59909

Вища математика. Завдання та методичні вказівки до виконання контрольної роботи

Книга

Педагогика и дидактика

Виробнича ділянка Час на виготовлення одиниці продукції год. Виробничі потужності год. 2 Виробнича ділянка Час на виготовлення одиниці продукції год. Виробничі потужності год.

Украинкский

2014-05-12

1.56 MB

9 чел.

Приватний вищий навчальний заклад

Харківський інститут економіки ринкових

відносин та менеджменту

(ХІНЕМ)

Вища математика

Завдання та методичні вказівки

до виконання контрольної роботи

Для студентів заочного відділення підготовки бакалавра

галузі знань 0305 "Економіка і підприємництво"

за напрямами 6.030504 "Економіка підприємства"

                       6.030507 "Маркетинг"

                       6.030509 "Облік і аудит"

Торез – 2010


Розповсюдження та тиражування без офіційного

дозволу ХІНЕМ заборонено!

ПЕРЕДМОВА

РОЗРОБЛЕНО у відповідності до вимог  Варіативної частини освітньо-кваліфікаційної характеристики, робочої програми навчальної дисципліни “Вища математика” підготовки бакалавра з напряму: 0305 "Економіка і підприємництво" за фаховим спрямуванням 6.030509 "Облік та аудит", 6.030504 "Економіка підприємства", 6.030507 "Маркетинг".

ЗАТВЕРДЖЕНО кафедрою ІСІТ та ЕК протоколом № 6 від 11.02.2010 р.

Укладач: Кушнір Т.П.,  ст. викладач каф. ІСІТ

ВІДПОВІДАЛЬНИЙ ЗА ВИПУСК: Паршакова О.М. в.о. зав. кафедри ІСІТ та ЕК.

- Торез: ХІНЕМ. – 2010. – 36 с.


Зміст

Вступ

4

1

Методичні рекомендації до виконання контрольної роботи

4

2

Вимоги до виконання і оформлення контрольної роботи

6

3

Критерії оцінювання контрольної роботи

7

4

Закріплення завдань за студентами

7

5

Варіанти завдань для контрольних робіт

8

5.1

Теоретичні завдання

8

5.2

Практичні завдання

10

6

Список джерел, що рекомендуються для використання при виконанні контрольної роботи

25

Додаток а  приклади розв’язання типових завдань

26


Вступ

Вища  математика - фундаментальна дисципліна, на якій базуються способи аналізу економічних процесів.  Мета курсу "Вища математика" – формування базових знань для вирішення завдань в професійній діяльності, умінь аналітичного мислення і математичного формулювання економічних завдань. Завдання курсу - розвиток логічного і алгоритмічного мислення, оволодіння основними методами дослідження і вирішення математичних завдань, вироблення умінь самостійно розширювати математичні знання.

Пропоновані рекомендації мають на меті допомогти студентам заочної форми навчання організувати свою самостійну роботу по вивченню дисципліни згідно вимогам Болонського процесу .

Студенти денного відділення можуть використовувати цю допомогу при організації і проведенні захисту індивідуальних завдань.

  1.  МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

Контрольна робота по дисципліні "Вища математика" виконується студентами  відповідно до учбового плану заочного відділення напряму: 0305 "Економіка і підприємництво" за фаховим спрямуванням 6.030509 "Облік та аудит", 6.030504 "Економіка підприємства", 6.030507 "Маркетинг".

Контрольна робота є ефективною формою контролю  самостійної роботи студентів, що навчаються без відриву від виробництва.

Мета контрольної роботи - забезпечити  засвоєння теоретичних питань по конкретних темах дисципліни "Вища математика", сприяти закріпленню теоретичних знань, придбанню умінь і навиків використання теорії і методичного інструментарію математики при вирішенні завдань практичного характеру.

Студентові слід приступати до виконання контрольної роботи лише після повного засвоєння змістових модулів дисципліни "Вища математика"  (перший семестр).

Контрольна робота складається з теоретичних питань і практичних задач, які охоплюють три залікових модуля дисципліни "Вища математика" (програма першого семестру).

Для того, щоб розкрити теоретичне питання студенти повинні вивчити рекомендовані джерела інформації і сконцентрувати увагу на тих темах, питаннях, з яких треба розкрити в контрольній роботі. Для розкриття теоретичних питань контрольної роботи студентові доцільно використовувати додаткову інформацію із збірок та довідників.

Вирішення практичних задач ґрунтується на теоретичних знаннях по відповідним змістовим модулям (темам) дисципліни "Вища математика", логічному мисленні, практичному досвіді роботи студента, що навчається без відриву від виробництва.

Приклад-зразок вирішення завдання приведений в додатку А.

Виконання контрольної роботи є поточним контролем самостійного вивчення  тем дисципліни "Вища математика", і дозволяє викладачеві визначити рівень теоретичної  підготовки студента, уміння працювати з спеціальною, методичною, довідковою літературою, та застосовувати теоретичні знання для вирішення ситуаційних та практичних завдань.

Рецензування контрольної роботи дає можливість викладачеві своєчасно визначити помилки, які допущені студентом при виконанні завдання, вказати студентові, як їх виправити, запобігти їх повторення, та визначити питання, які вимагають доопрацювання.

Захист контрольної роботи відбувається у формі співбесіди із студентом у встановлені кафедрою терміни до здачі заліку з  дисципліни "Вища математика"  (програма першого семестру) .

За наслідками співбесіди викладач зараховує контрольну або відправляє на доопрацювання, пропонуючи студентові виправити помилки. За контрольну роботу студент може отримати мати максимальну кількість балів – 40 балів.

Контрольна робота не зараховується: якщо вона не відповідає варіанту завдання, а в ході перевірки виявляється, що теоретичні питання розкриті неповно, практичні завдання не вирішені або не обґрунтовано. Мінімальна кількість балів для зарахування контрольної роботи 20 балів.

При повторному представленні контрольної роботи викладач-рецензент перевіряє наступні питання:

- чи враховані студентом його зауваження;

- чи внесені зміни  до рішення практичних завдань;

- чи внесені доповнення у відповіді на теоретичні завдання.

Захищену контрольну роботу студент здає до навчальної частини інституту.

Студент, який не представив контрольну роботу або не захистив її у встановлений термін, не допускається до здачі ПМК з дисципліни "Вища математика".

Деякі практичні поради. Перш за все необхідно познайомитися зі змістом програми, після чого вибрати у якості основного учбовий посібник і дотримуватися його при виконанні всієї частини курсу, так як зміна  підручника може призвести до втрати логічного зв'язку між окремими питаннями.

Конспекти з математики головним чином повинні складатися з означень, схем, виводів основних формул. Ведення зошитів повинно бути акуратним, так як не треба забувати, що записи робляться для того, щоб ними у подальшому користуватися.

Вчіться самоконтролю. Для студента заочного відділення це найважливіша форма перевірки правильності розуміння та засвоєння матеріалу. Пам'ятайте: підручник треба не просто  читати, а вивчати; основою запам'ятання є  розуміння, знання забуваються, а розуміння - ніколи. Повторення - найважливіший засіб, що запобігає забування, необхідно виробити звичку систематичної праці, "натаскування" до іспиту дає слабкі й поверхневі знання.  

