6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66307. Генетика як наука. Методи генетичних досліджень 49.5 KB
  Генетика це наука про закономірності спадковості та мінливості організмів. Ген це ділянка молекули нуклеїнової кислоти яка визначає спадкові ознаки організмів. Спабковість це властивість живих організмів передавати свої ознаки й особливості...
66308. ABC-party (позакласний захід для учнів 2 класу) 49 KB
  And hold him in my hands. It is blue, and green, and red, It bounces higher, that my head, It does not want to stop at all What is it? It is my ball. I was in a bed and badly ill, My skipping-rope was so still. But now in the sunny weather, We’ll go in the street together.
66309. Adjective. Прикметник 667 KB
  Look at the clock. Час почати наш урок. Good morning, children! P: Good morning, teacher! T: Sit down, girls. Sit down, boys. T: How are you today? P: I am OK, thank you. Учні запитують один одного «How are you today?» T: It is very good, that you are all OK today.
66310. Эхо Афганских гор 32.5 KB
  Добрый день уважаемые гости и присутствующие в этом зале. Ведущий 2: Сегодня вы имеете возможность услышать рассказы непосредственно воинов афганской войны которые пришли на нашу встречу. Перечисляются фамилии гостей воинов интернационалистов...
66311. «Опаленні долею» вечір-реквієм до річниці виводу військ із Афганістану 37 KB
  Добрый день уважаемые гости Ведущий 2: Здравствуйте все кто пришел на эту встречу Ведущий 1: Мы благодарны всем кто не забыл что в сегодняшний день в далеком 1989 году Ограниченный Контингент Советских войск был выведен из Республики Афганистан где долгие 9 лет шли боевые действия.
66312. Функционально-семантический анализ частицы «как бы» в поэзии Ф.И. Тютчева 475 KB
  Поиск употреблений «как бы» в поэзии Тютчева и составление контекстного тезауруса. Выявление семантических свойств «как бы» в отдельных тютчевских текстах. Обнаружение общих закономерностей (моделей) в функционировании «как бы». Сопоставление «как бы» с синонимичными единицами с целью установления общего и различного в их функционировании...
66313. Цікаве акушерство 95 KB
  Навіть банальна застуда з її можливими ускладненнями у дівчинки може призвести до виникнення проблем під час майбутньої вагітності. Виникає так звана прееклампсія що інколи призводить до переривання вагітності Як цього уникнути Дуже просто. Особливу увагу слід звернути на запобігання небажаній вагітності.
66314. Let’s become closely acquainted with Foggy Albion 74.5 KB
  Hello everybody! Glad to see you! Ladies and gentlemen! Welcome to Albion, where according to Bernard Shaw the mist is considered to be good weather, the rain is considered to be the fog, and the shower is said to be the rain. The Sun there looks like the Moon, and the Moon looks like cheese.
66315. Слова протилежні за значенням (антоніми) 1.25 MB
  Слова протилежні за значенням антоніми. Обладнання: картинки дня і ночі картки з тестами завдання для роботи в парах малюнок равлика та коня таблички зі словами девізу уроку. Багатозначними є слова: а сміливий золотий; б гребінець ключ лінійка; в шарф злий.