ID: 6265

Название работы: Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности

Категория: Реферат

Предметная область: Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Описание: Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности Содержание Управленческие решения в однокритериальных задачах. Построение экономико-математической модели. Математическая модель задачи линейного про...

Язык: Русский

Дата добавления: 2012-12-31

Размер файла: 229.5 KB

Работу скачали: 80 чел.

Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности

Содержание

1.  Управленческие решения в однокритериальных задачах.
2.  Построение экономико-математической модели.
3.  Математическая модель задачи линейного программирования и экономический пример
4.  Графический метод решения задачи линейного программирования.
5.  Принятие управленческого решения в экономической задаче.

1. Управленческие решения в однокритериальных задачах

Успешное применение методов принятия управленческих решений в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу.

Cодержание процесса постановки задачи – это некоторая последовательность действий:

1.  определение системы, подлежащей оптимизации (экономическая);
2.  определение показателя (критерия) эффективности, чтобы выявить «наилучшее» решение или множество «наилучших» условий функционирования системы. Обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. «Наилучшему» варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы;
3.  выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые решения или условия функционирования системы;
4.  построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности;
5.  выявление структуры модели, которая включает основные уравнения, соотношения, связанные с решениями, описывающие протекающие процессы, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых переменных и устанавливают пределы имеющихся ресурсов.

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру.

Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) показателя эффективности =, компоненты которого  удовлетворяют:

системе  ограничений-равенств ,  ограничений-неравенств ,

ограничениям для значения переменных .

Все задачи принятия оптимальных решений можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью , ,  и размерностью и содержанием вектора :

•  одноцелевое принятие решений -  - скаляр;
•  многоцелевое принятие решений -  - вектор;
•  принятие решений в условиях определенности – это выбор альтернативы в условиях, когда в точности известны результаты каждого из вариантов. 
•  принятие решений в условиях неопределенности – это выбор альтернативы в условиях, когда исходные данные случайные и невозможно оценить вероятность потенциальных результатов. 
•  принятие решений в условиях риска – это выбор альтернативы в условиях, когда результаты неопределенны, но вероятность каждого результата известна. 

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат однокритериального принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования, которое  включает в себя:

•  задачи линейного программирования (функции , ,  - линейны),
•  нелинейного программирования (функции , ,  - нелинейны),
•  целочисленного программирования (переменные  - целочисленны),
•  динамического программирования (переменные  - зависят от временного фактора),
•  математический аппарат одноцелевого принятия решений в условиях неопределенности, т. е.  стохастическое программирование (известны законы распределения случайных величин),
•  теорию игр и статистических решений (закон распределения случайных величин неизвестен).

2. Построение экономико-математической модели

Слово «модель» (от латинского слова «modulus») означает меру, мерильный образец, норму. Под моделью понимается некий образ объекта, интересующего нас, либо прообраз некоторого объекта или системы объектов.

Под моделированием понимается исследование явлений, процессов или объектов путем построения и изучения их моделей

Экономическое моделирование используется для определения или уточнения характеристик и рациональных способов управления экономическими процессами и явлениями.

Конструирование модели и работа с ней, состоящие из ряда последовательных и взаимосвязанных стадий: постановка задачи, построение модели, ее исследование, проверка и оценка полученного на основе модели решения, реализация результатов решения.

Экономико-математическая модель – математическое описание свойств исследуемого экономического процесса или объекта.

В экономико-математических моделях объектом является экономический процесс (экономическая система – предприятие, фирма, участок и т.д.), а языком – классические или специально разработанные математические методы.

Для построения математической модели экономической задачи нужно:

1. Выбрать переменные величины, которые в совокупности описывают деятельность экономического объекта.

Обычно переменные обозначают буквой с одним или двумя индексами, например,  или .

В качестве переменных  () могут быть:

•  количество продукции вида ;
•  время работы предприятия по технологическому способу ;
•  количество вещества  в составе смеси;
•  количество материала, раскраиваемого по способу ;
•   - количество груза, перевозимого из пункта   в пункт , и другие.

2. Сформулировать экономический критерий оптимальности и записать его математическое выражение в виде целевой функции .

