62437

Логические основы обработки информации

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мышление изучают и психология, и педагогика, и многие другие науки. По содержанию человеческое мышление бесконечно многообразно,ведь думать можно о чём угодно. Но мысли возникают и строятся по одним и тем же законам, подчиняются одним и тем же принципам, имеют одни и те же схемы или формы.

Русский

2014-06-10

465.89 KB

18 чел.

Урок: 5. Логические основы обработки информации

1. Логика

Логика (греч. logikt < logos — довод, доказательство; разумное основание; наука о рассуждении, искусство рассуждения) — наука о формах, методах и законах правильного мышления.

Мышление изучают и психология, и педагогика, и многие другие науки. По содержанию человеческое мышление бесконечно многообразно,ведь думать можно о чём угодно. Но мысли возникают и строятся по одним и тем же законам, подчиняются одним и тем же принципам, имеют одни и те же схемы или формы.

Рассмотрим пример. Следующие высказывания:

  1.  все ананасы — это фрукты;
  2.  все тигры — это хищные животные;
  3.  все автомобили — это транспортные средства —

различаются по содержанию, но сходны по форме: «все А — это В», где А и В — это какие-либо предметы. Само высказывание «все А — это В» не имеет содержания, оно представляет собой форму, которую можно наполнить любым содержанием, например: «все учебники — это книги».

Рассмотрим другой пример. Три различных по содержанию высказывания:

  1.  если наступает весна, то тает снег;
  2.  если не готовиться к ГИА, то можно получить двойку;
  3.  если стоит сильный туман, то самолёты не могут совершить посадку —

строятся по одной и той же форме: «если А, то В». И к этой форме можно подобрать множество различных содержательных высказываний.

Логика не интересуется содержанием мышления, она изучает только формы мышления. Логику интересует не что мы мыслим, а как мы мыслим, поэтому она также часто называется формальной логикой. Например, если по содержанию высказывание «все комары — это насекомые» является понятным, осмысленным, а высказывание «все крокодилы — это птицы» является бессмысленным, то для логики эти два высказывания равноценны: ведь она занимается формами мышления, а форма у этих двух высказываний одна и та же — «все А — это В».

Таким образом, форма мышления — это способ, которым выражаются мысли, или схема, по которой они строятся. Существует три формы мышления.

  1.  Понятие — это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект или признак объекта, отличающий его от других объектов. Примеры понятий: «собака», «растение», «планета», «химический элемент», «смелость», «трудолюбие» и т. п.
  2.  Высказывание (суждение, утверждение) — это форма мышления,в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах понятий и отношениях между ними, например: «Солнце не является планетой»; «некоторые вещества — это металлы»; «все цифры — это знаки»; «2 2 = 4» и т. п.). Высказывание может быть истинным или ложным.
  3.  Умозаключение — это форма мышления, в которой из двух или нескольких исходных высказываний получают новое высказывание или вывод. Пример умозаключения: «Все металлы электропроводны. Железо — это металл. Железо электропроводно».

Помимо форм мышления, логика также занимается законами мышления, т. е. такими правилами, соблюдение которых приводит рассуждение к истинным выводам при условии истинности исходных суждений.

Основная цель логики — исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи входящих в него утверждений и их строения,а не от их конкретного содержания. Отсюда ещё одно определение логики. Логика — наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний.

Исторически логика изучалась как часть философии. Сейчас логика изучается ещё и как часть математики и информатики.

Дополнительная информация

Логика

Логика появилась примерно в IV веке до н.э. в Древней Греции, её создателем считается Аристотель. Аристотелевская, или традиционная, логика для анализа правильного мышления использует естественный язык, а символическая логика, появившаяся в XIX веке, пользуется искусственным языком символов, подобным языку математики.

В конце ХIХ — начале ХХ века были заложены основы математической, или символической, логики. Её суть заключается в том, что для обнаружения истинного значения выражений естественного языка можно применять математические методы.

Большой вклад в развитие символической логики внесли такие учёные, как Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс и др. В ХХ веке математическая логика оформилась в качестве самостоятельной дисциплины.

В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логическое моделирование логических устройств и средств вычислительной техники.

