60711

Комбинаторика. Комбинаторные задачи

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Показать решение некоторых комбинаторных задач. Ход урока: а объяснение материала; б закрепление материала решение задач. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать Решение.

Русский

2014-05-20

323.5 KB

4 чел.

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 муниципального образования город Горячий Ключ

Урок по теме:

Комбинаторика.

Комбинаторные задачи.

                                                                               Учитель математики

Минасян Людмила Григорьевна

МБОУ СОШ №2 г.Горячий Ключ

Цель урока: познакомить учащихся с разделом математики – комбинаторикой. Показать решение некоторых комбинаторных задач.

Ход урока: а) объяснение материала; б) закрепление материала, решение задач.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций.

Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».

Рассмотрим такой

пример1.

На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.

Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение.

Плюшка

Бутерброд

Пряник

Кекс

Кофе

Кофе

Плюшка

Кофе

Бутерброд

Кофе

Пряник

Кофе

Кекс

Сок

Сок

Плюшка

Сок

Бутерброд

Сок

Пряник

Сок

Кекс

Кефир

Кефир

Плюшка

Кефир

Бутерброд

Кефир

Пряник

Кефир

Кекс

Всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ:     12.

Однако составлять такие таблицы для каждой задачи, занимает время.

А чтобы решить такую задачу быстрее, можно воспользоваться правилом умножения.

Правило умножения.

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В , следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Пример 2.

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный.

Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение будем искать с помощью «дерева возможных вариантов».

Посмотрим на левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета, тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.

Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета, это вторая «веточка».

Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя - соответственно, красной или белой. Получилось еще два варианта цветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.

Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета.

Получается еще два варианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая.

 

Всего 6 комбинаций.

Ответ: 6.

Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов».

А вот так выглядит «дерево возможных вариантов» для такого примера 3:

Пример 3.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Ответ: 24.

Однако многие задачи можно решить быстрее и легче. Для этого надо  знать простейшие комбинации, которые можно составлять из элементов конечного множества.

И одна из первых таких комбинаций  - перестановки.

Рассмотрим пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами a ,b и c.Эти книги нужно расставить на полке по-разному:

а b с,  а с b,  b а с,  b с а, с а b, с b а.

Каждое из этих расположений и называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называют каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Обозначают:                       Рn = n!                (n факториал).

                               n! =.

Например:                   3! = ,    1! = 1.

Поэтому задачу с книгами можно решить так:

Р3=.

Задача №1.

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Решение:                  

 Р4 =

Ответ: 24.

Задача №2.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2, 4.6?

Решение:  из цифр 0,2.4.6 можно составить Р4 перестановок. Из этого числа нужно исключить те перестановки, которые начинаются с 0.

Число таких перестановок Р3. Значит искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0,2,4,6 равно:

         Р4 – Р3= 4!-3!=                    Ответ: 18.

Задача №3.

Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники.

Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6 способами.

И в каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг равно произведению:    Р64=    

 Задача № 4.

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия.

Сколькими способами можно расставить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение:            Р6* Р2=

Ответ: 1440. 

Вторым видом комбинаций  являются размещения.

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d.

В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора.

 

a

b

c

a

c

b

b

a

c

                                                   

d

c

b

и т.д. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещениями из четырех элементов по три и обозначают А

                        

abc

abd

acb

acd

adb

adc

bac

bad

bca

bcd

bda

bdc

cab

cad

cba

cbd

cda

cdb

dab

dac

dba

dbc

dca

dcb

Из составленной таблицы видно, что таких комбинаций 24.

Размещением из n элементов по k  (nk) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n  элементов и обозначается А.

И необязательно каждый раз составлять схемы или таблицы. Достаточно знать формулу:

               А                           

Если размещения составляются из n элементов по n, то А

Задача 5.

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.

Решение:         А(способов).

Задача 6.

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.

Сколькими способами можно вложить в свободные места

а) 4 фотографии;

б) 6 фотографий.

Решение:  а) А

                 б) А

Задача 7.

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Объяснение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А.

Решение: А

Задача 8.

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Решение: а) А

                б) А  

Задача 9.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

А теперь рассмотрим такой сюжет:

Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех гвоздик.

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

 bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет

cde.

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

   Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается С

в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

                                    С

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

Решение:               С

Задача 10.

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:       С

Задача 11.

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С   способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С способами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С способами.

Решение:    С =    

Задачи для закрепления.

Задача I.

В классе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:        С

Задача II.

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение:       а) С     б)С

Задача III.

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение:  С

Задача IV.

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С.

                                        


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7779. Локк Дж. Педагогические взгляды 32 KB
  Дж. Локк Педагогические взгляды Свои педагогические взгляды Локк изложил в книге Мысли о воспитании (1693). Из всех людей, с которыми мы встречаемся, девять десятых являются тем, что они есть - добрыми или злыми, полезными или нет - благо...
7780. Фридрих Адольф Вильгельм Дистервег 31.5 KB
  Дистервег Фридрих Адольф Вильгельм Дистервег - немецкий педагог, прогрессивный либеральный политик. Выступал за секуляризацию школ. Педагогические идеи: Воспитание Дистервег выступал против сословных и национальных ограничений в области образования,...
7781. Древний Рим. Педагогические взгляды Квинтилиана 33.5 KB
  Древний Рим. Педагогические взгляды Квинтилиана. Ведущую роль в формировании личности юного римлянина играло домашнее воспитание. Дети получали религиозное воспитание. При этом отец выполнял функции жреца. Девочки и девушки находились под неусыпным ...
7782. Педагогические взгляды Древней Греции 36.5 KB
  Педагогические взгляды Древней Греции. Выделяют следующие периоды развития воспитания и образования в Древней Греции: Критомекенский период (4 тыс. до н.э. - 12 век до н.э) - считалось, что судьба человека предрешена богами Олимпа. Предп...
7783. Жизнь и педагогическая деятельность Константина Дмитриевича Ушинского 30 KB
  Жизнь и педагогическая деятельность Константина Дмитриевича Ушинского Константин Дмитриевич Ушинский (1824-1870) родился в Туле, в семье мелкопоместного дворянина, и провел свое детство и отрочество в имении...
7784. Зарубежные педагогически теории конца 19- начала 20 веков 39.5 KB
  Зарубежные педагогически теории конца 19- начала 20 веков Дьюи. Прагматизм в педагогике. Цель воспитания, по Дьюи - формирование личности, умеющей приспособиться к различным ситуациям в условиях свободного предпринимательства. Д. Дьюи и его послед...
7785. История педагогики как наука 30 KB
  История педагогики как наука. Одним из важнейших аспектов развития человеческого общества на протяжении всей его истории является социализация подрастающего поколения, представляющая собой совокупность социальных и психологических процессов, в ходе...
7786. Ушинский о педагогической науке и искусстве воспитания 28 KB
  К. Д. Ушинский о педагогической науке и искусстве воспитания. Ушинский указывал, что теория педагогики должна быть основана на использовании законов анатомии, физиологии, психологии философии, истории и других наук. Она должна открывать законы...
7787. Антон Семенович Макаренко 32 KB
  Макаренко Антон Семенович Макаренко родился в г. Белополье, бывш. Харьковской губернии, в семье мастера малярного цеха железнодорожных мастерских. Макаренко подверг острой критике буржуазную и мелкобуржуазную педагогику. Он писал, ч...