59845

«Математика» (навчальна програма) номінація

Научная статья

Педагогика и дидактика

Математика упродовж усієї історії людської культури є ключем до пізнання навколишнього світу базою науковотехнічного прогресу і важливою компонентою розвитку особистості. Тому пропонована програма переслідує ціль...

Украинкский

2014-05-11

717.5 KB

4 чел.

Управління освіти м. Ковеля

Ковельська міська гімназія

 

(навчальна програма)

                                                                    номінація

                                                               «Математика»

                 

                                    Автор

                                       Ільюх

                                             Світлана Миколаївна

                                                     вчитель математики

Ковель 2010


Анотація

Математичні знання і навички потрібні практично в усіх професіях, передусім в тих, які пов'язані з природничими науками, технікою, економікою.

Розробка програми цього курсу обумовлена нетривалим вивченням теми "Відсотки" на етапі основної школи, коли учні через вікові особливості ще не можуть отримати повноцінні уявлення про відсотки, про їх роль в повсякденному житті. На наступних етапах навчання повторного звернення до цієї теми не передбачається. У багатьох шкільних підручниках можна зустріти завдання на відсотки, проте в них відсутнє компактне і чітке викладання теорії питання. Математика упродовж усієї історії людської культури є ключем до пізнання навколишнього світу, базою науково-технічного прогресу і важливою компонентою розвитку особистості.

Тому пропонована програма переслідує ціль об'єднання розпорошених знань учнів в цілісну систему і демонструє учням застосування математичного апарату до розв'язання повсякденних побутових проблем кожної людини. Використання її вже можливе з учнями 8 класів для формування практичних навичок ї застосування отриманих знань в житті. Також, за потребою дану програму можна використовувати і в 10 -11 класах, як повторення матеріалу перед ЗНО.

Пізнавальний матеріал курсу допоможе не тільки в закріпленні вмінь пов'язаних з відсотковими обчисленнями, але й сформує стійкий інтерес до процесу і змісту діяльності, а також розвиватиме пізнавальні і соціальні компетентності учнів.

Відомості про автора

1. Ільюх Світлана Миколаївна.

  1.  Вчитель математики, завідувач кафедри математики та інформатики.
  2.  Педагогічний стаж 21 рік.
  3.  Кваліфікаційна категорія - спеціаліст вищої категорії.
  4.  Звання - старший вчитель.

Рецензія

 Навчальну програму курсу «Відсотки на всі випадки життя» складено у відповідності до вимог  до даного виду навчально-методичного видання.

Тема «Відсотки» безсистемно висвітлена в діючих підручниках математики. Задачі на відсоткові розрахунки незначними групами розміщені в підручниках різних класів, без урахування вікових можливостей та інтересів учнів.

Дана навчальна програма пропонує об’єднати все, що доцільно знати учням про відсотки, в один факультативний курс.

Чітко окреслені завдання курсу; досконало сплановані теми занять змістової частини.

Запропоновані в додатках задачі, впорядковані по можливим типам, подані зразки розв’язаних задач, чимало задач потребують самостійного розв’язування.

Матеріали розробленого факультативного курсу може використовувати вчитель математики на різних етапах навчання математиці (факультативні курси, гурткова робота, підготовка учнів до олімпіад, до ЗНО, для поглиблення окремих питань програми на уроках математики, при підготовці вікторин, конкурсів тощо).

Заступник директора з науково – методичної роботи______________________________Квятковська К. І.

Матеріали схвалено на засіданні науково – методичної  ради Ковельської міської гімназії.

Протокол  № 3 від 19.03.2010року  Голова науково – методичної ради _______________ Комашко Л. М.


Структура програми

Програма містить:

  •  Пояснювальну записку.
  •  Завдання курсу.
  •  Зміст програми.
  •  Вимоги до рівня знань і умінь.
  •  Методичні рекомендації.
  •  Форми контролю і методи оцінки знань учнів.
  •  Додатки: розробка уроку, підбір задач.
  •  Список літератури.

I.  Пояснювальна записка

                  Розробка програми цього курсу обумовлена нетривалим вивченням теми "Відсотки" на етапі основної школи, коли учні через вікові особливості ще не можуть отримати повноцінні уявлення про відсотки, про їх роль в повсякденному житті. На наступних етапах навчання повторного звернення до цієї теми не передбачається. У багатьох шкільних підручниках можна зустріти завдання на відсотки, проте в них відсутнє компактне і чітке викладання теорії питання. Математика упродовж усієї історії людської культури є ключем до пізнання навколишнього світу, базою науково-технічного прогресу і важливою компонентою розвитку особистості.

         Математичні знання і навички потрібні практично в усіх професіях, передусім в тих, які пов'язані з природними науками, технікою, економікою.

Текстові завдання включені в зовнішнє незалежне оцінювання, в ДПА за курс неповної середньої школи та в завдання підсумкових робіт за курс середньої школи.

Проте практика показує, що завдання на відсотки викликають утруднення у школярів і що дуже багато закінчили школу не мають міцних навичок поводження з відсотками в повсякденному житті.

         Розуміння відсотків і уміння виконувати відсоткові розрахунки потрібні кожній людині: прикладне значення цієї теми велике і зачіпає фінансову, демографічну, екологічну, соціологічну і інші сторони нашого життя.

         Пропонований курс "Відсотки на всі випадки життя" демонструє учням застосування математичного апарату до рішення повсякденних побутових проблем кожної людини, питань ринкової економіки і завдань технології виробництва.

Цей курс припускає чіткий виклад теоретичних питань, розв’язування типових завдань, завдань з практичним змістом, а саме таких завдань, які пов'язані із застосуванням відсоткових  обчислень в повсякденному житті. Пропоновані завдання різні по рівню складності : від простих вправ на застосування вивчених формул до прийомів розрахунку відсотків в реальній банківській ситуації.

         При постановці і рішенні завдань виникають математичні поняття, наприклад прогресії, степеня з довільним дійсним показником і логарифми, що дає учням додаткову можливість зрозуміти їх глибинну суть.

         Пропонований курс спрямований на те, щоб озброїти учнів додатковими знаннями по відсоткових  обчисленнях для використання їх не лише в навчально-пізнавальному процесі, але і повсякденному житті - при розрахунку вигідності банківської угоди, рентабельності бізнесу, комерційної пропозиції.

      Тема "Відсотки" є універсальною в тому сенсі, що вона зв'язує між собою багато точних і природних наук. У учнів виховується почуття задоволення від встановленого ними зв’язку математики та інших наук.

         Вони побачать, що такі, на перший погляд, "даремні" питання, як сума членів геометричної прогресії, мають глибокий економічний сенс.

         У рамках курсу пропонується розв’язання завдань, пропонованих на ЗНО,  ДПА та на математичних олімпіадах.

