62136

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

Лекция

Математика и математический анализ

Определение. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой) на X, если существует последовательность простых интегрируемых на X функций, сходящаяся равномерно к f. Интегралом Лебега функции f на множестве X называется предел интегралов от функций

Русский

2014-09-21

627 KB

25 чел.

Тема 4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

1. Интеграл Лебега от простой функции

Числовая функция , заданная на измеримом пространстве  с конечной мерой , называется простой, если она принимает конечное или счётное число различных значений и является измеримой.

Теорема 1. Функция f является простой тогда и только тогда, когда , где множества  измеримы и  принимает постоянное значение  на множестве , k=1,2,.

Теорема 2. Для любой измеримой функции , заданной на измеримом пространстве (X,,) существует последовательность  простых функций, сходящаяся к  в каждой точке x. Если функция f ограничена на X, то последовательность  можно выбрать равномерно сходящейся. Если , то можно выбрать  так, чтобы последовательность  была неубывающей.

Пусть  – простая функция, принимающая значения ,  при . Обозначим через , тогда .

Функция f называется интегрируемой по Лебегу, если ряд  сходится абсолютно. Если функция f интегрируема, то сумма этого ряда называется интегралом Лебега функции f, т.е.

.

Теорема. Пусть  и пусть на каждом Bi функция f принимает значение . Тогда

,

причём функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.

Свойства интеграла Лебега от простой функции.

  1.  ,

причём из существование интегралов в правой части следует существование интеграла в левой;

  1.   для всех ,

причём из существование интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части;

3) ограниченная на X простая функция f интегрируема на X, причём, если  на X, то

.

2. Интеграл Лебега на множестве конечной меры.

Пусть задано (X,,) – пространство с конечной мерой и f : XR измеримая функция.

Определение. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой) на X, если существует последовательность простых интегрируемых на X функций , сходящаяся равномерно к f. Интегралом Лебега функции f на множестве X называется предел интегралов от функций :

.

Различие в определениях интеграла Римана и интеграла Лебега заключается в том, что при составлении интегральных сумм Римана разбиение производится по признаку близости точек на оси OX, а при составлении интегральных сумм Лебега – по признаку близости значений функции.

Основные свойства интеграла Лебега по множеству конечной меры:

1) для любого измеримого множества

;

2) если  – интегрируемы по Лебегу, то функция , где , интегрируема по Лебегу и справедливо равенство

;

3) если f – измеримая ограниченная функция, то она интегрируема по Лебегу;

4) если f – интегрируемая функция и , то

;

5) если f – интегрируемая функция и , то

;

6) если  – интегрируемые функции и , то

;

7) если , где  – интегрируемая, а  – измеримая, то f интегрируема по Лебегу;

8) если , где  – интегрируемые, а f – измеримая функция, то f – интегрируема.

9) если f – интегрируемая функция, а g – ограниченная  измеримая функция, то  – интегрируема, причём

.

10) если f интегрируема на X, то f интегрируема на любом измеримом подмножестве из X и

,

(это свойство называется аддитивностью интеграла Лебега);

11) функции f и  интегрируемы или неинтегрируемы одновременно, причём справедлива оценка

;

12) если , то ;

13) если  почти всюду на X, то ;

14) если  почти всюду, то ;

15) если , то  почти всюду на X.

3. Абсолютная непрерывность и σ-аддитивность интеграла Лебега

Теорема 1 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега).

Пусть  – интегрируемая на множестве A функция. Тогда для всех  существует , что  для всякого измеримого множества  такого, что .

Теорема 2 (σ-аддитивность интеграла Лебега).

Пусть f – измеримая функция по множеству A и пусть ,  – измеримые множества. Тогда f интегрируема по каждому  и , причём ряд сходится абсолютно.

Теорема 3. Если , f интегрируема на каждом  и ряд  сходится, то функция f интегрируема на A и .

4. Предельный переход под знаком интеграла Лебега

Особенно заметны преимущества интеграла Лебега над интегралом Римана, когда мы имеем дело с предельным переходом. В случае интеграла Римана перемена порядка операций интегрирования и перехода к пределу требует установить факт равномерной сходимости последовательности подынтегральных функций. В случае интеграла Лебега подобных трудностей нет. Это вытекает из трёх следующих результатов, играющих центральную роль в теории интегрирования.

Теорема (Лебега о мажорированной сходимости).

Пусть (X,,) – пространство с мерой,  и  – последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду к . Если существует интегрируемая функция  такая, что  (для всех ), то f – интегрируема и

.

