624

Совместная обработка нескольких рядов наблюдений

Лабораторная работа

Социология, социальная работа и статистика

Получить практические навыки проведения экспериментальных исследований по определению метрологических характеристик средств измерений. Оценить равнорассеянность результатов нескольких серий наблюдений.

Русский

2013-01-06

143 KB

14 чел.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова"

Факультет информационных технологий

Кафедра информационных технологий

Отчет защищён с оценкой _____________

Преподаватель                  В.Н. Седалищев

                                          (подпись)          (и.о. фамилия)

"___"_____________ 2012 г.

Отчёт

по лабораторной работе № 4

" Совместная обработка нескольких рядов наблюдений"

по дисциплине "МСиС"

ЛР 200106.01.000 О

Студент группы ИИТ-02                                                               А.А. Лобода

Преподаватель профессор, д.т.н.                                                               В.Н. Седалищев

                                     должность, ученая степень                                                                                       и.о. фамилия

БАРНАУЛ 2012

Цель работы:

1. Получить практические навыки проведения экспериментальных исследований по определению метрологических характеристик средств измерений.

2. Оценить равнорассеянность результатов нескольких серий наблюдений.

Задание:

  1.  По результатам многократных измерений произвести совместную обработку результатов наблюдений (равноточных и неравноточных).
  2.  По результатам обработки экспериментальных данных определить метрологические характеристики исследуемого средства измерения.

Краткие теоретические сведения по теме лабораторной работы:

До сих пор мы рассматривали обработку данных одной выборки, принадлежащей одной генеральной совокупности. Результаты наблюдений х были получены одним или группой наблюдателей с помощью одних и тех же методов и средств измерений в неизменных условиях внешней среды. Такие результаты являются равнорассеянными, т. е. одинаково распределенными случайными величинами. Однако во многих случаях результаты измерений могут быть представлены несколькими сериями наблюдений, полученных при разных условиях, с помощью различных средств измерений и т.п. В этих случаях необходимо решить две задачи: во-первых — произвести оценку равноточности серий наблюдений и в случае отрицательного заключения решить вторую задачу — произвести статистическую обработку полученных неравноточных результатов.

Рассмотрим решение первой задачи.

Пусть имеем две выборки объемом n1 и n2, для которых определены оценки параметров распределения: . Для проверки гипотезы о равнорассеянности наблюдений применим критерий Фишера. Распределению Фишера подчиняется отношение

в котором независимые случайные величины u и v подчиняются c2-распределению с k1 и k2 степенями свободы соответственно.

Распределение Фишера задается в табличной форме в зависимости от числа степеней свободы k1 для большей дисперсии S12 и числа k2 для меньшей дисперсии при определенных значениях доверительной вероятности (a = 1- q) или уровня значимости (q), априорно принимаемых при проверке гипотезы о равнорассеянности дисперсий (см. табл. П. 6).

Условие принятия гипотезы о равнорассеянности выражается следующим неравенством:

,

т. е. если при выбранном уровне значимости (q) отношение большей дисперсии к меньшей будет меньше значения , полученного из таблицы распределения Фишера, то это означает, что различие оценок незначимо и они являются двумя независимыми оценками одной и той же дисперсии.

Другой способ оценки равноточности дисперсий заключается в нахождении доверительных границ для истинной дисперсии. Нижнюю и верхнюю границы для значений дисперсий находим по следующим формулам:

Границы для значений дисперсии определяем при проверяемых эмпирических дисперсиях S12 и S22 и соответствующих им степенях свободы. Если полученные интервалы [S1H2; S1B2] и [S2H2; S2B2] перекрываются, измерения можно считать равноточными.

В общем случае при наличии j-групп результатов наблюдений оценки параметров распределения определяется для каждой j-й группы.

Равнорассеянность групп наблюдений проверяется методами математической статистики, известными под общим названием методы дисперсионного анализа.

Гипотезу о равнорассеянности результатов наблюдений проверяют в два этапа.

