62136

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

Лекция

Математика и математический анализ

Определение. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой) на X, если существует последовательность простых интегрируемых на X функций, сходящаяся равномерно к f. Интегралом Лебега функции f на множестве X называется предел интегралов от функций

Русский

2014-09-21

627 KB

22 чел.

Тема 4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

1. Интеграл Лебега от простой функции

Числовая функция , заданная на измеримом пространстве  с конечной мерой , называется простой, если она принимает конечное или счётное число различных значений и является измеримой.

Теорема 1. Функция f является простой тогда и только тогда, когда , где множества  измеримы и  принимает постоянное значение  на множестве , k=1,2,.

Теорема 2. Для любой измеримой функции , заданной на измеримом пространстве (X,,) существует последовательность  простых функций, сходящаяся к  в каждой точке x. Если функция f ограничена на X, то последовательность  можно выбрать равномерно сходящейся. Если , то можно выбрать  так, чтобы последовательность  была неубывающей.

Пусть  – простая функция, принимающая значения ,  при . Обозначим через , тогда .

Функция f называется интегрируемой по Лебегу, если ряд  сходится абсолютно. Если функция f интегрируема, то сумма этого ряда называется интегралом Лебега функции f, т.е.

.

Теорема. Пусть  и пусть на каждом Bi функция f принимает значение . Тогда

,

причём функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.

Свойства интеграла Лебега от простой функции.

  1.  ,

причём из существование интегралов в правой части следует существование интеграла в левой;

  1.   для всех ,

причём из существование интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части;

3) ограниченная на X простая функция f интегрируема на X, причём, если  на X, то

.

2. Интеграл Лебега на множестве конечной меры.

Пусть задано (X,,) – пространство с конечной мерой и f : XR измеримая функция.

Определение. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой) на X, если существует последовательность простых интегрируемых на X функций , сходящаяся равномерно к f. Интегралом Лебега функции f на множестве X называется предел интегралов от функций :

.

Различие в определениях интеграла Римана и интеграла Лебега заключается в том, что при составлении интегральных сумм Римана разбиение производится по признаку близости точек на оси OX, а при составлении интегральных сумм Лебега – по признаку близости значений функции.

Основные свойства интеграла Лебега по множеству конечной меры:

1) для любого измеримого множества

;

2) если  – интегрируемы по Лебегу, то функция , где , интегрируема по Лебегу и справедливо равенство

;

3) если f – измеримая ограниченная функция, то она интегрируема по Лебегу;

4) если f – интегрируемая функция и , то

;

5) если f – интегрируемая функция и , то

;

6) если  – интегрируемые функции и , то

;

7) если , где  – интегрируемая, а  – измеримая, то f интегрируема по Лебегу;

8) если , где  – интегрируемые, а f – измеримая функция, то f – интегрируема.

9) если f – интегрируемая функция, а g – ограниченная  измеримая функция, то  – интегрируема, причём

.

10) если f интегрируема на X, то f интегрируема на любом измеримом подмножестве из X и

,

(это свойство называется аддитивностью интеграла Лебега);

11) функции f и  интегрируемы или неинтегрируемы одновременно, причём справедлива оценка

;

12) если , то ;

13) если  почти всюду на X, то ;

14) если  почти всюду, то ;

15) если , то  почти всюду на X.

3. Абсолютная непрерывность и σ-аддитивность интеграла Лебега

Теорема 1 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега).

Пусть  – интегрируемая на множестве A функция. Тогда для всех  существует , что  для всякого измеримого множества  такого, что .

Теорема 2 (σ-аддитивность интеграла Лебега).

Пусть f – измеримая функция по множеству A и пусть ,  – измеримые множества. Тогда f интегрируема по каждому  и , причём ряд сходится абсолютно.

Теорема 3. Если , f интегрируема на каждом  и ряд  сходится, то функция f интегрируема на A и .

4. Предельный переход под знаком интеграла Лебега

Особенно заметны преимущества интеграла Лебега над интегралом Римана, когда мы имеем дело с предельным переходом. В случае интеграла Римана перемена порядка операций интегрирования и перехода к пределу требует установить факт равномерной сходимости последовательности подынтегральных функций. В случае интеграла Лебега подобных трудностей нет. Это вытекает из трёх следующих результатов, играющих центральную роль в теории интегрирования.

Теорема (Лебега о мажорированной сходимости).

Пусть (X,,) – пространство с мерой,  и  – последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду к . Если существует интегрируемая функция  такая, что  (для всех ), то f – интегрируема и

.

Теорема (Беппо-Леви о монотонной сходимости).

Пусть (X,,) – пространство с мерой и ,  – монотонно возрастающая последовательность интегрируемых функций и пусть существует , что  для всех . Тогда почти всюду существует конечный предел , функция f интегрируема и .

Следствие 1. Пусть  – последовательность неотрицательных интегрируемых функций и пусть числовой ряд  сходится. Тогда почти всюду сходится ряд  и

.

