6082

Изгиб. Определение перемещении. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

Изгиб. Определение перемещении Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются. Перемещение центра...

Русский

2012-12-29

52.5 KB

26 чел.

Изгиб. Определение перемещении

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке (сечении) и обозначается v. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определять равный ему угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки (рис., где прогиб и угол поворота сечения даны для, точки А).

Для определения деформаций  балки   воспользуемся   уравнением

 

связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии;

где ; .

Подставляя это значение К в формулу, получаем

Уравнение представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).  Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.

Фактические значения углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять  рад, то и в этом случае величина  ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбрасывая  в знаменателе формулы, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, приведенной на рис. а, имеем одинаковые знаки для кривизны  и для момента М.

Следовательно, в этой системе координат следует пользоваться уравнением в виде

.

Для системы координат, принятой на рис. б, имеем разные знаки для  и М. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением  в виде

.

Для вычисления углов поворота  и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения, что может быть выполнено тремя способами: аналитическим, графо-аналитическим и графическим.

Рассмотрим аналитический способ.

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

,

где С—постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов

,

где Dвторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце. 

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной — допускаемым прогибом . Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки.

В машиностроении норма  допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах; в зависимости от назначения детали принимают

.

Наибольшие углы наклона опорных сечений валов на роликовых подшипниках не должны превосходить 0,001 рад.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30239. Оценка эффективности деятельности предприятий СКСиТ 85.5 KB
  Оценка эффективности деятельности предприятий СКСиТ. Понятие эффективности Для того чтобы предприятие могло сформировать основные направления своего развития и выработать соответствующую экономическую стратегию необходимо сформулировать критерии к которым оно должно стремиться и соответствующие показатели характеризующие выполнение этих критериев. В общем виде показатель экономической эффективности функционирования предприятия определяется в виде отношения результата к затратам необходимым для достижения этого результата. E = F R...
30240. Прогнозирование и планирование деятельности предприятий СКСиТ 66.84 KB
  Туристским организациям как национальным государственным так и частным постоянно требуются статистические данные для выявления тенденций на рынке туризма. Статистика туризма показывает где и на что туристы тратят деньги. Таким образом статистика туризма может предоставить информацию жизненно необходимую для многих видов коммерческой деятельности. Такие сведения представляют несомненную ценность для тех кто занимается планированием развитием и практической реализацией как международного так и внутреннего туризма.
30241. Назначение, состав, этапы разработки бизнес-плана предприятий СКСиТ 55 KB
  Назначение состав этапы разработки бизнесплана предприятий СКСиТ. Значение бизнесплана. Бизнесплан это документ описывающий все основные аспекты будущего коммерческого предприятия анализирующий проблемы с которыми может столкнуться фирма и способы их решения. Бизнесплан позволяет: всесторонне обосновать тот или иной проект или мероприятие; разработать стратегию и тактику поведения для достижения цели; определить финансовые результаты о реализации проекта.
30243. Влияние туризма на развитие экономики дестинации, эффект мультипликации в туризме 79 KB
  Влияние туризма на развитие экономики дестинации эффект мультипликации в туризме. Индустрия туризма является важнейшим участником мировой торговли; во многих странах именно поступления от туризма формируют основную часть доходов в иностранной валюте. Здесь следует дать и некоторые другие определения используемые в макроэкономике туризма. В такой ситуации развитие доходного туризма может существенно поправить положение.
30244. Организационно-правовые формы предпринимательской деятельности в СКСиТ 42 KB
  Общество с ограниченной ответственностью это учрежденное одним или несколькими лицами общество УК которого в соответствии с учредительными документами разделен на доли определенных размеров; участники ООО не отвечают по его обязательствам и несут риск в пределах стоимости внесенных вкладов. Общество с дополнительной ответственностью это учрежденное одним или несколькими лицами общество УК которого в соответствии с учредительными документами разделен на доли определенных размеров; участники ОДО солидарно несут субсидиарную...
30245. Экономические основы теории безубыточности предприятий СКСиТ 87.5 KB
  Общая характеристика затрат Целью любого коммерческого предприятия производящего продукцию или услуги является получение прибыли и чем больше прибыли оно получает тем лучше оно работает. Другими словами прибыль зависит от цены продукции и затрат себестоимости на ее производство. Но если цена продукции зависит от ситуации которая складывается на рынке то затраты на ее производство непосредственно зависят от финансовохозяйственной деятельности самого предприятия. Это видно из следующей формулы: ВД =V с с где ВД ...
30246. Понятие и структура основных фондов предприятий СКСиТ 86.5 KB
  Понятие и структура основных фондов предприятий СКСиТ. Понятие об основных фондах их классификация. Согласно новому положению по бухгалтерскому учету основных средств ПБУ 6 01 [Новое положение по бухгалтерскому учету основных средств ПБУ 6 01. Объекты основных средств стоимостью не более 2000 рублей за единицу могут списываться на затраты по мере отпуска их в производство или эксплуатацию.
30247. TCP/IP 626.5 KB
  Большинство персональных компьютеров задействованных в сети используют в настоящее время сетевые адаптеры типа Ethernet и Token Ring с заранее присвоенными встроенными уникальными идентификаторами МАСадресами которые делают IPадреса избыточными. Многие другие типы компьютеров имеют всевозможные адреса назначаемые сетевыми администраторами причем нет никакой уверенности в том что у другого компьютера в сети масштаба Интернета не будет точно такого же адреса. Так как IPадреса регистрируются централизованно можно быть уверенным что...