6082

Изгиб. Определение перемещении. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

Изгиб. Определение перемещении Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются. Перемещение центра...

Русский

2012-12-29

52.5 KB

26 чел.

Изгиб. Определение перемещении

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Под действием нагрузки балка искривляется. Сечения, балки перемещаются перпендикулярно первоначально прямой оси балки и одновременно поворачиваются.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке (сечении) и обозначается v. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определять равный ему угол между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки (рис., где прогиб и угол поворота сечения даны для, точки А).

Для определения деформаций  балки   воспользуемся   уравнением

 

связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии;

где ; .

Подставляя это значение К в формулу, получаем

Уравнение представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).  Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.

Фактические значения углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять  рад, то и в этом случае величина  ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбрасывая  в знаменателе формулы, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, приведенной на рис. а, имеем одинаковые знаки для кривизны  и для момента М.

Следовательно, в этой системе координат следует пользоваться уравнением в виде

.

Для системы координат, принятой на рис. б, имеем разные знаки для  и М. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением  в виде

.

Для вычисления углов поворота  и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения, что может быть выполнено тремя способами: аналитическим, графо-аналитическим и графическим.

Рассмотрим аналитический способ.

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

,

где С—постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов

,

где Dвторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце. 

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной — допускаемым прогибом . Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки.

В машиностроении норма  допускаемого прогиба колеблется в довольно широких пределах; в зависимости от назначения детали принимают

.

Наибольшие углы наклона опорных сечений валов на роликовых подшипниках не должны превосходить 0,001 рад.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79622. КРИМИНАЛЬНАЯ КУЛЬТУРОЛОГИЯ. ЧАСТЬ 1. МАСС-МЕДИА 196 KB
  Неоднократно высказывавшееся положение о том что средства массовой информации в результате переноса информации оказывают широкий спектр общего воздействия на ее получателей дают возможность для их подробного криминологического исследования.
79623. К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ КРИМИНОЛОГИИ: СТУДЕНЧЕСКИЙ ОПЫТ– 4 117 KB
  Основными участниками игры, как Вы поняли, стали три команды — «соперницы» (с одной стороны, бюджетное отделение, с другой стороны, коммерческое отделение, представленное в этом году сразу двумя командами). Были проведены многочисленные репетиции.
79624. ИСТОРИЧЕСКИЕ И СОЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ИЗУЧЕНИЯ ПРЕСТУПНОСТИ КРУПНОГО ГОРОДА ВОСТОЧНОЙ СИБИРИ 161.5 KB
  Иркутская область являясь субъектом Российской федерации входит в состав Восточно-Сибирского района. Имея 22 города в том числе 5 городов с населением свыше 100 тысяч человек большое количество поселков городского типа и население численностью 28 млн.
79625. ЗАМЕТКИ О РАЗВИТИИ ПРЕДМЕТНЫХ ДЕЙСТВИЙ В РАННЕМ ДЕТСТВЕ 81 KB
  Исследованию психологических механизмов возникновения предметных действий у детей в истории детской психологии не очень повезло. Несмотря на чрезвычайную теоретическую и практическую значимость этой проблемы, ее изучение только начинается.
79626. К ПРОБЛЕМЕ ПЕРИОДИЗАЦИИ ПСИХИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ В ДЕТСКОМ ВОЗРАСТЕ 167 KB
  Проблема периодизации психического развития в детском возрасте является фундаментальной проблемой детской психологии. Ее разработка имеет важное теоретическое значение поскольку через определение периодов психического развития и через выявление закономерностей переходов от одного периода...
79627. РАЗВИТИЕ ГОСУДАРСТВЕННО-ПРАВОВЫХ РЕФОРМ В СТРАНАХ, ОБРАЗОВАВШИХСЯ НА ОСНОВЕ РАСПАДА СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК: КЛАССИФИКАЦИОННЫЙ ПОДХОД 82 KB
  Одним из его наиболее значимых признаков является верховенство Конституции и законов на всей территории государства. Так например можно обозначить время принятия конституции после образования государства динамику становления национальной системы права направленность конституционных реформ...
79628. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ГОСУДАРСТВЕННО-ПРАВОВОГО СТРОИТЕЛЬСТВА В КОРЕЙСКОЙ НАРОДНОЙ ДЕМОКРАТИЧЕСКОЙ РЕСПУБЛИКЕ 145.5 KB
  На волне возросшего интереса к Корее появилось вместе с тем немало весьма поверхностных работ, в которых содержаться конъюнктурные оценки, и прослеживается позиция западных исследователей. В них обосновывалась неизбежность свертывания политических, экономических и военных отношений России...
79629. ГОСУДАРСТВО И МЕСТНОЕ САМОУПРАВЛЕНИЕ В ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАНАХ: ОТДЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ИЗ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ 84 KB
  Тем самым, идея местного самоуправления в зарубежных государствах, зародившись и развиваясь теоретически, практически смогла воплотиться лишь в период буржуазных революций. Возможным объяснением этого может явиться то, что « само становление же местного самоуправления было связано с процессами перехода...
79630. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 108.5 KB
  Принятие Федеральных законов О судебных приставах и Об исполнительном производстве предполагает необходимость существенного обновления нормативно-правовой базы исполнительного производства. Из статьи следует что законодательство Российской Федерации об исполнительном производстве состоит...