Про розв'язання задач. Розв'язання задач - кращий спосіб закріплення матеріалу. Звичайно, загальних рецептів для  розв'язання різноманітних задач немає, але рекомендуємо дотримуватися наступних порад:

- величини, задані в умові задачі, необхідно перевести в одну систему одиниць, порушення цього правила є найпоширенішим джерелом  помилок  студентів;

- уважно вивчіть мету задачі, дізнайтеся, які теоретичні положення зв'язані з даним питанням у цілому чи з деякими  елементами задачі;

- не слід приступати до розв'язання задачі, не обдумавши її умови, не знаходячи плану її рішення;

- постарайтеся співвіднести дану задачу до того чи іншого типу задач, спосіб розв'язання  яких вам уже відомий;

- якщо зразу не видно ходу рішення, то послідовно відповідайте на запитання, що задано, що треба знайти, чи достатньо даних для знаходження невідомого;

- спробуйте розбити дану задачу на серію допоміжних, послідовне рішення яких може скласти рішення даної задачі;

- коли знайдений план рішення, виконайте його, впевніться у вірності і необхідності кожного кроку, зробіть перевірку рішення, а якщо потрібно, - дослідження;

- поміркуйте, чи можна було розв'язати задачу іншим способом, відомо, що одна і та ж задача може мати декілька  розв'язків, тому потрібно виділити найбільш раціональний;

- якщо не змогли рішити задачу іншим способом, знайдіть у учбовій чи популярній літературі вже розв'язану задачу, схожу на дану, вивчіть уважно це "готове" рішення, постаравшись витягти користь для своєї задачі.

  1.  ВИМОГИ ДО ВИКОНАННЯ І ОФОРМЛЕННЯ  КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

Контрольна робота виконується на окремих листах формату А 4 з використанням персонального комп'ютера або в окремому зошиті шкільного формату.  Контрольна робота повинна бути оформлена відповідно до вимог стандарту інституту "Система організації навчального процесу. Текстова і графічна документація", розробленого на підставі та у відповідності до вимог Державного стандарту України ДСТУ 3008-95 "Документація. Звіти у сфері науки і техніки, структура і правила оформлення", затвердженого методичною радою інституту, протокол № 3  від 20.11.2008 р.

При виконанні контрольної роботи в окремому зошиті шкільного формату спочатку необхідно написати питання, а потім - текст відповіді на нього. Сторінки контрольної роботи слід нумерувати арабськими цифрами в правому верхньому кутку. На обкладинці зошита має бути приклеєний титульний лист затвердженого зразка або акуратно записані всі дані титульного листа: шифр, спеціальність, якщо вона не відбита в шифрі, прізвище, ім'я, по батькові студента, предмет, номер залікової книжки. Робота має бути виконана чорнилом одного кольору (чорного або синього), акуратно і розбірливо.

Рішення кожної задачі потрібно починати з нової сторінки.

Завдання бажано розташовувати в порядку номерів, вказаних в завданні, номери завдань слід указувати перед умовою.

Умови завдань мають бути обов'язково переписані повністю в контрольний зошит.

При оформленні записів в зошиті необхідно виконувати загальні вимоги до культури їх ведення. Студент повинен дотримуватися абзаців: всяку нову думку слід починати з червоного рядка; важливі формули, рівності, визначення потрібно виділяти в окремі рядки, щоб зробити їх більш досяжними; при описі рішення задачі короткий запис умови відділяється від рішення і в кінці ставиться відповідь; серйозну увагу слід приділити правильному написанню скорочених одиниць величин; необхідно правильно вживати математичні символи.

Вирішення завдань повинні супроводитися короткими, але достатньо обґрунтованими поясненнями, використовувані формули треба виписувати.

Креслення слід виконувати олівцем з використанням креслярських інструментів, дотримуючи масштаб.

В кінці роботи слід вказати літературу, якою користувалися, поставити дату виконання роботи і підпис.

Виконані з помилками або не захищені роботи не зараховуються і повертаються на доопрацювання з визначенням терміну повторного захисту.

Таблиці і рисунки необхідно нумерувати і озаглавлювати. Слово "таблиця" і її порядковий номер (без знаку №) необхідно писати зліва над таблицею, а далі - її назва. Слово "рисунок", його порядковий номер і назву розміщують під ілюстрацією, по центру

Список джерел, використаних при виконанні контрольної, розміщують в кінці роботи, вказавши спочатку Закони України, законодавчі акти, а потім в алфавітному порядку перелік монографій, підручників, статей, довідників, матеріали діяльності конкретного підприємства.

3  Критерії оцінювання контрольної роботи

Складові частини контрольної роботи

Кількість балів
за правильну відповідь

Теоретичні завдання

задовільно

добре

відмінно

Завдання 1

1

2

3

Завдання 2

1

2

3

Максимальна кількість балів за теоретичний блок

6 балів

Практичні завдання

задовільно

добре

відмінно

Завдання 1

1

2

3

Завдання 2

2

3

4

Завдання 3

3

4

5

Завдання 4

3

4

5

Завдання 5

2

3

4

Завдання 6

2

3

4

Завдання 7

2

3

4

Завдання 8

3

4

5

Максимальна кількість балів  за блок практичних завдань

34 бали

Максимальна оцінка за контрольну роботу

40 балів

Мінімальна кількість балів для здачі контрольної роботи і допуску до іспиту

20 балів

Оцінка знань студентів по окремим завданням контрольної роботи навчальної дисципліни "Вища математика" проводиться по наступним критеріям:

- "відмінно" (5 балів) – вірна і повна відповідь на теоретичні питання, вірно виконані практичні завдання;

- "добре" (4 бали) – вірна але не достатньо повна відповідь на теоретичне питання, вірно виконані практичні завдання при недостатньо обґрунтованих  висновках;

- "задовільно" (3 бали) – відповідь на теоретичне питання по темі, але з непринциповими помилками, незначні помилки у виконанні практичних завдань, неприпустимий аналіз та висновки.

  1.  ЗАКРІПЛЕННЯ  ЗАВДАНЬ ЗА СТУДЕНТАМИ

Контрольна робота має бути виконана в строк (відповідно до учбового плану-графіка, як правило, за місяць до початку заліково-екзаменаційної сесії). В період сесії роботи на перевірку не приймаються.

Робота, виконана не по своєму варіанту, не враховується і повертається студентові без оцінки. Студенти, що не мають заліку по контрольній роботі, до ПМК (іспиту) не допускаються.  

Якість контрольної роботи оцінюється по тому, наскільки студентом правильно і самостійно вирішені поставлені завдання і розкритий  сенс отриманих рішень. Остаточно контрольна робота оцінюється при її захисті під час індивідуальної співбесіди викладача і студента. На захисті контрольної роботи студент повинен уміти:

- коротко викласти зміст поставлених завдань і довести їх рішення;

- відповісти на питання, що стосуються економічного змісту отриманих рішень;

- відповісти на додаткові теоретичні питання по темі конкретного завдання.

Варіант контрольної роботи визначається згідно номеру прізвища студента в списку журналу

№ варіанту

№ практичного  завдання

1

1.1

2.1

3.1

4.1

5.1

6.1

7.1

8.1

9.1

10.1

11.1

12.1

2

1.2

2.2

3.2

4.2

5.2

6.2

7.2

8.2

9.2

10.2

11.2

12.2

3

1.3

2.3

3.3

4.3

5.3

6.3

7.3

8.3

9.3

10.3

11.3

12.3

4

1.4

2.4

3.4

4.4

5.4

6.4

7.4

8.4

9.4

10.4

11.4

12.4

5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

11.5

12.5

6

1.6

2.6

3.6

4.6

5.6

6.6

7.6

8.6

9.6

10.6

11.6

12.6

7

1.7

2.7

3.7

4.7

5.7

6.7

7.7

8.7

9.7

10.7

11.7

12.7

8

1.8

2.8

3.8

4.8

5.8

6.8

7.8

8.8

9.8

10.8

11.8

12.8

9

1.9

2.9

3.9

4.9

5.9

6.9

7.9

8.9

9.9

10.9

11.9

12.9

10

1.10

2.10

3.10

4.10

5.10

6.10

7.10

8.10

9.10

10.10

11.10

12.10

11

1.11

2.11

3.11

4.11

5.11

6.11

7.11

8.11

9.11

10.11

11.11

12.11

12

1.12

2.12

3.12

4.12

5.12

6.12

7.12

8.12

9.12

10.12

11.12

12.12

13

1.13

2.13

3.13

4.13

5.13

6.13

7.13

8.13

9.13

10.13

11.13

12.13

14

1.14

2.14

3.14

4.14

5.14

6.14

7.14

8.14

9.14

10.14

11.14

12.14

15

1.15

2.15

3.15

4.15

5.15

6.15

7.15

8.15

9.15

10.15

11.15

12.15

16

1.16

2.16

3.16

4.16

5.16

6.16

7.16

8.16

9.16

10.16

11.16

12.16

17

1.17

2.17

3.17

4.17

5.17

6.17

7.17

8.17

9.17

10.17

11.17

12.17

18

1.18

2.18

3.18

4.18

5.18

6.18

7.18

8.18

9.18

10.18

11.18

12.18

19

1.19

2.19

3.19

4.19

5.19

6.19

7.19

8.19

9.19

10.19

11.19

12.19

20

1.20

2.20

3.20

4.20

5.20

6.20

7.20

8.20

9.20

10.20

11.20

12.20

5   ВАРІАНТИ ЗАВДАННЬ ДЛЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ

5.1 Теоретичні завдання до модулів 1, 2, 3

Варіант 1

1. Визначники другого і третього порядку та їх властивості.

