6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19411. Генезис науки. Основные этапы развития науки 32 KB
  Генезис науки. Основные этапы развития науки. Относительно возникновения науки существуют пять точек зрения: 1Наука была всегда начиная с момента зарождения человеческого общества так как научная любознательность органично присуща человеку; 2Наука возникла в Дре...
19412. Техника. Этапы развития 28 KB
  Техника общее название различных преспособлениймеханизмов и устройствне существуемых в природе и созданных человеком. Техника это судьба человечества сопровождающая его с момента пробуждения сознания. Первоначально в эпоху каменного века техника была орудием уб...
19413. Технические достижения древних земледельческих цивилизаций 31 KB
  Технические достижения древних земледельческих цивилизаций Техника это совокупность действий знающего человека направленных на господство над природой. Цель их придать жизни человека такой облик который позволил бы ему снять с себя бремя нужды и обрести нужну
19414. Наука и техника в античном мире 29 KB
  Наука и техника в античном мире. До VII века до н. э. Греция была периферией ближневосточной цивилизации. Греки учились у Востока: они позаимствовали у финикийцев алфавит и конструкцию кораблей у египтян искусство скульптуры и начала математических знаний. Греция была
19415. Наука и техника эпохи Возрождения 35.5 KB
  Наука и техника эпохи Возрождения. Эпоха Возрождения ─ особый период в европейской истории. С одной стороны это расцвет искусства возрождение античности гуманизм. Но с другой стороны рушились прежние ценности установки. Формировалась новая концепция человека ─ реш...
19416. Научная революция в Европе XVII столетия 31 KB
  Научная революция в Европе XVII столетия. XVII столетие важнейший этап в развитие научного познания. С этого века начинается процесс утверждения науки в качестве доминирующей формы постижения бытия. В умах людей утверждается представление о познаваемости мир...
19417. Достижения научного и технического прогресса в советском государстве (период НЭПа и форсированной индустриализации) 46.5 KB
  Достижения научного и технического прогресса в советском государстве период НЭПа и форсированной индустриализации. Восстановление страны после гражданской войны преодоление социальноэкономического кризиса в целом к середине 20х гг. завершилось. Но перед советск
19418. Наука в годы Великой Отечественной войны. Роль техники во Второй Мировой войне 28 KB
  Наука в годы Великой Отечественной войны. Роль техники во Второй Мировой войне Важный вклад в победу над фашизмом внесли советские ученые: физики создавали теоретические и экспериментальные предпосылки для конструирования новых видов вооружения; математики разработ
19419. Понятие информации. Виды информации. Роль информации в живой природе и в жизни людей. Язык как способ представления информации 88 KB
  Понятие информации. Виды информации. Роль информации в живой природе и в жизни людей. Язык как способ представления информации: естественные и формальные языки. Основные информационные процессы: хранение передача и обработка информации. Общепринятого определения инфо