6200

Основные теоремы дифференциального исчисления

Реферат

Математика и математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...

Русский

2014-12-28

64.72 KB

61 чел.

2

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда  при :    ,          .

При :    ,          .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

 Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

 Теорема Ролля (о среднем).  Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

 Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

 Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

 Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что   .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

 Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке ,  дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что     или:

, откуда . ▲

х

В

А

с

в

а

у

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей и .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или  бесконечен):

.

Пример1.  .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16718. ДОБЫЧА ЗОЛОТА МЕТОДАМИ ГЕОТЕХНОЛОГИИ 109.5 KB
  Геотехнология определяется как метод добычи цветных, редких и благородных металлов путем их избирательного растворения химическими реагентами на месте залегания и последующего извлечения образованных в зоне реакций
16719. Бактериальное выщелачивание 40 KB
  Бактериальное выщелачивание избирательное извлечение химических элементов из многокомпонентных соединений посредством их растворения микроорганизмами в водной среде. Благодаря Б. в. появляется возможность извлекать из руд отходов производства и т. д. ценные...
16720. Влияние вторичных процессов на извлечение золота при сорбционном выщелачивании 53.5 KB
  УДК.669.21/23 Влияние вторичных процессов на извлечение золота при сорбционном выщелачиванииКустова Л.А. начальник ЦЗЛ ГМЗ2 Центрального рудоуправления НГМК; Коротовских Г.А. зам. начальника ЦЗЛ ГМЗ2 Центрального рудоуправления НГМК Золотосодержащие руды отличаются бо...
16721. Влияние концентрации цианистого натрия и тонины помола на извлечение золота и серебра из пульпы 65.5 KB
  УДК 622 Влияние концентрации цианистого натрия и тонины помола на извлечение золота и серебра из пульпыДубов А.А. начальник цеха сорбции и регенерации ГМЗ2 Центрального рудоуправления НГМК С момента пуска Гидрометаллургического завода № 2 НГМК в эксплуатацию на нем с
16722. ВОЗМОЖНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОГО ОБОГАЩЕНИЯ УПОРНЫХ ПРОМПРОДУКТОВ ЗОЛОТОИЗВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ФАБРИК 84.5 KB
  ВОЗМОЖНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОГО ОБОГАЩЕНИЯ УПОРНЫХ ПРОМПРОДУКТОВ ЗОЛОТОИЗВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ФАБРИК Евтушенко М.Б. ОOО НТЦ Магнитные жидкости Посысоева Д.С. МГГУ Упорными промпродуктами золотоизвлекательных фабрик ЗИФ являются хвосты доводки гравиоконцентратов пред...
16723. ВОЗМОЖНОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ ПРОМЫШЛЕННОГО ИСПОЛЬ-ЗОВАНИЯ НЕЦИАНИСТЫХ РАСТВОРИТЕЛЕЙ ЗОЛОТА И СЕРЕБРА 93.5 KB
  ВОЗМОЖНОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ ПРОМЫШЛЕННОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕЦИАНИСТЫХ РАСТВОРИТЕЛЕЙ ЗОЛОТА И СЕРЕБРА Современная металлургия золота основана на использовании цианистого процесса который успешно применяется в мировой практике уже более 115 лет обеспечивая получен...
16724. Выбор рационального расхода рабочих растворов при кучном выщелачивании золота 70 KB
  Выбор рационального расхода рабочих растворов при кучном выщелачивании золота Д. Е. Толстов Г. 2000 г. УДК 669.213:66.094.6 Штабели укладываемой руды при кучном выщелачивании золота могут достигать сотни метров в высоту более двух километров в длину и километр в ширину. Разли
16725. ВЫЩЕЛАЧИВАНИЕ ЗОЛОТА С ПОМОЩЬЮ АЗОТ- И СЕРОСОДЕРЖАЩИХ ГЕТЕРОЦИКЛИЧЕСКИХ АРОМАТИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ 258.5 KB
  ВЫЩЕЛАЧИВАНИЕ ЗОЛОТА С ПОМОЩЬЮ АЗОТ И СЕРОСОДЕРЖАЩИХ ГЕТЕРОЦИКЛИЧЕСКИХ АРОМАТИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ Имя изобретателя: Кристьянсдоттир Сиграйдью Соул US; Томпсон Джеффри Скотт US Имя патентообладателя: Е.И.Дю Пон Де Немурс энд Компани USАдрес для переписки: Дата начала ...
16726. Геологическая деятельность бактерий 143 KB
  Геологическая деятельность бактерий Бактерии способны осуществлять процессы приводящие к разрушению или образованию месторождений полезных ископаемых минералов и горных пород а также к миграции отдельных элементов. Изучение этих процессов важно для наших теоретич...