6082

Изгиб. Определение перемещении. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

Изгиб. Определение перемещении Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются. Перемещение центра...

Русский

2012-12-29

52.5 KB

26 чел.

Изгиб. Определение перемещении

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке (сечении) и обозначается v. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определять равный ему угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки (рис., где прогиб и угол поворота сечения даны для, точки А).

Для определения деформаций  балки   воспользуемся   уравнением

 

связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии;

где ; .

Подставляя это значение К в формулу, получаем

Уравнение представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).  Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.

Фактические значения углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять  рад, то и в этом случае величина  ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбрасывая  в знаменателе формулы, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, приведенной на рис. а, имеем одинаковые знаки для кривизны  и для момента М.

Следовательно, в этой системе координат следует пользоваться уравнением в виде

.

Для системы координат, принятой на рис. б, имеем разные знаки для  и М. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением  в виде

.

Для вычисления углов поворота  и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения, что может быть выполнено тремя способами: аналитическим, графо-аналитическим и графическим.

Рассмотрим аналитический способ.

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

,

где С—постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов

,

где Dвторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце. 

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной — допускаемым прогибом . Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки.

В машиностроении норма  допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах; в зависимости от назначения детали принимают

.

Наибольшие углы наклона опорных сечений валов на роликовых подшипниках не должны превосходить 0,001 рад.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22955. Західноєвропейська філософія нового часу 53 KB
  Просвітництво 18ст. Ідеалізм або матеріалізм залежить від того як співвідноситься почуття зі світом. Поза нами існує матеріальний світ незалежний від нас явища цього світу впливають на наші органи почуття в нас виникають чуттєві образи цих явищ. Перш ніж пізнавати навколишній світ і природу треба підготувати свою свідомість подолати перешкоди ідоли або примари свідомості.
22956. Естетика 50 KB
  Історичний матеріалізм це є поширення поглядів матеріалізму на суспільне життя на людську історію. Фактично ці умови життя визначаються напрямком нашої свідомості. Тобто поступово переходимо на іншу позицію що засадою нашого суспільства і життя не є розум. Світова воля Шопенгауер біологічне життя Ніцше несвідоме життя Фрейд.
22957. Особливості сучасної західної філософії. Вітчизняні філософські традиції 54 KB
  Антропологізм ця тенденція орієнтує філософію на дослідження людини і світу культури. Сутність тенденції виражають наступні ідеї: вивчення життя окремої людини стоїть вище є більш значним ніж вивчення великих людських спільнот класів народів націй. відмова від розуміння сучасної людини як свободної і розумної здатної переробляти світ. Відмова від такого розуміння і перехід до розуміння людини яка жорстко обумовлена економікою політикою релігією та ін.
22958. Проблема свідомості 62.5 KB
  Свідомість самосвідомість мова. Проблема свідомості одна з найбільш важливих для дослідження і одна з найбільш загадкових оскільки свідомість не існує як окремий предмет дослідження. Свідомість присутня в кожному образі думці поєднує наші почуття і думки. Свідомість завжди проявляється через якийсь конкретний зміст який виражається думками знаннями образами.
22959. Психіка людини 56 KB
  Голодна людина має енергію скеровану на пошук їжі. Людина народжується в суспільстві яке задає певні правила виховання. Людина деякі з цих правил бере добровільно в свою свідомість як ті правил яким вона буде підкорятись. Людина перестає контролювати себе і відчуває певне задоволення.
22960. ПИТАННЯ ПРО ПРИРОДУ ЛЮДИНИ 68 KB
  Питання сутності людини це питання про те які глибинні людські якості визначають специфіку людини і проявляється зовні в її природі. Природи людини дуже суперечлива. Наші біологічні властивості це лише передумови виникнення людини а якщо не буде соціальних умов то людина не виникне.
22961. Виявлення сутності суспільства 63 KB
  Пізнання. Уявлення про знання і пізнання. Теорія пізнання її предмет і метод. Чуттєве і раціональне пізнання.
22962. Форми раціонального пізнання 62 KB
  На їх основі створюються більш складні форми наукового пізнання: 1. Умовивід це форма мислення за допомогою якої з раніше встановленого знання або судження виводяться нові знанні нові судження. Напрямком сучасної західної філософії для якої головна проблема це зв’язок пізнання і розуміння герменевтика.
22963. Наукове пізнання 46.5 KB
  Це сукупність способів принципів пізнання прийомів і процедур якими керуються в тій або іншій галузі науки. Ця дисципліна входить до якоїсь галузі науки. Для сучасної науки в цілому характерним є методологічний плюралізм тобто вона прагне використовувати будьякі принципи і прийоми дослідження в їхньому сполученні і взаємодії. Питання етики науки.