знання синтаксису і правил застосування операторів циклу з параметром, з передумовою, з післяумовою, правил введення та обробки одномірних масивів; вміння виконувати, змінювати і  складати циклічні програми із заздалегідь відомою кількістю повторень, невідомою кількістю повторень; вміння вибирати придатний для даної задачі варіант команди повторення; тобто спробуємо застосувати відому вам теоретичну базу до розв’язування математичних задач з даної теми.

Вчитель математики. Повідомляє тему та мету уроку.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів:

Вчитель математики: Для засвоєння теми сьогоднішнього уроку, нам необхідно згадати матеріал попередніх уроків.

Бесіда – опитування учнів із застосуванням практичних завдань.

  1.  Що називається многочленом?
  2.  Як визначити степінь многочлена?
  3.  Що являє собою стандартний вигляд многочлена?
  4.  Які вам відомі методи знаходження остачі від ділення многочленів?
  5.  Сформулюйте теорему Безу .

Розв’язати на дошці:

  1.  Знайти остачу  від ділення   на  (ділення „кутом”)
  2.    Визначити остачу від ділення многочленів:  на  (за теоремою Безу) (Учням пропонуються картки з завданнями)

ІІІ. Сприйняття і осмислення учнями нового навчального матеріалу.

1. Історична справка

Вильям  Джорж Горнер

 

Вильям Джорж Горнер народився в 1786 році в місті Бристоль в Англії. Отримав освіту в Кінгствудскій школі Бристоля. У віці 14-ти років він став помічником директора в  Кінгствудскій школі  и директором 4 роки по тому. Він поїхав з Бристоля и заснував свою власну школу в 1809 році в Баті.

Суттєвий внесок Горнера в математику – його метод розв’язання  алгебраїчних  рівнянь. Його подали на розгляд в Королівське наукове співтовариство 1-го липня 1819 року. Робота была надрукована в тому ж році у Філософських роботах Королівського наукового співтовариства.

В XIX – на початку XX століття метод Горнера займав значне місце в англійських и американських підручниках з алгебри. Виникає питання: для чого він потрібен? Відповідь на це питання дав Де Морган, який показав широкі можливості метода Горнера в своїх роботах.

Горнер помер 22 вересня 1837 року. Після  смерти Горнера його син, якого теж звали Вільям, продовжив управління школою в Баті.

2. Викладання нового матеріалу.

Вчитель математики:

Для ділення многочленів використовують схему Горнера. Треба розташувати многочлени по спадним степеням х.

Нехай треба поділити многочлен  на двучлен .

Значення а двочлена, коефіцієнти многочлена частки ()та остачу запишемо в наступній  формі:

...

...

 Якщо будь-яка степінь х у многочлені відсутня, то відповідний коефіцієнт дорівнює нулю.

Знайшовши коефіцієнти за схемою, записуємо частку

     , якщо R=0, та результат ділення

Якщо R≠0.

Наведемо приклади.

  1.  поділити  на

Розв’язання. Згідно із схемою Горнера, запишемо

Отже, () : ()=, або

=: ():()+280.

  1.  Користуючись схемою Горнера, поділити многочлени над множиною цілих чисел:  на .

 Розв’язання: Запишемо схему Горнера: . У схему  записуватимемо остаточні результати.

-3

2

0

-5

8

0

1

2

-6

13

-31

93

-278

3. Формування практичних вмінь і навичок.

Вчитель інформатики: Як ви могли помітити, при виконанні ділення многочленів, при обчисленні коефіцієнтів шуканого многочлена прослідковується певна універсальність обчислення, тобто можна спробувати скласти  алгоритм і, відповідно, програму, яка б дозволяла знаходити частку і остачу ділення многочленів довільного степеня. Але спочатку я хотіла б запропонувати  вам невелику ділову гру. Розділіться, будь ласка на дві команди – математиків та програмістів. Обом командам будуть запропоновані однакові завдання, виділено однаковий час на виконання. Математики будуть виконувати завдання за схемою Горнера „вручну”, а програмісти спробують створити універсальну програму, яка б працювала для довільних значень многочленів. Мета змагання – дослідити, чи дійсно комп’ютер допомагає оптимізувати навчальний процес, чи доцільне його використання для вивчення інших, крім інформатики, предметів. Я попрошу когось із команди програмістів вийти на клас і серед запропонованих карток знайти необхідні для написання програми структури та пояснити їх формат опису.

