6200
Основные теоремы дифференциального исчисления
Реферат
Математика и математический анализ
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...
Русский
2014-12-28
64.72 KB
62 чел.
2
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.
Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда при : , .
При : , .
Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲
Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.
Теорема Ролля (о среднем). Пусть функция :
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале ;
3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).
Тогда существует т. , такая, что .
Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲
Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.
Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале .
Тогда существует т. , такая, что .
(или , эта формула называется формулой конечных приращений).
Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что или:
, откуда . ▲
х
В
А
с
в
а
у
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.
Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.
А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.
Правило Лопиталя
предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .
Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или бесконечен):
.
Пример1. .
Пример 2. .
Пример 3. .
Пример 4. .
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
54557. | Отношения собственности и их реализация | 18.04 KB | |
В системе экономических отношений собственность всегда ассоциируется с определенными вещами, благами, продуктами интеллектуального труда. Но это лишь формы материализации собственности. | |||
54558. | Сон – залог здоровья | 90 KB | |
Задачи: расширить представление о сне; проделать опыты и упражнения, показывающие влияние сна на здоровье человека; сделать выводы, предложить здоровые нормы поведения перед сном; воспитывать потребность в здоровом образе жизни. | |||
54559. | Сущность, место и роль государственной собственности | 18.58 KB | |
Собственность относится к числу наиболее важных и сложных проблем экономики, и экономической теории. История экономической жизни общества в периоды повышенной социальной активности ведет, как правило, к перераспределению объектов и прав собственности. | |||
54560. | Основные черты рыночной экономики. Функции рынка | 19.07 KB | |
Современная экономика всех развитых государств носит рыночный характер, это объясняется тем, что рыночная экономика оказалась наиболее эффективной и гибкой для решения основных экономических проблем. | |||
54561. | Основні методи доведення нерівностей | 255.5 KB | |
Мета: освітня: систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами: використання означення нерівності доведення від супротивного використання відомої нерівності виділення квадрата двочлена застосування ключових нерівностей; перевірити та встановити рівень оволодіння учнями способів доведення нерівностей вміння та навички у нестандартних ситуаціях творчість учнів у завданнях найвищого рівня завданнях олімпіадного характеру; повторити глибоко осмислити навчальний матеріал з метою формування... | |||
54562. | Розробка уроків (пар) алгебри для 9-го класу з теми «Нерівності» | 865 KB | |
Разом з розвязаними вправами вправами для розвязування біля дошки приклади для самостійного розвязку учнями роботою з картками домашніми завданнями завданнями для повторення матеріалу за попередні класи та теми все це є єдиним цілим для вчителя який візьме дану розробку і буде спиратися на неї як на свій власний конспект. Включення ж до теми методу інтервалів є логічним кроком при розгляді теорії нерівностей адже він просто губиться при подальшому викладанні і при нагоді може слугувати методом розвязування квадратичних... | |||
54563. | Розвязування квадратичних нерівностей | 231 KB | |
Мета уроку: Формувати вміння та навички з розвязування Квадратичних нерівностей; розвивати логічне мислення, мову учнів; виховувати цікавість до математики, культуру математичних записів. Тип уроку: урок формування вмінь і навичок. Обладнання: компютера, таблиці. | |||
54564. | Лінійні нерівності з однією змінною | 51.5 KB | |
Мета уроку: систематизувати і узагальнити знання учнів по темі продовжити формувати практичні навики по розвязуванню нерівностей; на прикладах показати учням застосування нерівностей до практичних задач; стежити за дотриманням учнями графічної культури; розвивати математичну мову логічне мислення; вчити учнів працювати з підручником. Що називається розв`язком нерівності Що означає розвязати нерівність 4. Сформулювати властивості які використовуються при розвязуванні нерівностей. Ті учні які під час попередньої... | |||
54565. | Первые экономические школы. Меркантилисты и физиократы | 18.69 KB | |
В эту эпоху экономической идеологией молодой торговой буржуазии был меркантилизм (от mercantile — торговый). Меркантилисты не были профессиональными учеными, как правило, это были выходцы из купцов, мелких и средних буржуа. Они точно определили способы получения крупных состояний: торговля, кредит, война. | |||