6194

Пряма у просторі і на комплексному кресленні

Реферат

Математика и математический анализ

Пряма у просторі і на комплексному кресленні Проектування прямої на дві площини проекцій При ортогональному проектуванні на площину пряма проектується у пряму (друга інваріантна властивість паралельного проектування). Тому для визначення проекції пр...

Украинкский

2012-12-30

241.5 KB

26 чел.

Пряма у просторі і на комплексному кресленні

Проектування прямої на дві площини проекцій

При ортогональному проектуванні на площину пряма проектується у пряму (друга інваріантна властивість паралельного проектування). Тому для визначення проекції прямої достатньо знати проекції двох нетотожних (рос. – нетождественных) точок, які належать цієї прямій.

Побудуємо проекції відрізку АВ , який показано на рис. 1, в системі П1П2.

Рисунок 1

Для цього спроектуємо відрізок на горизонтальну і фронтальну площини – з точок А і В опустимо перпендикуляри до площин через кінці відрізку (проведемо проектувальні промені).  Точки перетину проектувальних променів і площин проекцій (А1, А2, В1 і В2) є проекціями точок, рис. 2.

Рисунок 2

Тепер побудуємо епюр - сумістимо площину П1 з площиною П2, повернувши горизонтальну площину навколо осі х12 на кут 90О. Пряму на епюрі можна задати також не тільки проекціями її відрізку, але й проекціями деякої довільної частини прямої без фіксації її кінців, рис. 3.  

Рисунок 3

Креслення дозволяє судити про розташування прямої у просторі. Якщо подивитися на фронтальну проекцію А2В2, можна побачити, що точка В2 розташована вище, чим точка А2; це означає, що точка В у просторі розташована вище, чим точка А. З горизонтальної проекції А1В1 видно, що проекція А1 знаходиться далі від  осі проектування х12, чим проекція В1. Звідси можна зробити висновок, що  точка А у просторі розташована далі від фронтальної площини П2, чим точка В, або інакше, точка А ближче до нас, чим точка В.

Таким чином, ми одержали уяву про розташування прямої у просторі – коли пряма АВ видаляється від нас, вона підіймається вгору.

Подібне розбирання креслень називається їх читанням.

Горизонтальна проекція відрізку А1В1 може бути одержана шляхом проведення через відрізок АВ площини , яка є перпендикулярною до  горизонтальної площини проекцій П1, рис. 4.

Рисунок 4

Площина представляє собою трапецію АВВ1А1, яку заштриховано на рисунку 4. Площини, за  допомогою яких прямі проектуються на площини проекцій, називають проектуючими. Так площина проектує відрізок на горизонтальну площину проекцій і має назву горизонтально проектуюча. Площина АВ А2В2 проектує відрізок АВ на фронтальну площину проекцій. Вина носить назву фронтально проектуюча і означається буквою .

Проектування прямої на три площини проекцій

Введемо третю площину проекцій П3 – профільну і спроектуємо на неї відрізок АВ, рис. 5.

Рисунок 5

Для цього з точок А і В опустимо перпендикуляри на профільну площину проекцій П3. Точки, які одержані з’єднаємо прямою. Відрізок  А3В3  буде профільною проекцією відрізку АВ. Побудуємо комплексне кресленні. Для цього сумістимо площини П1 і П2 з профільною площиною проекцій П3. Таке креслення є більш наочним. Але (як відомо з минулої лекції) якщо відомо дві проекції точки, то завжди можна побудувати її третю проекцію. Якщо відомі дві проекції прямої, то завжди можна одержати третю.

Розглянемо приклад 1: побудувати третю проекцію відрізку СD,  якщо відомі його горизонтальна С1D1  і фронтальна С2D2 проекції, рис. 6.

Рисунок 6

Правіше від заданого відрізку (тобто двох його проекцій) проводимо ось z23у1 перпендикулярно до осі х12, рис. 7. Одержуємо точку О – начало координат. Для побудування профільної проекції точки с проводимо горизонтальну лінію зв’язку С2zС і продовжуємо її за ось z23. Через горизонтальну проекцію точки С1 проводимо лінію зв’язку С1уС. На осі у3  відкладаємо відрізок ОуС і продовжуємо лінію зв’язку до перетину з горизонтальною лінією зв’язку  С2zС у точці С3, яка є профільною проекцією точки С. Аналогічно визначаємо профільну проекцію точки D – точку D3. Якщо з’єднати точки С3 і D3 одержимо фронтальну проекцію відрізку С D – відрізок С3 і D3.

