62437

Логические основы обработки информации

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мышление изучают и психология, и педагогика, и многие другие науки. По содержанию человеческое мышление бесконечно многообразно,ведь думать можно о чём угодно. Но мысли возникают и строятся по одним и тем же законам, подчиняются одним и тем же принципам, имеют одни и те же схемы или формы.

Русский

2014-06-10

465.89 KB

18 чел.

Урок: 5. Логические основы обработки информации

1. Логика

Логика (греч. logikt < logos — довод, доказательство; разумное основание; наука о рассуждении, искусство рассуждения) — наука о формах, методах и законах правильного мышления.

Мышление изучают и психология, и педагогика, и многие другие науки. По содержанию человеческое мышление бесконечно многообразно,ведь думать можно о чём угодно. Но мысли возникают и строятся по одним и тем же законам, подчиняются одним и тем же принципам, имеют одни и те же схемы или формы.

Рассмотрим пример. Следующие высказывания:

  1.  все ананасы — это фрукты;
  2.  все тигры — это хищные животные;
  3.  все автомобили — это транспортные средства —

различаются по содержанию, но сходны по форме: «все А — это В», где А и В — это какие-либо предметы. Само высказывание «все А — это В» не имеет содержания, оно представляет собой форму, которую можно наполнить любым содержанием, например: «все учебники — это книги».

Рассмотрим другой пример. Три различных по содержанию высказывания:

  1.  если наступает весна, то тает снег;
  2.  если не готовиться к ГИА, то можно получить двойку;
  3.  если стоит сильный туман, то самолёты не могут совершить посадку —

строятся по одной и той же форме: «если А, то В». И к этой форме можно подобрать множество различных содержательных высказываний.

Логика не интересуется содержанием мышления, она изучает только формы мышления. Логику интересует не что мы мыслим, а как мы мыслим, поэтому она также часто называется формальной логикой. Например, если по содержанию высказывание «все комары — это насекомые» является понятным, осмысленным, а высказывание «все крокодилы — это птицы» является бессмысленным, то для логики эти два высказывания равноценны: ведь она занимается формами мышления, а форма у этих двух высказываний одна и та же — «все А — это В».

Таким образом, форма мышления — это способ, которым выражаются мысли, или схема, по которой они строятся. Существует три формы мышления.

  1.  Понятие — это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект или признак объекта, отличающий его от других объектов. Примеры понятий: «собака», «растение», «планета», «химический элемент», «смелость», «трудолюбие» и т. п.
  2.  Высказывание (суждение, утверждение) — это форма мышления,в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах понятий и отношениях между ними, например: «Солнце не является планетой»; «некоторые вещества — это металлы»; «все цифры — это знаки»; «2 2 = 4» и т. п.). Высказывание может быть истинным или ложным.
  3.  Умозаключение — это форма мышления, в которой из двух или нескольких исходных высказываний получают новое высказывание или вывод. Пример умозаключения: «Все металлы электропроводны. Железо — это металл. Железо электропроводно».

Помимо форм мышления, логика также занимается законами мышления, т. е. такими правилами, соблюдение которых приводит рассуждение к истинным выводам при условии истинности исходных суждений.

Основная цель логики — исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи входящих в него утверждений и их строения,а не от их конкретного содержания. Отсюда ещё одно определение логики. Логика — наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний.

Исторически логика изучалась как часть философии. Сейчас логика изучается ещё и как часть математики и информатики.

Дополнительная информация

Логика

Логика появилась примерно в IV веке до н.э. в Древней Греции, её создателем считается Аристотель. Аристотелевская, или традиционная, логика для анализа правильного мышления использует естественный язык, а символическая логика, появившаяся в XIX веке, пользуется искусственным языком символов, подобным языку математики.

В конце ХIХ — начале ХХ века были заложены основы математической, или символической, логики. Её суть заключается в том, что для обнаружения истинного значения выражений естественного языка можно применять математические методы.

Большой вклад в развитие символической логики внесли такие учёные, как Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс и др. В ХХ веке математическая логика оформилась в качестве самостоятельной дисциплины.

В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логическое моделирование логических устройств и средств вычислительной техники.