Этап 1. Проверяется гипотеза о равноточности эмпирических дисперсий Sj2 во всех группах наблюдений. Для этого их располагают в вариационный ряд S12, ..., S(i)2 в порядке возрастания и проверяют значимость их парных отношений.  Если отношение дисперсий незначимо, то гипотезу о равноточности в этом случае считают правдоподобной, а дисперсии относительно средних — одинаковыми. Если отношение значимо, гипотезу отвергают и проверяют отношения дисперсий для других групп наблюдений.

Этап 2. При положительном результате этапа 1 необходимо проверять гипотезу о равенстве математических ожиданий во всех группах. При малом числе групп наблюдений обычно не применяют распределение Фишера для дисперсионного анализа отношений дисперсии групповой к дисперсии среднего арифметического. В этом случае вычисляют квантиль (t1-2) на основании двух средних арифметических:

Если результаты наблюдений распределены нормально, то t1-2 имеет распределение Стьюдента с (n1+n2-2) степенями свободы, асимптотически переходящее в нормальное при большом числе наблюдений.

Задаваясь уровнем значимости (q =  1 – Р) или доверительной вероятностью (Р), можно найти предельное значение tP, и если t1-2 < tP то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается.

Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, когда проверка равенства дисперсий в группах дала отрицательные результаты. Тогда необходимо проверить разность средних арифметических для всех вариантов сочетаний групп, поскольку незначимость различия между   и  в группах еще не означает, что между другими средними различия тоже будут незначительными. Причиной этого является различие дисперсий в отдельных группах наблюдений. Если оба этапа проверки показали, что и оценки эмпирических дисперсий Sj2, и оценки математических ожиданий , незначимо отличаются друг от друга, то группы наблюдений считаются равнорассеянными. При этом все результаты можно объединить и обрабатывать как одну большую выборку. Естественно, что новые оценки параметров распределения позволяют дать большую достоверность результату измерения. Значимое различие групповых средних , говорит о том, что на формирование результатов оказывает влияние сильнодействующая причина или ряд причин (факторов). В связи с этим следует провести анализ условий измерения, попытаться найти причины систематических погрешностей, определить их значения и ввести поправки в соответствующие результаты. В том случае, когда различие дисперсий значимо, а различие средних арифметических незначимо, группы результатов называются неравнорассеянными.

Группы наблюдений называются неравнорассеянными (неравноточными), если оценки их дисперсий значимо отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же математического ожидания. Вопрос состоит в следующем: нельзя ли объединить результаты нескольких групп наблюдений, несмотря на то что их дисперсии различны.

Для демонстрации целесообразности объединения результатов рассмотрим пример с результатами измерения, полученными в двух равнорассеянных группах наблюдений с различным числом наблюдений n1 и n2. Результат измерения в каждой группе будет записан как:

где sX — среднее квадратическое отклонение, определенное заранее для данного метода и условий измерения.

При объединения всех результатов в одну выборку, получим результат:

из которого следует, что точность общего результата повысится в результате объединения отдельных групп наблюдений. Особенно это очевидно при n1 = n2, так как при этом среднее квадратическое отклонение среднего арифметического объединенного результата будет в  раз меньше группового.

Рассмотрим другой пример, когда получены два результата измерения одной и той же величины различными измерительными средствами и в различных условиях.

Для решения этой задачи вводят понятия веса результата каждого измерения и среднего взвешенного объединенных результатов измерений.

Применением принципа максимального праводоподобия, в соответствии с которым наилучшей оценкой для неизвестного истинного значения будет такая оценка, вероятность которой максимальна, определена наилучшая оценка истинного значения по результатам j - групп, которая имеет следующее выражение:

Величины, обратные дисперсиям результатов наблюдений, называют весами оценок истинного значения измеряемой величины.

Обозначив веса в виде:

получим:

Данная оценка истинного значения  называется средним взвешенным.