         Цей курс "Відсотки на всі випадки життя" сприятиме не лише виробленню умінь і закріпленню навичок розв’язання різних завдань, пов'язаних з відсотковими розрахунками, але і формуванню інтересу учнів до математики, сприяти їх інтелектуальному розвитку.  При досить повному розгляді питань курсу поза сумнівом з'явиться прогрес в підготовці учнів,  що підвищує їх можливості в розв’язанні завдань, а значить і підвищується успішність здачі ЗНО.

         Адже ЗНО - процедура серйозна, що вимагає спеціальної підготовки. Тим паче, що сертифікат з математики здають у ВНЗ різного профілю (математичних, природничо-наукових, технічних, економічних, військових, пов'язаних з лінгвістикою і так далі).

         З впровадженням ЗНО, на вчителя математики явно або неявно покладається ще більша відповідальність за здачу його випускниками даного іспиту.

         Програма написана для 10 класу математичного  профілю.  

ІІ. Завдання курсу :

  •  повторити і привести в систему знання про відсотки;
  •  створити основу для розширення сюжетів вирішуваних завдань, що зближують зміст шкільного курсу з практичним додатком математики як науки;
  •  сприяти інтелектуальному розвитку учнів, формуванню якостей мислення, характерних для математичної діяльності, розвитку практичних здібностей, необхідних людині для загальної соціальної орієнтації.

Мета курсу :

  •  актуалізувати раніше вивчений і новий матеріал для забезпечення учням досить високого рівня компетентності по цій темі;
  •  сприяти розвитку учнів власного інтелекту, здібностей, мотивації навичок самостійної діяльності;
  •  сформувати уміння виконувати відсоткові розрахунки, необхідні для застосування в практичній діяльності і в завданнях з суміжних дисциплін;
  •  допомогти учневі оцінити свій потенціал з точки зору освітньої перспективи.

В результаті курсу учні повинні:

  •  розуміти змістовний сенс терміну "відсоток" як спеціального способу вираження долі величини;
  •  знати широту застосування процентних обчислень в житті;
  •  уміти застосовувати формули "простих" і "складних" відсотків, формули масової концентрації речовини, формули відсоткового вмісту речовини;
  •  уміти поєднувати усні і письмові прийоми обчислень, використовувати прийоми, що раціоналізували обчислення.


Для досягнення мети курсу пропонується наступні способи організації діяльності учнів на різних уроках:

  •  на уроках-лекціях учні вчаться конспектувати, аналізувати вивчені нові методи розв’язування завдань;
  •  на уроках-бесідах спільними зусиллями учителі і учнів вирішуються ключові завдання;
  •  на уроках-практикумах учні самостійно вирішують завдання, домагаючись тих або інших навичок, аналізують помилки і шляхи їх виправлення;
  •  на уроках-семінарах учні розповідають про виконану роботу, скажімо, про рішення якихось завдань з домашньої роботи, оцінюють розв’язання, оцінюють свою діяльність та діяльність інших.

IIІ. Зміст програми

Тема 1.

Що потрібно знати про відсотки. (2год).

Усуваються проблеми в знаннях з розв’язання основних задач на відсотки: що таке відсотки, як виразити число у відсотках, як виразити відсотки в десятковому дробі, знаходження відсотків від цього числа, знаходження числа за його відсотком, відсоткове відношення двох чисел.

Тема 2.

Розв’язання завдань за допомогою рівнянь і нерівностей. (3год).

Сюжети завдань узяті з дійсності: демографія, екологія, соціологічні опитування і т. д.

Тема 3.

Завдання на процентний приріст і обчислення "складних  відсотків". (6год).

Вступ базових понять економіки : відсоток прибутку, вартість товару, бюджетний дефіцит і профіцит, зміна тарифів і т. д. Розв’язання завдань, пов'язаних з банківськими розрахунками.

Тема 4.

Завдання на суміші, сплави, концентрацію і відсотковий вміст. (6год).

Концентрація речовини, відсотковий вміст речовини - введення відповідних понять і формул.

Тема 5.

Відсотки на ЗНО. (6год).

Завдання, пропоновані на ЗНО, та завдання з конкурсних збірників.

Тема 6.

Олімпіадні завдання. (4год).

Узагальнення отриманих знань при розв’язанні завдань на відсотки. Завдання шкільних та інших математичних олімпіад.

Тема 7.

Що означає жити на відсотки. (3год).

Стратегія ліквідності, стратегія прибутковості, ланцюгові вклади, державні короткострокові облігації.

Тема 8.

Ділова гра "Відсотки в сучасному житті. Відсотки у світі професій". (4год).

Для старшокласників характерна орієнтація на свою майбутню роль в суспільстві. Їх цікавлять політичні і соціальні явища. У грі зосереджені творчі завдання.

З їх допомогою можна моделювати життєві ситуації і зосереджувати ігрові дії навколо соціальних проблем і стосунків між людьми.

Зорієнтувати математичні знання, що мають учні на прикладне застосування, в неформальній ситуації, виробити діагностику якості знань учнів по цій темі.

Побудова курсу дозволяє вивчати будь-який з семи модулів, що входять в даний курс, окремо, тобто якщо учень пропустив з яких-небудь причин частину курсу або в процесі вивчення скоректував вже зроблений вибір, зіставляючи його зі своїми можливостями.

Приміром, він може відмовитися від вивчення VI модуля і збільшити практикум в III, IV модулях, що забезпечить індивідуалізацію навчання.

ІV. Форми контролю

Залік за підсумками освоєння модуля, який може проводитися у формі, :

  •  письмовій контрольній роботі;
  •  творчій індивідуальній роботі як, наприклад: "Геометрична прогресія і її застосування в економіці" або "Математик-бізнесмен" і тому подібне;
  •  співбесіди за оцінкою результатів, досягнутих учнем (рейтинг);

По закінченню курсу готується і проводиться ділова гра.


V
. Схема змісту програми.

"Відсотки на всі випадки життя"


VI
. Додатки.

Розробка  уроку по темі:

  "Задачі на концентрацію і відсотковий вміст"

Урок є першим в модулі "Завдання на концентрацію і відсотковий вміст".

Мета: сформувати уміння працювати із законами збереження маси, забезпечити засвоєння  понять концентрації речовини, відсоткового вмісту розчину; узагальнити отримані знання при розв’язанні завдань на відсотки.

I. Перевірка домашнього завдання.

II. Вивчення нового матеріалу.

Лекція вчителя.

Завдання на концентрацію і відсотковий вміст  -  це різні завдання на складання сумішей, розчинів і сплавів декількох речовин.

Введемо основні поняття і припущення, які використовуються в завданнях подібного роду.

1.Сплави і однорідні речовини.

2.При змішуванні  двох розчинів, що мають об'єми   і   виходить суміш, об'єм якої рівний , тобто  .

Таке припущення не є законом фізики і не завжди виконується насправді, це є угода, що приймається при розв’язанні таких завдань. Насправді при змішуванні двох розчинів не об'єм, а маса дорівнює сумі мас складових її компонентів.