2. Алгебра логики

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Основоположником алгебры логики является английский математик Джордж Буль (1815—1864). Он изучал логику мышления математическими методами и разработал алгебраические методы решения традиционных логических задач, поэтому алгебру логики называют ещё булевой алгеброй.

Логическое высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, высказывание «сумма углов треугольника равна 180 градусам» — истинно, а высказывание «Рим — столица Греции» — ложно. Не всякое повествовательное предложение является логическим высказыванием.Определить, истинны или ложны предложения «ученик восьмого класса» и «очень жаркое лето» нельзя. Вопросительные предложения,предложения в повелительной форме также не являются высказываниями.

Истинность или ложность высказывания определяется не алгеброй логики, а конкретными науками, практикой, наблюдениями. Для алгебры логики важен не смысл высказывания, важна лишь его истинность или ложность.

Из заданных высказываний можно строить новые высказывания.Для этого используются слова и словосочетания «и», «или», «не», «либо..., либо», «тогда и только тогда» и др. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными (сложными). Высказывания, не являющиеся составными, называются простыми или элементарными. Например, из простых высказываний«Сергей футболист», «Сергей пловец» можно получить составное высказывание «Сергей футболист и пловец». Истинность этого высказывания означает, что Сергей занимается двумя видами спорта. Если высказывание ложно, то Сергей либо не занимается обоими видами спорта, либо не занимается хотя бы одним из них.

Другое составное высказывание «Сергей футболист или пловец» означает в алгебре логики, что при истинности высказывания Сергей или футболист, или пловец, или футболист и пловец одновременно. Если же высказывание ложно, значит, Сергей не занимается ни футболом,ни плаванием.

Алгебра логики позволяет определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В алгебре логики высказывания для формализации работы обозначают символическими именами, например: А, В, С. Тогда если обозначить простые высказывания «Денис сделал уроки» именем А, «Денис пошёл в кино» именем В, то составное высказывание «Денис сделал уроки и пошёл в кино» можно записать как «А и В». Здесь «и» — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать логические значения «истина» или «ложь».

Логические значения «истина» и «ложь» могут обозначаться иначе:

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности простых высказываний.

В алгебре логики логические связки рассматриваются как логические операции, имеющие название и обозначение.

3. Логические операции

В данной ниже таблице приведены логические операции и их обозначения,используемые как в алгебре логики, так и при записи алгоритмов и программ на некоторых языках программирования. Жирным шрифтом выделены обозначения операций, используемые в заданиях ГИА.

Операция отрицания выполняется над одним операндом. Такие операции называются одноместными или унарными. Правило выполнения этой операции: если значение логического операнда А истинно, то значение ¬А ложно, если А ложно, то ¬А истинно. Если высказывание«Денис сделал уроки» обозначить переменной А, то ¬А соответствует высказыванию «Денис не сделал уроки» или «неверно, что Денис сделал уроки».

Все остальные логические операции, перечисленные в таблице, выполняются над двумя операндами и называются двуместными или бинарными.

При выполнении операции конъюнкции результатом будет истина только в том случае, когда оба операнда истинны. Во всех остальных случаях результатом выполнения конъюнкции будет ложь. Например, высказывание А «число 7 простое» истинно, высказывание В «число 10 чётное» истинно. Высказывание «число 7 простое и число 10 чётное»Продолжение таблицы истинно. Высказывания «число 7 не простое и число 10 чётное», «число 7 простое и число 10 нечётное», «число 7 не простое и число 10 нечётное» ложны.

Результатом выполнения операции дизъюнкции будет ложь только в том случае, когда оба операнда ложны. Для получения истины хотя бы один операнд должен быть истинным. Например, три составных высказывания«число 7 простое или число 10 чётное», «число 7 не простое или число 10 чётное», «число 7 простое или число 10 нечётное» истинны,высказывание «число 7 не простое или число 10 нечётное» ложно.

Если операнды имеют разные логические значения, результатом операции исключающей дизъюнкции (исключающего ИЛИ) будет истина,а результатом операции эквиваленции — ложь. Если оба простые высказывания ложны или оба простые высказывания истинны, результатом операции исключающей дизъюнкции будет ложь, а операции эквиваленции — истина. Можно сделать вывод, что операция эквиваленции есть отрицание операции исключающей дизъюнкции и, наоборот: операция исключающей дизъюнкции есть отрицание операции эквиваленции.

