6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

62 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78494. Воспитание экологической культуры детей старшего дошкольного возраста в процессе трудовой деятельности 52.54 KB
  Воспитание экологической культуры детей старшего дошкольного возраста в процессе трудовой деятельности Решение глобальных экологических проблем возможно на основе обращенности педагогической науки к вопросу воспитания экологической культуры личности. Объект исследования: процесс экологотрудового воспитания детей старшего дошкольного возраста. Гипотеза исследования состоит в том что воспитание экологической культуры дошкольников на прямую зависит от включения детей старшего дошкольного возраста в экологотрудовой деятельность т....
78495. Специфика организации театрализованных игр старших дошкольников в ДОУ 50.6 KB
  В последние годы возросло внимание дошкольных работников к театрализованным играм которые представляют собой сложный вид деятельности детей и воспитателей. Педагогпрактик Т Неменова в работе ldquo;Развитие творческих проявлений детей в процессе театрализованных игрrdquo; отмечает что театр одно из ярких эмоциональных средств формирующих вкус детей. Новоселова считает что театральноигровая деятельность обогащает детей новыми впечатлениями знаниями и умениями развивает интерес к литературе и театру формирует диалогическую...
78496. Исследование уровня музыкально-психомоторного развития у детей подготовительной группы 40.67 KB
  Исследование уровня музыкально-психомоторного развития у детей подготовительной группы Сохранение и укрепление здоровья дошкольников одна из актуальнейших проблем нашего времени. Оптимизации двигательной активности детей в режиме детского сада способствуют занятия музыкально-ритмическими движениями которые являются одним из самых привлекательных видов деятельности ребенка. Определенная метрическая пульсация музыкального произведения с которой связаны движения ребенка вызывает согласованную реакцию всего организма ребенка а...
78497. Сенсорное развитие детей подготовительной к школе группы в продуктивных видах деятельности (рисовании) 61.93 KB
  Предмет исследования: определение уровней сформированности восприятия цвета детьми подготовительной к школе группы в рисовании. Цель объект предмет позволили определить задачи исследования: Изучить психолого-педагогическую методическую литературу по проблеме сенсорного развития детей; Описать особенности восприятия цвета детьми дошкольного возраста; Определить уровни сформированности восприятия цвета детьми подготовительной к школе группы МДОУ № 93 г. Гипотеза исследования предполагает что целенаправленная систематическая работа по...
78498. Развитие креативности у детей младшего школьного возраста 81.32 KB
  Развитие креативности у детей младшего школьного возраста Актуальность темы исследования обусловлена современным общественным развитием стремлением психолого-педагогической науки преодолеть негативные последствия как социального так и образовательного экспериментирования. Таким образом проблема развития креативности детей младшего школьного возраста занимает большое место в современной психологии и является актуальной. Цель: исследование специфики креативности детей младшего школьного возраста. Предмет исследования: процесс развития...
78499. Развитие креативности младших школьников в условиях игровой деятельности 123.53 KB
  Развитие креативности младших школьников в условиях игровой деятельности Актуальность исследования проблемы креативности детей младшего школьного возраста обусловлена необходимостью развития творческих качеств личности созданием условий для формирования основных компонентов творческого мышления. Задача развития креативности общей способности к творчеству стоит и перед первой образовательной ступенью начальной школой. Развитие креативности имеет свои особенности в каждом возрастном периоде причем различные факторы влияющие на...
78500. Арт-техники в практике индивидуальной работы психолога с подростками 1.03 MB
  Рисунок который был сделан на первой встрече называется Мое настроение рисунок. Кате сначала было сложно включиться в работу но когда она сосредоточилась то быстро изобразила рисунок на предложенную тему. Она работала старательно и помощи ей не потребовалось в течение всего занятия она ясно поняла что и как надо сделать. Рисунок полученный в результате был очень темным и скудным по своей экспрессии и имел диагностический характер.
78501. Влияние научно – исследовательской деятельности старшеклассников на развитие креативности 43.82 KB
  Влияние научно исследовательской деятельности старшеклассников на развитие креативности Креативность является сравнительно новой психологической характеристикой появившейся в психологии в начале 50х гг. Исследования креативности за рубежом начались раньше чем в России. Активно разрабатываются и адаптируются западные диагностические методики измерения креативности на российских выборках. Исследование креативности и организации школьных научных обществ с различных точек зрения больше носит теоретико-эмпирический характер и имеет...
78502. Развитие креативности в старшем школьном возрасте 67.58 KB
  Развитие креативности в старшем школьном возрасте На современном этапе в российском обществе в социально-экономической сфере науке технике происходят глобальные изменения. Научный интерес вызывают концепции креативности Дж. Цель исследования: изучение специфики и особенностей развития креативности в старшем школьном возрасте. Предмет исследования процесс развития креативности в старшем школьном возрасте.