6021
Прямое и обратное преобразование Радона
Лабораторная работа
Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы
Цель работы: Ознакомление с прямым и обратным преобразованием Радона изображений. Реализация прямого и обратного преобразований Радона с помощью функций в среде MatLAB (ImageProcessingToolbox). Короткие теоретические сведения ...
Русский
2012-12-27
1.24 MB
93 чел.
Цель работы: Ознакомление с прямым и обратным преобразованием Радона изображений. Реализация прямого и обратного преобразований Радона с помощью функций в среде MatLAB (Image Processing Toolbox).
Короткие теоретические сведения
Преобразование Радона.
С помощью преобразования Радона изображение представляется в виде набора проекций вдоль различных направлений. В результате получается совокупность теней, т.е. трёхмерная структура объекта сводится к набору двумерных изображений. При этом, проекция функции двух переменных f(x,y) представляет собой интеграл в определённом направлении. Например, интеграл от f(x,y) в вертикальном направлении является проекцией f(x,y) на ось x; интеграл в горизонтальном направлении является проекцией на ось y.
Рис.1
Проекции могут быть вычислены вдоль любого угла θ. Так, проекция функции двух переменных f(x,y) на ось задаётся интегралом
где оси и задаются поворотом против часовой стрелки на угол θ с использованием следующего выражения:
Геометрическое представление преобразования Радона приведено на рисунке 2.
Рис.2
Преобразование Радона для большого количества углов чаще всего отображается в виде изображения. Например, преобразование Радона для прямоугольника при изменении θ от 0 до 180° с шагом 1° имеет вид (рис.3):
Рис.3
Обратное преобразование Радона реконструирует изображение по его матрице проекций. В компьютерной томографии (рис.4) осуществляется восстановление изображения сечения человеческого тела с использованием облучения рентгеновскими лучами под различными углами. Задача восстановления f(x,y) сводится к решению конечного числа уравнений при различных значениях угла θ.
Рис.4
В большинстве случаев, не существует исходного изображения, от которого получают проекции. Например, при томографии, проекции формируются путём измерения интенсивности излучения, проходящего через физический объект под различными углами. Значения проекций накапливаются в специальном оборудовании, а затем с помощью обратной функции Радона выполняется неинвазивное (без вторжения во внутрь) восстановление внутренней структуры объекта (человека).
Порядок работы
- Исследования преобразований Радона на модели
С помощью функции phantom сымитировать срез головы человека. Выполнить прямое преобразование Радона (radon), выбрав различные углы. Восстановить изображение с помощью обратного преобразования Радона. Исследовать влияние параметров команды iradon на сходство восстановленного изображения с оригиналом, а также на время выполнения обратного преобразования. Оценить качество восстановленного изображения.
close all; clear all; clc;
P=phantom(256); %Создание искусственного изображения среза головы
figure(1)
imagesc(P);
title('Head Phantom');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
%Прямые преобразования Радона с различными углами theta
theta1 = 0:10:170;
[R1,xp1] = radon(P,theta1);
theta2 = 0:5:175;
[R2,xp2] = radon(P,theta2);
theta3 = 0:2:178;
[R3,xp3] = radon(P,theta3);
theta4 = 0:0.1:179;
[R4,xp4] = radon(P,theta4);
figure(2)
subplot(2,2,1)
imagesc(theta1,xp1,R1)
title('Num angles = 18');
xlabel('Rotation Angle - \theta (degrees)');
ylabel('Sensor Position - x\prime (pixels)');
colormap(hot)
subplot(2,2,2)
imagesc(theta2,xp2,R2)
title('Num angles = 36');
xlabel('Rotation Angle - \theta (degrees)');
ylabel('Sensor Position - x\prime (pixels)');
colormap(hot)
subplot(2,2,3)
imagesc(theta3,xp3,R3)
title('Num angles = 90');
xlabel('Rotation Angle - \theta (degrees)');
ylabel('Sensor Position - x\prime (pixels)');
colormap(hot)
subplot(2,2,4)
imagesc(theta4,xp4,R4)
title('Num angles = 1791');
xlabel('Rotation Angle - \theta (degrees)');
ylabel('Sensor Position - x\prime (pixels)');
colormap(hot)
%Вычисление обратного преобразования Радона с различными углами theta
IR1=iradon(R1,theta1,'nearest','Ram-Lak',1,256);
IR2=iradon(R2,theta2,'nearest','Ram-Lak',1,256);
IR3=iradon(R3,theta3,'nearest','Ram-Lak',1,256);
IR4=iradon(R4,theta4,'nearest','Ram-Lak',1,256);
figure(3)
subplot(2,2,1)
imagesc(theta1,xp1,IR1)
title('Num angles = 18');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,2,2)
imagesc(theta2,xp2,IR2)
title('Num angles = 36');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,2,3)
imagesc(theta3,xp3,IR3)