Розглянемо суміш трьох компонентів A, B, C. Об'єм суміші  складається з об'ємів чистих компонентів: , а три відношення

 ;     ;      .

Показують, яку долю повного об'єму суміші складають об'єми окремих компонентів.

Звідси отримуємо:

;   ;      .

Відношення об'єму чистих компонентів в розчині до  об'єму суміші називається об'ємною концентрацією цього компонента.

Наприклад:  .

Сума концентрацій усіх компонентів, що є в суміші, дорівнює одиниці  .

Пропонується розглянути заздалегідь заповнену схему:


Об'ємним відсотковим вмістом компоненту А   називається величина: %, тобто концентрація цієї речовини, виражена у відсотках.

Якщо відомий відсотковий вміст речовини, то його концентрація знаходиться за формулою:

 .

Так наприклад, якщо відсотковий вміст складає 20%, то відповідна концентрація цієї речовини дорівнює 0,2 і так далі

Таким же способом визначається масова концентрація і відсотковий вміст, а саме як відношення маси чистої речовини   в сплаві до маси усього сплаву.

Про яку концентрацію, об'ємну або масову, йде мова в конкретному завданні, завжди видно з умови.

III. Закріплення отриманих знань. Розв’язання завдань.

Процес засвоєння будується з урахуванням поетапного ускладнення завдань.

Завдання 1. Cканави. №13.289.

Є два сплави, що складаються з цинку, міді, олова. Перший сплав містить 40% олова, а другий - 26% мідь. Відсотковий вміст цинку в першому і другому сплавах однаковий. Сплавивши 150 кг першого сплаву і 250 кг другого, отримали новий сплав, в якому буде 30% цинку. Визначити скільки кілограмів олова міститься в новому сплаві.

Нехай кг  - кількість олова, що міститься в новому сплаві, що вийшов, тоді кг  - кількість цинку, що міститься в першому сплаві.

.

 - цинку в другому сплаві.

Оскільки відсотковий вміст цинку в першому і другому сплавах однаковий, то:

Розв’язавши  рівняння отримуємо: .

 - олова в першому сплаві.

- олова в другому сплаві.

 - мідь в другому сплаві.

 120 – 45= 75кг - цинку в другому сплаві.

Оскільки другий сплав важить 250 кг, то:

х - 60 + 65 + 75=250;

х=170

Отже, 170 кг олова міститься в новому сплаві.

Відповідь: 170 кг

Завдання 2.

Є два шматки сплаву олова і свинцю, що містять 60%  і 40% олова. По скільки грамів від кожного шматка потрібно узяти, щоб отримати 600 г сплаву, що містить 45% олова,?

Учні розв’язують самостійно, один з учнів коментує розв’язання.

Наприклад.

Нехай  х г   - маса шматка узятого від першого сплаву; (600-х)г  - маса шматка від другого сплаву.

Концентрація олова в першому шматку:

.

Концентрація олова в другому шматку:

.

Концентрація олова в сплаві:

.

Оскільки , то складемо рівняння:

 

Отже, від першого шматка потрібно узяти 150 г.

 600-150=450г- потрібно взяти від другого шматка.

Відповідь: 150 г; 450 г.

IV.     Підсумки заняття.

За записами на дошці повторити формули, по яких розраховуються концентрація суміші і сплаву.

Завдання додому: збірник завдань з математики під редакцією Сканави №13.041 (2балла), №13.045 (2балла), №13.319 (4балла); формули напам'ять.

На наступних уроках проходить поглиблення і систематизація знань при рішенні завдань на "суміші" і "сплави".


                                    
Урок - "ділова гра"

Структура уроку


9 клас

Мета:     узагальнити і систематизувати знання, вміння і навики учнів

розв'язувати задачі на відсотки, показати на прикладах практичну спрямованість математичних знань, забезпечити політехнічну підготовку і профорієнтацію учнів, сприяти формуванню економічної грамотності, моральних і ділових якостей учнів; ознайомити учнів з банківською системою України; розвивати пам'ять, логічне мислення; мовлення учнів, викликати інтерес до навчання.

Вид уроку: інтегрований

Тип уроку:  урок формування і вдосконалення вмінь та навичок.

Форма проведення уроку  "ділова гра"

Обладнання: роздатковий матеріал для груп.

"Математика-це мова плюс міркування, це наче мова і логіка в купі."

                                                                                                                                Ричард Феймал

Хід уроку:

І. Актуалізація знань учнів.

1.Відповіді на запитання учнів, що виникли у процесі виконання д/з.

2.Фронтальна бесіда "Запитання і завдання для повторення матеріалу".

На цьому етапі учням пропонується "робота в парах", де вони за 2-3 хв. повинні розробить 3 питання теоретичного та усного характеру і запропонувати їх іншим парам. Вразі правильної відповіді вчитель оцінює жетоном в 16. Пари можуть отримати найбільшу кількість - 3 бали.

На екрані висвітлюється таблиця

"Пригадайте"

1. Знаходження відсотка від числа   m % від числа а дорівнює   

2. Знаходження числа за його відсотком.

Якщо m % від числа с дорівнює а, то число:

3. Знаходження відсоткового співвідношення чисел m і n

4.Формула обчислення складних відсотків

, де р - відсотки банку, n-кількість років, А0-початковий вклад.

ІІ. Економічний тренінг (робота з тестами).

Визначте єдину правильну відповідь. Кожна правильна відповідь оцінюється в 2 бали.

1. Спад виробництва в автомобільній промисловості ,як правило ,призводить до: а) зростання цін на бензин;

     б) зменшення цін на бензин;

     в) збільшення попиту на автомобілі;

     г) правильна відповідь відсутня.

2. Високий рівень заробітної плати в ринковій економічній системі залежить в основному:

    а) від дій і рішень уряду;

    б) від рівня продуктивності праці;

    в) від рівня конкурентної боротьби;

    г) від системи соціального захисту.

3. Що станеться на ринку чистої конкуренції , якщо величина попиту перевищить величину пропозиції?

   а) ринкова ціна зросте й обсяг продажу збільшиться;

   б) ринкова ціна зменшиться й обсяг продажу збільшиться;

   в) виробники зменшать виробництво товарів;

   г) виробники залишать обсяги виробництва без змін.

4. На який товар попит буде більш еластичним за доходом?

  а) молоко;

  б) фрукти;

  в) золоті прикраси;

  г) паливо.

5. Що з перерахованого є суспільним благом?

  а) хліб;

  б)бензин;

  в) вуличний ліхтар;

  г) швидкісна електричка "Київ - Харків".

6. Як зміниться продуктивність праці, якщо обсяг виробництва залишиться незмінним, а чисельність робітників збільшиться на 0,5%?

  а) продуктивність праці зменшиться на 0,5%;

  б) продуктивність праці збільшиться на 0,5%;

  в) продуктивність праці залишиться незмінною;

  г) продуктивність праці збільшиться на 1,5%.