2. Алгебра логики

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Основоположником алгебры логики является английский математик Джордж Буль (1815—1864). Он изучал логику мышления математическими методами и разработал алгебраические методы решения традиционных логических задач, поэтому алгебру логики называют ещё булевой алгеброй.

Логическое высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, высказывание «сумма углов треугольника равна 180 градусам» — истинно, а высказывание «Рим — столица Греции» — ложно. Не всякое повествовательное предложение является логическим высказыванием.Определить, истинны или ложны предложения «ученик восьмого класса» и «очень жаркое лето» нельзя. Вопросительные предложения,предложения в повелительной форме также не являются высказываниями.

Истинность или ложность высказывания определяется не алгеброй логики, а конкретными науками, практикой, наблюдениями. Для алгебры логики важен не смысл высказывания, важна лишь его истинность или ложность.

Из заданных высказываний можно строить новые высказывания.Для этого используются слова и словосочетания «и», «или», «не», «либо..., либо», «тогда и только тогда» и др. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными (сложными). Высказывания, не являющиеся составными, называются простыми или элементарными. Например, из простых высказываний«Сергей футболист», «Сергей пловец» можно получить составное высказывание «Сергей футболист и пловец». Истинность этого высказывания означает, что Сергей занимается двумя видами спорта. Если высказывание ложно, то Сергей либо не занимается обоими видами спорта, либо не занимается хотя бы одним из них.

Другое составное высказывание «Сергей футболист или пловец» означает в алгебре логики, что при истинности высказывания Сергей или футболист, или пловец, или футболист и пловец одновременно. Если же высказывание ложно, значит, Сергей не занимается ни футболом,ни плаванием.

Алгебра логики позволяет определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В алгебре логики высказывания для формализации работы обозначают символическими именами, например: А, В, С. Тогда если обозначить простые высказывания «Денис сделал уроки» именем А, «Денис пошёл в кино» именем В, то составное высказывание «Денис сделал уроки и пошёл в кино» можно записать как «А и В». Здесь «и» — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать логические значения «истина» или «ложь».

Логические значения «истина» и «ложь» могут обозначаться иначе:

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности простых высказываний.

В алгебре логики логические связки рассматриваются как логические операции, имеющие название и обозначение.

3. Логические операции

В данной ниже таблице приведены логические операции и их обозначения,используемые как в алгебре логики, так и при записи алгоритмов и программ на некоторых языках программирования. Жирным шрифтом выделены обозначения операций, используемые в заданиях ГИА.

Операция отрицания выполняется над одним операндом. Такие операции называются одноместными или унарными. Правило выполнения этой операции: если значение логического операнда А истинно, то значение ¬А ложно, если А ложно, то ¬А истинно. Если высказывание«Денис сделал уроки» обозначить переменной А, то ¬А соответствует высказыванию «Денис не сделал уроки» или «неверно, что Денис сделал уроки».

Все остальные логические операции, перечисленные в таблице, выполняются над двумя операндами и называются двуместными или бинарными.

При выполнении операции конъюнкции результатом будет истина только в том случае, когда оба операнда истинны. Во всех остальных случаях результатом выполнения конъюнкции будет ложь. Например, высказывание А «число 7 простое» истинно, высказывание В «число 10 чётное» истинно. Высказывание «число 7 простое и число 10 чётное»Продолжение таблицы истинно. Высказывания «число 7 не простое и число 10 чётное», «число 7 простое и число 10 нечётное», «число 7 не простое и число 10 нечётное» ложны.

Результатом выполнения операции дизъюнкции будет ложь только в том случае, когда оба операнда ложны. Для получения истины хотя бы один операнд должен быть истинным. Например, три составных высказывания«число 7 простое или число 10 чётное», «число 7 не простое или число 10 чётное», «число 7 простое или число 10 нечётное» истинны,высказывание «число 7 не простое или число 10 нечётное» ложно.

Если операнды имеют разные логические значения, результатом операции исключающей дизъюнкции (исключающего ИЛИ) будет истина,а результатом операции эквиваленции — ложь. Если оба простые высказывания ложны или оба простые высказывания истинны, результатом операции исключающей дизъюнкции будет ложь, а операции эквиваленции — истина. Можно сделать вывод, что операция эквиваленции есть отрицание операции исключающей дизъюнкции и, наоборот: операция исключающей дизъюнкции есть отрицание операции эквиваленции.