title('Num angles = 90');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,2,4)
imagesc(theta4,xp4,IR4)
title('Num angles = 1791');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
%Среднеквадратическая относительная погрешность (18 углов)
close all; clear all; clc;
P=phantom(256);
theta1 = 0:10:170;
[R1,xp1] = radon(P,theta1);
IR1=iradon(R1,theta1,'nearest','Ram-Lak',1,256);
d1_18=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность (18 углов)
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_18=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность (18 углов)
d3_18=max(max(abs(P-IR1)))
%Максимальная относительная погрешность (18 углов)
d4_18=((max(max(abs(P-IR1))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность (18 углов)
d5_18=((sum(sum(abs(P-IR1))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность (18 углов)
d6_18=(sum(sum(abs(P-IR1))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность (18 углов)
d7_18=sqrt(sum(sum((P-IR1).^2)))
|
Погрешность |
Количество углов |
|||
|
18 |
36 |
90 |
1791 |
|
|
d1 % |
96.0877 |
60.1466 |
37.0012 |
32.1464 |
|
d2 % |
110.8376 |
69.3794 |
42.6810 |
37.0810 |
|
d3 |
1.4261 |
1.1539 |
1.0088 |
0.9241 |
|
d4 % |
142.6084 |
115.3943 |
100.8821 |
92.4145 |
|
d5 % |
131.8101 |
81.1806 |
38.1935 |
17.2767 |
|
d6 |
1.0603e+004 |
6.5302e+003 |
3.0723e+003 |
1.3897e+003 |
|
d7 |
60.5740 |
37.9166 |
23.3256 |
20.2652 |
%Вычисление обратного преобразования Радона с различными типами интерполяции
close all; clear all; clc;
P=phantom(256);
theta = 0:0.5:179;
[R,xp] = radon(P,theta);
IR1=iradon(R,theta,'nearest','Ram-Lak',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_nearest=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_nearest=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_nearest=max(max(abs(P-IR1)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_nearest=((max(max(abs(P-IR1))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_nearest=((sum(sum(abs(P-IR1))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_nearest=(sum(sum(abs(P-IR1))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_nearest=sqrt(sum(sum((P-IR1).^2)))
IR2=iradon(R,theta,'linear','Ram-Lak',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_linear=((abs(sum(sum((P-IR2).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_linear=((abs(sum(sum((P-IR2).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_linear=max(max(abs(P-IR2)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_linear=((max(max(abs(P-IR2))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_linear=((sum(sum(abs(P-IR2))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_linear=(sum(sum(abs(P-IR2))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_linear=sqrt(sum(sum((P-IR2).^2)))
IR3=iradon(R,theta,'spline','Ram-Lak',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_spline=((abs(sum(sum((P-IR3).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_spline=((abs(sum(sum((P-IR3).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_spline=max(max(abs(P-IR3)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_spline=((max(max(abs(P-IR3))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_spline=((sum(sum(abs(P-IR3))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_spline=(sum(sum(abs(P-IR3))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_spline=sqrt(sum(sum((P-IR3).^2)))
figure(1)
subplot(1,3,1)
imagesc(theta,xp,IR1)
title('Интерполяция по ближайшей окрестности');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(1,3,2)
imagesc(theta,xp,IR2)
title('Линейная интерполяция');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(1,3,3)
imagesc(theta,xp,IR3)
title('Сплайновая интерполяция');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
|
Погрешность |
Тип интерполяции |
||
|
nearest |
linear |
spline |
|
|
d1 % |
32.4182 |
31.2885 |
31.6798 |
|
d2 % |
37.3945 |
36.0914 |
36.5428 |
|
d3 |
0.9206 |
0.8663 |
0.9012 |
|
d4 % |
92.0633 |
86.6276 |
90.1225 |
|
d5 % |
20.0611 |
15.4540 |
15.1226 |
|
d6 |
1.6137e+003 |
1.2431e+003 |
1.2165e+003 |
|
d7 |
20.4365 |
19.7244 |
19.9711 |
%Вычисление обратного преобразования Радона с различными типами фильтра
close all; clear all; clc;
P=phantom(256);
theta = 0:0.5:179;
[R,xp] = radon(P,theta);
IR1=iradon(R,theta,'linear','Ram-Lak',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_Ram=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_Ram=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_Ram=max(max(abs(P-IR1)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_Ram=((max(max(abs(P-IR1))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_Ram=((sum(sum(abs(P-IR1))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_Ram=(sum(sum(abs(P-IR1))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_Ram=sqrt(sum(sum((P-IR1).^2)))
