6265
Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности
Реферат
Менеджмент, консалтинг и предпринимательство
Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности Содержание Управленческие решения в однокритериальных задачах. Построение экономико-математической модели. Математическая модель задачи линейного про...
Русский
2012-12-31
229.5 KB
80 чел.
Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности
Содержание
1. Управленческие решения в однокритериальных задачах
Успешное применение методов принятия управленческих решений в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу.
Cодержание процесса постановки задачи это некоторая последовательность действий:
Все оптимизационные задачи имеют общую структуру.
Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) показателя эффективности =, компоненты которого удовлетворяют:
системе ограничений-равенств , ограничений-неравенств ,
ограничениям для значения переменных .
Все задачи принятия оптимальных решений можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью , , и размерностью и содержанием вектора :
Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат однокритериального принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования, которое включает в себя:
2. Построение экономико-математической модели
Слово «модель» (от латинского слова «modulus») означает меру, мерильный образец, норму. Под моделью понимается некий образ объекта, интересующего нас, либо прообраз некоторого объекта или системы объектов.
Под моделированием понимается исследование явлений, процессов или объектов путем построения и изучения их моделей
Экономическое моделирование используется для определения или уточнения характеристик и рациональных способов управления экономическими процессами и явлениями.
Конструирование модели и работа с ней, состоящие из ряда последовательных и взаимосвязанных стадий: постановка задачи, построение модели, ее исследование, проверка и оценка полученного на основе модели решения, реализация результатов решения.
Экономико-математическая модель математическое описание свойств исследуемого экономического процесса или объекта.
В экономико-математических моделях объектом является экономический процесс (экономическая система предприятие, фирма, участок и т.д.), а языком классические или специально разработанные математические методы.
Для построения математической модели экономической задачи нужно:
1. Выбрать переменные величины, которые в совокупности описывают деятельность экономического объекта.
Обычно переменные обозначают буквой с одним или двумя индексами, например, или .
В качестве переменных () могут быть:
2. Сформулировать экономический критерий оптимальности и записать его математическое выражение в виде целевой функции .
Под критерием оптимальности понимается признак, на основании которого проводится оценка деятельности, сравнение альтернатив и так далее. Критерий оптимальности обычно носит количественный характер и показывает, насколько один вариант лучше другого. Это экономический показатель, отражающий цель деятельности экономического объекта (системы).
К экономическим критериям оптимальности относят:
В математической модели критерий записан в виде целевой функции (обозначается , , ), зависящей от переменных. Экономический смысл целевой функции зависит от смысла переменных и коэффициентов при них.
Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности есть понятие экономическое, а целевая функция математическое. Одному и тому же экономическому критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных, целевых функций.
3. Выявить экономические ограничения задачи и записать их в виде неравенств (или уравнений).
Система ограничений это совокупность математических уравнений и неравенств, которые в математической форме выражают взаимосвязи между компонентами экономического объекта.
Например, ограничения на расход и запас сырья; связь реального времени работы предприятия по определенной технологии и нормативного времени и так далее.
Система ограничений может включать в себя условия неотрицательности и/или целочисленности переменных (например, целое число изготовленных изделий или комплектов мебели).
Определение. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.
Дадим математическую формулировку оптимизационной задачи.
Найти значения переменных , которые являются решением системы уравнений и/или неравенств
() (1)
и доставляют целевой функции
(2)
экстремум (максимум или минимум).
В большинстве экономических задач переменные неотрицательны:
. (3)
Иногда переменные по смыслу должны принимать целочисленные значения, тогда в модель вводится условие .
3. Математическая модель задачи линейного программирования и экономический пример
Линейное программирование - наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.
В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается так: найти максимум линейной целевой функции, все переменные которой неотрицательные и удовлетворяют системе линейных уравнений и неравенств
Математическая модель ЗЛП в канонической форме имеет вид
при ограничениях
,
Упорядоченный набор неотрицательных значений переменных , удовлетворяющий системе ограничений, называется допустимым решением ЗЛП (допустимым планом).
Множество допустимых решений называют областью допустимых решений ЗЛП.
Допустимое решение , при котором целевая функция достигает экстремального значения, называют оптимальным решением ЗЛП и обозначается .
Виды математических моделей ЗЛП
Если все ограничения системы заданы уравнениями и все переменные неотрицательные, то такая модель ЗЛП называется канонической.
Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической.
Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства , то - минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.
