6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85334. Поняття про складне порушення розвитку 38.45 KB
  У літературі та практиці на даний час не встановилася єдина термінологія одні й ті ж порушення можуть бути названі і складними і комплексними і множинними. Порушення розвитку може бути ізольованим одиничним або складним множинним. Одиничне порушення це порушення якоїсь однієї системи організму.
85335. Прояви порушення вищих психічних функцій при ДЦП 44.98 KB
  У цих дітей рухові розлади поєднуються з психічними та мовними порушеннями і вони потребують психологопедагогічної та логопедичної корекції. Інші вищеназвані категорії дітей з порушеннями опорнорухового апарату як правило не мають порушень пізнавальної діяльності і не вимагають спеціального навчання і виховання. Порушення опорнорухового апарату можуть бути наслідком поліомієліту різних вроджених і набутих деформацій рухового апарату ряду спадкових і вроджених захворювань.
85336. Вплив порушення зору на формування особистості людини-інваліда. 49.76 KB
  Тіфлопсіхологіі як розділ спеціальної психології що вивчає психічний розвиток осіб з порушенням зору отримала свою назву від грецького tiphlos сліпий і спочатку займалася лише психологією сліпих. 81] В даний час обєктом вивчення тіфлопсіхологіі є не тільки сліпі але й особи що мають глибокі порушення зору. Тіфлопсіхологіі вивчає закономірності та особливості розвитку осіб з порушенням зору формування компенсаторних процесів що забезпечують відшкодування недоліків інформації повязаних з порушенням діяльності зорового аналізатора...
85337. Визначення поняття «дитячий церебральний параліч» 39.89 KB
  Вони виникають з самого народження дитини і існують протягом усього життя. Головною причиною ДЦП вважається гіпоксія нестача кисню або ядуха дитини в утробі матері або відразу після народження. Хоча в більшості випадків тяжкість родів визначається вже наявними порушеннями внутрішньоутробного розвитку дитини. Після пологів спровокувати недуга може і гемолітична хвороба новонароджених так звана ядерна жовтяниця при якій відбувається інтоксикація головного мозку дитини.
85338. Діагностика порушень зору 38.28 KB
  Діагностика порушень зору процедура необхідна для кожної людини. В ідеалі діагностику порушень зору необхідно проходити раз на рік для того щоб своєчасно встигнути виявити захворювання на початковому етапі його розвитку. Діагностика порушень зору передбачає аналіз здатності людського ока чітко розглядати обєкти розташовані у видаленні та поблизу від очей а також дається оцінка полю зору і здатності розрізняти кольори.
85339. Соціально-психологічні особливості людини з порушеннями роботи внутрішніх органів 38.6 KB
  Розкриваючи соціальнопсихологічні особливості людини з порушеннями роботи внутрішніх органів зупинимося на таких соматичних захворюваннях: цукровий діабет онкологічні захворювання та бронхіальна астма. Цукровий діабет Цукровий діабет ендокринне захворювання обумовлене абсолютною або відносною інсуліновою недостатністю що приводить до порушення всіх видів обміну речовин перш за все вуглеводного ураження судин нервової системи а також інших органів і тканин. Причинами виникнення цукрового діабету можуть бути порушення центральної...
85340. Психологічні проблеми сімейного виховання дітей з обмеженими можливостями 37.62 KB
  У звязку зі станом дитини змінюється поведінка дорослих у родині виникають проблеми з якими батьки не можуть упоратися самостійно: порушується взаємодія із соціальним оточенням; коло спілкування становлять близькі родичі спеціалісти; виражена тривога і неспокій батьків викликані відставанням дитини в розвитку від однолітків; відсутність необхідних знань з психології і педагогіки аномальної дитини; відсутність досвіду роботи з психологом на ранніх етапах розвитку дитини; пасивність позиції матері у відносинах фахівець мати дитина ....
85341. Соціально-психологічні особливості людини з порушеннями опорно-рухового апарату 39.38 KB
  У них вище ніж у інших інвалідів самооцінка; вони відчувають себе найбільш особистісно сильними найменше виражена депресивність. У цієї категорії інвалідів міжособистісні відносини взагалі стабільні і благополучні вони не виглядають відгородженими ізольованими від інших людей. Проте насправді все це є прямо протилежне: у цих інвалідів виявляється значна психологічна дезадаптація їх самооцінка суперечлива. Їх загальне відношення до оточуючих більш негативне ніж у інвалідів I і II групи з дитинства.
85342. Предмет і завдання спеціальної психології 37.66 KB
  Психологія людини з обмеженими можливостями розглядається в межах окремої галузі психологічної науки що вивчає закономірності психічного розвитку й особливості психічної діяльності дітей і дорослих із психічними й фізичними недоліками спеціальної психології. Спеціальна психологія це галузь психологічної науки яка вивчає своєрідність психічного розвитку осіб з психофізичними порушеннями...