IR2=iradon(R,theta,'linear','Shepp-Logan',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_Shepp=((abs(sum(sum((P-IR2).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_Shepp=((abs(sum(sum((P-IR2).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_Shepp=max(max(abs(P-IR2)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_Shepp=((max(max(abs(P-IR2))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_Shepp=((sum(sum(abs(P-IR2))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_Shepp=(sum(sum(abs(P-IR2))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_Shepp=sqrt(sum(sum((P-IR2).^2)))
IR3=iradon(R,theta,'linear','Cosine',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_Cosine=((abs(sum(sum((P-IR3).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_Cosine=((abs(sum(sum((P-IR3).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_Cosine=max(max(abs(P-IR3)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_Cosine=((max(max(abs(P-IR3))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_Cosine=((sum(sum(abs(P-IR3))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_Cosine=(sum(sum(abs(P-IR3))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_Cosine=sqrt(sum(sum((P-IR3).^2)))
IR4=iradon(R,theta,'linear','Hamming',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_Hamming=((abs(sum(sum((P-IR4).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_Hamming=((abs(sum(sum((P-IR4).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_Hamming=max(max(abs(P-IR4)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_Hamming=((max(max(abs(P-IR4))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_Hamming=((sum(sum(abs(P-IR4))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_Hamming=(sum(sum(abs(P-IR4))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_Hamming=sqrt(sum(sum((P-IR4).^2)))
IR5=iradon(R,theta,'linear','Hann',1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_Hann=((abs(sum(sum((P-IR5).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_Hann=((abs(sum(sum((P-IR5).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_Hann=max(max(abs(P-IR5)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_Hann=((max(max(abs(P-IR5))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_Hann=((sum(sum(abs(P-IR5))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_Hann=(sum(sum(abs(P-IR5))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_Hann=sqrt(sum(sum((P-IR5).^2)))
figure(1)
subplot(2,3,1)
imagesc(theta,xp,IR1)
title('Усеченный фильтр Рама-Лака');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,3,2)
imagesc(theta,xp,IR2)
title('Фильтр Шеппа-Логана');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,3,3)
imagesc(theta,xp,IR3)
title('Косинусный фильтр');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,3,4)
imagesc(theta,xp,IR4)
title('Фильтр Хэмминга');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(2,3,5)
imagesc(theta,xp,IR5)
title('Фильтр Ханна');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
|
Погрешность |
Тип фильтра |
||||
|
Рама-Лака |
Шеппа-Логана |
Косинусный |
Хэмминга |
Ханна |
|
|
d1 % |
31.2885 |
31.1055 |
31.0972 |
31.5070 |
31.6213 |
|
d2 % |
36.0914 |
35.8803 |
35.8707 |
36.3435 |
36.4753 |
|
d3 |
0.8663 |
0.8476 |
0.8124 |
0.7917 |
0.7852 |
|
d4 % |
86.6276 |
84.7566 |
81.2392 |
79.1673 |
78.5186 |
|
d5 % |
15.4540 |
15.3622 |
15.8115 |
16.9154 |
17.1456 |
|
d6 |
1.2431e+003 |
1.2357e+003 |
1.2719e+003 |
1.3607e+003 |
1.3792e+003 |
|
d7 |
19.7244 |
19.6090 |
19.6037 |
19.8621 |
19.9341 |
%Вычисление обратного преобразования Радона с различными параметрами d (сдвиг по частотной области)
close all; clear all; clc;
P=phantom(256);
theta = 0:0.5:179;
[R,xp] = radon(P,theta);
IR1=iradon(R,theta,'linear','Cosine',0.1,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_01=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_01=((abs(sum(sum((P-IR1).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_01=max(max(abs(P-IR1)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_01=((max(max(abs(P-IR1))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_01=((sum(sum(abs(P-IR1))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_01=(sum(sum(abs(P-IR1))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_01=sqrt(sum(sum((P-IR1).^2)))
