62544

Основные понятия алгебры логики

Доклад

Педагогика и дидактика

Высказывание это фомулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным преждложением в котором что-либо отрицается или утверждается. По поводу высказывание можно сказать истинно оно или ложно.

Русский

2014-06-11

23.1 KB

1 чел.


Основные понятия алгебры логики.

Логика - это наука о формах и способах мышления.

Высказывание - это фомулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным преждложением, в котором что-либо отрицается или утверждается.

По поводу высказывание можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет, если оно противоречит реальной действительности.

Пример: "Буква а - гласная". (это истинное высказвание).

Алгебра логики

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, на и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Логическая переменная - это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначание - латинская буква (например, A, B,C,F). Значением логической переменной могут быть только констансты ИСТИНА (1) и ЛОЖЬ (0).

Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение - F.

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции - логические действие.

Базовые логические операции:

1. Логическое умножение (конъюнкция)

(соответсвует союз "И")

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

А

В

F = A /\ B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

2. Логическое сложение (дизъюнкция)

(соответсвует союз "ИЛИ")

Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

А

В

F = A \/ B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

3. Логическое отрицание (инверсия)

(соответсвует частица "НЕ")

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным .

А

F = A

0

1

1

0

Логические законы:

1. Независимость от перестановки мест (коммутативность)

A v B = B v A

A ^ B = B ^ A

2. Независимость от порядка выполнения однотипных действий (ассоциативность)

(A v B) v С= A v (B v С)

(A ^ B) ^ С= A ^ (B ^ С)

 

3. Распределительный закон относительно логического умножения и сложения (дистрибутивность)

Распределение относительно логического умножения:

(А v В) ^ C = (A ^ C) v (В ^ C).  

Вспомним правила раскрытия скобок в алгебре, ведь недаром операции конъюнкции и дизъюнкции называют логическим умножением и сложением. И наоборот:

(A ^ B) v (В ^ C) = В ^ (А v C).  

Похоже на вынесение общего множителя за скобки в алгебре. Распределительный закон относительно логического умножения полностью повторяет аналогичный закон алгебры.

Далее мы рассмотрим группу законов, у которых нет аналогов в алгебре, но они легко воспринимаются из-за своей наглядности.

4.Отсутствие степеней и коэффициентов (идемпотентность)

А v А = А

А ^ А = А

Если высказывание А ложно (0), то результат 0 v 0, а также 0 ^ 0 – ложь; если высказывание А истинно (1), то результат 1 v 1, а также 1 ^ 1 - истина

5. Двойное отрицание (инволюция)

¬ (¬ А) = А

6. Действия с абсолютно-истинными и абсолютно-ложными высказываниями. Абсолютно-истинное высказывание – высказывание, которое имеет значение ИСТИНА при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «истина» или 1. (пример: теорема Пифагора) Абсолютно-ложное высказывание – высказывание, которое имеет значение ЛОЖЬ при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «ложь» или 0.

А v 1 =1 (всегда истина)

А ^1 = А

А v 0 = А

А ^ 0 = 0 (всегда ложь)

7. Закон исключенного третьего

А v ¬ А = 1 (всегда истина)

В этом выражении что-то одно всегда истина, поэтому результат логического сложения – истина

 

8. Закон противоречия

А ^ ¬ А = 0 (всегда ложь)

В этом выражении что-то одно (либо А, либо ¬ А) ложно, поэтому результат логического умножения – ложь.

Далее рассмотрим группу законов, которые необходимо проверить. Проверку произведем путем построения таблиц истинности для правой и левой части законов и последующего их сравнения.

9. Законы де Моргана

¬ (А ^ В) = ¬ А v ¬ В

¬ (А v В) = ¬ А ^ ¬ В

10. Поглощение

А v А ^ В = А

А ^ (А v В) = А

11. Поглощение отрицания

А v ( ¬ А ^ В) = А v В

А ^ ( ¬ А v В) = А ^ В