IIІ. Сприймання та усвідомлення навчального матеріалу

Надання учням необхідної інформації.

1. Виступ членів інтелектуального об'єднання "Інтеграл" (див. додаток).

2.Вступне слово вчителя математики

Україна має безліч економічних проблем, розв'язувати які доведеться вам молодому поколінню, майбутнім випускникам школи. Тому кожному громадянину потрібна насамперед фундаментальна загальна підготовка. Сьогодні на уроці ми продовжуємо вивчення розділу "Елементи прикладної математики" та покажемо, як практично використовуються знання і вміння, пов'язані з математикою в економіці, банківській справі; як складні прикладні задачі часто доводиться розв'язувати економістам і бухгалтерам, працівникам банків.

Об'єдную учнів у групи по 5 осіб і пропоную їм ознайомитись із завданням, обговорить його в групі, через 3-5хв. прийти до спільного рішення.

Інтерактивні вправи    (Метод "Акваріум")

1.Підприємець поклав до банку 200000 грн. під 7% річних.

  Які відсоткові гроші він матиме через 5 років?

2.Продуктивність праці на заводі збільшується щороку майже на однакову кількість відсотків. В результаті за 3 останні роки вона зросла на 33,1%. На скільки відсотків вона збільшувалася щороку?

3.Економісти одного з підприємств встановили, що витрати на виготовлення х одиниць виробів визначаються за формулою  

Знайти:

а)  при якій кількості виготовлення виробів підприємство матиме,

 найменші витрати;

б)приріст витрат, коли кількість виробів зросла з 40 одиниць

до 50 одиниць.

в) середні витрати на виготовлення кожної одиниці виробу, коли їх

    кількість зросла з 40 до 50 одиниць.

ІV. Рефлексія

І група займає місце в "Акваріумі"

1. учень: Читає умову вголос

2. учень: Через рік сума на рахунку дорівнюватиме 200000 (1+0,07)

3. учень: Через 2 роки

200000 (1+0,07)+ 200000 (1+0,07=200000 (1+0,07)2

4 учень: Через 3 роки 200000 (1+0,07)3

5 учень: Через 5 років 200000(1+0,07)5

Тому сума відсоткових грошей = 80510грн.

1 учень: Вважаю, що даний спосіб хороший, але можна застосовувати інший, використовуючи формулу складних %:

 

Обговорення закінчене. Після пропозиції учнів "зовнішнього кола" група готова записати розв'язок на дошці.

"Зовнішнє коло" уважно слухали, звертаючи увагу на науковість і точність висловлення членів групи, правильність їх думок, раціональність вибору методу розв'язання завдання. Після обговорення члени групи по черзі працюють біля дошки, записуючи розв'язок задачі, а учні класу записують в зошиті. І нарешті "Зовнішнє коло" оцінюють роботу групи.

Далі II група, потім III група займає місце в "Акваріумі" і робота продовжується.

По закінченні роботи груп підводиться підсумок щодо вибору раціональних методів розв'язування задач та пропонується самостійна робота.

1. Гетьман Полуботок у 1723р. поклав до англійського банку великий капітал з України під 4% річних. У скільки разів збільшився б той капітал до 2001 року?

2. З цукрових буряків виходить 12% цукру. Врожайність буряків у середньому становить 320Ц з гектара. Яку площу потрібно відвести під буряки, щоб одержати одну тону цукру.

3. Скільки золота 375 проби треба сплавити з 30г золота 750 проби, щоб одержати сплав 500-ї проби?

V. Підсумок уроку

Д/з за рівнем складності

1. Як нарахувати прибутковий податок із заробітної плати?

2. Ціна виробу магазину " Дивосвіт " спочатку знизилась на 10%, а

потім на 20%. Як і на скільки відсотків змінилася ціна внаслідок двох переоцінок?


Пропоновані задачі

1. Картопля подешевшала на 20%. На скільки відсотків більше можна купити картоплі на ту саму суму?

Розв'язання.   Нехай треба купити 1 кг картоплі і це коштує  100%=1. Після того як ціна знизилася на 20%, а кг картоплі можна купити за 80%=0,8.  Отже, можна скласти відсоткову пропорцію так: а кг картоплі коштує 0,8,  тоді х кг картоплі коштує 1. Тобто,  1:х = 0,8:1, Звідси, маємо, х = 1,25 = 1 + 1/4. Тобто картоплі можна придбати на чверть більше, ¼ ∙ 100% = 25%.

Відповідь на 25% більше.

2. Один множник збільшили на 10%,  а другий зменшили на 10%. Як змінився добуток цих чисел?

Розв'язання.   Нехай перший множник а, після збільшення він стане а + 0,1а =1,1а  і другий множник к, після зменшення 1к - 0,1к = 0,9к. Початковий добуток був ак. Після зміни множників добуток стане 1,1а∙0,9к = 0,99∙ак .  Отже, можна у відсотках

 1∙ак - 0,99∙ак = 0,01∙ак. А так як 0,01 = 1%, то добуток зменшиться на 1% відсоток.

Відповідь: добуток зменшиться на 1% відсоток.

3. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо його сторону збільшити на 20%.

Розв'язання. Початкова площа квадрата зі стороною а рівна а∙а, отже, після збільшення сторони матимемо таку площу квадрата 1,2а∙1,2а = 1,44∙а∙а. Очевидно, що площа збільшилася на ( 1 - 1,44)∙100% = 44% .

Відповідь: площа збільшилася на 44% .

4. Перше число на 25% більше другого. На скільки відсотків друге число менше першого?

Розв'язання.  Якщо друге число 1а,  то перше число 1, 25а.  Складаємо пропорцію. Перше число 1,25а становить 100%, тоді друге число 1а становить х%.  Звідси х = 1∙100:1,25 = 80%.

Таким чином, 100% - 80% = 20%.

Відповідь: на 20%.

5. Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води потрібно долити до 30 кг морської води, щоб сіль у воді містила 1,5%?

Розв'язання. Чистої солі у 30 кг морської води 30∙0,05 = 1,5 кг.  Отже, 1,5% становить 1,5 кг солі,  98,5% прісної води становить х кг. Звідси х = 98,5 кг прісної води. 98,5 - 28,5 = 70 кг.

Відповідь: треба долити 70 кг прісної води.

 

6. При 10% річних початковий капітал 100 грн,  поклали в банк. Яка сума грошей буде на рахунку  через 2 роки?

Розв'язання:  Капітал в 100 грн через два роки  перетвориться в:

100∙(1+0,01∙10)∙(1+0,01∙10) = 100∙1,1∙1,1 = 121 грн; 

Відповідь: 121 грн.

Взагалі,  при р% річних початковий капітал А через n років  перетвориться в: А∙(1+0,01∙р)n.