Рассмотрим пример экономической задачи, имеющей математическую линейную модель.
Пример 1. Задача об использования сырья
Предприятие, располагая двумя видами сырья S1 и S2 в количествах 10 и 15 условных единиц, изготавливает изделия трех видов П1, П2 и П3. Известен расход каждого вида сырья на единицу продукции, что задается матрицей расхода сырья . Известна прибыль от реализации единицы продукции, которая задается вектором . Требуется найти такой план производства продукции, от реализации которого предприятие получит максимальную прибыль.
Составить экономико-математическую модель задачи.
Таблица 1 Исходные данные задачи об использовании сырья
Виды сырья |
Расход сырья на 1 единицу продукции |
Запас сырья |
|||
П1 |
П2 |
П3 |
|||
S1 S2 |
1 4 |
2 3 |
3 2 |
10 15 |
|
Прибыль, ден. ед. |
2 |
4 |
3 |
Построим экономико-математическую модель. Запишем искомый план производства в виде , где - количество единиц продукции П1, П2, П3, соответственно. Система ограничений по расходу сырья:
, , ,
а целевая функция (прибыли) запишется в виде
.
Графический метод применяется для решения стандартной задачи линейного программирования с двумя независимыми переменными:
найти наибольшее и наименьшее значения функции
(4)
при ограничениях
(5)
. (6)
Геометрическая постановка ЗЛП с двумя переменными: найти в области допустимых решений угловую точку, через которую проходит линия уровня (или ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению целевой функции .
При использовании графического метода применяются линии уровня и градиент.
Для линейной функции вектор градиент , координатами которого являются коэффициенты в целевой функции, показывает направление наискорейшего изменения целевой функции.
Линией уровня функции называется множество всех точек , в которых функция принимает постоянное значение. Для функции линии уровня - это прямые, перпендикулярные градиенту.
Алгоритм графического метода решения задачи линейного программирования (ЗЛП).
В
A
Рисунок 1 Графический метод решения задачи
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области решений системы линейных неравенств
1. Построим область решений системы линейных неравенств.
у
1
О 2 x
Рисунок 2 Графическое решение ЗЛП
Прямая () , точки для построения и . Так как верно, то полуплоскость обращена в сторону точки .
Прямую () строим по точкам и ; неравенство верное, полуплоскость направлена к началу координат.
Прямая () построена по точкам и ; полуплоскость обращена в сторону .
Неравенства и показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.
2. Построим градиент функции . Это вектор с координатами с началом в точке . Перпендикулярно градиенту построим линию уровня функции.
3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента найдем точку «входа» линии уровня в область это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: .
4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области это точка А. Для определения ее координат решим систему уравнений прямых и , пересекающихся в точке А: Решение системы уравнений и .
5. Вычислим значение функции в точке : .
Ответ: , .
5. Принятие управленческого решения в экономической задаче
Пример 3. В районе лесного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготавливают фанеру. Чтобы деревообрабатывающему комбинату получить 1 м3 пиломатериалов, необходимо израсходовать 4 м3 еловых и 2 м3 пихтовых материалов. Для изготовления 1 м2 фанеры требуется 3 м3 еловых и 5 м3 пихтовых материалов. Лесной массив содержит 1200 м3 еловых и 1000 м3 пихтовых материалов.
В течение планируемого периода нужно произвести не менее 50 м3 пиломатериалов и 100 м2 фанеры. Доход с одного м3 пиломатериалов составляет 15 ден. ед., а с 1 м2 фанеры 10 ден. ед.
Какое количество пиломатериалов и фанеры должен произвести деревообрабатывающий комбинат, чтобы получить наибольшую прибыль?
Решение
Составим математическую модель задачи.
Пусть (м3) количество пиломатериалов, (м2) количество фанеры, которые должен произвести комбинат. Очевидно, на эти переменные необходимо наложить условие неотрицательности: , . Кроме того, запасы лесоматериалов ограничены, откуда получаем условия
К ним добавляются ограничения на плановые задания: х1 100 и х2 50.
По условию задачи требуется произвести пиломатериалов и фанеры столько, чтобы это принесло наибольшую прибыль: .
Таким образом, получаем задачу линейного программирования:
С геометрической точки зрения, необходимо найти наибольшее значение функции в области решений системы неравенств
1. Построим область решений системы неравенств
Для этого построим граничные прямые
(рисунок 3). Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости.