Под критерием оптимальности понимается признак, на основании которого проводится оценка деятельности, сравнение альтернатив и так далее. Критерий оптимальности обычно носит количественный характер и показывает, насколько один вариант лучше другого. Это экономический показатель, отражающий цель деятельности экономического объекта (системы).

К экономическим критериям оптимальности относят:

•  прибыль от производства и реализации продукции;
•  затраты на производство;
•  общую стоимость конечной продукции;
•  транспортные расходы;
•  стоимость сырья;
•  время работы предприятия по различным технологиям и т.д.

В математической модели критерий записан в виде целевой функции (обозначается , , ), зависящей от переменных. Экономический смысл целевой функции  зависит от смысла переменных и коэффициентов при них.

Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности есть понятие экономическое, а целевая функция – математическое. Одному и тому же экономическому критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных, целевых функций.

3. Выявить экономические ограничения задачи и записать их в виде неравенств  (или уравнений).

Система ограничений – это совокупность математических уравнений и неравенств, которые в математической форме выражают взаимосвязи между компонентами экономического объекта.

Например, ограничения на расход и запас сырья; связь реального времени работы предприятия по определенной технологии и нормативного времени и так далее.

Система ограничений может включать в себя условия неотрицательности и/или целочисленности переменных (например, целое число  изготовленных изделий или комплектов мебели).

Определение. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

Дадим математическую формулировку оптимизационной задачи.

Найти значения переменных , которые являются решением системы уравнений и/или неравенств

               ()    (1)

и доставляют целевой функции

                               (2)

экстремум (максимум или минимум).

В большинстве экономических задач переменные неотрицательны:

    .                       (3)

Иногда переменные по смыслу должны принимать целочисленные значения, тогда в модель вводится условие .

3. Математическая модель задачи линейного программирования и экономический пример

Линейное программирование - наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается так: найти максимум линейной целевой функции, все переменные которой неотрицательные и удовлетворяют системе линейных уравнений и неравенств

Математическая модель ЗЛП в канонической форме имеет вид

при ограничениях

,  

Упорядоченный набор неотрицательных значений переменных , удовлетворяющий  системе ограничений, называется допустимым решением ЗЛП (допустимым планом).

Множество допустимых решений называют областью допустимых решений ЗЛП. 

Допустимое решение , при котором целевая функция  достигает экстремального значения, называют оптимальным решением ЗЛП и обозначается .

Виды математических моделей  ЗЛП

Если все ограничения системы заданы уравнениями и все переменные  неотрицательные, то такая модель ЗЛП называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической.

Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак   неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства , то - минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Рассмотрим пример экономической задачи, имеющей математическую линейную модель.

Пример 1. Задача об использования сырья

Предприятие, располагая двумя видами сырья S1 и S2 в количествах 10 и 15 условных единиц, изготавливает изделия трех видов П1, П2 и П3. Известен расход каждого вида сырья на единицу продукции, что задается матрицей расхода сырья . Известна прибыль от реализации единицы продукции, которая задается вектором . Требуется найти такой план производства продукции, от реализации которого предприятие получит максимальную прибыль.

Составить экономико-математическую модель задачи.

  

    Таблица 1 – Исходные данные задачи об использовании сырья

Виды сырья		Расход сырья на 1 единицу продукции			Запас сырья
		П1	П2	П3
S1 S2		1 4	2 3	3 2	10 15
Прибыль, ден. ед.		2	4	3

Построим экономико-математическую модель. Запишем искомый план производства в виде , где  - количество единиц продукции П1, П2, П3, соответственно. Система ограничений по расходу сырья:

     , , ,

а целевая функция (прибыли) запишется в виде

.

4. Графический метод решения задачи линейного программирования

Графический метод применяется для решения стандартной задачи линейного программирования с двумя независимыми переменными:

найти наибольшее и наименьшее значения функции

                                                                                 (4)

при ограничениях 

                                                                       (5)

                                            .                                        (6)

Геометрическая постановка ЗЛП с двумя переменными: найти в области допустимых решений угловую точку, через которую проходит линия уровня  (или ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению целевой функции .

При использовании графического метода применяются линии уровня и градиент.