Теорема (Беппо-Леви о монотонной сходимости).

Пусть (X,,) – пространство с мерой и ,  – монотонно возрастающая последовательность интегрируемых функций и пусть существует , что  для всех . Тогда почти всюду существует конечный предел , функция f интегрируема и .

Следствие 1. Пусть  – последовательность неотрицательных интегрируемых функций и пусть числовой ряд  сходится. Тогда почти всюду сходится ряд  и

.

Следствие 2. Пусть  и пусть f – измеримая функция такая, что  существует и ряд  сходится. Тогда f интегрируема и .

Теорема (Фату). Пусть (X,,) – пространство с мерой и  – последовательность неотрицательных интегрируемых функций, , обладающая свойствами:

  1.   на X,
  2.   для всех n.

Тогда функция  интегрируема и .

5. Интегрирование по множеству бесконечной меры

Пусть (X,,) – пространство с σ-конечной мерой. В силу определения σ-конечности существует неубывающая последовательность измеримых множеств , для которых  для всех k и .

Введём сначала понятие интеграла Лебега по множеству бесконечной меры в случае неотрицательной функции.

Пусть  на X и f – измеримая. Поскольку все  – измеримы, то имеют смысл и конечны , причём , поэтому существует предел .

Пусть  существует и конечен, тогда функция f называется интегрируемой по Лебегу на множестве с σ-конечной мерой и .

Данное определение корректно и не зависит от выбора расширяющейся системы .

Пусть теперь f – измеримая функция произвольного знака. Рассмотрим функции  и , тогда , . Функция f называется интегрируемой по Лебегу на X, если на X интегрируемы обе функции  и . При этом, по определению .

Нетрудно показать, что для интегрируемости измеримой функции f необходимо и достаточно, чтобы  была интегрируема.

Множество X с σ-конечной мерой  может быть представлено в виде счётного объединения попарно непересекающихся множеств , т.е. , . В этом случае измеримая функция f называется интегрируемой на X, если сходится ряд . Интегралом Лебега интегрируемой функции f называется число .

Все свойства, установленные для интегралов Лебега по множеству конечной меры, остаются справедливыми и по множеству σ-конечной меры, включая теоремы о предельном переходе.

6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

Для простоты рассмотрим эту связь в одномерном случае.

Теорема 1. Если для функции, заданной на [a,b], существует собственный интеграл Римана , то она интегрируема и по Лебегу и её интеграл Лебега  равен интегралу Римана.

Теорема 2. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множестве её точек разрыва имело меру нуль.

Из этой теоремы, в частности, следует теорема об интегрируемости по Риману монотонной функции (так как множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно).

Пусть функция f неограничена на полуинтервале [a,b[ и интегрируема по Риману на любом промежутке [a,b-]. В этом случае речь идёт о несобственном интеграле Римана

,

если предел существует и конечен. Несобственный интеграл Римана называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 3. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла  необходимо и достаточно, чтобы f была интегрируемой по Лебегу на [a,b]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство .

Рассмотрим интегрирование по множеству бесконечной меры. Пусть функция определена на промежутке [a,+[ и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b]. Тогда несобственный интеграл Римана по промежутку [a,+[ определяется как предел

.

Если предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся; его называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 4. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла Римана необходимо и достаточно, чтобы функция f была интегрируема по Лебегу на [a,+[. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство .

Примеры решения задач

Задача 1. Выяснить, интегрируемы ли по Лебегу на отрезке [0; 1] следующие функции:

  1.  , если , ;
  2.  , .

Решение. 1) Функция  является неограниченной, поэтому по Риману она не интегрируема. f измерима, так как принимает счётное число значений на измеримых множествах , и является простой. Для интегрируемости функции f необходимо, чтобы ряд

сходился абсолютно. Но ряд  расходится, поэтому f не интегрируема по Лебегу.

2) Рассматриваемая функция  также является простой, принимающей три значения: 1, -1 и 0. А именно:  на множестве ,  на  и  на . Множества  открыты, а поэтому измеримы. Кроме того

,

.

Счётное множество  также измеримо и . Поэтому

.

Задача 2. Интегрируема ли по Риману, по Лебегу функция , если да, то вычислить интеграл.

Решение. Функция  не интегрируема по Риману, так как она разрывна в каждой точке, за исключением точек , , то есть мера её точек разрыва не меньше 1. Действительно, для   Q и  такие, что  и , но , а , при этом , то есть интервал ]0,1[ – подмножество множества точек разрыва функции.