Веса характеризуют степень влияния результата измерения определенной группы результатов наблюдения на взвешенное среднее и являются коэффициентами влияния размеров  на .

Иногда применяют безразмерные относительные весовые коэффициенты:

для которых удовлетворяется условие

В этом случае выражение для среднего взвешенного примет вид:

Дисперсия взвешенного среднего определяется как обратная величина суммы весов результатов измерения:

,

а его среднее квадратическое отклонение:

Если дисперсии результатов наблюдений неизвестны, то для  расчета применяют их оценки, полученные на основе результатов наблюдений. Доверительная граница для погрешности результата измерения в случае, если nj = 20…30 определяется величиной , где tP = z и определяется по таблице для нормированного нормального распределения по заданной доверительной вероятности. При малых числах результатов наблюдений в группах для определения tP пользуются распределением Стьюдента с числом степеней свободы

Если распределения исходных данных неизвестны, то на основании центральной предельной теоремы теории вероятности можно предположить, что распределение среднего взвешенного нормально, поскольку оно является суммой большого числа случайных величин с конечными дисперсиями и математическими ожиданиями.

Ход работы:

Исходные данные:

X1

X2

X3

120

123

122

138

141

140

141

148

146

159

153

157

162

160

161

168

164

166

172

170

171

179

175

177

190

189

192

199

194

195

213

207

204

225

220

228

260

235

240

278

270

271

293

285

286

329

319

311

350

344

357

361

359

363

375

370

369

392

388

378

412

400

399

426

419

418

439

427

428

444

439

440

450

452

453

468

466

467

474

470

472

489

479

478

495

489

480

502

499

490

Xs1

дельта x1

дельта x^2 1

Xs2

дельта X

дельта X^2 2

Xs3

дельта X3

дельта X^2 3

310.1

-190.1

36138.01

305.1333

-182.133

33172.55111

305.3

-183.3

33598.89

138

19044

141

19881

140

19600

141

19881

148

21904

146

21316

159

25281

153

23409

157

24649

162

26244

160

25600

161

25921

168

28224

164

26896

166

27556

172

29584

170

28900

171

29241

179

32041

175

30625

177

31329

190

36100

189

35721

192

36864

199

39601

194

37636

195

38025

213

45369

207

42849

204

41616

225

50625

220

48400

228

51984

260

67600

235

55225

240

57600

278

77284

270

72900

271

73441

293

85849

285

81225

286

81796

329

108241

319

101761

311

96721

350

122500

344

118336

357

127449

361

130321

359

128881

363

131769

375

140625

370

136900

369

136161

392

153664

388

150544

378

142884

412

169744

400

160000

399

159201

426

181476

419

175561

418

174724

439

192721

427

182329

428

183184

444

197136

439

192721

440

193600

450

202500

452

204304

453

205209

468

219024

466

217156

467

218089

474

224676

470

220900

472

222784

489

239121

479

229441

478

228484

495

245025

489

239121

480

230400

502

252004

499

249001

490

240100

Таблица 1. Расчет данных

Рассчитаем СКО каждой серии:

СКО1

СКО2

СКО3

СКО1^2

СКО2^2

СКО3^2

1/(СКО1^2)

1/(СКО2^2)

1/(СКО3^2)

Summ

336.533456

331.225

330.9227

113254.8

109710

109509.9

8.82965E-06

9.11494E-06

9.1316E-06

2.71E-05

Таблица 2. Расчет данных

Рассчитаем безразмерные относительные весовые коэффициенты:

СКО~

СКО~^2

p1

p2

p3

Summ(p)

36932.82

1.36E+09

0.326104

0.33664

0.337256

1

Таблица 3. Расчет данных

Вывод: в ходе проведения данной лабораторной работы мы получили практические навыки проведения экспериментальных исследований по определению метрологических характеристик средств измерений и оценили равнорассеянность результатов нескольких серий наблюдений.

В результате проведенных опытов, мы проверили справедливость утверждения, что сумма безразмерных относительных весовых коэффициентов равна 1.