2. Функції багатьох змінних та їх економічна інтерпретація .

Варіант 2

1. Мінор. Алгебраїчне доповнення елемента визначника.

2. Економічний зміст похідної.

Варіант 3

1. СЛАР. Правило Крамера.

2. Поняття про маргінальний аналіз.

Варіант 4

1. Матриці, дії над ними. Зворотна матриця.

2. Геометричний зміст похідної.


Варіант 5

1. Матричні рівняння.

2. Приклади застосування елементарних функцій в економіці.

Варіант 6

1. Розв'язок системи n лінійних рівнянь з n невідомими матричним способом.

2. Приклади застосування послідовності та границі в задачах економіки.

Варіант 7

1. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.

2. Опуклість і увігнутість графіка функції. Точки перегину.

Варіант 8

1. Ранг матриці, способи його обчислення.

2. Дослідження системи m лінійних рівнянь з n невідомими.

Варіант 9

1. Метод Гауса.

2. Економічні задачі, розв'язувані методами диференціального числення.

Варіант 10

1. Застосування матриць в економіці.

2. Способи завдання функцій.

Варіант 11

1. Лінійна модель Леонтьєва.

2. Три визначення неперервності функції в точці.

Варіант 12

1. Продуктивні моделі Леонтьєва.

2. Приклади економічних задач, у яких використовується поняття похідної.

Варіант 13

1. Використання моделі Леонтьєва у розрахунках.

2. Застосування еластичності в економіці.

Варіант 14

1. Метод найменших квадратів.

2. Вектори, основні поняття.

Варіант 15

1. Базис на площині та у просторі.

2. Екстремум функції.

Варіант 16

1. Лінійна балансова модель Леонтьєва.

2. Правило Лопіталя.


Варіант 17

1. Операції над векторами.

2. Властивості еластичності функції та еластичність елементарних функцій.

Варіант 18

1. Поняття про лінійні векторні простори.

2. Диференціал функції.

Варіант 19

1. Скалярний добуток векторів.

2. Економічні задачі, у яких використовуються функції двох змінних.

Варіант 20

1. Економічні задачі, у яких використовуються частинні похідні функцій двох змінних.

2. Ділення відрізка у даному співвідношенні.

5.2 Практичні  завдання до модулів 1, 2, 3

Завдання  №1

Дослідити на продуктивність матрицю:

1.1   ; 1.2   ; 1.3   ;

1.4   ; 1.5   ; 1.6   ;

1.7   ; 1.8   ; 1.9   ;

1.10 ; 1.11 ; 1.12 ;

1.13 ; 1.14 ; 1.15 ;

1.16 ; 1.17 ; 1.18 ;

1.19 ; 1.20 ;

Завдання № 2

Приватне підприємство випускає вироби декількох видів. Для їх випуску використовується кілька виробничих ділянок. Розподіл часу, потрібного для обробки кожного виробу на кожній ділянці, а також виробничі потужності ділянок наведені в таблиці. Невідомим є кількість виготовленої продукції кожного виду. Побудувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, визначити ФСР і знайти, якщо це можливо, один частковий розв'язок та пояснити його економічний зміст (у результаті дробову частину відкинути).

2.1

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

3

2

0

4

6

60

II

1

2

1

2

4

25

III

5

2

3

0

2

30

2.2

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,5

2

2,5

1

1,5

0,25

10

II

1,2

0,7

0,5

1,5

0,8

1

6

2.3

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

2

0

5

3

1

55

II

2

3

4

0

2

40

III

5

3

7

2

3

60

2.4

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,3

0,7

1,5

0

2

1,3

9

II

1

0,3

1,5

2

1,5

0,7

12

2.5

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

3

6

8

2

0

62

II

5

7

2

5

3

80

III

1

2

3

6

1

58

2.6

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,2

0,8

2

1,8

0,5

1,6

15

II

1,5

0,6

1,2

3

0,5

0,3

20

2.7

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

5

3

4

0

2

65

II

1

4

3

2

5

70

III

2

4

2

5

0

60

2.8

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,5

1,2

1,3

0,8

0

0,6

18

II

1,3

0,6

1,2

1,5

0,3

0,5

15

2.9

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

3

5

1

0

9

72

II

4

2

6

1

3

65

III

2

5

6

4

2

82

2.10

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,6

1,3

1

2

0,8

1,6

25

II

3

2,1

0,6

0,4

1,3

0

36

2.11

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

6

2

1

5

3

120

II

5

3

2

8

4

150

III

1

2

3

2

0

100


2.12

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,6

0,2

1,3

2

1,6

0,3

26

II

0,5

1,2

0,7

3

0

0,5

24

2.13

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

6

2

1

0

8

132

II

5

1

3

4

2

156

III

2

3

5

4

0

180

2.14

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

1

0,6

0,8

0,9

1,3

0,2

28

II

2,2

1,6

2

1,3

1,8

2

86

2.15

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

7

2

6

4

5

220

II

3

4

0

2

1

180

III

1

2

4

6

2

160

2.16

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,3

0,5

0,7

1,2

0,3

0,4

14

II

1,5

1,6

0,5

0,9

0

1,3

27

2.17

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

5

6

1

3

2

190

II

2

4

0

3

6

175

III

2

3

4

0

2

150


2.18

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

0,6

0,2

0,3

0,7

0,9

1

29

II

1,2

0,5

0,8

1,5

1,3

0,9

35

2.19

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

I

3

5

2

1

2

156

II

8

0

3

4

5

182

III

2

3

0

5

4

163

2.20

Виробнича ділянка

Час на виготовлення одиниці продукції (год.)

Виробничі потужності (год.)

А

Б

В

Г

Д

Е

I

1,3

1,2

1,1

1,5

0,9

0,8

42

II

0,9

0,8

1,3

1,6

1,5

1

36

Завдання 3

Скласти математичну модель і вирішити її чотирма способами: Крамера, Гауса, Жордана-Гауса і зворотної матриці. Записати економічний зміст  отриманого рішення.

3.1 На промисловому комплексі по виробництву м'яса відгодовують свиней трьох порід. Усі дані представлені в таблиці.

Вид корму

Запаси корму

Необхідна кількість корму (ц) для породи свиней

ранньостиглої (до 1 року)

середньостиглої (до 1,5 року)

пізньостиглої (до 2 років)

Грубі (сінне борошно, трав’ян.)

8000

3

2

3

Комбікорм

3000

1

1

1

Соковиті (коренеплоди, картопля)

6800

1

4

2

Вартість відгодівлі, грн.

90

100

140

Потрібно знайти поголів'я свиней кожної породи з урахуванням запасів корму і витрати на їх вирощування.