Следствие 2. Пусть  и пусть f – измеримая функция такая, что  существует и ряд  сходится. Тогда f интегрируема и .

Теорема (Фату). Пусть (X,,) – пространство с мерой и  – последовательность неотрицательных интегрируемых функций, , обладающая свойствами:

  1.   на X,
  2.   для всех n.

Тогда функция  интегрируема и .

5. Интегрирование по множеству бесконечной меры

Пусть (X,,) – пространство с σ-конечной мерой. В силу определения σ-конечности существует неубывающая последовательность измеримых множеств , для которых  для всех k и .

Введём сначала понятие интеграла Лебега по множеству бесконечной меры в случае неотрицательной функции.

Пусть  на X и f – измеримая. Поскольку все  – измеримы, то имеют смысл и конечны , причём , поэтому существует предел .

Пусть  существует и конечен, тогда функция f называется интегрируемой по Лебегу на множестве с σ-конечной мерой и .

Данное определение корректно и не зависит от выбора расширяющейся системы .

Пусть теперь f – измеримая функция произвольного знака. Рассмотрим функции  и , тогда , . Функция f называется интегрируемой по Лебегу на X, если на X интегрируемы обе функции  и . При этом, по определению .

Нетрудно показать, что для интегрируемости измеримой функции f необходимо и достаточно, чтобы  была интегрируема.

Множество X с σ-конечной мерой  может быть представлено в виде счётного объединения попарно непересекающихся множеств , т.е. , . В этом случае измеримая функция f называется интегрируемой на X, если сходится ряд . Интегралом Лебега интегрируемой функции f называется число .

Все свойства, установленные для интегралов Лебега по множеству конечной меры, остаются справедливыми и по множеству σ-конечной меры, включая теоремы о предельном переходе.

6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

Для простоты рассмотрим эту связь в одномерном случае.

Теорема 1. Если для функции, заданной на [a,b], существует собственный интеграл Римана , то она интегрируема и по Лебегу и её интеграл Лебега  равен интегралу Римана.

Теорема 2. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множестве её точек разрыва имело меру нуль.

Из этой теоремы, в частности, следует теорема об интегрируемости по Риману монотонной функции (так как множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно).

Пусть функция f неограничена на полуинтервале [a,b[ и интегрируема по Риману на любом промежутке [a,b-]. В этом случае речь идёт о несобственном интеграле Римана

,

если предел существует и конечен. Несобственный интеграл Римана называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 3. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла  необходимо и достаточно, чтобы f была интегрируемой по Лебегу на [a,b]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство .

Рассмотрим интегрирование по множеству бесконечной меры. Пусть функция определена на промежутке [a,+[ и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b]. Тогда несобственный интеграл Римана по промежутку [a,+[ определяется как предел

.

Если предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся; его называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 4. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла Римана необходимо и достаточно, чтобы функция f была интегрируема по Лебегу на [a,+[. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство .

Примеры решения задач

Задача 1. Выяснить, интегрируемы ли по Лебегу на отрезке [0; 1] следующие функции:

  1.  , если , ;
  2.  , .

Решение. 1) Функция  является неограниченной, поэтому по Риману она не интегрируема. f измерима, так как принимает счётное число значений на измеримых множествах , и является простой. Для интегрируемости функции f необходимо, чтобы ряд

сходился абсолютно. Но ряд  расходится, поэтому f не интегрируема по Лебегу.

2) Рассматриваемая функция  также является простой, принимающей три значения: 1, -1 и 0. А именно:  на множестве ,  на  и  на . Множества  открыты, а поэтому измеримы. Кроме того

,

.

Счётное множество  также измеримо и . Поэтому

.

Задача 2. Интегрируема ли по Риману, по Лебегу функция , если да, то вычислить интеграл.

Решение. Функция  не интегрируема по Риману, так как она разрывна в каждой точке, за исключением точек , , то есть мера её точек разрыва не меньше 1. Действительно, для   Q и  такие, что  и , но , а , при этом , то есть интервал ]0,1[ – подмножество множества точек разрыва функции.

Выясним, интегрируема ли функция по Лебегу. Так как эквивалентные функции интегрируемы или неинтегрируемы одновременно и их интегралы совпадают, заменим f на эквивалентную функцию

, ,

(, так как ).

Функция  непрерывна и интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу и имеет место равенство

.

Задача 3. Вычислить интеграл Лебега от функции ,

где  – канторово множество,  – его дополнение.

Решение. Функция  эквивалентна на отрезке [0; 1] функции

так как . Поэтому

.

Задача 4. Вычислить интеграл Лебега от функции  на отрезке [0; 1], если  в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат треугольники, опирающиеся на эти интервалы, как на основания, высоты 1.

Решение. Воспользуемся аддитивностью интеграла Лебега и представим интеграл в виде суммы двух интегралов: первый по канторову множеству, он будет равен нулю, так как , а второй – по его дополнению.

; , ;  ;

и так далее.