7. На скільки збільшується число при збільшенні числа на 50%?

Відповідь: в 1,5 рази, бо 1а+0,5а = 1,5а. 

8. На скільки зменшується число при зменшенні числа на 25% ?

Відповідь: в 1+ 1/3 рази, бо 1а- 0,25а = 0,75а. 1:0,75= 4/3 = 1+ 1/3.

 9. Число зменшили на 20%. Щоб одержати початкове число, на скільки треба збільшити нове число?

Розв'язання:  Якщо початкове число 1, тоді зменшене нове число 0,8. Маємо пропорцію,  100%: х% = 0,8:1, Звідси, маємо, х = 125. Тобто збільшити треба нове число на чверть більше, тобто на 25%.

Відповідь: на 25%.

 10.  Відсоткове відношення міді до олова в бронзі становить 400%. Яке відношення олова до міді?

Відповідь:  1:4 відношення олово до міді, отже 25%.

  11. Який відсоток складає мідь в бронзі (див. №10)?

Відповідь: 4:5 відношення міді до олова, отже 80%.

 12. Латунь - сплав міді та цинку. Мідь складає 60% сплаву. Яке відсоткове відношення міді до цинку?

 Розв'язання. 60:40 = 3:2 відношення міді до цинку. Отже, відношення цинку до міді 2:3, таким чином 200:3 = (66+ 2/3)%. А відношення міді до цинку (3:2)∙100 = 150%.

Відповідь: 150%.

 13. Підприємець продав товар за 1386 грн і отримав 10 % прибутку. Яка собівартість товару?

Розв’язання

Нехай собівартість товару — x грн, тоді за умовою складемо рівняння:x+0,1x=1386, звідки x = 1260.

Відповідь. 1260 грн.

14. Фірма продала товар за 3348 грн та понесла збитки на 4 %. Яка собівартість товару?

Відповідь. 3487,5 грн.

15. Ціна товару була збільшена на 25 %. На скільки відсотків треба її зменшити, щоб отримати початкову ціну?

Розв’язання

Нехай початкова ціна — x грн, тоді після збільшення вона дорівнює:x+0,25x=1,25xгрн.

Якщо p% — шукана кількість відсотків, на які треба зменшити ціну, то нова ціна становитиме

16. Населення міста за 2 роки зросло з 20 000 до 22 050 осіб. Знайти середній щорічний відсоток приросту населення цього міста.

Відповідь. 5 %.

17. Кількість студентів в інституті збільшувалась на одне й те саме число відсотків щороку та зросла з 5 000 до 6 655 осіб. На скільки відсотків збільшувалась кількість студентів щорічно?

Відповідь. 10 %.

18. Якщо покласти в банк деяку суму грошей під 3 % річних. Через скільки років внесена сума подвоїться?

Відповідь. Приблизно 23 роки.

19. Населення міста щороку збільшується на  від наявної кількості жителів. Через скільки років населення стане у 3 рази більше, ніж було на початку?

Відповідь. Приблизно 55 років.

Кладемо заощадження в банк

20. Вкладник за свої заощадження одержав через рік 60 грн грошей. Поклавши до банку ще 240 грн, вкладник мав через рік 2369 грн. Скільки грошей було спочатку і який річний відсоток нарахував банк?

Розв’язання

Нехай x грн вкладник поклав до банку спочатку

- річний відсоток, тоді вкладник отримав через рік грн., що за умовою дорівнює 60грн. Отже, =60, перше рівняння системи.

Через рік грошей стало: , що за умовою дорівнює 2369грн.

Складемо систему рівнянь:

                                              

Тому:

Відповідь. 2000 грн під 3 % річних.

21. На початку року вкладник поклав на рахунок банку 1640 грн. Через рік зняв з рахунка 882 грн. Через рік на рахунку виявилося 882 грн. Який відсоток нараховує банк?

Розв’язання

22. На рахунок банку поклали 120 грн. Через рік взяли 24 грн. Ще через рік на рахунку виявилось 107 грн 10 к. Скільки відсотків щорічно нараховує банк?

Відповідь. 5 %.

23. На рахунок я поклав 1600 грн і через рік взяв 848 грн, а ще через рік на рахунку стало 824 грн. Під який відсоток я поклав гроші на рахунок?

Відповідь. 3 %.

24. За свої заощадження вкладник отримав через рік 6 грн відсоткових грошей. Поклавши ще 44 грн, вкладник залишив гроші ще на рік і мав усього 257 грн 50 к. Скільки грошей було покладено на рахунок спочатку?

Відповідь. 200 грн.

Задачі на відсотковий приріст

Розв’язування задач на відсотковий приріст побудоване на використанні понять. Нехай деяка змінна величина A, яка залежить від часу t, у початковий момент t = 0 набуває значення A0 , а в деякий момент  — значення   — абсолютний приріст A за  ;

- відносний приріст A за  ;

Позначаючи відсотковий приріст A через p %, дістанемо:

Або інакше:

Ця формула дозволяє за відомим значенням  та заданими значеннями p знаходити  , тобто значення A в момент часу  .

Нехай і далі при t > A має відсотковий приріст p %, тоді в момент часу  значення  можна знайти так:  У момент часу  значення:

У момент часу 6

Якщо за час t величина A змінюється на %, на етапі ІІ — на %, на етапі ІІІ — на %…, то значення A в момент  обчислюється за формулою:

25. Комісійний магазин ціну на товар, який коштував 350 грн, знижував 2 рази на одну і ту ж саму кількість відсотків. На скільки відсотків змінювалася ціна кожного разу, якщо після двох знижень товар продано за 283 грн 50 к?

Відповідь. 10 %.

26. Після двох послідовних підвищень заробітна платня складала  від початкової. На скільки відсотків підвищувалася заробітна платня першого разу, якщо другого разу підвищення становило в 2 рази більше (у %)?

Відповідь. На 25 %.

27. Упродовж року завод 2 рази збільшував випуск продукції на одну і ту ж саму кількість відсотків. Знайти це число, якщо на початку року завод щомісяця випускав 600 деталей, а наприкінці року став випускати 726 деталей.

Відповідь. 10 %.

28. Після двох послідовних підвищень на те саме число відсотків собівартість одиниці продукції 100 грн стала дорівнювати 125 грн 4 к. На скільки відсотків кожного разу підвищувалась собівартість?

Відповідь. На 12 %.

29. Число 51,2 три рази збільшували на одне й те саме число відсотків, а потім три рази зменшували на те ж саме число відсотків. У результаті дістали 21,6. На скільки відсотків збільшували і зменшували число кожного разу?

Відповідь. На 50 %.

Завдання для самостійного розв’язання.

Складні відсотки.

1. Вартість товару понизили на 25%, а потім ще на 5 %. Скільки % від первинної вартості складе остаточна вартість товару? На скільки % понижена, загалом, вартість товару?