В операции импликации А → В операнд А называют посылкой, операнд В — следствием или заключением. Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Тот факт, что когда А ложно, импликация А → В истинна при любомВ, соответствует принципу «ex falso quod libet» (лат. «из ложного (высказывания) — всё что угодно»).

Составим таблицу, иллюстрирующую правило выполнения операции импликации для высказываний А «идёт дождь», В «на небе тучи».

Пример составного высказывания «Если..., то...»

Из всех логических операций импликация вызывает больше всего вопросов. В разговорной речи связка «если..., то...» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Напомним, что в алгебре логики смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность. Высказывания А и В могут быть даже не связанными по содержанию, например: «если в огороде бузина, то в Киеве дядька». Надо понимать, что результат операции импликации, как и других логических операций, определяется истинностью или ложностью переменных, а не наличием причинно-следственных связей между высказываниями. Приведённый в таблице пример лишь помогает понять и запомнить правило выполнения импликации.

4. Таблицы истинности

Для задания логических операций используются таблицы истинности.В таблицах истинности перечисляются все возможные сочетания значений логических переменных (операндов) и результаты выполнения соответствующих логических операций. Как правило, используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Таблицы истинности могут быть записаны так же, как таблицы умножения. Такая форма записи называется картой Карно.

Таблицы истинности логических операций

В первой строке каждой таблицы записаны значения логической переменной В, в первом столбце — значения логической переменной А. На пересечении строки и столбца — результат выполнения логической операции при соответствующих значениях А и В.

Другой вид таблиц истинности показан ниже. Наборы значений аргументов и соответствующие им значения функций записаны в строках сводной таблицы истинности.

Сводная таблица истинности логических операций

Совокупность значений переменных называют набором, например: А = 0, В = 1. Если количество переменных N, то количество различных наборов 2N. Для двух переменных количество различных наборов 22 = 4. Для всех четырёх наборов логических переменных А и В записаны результаты применения к ним соответствующих логических операций.

5. Логические выражения

Составное логическое высказывание можно представить в виде логического выражения (формулы), состоящего из логических констант «истина» или «ложь», логических переменных (операндов), знаков логических операций и скобок. Логические выражения принимают значения«истина» или «ложь».

Дополнительная информация

Правила построения логических выражений

Логическая функция — это функция логических переменных X1, X2, X3, ..., XN:

которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0).

Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно S = 2N, где N — количество переменных.

Для каждого набора функция может принимать два значения, поэтому количество различных функций N переменных равно 2S. Приведём пример различных функций при N = 2. В этом случае S = 22 = 4, а количество разных функций равно 24 = 16.

Логическое выражение строится по правилам:

  1.  всякая логическая переменная, а также логические константы«истина» и «ложь» есть выражение;
  2.  если А — выражение, то ¬А — выражение;
  3.  если А и В — выражения, то (А & В), (А  В), (A  B), (АВ), (АВ) — выражения.

В соответствии с этими правилами ¬А & В  А & ¬В — выражение,¬А &  В — не выражение.

Логическое выражение строится по правилам:

  1.  всякая логическая переменная, а также логические константы«истина» и «ложь» есть выражение;
  2.  если А — выражение, то ¬А — выражение;
  3.  если А и В — выражения, то (А & В), (А  В), (A  B), (АВ), (АВ) — выражения.

В соответствии с этими правилами ¬А & В  А & ¬В — выражение,¬А &  В — не выражение.


В логических выражениях операции выполняются в соответствии с их приоритетами:

  1.  отрицание;
  2.  конъюнкция;
  3.  дизъюнкция, исключающая дизъюнкция (исключающее ИЛИ);
  4.  импликация, эквиваленция.

Самый высокий приоритет имеет операция отрицания, она выполняется в первую очередь. Далее, как и в арифметике, логическое умножение, затем логическое сложение. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Скобки меняют порядок выполнения операций.Например, при вычислении двух выражений последовательность выполнения операций будет следующей:

Если А = 1, В = 0, то результат вычисления первого выражения будет равен 1 (истина), второго — 0 (ложь).