Выясним, интегрируема ли функция по Лебегу. Так как эквивалентные функции интегрируемы или неинтегрируемы одновременно и их интегралы совпадают, заменим f на эквивалентную функцию

, ,

(, так как ).

Функция  непрерывна и интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу и имеет место равенство

.

Задача 3. Вычислить интеграл Лебега от функции ,

где  – канторово множество,  – его дополнение.

Решение. Функция  эквивалентна на отрезке [0; 1] функции

так как . Поэтому

.

Задача 4. Вычислить интеграл Лебега от функции  на отрезке [0; 1], если  в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат треугольники, опирающиеся на эти интервалы, как на основания, высоты 1.

Решение. Воспользуемся аддитивностью интеграла Лебега и представим интеграл в виде суммы двух интегралов: первый по канторову множеству, он будет равен нулю, так как , а второй – по его дополнению.

; , ;  ;

и так далее.

Следовательно, .

На каждом  функция непрерывна и поэтому интегрируема по Риману. Интеграл Римана равен площади треугольника значит,

.

Задача 5. При каких значениях параметров  и  функция , x]0,1[

  1.  интегрируема по Лебегу,
  2.  несобственно интегрируема по Риману.

Решение. Неограниченная на отрезке [a;b] функция интегрируема по Лебегу в том случае, когда она абсолютно интегрируема по Риману в несобственном смысле.

1 случай: .

Данный интеграл сходится абсолютно, если . Действительно, подынтегральная функция по модулю эквивалентна , следовательно , то есть .

Итак, при  функция интегрируема по Лебегу при .

Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы интеграл сходился условно. Используя признак Дирихле, получаем

, следовательно .

2 случай: .

.

Интеграл сходится абсолютно, если , то есть . Следовательно, при  функция интегрируема по Лебегу, если . Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы , следовательно .

Итак, функция  интегрируема по Лебегу при  () и  (); по Риману при .

Задача 6. Вычислить интеграл Лебега по интервалу ]0,+[ от функции .

Решение. Интервал ]0,+[ – пространство с -конечной мерой, так как  и  [k, k+1[ = 1 < +. На каждом полуинтервале [k, k+1[ функция  является простой, так как  при x  [k, k+1[.

.

Задача 7. Исходя из определения интеграла Лебега, вычислить

,

где  – характеристическая функция множества .

Решение. Построим для измеримой функции ,  последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся на [0; 1] к . А именно, для  положим  на множестве , . Тогда последовательность  является искомой. Кроме того, поскольку , то  для . Следовательно, последовательность равномерно сходится к .

,

так как  и поскольку множество  рациональных чисел имеет меру нуль.

Задача 8. Найти предел

.

Решение. Рассмотрим функциональную последовательность

, , .

Для каждого

.

Кроме того, эта функциональная последовательность имеет мажоранту

, .

Неотрицательная функция g интегрируема по Риману в несобственном смысле, поэтому она интегрируема по Лебегу. Следовательно, по теореме Лебега f также интегрируема по Лебегу на R и справедливо равенство

.

Задание 1. Выяснить, интегрируема ли по Риману, по Лебегу на отрезке [0; 1] функция f, если да, то вычислить интеграл Лебега.

  1.   
    1.   
    2.   
    3.   
    4.   
    5.   
    6.   
    7.   
    8.   

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Задание 2. Для заданной функции  на отрезке [-1; 2]

  1.  выяснить, является ли она ограниченной;
  2.  найти множество точек разрыва;
  3.   выяснить, существует ли для неё собственный или несобственный интеграл Римана;
  4.  вычислить интеграл Лебега, если он существует, воспользовавшись подходящей заменой на эквивалентную, имеющую меньшее множество точек разрыва.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

Задание 3. Для заданной последовательности функций , определённых на множестве X, выяснить, какие из теорем о предельном переходе применимы. Найти и сравнить:

и , если:

3.1. ,

3.2.

3.3. ,

3.4.

