6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

60 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80477. Математические загадки лесных жителей 369 KB
  Цель: повторить прием составления таблицы деления отработать решение задач на два действия. Развивать мышление, память, внимание, творческое воображение, последовательность рассуждений при решении примеров, задач. Воспитывать любовь к природе, бережное к ней отношение.
80479. Письмове додавання трицифрових чисел без переходу через розряд. Прості задачі на додавання. Розширена задача на спосіб зведення до одиниці 51.5 KB
  Ознайомити учнів із прийомом письмового додавання трицифрових чисел без переходу через розряд; удосконалювати вміння учнів розв’язувати прості задачі на зведення до одиниці; узагальнювати вміння розв’язати рівняння; розвивати мислення; виховувати інтерес до математики та казок
80480. Запис і читання трицифрових чисел. Випадки додавання й віднімання трицифрових чисел, пов’язаних з нумерацією 1.31 MB
  Мета: формувати вміння читати і записувати трицифрові числа в нумераційну таблицю, закріпити додавання і віднімання розрядних чисел та додавання і віднімання одиниці, вдосконалювати вміння розв’язувати складені задачі на «зменшення», «збільшення» на кілька одиниць, задач геометричного змісту...
80481. СУСПІЛЬНО-ПОЛІТИЧНИЙ ЛАД І ПРАВО УКРАЇНИ ПІСЛЯ ПЕРЕМОГИ ЛЮТНЕВОЇ ДЕМОКРАТИЧНОЇ РЕВОЛЮЦІЇ (лютий—жовтень 1917 р.) 38.27 KB
  Тимчасовий уряд та його органи в Україні. Законодавство Тимчасового уряд. За згодою між лідерами Тимчасового комітету і керівництвом Петроградської Ради робітничих і солдатських депутатів був утворений Тимчасовий уряд. Через кризи прорахунки та помилки коаліційний Тимчасовий уряд представлений кадетами народними соціалістами меншовиками та есерами вів країну до Установчих зборів котрі як він сподівався мали розвязати кардинальні питання її нового буття.
80482. УКРАЇНСЬКІ ЗЕМЛІ ПІД ВЛАДОЮ РЕЧІ ПОСПОЛИТОЇ 106.5 KB
  ЗАГАЛЬНИЙ ІСТОРИЧНИЙ ОГЛЯД Після Люблінської унії 1569 року Велике князівство Литовське втратило не лише свої землі а й державне значення. Перше велике козацькоселянське повстання вибухнуло у 1591 році і тривало до 1593 року. Восени 1595 року все українське Правобережжя і ПівденноСхідна Білорусія опинилися в руках повстанців. Згідно зі статтями Переяславської угоди від 29 травня 1630 року козаки визнавали свою провину однак не підлягали покаранню за участь в повстанні.
80483. УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВА ТА ПРАВО В РОКИ ВИЗВОЛЬНОЇ ВІЙНИ. ЕВОЛЮЦІЯ ДЕРЖАВНО - ПРАВОВОЇ СИСТЕМИ (середина ХVІІ – ХVІІІ ст.ст.) 218 KB
  Політичне та економічне становище України було дуже тяжким. Український історик і юрист Андрій Яковлів підкреслював що українським проектом договору гарантувалася повнота внутрішньої автономії держави й усувалося будьяке втручання влади московського царя у внутрішні справи України. Самостійність України визнавалась і на міжнародній арені. Спочатку і Москва ставилась до України як до вільної держави.
80484. УТВОРЕННЯ УКРАЇНСЬКОЇ РАДЯНСЬКОЇ РЕСПУБЛІКИ. ДЕРЖАВА І ПРАВО УСРР В РОКИ ГРОМАДЯНСЬКОЇ ВІЙНИ І ВОЄННОЇ ІНТЕРВЕНЦІЇ 122.5 KB
  Радянське державне будівництво в Україні в умовах громадянської війни та воєнної інтервенції весна 1918 кінець 1920 рр. в Україні розгорталися в загальному контексті громадянської війни на території Росії. Під час збройної боротьби на політичну арену вийшли різноманітні отамани діяльність яких стала однією з характерних рис громадянської війни в Україні. Більшовики спираючись на допомогу радянської Росії докладали чимало зусиль щоб відновити в Україні радянську владу.
80485. СУСПІЛЬНО-ПОЛІТИЧНИЙ ЛАД І ПРАВО УКРАЇНИ В ПЕРІОД З ПОЧАТКУ XX ст. до 1917 року 27.16 KB
  Кожний стан поділявся на групи становища які мали особливі тільки їм надані законом права та обов\'язки. У Луганську та Катеринославі Ради розпустили міські думи і провели роботу по підготовці виборів нового складу цих органів на засадах загального та рівного виборчого права. Вона містила норми про права підданих яких не було в попередніх редакціях Основних законів. Джерела права.