3.2 Для виготовлення взуття трьох моделей на фабриці використовуються два сорти шкіри. Ресурси матеріалу, витрати праці і матеріалу для виготовлення кожної пари взуття, а також прибуток від реалізації одиниці продукції приведені в таблиці.

Ресурси

Запас ресурсів

Витрати ресурсів на одну пару взуття за моделями

№ 1

№ 2

№ 3

Робочий час, люд.-год.

1000

1

2

2

Шкіра I сорту

500

2

1

0

Шкіра II сорту

1100

0

2

3

Прибуток, грн.

20

40

10

Знайти кількість продукції з урахуванням запасів і прибуток, одержуваний від виробництва.

3.3 Нафтопереробний завод одержує три напівфабрикати: 400 тис. л алкілату,                      250 тис. л крекінг-бензину і 450 тис. л  ізопентону. В результаті змішування цих трьох компонентів в співвідношенні 2:1:2 виходить бензин А-93 вартістю 1200 грн. за 1 тис. л, в співвідношенні 3:1:3 – бензин А-76 вартістю 1000 грн. за 1 тис. л, в співвідношенні 2:2:3 – бензин А-95 вартістю 1500 грн. за 1 тис. л. Знайти кількість бензину кожної марки з урахуванням запасів напівфабрикатів і вартості випущеної продукції.

3.4 Знайти по'єднання посівів 3-х культур: пшениці, гречки та картоплі і прибуток від вирощеної продукції. Ефективність оброблення названих культур (у розрахунку на                1 га) характеризується показниками, значення яких приведені в таблиці.

Показники

Пшениця

Гречка

Картопля

Врожайність, ц

20

10

100

Витрати праці механізаторів, люд.-днів

0,5

1

5

Витрати кінно-ручної праці , люд.-днів

0,5

3

15

Прибуток від реалізації 1 ц продукції, грн.

4

10

3

Виробничі ресурси: 6000 га ріллі, 4800 люд.-днів праці механізаторів, 9000 люд.-днів кінно-ручної праці.

3.5 Для вантажних перевезень створюється автоколона. На придбання автомашин виділено 600 тис. грн. Можна замовити машини 3-х марок – А, Б і В, які характеризуються даними, приведеними в таблиці. Кількість машин повинна дорівнювати 32, а загальне число водіїв у автоколоні повинне бути 60 осіб.

Марка автомашини

Вартість машини, тис. грн.

Кількість водіїв, що обслуговують машину за зміну

Продуктивність машини за зміну, т/км

А

7

1

2100

Б

20

2

3600

В

23

2

3780

Визначити кількість автомашин кожної марки і знайти продуктивність (т/км) автоколони з розрахунку на одну добу.

  1.  На звірофермі можуть вирощуватися чорно-бурі лисиці, норки і песці. Для забезпечення нормальних умов їхнього вирощування використовуються 3 види кормів. Кількість корму кожного виду, що повинні щодня одержувати тварини, приведена в таблиці. В ній же зазначені загальна кількість корму кожного виду, що може бути використано звірофермою, і прибуток від реалізації однієї шкурки хутрового звіра.

Вид корму

Кількість одиниць корму, яке щодня повинні отримувати

Загальна кількість корму

лисиця

норка

песець

I

2

3

3

186

II

4

5

1

240

III

6

5

7

426

Прибуток від реалізації однієї шкурки (грн.)

16

15

12

Визначити, скільки лисиць, норок і песців можна вирощувати на звірофермі і прибуток від реалізації їхніх шкурок.

3.7 З трьох видів сировини необхідно скласти суміш, до складу якої повинно входити 20 одиниць хімічної речовини А, 40 одиниць– речовини В і 36 одиниць – речовини С. Кількість одиниць хімічної речовини, що міститься в 1 кг сировини кожного виду, зазначено в таблиці. У ній приведена ціна на 1 кг сировини кожного виду.

Речовина

Кількість одиниць речовин, які містяться в 1 кг сировини виду

1

2

3

А

1

-

4

В

2

3

5

С

1

4

6

Ціна 1 кг сировини (грн.)

5

7

4

Скласти суміш, яка містить задану кількість речовин даного виду і визначити її вартість.

3.8 Припустимо, що підприємство виготовляє  кілька видів цукерок А, В і С. Відомо, що реалізація 10-и кілограм цукерок А дає прибуток 9 грн., В – 10 грн. і С – 16 грн. Норми витрат сировини на виробництво 10 кг цукерок кожного виду приведено в таблиці.

Сировина

Норми витрати сировини

Запас сировини

А

В

С

Какао

18

15

12

360

Цукор

6

4

8

192

Наповнювач

5

3

3

88

Прибуток

9

10

16

Цукерки можна виготовляти в будь-яких кількостях (збут забезпечений), але запаси сировини обмежені. Необхідно визначити, скільки десятків кілограм цукерок необхідно зробити і знайти прибуток від їхньої реалізації.

3.9 Хай господарство має 850 гектарів землі, 15 тисяч тонн органічних добрив і 35 тисяч людино-днів. Є насіння картоплі, капусти і багаторічних трав. Знайти розподіл наявної землі і визначити прибуток господарства з урахуванням того, що кожен гектар землі під капустою принесе 1000 грн доходу, картоплі 800 грн, а багаторічних трав 200 грн. Витрати праці на оброблення одного гектара капусти, картоплі і багаторічних трав дорівнюють  відповідно 50, 30 і 15 людино-днів. Витрати органічних добрив на ті ж культури дорівнюють 20, 15 і 10 тоннам на гектар.

3.10 Для підтримки нормальної життєдіяльності людині необхідно споживати 118 г. білків, 56 г. жирів і 500 г. вуглеводів. Кількість живильних речовин, які містяться в 1 кг кожного виду продуктів, а також ціна 1кг кожного з цих продуктів  приведені в таблиці.

Живильні речовини

Вміст (г) живильних речовин в 1 кг продуктів

м'ясо

молоко

картопля

Білки

210

20

21

Жири

20

40

2

Вуглеводи

-

50

6250

Ціна 1 кг сировини (грн.)

1,8

0,28

0,1

Скласти денний раціон, який містить добову норму потреби людини в необхідних живильних речовинах і знайти загальну вартість споживаних продуктів.

3.11 Підприємство випускає три види продукції і використовує три типи основного устаткування: токарське, фрезерне і шліфувальне. Витрати часу на виготовлення однієї одиниці продукції для кожного з типів устаткування приведені в таблиці. У ній же зазначені загальний фонд робочого часу кожного з типів устаткування, а також прибуток від реалізації одного виробу даного виду.

Тип устаткування

Витрати часу (верстато-год.) на одиницю продукції виду

Загальний фонд робочого часу (год.)

1

2

3

Токарське

2

1

3

300

Фрезерне

1

2

1

280

Шліфувальне

1

1

-

168

Прибуток від реалізації одиниці продукції (грн.)

8

2

1

Визначити обсяг виробництва кожного з виробів з урахуванням фонду часу і загальний прибуток від їхньої реалізації.

3.12 На швейній фабриці  для виготовлення трьох видів виробів може бути використана тканина трьох артикулів. Норми витрат тканини всіх артикулів на пошиття одного виробу приведені в таблиці. У ній же заззначені наявна в розпорядженні фабрики загальна кількість тканини даного артикула і ціна одного виробу даного виду.

Артикул тканини

Норма витрат тканини (м) на один виріб виду

Загальна кількість тканини (м)

1

2

3

I

-

2

1

180

II

1

3

2

340

III

2

-

4

200

Ціна одного виробу (грн.)

6

4

7

Визначити, скільки виробів кожного виду повинна зробити фабрика і вартість зробленої продукції.

3.13 Для виготовлення різних виробів А, В і С підприємство використовує три різних види сировини. Норми витрати сировини на виробництво одного виробу кожного виду, ціна одного виробу А, В і С, а також загальна кількість сировини кожного виду, що може бути використано підприємством, приведені в таблиці.

