6082

Изгиб. Определение перемещении. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

Изгиб. Определение перемещении Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются. Перемещение центра...

Русский

2012-12-29

52.5 KB

25 чел.

Изгиб. Определение перемещении

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке (сечении) и обозначается v. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определять равный ему угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки (рис., где прогиб и угол поворота сечения даны для, точки А).

Для определения деформаций  балки   воспользуемся   уравнением

 

связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии;

где ; .

Подставляя это значение К в формулу, получаем

Уравнение представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).  Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.

Фактические значения углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять  рад, то и в этом случае величина  ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбрасывая  в знаменателе формулы, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, приведенной на рис. а, имеем одинаковые знаки для кривизны  и для момента М.

Следовательно, в этой системе координат следует пользоваться уравнением в виде

.

Для системы координат, принятой на рис. б, имеем разные знаки для  и М. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением  в виде

.

Для вычисления углов поворота  и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения, что может быть выполнено тремя способами: аналитическим, графо-аналитическим и графическим.

Рассмотрим аналитический способ.

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

,

где С—постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов

,

где Dвторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце. 

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной — допускаемым прогибом . Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки.

В машиностроении норма  допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах; в зависимости от назначения детали принимают

.

Наибольшие углы наклона опорных сечений валов на роликовых подшипниках не должны превосходить 0,001 рад.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46515. Россия на пути радикальной социально-экономической модернизации 18.33 KB
  Большинство граждан страны в течение нескольких месяцев оказались за чертой бедности. каждый гражданин страны получил приватизационный чек ваучер номинальной стоимостью 10 тыс. Но МВФ страны Большой семерки обещанные займы не предоставили ссылаясь на неустойчивую политическую ситуацию в России. экономическое развитие страны находилось в своеобразном плену у политического противостояния Правительства с Верховным Советом.
46516. Центральный рак легкого: дифференциальная диагностика, лечение 18.35 KB
  При дифференциальной диагностике центрального рака легкого приходится иметь в виду хроническую пневмонию туберкулез сегментарный пневмосклероз саркоидоз лимфогранулематоз аденому бронха. После нее возникают необратимый стеноз бронха и негомогенное затемнение соответствующего сегмента или доли легкого. обработка элементов корня легкого или удаляемой доли должна быть раздельной.
46517. Подходы и методы определения рыночной стоимости права арены земельных участков 18.35 KB
  Рыночная стоимость права аренды земельного участка зависит от правомочий арендатора срока действия права обременений права аренды прав иных лиц на земельный участок целевого назначения и разрешенного использования земельного участка. Рыночная стоимость права аренды земельного участка зависит от ожидаемой величины продолжительности и вероятности получения дохода от права аренды за определенный период времени при наиболее эффективном использовании арендатором земельного участка принцип ожидания. Общие рекомендации по проведению оценки При...
46518. Экспертиза безопасности оборудования, технологических процессов и производственных объектов 18.37 KB
  Действующие предприятия также подлежат сертификации на соответствие требованиям ОТ в течение последующих пяти лет до 1999г.94 № 485 О проведении обязательной сертификации постоянных рабочих мест на производственных объектах средств производства оборудования для средств коллективной и индивидуальной защиты устанавливает единый порядок проведения сертификации на соответствие требованиям ОТ. Предприятия ежегодно представляют перечень постоянных РМ на производственных объектах подлежащих обязательной сертификации на соответствие требованиям...
46519. Сбор, утилизация и захоронение твердых и жидких отходов 18.37 KB
  Сбор утилизация и захоронение твердых и жидких отходов. Громадные объемы производственных отходов только от горнодобывающей промышленности более 3 млрд. Методы и средства утилизации и ликвидации отходов зависят от их токсичности физического и химического состава и объемов. Наиболее значительная по объему свыше 60 часть твердых отходов инертные и малоразлагающиеся вещества используются для планировочных работ.
46520. Структура языкового знака. Аспекты знакового отношения (семантический «треугольник» Ч. К. Огдена и А. А. Ричардса) 18.38 KB
  Структура языкового знака. Таково определение языкового знака предлагаемое словарем. Значение знака идеально его внешняя форма материальна. Оптимальным способом анализа языкового знака в контексте данной работы является его осмысление как чисто субъективной субстанции существующей исключительно внутри сознания человека.
46521. Национально-государственное развитие СССР постсталинского периода и демократизация политического режима 1950-60-х гг 18.43 KB
  Национальногосударственное развитие СССР постсталинского периода и демократизация политического режима 195060х гг. Во внешней политике: проводилась идея мирного сосуществования двух систем рассматривались проблемы всеобщего разоружения перед СССР ставилась задача достижения и превышения уровня развития капиталистических стран с другой стороны усиливалась гонка вооружений. Хрущев был избран Первым секретарем ЦК КПСС и Председателем Совета Министров СССР совместив тем самым руководящие посты в партии и государстве и сосредоточив в своих...
46522. Великая Отечественная война (1941-1945 гг.) 18.51 KB
  Основные периоды Великой отечественной войны. от начала войны до начала наступления советских войск под Сталинградом. вышла из войны Италия. – завершающий период Великой Отечественной войны.
46523. Диффузные формы рака молочной железы. Дифференциальная диагностика. Клиника, диагностика и лечение 18.54 KB
  Паразитарные заболевания печени. Эхинококкоз печени. При перкуссии расширения границ печени. Периоды развития: латентный продромальных явлений прогрессивное увеличение печени период осложнений.