В операции импликации А → В операнд А называют посылкой, операнд В — следствием или заключением. Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Тот факт, что когда А ложно, импликация А → В истинна при любомВ, соответствует принципу «ex falso quod libet» (лат. «из ложного (высказывания) — всё что угодно»).

Составим таблицу, иллюстрирующую правило выполнения операции импликации для высказываний А «идёт дождь», В «на небе тучи».

Пример составного высказывания «Если..., то...»

Из всех логических операций импликация вызывает больше всего вопросов. В разговорной речи связка «если..., то...» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Напомним, что в алгебре логики смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность. Высказывания А и В могут быть даже не связанными по содержанию, например: «если в огороде бузина, то в Киеве дядька». Надо понимать, что результат операции импликации, как и других логических операций, определяется истинностью или ложностью переменных, а не наличием причинно-следственных связей между высказываниями. Приведённый в таблице пример лишь помогает понять и запомнить правило выполнения импликации.

4. Таблицы истинности

Для задания логических операций используются таблицы истинности.В таблицах истинности перечисляются все возможные сочетания значений логических переменных (операндов) и результаты выполнения соответствующих логических операций. Как правило, используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Таблицы истинности могут быть записаны так же, как таблицы умножения. Такая форма записи называется картой Карно.

Таблицы истинности логических операций

В первой строке каждой таблицы записаны значения логической переменной В, в первом столбце — значения логической переменной А. На пересечении строки и столбца — результат выполнения логической операции при соответствующих значениях А и В.

Другой вид таблиц истинности показан ниже. Наборы значений аргументов и соответствующие им значения функций записаны в строках сводной таблицы истинности.

Сводная таблица истинности логических операций

Совокупность значений переменных называют набором, например: А = 0, В = 1. Если количество переменных N, то количество различных наборов 2N. Для двух переменных количество различных наборов 22 = 4. Для всех четырёх наборов логических переменных А и В записаны результаты применения к ним соответствующих логических операций.

5. Логические выражения

Составное логическое высказывание можно представить в виде логического выражения (формулы), состоящего из логических констант «истина» или «ложь», логических переменных (операндов), знаков логических операций и скобок. Логические выражения принимают значения«истина» или «ложь».

Дополнительная информация

Правила построения логических выражений

Логическая функция — это функция логических переменных X1, X2, X3, ..., XN:

которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0).

Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно S = 2N, где N — количество переменных.

Для каждого набора функция может принимать два значения, поэтому количество различных функций N переменных равно 2S. Приведём пример различных функций при N = 2. В этом случае S = 22 = 4, а количество разных функций равно 24 = 16.

Логическое выражение строится по правилам:

  1.  всякая логическая переменная, а также логические константы«истина» и «ложь» есть выражение;
  2.  если А — выражение, то ¬А — выражение;
  3.  если А и В — выражения, то (А & В), (А  В), (A  B), (АВ), (АВ) — выражения.

В соответствии с этими правилами ¬А & В  А & ¬В — выражение,¬А &  В — не выражение.

Логическое выражение строится по правилам:

  1.  всякая логическая переменная, а также логические константы«истина» и «ложь» есть выражение;
  2.  если А — выражение, то ¬А — выражение;
  3.  если А и В — выражения, то (А & В), (А  В), (A  B), (АВ), (АВ) — выражения.

В соответствии с этими правилами ¬А & В  А & ¬В — выражение,¬А &  В — не выражение.


В логических выражениях операции выполняются в соответствии с их приоритетами:

  1.  отрицание;
  2.  конъюнкция;
  3.  дизъюнкция, исключающая дизъюнкция (исключающее ИЛИ);
  4.  импликация, эквиваленция.

Самый высокий приоритет имеет операция отрицания, она выполняется в первую очередь. Далее, как и в арифметике, логическое умножение, затем логическое сложение. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Скобки меняют порядок выполнения операций.Например, при вычислении двух выражений последовательность выполнения операций будет следующей:

Если А = 1, В = 0, то результат вычисления первого выражения будет равен 1 (истина), второго — 0 (ложь).