Вид сировини

Норма витрат сировини (кг) на один виріб

Загальна кількість сировини (кг)

А

В

С

I

8

-

10

684

II

4

2

5

348

III

7

6

9

620

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

15

7

19

Визначити кількість виробів і загальну вартість усієї зробленої підприємством продукції.

3.14 Продукцією міського молокозаводу є молоко, кефір і сметана, розфасовані в пляшки. На виробництво 1 т молока, кефіру і сметани необхідно відповідно 1020, 1060 і 9450 кг молока. При цьому витрати робочого часу при розливі 1 т молока і кефіру складають 0,18 і 0,19 машино-год. На розфасовці 1 т сметани зайняті спеціальні автомати впродовж 3,25 ч. Усього для виробництва суцільномолочної продукції завод може використовувати 136000 кг молока. Основне устаткування може бути зайняте впродовж 15,7 машинно-год., а автомати з розфасовки сметани – впродовж 16,25 години.  Прибуток від реалізації 1 т молока, кефіру і сметани відповідно складає 300, 2200 і 13600 грн. Визначити, в якій кількості можна щодня виготовляти заводу продукцію з урахуванням запасів і прибуток від виробленої продукції.

3.15 На меблевій фабриці зі стандартних аркушів фанери необхідно вирізувати заготівлі трьох видів у кількостях, відповідно рівних 30, 31 і 28 шт. Кожен лист фанери може бути розрізаний на заготівлі трьома способами. Кількість отриманих при даному способі розкрою приведено в таблиці. У ній вказана величина відходів, яка виходить при даному способі розкрою одного листа фанери.

Вид заготівки

Кількість заготовок (шт.) при розкрої способом

1

2

3

I

2

3

6

II

5

2

4

III

2

4

3

Величина відходів (см2)

12

13

16

Визначити, скільки листів фанери можна розкроїти і знайти кількість відходів.

3.16 При виробництві трьох видів кабелю викотнується три групи технологічних операцій. Норми витрат на 1км. кабелю даного вигляду на кожній із груп операцій, прибуток від реалізації 1 км. кожного виду кабелю, а також загальний фонд робочого часу, впродовж якого виконуються ці операції, позначені в таблиці.

Технологічна операція

Норма витрат часу (година) на обробку 1 км. кабелю виду

Загальний фонд робочого часу (год.)

1

2

3

Волочіння

1,2

1,8

1,6

6900

Накладення ізоляції

1,0

0,4

0,8

2425

Скручування елементів у кабель

6,4

5,4

6,0

21100

Прибуток від реалізації 1 км. кабелю (грн.)

1,2

0,8

1,0

Визначити кількість кабелю, яка випускається, з урахуванням фонду часу і прибуток від реалізації виготовленої продукції.

3.17 Для виробництва столів, шаф і тумб фабрика використовує необхідні ресурси. Норми витрат ресурсів на один виріб даного виду, прибуток від реалізації одного виробу і загальна кількість наявних ресурсів кожного виду приведені в таблиці.

Ресурси

Норма витрат ресурсів на один виріб

Загальна кількість ресурсів

стіл

шафа

тумба

Деревина (м3):

1-го виду

0,2

0,1

0,3

51

2-го виду

0,1

0,3

0,2

61,6

Трудомісткість (людино-годин)

1,2

1,5

1,3

370

Прибуток від реалізації одного виробу (грн.)

6

8

7

Визначити, скільки столів, шаф і тумб фабрика може виготовляти і прибуток від їхньої реалізації.

3.18 Поживність 1 кг сіна 0,4; 1 кг силосу – 0,2; 1 кг соломи – 0,2 кормової одиниці. Сіно містить у собі 90% сухої речовини, силос – 30%, а солома – 90%. Скільки потрібно давати корові в добу сіна, силосу і соломи, якщо вона повинна отримувати з цими кормами 15 кг сухих речовин і 7 кормових одиниць, а сіно і солому дають порівну?

3.19 При відгодівлі тварин кожна тварина щодня повинна отримувати 44 одиниці живильної речовини А, 56 од. речовини В і 48 од. речовини С. Зазначені живильні речовини містять три види корму. Зміст живильних речовин в 1 кг кожного з видів кормів приведено в таблиці.

Живильні речовини

Кількість одиниць живильних речовин у 1 кг корму виду

I

II

III

А

1

3

4

В

2

4

2

С

1

4

3

Скласти денний раціон, який забезпечує одержання необхідної кількості живильних речовин і обчислити грошові витрати, якщо ціна 1 кг корму I-го виду складає 2 грн. 30 коп., корму II-го виду – 3 грн. 50 коп. і корму III-го виду – 2 грн.

3.20 Кондитерська фабрика для виробництва трьох видів карамелі А, В і С використовує три види основної сировини: цукровий пісок, патоку і фруктове пюре. Норми витрат сировини кожного виду на виробництво 1 т карамелі даного виду приведені в таблиці. В ній же зазначена загальна кількість сировини кожного виду, що може бути використана фабрикою, а також приведений прибуток від реалізації 1 т карамелі даного виду.

Вид сировини

Норми витрат сировини (т) на 1 т карамелі

Загальна кількість сировини (т)

А

В

С

Цукровий пісок

0,8

0,5

0,6

860

Патока

0,4

0,4

0,3

580

Фруктове пюре

-

0,1

0,1

120

Прибуток від реалізації 1 т продукції (грн.)

108

112

126

Знайти план виробництва карамелі і прибуток від її реалізації.

Завдання №4

По координатах точок А, В та С для зазначених векторів знайти: а) модуль вектора ; б) скалярний добуток векторів  і ; в) проекцію вектора  на вектор ; г) координати точки М, що ділить відрізок  у співвідношенні ; обчислити д) площу паралелограма, побудованого на векторах  і ; е) площу трикутника АВС і, визначивши,  чи належать одній площині задані точки, обчислити двома способами.

4.1 А(4, 6, 3), В(-5, 2, 6), С(4, -4, 3), , , , , , , .

4.2 А(4, 3, -2), В(-3, -1, -4), С(2, 2, 1), , , , , , , .

4.3 А(1, -2, 4), В(1, 3, -2), С(1, 4, 2), , , , , , , .

4.4 А(2, 4, 3), В(3, 1, -4), С(-1, 2, 2), , , , , , , .

4.5 А(2, 4, 5), В(1, -2, 3), С(-1, -2, 4), , , , , , , .

4.6 А(-1, -2, 4), В(-1, 3, 5), С(-1, 4, 2), , , , , , , .

4.7 А(1, 3, 2), В(-2, 4, -1), С(14, 3, -2), , , , , , , .

4.8 А(2, -4, 3), В(-3, -2, 4), С(0, 0, -2), , , , , , .

4.9 А(3, -3, -4), В(-2, -3, 2), С(2, -3, 1), , , , , , .

4.10 А(0, 2, 5), В(2, -3, 4), С(3, 2, -5), , , , , , .

4.11 А(-2, -3, -4), В(2, -4, 0), С(1, 4, 5), , , , , , .

4.12 А(-2, -3, 2), В(1, 4, 2), С(1, -3, 2), , , , , , .

4.13 А(5, 6, 1), В(-2, 4, -1), С(3, -3, 3), , , , , , .

4.14 А(10, 6, 3), В(-2, 4, 5), С(3, -4, -6), , , , , , .

4.15 А(3, 2, 4), В(-2, 2, 3), С(2,  2, -1), , , , , .

4.16 А(-2, 3, -4), В(3, -1, 2), С(4, 2, 4), , , , , , .

4.17 А(4, 5, 3), В(-4, 2, 3), С(5, -6, -2), , , , , , .

4.18 А(2, 4, -4), В(-3, 5, -4), С(4, -5, -4), , , , , , .

4.19 А(-4, -2, -5), В(3, 7, 2), С(4, 6, -3), , , , , , .

