ID: 624

Название работы: Совместная обработка нескольких рядов наблюдений

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Социология, социальная работа и статистика

Описание: Получить практические навыки проведения экспериментальных исследований по определению метрологических характеристик средств измерений. Оценить равнорассеянность результатов нескольких серий наблюдений.

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-01-06

Размер файла: 143 KB

Работу скачали: 14 чел.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова"

Факультет информационных технологий

Кафедра информационных технологий

Отчет защищён с оценкой _____________ Преподаватель                  В.Н. Седалищев                                           (подпись)          (и.о. фамилия) "___"_____________ 2012 г.

Отчёт

по лабораторной работе № 4

" Совместная обработка нескольких рядов наблюдений"

по дисциплине "МСиС"

ЛР 200106.01.000 О

Студент группы ИИТ-02                                                               А.А. Лобода

Преподаватель профессор, д.т.н.                                                               В.Н. Седалищев

                                     должность, ученая степень                                                                                       и.о. фамилия

БАРНАУЛ 2012

Цель работы:

1. Получить практические навыки проведения экспериментальных исследований по определению метрологических характеристик средств измерений.

2. Оценить равнорассеянность результатов нескольких серий наблюдений.

Задание:

1.  По результатам многократных измерений произвести совместную обработку результатов наблюдений (равноточных и неравноточных).
2.  По результатам обработки экспериментальных данных определить метрологические характеристики исследуемого средства измерения.

Краткие теоретические сведения по теме лабораторной работы:

До сих пор мы рассматривали обработку данных одной выборки, принадлежащей одной генеральной совокупности. Результаты наблюдений х были получены одним или группой наблюдателей с помощью одних и тех же методов и средств измерений в неизменных условиях внешней среды. Такие результаты являются равнорассеянными, т. е. одинаково распределенными случайными величинами. Однако во многих случаях результаты измерений могут быть представлены несколькими сериями наблюдений, полученных при разных условиях, с помощью различных средств измерений и т.п. В этих случаях необходимо решить две задачи: во-первых — произвести оценку равноточности серий наблюдений и в случае отрицательного заключения решить вторую задачу — произвести статистическую обработку полученных неравноточных результатов.

Рассмотрим решение первой задачи.

Пусть имеем две выборки объемом n1 и n2, для которых определены оценки параметров распределения: . Для проверки гипотезы о равнорассеянности наблюдений применим критерий Фишера. Распределению Фишера подчиняется отношение

в котором независимые случайные величины u и v подчиняются c2-распределению с k1 и k2 степенями свободы соответственно.

Распределение Фишера задается в табличной форме в зависимости от числа степеней свободы k1 для большей дисперсии S12 и числа k2 для меньшей дисперсии при определенных значениях доверительной вероятности (a = 1- q) или уровня значимости (q), априорно принимаемых при проверке гипотезы о равнорассеянности дисперсий (см. табл. П. 6).

Условие принятия гипотезы о равнорассеянности выражается следующим неравенством:

,

т. е. если при выбранном уровне значимости (q) отношение большей дисперсии к меньшей будет меньше значения , полученного из таблицы распределения Фишера, то это означает, что различие оценок незначимо и они являются двумя независимыми оценками одной и той же дисперсии.

Другой способ оценки равноточности дисперсий заключается в нахождении доверительных границ для истинной дисперсии. Нижнюю и верхнюю границы для значений дисперсий находим по следующим формулам:

Границы для значений дисперсии определяем при проверяемых эмпирических дисперсиях S12 и S22 и соответствующих им степенях свободы. Если полученные интервалы [S1H2; S1B2] и [S2H2; S2B2] перекрываются, измерения можно считать равноточными.

В общем случае при наличии j-групп результатов наблюдений оценки параметров распределения определяется для каждой j-й группы.

Равнорассеянность групп наблюдений проверяется методами математической статистики, известными под общим названием методы дисперсионного анализа.

Гипотезу о равнорассеянности результатов наблюдений проверяют в два этапа.