Операции импликации, исключающего ИЛИ, эквиваленции можно выразить через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию — по формулам:

Именно по этой причине операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции называют основными: этих трёх операций достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические выражения

На самом деле описать и обработать логические выражения можно, используя и другие наборы основных операций, но при изучении информатики в школе они не рассматриваются.


.

Логические выражения, у которых для всех наборов входящих в них переменных значения в таблицах истинности совпадают, называютсяравносильными или эквивалентными. Равносильность выражений обозначается знаком равенства «=».

Логические выражения, принимающие значение «истина» при некоторых наборах входящих в них переменных и значение «ложь» при других наборах, называются выполнимыми. Пример: А  В.

Логические выражения, принимающие значение «истина» при любых значениях входящих в них переменных, называются тождественно-истинными выражениями или тавтологиями. Пример: А  ¬А.

Логические выражения, принимающие значение «ложь» при любых значениях входящих в них переменных, называются тождественно-ложными выражениями или противоречиями. Пример: А & ¬А.

Дополнительная информация

Логические функции

Логическая функция — это функция логических переменных X1, X2, X3, ..., XN:

которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0).

Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно S = 2N, где N — количество переменных.

Для каждого набора функция может принимать два значения, поэтому количество различных функций N переменных равно 2S. Приведём пример различных функций при N = 2. В этом случае S = 22 = 4, а количество разных функций равно 24 = 16.

Некоторые из этих функций соответствуют известным вам логическим операциям, например: Y2 — конъюнкция, Y8 — дизъюнкция.

6. Построение таблиц истинности

Убедиться в равносильности двух выражений можно, построив для них таблицы истинности. Количество строк в таблице будет равно числу наборов 2N, где N — количество логических переменных, входящих в выражения.

Для проверки равносильности выражений А → В и ¬А В построим таблицу истинности выражения ¬А В. Операции будем выполнять в соответствии с их приоритетами: первой выполняется операция отрицания,второй — дизъюнкции. В таблице количество строк равно четырём.Количество столбцов определяется количеством логических переменных и логических операций в выражении.

Результат в четвёртом столбце получен дизъюнкцией значений третьего и второго столбцов. Он совпадает с таблицей истинности операции импликации, записанной в последнем столбце.

Для построения таблицы истинности логического выражения необходимо:

  1.  определить количество строк таблицы по формуле 2N, где N — количество используемых логических переменных;
  2.  определить порядок выполнения операций в формуле с учётом приоритетов и скобок;
  3.  найти значения промежуточных формул и конечного результата в соответствии с таблицами истинности.

Построим таблицу истинности для выражения ¬А & В А & ¬В, чтобы убедиться в том, что оно равносильно исключающему ИЛИ А В.

В первую очередь выполняется операция отрицания (столбцы 3 и 4). Затем конъюнкция (логическое умножение) столбцов 3 и 2, столбцов 1 и 4. Результат в столбце 7 получен дизъюнкцией (логическим сложением)значений пятого и шестого столбцов, он совпадает с таблицей истинности операции исключающего ИЛИ (последний столбец).

Тест

Пример 5.1.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬ (
X > = 7) & (X > 4)?

4

6

8

10

Начало формы

Конец формы

Комментарий

далее Первой выполняется операция отрицания. Отрицанием высказывания (X > = 7) является (X < 7). Получим выражение (X < 7) & (X > 4). Для того чтобы выражение было истинным, оба неравенства должны одновременно выполняться, т. е. быть истинными. Этому условию соответствуют значения Х = 5 и Х = 6.

Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим (X > 5) & ¬ (X < 5) ¬ (X > 0). Далее выполним операции отрицания, получим (X > 5) & (X > = 5) (X ≤ 0). Затем выполняется операция конъюнкции (X > 5) & (X ≥ 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае, если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X > 5. Наконец, последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы хотя бы один из операндов был истинным: Х > 5 или X ≤ 0. В предложенных ответах все числа положительные, значит, ответ Х = 7.

Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности.Пусть переменная А — неравенство (X  2 > 10), переменная В – (X + 3 < 8), переменная С – (X > 0). Тогда выражение можно записать в виде А & ¬В  ¬С. Порядок выполнения операций: отрицание В, отрицание С, логическое умножение, логическое сложение.

Тест

Пример 5.2.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(
X  2 > 10) & ¬ (X + 3 < 8) ¬ (X > 0)?