Следовательно, .

На каждом  функция непрерывна и поэтому интегрируема по Риману. Интеграл Римана равен площади треугольника значит,

.

Задача 5. При каких значениях параметров  и  функция , x]0,1[

  1.  интегрируема по Лебегу,
  2.  несобственно интегрируема по Риману.

Решение. Неограниченная на отрезке [a;b] функция интегрируема по Лебегу в том случае, когда она абсолютно интегрируема по Риману в несобственном смысле.

1 случай: .

Данный интеграл сходится абсолютно, если . Действительно, подынтегральная функция по модулю эквивалентна , следовательно , то есть .

Итак, при  функция интегрируема по Лебегу при .

Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы интеграл сходился условно. Используя признак Дирихле, получаем

, следовательно .

2 случай: .

.

Интеграл сходится абсолютно, если , то есть . Следовательно, при  функция интегрируема по Лебегу, если . Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы , следовательно .

Итак, функция  интегрируема по Лебегу при  () и  (); по Риману при .

Задача 6. Вычислить интеграл Лебега по интервалу ]0,+[ от функции .

Решение. Интервал ]0,+[ – пространство с -конечной мерой, так как  и  [k, k+1[ = 1 < +. На каждом полуинтервале [k, k+1[ функция  является простой, так как  при x  [k, k+1[.

.

Задача 7. Исходя из определения интеграла Лебега, вычислить

,

где  – характеристическая функция множества .

Решение. Построим для измеримой функции ,  последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся на [0; 1] к . А именно, для  положим  на множестве , . Тогда последовательность  является искомой. Кроме того, поскольку , то  для . Следовательно, последовательность равномерно сходится к .

,

так как  и поскольку множество  рациональных чисел имеет меру нуль.

Задача 8. Найти предел

.

Решение. Рассмотрим функциональную последовательность

, , .

Для каждого

.

Кроме того, эта функциональная последовательность имеет мажоранту

, .

Неотрицательная функция g интегрируема по Риману в несобственном смысле, поэтому она интегрируема по Лебегу. Следовательно, по теореме Лебега f также интегрируема по Лебегу на R и справедливо равенство

.

Задание 1. Выяснить, интегрируема ли по Риману, по Лебегу на отрезке [0; 1] функция f, если да, то вычислить интеграл Лебега.

  1.   
    1.   
    2.   
    3.   
    4.   
    5.   
    6.   
    7.   
    8.   

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Задание 2. Для заданной функции  на отрезке [-1; 2]

  1.  выяснить, является ли она ограниченной;
  2.  найти множество точек разрыва;
  3.   выяснить, существует ли для неё собственный или несобственный интеграл Римана;
  4.  вычислить интеграл Лебега, если он существует, воспользовавшись подходящей заменой на эквивалентную, имеющую меньшее множество точек разрыва.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

Задание 3. Для заданной последовательности функций , определённых на множестве X, выяснить, какие из теорем о предельном переходе применимы. Найти и сравнить:

и , если:

3.1. ,

3.2.

3.3. ,

3.4.

3.5. ,

3.6. , x[0,+[

3.7. ,

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13. ,

3.14.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76234. Ушкодження хребта: переломи вивихи, симптоми, методи діагностики та лікування 95 KB
  Ушкодження хребта виникають внаслідок прямої травми забої переломи остистих та поперечних відростків та непрямої – від надмірного згинання та ротації інколиперерозгинання компресійні та скалкові переломи тіл хребців дужок переломовивихи.
76235. Скука в историко-философской перспективе 48.59 KB
  В качестве объекта нашего исследования выступает человеческая скука. Скука как никакое бесконтурное состояние слабо поддающееся описанию. Скука как западание человека в пространстве и во времени скука как потеря персонального смысла.
76237. Принцип когерентного и некогерентного детектирования АМ-колебаний 188.58 KB
  Характеристиками детектора являются: детекторная частотная характеристики и коэффициент передачи. Детекторная характеристика представляет собой зависимость постоянной составляющей напряжения на выходе детектора от изменения информационного параметра несущей подводимой к нему.
76238. Літературно-художній антропонімікон П.Куліша: склад, джерела, функції 40.89 KB
  П.Куліш увійшов у історію української культури як автор першого історичного роману, цілої низки оповідань, поетичних та драматичних творів, перекладів і переспівів. Жанрова і тематична різноманітність літературно-художніх текстів П.Куліша служить запорукою багатства...
76240. ЧТО ТАКОЕ КОМПЬЮТЕР? 85.5 KB
  Эффективность использования ПК в большой степени определяется количеством и типами внешних устройств, которые могут применяться в его составе. Внешние устройства обеспечивают взаимодействие пользователя с ПК.
76241. Помехи и искажения в каналах связи 109.67 KB
  Внешними являются помехи возникающие вне канала к ним относятся: атмосферные возникают в атмосфере земли и могут быть вызваны грозовыми разрядами осадками пылевыми бурями северным сиянием;...