6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9320. Приватизация жилья 24 KB
  Тема №20: Приватизация жилья. Приватизация - бесплатная передача в собственность граждан РФ на добровольной основе занимаемых или жилых помещений в государственном...
9321. Безвозмездное пользование имуществом 42.5 KB
  Тема №21: Безвозмездное пользование имуществом. Понятие и элементы договора (договор ссуды) По договору безвозмездного пользования имущества одна сторона ссудодатель обязуется передать или передает вещь в безвозмезд...
9322. Общие положения о договоре подряда 60 KB
  Тема №22: Общие положения о договоре подряда. Общие положения По договору подряда одна сторона (подрядчик) обязуется выполнить по заданию другой стороны (заказчика) определенную работу и сдать результаты заказчику, а заказчик обязуется принять р...
9323. Договор бытового подряда. 46 KB
  Тема №23: Договор бытового подряда. Понятие ДБП. По ДБП подрядчик, осуществляющий соответствующую предпринимательскую деятельность, обязуется выполнить по заданию гражданина (заказчика) определенную работу, предназначенную удовлетворить бытовые ...
9324. Договор строительного подряда 45.5 KB
  Тема №24: Договор строительного подряда. Понятие ДСП. Его условия. По договору строительного подряда одна сторона (подрядчик) обязуется в установленный договором строк построить по заданию заказчика определенный объект либо выполнить иные строит...
9325. Подрядные договоры для государственных и муниципальных нужд 35 KB
  Тема №25: Подрядные договоры для государственных и муниципальных нужд. Понятие, стороны договора. Подрядные строительные работы проектные и изыскательные работы предназначены для удовлетворения государственных и муниципальных нужд, осуществляютс...
9326. Договор подряда на выполнение проектных и изыскательных работ 37.5 KB
  Тема №26: Договор подряда на выполнение проектных и изыскательных работ. Понятие и элементы договора. По договору выполнение проектных и изыскательных работ подрядчик (корректировщик, изыскатель) о...
9327. Договор на выполнение научно-исследовательских опытно-конструкторских и технологических работ (НИР, ОКР) 35.5 KB
  Тема №27: Договор на выполнение научно-исследовательских опытно-конструкторских и технологических работ (НИР, ОКР) -1- Понятие договора По договору на выполнение НИОКР исполнитель обязуется провести обусловленные ...
9328. Широкая Масленица - Проводы зимы ( 2013г.) 30.65 KB
  Широкая Масленица - Проводы зимы ( 2013г.) Под музыку выбегают зазывалы и скоморохи: 1 - Подходи, честной народ! Всех веселый праздник ждет! 2 - Приходите, торопитесь наши милые друзья! 3 - Отдыхайте, веселитесь, здесь скучать никак нельзя! 4 - Всех...