6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33373. Схема подключения клавиатуры к ОКМ с аппаратным исключением дребезга 29 KB
  Иключение дребезга контактов выполняется на основе RS триггеров. Схема клавиатуры с аппаратным исключением дребезга контактов.
33374. Схема подключения матричной клавиатуры к ОКМ 28 KB
  В подпрограмме обслуживания данного прерывания необходимо предусмотреть программное исключение дребезга контактов которое осуществляется с помощью временных задержек формирование и считывание кода нажатой клавиши Схема подключения матричной клавиатуры к МК.
33375. Состав модульного микроконтроллера SLC500 фирмы Allen Bradley 29.5 KB
  Шасси на 471013 слотов для установки модулей; Блок питания монтируется слева на шасси; Процессорный модуль SLS 5 01SLC 5 04; Входные дискретные модули переменного тока 1746I4816 1746IM4816; Входные дискретные модули постоянного тока 1746IB816 ITB16 IС16 IV816 IG16; Входной дискретный модуль c dc 1746IN16; Выходные дискретные модули переменного тока 1746O816 OP12; Выходные дискретные модули постоянного тока 1746OB816 OBP816 OV816 OVP16 OG16; Выходные релейные модули 1746OW4816 OX8;...
33376. Классификация СУ по степени совершенства 30.5 KB
  По степени совершенства и функциональным возможностям устройства ЧПУ делятся на следующие типы: NC Numericl Control УЧПУ для обработки изделий на станке по программе. все задачи в данных УЧПУ терминальная геометрическая логическая технологическая и диагностическая решаются на аппаратном уровне. В контурных УЧПУ типа NC основным элементом является интерполятор который обеспечивает обработку криволинейных поверхностей. Отличается от УЧПУ типа NC наличием электронного блока памяти.
33377. Классификация СУ по числу потоков информации. Разомкнутые и замкнутые СУ 29 KB
  Разомкнутые устройства ЧПУ называемые также импульсношаговыми характеризуются только одним потоком информации направляемым от программы управления к рабочему органу станка рис. Разомкнутые УЧПУ строят на основе применения силовых или несиловых шаговых двигателей ШД которые управляются устройствами управления шаговыми двигателями УУШД. Разомкнутое устройство ЧПУ Замкнутые устройства ЧПУ характеризуются двумя потоками информации: один поток поступает от программы управления а второй от датчиков обратной связи. Замкнутое устройство...
33378. Классификация СУ по числу потоков информации. Адаптивные СУ 29.5 KB
  Информация управляющей программы поступает в вычислитель УЧПУ который формирует сигналы задания перемещений по координатам. Сигнал задания и обратной связи поступают в сравнивающее устройство куда поступает также сигнал с датчика положения ИП измеряющего действительное перемещение стола. Сигнал рассогласования преобразованный в формирователе сигнала управления ФСУ поступает в устройство управления куда поступает также сигнал с тахогенератора датчика скорости. Сигнал сформированный в УУ преобразуется тиристорным преобразователем...
33379. Классификация СУ по виду движения исполнительных механизмов 27.5 KB
  По виду движения исполнительных механизмов станка определяемого геометрической информацией в программе УЧПУ подразделяются на устройства позиционного контурного комбинированного управления. Позиционное устройство ЧПУ это устройство обеспечивающее установку рабочего органа станка в позицию заданную программой управления станком чаще всего без обработки в процессе перемещения рабочего органа станка. Эти устройства применяются для управления станками сверлильно расточной группы. Контурное устройство ЧПУ представляет собой устройство...
33380. Принципы построения микропроцессорных СУ. Структура однопроцессорной СУ с одной магистралью 34.5 KB
  Схема микропроцессорной управляющей системы Расширители стандартных арифметических функций МП УЧПУ необходимы для повышения производительности МПС при выполнении операций входящих в базовый набор арифметических функций. Структуры однопроцессорных МПСУс одной магистралью Уже в однопроцессорных УЧПУ в полной мере определились основные принципы организации МПС УЧПУ обеспечивающие возможность расширения системы при сохранении функциональной гибкости и обеспечении надежности функционирования при малом времени восстановления в случае отказа. К их...
33381. Структура однопроцессорной СУ с двумя магистралями 35 KB
  Схема микропроцессорной управляющей системы Расширители стандартных арифметических функций МП УЧПУ необходимы для повышения производительности МПС при выполнении операций входящих в базовый набор арифметических функций. Примером реализации данной структуры являются УЧПУ 2С42 Маяк600. Уже в однопроцессорных УЧПУ в полной мере определились основные принципы организации МПС УЧПУ обеспечивающие возможность расширения системы при сохранении функциональной гибкости и обеспечении надежности функционирования при малом времени восстановления в...