0

2

4

7

Начало формы

Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим (X > 5) & ¬ (X < 5) ¬ (X > 0). Далее выполним операции отрицания, получим (X > 5) & (X > = 5) (X ≤ 0). Затем выполняется операция конъюнкции (X > 5) & (X ≥ 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае, если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X > 5. Наконец, последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы хотя бы один из операндов был истинным: Х > 5 или X ≤ 0. В предложенных ответах все числа положительные, значит, ответ Х = 7.

Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности. Пусть переменная А — неравенство (X  2 > 10), переменная В – (X + 3 < 8), переменная С – (X > 0). Тогда выражение можно записать в виде А & ¬В  ¬С. Порядок выполнения операций: отрицание В, отрицание С, логическое умножение, логическое сложение.

7. Основные законы алгебры логики

Способ определения истинности сложного выражения путём построения таблиц истинности становится громоздким при возрастании количества логических переменных, так как число наборов резко увеличивается.В таких случаях используют способы упрощения формул путём применения равносильных преобразований. Ниже в таблице приведены основные законы алгебры логики.

Основные законы алгебры логики

Выполняется закон двойственности: если конъюнкцию заменить дизъюнкцией, дизъюнкцию заменить конъюнкцией, 0 заменить на 1, а 1 на 0, то равносильность, записанная для дизъюнкции, перейдёт в равносильность, записанную для конъюнкции.

Под упрощением формулы понимают равносильное преобразование,приводящее к нормальной форме.

Выражение имеет нормальную форму, если в нём используются только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания переменных. При этом не используются двойное отрицание и отрицание выражений.

Для приведения выражения к нормальной форме в первую очередь избавляются от отрицаний выражений, операций импликации, эквиваленции и исключающего или. Затем используют законы алгебры логики для уменьшения количества вхождений переменных.

Применение законов алгебры логики, похожих на законы преобразований в обычной алгебре, не вызывает затруднений. Рассмотрим примеры применения законов склеивания, поглощения, идемпотентности, законов де Моргана, не имеющих аналогов в обычной алгебре.

Закон склеивания А & В ¬А & В = В и В) & (¬А В) = В.

  1.  Упростить выражение X & Y & Z ¬X & Y & Z. В выражении X & Y & Z ¬X & Y & Z переменной А соответствует переменная X, переменной В соответствует выражение Y & Z. Тогда в результате упрощения получим
  2.  Упростить выражение (X Y Z) & (X ¬Y Z). В выражении (X Y Z) & (X ¬Y Z) переменной А соответствует переменная Y, переменной В соответствует выражение X Z. Получим
  3.  Упростить выражение X & Y & Z ¬X & Y & Z X & ¬Y & Z   X & Y & ¬Z. В этом примере, на первый взгляд, закон склеивания можно использовать только один раз — для первого слагаемого и одного из трёх других: 

Но если использовать закон идемпотентности А = А А, можно в исходную формулу добавить ещё два слагаемых, совпадающих с первым. Получим

Закон поглощения (см. табл.

)

  1.  Упростить выражение X X & Y X & Z X & Y & Z. Для всех слагаемых общим сомножителем является X. Последовательно применяя закон поглощения А А & В = А, получим
  2.  Упростить выражение X ¬X & Y ¬X & Z ¬X & Y & Z. Последовательно применяя закон поглощения А ¬А & В = А В, получим

В предпоследней строке к выражению Z ¬X & Y & Z был применён закон поглощения А А & В = А.

  1.  Упростить выражение (X Y) & (X Y Z) & (X Y ¬Z). Для всех сомножителей общим слагаемым является X Y, это и есть результат упрощения.

Совет: В операциях конъюнкции и дизъюнкции имена переменных записывайте в алфавитном порядке, причём сначала переменную,а затем её отрицание.

Комментарий

далее

Выполним преобразования выражений. Выделим шрифтом фрагменты, к которым применяются законы алгебры логики.