Операции импликации, исключающего ИЛИ, эквиваленции можно выразить через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию — по формулам:

Именно по этой причине операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции называют основными: этих трёх операций достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические выражения

На самом деле описать и обработать логические выражения можно, используя и другие наборы основных операций, но при изучении информатики в школе они не рассматриваются.


.

Логические выражения, у которых для всех наборов входящих в них переменных значения в таблицах истинности совпадают, называютсяравносильными или эквивалентными. Равносильность выражений обозначается знаком равенства «=».

Логические выражения, принимающие значение «истина» при некоторых наборах входящих в них переменных и значение «ложь» при других наборах, называются выполнимыми. Пример: А  В.

Логические выражения, принимающие значение «истина» при любых значениях входящих в них переменных, называются тождественно-истинными выражениями или тавтологиями. Пример: А  ¬А.

Логические выражения, принимающие значение «ложь» при любых значениях входящих в них переменных, называются тождественно-ложными выражениями или противоречиями. Пример: А & ¬А.

Дополнительная информация

Логические функции

Логическая функция — это функция логических переменных X1, X2, X3, ..., XN:

которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0).

Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно S = 2N, где N — количество переменных.

Для каждого набора функция может принимать два значения, поэтому количество различных функций N переменных равно 2S. Приведём пример различных функций при N = 2. В этом случае S = 22 = 4, а количество разных функций равно 24 = 16.

Некоторые из этих функций соответствуют известным вам логическим операциям, например: Y2 — конъюнкция, Y8 — дизъюнкция.

6. Построение таблиц истинности

Убедиться в равносильности двух выражений можно, построив для них таблицы истинности. Количество строк в таблице будет равно числу наборов 2N, где N — количество логических переменных, входящих в выражения.

Для проверки равносильности выражений А → В и ¬А В построим таблицу истинности выражения ¬А В. Операции будем выполнять в соответствии с их приоритетами: первой выполняется операция отрицания,второй — дизъюнкции. В таблице количество строк равно четырём.Количество столбцов определяется количеством логических переменных и логических операций в выражении.

Результат в четвёртом столбце получен дизъюнкцией значений третьего и второго столбцов. Он совпадает с таблицей истинности операции импликации, записанной в последнем столбце.

Для построения таблицы истинности логического выражения необходимо:

  1.  определить количество строк таблицы по формуле 2N, где N — количество используемых логических переменных;
  2.  определить порядок выполнения операций в формуле с учётом приоритетов и скобок;
  3.  найти значения промежуточных формул и конечного результата в соответствии с таблицами истинности.

Построим таблицу истинности для выражения ¬А & В А & ¬В, чтобы убедиться в том, что оно равносильно исключающему ИЛИ А В.

В первую очередь выполняется операция отрицания (столбцы 3 и 4). Затем конъюнкция (логическое умножение) столбцов 3 и 2, столбцов 1 и 4. Результат в столбце 7 получен дизъюнкцией (логическим сложением)значений пятого и шестого столбцов, он совпадает с таблицей истинности операции исключающего ИЛИ (последний столбец).

Тест

Пример 5.1.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬ (
X > = 7) & (X > 4)?

4

6

8

10

Начало формы

Конец формы

Комментарий

далее Первой выполняется операция отрицания. Отрицанием высказывания (X > = 7) является (X < 7). Получим выражение (X < 7) & (X > 4). Для того чтобы выражение было истинным, оба неравенства должны одновременно выполняться, т. е. быть истинными. Этому условию соответствуют значения Х = 5 и Х = 6.

Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим (X > 5) & ¬ (X < 5) ¬ (X > 0). Далее выполним операции отрицания, получим (X > 5) & (X > = 5) (X ≤ 0). Затем выполняется операция конъюнкции (X > 5) & (X ≥ 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае, если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X > 5. Наконец, последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы хотя бы один из операндов был истинным: Х > 5 или X ≤ 0. В предложенных ответах все числа положительные, значит, ответ Х = 7.

Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности.Пусть переменная А — неравенство (X  2 > 10), переменная В – (X + 3 < 8), переменная С – (X > 0). Тогда выражение можно записать в виде А & ¬В  ¬С. Порядок выполнения операций: отрицание В, отрицание С, логическое умножение, логическое сложение.