Рисунок 7

При необхідності можна визначити і записати координати точок С і D. Для цього необхідно поміряти абсциси хС і хD, ординати уС і уD, а також аплікати zС і zD. Для  розглянутого випадку,  якщо  прийняти одну клітку за одиницю вимірювання:  С(3; 2; 2) і D(1; 1; 1).

Відносне положення точки і прямої

Побудуємо горизонтальну проекцію прямої АВ за допомогою горизонтально-проектуючої площини , як показано на рис. 4. Лінія А1В1 – лінія перетину площини з горизонтальною площиною проекцій П1 є горизонтальною проекцією лінії АВ, рис. 8. Візьмемо на прямій АВ  точку С і побудуємо її горизонтальну проекцію С1. Для цього опустимо через точку С перпендикуляр (проектувальний промінь) на площину П1 і знайдемо точку зустрічі променя і площини – точку С1. Перпендикуляр, який опущений з точки С на площину П1, належить горизонтально проектуючій площині і вийти з неї не може, тому точка зустрічі буде лежати на лінії перетину площин W і П1, тобто у точці С1, яка лежить на горизонтальній проекції А1В1 прямої АВ.

Рисунок 8

Аналогічно можна довести, що фронтальна проекція С2 точки С буде лежати на фронтальній проекції А2В2 прямої АВ, рис. 8.

Рисунок 8

Отже, якщо точка належить прямій, то і її проекції належать однойменним їм проекціям цієї прямої:

С  АВ 

Точка С ділить відрізок АВ у певному відношенні, наприклад 1: 2 (див. рис. 9).

Рисунок 9

Продовжимо відрізок АВ і його проекцію А1В1 до взаємного перетину. При цьому утворюється відома з геометрії картина: сторони кута будуть перетинатись низкою паралельних між собою прямих АА1, СС1 і ВВ1. Як відомо, сторони кута будуть розсічені цими прямими на пропорційні частини, і можна записати, що , або, інакше, . Звідси можна сформулювати таке положення: якщо точка ділить відрізок прямої у даному співвідношенні, то проекція точки ділить проекцію відрізку прямої у  тому ж співвідношенні:

Для того, щоб знайти точку на прямій, яка знаходиться на однаковій відстані від горизонтальної і фронтальної площини проекцій є два методи: метод середньої лінії і метод накладення.

Пряма задана її двома проекціями. Знайти на ній точки, які є рівновіддаленими від площин П1 і П2.

Метод середньої лінії. Побудування проекцій шуканої точки С показано на рис. 10.

Рисунок 10

Відрізок А1А2 ділять точкою А0 на дві рівні частини. Відрізок В1В2 ділять точкою В0 також на дві рівні частини. З’єднують прямою точки А0 і В0. Будують точку С0 – точку перетину осі проекцій х12 і відрізку А0В0 . Від точки С0 проводять перпендикуляри до перетину з проекціями відрізку АВ. Точка перетину перпендикуляру і відрізку А1В1 – точка С1 буде горизонтальною проекцією шуканої точки С, а точка перетину перпендикуляру і відрізку А2В2  - точка С2 буде її фронтальною проекцією.

Метод накладення. Побудування проекцій шуканої точки С показано на рис. 11.

Рисунок 11

На вертикальній лінії зв’язку точки А будують точку А0. Таку, що відстань від неї до точки Ах дорівнює відстані від точки А1 до точки Ах: . Аналогічно будують точку В0: . З’єднують точки А0  і В0 прямою. Точка перетину відрізків  і  - точка С2 є фронтальною проекцією точки С. Точка перетину перпендикуляру, який опущений з точки С2, і відрізку А1В1 є горизонтальною проекцією точки С – точкою С2.

Сліди прямої

Точка перетину прямої з площиною проекцій називається слідом прямої.

Пряма загального положення (похила до усіх трьох площин проекцій) перетинає всі три площини проекцій, отже, вона має три сліди:

M - горизонтальний слід

N - фронтальний слід

P - профільний слід

Розглянемо пряму m, яку задано горизонтальною і фронтальною проекціями m1 і m2, рис. 12. Епюр показаний на рис. 13.

Рисунок 12

Рисунок 13

M1 - горизонтальна проекція горизонтального сліду;

M2 - фронтальна проекція горизонтального сліду;

N1 - горизонтальна проекція фронтального сліду;

N2 - фронтальна проекція фронтального сліду;

Для знаходження горизонтального сліду прямої необхідно:

1. на епюрі продовжити фронтальну проекцію прямої до перетину її з віссю х12;

2. з точки перетину M2 - фронтальної проекції горизонтального сліду, провести перпендикуляр до перетину з горизонтальною проекцією прямої;

3. точка перетину M1 є горизонтальною проекцією горизонтального сліду, яка співпадає з самим горизонтальним слідом M.