  1.  А В & (С ¬А А & С) & ¬В = А В & ¬В (С ¬А   А & С) = А + 0 = А. Формула выполнимая.
  2.  А & В & (С ¬А А & С) ¬В = А & В & (С ¬А)   ¬В = А & (С ¬А) ¬В = А & С ¬В. Формула выполнимая.
  3.  А & В ¬А А & С) & ¬В = А & В ¬А) & ¬В = А & В ¬В & С ¬А & ¬В. Формула выполнимая.
  4.  А & В & (С ¬А А & С) & ¬В =А & В & ¬В & (С   ¬А А & С) = А & 0 & (С ¬А А & С) = 0. Формула тождественно ложная.


Тест

Пример 5.3.

Какое из перечисленных выражений является тождественно ложным?

А В & (С ¬А А & С) & ¬В

А & В & (С ¬А А & С) ¬В

А & В ¬А А & С) & ¬В

А & В & (С ¬А А & С) & ¬В

Начало формы

ОтветитьПоказать правильный ответ

Конец формы

Комментарий

далее

Выполним преобразования, используя законы де Моргана, закон двойного отрицания и формулу поглощения:


Тест

Пример 5.4.

Логическое выражение ¬(А & (В ¬С) ¬А & В) равносильно выражению

1

¬А & ¬В ¬В & С

¬А ¬В & С

¬А & С ¬В

Начало формы

Ответить

8. Задания для самостоятельного решения (часть А)

Тест

Пример 5.5.

Таблица истинности логической функции F = А & В ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.6.

Таблица истинности логической функцииF = ¬А & В & ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.7.

Таблица истинности логической функции
F = ¬А & ¬В А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.8.

Таблица истинности логической функции
F = ¬А & В ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.9.

Таблица истинности логической функции
F = (А & В) & ¬А & ¬В имеет вид

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.10.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X < 2) & (X < 3)?

1

2

3

4

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.11.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X > 2) (X > 6)?

2

3

4

5

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.12.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X > 5) & ¬(X < 2)?

0

1

3

6

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.13.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬((X — 2 > 6) (X — 4 > 8)) & ¬(X  3 > 25)?

7

9

11

12

Начало формы

Ответить

Тест

Пример 5.14.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X : 2 < 5) & ¬(X + 17 > 30) & (X  3 < 39)?

8

9

12

13

Начало формы

Ответить

Пример 5.15.

Укажите тождественно истинное выражение.

¬А ¬В & (¬А А & В) ¬В

А & (¬А & В А & ¬В) ¬А

А & (¬А & В А & ¬В) & ¬А

А В & (¬А А & В) ¬В

Начало формы

Ответить

Конец формы

Тест

Пример 5.16.

Укажите тождественно ложное выражение.

¬(А В) & (¬А В)

¬(А & В) & (¬А В)

¬(А В) & (¬А & В)

¬(А & В) & (¬А & В)

Начало формы

Ответить

Конец формы

Пример 5.17.

Логическое выражение
(¬А С) & ¬(А & С) & (В ¬С) & ¬(В & С) равносильно выражению

(¬А & ¬С) (¬В & ¬С)

¬А ¬C

¬А ¬В ¬С

¬А & С ¬А & ¬C ¬В & ¬С

Начало формы

Конец формы

Тест

Пример 5.18.

Логическое выражение ¬(А & В ¬С)) ¬А & В) равносильно выражению

0

¬А & В ¬А & C ¬В & С

¬А ¬В ¬С

¬А & В ¬А & ¬C ¬В & ¬С

Начало формы

Конец формы

Тест

Пример 5.19.