Для линейной функции  вектор градиент , координатами которого являются  коэффициенты в целевой функции, показывает направление наискорейшего изменения целевой функции.

Линией уровня функции называется множество всех точек , в которых функция принимает постоянное значение. Для функции  линии уровня  - это прямые, перпендикулярные градиенту.

Алгоритм графического метода решения задачи линейного программирования (ЗЛП).

1.  Построить область допустимых решений (ОДР) задачи в соответствии с системой неравенств .

        

 

                                                        В

   A

                                    

                                                                                        

Рисунок 1 – Графический метод решения задачи

1.  Строим градиент  и перпендикулярно ему линию уровня – прямую .
2.  Линию целевой функции (линия уровня) перемещаем по направлению градиента для задачи на максимум целевой функции и в противоположном направлении - для  задач на минимум целевой функции.
3.  Параллельным перемещением линии уровня в направлении вектора  найдем первую точку  «встречи» прямой с ОДР. Это – точка минимума целевой функции . Значение функции  является наименьшим значением функции в ОДР.
4.  Продолжая передвигать линию уровня, найдем последнюю точку  выхода прямой из ОДР. Это - точка максимума целевой функции .
5.  Если окажется, что линия уровня совпадает с  одной из сторон ОДР, то задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений. Если ОДР представляет неограниченную область, то целевая функция – неограниченна. Задача ЛП может быть неразрешима, когда определяющие ее ограничения окажутся противоречивыми.
6.  Находим координаты точки экстремума для  или  для   и вычисляем значение целевой функции в этой точке.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции   в области решений системы линейных неравенств

1. Построим область решений системы линейных неравенств.

       у

         

                                    1                       

                      

                                    О                 2      x

                                                                       

       

Рисунок 2 – Графическое решение ЗЛП

Прямая () , точки для построения  и . Так как  верно, то полуплоскость обращена в сторону точки .

Прямую ()  строим по точкам  и ; неравенство  верное, полуплоскость направлена к началу координат.

Прямая ()  построена по точкам  и ; полуплоскость обращена в сторону .

Неравенства  и  показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.

2. Построим градиент функции . Это вектор с координатами  с началом в точке . Перпендикулярно градиенту построим  линию уровня функции.

3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента  найдем точку «входа» линии уровня в область – это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: .

4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области – это точка А. Для определения ее координат решим систему уравнений прямых  и , пересекающихся в точке А:  Решение системы уравнений  и .

5. Вычислим значение функции в точке : .

Ответ: , .

5. Принятие управленческого решения в экономической задаче

Пример 3.  В районе лесного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготавливают фанеру. Чтобы деревообрабатывающему комбинату получить 1 м3 пиломатериалов, необходимо израсходовать 4 м3 еловых и 2 м3 пихтовых материалов. Для  изготовления  1 м2  фанеры  требуется  3 м3 еловых и 5 м3 пихтовых материалов. Лесной массив содержит 1200 м3 еловых и 1000 м3 пихтовых материалов.

В течение планируемого периода нужно произвести не менее 50 м3 пиломатериалов и 100 м2  фанеры. Доход с одного м3 пиломатериалов составляет 15 ден. ед.,  а с 1 м2 фанеры – 10 ден. ед.

Какое количество пиломатериалов и фанеры должен произвести деревообрабатывающий комбинат, чтобы получить наибольшую прибыль?

Решение  

Составим математическую модель задачи.

Пусть  (м3) – количество пиломатериалов,  (м2) – количество фанеры, которые должен произвести комбинат. Очевидно, на эти переменные необходимо наложить условие неотрицательности: , . Кроме того, запасы лесоматериалов ограничены, откуда получаем условия

К ним добавляются ограничения на плановые задания: х1  100  и  х2  50.

По условию задачи требуется произвести пиломатериалов и фанеры столько, чтобы это принесло наибольшую прибыль: .

Таким образом, получаем задачу линейного программирования:

С геометрической точки зрения,  необходимо найти наибольшее значение функции в области решений системы неравенств

1.   Построим область решений системы  неравенств

Для этого построим граничные прямые

(рисунок 3). Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости.

