6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

61 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2034. Бенкет за столом з частковим обслуговуванням офіціантами: особливості меню, сервірування, обслуговування. 22.72 KB
  Бенкет за столом із частковим обслуговуванням офіціантами носить товариський або сімейний характер і є найбільш поширеним.
2035. Организация участка по ремонту топливной аппаратуры легковых автомобилей на городском СТО 25.95 MB
  Общая характеристика проектируемого предприятия, особенности устройства топливной аппаратуры дизельного двигателя. Расчет производственной программы предприятия, характеристика типовых неисправностей узла,
2036. Інвестиційний потенціал банківської системи України 10.2 MB
  Роль інвестицій у суспільному відтворенні еволюція теоретичних поглядів, Моделі врахування коливань у розмірах інвестицій. Роль банків у суспільному відтворенні. Декомпозиційний аналіз розвитку категоріально-понятійного апарату дослідження інвестиційного потенціалу банківської системи.
2037. Виховий захід. Ми всі – українські діти 33.5 KB
  Мета: виховати у дітях любов до Батьківщини, розвивати інтерес до національних надбань українського народу, розважити учнів, навчити їх добру і справедливості за допомогою гри.
2038. Аборт і його наслідки для репродуктивної функції 38.5 KB
  Проінформувати студентів про види, причини і наслідки абортів. Збагатити знання студентів, попередити про шкідливість абортів і їх наслідки. Виховувати серйозне ставлення студентів до репродуктивної функції.
2039. Вплив наркотиків і токсинів на самопочуття людини 38.5 KB
  Мета: сформувати уявлення про наркоманію як найбільш небезпечне соціальне явище, причини наркоманії та її профілактику.
2040. Нумо, хлопці! Виховний захід 40.5 KB
  Мета заходу: привітати хлопців із днем захисника Вітчизни, навчити бачити позитивні якості у кожній людині, розвивати художній смак, удосконалювати навички декламування.
2041. Урок-захід. У дружбі жити – не тужити 23.58 KB
  Мета: формувати уявлення дітей про дружбу і товаришування, вчити оцінювати свої вчинки і вчинки оточуючих людей, розвивати вміння аналізувати, робити висновки, виховувати дружелюбність, бажання бути другом.
2042. Бенкет-кава: особливості меню, сервірування, обслуговування 18.16 KB
  Бенкет-чай організовують у затишних невеликих залах, у яких встановлюють круглі й овальні столи, а якщо їх немає, то столи квадратної або прямокутної форми, стільці, крісла, напівкрісла, а іноді й дивани.