Алгоритм визначення горизонтального сліду виглядає так:

M = (m2  x12 = M2); (a  x12, M2  a); a  m1=M1.

Для знаходження фронтального сліду прямою необхідно:

  1.  на епюрі продовжити горизонтальну проекцію прямої до перетину її з віссю х12;
  2.  з точки перетину N1 - горизонтальної проекції фронтального сліду, провести перпендикуляр до перетину з фронтальною проекцією прямої;
  3.  точка перетину N2 - фронтальна проекція фронтального сліду, яка співпадає з самим фронтальним слідом N.

Алгоритм визначення фронтального сліду виглядає так:

N = (m1  x12 = N1); (b  x12, N1  b); b  m2 = N2.

Аналогічно визначається профільний слід прямої:

  1.  m2  продовжити до перетину з віссю z23.
  2.  з точки перетину P2 - фронтальної проекції профільного сліду, провести перпендикуляр до перетину з профільною проекцією прямої.

P = (m2  z23 = P2); (cz23,  P2  c); c  m3 = P3 

або  P = (m 1 z23 = P1); (d  y3, P1  d); d  m 3 = P3.

Натуральна величина відрізка прямої. Кути нахилу прямої до площин проекцій.

Ортогональна проекція відрізка [AB] прямої на площину проекцій буде конгруентна| оригіналу лише у тому випадку, коли відрізок є паралельним цій площині (властивість 6), тобто

([AB] П1) [A1B1]   [AB];

([CD] П2) [C2D2] [CD];

([EF] П3)  [E3F3] [EF].

У решті всіх випадків відрізок проектується на площину проекції із спотвореннями (рос. искажениями). При цьому ортогональні проекції відрізка завжди менші за його дійсну величину:

|A1B1| < |AB|; |A2B2| < |AB|; |A3B3| < |AB|.

Кутом нахилу прямої до площини називається кут між прямою і її проекцією прямої на цю площину. Пряма m, яка показана на рис. 14., є нахиленою до площини П1 під кутом , а  до площини П2 – під кутом . 

Рисунок 15

Нехай задана система площин П1П2 і відрізок AB, заданий своїми проекціями, рис. 16. Потрібно на епюрі визначити його натуральну величину |AB| і кути нахилу до площини П1 і до площини П2.

Рисунок 16

Для графічного визначення на епюрі Монжа дійсної (натуральної) величини відрізка досить побудувати прямокутний трикутник, узявши за один його катет горизонтальну (фронтальну, профільну) проекцію відрізка, а за інший катет - різницю видалення кінців відрізка від горизонтальної (фронтальної, профільної) площини проекцій. Тоді гіпотенуза трикутника буде рівна натуральній величині відрізка, а кут між гіпотенузою і проекцією буде рівний куту нахилу прямої до цієї площини.

Для визначення кута нахилу прямої до горизонтальної площини (кута ), побудови виконують на базі горизонтальної проекції.

Для визначення кута нахилу прямої до фронтальної площини (кута ), побудови виконують на базі фронтальної проекції.

Побудування показані на рис. 17.

Рисунок 17

Взаємне положення двох прямих

Прямі в просторі можуть перетинатися і схрещуватися. При цьому перетин може бути в невласній крапці. В цьому випадку прямі називають паралельними.

Паралельні прямі

Якщо прямі a і b паралельні одна одній (рис. 18), то дві горизонтально проектуючи площини і 1, які проведені  через них при проектуванні, виявляться  паралельними одна одній. З геометрії відомо, що дві паралельні площини перетинаються з третьою (з площиною П1) по паралельним прямим.  На рис. 18 такими прямими будуть a1 і b1, які є горизонтальними проекціями прямих a і b. Таким же шляхом можна доказати, що фронтальні a2 і b2  і профільні проекції a3 і b3 прямих a і b будуть паралельні одна одній.

Рисунок 18

З четвертої інваріантної властивості паралельного проектування слідує що:

(a, b)( a  b)  [(a1  b1)  (a2    b2)  (a3   b3)]

(1)

Для визначення, чи є паралельними прямі загального положення, досить визначити паралельність двох проекцій:

[(a1  b1)  (a2  b2)]  (a3  b3)

(2)

Якщо прямі паралельні будь якій площини проекцій, то умова (2) може не виконуватися. В цьому випадку ліва частина (2) є тільки необхідним, але недостатньою умовою. Питання про паралельність вирішується на площині, якій прямі паралельні.