Этап 1. Проверяется гипотеза о равноточности эмпирических дисперсий Sj2 во всех группах наблюдений. Для этого их располагают в вариационный ряд S12, ..., S(i)2 в порядке возрастания и проверяют значимость их парных отношений.  Если отношение дисперсий незначимо, то гипотезу о равноточности в этом случае считают правдоподобной, а дисперсии относительно средних — одинаковыми. Если отношение значимо, гипотезу отвергают и проверяют отношения дисперсий для других групп наблюдений.

Этап 2. При положительном результате этапа 1 необходимо проверять гипотезу о равенстве математических ожиданий во всех группах. При малом числе групп наблюдений обычно не применяют распределение Фишера для дисперсионного анализа отношений дисперсии групповой к дисперсии среднего арифметического. В этом случае вычисляют квантиль (t1-2) на основании двух средних арифметических:

Если результаты наблюдений распределены нормально, то t1-2 имеет распределение Стьюдента с (n1+n2-2) степенями свободы, асимптотически переходящее в нормальное при большом числе наблюдений.

Задаваясь уровнем значимости (q =  1 – Р) или доверительной вероятностью (Р), можно найти предельное значение tP, и если t1-2 < tP то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается.

Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, когда проверка равенства дисперсий в группах дала отрицательные результаты. Тогда необходимо проверить разность средних арифметических для всех вариантов сочетаний групп, поскольку незначимость различия между   и  в группах еще не означает, что между другими средними различия тоже будут незначительными. Причиной этого является различие дисперсий в отдельных группах наблюдений. Если оба этапа проверки показали, что и оценки эмпирических дисперсий Sj2, и оценки математических ожиданий , незначимо отличаются друг от друга, то группы наблюдений считаются равнорассеянными. При этом все результаты можно объединить и обрабатывать как одну большую выборку. Естественно, что новые оценки параметров распределения позволяют дать большую достоверность результату измерения. Значимое различие групповых средних , говорит о том, что на формирование результатов оказывает влияние сильнодействующая причина или ряд причин (факторов). В связи с этим следует провести анализ условий измерения, попытаться найти причины систематических погрешностей, определить их значения и ввести поправки в соответствующие результаты. В том случае, когда различие дисперсий значимо, а различие средних арифметических незначимо, группы результатов называются неравнорассеянными.

Группы наблюдений называются неравнорассеянными (неравноточными), если оценки их дисперсий значимо отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же математического ожидания. Вопрос состоит в следующем: нельзя ли объединить результаты нескольких групп наблюдений, несмотря на то что их дисперсии различны.

Для демонстрации целесообразности объединения результатов рассмотрим пример с результатами измерения, полученными в двух равнорассеянных группах наблюдений с различным числом наблюдений n1 и n2. Результат измерения в каждой группе будет записан как:

где sX — среднее квадратическое отклонение, определенное заранее для данного метода и условий измерения.

При объединения всех результатов в одну выборку, получим результат:

из которого следует, что точность общего результата повысится в результате объединения отдельных групп наблюдений. Особенно это очевидно при n1 = n2, так как при этом среднее квадратическое отклонение среднего арифметического объединенного результата будет в  раз меньше группового.

Рассмотрим другой пример, когда получены два результата измерения одной и той же величины различными измерительными средствами и в различных условиях.

Для решения этой задачи вводят понятия веса результата каждого измерения и среднего взвешенного объединенных результатов измерений.

Применением принципа максимального праводоподобия, в соответствии с которым наилучшей оценкой для неизвестного истинного значения будет такая оценка, вероятность которой максимальна, определена наилучшая оценка истинного значения по результатам j - групп, которая имеет следующее выражение:

Величины, обратные дисперсиям результатов наблюдений, называют весами оценок истинного значения измеряемой величины.

Обозначив веса в виде:

получим:

Данная оценка истинного значения  называется средним взвешенным.

Веса характеризуют степень влияния результата измерения определенной группы результатов наблюдения на взвешенное среднее и являются коэффициентами влияния размеров  на .

