62544

Основные понятия алгебры логики

Доклад

Педагогика и дидактика

Высказывание это фомулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным преждложением в котором что-либо отрицается или утверждается. По поводу высказывание можно сказать истинно оно или ложно.

Русский

2014-06-11

23.1 KB

1 чел.


Основные понятия алгебры логики.

Логика - это наука о формах и способах мышления.

Высказывание - это фомулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным преждложением, в котором что-либо отрицается или утверждается.

По поводу высказывание можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет, если оно противоречит реальной действительности.

Пример: "Буква а - гласная". (это истинное высказвание).

Алгебра логики

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, на и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Логическая переменная - это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначание - латинская буква (например, A, B,C,F). Значением логической переменной могут быть только констансты ИСТИНА (1) и ЛОЖЬ (0).

Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение - F.

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции - логические действие.

Базовые логические операции:

1. Логическое умножение (конъюнкция)

(соответсвует союз "И")

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

А

В

F = A /\ B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

2. Логическое сложение (дизъюнкция)

(соответсвует союз "ИЛИ")

Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

А

В

F = A \/ B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

3. Логическое отрицание (инверсия)

(соответсвует частица "НЕ")

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным .

А

F = A

0

1

1

0

Логические законы:

1. Независимость от перестановки мест (коммутативность)

A v B = B v A

A ^ B = B ^ A

2. Независимость от порядка выполнения однотипных действий (ассоциативность)

(A v B) v С= A v (B v С)

(A ^ B) ^ С= A ^ (B ^ С)

 

3. Распределительный закон относительно логического умножения и сложения (дистрибутивность)

Распределение относительно логического умножения:

(А v В) ^ C = (A ^ C) v (В ^ C).  

Вспомним правила раскрытия скобок в алгебре, ведь недаром операции конъюнкции и дизъюнкции называют логическим умножением и сложением. И наоборот:

(A ^ B) v (В ^ C) = В ^ (А v C).  

Похоже на вынесение общего множителя за скобки в алгебре. Распределительный закон относительно логического умножения полностью повторяет аналогичный закон алгебры.

Далее мы рассмотрим группу законов, у которых нет аналогов в алгебре, но они легко воспринимаются из-за своей наглядности.

4.Отсутствие степеней и коэффициентов (идемпотентность)

А v А = А

А ^ А = А

Если высказывание А ложно (0), то результат 0 v 0, а также 0 ^ 0 – ложь; если высказывание А истинно (1), то результат 1 v 1, а также 1 ^ 1 - истина

5. Двойное отрицание (инволюция)

¬ (¬ А) = А

6. Действия с абсолютно-истинными и абсолютно-ложными высказываниями. Абсолютно-истинное высказывание – высказывание, которое имеет значение ИСТИНА при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «истина» или 1. (пример: теорема Пифагора) Абсолютно-ложное высказывание – высказывание, которое имеет значение ЛОЖЬ при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «ложь» или 0.

А v 1 =1 (всегда истина)

А ^1 = А

А v 0 = А

А ^ 0 = 0 (всегда ложь)

7. Закон исключенного третьего

А v ¬ А = 1 (всегда истина)

В этом выражении что-то одно всегда истина, поэтому результат логического сложения – истина

 

8. Закон противоречия

А ^ ¬ А = 0 (всегда ложь)

В этом выражении что-то одно (либо А, либо ¬ А) ложно, поэтому результат логического умножения – ложь.

Далее рассмотрим группу законов, которые необходимо проверить. Проверку произведем путем построения таблиц истинности для правой и левой части законов и последующего их сравнения.

9. Законы де Моргана

¬ (А ^ В) = ¬ А v ¬ В

¬ (А v В) = ¬ А ^ ¬ В

10. Поглощение

А v А ^ В = А

А ^ (А v В) = А

11. Поглощение отрицания

А v ( ¬ А ^ В) = А v В

А ^ ( ¬ А v В) = А ^ В


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66642. Деятельностный подход в психологии. Идеи и факты 136.5 KB
  Особенно следует предостеречь против понимания деятельности человека как отношения, существующего между человеком и противостоящим ему обществом. Это приходится подчеркивать, так как затопляющие сейчас психологию позитивистские концепции всячески навязывают идею...
66643. Поведение как предмет психологии 64.5 KB
  Наличием души пытались объяснить все не понятные явления в жизни человека. Основной метод наблюдение человека за самим собой. Начинается с 20-го века психология наблюдение за тем что можно непосредственно увидеть: поведение поступки реакции человека.
66645. Когнитивная психология: основные положения и примеры экспериментальных исследований 60 KB
  Именно этот интерес к человеку и его возможностям лежит в основе развития психологии. Он, очевидно, появился одновременно с формированием у человека самосознания и с тех пор насыщался преимущественно субъективными наблюдениями отдельных мыслителей...
66646. Бихевиоризм: истоки и развитие 70.5 KB
  По мнению Уотсона именно поведение легче всего поддается наблюдению и изучению в отличие от сознания и человеческих чувств. Любое поведение должно рассматриваться как реакция организма на стимулы среды. Поведение человека и животного изучается одинаково без учета влияния сознания.
66647. Культурно-историческая концепция происхождения высших психических функций 101.5 KB
  Главным отличием человека от животных является сознание и его составляющие. Каковы же главные качественные особенности психики человека отличающие его от животных Очевидно что эти особенности возникли и развились в результате антропогенеза.
66648. Поведение как предмет психологии. Бихевиоризм и необихевиоризм 118 KB
  Развитие поведения происходит путем приобретения новых реакций через образование связей между условными и безусловными стимулами. Утвердившее в качестве предмета психологии поведение понятое как совокупность реакций организма обусловленная его общением со стимулами среды к которой он адаптируется.
66649. Проблема бессознательного в психологии 109 KB
  Высокоорганизованным существом человека сделает его разум. Разум и благо и проклятие человека одновременно; он принуждает его вечно решать задачу неразрешимой дихотомии. Но с другой стороны сознание как доминирующий элемент сложной человеческой системы явилось началом духовного возрождения человека.
66650. Учение Рене Декарта 142 KB
  Свои основные произведения Декарт написал в 20 - 40-х годах ХVII в., но уяснить их содержание невозможно без учета огромных изменений в европейской, прежде всего западноевропейской, истории в период Возрождения, начавшегося в Италии уже...