Пересічні прямі

З третьої інваріантної властивості паралельного проектування слідує що:

(l  m = A)  (l1  m1 = A1)  (l2  m2 = A2)  (l3  m3 = A3)

(3)

Якщо прямі перетинаються в просторі, то їх однойменні проекції перетинаються, причому точка перетину проекцій лежить на одній лінії зв'язку.

Якщо одна з прямих профільна, то питання про перетин прямих вирішується на профільній площині проекцій, причому прямі перетинаються, якщо точки перетину фронтальної і профільної проекцій лежать на одній лінії зв'язку.

Прямі, що схрещуються

Якщо умови (1) і (3) не виконуються, то прямі схрещуються. Або, якщо прямі схрещуються в просторі, то їх однойменні проекції перетинаються, але точки перетину проекцій лежать не на одній лінії| зв'язку.


Питання для підготовки до модульного контролю

1. Побудувати третю проекцію прямої l.

2. Чи належить прямій l точки А, В, С?

 

3. Пряма задана l її двома проекціями. Знайти на ній точки, які є рівновіддаленими від площин П1 і П2 двома методами.

а)

б)

4. Для прямої з попереднього завдання визначити горизонтальний, фронтальний і профільний сліди.

5. Для прямої з завдання 3 визначити кути нахилу до площин П1 і П2.

6. Визначити натуральну величину відрізку АВ і кути нахилу його до площин П1 і П2.

Чи перетинаються вони?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4392. Численное решение уравнений в языке С++ 168.5 KB
  Численное решение уравнений в языке С++ Теоретические основы Предположим, нам нужно решить кубическое уравнение Это означает, что нужно найти корни уравнения – такие числа, которые обращают уравнение в ноль...
4393. Поиск на графе в С++ 116.5 KB
  Поиск на графе в С++ Представление графа в виде матрицы смежности Граф (graph) – это графическая схема, представляющая собой совокупность вершин (vertexes), соединенных между собой ребрами (edges). Иногда вершины также называют узлами (no...
4394. Анализ алгоритмов на примере программы на языке С++ 169.5 KB
  Анализ алгоритмов на примере программы на языке С++ Обычно одну и ту же задачу можно решить различными способами. Среди различных алгоритмов, с помощью которых можно решить задачу, естественно выбрать один – наилучший. Обычно лучшим считается т...
4395. Бизнес план компьютерного клуба Chicago 301 KB
  Резюме Данный бизнес-план представляет собой проект организации компьютерного клуба в г. Луганске на кв. Жукова д 2 кв 3. Специфической чертой планируемого клуба будет наличие доступа в интернет и возможность создания для клиентов компакт-дисков и D...
4396. Понятия суверенитета, территории, государственной границы и порядка ее пересечения физическими лицами 124 KB
  Понятия суверенитета, территории, государственной границы и порядка ее пересечения физическими лицами Суверенитет государства (фр.)- вся полнота законодательной, исполнительной и судебной власти государства на его территории, исключающая всяку...
4397. Перелік та коротка характеристика основних стилів. Комплексний стилістичний аналіз зразка 74 KB
  В мові виділяють п'ять стилів: художній, науковий, публіцистичний, розмовний та офіційно-діловий. Оскільки суспільні функції мови часто переплітаються, то й функціональні стилі не є відособленими один від одного, кожен з них містить елементи іншого.
4398. Общее равновесие и благосостояние в экономике 124 KB
  Частичное и общее равновесие в экономике. Частные и общественные блага. Линия возможных благосостояний. Парето-оптимальность и Парето-предпочтительность. Дифференциация доходов и проблема неравенства. Кривая Лоренца. Коэффициен...
4399. Понятие конвертируемости валюты (денежной единицы) страны 198.5 KB
  Введение Понятие конвертируемости валюты (денежной единицы) страны имеет в современной экономической теории размытые рамки, которые формально классифицированы, в частности, Международным валютным фондом создавшим за послевоенную историю нормативные ...
4400. Деньги и их характеристики. Инструменты кредитно-денежного регулирования 172.5 KB
  Деньгами в обширном смысле могут быть названы всякие знаки ценности, служащие для размена, приобретения других предметов, покупки или найма человеческого труда. Деньги - это общественный институт, который увеличивает богатство, снижая издер...