Тест

Пример 5.2.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(
X  2 > 10) & ¬ (X + 3 < 8) ¬ (X > 0)?

0

2

4

7

Начало формы

Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим (X > 5) & ¬ (X < 5) ¬ (X > 0). Далее выполним операции отрицания, получим (X > 5) & (X > = 5) (X ≤ 0). Затем выполняется операция конъюнкции (X > 5) & (X ≥ 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае, если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X > 5. Наконец, последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы хотя бы один из операндов был истинным: Х > 5 или X ≤ 0. В предложенных ответах все числа положительные, значит, ответ Х = 7.

Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности. Пусть переменная А — неравенство (X  2 > 10), переменная В – (X + 3 < 8), переменная С – (X > 0). Тогда выражение можно записать в виде А & ¬В  ¬С. Порядок выполнения операций: отрицание В, отрицание С, логическое умножение, логическое сложение.

7. Основные законы алгебры логики

Способ определения истинности сложного выражения путём построения таблиц истинности становится громоздким при возрастании количества логических переменных, так как число наборов резко увеличивается.В таких случаях используют способы упрощения формул путём применения равносильных преобразований. Ниже в таблице приведены основные законы алгебры логики.

Основные законы алгебры логики

Выполняется закон двойственности: если конъюнкцию заменить дизъюнкцией, дизъюнкцию заменить конъюнкцией, 0 заменить на 1, а 1 на 0, то равносильность, записанная для дизъюнкции, перейдёт в равносильность, записанную для конъюнкции.

Под упрощением формулы понимают равносильное преобразование,приводящее к нормальной форме.

Выражение имеет нормальную форму, если в нём используются только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания переменных. При этом не используются двойное отрицание и отрицание выражений.

Для приведения выражения к нормальной форме в первую очередь избавляются от отрицаний выражений, операций импликации, эквиваленции и исключающего или. Затем используют законы алгебры логики для уменьшения количества вхождений переменных.

Применение законов алгебры логики, похожих на законы преобразований в обычной алгебре, не вызывает затруднений. Рассмотрим примеры применения законов склеивания, поглощения, идемпотентности, законов де Моргана, не имеющих аналогов в обычной алгебре.

Закон склеивания А & В ¬А & В = В и В) & (¬А В) = В.

  1.  Упростить выражение X & Y & Z ¬X & Y & Z. В выражении X & Y & Z ¬X & Y & Z переменной А соответствует переменная X, переменной В соответствует выражение Y & Z. Тогда в результате упрощения получим
  2.  Упростить выражение (X Y Z) & (X ¬Y Z). В выражении (X Y Z) & (X ¬Y Z) переменной А соответствует переменная Y, переменной В соответствует выражение X Z. Получим
  3.  Упростить выражение X & Y & Z ¬X & Y & Z X & ¬Y & Z   X & Y & ¬Z. В этом примере, на первый взгляд, закон склеивания можно использовать только один раз — для первого слагаемого и одного из трёх других: 

Но если использовать закон идемпотентности А = А А, можно в исходную формулу добавить ещё два слагаемых, совпадающих с первым. Получим

Закон поглощения (см. табл.

)

  1.  Упростить выражение X X & Y X & Z X & Y & Z. Для всех слагаемых общим сомножителем является X. Последовательно применяя закон поглощения А А & В = А, получим
  2.  Упростить выражение X ¬X & Y ¬X & Z ¬X & Y & Z. Последовательно применяя закон поглощения А ¬А & В = А В, получим

В предпоследней строке к выражению Z ¬X & Y & Z был применён закон поглощения А А & В = А.

  1.  Упростить выражение (X Y) & (X Y Z) & (X Y ¬Z). Для всех сомножителей общим слагаемым является X Y, это и есть результат упрощения.

Совет: В операциях конъюнкции и дизъюнкции имена переменных записывайте в алфавитном порядке, причём сначала переменную,а затем её отрицание.

Комментарий

далее

Выполним преобразования выражений. Выделим шрифтом фрагменты, к которым применяются законы алгебры логики.