Завдання для команд:   (учням пропонуються картки з завданнями)   

Визначити остачу від ділення многочленів:

    Підведення підсумків ділової гри, оцінювання учнів.

4. Подальше застосування теоретичного матеріалу уроку

Вчитель математики: Одне із застосувань ділення многочленів  - розв’язання рівнянь вищих степенів.

Наведемо приклади.

Приклад 1. Знайти цілі корені рівняння:

.

Розв’язання. Позначимо

Якщо дане рівняння має цілі корені, то вони є дільниками вільного члена, тобто випробувати треба числа ±1; ±2; ±3; ±6. Бачимо, що . Поділимо   на .

Схема Горнера.

1

1

4

1

-6

1

5

6

0

Корінь

Значить, =. Останній доданок позначимо через Q(x). Розв’яжемо рівняння Q(x)=0

Відповідь: 1; -2; -3.

Приклад 2. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання:

Маємо: . Дільники вільного члена ±1; ±2.

Знайдемо х4. Скористаємося схемою Горнера.

1

1

-3

1

3

-2

1

-2

-1

2

0

.

Розв’яжемо рівняння =0. Дільники вільного члена ±1; ±2. .

-1

1

-2

-1

2

1

-3

2

0

Відповідь: -1; 1; 2.

ІV. Підбиття підсумків уроку. (Проводиться аналіз виконаної роботи, підкреслюється ефективність використання ЕОМ на уроках математики)

V. Домашнє завдання:

1. Розв’язати рівняння:

                                          

                                          

                                            

2. Довести, що многочлени  і  діляться на . (Завдання підвищеного рівня складності)

3. Скласти програму розв’язання рівнянь вищих степенів.

Вчитель інформатики:

Весь час повторюйте, учіться і дерзайте,

Комп’ютер хай на поміч вам приходить.

Обчислюйте, творіть, та пам’ятайте –

Закон розумний світом верховодить

Додаток 1.

Скласти програму, яка б виконувала ділення многочлена на двочлен.

Нехай задано многочлен  an(x)та двочлен (х-с), тоді результатом ділення даного многочлена на двочлен буде многочлен bn-1(x), остача – r.

program Gorner ;

const n=6;

var a,b:array[0..n] of real;

r,c: real;

i: integer;

begin

for i :=0 to n do

begin write ('a[',i,']=');

readln (a[i]);  end;

for i := n downto 2 do

write(a[i]:4:0,'x',i,'+');

write(a[1]:4:0,'x+');

writeln(a[0]:4:0);

write('введите с');

readln(c);

b[n-1]:=a[n];

for i:=n-2 downto 0 do

b[i]:=c*b[i+1]+a[i+1];

r:=a[0]+c*b[0];

for i:=n-1 downto 2 do

write (b[i]:4:0,'x',i,'+');

write(b[1]:4:0,'x+',b[0]:4:0); writeln;

writeln(‘r=;r:4:0);