Чтобы выяснить, какую полуплоскость определяет неравенство , нужно взять произвольную точку М(х0, у0)  плоскости, не лежащую на прямой , и подставить ее координаты в неравенство . Если при этом получится верное числовое неравенство, то полуплоскость, содержащая взятую точку, и есть искомая область решений неравенства. Если же координаты точки не удовлетворяют неравенству, решением неравенства являются все точки второй полуплоскости.

Легко проверить, что координаты точки М(200;100) удовлетворяют всем неравенствам системы, следовательно, область допустимых решений есть четырехугольник АВСD.

1.  Построим градиент целевой функции   f = 20x1 +15x2. Имеем

.

На рисунке 4 изображен векторN, параллельный градиенту функции  f.

1.  Линии уровня целевой функции имеют уравнения  – это уравнение прямых
2.   на плоскости.

Чтобы построить одну из них, придадим С произвольное значение, например, С = 0. Получим прямую , проходящую через начало координат.

Заметим, что линии уровня перпендикулярны градиенту функции.

4. Найдем наибольшее значение функции  f = 20x1 +15x2 в построенной области. Для этого, передвигая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектораN, находим точку «выхода» из области допустимых решений АВСD, которой соответствует наибольшее значение целевой функции  f  в области допустимых решений.  

В нашем случае точкой «входа» является точка А (но нас она не интересует, т.к. мы ищем наибольшее значение функции f). Точками «выхода» из области АВСD являются точки отрезка СD прямой l1 (прямые  и  параллельны), поэтому наибольшего значения функция f = 20x1 +15x2 достигает во всех точках этого отрезка, что  является признаком альтернативного оптимума.

Итак, каждая точка отрезка СD является оптимальным решением задачи, т е. в каждой точке этого отрезка функция принимает наибольшее в области АВСD значение. Найдем это значение.

Сначала найдем координаты точек  С  и  D.

С:       ,  С.

Полученные значения переменных х1 и х2 соответствуют найденному выше опорному решению .Значение целевой функции в этой точке

.

Аналогично: D:   ,   D(262,5;  50).

Эти значения переменных х1 и х2 соответствуют опорному решению , значение целевой функции в точке D равно

.

Итак, мы на примере проиллюстрировали известный факт: опорные решения ЗЛП соответствуют угловым точкам области допустимых решений задачи. А оптимальное решение совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений.

Чтобы получить наибольшую прибыль 6000 ден.ед., следует произвести из имеющихся материалов 262,5 м3 пиломатериалов и 50 м2 фанеры.

Контрольные вопросы

1.  В чем состоит содержание процесса постановки задачи?
2.  Какие существуют виды задач принятия оптимальных решений?
3.  Что такое экономико-математическая модель задачи?
4.  Каков порядок действий построения математической модели экономической задачи?
5.  Какой экономический смысл могут иметь переменные, участвующие в математических моделях?
6.  Какой экономический смысл могут иметь ограничения вида ; ;  в математических моделях распределительной задачи и задачи об использовании сырья? Укажите возможный экономический смысл  левых и правых частей этих ограничений.
7.  Приведите экономические примеры целевых функций ,  и укажите содержательное значение переменных и коэффициентов при них.
8.  Сформулируйте общую задачу математического программирования и запишите ее математическую модель.
9.  Сформулируйте общую задачу линейного программирования и запишите ее математическую модель.
10.  Запишите задачу линейного программирования в канонической и стандартной формах.
11.  С помощью каких преобразований можно перейти от общей или стандартной формы задачи линейного программирования к канонической?
12.  Дайте определение допустимого и оптимального решений задачи линейного программирования.
13.  Дайте геометрическую постановку ЗЛП с двумя переменными.
14.  Укажите последовательность действий для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.
15.  Как построить полуплоскость, заданную линейным неравенством с двумя переменными ?
16.  Запишите для линейной функции   вектор градиент, назовите вид линий уровня. Как расположены относительно друг друга градиент и линии уровня?
17.  Как с помощью градиента и линий уровня найти точки наименьшего и наибольшего значений линейной функции  в области, заданной системой линейных неравенств? Опишите порядок действий.
18.  Как найти координаты точек области, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения?
19.  Сформулируйте алгоритм графического метода решения стандартной ЗЛП с двумя переменными.