  1.  А В & (С ¬А А & С) & ¬В = А В & ¬В (С ¬А   А & С) = А + 0 = А. Формула выполнимая.
  2.  А & В & (С ¬А А & С) ¬В = А & В & (С ¬А)   ¬В = А & (С ¬А) ¬В = А & С ¬В. Формула выполнимая.
  3.  А & В ¬А А & С) & ¬В = А & В ¬А) & ¬В = А & В ¬В & С ¬А & ¬В. Формула выполнимая.
  4.  А & В & (С ¬А А & С) & ¬В =А & В & ¬В & (С   ¬А А & С) = А & 0 & (С ¬А А & С) = 0. Формула тождественно ложная.


Тест

Пример 5.3.

Какое из перечисленных выражений является тождественно ложным?

А В & (С ¬А А & С) & ¬В

А & В & (С ¬А А & С) ¬В

А & В ¬А А & С) & ¬В

А & В & (С ¬А А & С) & ¬В

Начало формы

ОтветитьПоказать правильный ответ

Конец формы

Комментарий

далее

Выполним преобразования, используя законы де Моргана, закон двойного отрицания и формулу поглощения:


Тест

Пример 5.4.

Логическое выражение ¬(А & (В ¬С) ¬А & В) равносильно выражению

1

¬А & ¬В ¬В & С

¬А ¬В & С

¬А & С ¬В

Начало формы

Ответить

8. Задания для самостоятельного решения (часть А)

Тест

Пример 5.5.

Таблица истинности логической функции F = А & В ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.6.

Таблица истинности логической функцииF = ¬А & В & ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.7.

Таблица истинности логической функции
F = ¬А & ¬В А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.8.

Таблица истинности логической функции
F = ¬А & В ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.9.

Таблица истинности логической функции
F = (А & В) & ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.10.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X < 2) & (X < 3)?

1

2

3

4

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.11.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X > 2) (X > 6)?

2

3

4

5

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.12.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X > 5) & ¬(X < 2)?

0

1

3

6

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.13.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬((X — 2 > 6) (X — 4 > 8)) & ¬(X  3 > 25)?

7

9

11

12

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.14.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X : 2 < 5) & ¬(X + 17 > 30) & (X  3 < 39)?

8

9

12

13

Начало формы

Ответить

Пример 5.15.

Укажите тождественно истинное выражение.

¬А ¬В & (¬А А & В) ¬В

А & (¬А & В А & ¬В) ¬А

А & (¬А & В А & ¬В) & ¬А

А В & (¬А А & В) ¬В

Начало формы

Ответить

Конец формы

Тест

Пример 5.16.

Укажите тождественно ложное выражение.

¬(А В) & (¬А В)

¬(А & В) & (¬А В)

¬(А В) & (¬А & В)

¬(А & В) & (¬А & В)

Начало формы

Ответить

Конец формы

Пример 5.17.

Логическое выражение
(¬А С) & ¬(А & С) & (В ¬С) & ¬(В & С) равносильно выражению

(¬А & ¬С) (¬В & ¬С)

¬А ¬C

¬А ¬В ¬С

¬А & С ¬А & ¬C ¬В & ¬С

Начало формы

Конец формы

Тест

Пример 5.18.

Логическое выражение ¬(А & В ¬С)) ¬А & В) равносильно выражению

0

¬А & В ¬А & C ¬В & С

¬А ¬В ¬С

¬А & В ¬А & ¬C ¬В & ¬С

Начало формы

Конец формы

Тест

Пример 5.19.