Иногда применяют безразмерные относительные весовые коэффициенты:

для которых удовлетворяется условие

В этом случае выражение для среднего взвешенного примет вид:

Дисперсия взвешенного среднего определяется как обратная величина суммы весов результатов измерения:

,

а его среднее квадратическое отклонение:

Если дисперсии результатов наблюдений неизвестны, то для  расчета применяют их оценки, полученные на основе результатов наблюдений. Доверительная граница для погрешности результата измерения в случае, если nj = 20…30 определяется величиной , где tP = z и определяется по таблице для нормированного нормального распределения по заданной доверительной вероятности. При малых числах результатов наблюдений в группах для определения tP пользуются распределением Стьюдента с числом степеней свободы

Если распределения исходных данных неизвестны, то на основании центральной предельной теоремы теории вероятности можно предположить, что распределение среднего взвешенного нормально, поскольку оно является суммой большого числа случайных величин с конечными дисперсиями и математическими ожиданиями.

Ход работы:

Исходные данные:

X1	X2	X3
120	123	122
138	141	140
141	148	146
159	153	157
162	160	161
168	164	166
172	170	171
179	175	177
190	189	192
199	194	195
213	207	204
225	220	228
260	235	240
278	270	271
293	285	286
329	319	311
350	344	357
361	359	363
375	370	369
392	388	378
412	400	399
426	419	418
439	427	428
444	439	440
450	452	453
468	466	467
474	470	472
489	479	478
495	489	480
502	499	490

Xs1	дельта x1	дельта x^2 1	Xs2	дельта X	дельта X^2 2	Xs3	дельта X3	дельта X^2 3
310.1	-190.1	36138.01	305.1333	-182.133	33172.55111	305.3	-183.3	33598.89
		138		19044			141	19881		140	19600
		141		19881			148	21904		146	21316
		159		25281			153	23409		157	24649
		162		26244			160	25600		161	25921
		168		28224			164	26896		166	27556
		172		29584			170	28900		171	29241
		179		32041			175	30625		177	31329
		190		36100			189	35721		192	36864
		199		39601			194	37636		195	38025
		213		45369			207	42849		204	41616
		225		50625			220	48400		228	51984
		260		67600			235	55225		240	57600
		278		77284			270	72900		271	73441
		293		85849			285	81225		286	81796
		329		108241			319	101761		311	96721
		350		122500			344	118336		357	127449
		361		130321			359	128881		363	131769
		375		140625			370	136900		369	136161
		392		153664			388	150544		378	142884
		412		169744			400	160000		399	159201
		426		181476			419	175561		418	174724
		439		192721			427	182329		428	183184
		444		197136			439	192721		440	193600
		450		202500			452	204304		453	205209
		468		219024			466	217156		467	218089
		474		224676			470	220900		472	222784
		489		239121			479	229441		478	228484
		495		245025			489	239121		480	230400
		502		252004			499	249001		490	240100

Таблица 1. Расчет данных

Рассчитаем СКО каждой серии:

СКО1	СКО2	СКО3	СКО1^2	СКО2^2	СКО3^2	1/(СКО1^2)	1/(СКО2^2)	1/(СКО3^2)	Summ
336.533456	331.225	330.9227	113254.8	109710	109509.9	8.82965E-06	9.11494E-06	9.1316E-06	2.71E-05

Таблица 2. Расчет данных

Рассчитаем безразмерные относительные весовые коэффициенты:

СКО~	СКО~^2	p1	p2	p3	Summ(p)
36932.82	1.36E+09	0.326104	0.33664	0.337256	1

Таблица 3. Расчет данных

Вывод: в ходе проведения данной лабораторной работы мы получили практические навыки проведения экспериментальных исследований по определению метрологических характеристик средств измерений и оценили равнорассеянность результатов нескольких серий наблюдений.

В результате проведенных опытов, мы проверили справедливость утверждения, что сумма безразмерных относительных весовых коэффициентов равна 1.