Розв’язання:

= (1- 0,125)(1- 0,05) = 0,836  

0,836 * 100% = 83,6%

Р = (1 - 0,836)·100% = 16,4%

Відповідь: 16,4%

2. Деяке число зменшили на 25 %. На скільки відсотків треба збільшити число, що вийшло, щоб отримати початкове?

Розв’язання:

(1 - 0,25)(1 + 0,01Ро) = 1

1 + 0,01P = 1: 0,75;    

0,01P = ;   

P = 33,3.

Відповідь: 33,3.

3. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо його периметр збільшити на 10 %?

Розв’язання:

P = 4а         P = 4,4a      x  - сторона

х = 1,1а        S = a       S = 1,21a

1,21 *100% = 121%;   

121% - 100% = 21%;

Відповідь: 21%;

4. На скільки відсотків зміниться площа прямокутника, якщо довжина його збільшиться на 30 %, а ширина зменшиться на 30 %?

Розв’язання:

= 1,3*0,7 = 0,91    P% = (1 - 0,91)*100% = 9%.                   

Відповідь: 9%.

5. Ціну на пилосос понизили на 10%. Він коштує зараз 38,7 грн. Скільки він коштував?

Розв’язання:

38,7 = Ан *0,9.         Ан = 43.

Відповідь: 43 грн.

6. Антикварний магазин купив дві вази за 360 грн. Продавши їх, отримав 25% прибутку. Націнка на першу вазу була 50 %, на другу 12,5%. Знайти нову ціну ваз.

Розв’язання:

 

х = 120,          у = 240,                    стара  ціна.   

120*1,5 = 180;      240*1,125 = 270. нова ціна.

Відповідь:180 грн;270грн.

7. Робітник поклав в банк 5000 грн. У кінці року поклав ще 5000 грн. Ще через рік отримав прибуток 15200 грн. Скільки % в рік нараховує банк?

Розв’язання:

10000 + 50Р  -  перший рік

(10000 + 50Р) + (10000 + 50Р)*0,01Р  -   другий рік

50Р + (10000 + 50Р)*0,01Р = 15200,

Р + 300Р – 30400 = 0,         Р = 80%.            

Відповідь: Р=80%.

8. За пересилку грошей на пошті беруть 2% від суми, що переказуєтьсяться. Яку найбільшу суму можна перевести, маючи 100 грн.?

Розв’язання:

Х + 0,02Х = 100,              Х = 98,3грн.

Відповідь: 98,3

9. Нехай ціни на товар знижувалися на 20%. На скільки % більше можна купити товару за зниженою ціною на відведену суму?

Розв’язання:

Ак = Ан * 0,8

* 100% =  = 0,25

Відповідь: 25%.

10. Число 51,2 тричі збільшено на одне і те ж число %, потім тричі збільшили на те ж число % і отримали 21,6. На скільки % збільшували, а потім зменшили число?

Розв’язання:

= (1+0,01P)*(1 - 0,01P),

= (1 - (0,01P)) ,      

1 - (0,01P) = 3/4,

0,01P = 0,5             

P = 50%.

Відповідь: 50%.

11. Зарплату підвищили на Р %, потім ще раз підвищили на 2 Р %. В результаті вона збільшилася в 1,32 разу. На скільки % неї збільшили удруге?

Розв’язання:

1,32 = (1+0,01P)*(1+0,02P)

P = 10%,   

2P = 20%.

Відповідь: 10%, 20%.

12. Ціна деякого товару піднялася на 25%, а потім ще на 30 %. Інший товар піднявся в ціні на 30% і став за ціною рівним першому товару. Яка ціна першого товару, якщо другою до підвищення коштував 1,25 тис. грн?

Розв’язання:

Ан *1,25*1,3 = 1,25*1,3.

Ан = 1000

Відповідь: 1000.

13. Вартість сімдесяти екземплярів першого тому книги і 60-ти другого тому книги  склали 230 грн. Насправді за них уплатили191 грн., оскільки зробили знижку  на перший том  15 % і на другій 20 %. Яка була ціна на кожного том?  

Розв’язання:

х = 2     у = 1,5.

Відповідь: 2;1,5.

14. Третій і четвертий квартали підприємства підвищило продуктивність праці на 50 %. На скільки % воно випустило б більше продукції за рік, якби підвищили продуктивність з другого кварталу.

Розв’язання:

Х + Х + 1,5Х +  1,5Х = 5Х  - за  рік

Х + 1,5Х + 1,5Х + 1,5Х = 5,5Х

5,5Х - 5Х = 0,5Х,      

*100% = 10%.

Відповідь: 10%.

15. Ціну на товар збільшили на 30 %, потім на 20%, потім зменшилися на 50 % на  скільки % змінилася ціна?

Розв’язання:

= 1,3*1,2*0,5 = 0,78.

Р = 100% - 78% = 22%.

Відповідь: 22%.

16. За перший рік підприємства збільшило випуск продукції на 8%,  наступного року на 25 %. На скільки % виріс випуск продукції в порівнянні з початковим?

Розв’язання:

= (1+0,08)*(1+0,25) = 1,35

Р = 135% - 100% = 35%.

Відповідь: 35%.

17. Ціна на товар знизилася на 40%, потім ще на 25%. На скільки % знизилася ціна в порівнянні з початковою.

Розв’язання:

= (1 - 0,4)*(1 - 0,25) = 0,45.

Р = (1 - 0,45) = 0,55.

Відповідь: 55%.

18. Після двох знижень на одне і теж число % ціна товару знизилася з 20грн. до 16,2грн. На скільки % ціна знижувалася кожного разу.

Розв’язання:

= (1 - 0,01Р),    

1 - 0,01Р = 0,9.

0,01Р = 0,1    

Р = 10

Відповідь: 10%


Сплави.

1. У двох сплавах мідь і цинк відносяться як 4: 1 і як 1: 3. Після переплавки 10 кг першого і 16 кг другого і декількох кг чистої міді, отримали сплав, в якому цинк і мідь відносяться як 3, : 2. Визначити вагу нового сплаву.

                                                               Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

IV

С

10

16

х

26 + х

К

1

М

8

4

х

0,6(26 + х)

12+х = 0,6х+15,6;

х = 9;      26+9=35.     Відповідь: 35кг.

2. З двох сплавів перший містить 7 кг, другий 8 кг міді. Отримали новий сплав, що містить 18 % міді. Який % зміст міді в першому сплаві, якщо в другому на 20 % її більше?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

К

х

у

0,18

М

7

8

15

х = 12%

Відповідь: 12%.

3. Є два сплави міді і цинку.  Першому міді в 2 рази більше, ніж цинку, а в другому - в 5 разів менше. У скільки разів більше потрібно узяти другого сплаву, чим першого, щоб отримати новий сплав, в якому цинку було б в 2 рази більше, ніж міді.

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

мідь

у

2(2х + у)

цинк

х

х + 5у

(2х+у)*2 = х+5у,        

х = у,       

3х = 6у = 6х.