Логическое выражение ¬(А В) & (А С) & (С В) равносильно выражению

¬А В С

¬А & В & С

¬А & В & C А & В В & С

А & В ¬А & C В & С

Начало формы

Конец формы

Конец формы

Конец формы

Некоторые из этих функций соответствуют известным вам логическим операциям, например: Y2 — конъюнкция, Y8 — дизъюнкция.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80967. Пізнавальні процеси у навчанні історії 41.83 KB
  Найважливішим серед пізнавальних процесів є сприйняття - наочно- образне, просторово-часове відбиття у свідомості людини предмета, ( явища, яке базується на різних відчуттях (колір, звуки, запахи, форма, обсяг та інші), розумінні предмета чи осмисленні його на основі попереднього досвіду (далекість, швидкість, напрямок руху, тривалість процесів й інші властивості).
80968. Визначте методику роботи з історичними картами на уроках історії в школі 33.82 KB
  Важливим джерелом інформації є історична карта яка відображає особливості розвитку людства в минулому. Робота з історичними картами є наочним методом. Настінна карта зазвичай відображає великі території містить відомості щодо тривалих історичних періодів й різних аспектів історичного процесу.
80969. Особливості пізнавального інтересу учнів до історії 35.74 KB
  Метою розвитку мотиваційної сфери учнів у навчанні історії виступає формування стійкого інтересу до предмета що передбачає активне емоційнопізнавальне ставлення школярів до досліджуваних історичних подій до зясування їхніх причин і наслідків а також до оволодіння вміннями необхідними для всебічного вивчення минулоі о і сучасності на основі різноманітних джерел. Отже одним із важливих завдань навчання в умовах цілісної методичної системи є підвищення рівня розвитку інтересу. У числі загальних зовнішніх причин падіння інтересу...
80970. Організація самостійної роботи учнів при вивченні теми: «Виникнення та розвиток Київської Русі » (7 клас) 39.16 KB
  Проблема диференційованого підходу до учнів у навчанні історії. Диференційоване навчання організація навчальновиховного процесу з урахуванням типових індивідуальних особливостей учнів. Складнішим і ефективнішим видом диференційованого навчання є здійснення його в умовах поділу класу на групи залежно від рівня навчальних можливостей учнів.
80971. Планування роботи із контурною картою при вивченні теми: «Великі географічні відкриття: зустріч цивілізацій» (8 клас) 37.85 KB
  Розглядаючи тему: Великі географічні відкриття доба відкриттів європейськими мореплавцями невідомих раніше морів та океанів островів і континентів здійснення першої навколосвітньої морської подорожі колонізації заморських територій кінець XVсеред. Нові географічні відкриття зумовлювалися насамперед бурхливим розвитком продуктивних сил прагненням європейців задовольнити зрослі потреби в дорогоцінних металах і прянощах відповідно пошуками морських шляхів до Китаю та Індії. Великі географічні відкриття стали можливими завдяки значному...
80972. Способи вивчення пізнавального інтересу учнів до історії 38.89 KB
  В учнівських диктантах було відтворено від 8 до 21 інформаційних одиниць. Діагностуючий диктант допомагає вчителю вчасно звернути увагу на труднощі в сприйнятті й осмисленні історичного матеріалу що є в учнів даного класу 9віку0. Якщо взяти за основу зміни особистісних особливостей учнів то в своїй роботі у напрямку посилення пізнавального інтересу учнів до історії перш за все беру до уваги що учні основної школи та старшої школи мають зовсім різну підготовки виходячи з їх віку.
80973. Дайте оцінку сучасним вимогам до уроків історії 39.52 KB
  Розуміння і виконання вчителем сучасних вимог до уроку які визначаються соціальним замовленням. Оптимального балансу в змісті уроку компонентів світової національної регіональної та локальної історії. Творчою емоційної атмосфери заснованої на інтерес учнів до змісту уроку та видами навчальної роботи...
80974. Визначення рівня розвитку пізнавальних здібностей школярів до вивчення історії 32.33 KB
  Наприклад: 1 Складіть максимальну кількість речень з одними і тими самими словами але різних за смислом: лицаріхрестоносці кривава битва князівські дружини діагностика вербальної уяви.Порівняйте два зображення на історичну тему і знайдіть відмінності діагностика довільної уваги. По деталі здогадайтеся що це за споруда і назвіть її діагностика образної уяви. На основі аналітичного опису намалюйте предмет про який іде мова діагностика репродуктивної та творчої уяви.
80975. Права та обов’язки вчителя історії 36.39 KB
  Мають право на: захист професійної честі гідності; участь в обговоренні та вирішенні питань організації навчальновиховного процесу; проведення науководослідної експериментальної пошукової роботи відповідно до діючих нормативних документів; вільний вибір форм методів засобів навчання виявлення педагогічної ініціативи; дострокову атестацію на отримання відповідної категорії і педагогічного звання; соціальне і матеріальне забезпечення відповідно до законодавства; підвищення кваліфікації перепідготовку вільний вибір змісту...