6082

Изгиб. Определение перемещении. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

Изгиб. Определение перемещении Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются. Перемещение центра...

Русский

2012-12-29

52.5 KB

28 чел.

Изгиб. Определение перемещении

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке (сечении) и обозначается v. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определять равный ему угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки (рис., где прогиб и угол поворота сечения даны для, точки А).

Для определения деформаций  балки   воспользуемся   уравнением

 

связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии;

где ; .

Подставляя это значение К в формулу, получаем

Уравнение представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).  Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.

Фактические значения углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять  рад, то и в этом случае величина  ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбрасывая  в знаменателе формулы, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, приведенной на рис. а, имеем одинаковые знаки для кривизны  и для момента М.

Следовательно, в этой системе координат следует пользоваться уравнением в виде

.

Для системы координат, принятой на рис. б, имеем разные знаки для  и М. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением  в виде

.

Для вычисления углов поворота  и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения, что может быть выполнено тремя способами: аналитическим, графо-аналитическим и графическим.

Рассмотрим аналитический способ.

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

,

где С—постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов

,

где Dвторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце. 

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной — допускаемым прогибом . Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки.

В машиностроении норма  допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах; в зависимости от назначения детали принимают

.

Наибольшие углы наклона опорных сечений валов на роликовых подшипниках не должны превосходить 0,001 рад.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45687. Коммуникационный менеджмент. Задачи и функции коммуникационного менеджмента 33 KB
  Цель – достижение нового кач-ва развития орг-ции. Дб. Согласованный режим ком-ций, орг.как единая ресурсная система. Задача – согласование всех ком.потоков и направление ресурсного потока на достижение орг. Предмет – внутр.и внеш.ком-ции. Объект – орг-ция. Орг. – это группа людей, деят. кот.сознательно координируется и согласуется для достижения целей
45688. Модели межличностной коммуникации в организации. Критерии эффективности 34 KB
  Дисциплина и уважение Справедливое вознаграждение труда Корпоративность Подчиненность личных интересов общественным Разделение труда Полномочия и ответственность за принятие решений Единое направление деятельности Стабильность персонала Цель рациональное взаимодействие сотрудников и инфраструктуры. Цель коммуникационного менеджмента сплочение коллектива развитие личностных и профессиональных качеств сотрудников. Вовлечение сотрудников в формирование стратегических планов создание команд на основе мониторинга поддержка и защита...
45689. Норма современного русского языка. Толковые словари 43.5 KB
  Норма современного русского языка. Литературный язык форма общенародного языка понимаемая говорящими как образцовая. Возникает как необходимость существования единого общеупотребительного общераспространенного языка на территории единого государства. Сейчас выделяют 8 сфер бытования языка: мертвый язык памятников письменности устный язык диалектов русский язык употребляемый в грамотной речи язык русского зарубежья неисконно русская речь повседневный русский язык и просторечия научнотехнический и профессиональный...
45690. Словари современного русского языка 34.5 KB
  Словари современного русского языка По функциям и цели создания толковые словари разделяются на дескриптивные и нормативные. Дескриптивные словари предназначены для полного описания лексики определенной сферы и фиксации всех имеющихся там употреблений. Дескриптивными по определению являются словари сленгов и жаргонов диалектные словари. По характеру толковые словари разделяются на общие и частные.
45693. Разговорная речь в СМИ 27.5 KB
  Просторечие РР Публицистический стиль РР находится между просторечием и публицистическим стилем Особенности РР. Терминологический аппарат разработанный для книжной речи не подходит для изучения РР. Ее природа отлична от письменной книжной речи поэтому ее выводят из классификации стилей речи. Используется много слов которые вообще не имеют словоформ Междометноглагольные формы бряк шмяк туту Высказывания выражающие оценку Так себе не ахти ничего Словареакции релятивы Ерунда Подумать только Какое там Ну и что...
45695. Средства выражения личностного начала в журналистском тексте 35 KB
  Частица вот выражает десятки значений: Усиление значение привлечение внимания Вот в чем вопрос Удивление Вот новости Восхищение Вот это мастер Укоризна Вот тото же Вот именно Подведение итогов Вот такие расклады Резкое неприятие отказ Вот еще Возвращение к разговору Так вот Угроза Вот я тебе Мечтательность Вот бы предлоги и союзы дают возможность говорящему сформулировать с ювелирной точностью пространственно временные отношения между словами в тексте.