4. Є два сплави з цинку, міді і олова. Перший містить 40% олова, другий 26 % міді. Відсотковий вміст цинку однаковий в обох сплавах. Сплавивши 150 кг першого і 250 кг другого, отримали новий сплав, в якому 30 % цинку. Скільки кг олова в новому сплаві?

Розв’язання:

                                                                            Цинк

Склад речовини

I

II

III

С

150

250

400

К

х

х

0,3

М

150х

250х

120

Олово

Склад речовини

I

II

III

С

150

250

400

К

0,4

0,44

М

60

110

170

400 х = 120 ,        

х = 0,3 = 30%.

Відповідь: 30%.

5. Обчислити вагу сплаву срібла з міддю, знаючи, що, сплавивши його з 3 кг чистого срібла, отримають сплав, що містить 90 % срібла, а, сплавивши його з 2 кг сплаву, що містить 90 % срібла отримають сплав, що містить 84 % мідь.

Розв’язання:

Ситуація перша

Склад речовини

I

II

III

С

х

3

х + 3

К

0,01у

1

0,9

М

0,01ху

3

0,9(х + 3)

Ситуація друга

Склад речовини

I

II

III

С

х

2

х + 2

К

0,01у

0,9

0,84

М

0,01ху

1,8

0,84(х + 2)

х = 3кг,    у = 80%..

Відповідь 3кг. 80%.

6. Є два зливки сплавів міді і олова. Перший - 3 кг містить 40 % міді, другий - 7 кг містить 30 % міді. Якої маси треба взяти кожен, щоб отримати 8 кг сплаву, що містить 32% мідь?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

8 - х

8

К

0,4

0,3

0,32

М

0,4х

0,3(8 – х)

8*0,32

0,4х + 0,3(8 - х) = 8*0,32;            

х = 1,6кг.        

8 - 1,6 = 6,4кг.

Відповідь: 6,4кг.

7. У сплав магнію і алюмінію, що містить 22 кг алюмінію, додали 15 кг магнію, після чого вміст магнію підвищилася на 33 %. Скільки важив сплав спочатку?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

С

х

15 + х

К

М

х - 22

х - 7

 –  = 0,3.

х = 25.

Відповідь: 25.

10. У 100 кг сплаву міді і цинку вміст міді складає 45% . Скільки  кг чистого цинку потрібно додати до сплаву, щоб кількість міді склала 20 % кількості цинку?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

С

100

100 + х

К

0,45

0,2

М

45

0,2(100 + х)

45 = 0,2(100 + х);              х = 125кг.

Відповідь: 125кг.

11. У першому сплаві мідь і цинк знаходяться у відношенні 1: 3, в другому 3: 5. Скільки кг першого сплаву потрібно сплавити з 15 кг другого, щоб в новому сплаві мідь і цинк знаходилися у відношенні 13: 27?

                                                               Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

15

15 + х

К

М

х

*15

(15 + х)*

х = 10

Відповідь: 10.

14. Є два зливки міді. Відсотковий вміст міді в першому зливку на 40 % менше, ніж в другому. Після того, як обидва зливки сплавили, відсотковий вміст міді став 36 %. Знайти відсотковий вміст в першому зливку і в другому, якщо в першому було 6 кг міді, а в другому 12 кг


Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

К

х

0,4 + х

0,36

М

6

12

18

+  = ;

х = 20%;            20% + 40% = 60%.

Відповідь: 20%, 60%.

16. Є два зливки золота і срібла. У першому їх відношення 1:2, в другому 2:3. Якщо сплавити 1/3 першого зливку і 5/6 другого, то в отриманому зливку буде стільки золота, скільки  в першому було срібла. Якщо ж 2/3 першого сплавити з 1/2 другого, то в зливку срібла, що вийшов, буде на  1кг більше, ніж золота в другому зливку. Скільки золота в кожному?

                                                                         Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

IV

С

х

у

К

М

х

у

()

() = х

                                Розчини.

1. У яких пропорціях треба змішати 50 % - ий розчин кислоти і 70 % - ий, щоб отримати 65 %-ий розчин кислоти?

                                                                    Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

у

х + у

К

0,5

0,7

0,65

М

0,5х

0,7у

0,65(х + у)

0,15х = 0,05у,       

=

Відповідь: 1/3.

2. Змішали 30 % - ий і 10 % - ий розчини соляної кислоти. Отримали 600 гр. 15 % - ого розчину. Скільки грамів узяли кожного розчину?

                                                                        Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

у

600

К

0,3

0,1

0,15

М

0,3х

0,1у

90

х = 150  ,  у = 450 .

Відповідь: 150; 450.

3. Якщо змішати 8 кг і 2 кг сірчаної кислоти, то отримаємо 12% - ий розчин. При змішуванні двох однакових мас тих же розчинів, отримаємо 15% - ий розчин. Визначити концентрацію кожного.

                                                                    Розв’язання:

Перша ситуація

Склад речовини

I

II

III

С

8

2

10

К

х

у

0,12

М

1,2

                                                           Друга ситуація

Склад речовини

I

II

III

С

z

z

2z

К

х

у

0,15

М

0.3z

х = 0,1.    у = 0,2.

Відповідь: 10% . 20%.

4. До 120 гр. розчину, 80% солі,  додали 480 гр. розчину, 20% солі. Скільки відсотків солі вийшло в розчині?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

120

480

600

К

0,8

0,2

х

М

96

96

600х

600х = 192

х = 0,32 = 30%.

Відповідь: 30%.

5. Змішали Р% - ий розчин кислоти з 10 %-м і отримали 600г. 15% -го розчину. Скільки гр. узяли кожного розчину?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

у

600

К

0,01Р

0,1

0,15

М

0,01Рх

0,1у

90

           

х = .     у = 600 - х.

Відповідь: , 600 – х.

6. Перший розчин містить 0,8 кг безводої сірчаної кислоти, а другий 0,6 кг. Відсотковий вміст сірчаної кислоти в першому розчині на 10 % більше, ніж в другому. Яка маса кожного розчину, якщо їх загальна маса 10 кг

                                                      Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

у

10

К

М

0,8

0,6

1,4

 

х = 4   у = 6.

Відповідь: 4. 6.

7. Змішали 10% і 25% розчини солі отримали 3 кг 20% - го розчину. Яка кількість кожного розчину використана?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

у

3

К

0,1

0,25

0,2

М

0,1х

0,25у

0,6

      

х = 1.  у = 2.

Відповідь: 1; 2.

8. Після змішування двох розчинів, один з яких містить 48 гр., а інший 20г. безводого йодистого калію, отримали 200г. нового розчину. Концентрація першого на 15% більше концентрації другого. Знайти концентрацію кожного.

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

х

у

200

К

М

48

20

        

х = 120.      у = 80.

= 0,4 = 40%.       = 0,25 = 25%.

Відповідь: 40%, 25%.