Логическое выражение ¬(А В) & (А С) & (С В) равносильно выражению

¬А В С

¬А & В & С

¬А & В & C А & В В & С

А & В ¬А & C В & С

Начало формы

Конец формы

Конец формы

Конец формы

Некоторые из этих функций соответствуют известным вам логическим операциям, например: Y2 — конъюнкция, Y8 — дизъюнкция.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47853. Лекции по правоведению. Власть, политика и право 214 KB
  Предписание права суть таковым: честно жить другим не вредить каждому своё отдавать. Пентаграмма Схема истинного познания Вещь предмет Образ идея Идеат научный предмет Идеал осознанный предмет Дух энергия синергия познание ведение Цель польза utilit Средства instrumenti процесс Способ механизм процедура стандарт Метод техника opertio Принцип основные положения Слово термин характер характеристика Понятие свойства Категория признак Феноме явление ноомен бытие Концепт этимон Форма структура конструкция...
47854. Лекции по правоведению 609.5 KB
  Во-первых духовнонравственные подходы к праву рассуждения о нравственности права и государства не особенно приветствуется современной наукой права но вместе с тем круг людей способных судить о праве чрезвычайно широк: экономисты политики руководители различных ступеней и уровней все так или иначе сталкиваются с правом но что ещё более примечательно с правовой парадигмой мышления хотя подчас этого и не осознают.7 Конституции РФ: Человек его права и свободы являются высшей ценностью. Мы раскроем природу начал этих парадигм для...
47855. Понятие о структуре данного. Уровни представления структур данных 734.5 KB
  Вырожденные простейшие структуры данных называются также типами данных. Любая структура на абстрактном уровне может быть представлена в виде двойки DR где D конечное множество элементов которые могут быть типами данных либо структурами данных а R множество отношений свойства которого определяют различные типы структур данных на абстрактном уровне. СД типа массив. Массив последовательность элементов одного типа называемого базовым.
47856. ПІДПРИЄМСТВО В СУЧАСНІЙ СИСТЕМІ ГОСПОДАРЮВАННЯ 4.18 MB
  Підприємства мають такі ознаки: виробничотехнічна єдність спільність продукції що виготовляється процесів її виробництва певний склад виробничих фондів єдина технічна політика спільність допоміжного і обслуговуючого господарств; організаційносоціальна єдність наявність єдиного трудового колективу керівника та адміністрації підприємства наділення підприємства правами і реквізитами юридичної особи; фінансовоекономічна самостійність можливість самостійно визначати напрямки економічного розвитку склад обсяги продукції що...
47857. АНЕМІЇ У ДІТЕЙ РАННЬОГО ВІКУ. ДЕФІЦИТНІ АНЕМІЇ 1.6 MB
  Дефіцит заліза у дітей: причини патогеннез клініка діагностика диференційна діагностика. У дітей вміст гемоглобіну крові в межах вікової норми на нижніх границях : 110118 г л у дітей перших пяти років; 120128г л у дітей старших пяти років. Найчастіше ЗДА зустрічаються у дітей другого і третього років життя 4075.
47858. Педагогіка і психологія в системі наук про людину 1.39 MB
  Протягом сторіч педагогіка розвивалася як практика навчання і виховання дітей. За сучасних умов педагогіку розглядають як науку і практику навчання і виховання людини на всіх вікових етапах її особистісного і професійного розвитку оскільки: сучасна система освіти і виховання стосується практично всіх людей; у багатьох країнах створена система безперервної освіти людини; вона містить у собі всі ланки від дошкільної установи до професійної підготовки і курсів підвищення кваліфікації. Тобто процес навчання і виховання людини як особлива...
47859. Загальні принципи проектування телефонних мереж 126 KB
  Процес проектування його методи та особливості Основою створення будьякого обєкта є процес проектування. Проектування це комплекс робіт який складається з пошуку досліджень розрахунків та конструювання достатнього для створення нового обєкта чи реконструкції старого що відповідає заданим вимогам. Проектування яке здійснюється людиною з застосуванням компютера наз.
47860. Інформаційні технології 171 KB
  На сучасному етапі розвитку транспортної галузі одним з основних факторів впливу науковотехнічного прогресу на технологічні транспортні процеси є широке застосування нових інформаційних технологій заснованих на використанні сучасних засобів обчислювальної техніки звязку та передачі інформації. Інформаційні технології ІТ інформаційнокомунікаційні технології Informtion nd Communiction Technologies ICT Сукупність методів виробничих процесів і програмнотехнічних засобів інтегрованих з метою збирання обробки зберігання...
47861. Економічний аналіз. Конспект лекцій 517 KB
  Мета функціональновартісного аналізу ФВА попередити зайві витрати на виробництво продукції шляхом удосконалення технології виробництва та конструкції виробів використання більш дешевої сировини і матеріалів. На стадії виготовлення продукції за допомогою ФВА детально вивчається продукція виявляються зайві витрати проводиться усунення зайвих функцій товару і таким чином досягається зниження витрат на виробництво продукції. Прибутком; прогнозування величини кожного з цих показників при заданих значеннях інших; економікостатистичний ...