IR2=iradon(R,theta,'linear','Cosine',0.5,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_05=((abs(sum(sum((P-IR2).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_05=((abs(sum(sum((P-IR2).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_05=max(max(abs(P-IR2)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_05=((max(max(abs(P-IR2))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_05=((sum(sum(abs(P-IR2))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_05=(sum(sum(abs(P-IR2))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_05=sqrt(sum(sum((P-IR2).^2)))
IR3=iradon(R,theta,'linear','Cosine',0.9,256);
%Среднеквадратическая относительная погрешность
d1_09=((abs(sum(sum((P-IR3).^2))/sum(sum(P.^2))))^0.5)*100
%Нормализованная среднеквадратическая погрешность
P_sr=(sum(sum(P)))/(size(P,1)*size(P,2));
d2_09=((abs(sum(sum((P-IR3).^2))/sum(sum((P-P_sr).^2))))^0.5)*100
%Максимальная погрешность
d3_09=max(max(abs(P-IR3)))
%Максимальная относительная погрешность
d4_09=((max(max(abs(P-IR3))))/(max(max(P))))*100
%Нормализированная абсолютная средняя погрешность
d5_09=((sum(sum(abs(P-IR3))))/(sum(sum(abs(P)))))*100
%Абсолютная средняя погрешность
d6_09=(sum(sum(abs(P-IR3))))
%Среднеквадратическая абсолютная погрешность
d7_09=sqrt(sum(sum((P-IR3).^2)))
figure(1)
subplot(1,3,1)
imagesc(theta,xp,IR1)
title('D=0.1');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(1,3,2)
imagesc(theta,xp,IR2)
title('D=0.5');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
subplot(1,3,3)
imagesc(theta,xp,IR3)
title('D=0.9');
xlabel('x\prime (pixels)');
ylabel('y\prime (pixels)');
|
Погрешность |
Сдвиг по частотной области (параметр D) |
||
|
D=0.1 |
D=0.5 |
D=0.9 |
|
|
d1 % |
61.8194 |
33.7143 |
31.2002 |
|
d2 % |
71.3089 |
38.8895 |
35.9896 |
|
d3 |
0.7558 |
0.7386 |
0.8032 |
|
d4 % |
75.5842 |
73.8645 |
80.3183 |
|
d5 % |
53.7335 |
20.3204 |
16.1436 |
|
d6 |
4.3223e+003 |
1.6346e+003 |
1.2986e+003 |
|
d7 |
38.9711 |
21.2536 |
19.6687 |
- Преобразование реального биомедицинского изображения
Выполнить прямое и обратное преобразование Радона, используя реальное биомедицинское изображение.
close all; clear all; clc;
Ima=rgb2gray(imread('C:\24','jpg'));
Im=double(Ima);
figure(1)
imshow(Ima)
theta = 0:0.5:179;
[R_Im, xp]=radon(Im,theta);
figure(5)
imagesc(theta,xp,R_Im)
IR_Im=iradon(R_Im,theta,'linear','Cosine',1);
figure(6)
imagesc(theta,xp,IR_Im)
PAGE 2
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
| 84836. | Спрос, предложение и рыночное равновесие. Эластичность спроса и предложения | 372.96 KB | |
| В рассматриваемой теме рассматриваются понятия, которые описывают механизм функционирования рынков экономических благ: спрос, предложение, рыночное равновесие, равновесная цена, равновесный объем производства, эластичность спроса, эластичность предложения. | |||
| 84837. | Теория поведения потребителя | 61.25 KB | |
| Рынок – это экономическая система, ориентированная на потребителя. Этим обстоятельством объясняется интерес экономической науки к тому, как ведет себя потребитель, какими мотивами он руководствуется, делая выбор благ, каковы закономерности, управляющие его поведением на рынке. | |||
| 84838. | Исследование функций. Возрастание и убывание функций | 65.09 KB | |
| Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность... | |||
| 84839. | СИСТЕМИ ОБЛІКУ ВИТРАТ І КАЛЬКУЛЯЦІЇ СОБІВАРТОСТІ | 235 KB | |
| Калькуляцію використовують для досягнення наступних цілей: встановлення рівня беззбитковості ціни, тобто яку ціну на продукцію або послуги слід встановити, щоб підприємство могло відшкодувати понесені витрати; контролю витрат у виробництві, тобто який підрозділ використовує ресурси найефективніше... | |||
| 84840. | КЛАСИФІКАЦІЯ ВИТРАТ ДІЯЛЬНОСТІ В УПРАВЛІНСЬКОМУ ОБЛІКУ | 235.5 KB | |
| Найекономічнішим і доцільним підхідом до побудови системи обліку витрат і калькуляції собівартості – це виділення типових груп управлінських рішень (наприклад, контроль за трудовитратами або використанням матеріалів) і вибір відповідних... | |||
| 84841. | Податкові розрахунки, їх сутність та місце в системі оподаткування | 22.59 KB | |
| База оподаткування - це фізичний, вартісний чи інший характерний вираз об’єкта оподаткування, до якого застосовується податкова ставка і який використовується для визначення розміру податкового зобов’язання. | |||
| 84842. | Биологическое окисление. Тканевое дыхание. Окислительное фосфорилирование | 24.91 KB | |
| Жизнь высших организмов полностью зависит от поступления в организм кислорода, который используется в основном в процессе аккумуляции клеткой энергии в виде АТФ - окислительного фосфорилирования. Окислительное фосфорилирование позволяет аэробным организмам улавливать значительное количество... | |||