9. У посудину місткість 6 літ. налите 4 літ. 70% -го розчину сірчаної кислоти. У другу посудину такою ж місткістю налите 3 літ. 90% -го розчину сірчаної кислоти. Скільки літрів потрібно перелити з другої посудини в першу, щоб в ньому вийшов r %  розчину сірчаної кислоти.

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

4

х

4 + х

К

0,7

0,9

0,01r

М

2.8

0,9x

2.8 + 0.9x

х =

Відповідь: х =

10. Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води потрібно додати до 30 кг води, щоб концентрація солі стало 1,5%.

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

III

С

30

х

30 + х

К

0,05

0

0,015

М

30*0,05

0

0,015(30 + х)

1,5 = (30 + х)*0,015.        

х = 70.

Відповідь: 70.


Сушіння.

  1.  Свіжі гриби містять 90% води, а сухі 12% . Скільки сухих грибів вийде з 22 кг

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

С

22

х

К

0,1

0,88

М

2,2

2,2

х =  = 2,5.

Відповідь: 2,5.

2. Яблука при сушінні втрачають 84% своєї маси. Скільки потрібно узяти свіжих яблук що б приготувати 16 кг сушених.

                                                        Розв’язання:

= 100

3. Зібрали 140 кг. грибів, вологість яка складає 98% після підсушування їх вологість знизилася до 93%. Яка стала маса грибів.

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

С

140

х

К

0,02

0,07

М

2,8

2,8

= 40.

Відповідь: 40.

4. 17 кг свіжих грибів містять 90% води, сухі містять 15% води. Скільки вийде сухих грибів?

Розв’язання:

Склад речовини

I

II

С

17

х

К

0,1

0,85

М

1,7

1,7

= 2кг

Відповідь: 2кг.


Переливання.

1. У посудині 729 літрів чистої кислоти. Відлили а літрів і долили водою. Так зробили 6 разів, отримали 64 літрів чистої кислоти. Знайти а.

Розв’язання:

Ак = Ан (1 - )n

= (1 - ),              

а = 243.

Відповідь: 243.

2. У посудині 20 літрів спирту. Частину відлили і долили водою. Потім ще раз відлили і долили водою. Після цього в посудині виявилося спирту втричі менше, ніж води. Скільки спирту відлили вперше?

Розв’язання:

Ан =20,      Ак =5.

= (1 - ),    

1 -  = 0,5.      а = 10.

Відповідь: 10л.

3. З бака, наповненого спиртом, вилили частину і долили водою. Знову вилили стільки ж і долили водою. Після цього в баку залишилося 49 літрів чистого спирту. Місткість бака 64 літри. Скільки літрів вилили вперше, і скільки в другій?

Розв’язання:

= (1 - ),               а = 8л.

= 1 - ,        а = 7л.

Відповідь: 8л., 7л.

4. З посудини, що містить 30л. спирту, відлили деяку кількість його і долили водою, потім відлили суміші на 2л. більше. У посудині залишилося 12л. чистого спирту Скільки літрів рідини відливали кожного разу.

Розв’язання:

= (1 - )(1 - ).

= (1 - )( - ).

15t - 29t + 8 = 0.       t = ,   t = .

Відповідь: а = 10л.

PAGE  32


Олімпіадні задачі

Концентрація і відсотковий вміст

Задачі на відсотки в ЗНО

Відсоткове відношення 

Число за його відсотком

Основні задачі на відсотки

Задачі на суміші і сплави

Задачі на відсотковий приріст і складні відсотки

Що означає жити на відсотки?

 Відсотки

Відсотки від числа

              QUOTE  

 суміш  QUOTE  

V.Підсумок уроку

VI. Домашнє завдання

IV. Рефлексія

ІІІ. Сприймання та усвідомлення матеріалу

  •  Робота в парах (розробити питання до інших учнів класу)

Тема:

«Відсоткові розрахунки»

  •  Обєднання учнів у пари

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів

  •  Робота за методом «Акваріума». Інтерактивні вправи

  •  Зовнішнє коло

Самостійна робота

  •  Завдання за рівнем складності

І. Повідомлення теми та мети уроку

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15550. Срок действия рекламы, признаваемой офертой 19.5 KB
  11. Срок действия рекламы признаваемой офертойЕсли в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации реклама признается офертой такая оферта действует в течение двух месяцев со дня распространения рекламы при условии что в ней не указан иной срок.Комментируем...
15551. Сроки хранения рекламных материалов 24 KB
  12. Сроки хранения рекламных материаловРекламные материалы или их копии в том числе все вносимые в них изменения а также договоры на производство размещение и распространение рекламы должны храниться в течение года со дня последнего распространения рекламы или со дня о
15552. Предоставление информации рекламодателем 21.5 KB
  13. Предоставление информации рекламодателемРекламодатель по требованию рекламораспространителя обязан предоставлять документально подтвержденные сведения о соответствии рекламы требованиям настоящего Федерального закона в том числе сведения о наличии лицензии об ...
15553. Реклама в телепрограммах и телепередачах 104 KB
  14. Реклама в телепрограммах и телепередачах1. Прерывание телепрограммы или телепередачи рекламой то есть остановка трансляции телепрограммы или телепередачи для демонстрации рекламы должно предваряться сообщением о последующей трансляции рекламы за исключением прер...
15554. Реклама в радиопрограммах и радиопередачах 64 KB
  15. Реклама в радиопрограммах и радиопередачах1. Прерывание радиопрограммы или радиопередачи рекламой должно предваряться сообщением о последующей трансляции рекламы за исключением прерывания спонсорской рекламой.2. В радиопрограммах не зарегистрированных в качестве
15555. Реклама в периодических печатных изданиях 17 KB
  16. Реклама в периодических печатных изданияхРазмещение текста рекламы в периодических печатных изданиях не специализирующихся на сообщениях и материалах рекламного характера должно сопровождаться пометкой реклама или пометкой на правах рекламы. Объем рекламы в т...
15556. Реклама, распространяемая при кино- и видеообслуживании 12 KB
  17. Реклама распространяемая при кино и видеообслуживанииПри кино и видеообслуживании не допускается прерывание рекламой демонстрации фильма а также совмещение рекламы с демонстрацией фильма способом бегущей строки или иным способом ее наложения на кадр демонстрир...
15557. Реклама, распространяемая по сетям электросвязи 27.5 KB
  18. Реклама распространяемая по сетям электросвязи1. Распространение рекламы по сетям электросвязи в том числе посредством использования телефонной факсимильной подвижной радиотелефонной связи допускается только при условии предварительного согласия абонента или а
15558. Наружная реклама и установка рекламных конструкций 138 KB
  Наружная реклама и установка рекламных конструкций. Распространение наружной рекламы с использованием щитов стендов строительных сеток перетяжек электронных табло воздушных шаров аэростатов и иных технических средств стабильного территориального размещения д