4.20 А(5, 4, 4), В(-5, 2, 3), С(4, 2, -5), , , , , , .

Завдання №5

Дано вершини трикутника АВС: , , . Записати: а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ; г) точку  перетину медіани АМ і висоти СН; д) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ; е) відстань від точки С до прямої АВ.

5.1А(-2, 4), В(3, 1), С(10, 7).  5.2 А(-3, -2), В(14, 4), С(6, 8).

5.3 А(1, 7), В(-3, -1), С(11, -3). 5.4 А(1, 0), В(-1, 4), С(9, 5).

5.5 А(1, -2), В(7, 1), С(3, 7).  5.6 А(-2, -3), В(1, 6), С(6, 1).

5.7 А(-4, 2), В(-6, 6), С(6, 2).  5.8 А(4, -3), В(7, 3), С(1, 10).

5.9 А(4, -4), В(8, 2), С(3, 8).  5.10 А(-3, -3), В(5, 7), С(7, 7).

5.11 А(1, -6), В(3, 4), С(-3, 3).  5.12 А(-4, 2), В(8, -6), С(2, 6).

5.13 А(-5, 2), В(0, -4), С(5, 7).  5.14 А(4, -4), В(6, 2), С(-1, 8).

5.15 А(-3, 8), В(-6, 2), С(0, -5). 5.16 А(6, -9), В(10, -1), С(-4, 1).

5.17 А(4, 1), В(-3, -1), С(7, -3). 5.18 А(-4, 2), В(6, -4), С(4, 10).

5.19 А(3, -1), В(11, 3), С(-6, 2). 5.20 А(-7, -2), В(-7, 4), С(5, -5).

Завдання №6

Скласти рівняння:

а) площини ;  

б) прямої ;  

в) прямої М, перпендикулярно до площини ;

г) прямої N, що схрещується із прямою ;

д) площини, що проходить  через точку , перпендикулярно до прямої .

Обчислити:

а) синус кута між прямою  і площиною ;  

б) косинус кута між координатою площиною ХОУ і площиною ;

в) косинус кута між прямими  й ;

г) відстань від точки до площини ;

д) точку Р перетинання прямої  М з площиною .

6.1  (0,4,5), (3,-2,1), (4,5,6), (3,3,2).

 

6.2  (3,1,4), (-1,6,1), (-1,1,6), (0,4,-1).

6.3  (3,-1,2), (-1,0,1), (1,7,3), (8,5,8).

  

6.4  (3,5,4), (5,8,2), (1,2,-2), (-1,0,2).

6.5  (2,4,3), (1,1,5), (4,9,3), (3,6,7).

  

6.6  (9,5,5), (-3,7,1),(5,7,8), (6,9,2).

6.7  (0,7,1), (2,-1,5), (1,6,3), (3,-9,8).

6.8  (5,5,4), (1,-1,4), (3,5,1), (5,8,-1).

6.9  (6,1,1),(4,6,6),(4,2,0), (1,2,6).

  

6.10 (7,5,3),(9,4,4),(4,5,7), (7,9,6).

6.11 (6,8,2),(5,4,7),(2,4,7), (7,3,7).

  

6.12 (4,2,5),(0,7,1),(0,2,7), (1,5,0).

6.13 (4,4,10),(7,10,2),(2,8,4), (9,6,9).

  

6.14 (4,6,5),(6,9,4),(2,10,10), (7,5,9).

6.15 (3,5,4),(8,7,4),(5,10,4), (4,7,8).

  

6.16 (10,9,6),(2,8,2),(9,8,9), (7,10,3).

6.17 (1,8,2),(5,2,6),(5,7,4), (4,10,9).

  

6.18 (6,6,5),(4,9,5),(4,6,11), (6,9,3).

6.19 (7,2,2),(-5,7,-7),(5,-3,1), (2,3,7).

  

6.20 (8,-6,4),(10,5,-5),(5,6,-8), (8,10,7).

Завдання №7

Скласти канонічне рівняння:

а) еліпса

б) гіперболи

в) параболи (А, В - точки, що належать кривій)  - фокус,  - велика (дійсна) піввісь,  - мала (уявна) піввісь,  - ексцентриситет,  - рівняння асимптот гіперболи,  - директриса параболи,  - фокусна відстань) та схематично зобразити.

7.1  а) =15, (-10,0); б) ,  =14/13; в) : ;

7.2 а) =2, (4√2,0); б)  =7, =√85/7;  в) : ;

7.3 а) А(3,0), В(2,√5/3);  б) =5/4;   в) : y= -2;

7.4 а) А(-5,0), =√21/5; б) А(√80,3), В(4√6,3);  в) : y= 3;

7.5 а) 2= 22, = √57/11; б)  =10√3;  в) А(27,9),  вісь симетрії OX;

 

7.6 а) = √15 , = √10/25; б) 2=16;  в) А(4,-3), вісь симетрії OX;

7.7 а) = 4 , (3,0); б) =2√10,(-11,0);  в) : ;

7.8  а) = 4, (9,0); б) = 5 ,  =7/5;  в) : ;

7.9  а) А(0,√3), В(4√(14/3),1);  б)  =11/10, √;   в): y= - 4;

7.10  а)А(8,0) ,=7/8; б) А(3,-√(3/5)), В(√(13/5),6);  в) : y= 4;

7.11 а) 2= 24  ,=√22/6; в) √(2/3),   =10; в) вісь симетрії OX, А(-7,-7);

 

7.12 а) =2,= 5√29/29; б)  12/13, 2=26; в) вісь симетрії OX, А(-5,15);

 

7.13 а)   =6, (7,0); б) =3, (7,0);  в) : ;

7.14 а)=7, (5,0); б)  = 11,  =12/11;  в) : ;

7.15а) А(-√(17/3),1/3), В(√21/2,1/2);  б)  = √5/2;    в) : y= - 1;

7.16а) А(0,8) ,=3/5; б) А(√6,8), В(-2√2,1); в) : y= 9;

7.17а) 2= 22 , =10/11; б)  √11/5,  =12; в) вісь симетрії OX, А(-7,5);

 

7.18а) =5,=12/13; б)  1/3, 2= 6; в) вісь симетрії OY, А(-9,6);

 

7.19а)  =9, (7,0); б) =6, (12,0); в)  : ;

7.20а)=5, (-10,0); б) = 9,  =4/3;  в)  : ;

Завдання №8

Методами математичного аналізу дослідити функцію й побудувати графік:

8.1 x (x - 3) (x + 1)

8.2 (x - 1) 2x x1/3

8.3  ( 4/(x2 -4)

8.4   (1/(ех-1)

8.5  

8.6 x2 (x - 2) (x+1)

8.7 (х-1)2(х+1)4(х-2)3

8.8  (x + 1) x2

8.9

8.10

8.11

8.12  ln (x-1)

8.13  1/(1+x2)

8.14 x2/(x2-1)

8.15  (x2-4)/(x+1)

8.16  

8.17   x + 1/x

8.18   x(x + 1)(x - 1)

8.19  (x2+1) (x-1)

8.20  x4-2x3-1

  1.  
    СПИСОК ДЖЕРЕЛ, ЩО РЕКОМЕНДУЮТЬСЯ ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ ПРИ ВИКОНАННІ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

  1.  Васильченко І.П. та ін. Вища математика. Основні означення, приклади і задачі: Навч. посібник у 2 кн. Книга 2, 2-е вид., зі змін. – К.: Либідь, 1994. – 280 с.
  2.  Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Крамера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.
  3.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студ. вузов. В 2 ч. Ч.1,2. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с., 415 с.
  4.  Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1975. – 623 с.
  5.  Кузнецов А. В., Янчук Л. Ф. и др. Высшая математика. Общий курс. – Минск: Высшейш. шк., 1993.
  6.  Кулинич Г.А. та ін. Вища математика. Основні означення, приклади і задачі: Навч. посібник у 2 н. Книга 1, 2-е вид., зі змін. – К.Либідь, 1994. – 312 с.
  7.  Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. – М.: Наука, 1970. – 400с.
  8.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, ч 1, 2. – М.: Наука, 1972. – 432 с., 576 с.