readln

end.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39127. ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 126 KB
  ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ План 1. Научное познание психических явлений и его результаты Если обыденное познание психических явлений исходно опирается на непосредственночувственные данные и эмоциональные переживания возникающие в повседневном опыте субъекта то научное познание психики предполагает соблюдение ряда строгих процедур и требований которых придерживаются в любой сфере научной деятельности. Поиск объективных методов исследования и обоснование способов анализа и объяснения психических явлений – это...
39128. ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. ЭВОЛЮЦИЯ И ПСИХИКА 89 KB
  ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. Теории эволюционирования живых организмов Общебиологические теории Ж. Обе направлены на объяснение многообразия различий в формах живых организмов а также способов их приспособления к среде обитания путем формулирования и указания предполагаемых причин и законов. Движущая сила развития органического мира – врожденное стремление живых организмов к прогрессивному развитию различных функций.
39129. Методические рекомендации по подготовке и защите магистерских диссертаций по магистерским программам «Инновационный менеджмент» «Проектный менеджмент» 316.5 KB
  Методические рекомендации по подготовке и защите магистерских диссертаций по магистерским программам Инновационный менеджмент Проектный менеджмент Москва 2012 [1] 1 Общие положения [2] 2 Подготовка к написанию магистерской диссертации [3] 3 Требования предъявляемые к оформлению и содержанию магистерской диссертации [3.1 Общие требования к оформлению магистерской диссертации [3.2 Особенности оформления отдельных структурных частей магистерской диссертации [3.5 Основная часть диссертации [3.
39130. АНАЛІЗ ІСНУЮЧИХ СПОСОБІВ ПРЕДСТАВЛЕННЯ СХЕМ МІКРОПРОГРАМ ТА ІСНУЮЧИХ МЕТОДІВ ДЕКОМПОЗИЦІЇ ЦИХ СХЕМ 469.5 KB
  Використання програмованих інтегральних логічних схем дає велику гнучкість при реалізації алгоритму мікропрограми проте у зв'язку з ускладненням мікропрограм використовуваних раніше ресурсів стає недостатньо і розробники вимушені збільшувати необхідну кількість пристроїв. Декомпозиція алгоритму мікропрограми дозволяє розділити початковий автомат на підавтомати кожен з яких можна реалізувати на заданому наборі програмованих логічних інтегральних схем що зменшує витрати при реалізації алгоритму.1 Аналіз існуючих способів представлення схем...
39131. Методы воздействия на ПЗС. Процессы в призабойной зоне пласта 67 KB
  Извлечение нефти из пласта и любое воздействие на него осуществляются через скважины. Призабойная зона скважины (ПЗС) - область, в которой все процессы протекают наиболее интенсивно. Здесь как в единый узел сходятся линии токов при извлечении жидкости или расходятся - при закачке. Здесь скорости движения жидкости, градиенты давления, потери энергии, фильтрационные сопротивления максимальны.
39132. ПЕРВИЧНОЕ ВСКРЫТИЕ ПРОДУКТИВНЫХ ПЛАСТОВ 259 KB
  Физикомеханическое воздействие на продуктивный горизонт при его вскрытии оказывают следующие факторы: разгрузка горного массива в результате разбуривания пласта; изменяющееся противодавление столба бурового раствора впоследст вии изменяющееся активное давление столба цементного раствора ; фильтрация фильтрата бурового и цементного при цементирова нии раствора; изменяющийся температурный режим в скважине; гидродинамическое и механическое воздействие на породы в разбуриваемом пласте движущимся инструментом; гидродинамические эффекты...
39133. Формирование призабойной зоны скважины при репрессии на забое 170 KB
  Формирование ПЗС при репрессии на забое предполагает неизбежное проникновение в ПЗП, негативные последствия которого предупреждаются за счёт использования «незагрязняющих промывочных флюидов» или преодоления загрязнённых участков ПЗП при вторичном вскрытии (перфорации) или очистку этих участков при вызове притока.
39134. Гравийная набивка 265.5 KB
  Фракционный состав гравия выбирают в зависимости от степени неоднородности и базового размера зерен песка а также скорости щ протекания пластовой жидкости через щели корпуса гравийного фильтра при наибольшем ожидаемом дебите скважины. Расчетный оптимальный размер зерен гравия находят из соотношения dopt =6 dб Если гранулометрический состав песка по толщине продуктивного объекта существенно изменяется то оптимальный размер зерен гравия рассчитывают по наименьшему значению dб. Это условие будет выполнено при следующих значениях d60 и...
39135. Ограничения проникновения цементного раствора и его фильтрата в продуктивный пласт 784 KB
  Используются гравийные набивки создаваемые путем предварительного расширения ствола скважины против продуктивного пласта спуска в скважину перфорированного хвостовикафильтра и заполнения кольцевого пространства отсортированным гравием. Одним из главных факторов определяющих эти характеристики является диаметр ствола поэтому часто применяют устройства расширяющие ствол скважины до необходимых размеров. Гравийножидкостная смесь закачивается с устья скважины по межтрубному пространству между эксплуатационной колонной и колонной рабочих...