6082

Изгиб. Определение перемещении. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

Изгиб. Определение перемещении Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются. Перемещение центра...

Русский

2012-12-29

52.5 KB

26 чел.

Изгиб. Определение перемещении

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке (сечении) и обозначается v. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определять равный ему угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки (рис., где прогиб и угол поворота сечения даны для, точки А).

Для определения деформаций  балки   воспользуемся   уравнением

 

связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии;

где ; .

Подставляя это значение К в формулу, получаем

Уравнение представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).  Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.

Фактические значения углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять  рад, то и в этом случае величина  ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбрасывая  в знаменателе формулы, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, приведенной на рис. а, имеем одинаковые знаки для кривизны  и для момента М.

Следовательно, в этой системе координат следует пользоваться уравнением в виде

.

Для системы координат, принятой на рис. б, имеем разные знаки для  и М. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением  в виде

.

Для вычисления углов поворота  и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения, что может быть выполнено тремя способами: аналитическим, графо-аналитическим и графическим.

Рассмотрим аналитический способ.

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

,

где С—постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов

,

где Dвторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце. 

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной — допускаемым прогибом . Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки.

В машиностроении норма  допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах; в зависимости от назначения детали принимают

.

Наибольшие углы наклона опорных сечений валов на роликовых подшипниках не должны превосходить 0,001 рад.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39268. Разработка конструкции печатного узла регулируемого двухполярного блока питания 950.5 KB
  1 Выбор типа печатной платы односторонняя двухсторонняя; 15 16 4.2 Выбор материала печатной платы; 16 18 4.3 Выбор метода изготовления печатной платы; 18 19 4.6 Расчет размеров печатной платы узла; 23 24 4.
39269. Технико-экономический расчет и проектирование участка изготовления печатных плат для сборки изделия: Реле времени с годовой программой 115000 штук 1.12 MB
  1 Расчет количества оборудования коэффициента загрузки. Технические данные оборудования 2.7 Расходы по содержанию и эксплуатации оборудования 2. По мере развития и совершенствования интегральных схем происходит увеличение сложности и стоимости оборудования для их производства и контроля качества.
39270. Рабочее место электромонтажника 134 KB
  В современных производственных условиях рабочие монтажники радиоэлектронной аппаратуры должны уметь пользоваться сборочномонтажными чертежами читать электрические схемы знать слесарносборочные монтажные и регулировочные операции маркировку современных электрорадиоэлементов обнаруживать и устранять неисправности в собираемых изделиях знать правила безопасности труда. 4 Перечень НТД по охране труда безопасности работы руководящим должностным и производственным инструкциям № № инструкций Наименование инструкций 1 489 По охране...
39271. Устройство защиты аппаратуры от аномальных напряжений сети 284.32 KB
  Котова Устройство защиты аппаратуры от аварийного напряжения сети Радио 2008 № 8 с. Из сетевого напряжения ограничительным диодом VD2 формируется переменное близкое к прямоугольному напряжение амплитудой около 18 В. Варистор RU1 защищает симистор VS1 от бросков напряжения при коммутации нагрузки индуктивного характера. Контроль величины сетевого напряжения осуществляет встроенный АЦП микроконтроллера DD1.
39272. Машиностроительный комплекс 425.17 KB
  Изменение структуры занятости по отраслям хозяйственного комплекса и сферам приложения труда свидетельствует о развитии рыночных структур в экономике. Повышение специализации производства требует использования высокопроизводительного оборудования; внедрения новых методов технологии механизации и автоматизации производственных процессов; повышения уровня квалификации персонала и увеличения производительности труда это снижает себестоимость при одновременном улучшении качества что приводит к увеличению реализации росту прибыли и...
39273. Социология труда и менеджмента. (Ф. Тейлор, Э. Мейо) 17.07 KB
  Социология труда (в развитых государствах Запада чаще она именуется индустриальной социологией) начала развиваться в 20-30-х гг. XX века. Исследуя проблемы, связанные с социальной сущностью труда, индустриальная социология важным объектом анализа ставит социально-трудовые отношения.
39274. АНАЛІЗ АСОРТИМЕНТУ, СПОЖИВНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ І КОКУРЕНТОСПРОМОЖНОСТІ КОМП’ЮТЕРІВ, ЯКІ РЕАЛІЗУЮТЬСЯ В ТОВ «САВ-ДІСТРИБ’ЮШН» В М. ДОНЕЦЬК 727 KB
  Основні тенденції розвитку світового і вітчизняного ринку компютерів Фактори які формують асортимент і якість комп'ютерів Аналіз ринку компютерів в Україні та світі Нові технології в розвитку асортименту компютерів Обґрунтування та удосконалення класифікації компютерів РОЗДІЛ 2. Практичні аспекти реалізації оцінки якості компютерів 2. Споживні параметри компютерів та методи їх оцінки 2.
39275. Изыскание путей повышения эффективности производства на НПК «Динкома» на основе оценки товарной политики предприятия 698.5 KB
  Инновационная политика разработка новой продукции ее торговой марки и упаковки основа эффективности предпринимательской деятельности в рыночных условиях гарантия высоких конкурентных позиций фирмы. Планы поступательного развития компании в средне и долгосрочной перспективе должны основываться на реалистичной и хорошо продуманной стратегической программе обновления ассортимента продукции. В интересах сохранения объемов сбыта или достигаемого уровня рентабельности предприятию необходимо быть готовым к немедленной замене вырабатываемой...
39276. Разработка автоматизированной системы измерений параметров взаимодействия жидких кристаллов с поверхностью подложки 7.52 MB
  Для них характерна относительная свобода пространственного порядка молекул в одном или более измерениях. Наиболее распространены нематические ЖК у которых длинные оси молекулы вытянуты приблизительно параллельно друг другу. Схема выключенной монохромной ячейки Если к ячейке приложено электрическое поле оси молекул поворачиваются перпендикулярно электродам и структура перестаёт вращать плоскость поляризации падающего света который при этом поглощается вторым поляризатором и устройство выглядит темным. Схема установки с вращением ячейки по...