Додаток  а

Приклади розв’язання типових завдань

1 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Методи їхнього дослідження та розв'язання.

Нехай дана сумісна система  лінійних рівнянь із  невідомими:

 (1)

Введемо позначення у вигляді матриць:

, , ,

тоді систему (1) можна записати в матричній формі:

 (2)

Основні методи розв'язання СЛАР.

1. Правило Крамера

– якщо в системі (1) , то система сумісна й має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами , , де  – визначник, одержаний з визначника  заміною i-го стовпця на стовпець вільних членів;

– якщо в системі (1)  , але хоча б один з визначників  не дорівнює нулю, то система не має рішень, тобто несумісна;

– якщо в система (1)  і усі допоміжні визначники  дорівнюють нулю, тобто, то система сумісна і має незчисленну множину розв'язань.

2. Матричний метод (метод зворотної матриці).

Помножуючи обидві частини рівняння (2) на матрицю  і враховуючи, що , , то одержуємо шуканий розв'язок:

 (3)

Зауваження. Методом зворотної матриці можна розв'язувати тільки в тому випадку, якщо матриця А – невироджена, тобто якщо .

3. Метод Жордана-Гаусса.

Записавши розширену матрицю з (1), за допомогою елементарних перетворень її необхідно привести до трикутного виду:

,  (4)

де  й  – перетворені числа.

Отримана матриця є розширеною матрицею системи:

 (5)

Розв'язання системи (5) має вигляд:

.

Таким чином, розв'язок знаходимо з (5) послідовно знизу нагору, тобто з останнього рівняння відомо , його підставляємо в передостаннє рівняння й знаходимо  й т.д. Отриманий розв'язок є також розв'язком вихідної системи (1).

Зауваження. Методом Жордана-Гауса можна вирішувати системи будь-яких розмірів, тобто немає вимоги, щоб число рядків дорівнювало числу стовпців, як у методі Крамера і матричному методі. В цьому випадку використовуючи теорему Кронекера-Капеллі можна визначити сумісність системи і знайти фундаментальну сукупність розв'язків (ФСР) для сумісної системи, яка має незчисленну множину розв'язків.

Визначення. Базис лінійного простору розв'язків однорідної СЛАР називають фундаментальною сукупністю розв'язків (ФСР).

Теорема Кронекера-Капеллі.

Неоднорідна система лінійних рівнянь (1) сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриці А*, тобто .

Розглянемо таку економічну задачу.

Приклад № 1. АвтоЗаЗ "Комунар" після підписання договору з корейською фірмою "DAEWOO" освоїв випуск автомобілів таких марок: "Лєганза", "Нубіра", "Ланос". При цьому продовжував випускати вітчизняний автомобіль марки "Славута". До виробничого процесу залучені три цехи заводу - цех вузлової зборки, складальний цех та іспитовий. Розподіл часу, потрібного для обробки кожної моделі в кожному цеху, а також максимальні виробничі потужності цехів наведені в табл. 1.

Таблиця 1

Цех

Час на виготовлення одиниці продукції (год)

Максимальні виробничі потужності (год/мес)

"Славута"

"Ланос"

"Лєганза"

"Нубіра"

Вузлової зборки

5

8

20

25

1060

Складальний

2

3

8

14

460

Іспитовий

0,1

0,2

2

4

89

В даній економічній задачі не розглядається споживчий попит і максимально можливий прибуток від реалізації продукції, тому необхідно знайти кількість автомобілів кожної марки, що виготовляється заводом за місяць із повним використанням потужності цехів.

Розв'язання. Позначимо  – кількість автомобілів марки "Славута", виготовлених за місяць,  – кількість автомобілів марки "Ланос",  – кількість автомобілів марки "Лєганза" і  – кількість автомобілів марки "Нубіра". Тоді можна для кожного цеху записати рівняння виробничої потужності за місяць, тобто

для цеху вузлової зборки – ;

для складального цеху – ;

для іспитового цеху – .

Таким чином, отримана система трьох рівнянь із чотирма невідомими. Для зручності останнє рівняння помножимо на 10 і запишемо його першим, тобто система набуде вигляду:

Випишемо розширену матрицю системи й приведемо її до діагонального вигляду:

~  ~

 ~

Очевидно, що ранг матриці А и розширеної матриці А* співпадають і . Тоді , тобто одна вільна змінна, а три – базисні.

Оскільки, перетворення розширеної матриці здійснювалося тільки з рядками, то остання матриця відповідає системі рівнянь:

З останнього рівняння знаходимо , підставляємо в друге рівняння й знаходимо . І, підставляючи  та  в перше рівняння, одержимо:  .

Отже,

,

або заміняючи  на С, одержимо фундаментальну сукупність розв'язань (ФСР)

.

Якщо взяти додаткову умову, наприклад план по виробництву автомобіля марки "Нубіра", що складає 10 автомобілів на місяць, то можна отримати з даної системи частковий розв'язок:

.

Відповідь. Завод з урахуванням потужностей своїх цехів може випускати стільки автомобілів: марки "Славута" - (760-26,25C), "Ланос" - (20C-500), марки "Лєганза" - (50-2,6875C) і марки "Нубіра" - С штук, де С - довільна константа.

Вектори

Якщо вектор  заданий початковою й кінцевою точками  та  у тривимірному просторі, то в базисі , ,  вектор  можна записати у вигляді:

.  (6)

Проекція вектора  на вісь  обчислюється по формулі:

,  (7)

де  – довжина вектора , що обчислюється по формулі:

.  (8)

Лінійні операції над векторами.

Якщо дані вектори , то до лінійних операцій над векторами відносяться: сума, різниця й множення вектора на число.

Правило додавання векторів. Щоб побудувати суму векторів , необхідно до кінця вектора  прикласти вектор , після цього до кінця  прикласти вектор  і так доти, поки не дійдемо до вектора . Тоді сумою векторів  буде вектор, що йде з початку першого вектора  в кінець останнього вектора . Наприклад, сумою векторів  є вектор . Різницею  називається вектор, який в сумі з вектором  складає вектор , або, різниця двох векторів, які приведені до загального початку є вектор, що йде з кінця , який віднімається, у кінець вектора , який зменшується.


Скалярний добуток двох векторів та його властивості.

Визначення. Якщо дані вектори  й , то скалярний добуток – це число, що обчислюється по формулі:

.  (9)

Якщо вектори  й  задані в ортогональному базисі , ,  тобто  та , то їх скалярний добуток знаходиться за формулою:

.  (10)

Якщо вектори  й  ортогональні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто

 (11)

Для векторів  і, які задані в базисі , ,  умова ортогональності буде такою:

 (12)

Векторний добуток двох векторів і його властивості.

Визначення. Якщо дані вектори  й , то векторний добуток – це вектор , модуль якого обчислюється за формулою:

 (13)

причому модуль вектора  дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах  і .

Якщо вектори  й  задані в ортогональному базисі , ,  тобто  та , то їх векторний добуток обчислюється за формулою:

.  (14)

Якщо дані три крапки А, В та С, то на векторах  і  можна побудувати паралелограм та знайти його площу за формулою (1.21), або площу трикутника, з вершинами в заданих точках.. Оскільки площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах  і , те

.  (15)

Зауваження. Якщо точки А, В и С лежать в одній площині, то площа трикутника АВС обчислюється за формулою: .


Лінійна залежність векторів.

Ділення відрізка в заданому співвідношенні.

Приклад № 2. По координатах точок А(2,1,3), В(5,1,4) і З(-2,-3,1) для векторів , , ,  знайти: а) модуль вектора ; б) скалярний добуток векторів  і ; в) проекцію вектора  на вектор ; г) координати точки М, що ділить відрізок АВ у співвідношенні 3:4; обчислити: д) площу паралелограма, побудованого на векторах  і ; е) площу трикутника АВС.