3.5. ,

3.6. , x[0,+[

3.7. ,

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13. ,

3.14.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33361. Система команд КР1816ВУ51 33 KB
  Всего в системе команд семейства MК51 можно выделить 5 групп: команды арифметических операций команды логических операций команды пересылки данных команды операций с битами и команды передачи управления. Команды операций с битами Эти команды устанавливают в 1 SETB или 0 CLR прямоадресуемый бит внутренней памяти данных изменяют его значение на противоположное CLR выполняют операции ND и OR над флагом переноса С и прямоадресуемым битом ND и ORL осуществляют пересылку значения между флагом С и прямоадресуемым битом MOV...
33362. Типовая схема СУ на базе КР1816ВУ51 27 KB
  В случае если производительность процессора микроконтроллера достаточна для решения поставленной задачи эту проблему можно решить организацией системы шин к которым и подключаются все необходимые устройства. Кроме достаточной производительности микроконтроллер должен иметь возможность подключения внешней памяти данных. Микроконтроллер МК51 обладает такой возможностью.
33363. Состав и назначение элементов процессорного ядра, характеристика ОМК АТ90S8515 31 KB
  Организация памяти микроконтроллера Память микроконтроллеров VR семейства Clssic выполнена по Гарвардской архитектуре в которой разделены не только адресные пространства памяти программ и памяти данных но также и шины доступа к ним. В связи с тем что регистровая память находится в адресном пространстве ОЗУ об этих двух областях памяти обычно говорят как об одной. 6 регистров общего назначения R26 R31 X Y Z используется в качестве указателей при косвенной адресации памяти данных. Каждый регистр файла имеет свой собственный адрес в...
33364. Структура памяти ОМК АТ90S8515 30.5 KB
  Причем память данных состоит из трех областей: регистровая память статическое ОЗУ и память на основе EEPROM. В связи с тем что регистровая память находится в адресном пространстве ОЗУ об этих двух областях памяти обычно говорят как об одной. Память программ Память программ ёмкостью 4 К 16разрядных слов предназначена для хранения команд управляющих функционированием микроконтроллера.
33365. Порты ввода-вывода ОМК АТ90S8515 31.5 KB
  Конфигурирование каждой линии порта задание направления передачи данных может быть произведено программно в любой момент времени. Обращение к портам ввода вывода Обращение к портам производится через регистры ввода вывода причем под каждый порт в адресном пространстве ввода вывода зарезервировано по 3 адреса. По этим адресам размещаются три регистра: регистр данных порта PORTx регистр направления данных DDRx и регистр выводов порта PINx. Действительные названия регистров и их разрядов получаются подстановкой названия порта вместо...
33366. Таймер/счётчики ОМК АТ90S8515 38 KB
  Как правило эти выводы линии портов ввода вывода общего назначения а функции реализуемые этими выводами при работе совместно с таймерами счетчиками являются их альтернативными функциями. Выводы используемые таймерами счетчиками общего назначения Название T90S8515 Описание T0 PB0 Вход внешнего сигнала таймера T0 T1 PB1 Вход внешнего сигнала таймера T1 ICP ICP Вход захвата таймера T1 OC1 Выход схемы сравнения таймера T1 OC1 PD5 То же OC1B OC1B То же TOSC1 Вход для подключения резонатора TOSC2 Выход для подключения резонатора ...
33367. Универсальный асинхронный приемопередатчик ОМК АТ90S8515 38.5 KB
  Управление работой приемопередатчика осуществляется с помощью регистра управления UCR. Текущее состояние приемопередатчика определяется с помощью регистра состояния USR. При чтении регистра UDR выполняется обращение к регистру приемника при записи к регистру передатчика. Работа передатчика разрешается установкой в 1 разряда TXEN регистра UCR UCSRB.
33368. Система прерываний ОМК AT90S8515 63 KB
  При возникновении прерывания микроконтроллер сохраняет в стеке содержимое счетчика команд PC и загружает в него адрес соответствующего вектора прерывания. По этому адресу должна находиться команда относительного перехода к подпрограмме обработки прерывания. Кроме того последней командой подпрограммы обработки прерывания должна быть команда RETI которая обеспечивает возврат в основную программу и восстановление предварительно сохранённого счетчика команд. Младшие адреса памяти программ начиная с адреса 001 отведены под таблицу векторов...
33369. Канал SPI (синхронный последовательный порт) 38.5 KB
  Выводы используемые модулем SPI Название сигнала T90S8515 Описание SCK РВ7 Выход mster вход slve тактового сигнала MISO РВ6 Вход mster выход slve данных MOSI РВ5 Выход mster вход slve данных РВ4 Выбор ведомого устройства Спецификация интерфейса SPI предусматривает 4 режима передачи данных. Эти режимы различаются соответствием между фазой момент считывания сигнала тактового сигнала SCK его полярностью и передаваемыми данными. Задание режима передачи данных Разряд Описание CPOL Полярность тактового сигнала 0 генерируются...