6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

61 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33698. Дела о карманных кражах 14.9 KB
  К числу обстоятельств подлежащих установлению при расследовании краж относятся: 1 имела ли место кража; 2 время место и условия ее совершения; 3 предмет кражи что похищено преступником его стоимость признаки; 4 кому принадлежало похищенное; 5 способ совершения кражи; 6 субъект кражи кем она совершена; 7 не совершена ли кража преступной группой если да степень виновности каждого участника группы; 8 место время и способ сбыта краденого; 9 обстоятельства смягчающие или отягчающие ответственность виновных; 10 причины и...
33699. Разбои и грабежи 14.7 KB
  Кроме того разбои и грабежи часто совершаются группами на базе которых складываются особо опасные преступные формирования совершающие бандитские нападения вымогательство и т. Грабежи и разбойные нападения направленные на завладение государственным имуществом или имуществом коммерческих структур на хранилища денежных средств. Среди способов разбоев и грабежей можно выделить следующие 1 нападения на открытой местности либо в помещении совершаемые с использованием фактора внезапности без применения насилия рывки сумок шапок денег у...
33700. Криминалистическая характеристика преступлений 11.16 KB
  Открытый характер и дерзость совершения этих преступлений то впечатление которое они производят на потерпевших и очевидцев обусловливают значительный общественный резонанс чему способствует и относительно низкая раскрываемость грабежей и разбоев подчас групповой характер этих преступлений.
33701. КРИМИНАЛИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МОШЕННИЧЕСТВА 12.34 KB
  При мошенничестве подлежат установлению следующие обстоятельства:1имело ли место мошенничество; 2 место время условия способ совершения мошенничества; кто был очевидцем преступления; 3 наличие преступного умысла; 4 предмет мошенничества какая сумма денег была незаконно получена мошенником; 5 объект посягательства государственная или общественная организация коммерческая структура частное лицо; 6 данные о личности преступника место работы трудовая характеристика...
33702. КРИМИНАЛИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УБИЙСТВ 12.38 KB
  В зависимости от объема и характера первичной информации имеющейся в распоряжении следователя на момент возбуждения уголовного дела все убийства могут быть разделены на две группы: 1так называемые очевидные убийства факт совершения которых не вызывает сомнения и к началу расследования которых известно лицо совершившее это преступление; 2убийства совершенные в условиях неочевидности. Обстоятельства подлежащие доказыванию по делам об убийствах: 1 факт убийства; 2 место время и способ...
33703. Особенности расследования убийств при обнаружении частей расчлененного трупа 12.37 KB
  Особенности расследования убийств при обнаружении частей расчлененного трупа. При обнаружении частей расчлененного трупа перед следователем стоит задача найти все части тела убитого установить его личность и выявить убийцу. Иногда части расчлененного трупа отправляются багажом по железной дороге в различные пункты. При обнаружении нескольких или всех частей расчлененного трупа путем судебномедицинской экспертизы требуется установить: 1 являются ли обнаруженные части трупа частями тела человека; 2 принадлежат ли они одному трупу; 3 пол...
33704. Особенности расследования убийств, замаскированных под самоубийство 12.06 KB
  Особенности расследования убийств замаскированных под самоубийство Неотложными следственными действиями в делах связанных с инсценировкой самоубийства являются осмотр места происшествия и трупа допрос заявителя и лиц близко знавших погибшего освидетельствование подозреваемого обыск и выемка а также проведение судебномедицинской экспертизы в тех случаях когда судебномедицинское исследование трупа не проводилось до возбуждения уголовного дела. Допрос заявителя и лиц хорошо знавших погибшего производится по широкому кругу вопросов...
33705. Особенности расследования убийств при возбуждении дел по факту обнаружения трупа неизвестного с признаками насильственной смерти 12.26 KB
  Особенности расследования убийств при возбуждении дел по факту обнаружения трупа неизвестного с признаками насильственной смерти. При обнаружении трупа неизвестного лица с признаками насильственной смерти будут приняты меры к установлению личности погибшего. При обнаружении трупа неизвестного лица он прежде всего будет предъявлен для опознания тем кто оказался на месте происшествия в момент его осмотра. Если лицо убитого обезображено перед предъявлением для опознания будет произведён туалет трупа.
33706. Поведение с лицами находящимися в бессознательном состоянии 10.87 KB
  100 Устава патрульнопостовой службы милиции общественной безопасности. 18 комментируемого Закона оказание помощи в том числе первой доврачебной гражданам пострадавшим от преступлений административных правонарушений и несчастных случаев а также находящимся в беспомощном или ином состоянии опасном для их жизни опасность для здоровья в данном случае законодателем исключена является одной из служебных обязанностей сотрудника милиции которые ему предписано выполнять независимо от занимаемой должности места нахождения и времени....