Розв'язання. Спочатку знайдемо всі вектори: для вектора  складемо вектора  й  згідно формули (6), тобто:

,

,

тоді, .

Аналогічно знаходимо вектори ,  і : , , . Тепер, згідно з умовою задачі, знаходимо:

а) модуль вектора  за формулою (8):

;

б) скалярний добуток векторів  і  за формулою (10):

;

в) проекцію вектора  на вектор  за такою формулою :

;

г) координати точки М, що ділить відрізок у співвідношенні 3:4 за формулою

, , , де ,

тобто:

, , , звідки .

д) площу паралелограма, побудованого на векторах  і  за формулою (14):

.

Звідки знаходимо  кв. од.;

е) площу трикутника АВС за формулою (14). Оскільки точки А, В та С не лежать в одній площині, то маємо:

кв. од.

Приклад № 3. Дано координати вершин піраміди ; ; ; .

Знайти:

1) довжину ребра .

Довжина ребра  дорівнює

2) кут між ребрами  й .

; .

3) проекцію вектора  на вектор

; ;

; .

4) площа грані .

,

(кв. од.)

5) об'єм піраміди

  (куб. од.)

6) рівняння прямої .

або  .

7) рівняння площини .

або ,

,  .

8) рівняння висоти, опущеної з вершини  на грань

Нормальний вектор площини  – , тоді рівняння шуканої висоти мають вигляд

9) кут між ребром  і гранню .

Маємо , , тоді

; .

Диференціальне числення.

Похідна

Похідною функції  у точці х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прагне до нуля.

.

Таблиця основних формул і правил диференціювання

1)      10)

2)     11)

3)     12)

4)     13)

5)     14)

6)     15)

7)     16)

8)     17)

9)      18)

     19) .

Приклад № 4.

1)

, де ,

2)

.

3) .

Прологарифмуємо функцію .

Диференціюємо обидві частини рівності

, звідки

.

4) Якщо функція задана параметрично, тобто  то її похідну по змінній х можна знайти за формулою: .

Знайдемо похідну , якщо функція задана параметрично

Тоді ,  і .

Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

1. Рівняння кола радіуса  з центром у довільній точці :

 (16)

Коло радіуса  з центром у початку координат має таке рівняння:

 (17)

2. Еліпс описується таким рівнянням:

 (18)

де  - велика піввісь,  - мала піввісь.

Якщо фокуси еліпса мають координати  і , тоді

 (19)

Ексцентриситет еліпса

 (20)

3. Якщо фокуси гіперболи - , ,  - дійсна піввісь,  - уявна піввісь, тоді рівняння гіперболи таке:

 (21)

причому

 (22)

Ексцентриситет гіперболи обчислюється за формулою (19). Рівняння асимптот гіперболи:

 (23)

Рівняння директриси еліпса і гіперболи:

 (24)

4. Рівняння параболи з вершиною у початку координат і симетричної відносно осі Ох має такий вигляд:

 (25)

де  – фокус. Рівняння директриси параболи:

 (26)

Приклад №5. 

Скласти канонічні рівняння: а) еліпса - , ; б) гіперболи - , ; в) параболи - :  (А, В – точки, що належать кривій,  - фокус,  - велика (дійсна) піввісь,  - мала (уявна) піввісь,  - ексцентриситет,  - рівняння асимптот гіперболи,  - директриса параболи,  - фокусна відстань) та схематично зобразити.

Розв'язання.

а) за умовою дано , ,

тоді з (19): .

Підставляємо  та  у рівняння (18) і одержуємо рівняння еліпса: .

Директриса еліпса буде мати таке рівняння (24): .

Для побудови еліпса потрібно відкласти по осі Ох:, а по осі Оу:  (рис. 1).

рис. 1    рис. 2


б) за умовою , , а за формулою (22) ,

тоді рівняння гіперболи (20) буде таким: . Директриса гіперболи описується рівнянням (24): .

Для більш зручної побудови гіперболи крім відкладених по осі Ох: , а по осі Оу: , знайдемо та побудуємо асимптоти. Отже, за формулою (23) одержуємо: , де  (рис. 2). Або  будуємо прямокутник зі сторонами, паралельними осям Ох та Оу, що проходять через точки , ,  та , а діагоналі цього прямокутника і будуть асимптотами (рис. 2).

в) за умовою дано рівняння директриси, тоді з формули (26): .

Одержимо рівняння параболи, що симетрична відносно осі Ох (24): .

Оскільки коефіцієнт при х додатний, то парабола знаходиться у I та IV чверті, симетрична відносна осі Ох та проходить через точку О(0,0). Для побудови знайдемо ще одну точку, наприклад, візьмемо , звідки  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84339. Ассортимент и качество рыбных консервов в масле 51.21 KB
  Рыбные консервы в масле являются полноценным пищевым продуктом имеющим оригинальную рецептуру приготовления. Рыбные консервы в заливке на основе масла составляют классический ассортимент где проявляются все оттенки вкуса и запаха рыбы. Именно благодаря этим свойствам консервы являются одним...
84340. Работа с электронными геодезическими приборами 1.18 MB
  Прибор удобен в обращении благодаря быстроте производства угловых и линейных измерений широкому диапазону измеряемых расстояний возможности производить измерения без использования отражателя удобному настраиваемому под требования пользователя меню.
84341. Характеристика продукции сетевой экономики. Интернет как инструмент маркетинга 167.5 KB
  Изобретение телеграфа телефона радио и компьютера привело к беспрецедентной интеграции всех этих средств в глобальную информационную гипермедийную систему которая одновременно является средой для сотрудничества и общения людей средством общемирового вещания и распространения информации а также мощным инструментом для ведения бизнеса лишенного...
84342. Техника и технология вызова притока заменой бурового раствора (промывки) 644 KB
  После выхода из турбобура буровой раствор омывает забой скважины и как и при роторном способе бурения выносит продукты бурения на устье скважины. Сложность этой конструкции состоит в том что буровой раствор на забой скважины должен проходить через электродвигатель и редуктор. Недостатками турбобуров являются высокая чувствительность к вязкости бурового раствора и высокая частота вращения которая приводит к повышенной разработке ствола скважины при бурении мягких пород а также ускоренному износу ПРИ и следовательно к увеличению...
84343. Поводы и основания к возбуждению уголовного дела. Процессуальный порядок возбуждения и отказа в возбуждении уголовного дела 134.58 KB
  Поводы и основания к возбуждению уголовного дела. Процессуальный порядок возбуждения и отказа в возбуждении уголовного дела Поводами для возбуждения уголовного дела служат: ст. Основанием для возбуждения уголовного дела является наличие достаточных данных указывающих на признаки преступления. Заявление о преступлении может быть сделано в устном или письменном виде.
84344. Финансовое регулирование в системе управления финансами 65.89 KB
  Финансовое регулирование осуществляется в целях корректировки со стороны государства развития общественного производства в нужном направлении. Таким образом финансовое регулирование представляет собой организованную государством деятельность по использованию всех аспектов финансовых отношений в целях...
84345. Функции культуры 98 KB
  Характерно что проблематика различных функций культуры разрабатывалась разными учеными сосредоточившими свое концептуальное внимание на тех или иных сторонах духовной системы. Можно выделить следующие функции культуры: а поддержание преемственности традиции...
84346. Утренняя физическая зарядка 51.94 KB
  Стоя подниматься на носки руки поднять через стороны вверх прогнуться вдох; вернуться в исходное положение выдох. Стоя мах левой ногой назад руки махом вперед кисти расслаблены вдох; исходное положение выдох; повторить то же с правой ноги.
84347. Дробные выражения 160 KB
  Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Тема нашего занятия «Дробные выражения».