6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2636. Изучение затухающих колебаний 298.5 KB
  Изучение затухающих колебаний Цель работы: изучение электрических собственных колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные катушку с индуктивностью L, конденсатор с емкостью С и резистор с сопротивлением R. Теоретические положения...
2637. Определение емкости конденсатора и батареи конденсаторов 371 KB
  Определение ёмкости конденсатора и батареи конденсаторов  Цель работы: определение ёмкости конденсатора и батареи из двух конденсаторов при их параллельном и последовательном соединении. Описание установки В состав лабораторной установки входят...
2638. Изучение магнитного поля соленоида создаваемых вдоль оси длинной и короткой катушек 493.5 KB
  Изучение магнитного поля соленоида Цель работы: определение магнитных полей, создаваемых вдоль оси длинной и короткой катушек. Описание лабораторной установки и вывод расчётных зависимостей Примерная картина магнитного поля на оси короткой и...
2639. Моделирование электростатических полей 893.5 KB
  Моделирование электростатических полей Цель работы: определение расположения эквипотенциалей, построение силовых линий электрических полей, задаваемых электродами различной конфигурации, и построение качественной зависимости напряжённости электричес...
2640. Україна в часи хрущовської відлиги, застою та перебудови (1965 – 1991 рр.) 148 KB
  Україна в часи хрущовської відлиги, застою та перебудови (1965 – 1991 рр.). План  Україна в період лібералізації суспільно-політичного життя в Радянському Союзі (середина 50-х – середина 60-х ...
2641. Україна в другій світовій війні та перші повоєнні роки (1939-1954 рр.) 122.5 KB
  Україна в другій світовій війні та перші повоєнні роки Зміст  Українські землі напередодні та на початку другої світової війни.  Україна в роки Великої Вітчизняної війни. Україна у повоєнний період (друга половина 40-х – перша п...
2642. Определение работы выхода электрона из металла методом прямых Ричардсона 138.5 KB
  Определение работы выхода электрона из металла методом прямых Ричардсона Приборы и принадлежности. Лабораторная панель, блок питания накала Б5-70, блок питания анода Б5-70, универсальный вольтметр В7-27. Введение. Принцип работы большинства электров...
2643. Залучення випускників шкіл до навчання в МНУ імені В.О. Сухомлинського 126.5 KB
  Виховний захід на тему: «Залучення випускників шкіл до навчання в МНУ імені В.О. Сухомлинського» Миколаївський національний університет імені В. О. Сухомлинеького (до 21 серпня 2010 року — Миколаївський державний університет імені В. О. Сухомли...
2644. Профессиональная ориентация школьников старших классов 58 KB
  Внеклассное мероприятие «Профессиональная ориентация школьников старших классов» В современном мире существует огромное разнообразие профессий. В подростковом возрасте достаточно сложно сделать правильный выбор высшего учебного заведения, без помощи...