Чтобы выяснить, какую полуплоскость определяет неравенство , нужно взять произвольную точку М(х0, у0) плоскости, не лежащую на прямой , и подставить ее координаты в неравенство . Если при этом получится верное числовое неравенство, то полуплоскость, содержащая взятую точку, и есть искомая область решений неравенства. Если же координаты точки не удовлетворяют неравенству, решением неравенства являются все точки второй полуплоскости.
Легко проверить, что координаты точки М(200;100) удовлетворяют всем неравенствам системы, следовательно, область допустимых решений есть четырехугольник АВСD.
.
На рисунке 4 изображен векторN, параллельный градиенту функции f.
Чтобы построить одну из них, придадим С произвольное значение, например, С = 0. Получим прямую , проходящую через начало координат.
Заметим, что линии уровня перпендикулярны градиенту функции.
4. Найдем наибольшее значение функции f = 20x1 +15x2 в построенной области. Для этого, передвигая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектораN, находим точку «выхода» из области допустимых решений АВСD, которой соответствует наибольшее значение целевой функции f в области допустимых решений.
В нашем случае точкой «входа» является точка А (но нас она не интересует, т.к. мы ищем наибольшее значение функции f). Точками «выхода» из области АВСD являются точки отрезка СD прямой l1 (прямые и параллельны), поэтому наибольшего значения функция f = 20x1 +15x2 достигает во всех точках этого отрезка, что является признаком альтернативного оптимума.
Итак, каждая точка отрезка СD является оптимальным решением задачи, т е. в каждой точке этого отрезка функция принимает наибольшее в области АВСD значение. Найдем это значение.
Сначала найдем координаты точек С и D.
С: , С.
Полученные значения переменных х1 и х2 соответствуют найденному выше опорному решению .Значение целевой функции в этой точке
.
Аналогично: D: , D(262,5; 50).
Эти значения переменных х1 и х2 соответствуют опорному решению , значение целевой функции в точке D равно
.
Итак, мы на примере проиллюстрировали известный факт: опорные решения ЗЛП соответствуют угловым точкам области допустимых решений задачи. А оптимальное решение совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений.
Чтобы получить наибольшую прибыль 6000 ден.ед., следует произвести из имеющихся материалов 262,5 м3 пиломатериалов и 50 м2 фанеры.
Контрольные вопросы
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
33572. | Статус и полномочия Президента Российской Федерации | 41.5 KB | |
Статус и полномочия Президента Российской Федерации Конституционный статус и полномочия Президента Российской Федерации как высшего должностного лица государства. Функции Президента Российской Федерации. Президент Российской Федерации является главой государства. Президент Российской Федерации является гарантом Конституции Российской Федерации прав и свобод человека и гражданина. | |||
33573. | Система органов исполнительной власти Российской Федерации | 44 KB | |
Система органов исполнительной власти Российской Федерации Система и функции федеральных органов исполнительной власти. Функции органов исполнительной власти субъекта Российской Федерации. Правительство Российской Федерации состоит из Председателя Правительства Российской Федерации заместителей Председателя Правительства Российской Федерации и федеральных министров Правительство Российской Федерации: а разрабатывает и представляет Государственной Думе федеральный бюджет и обеспечивает его исполнение; представляет Государственной Думе... | |||
33574. | Социальное государство. Управление социальной сферой | 34.5 KB | |
Социальное государство. Изменение роли государства: инструмент политической власти ночной сторож институт макроэкономического регулирования социальное государство эффективное умное государство. Ночной сторож Выражение государство ночной сторож о функциях государства соответствует итальянскому выражению государствокарабинер и должно обозначать государство чьи функции ограничиваются охраной общественного порядка и гарантированием соблюдения законов. Противоположностью такому государству должны служить этическое... | |||
33575. | Государственное регулирование экономики, Уровень и качество жизни населения и национальная безопасность | 114 KB | |
Национальная безопасность Российской Федерации это гарантированная конституционными законодательными и практическими мерами защищенность и обеспеченность ее национальных интересов. Компетенция Счетной палаты РФ Формирование и принципы работы Счетной... | |||
33576. | Субъект Федерации: особенности государственного устройства и органы государственного управления | 39 KB | |
ассиметричность равные по конституции РФ субъекты имеют разные госправовые статусы В наст время 83 субъекта РФ .из них 21 республика 6краев 49 областей 2 города федерального значения 1 автономная область 10 автономных округовмуниципальные образования Полномочные представители Президента в федеральных округах призваны обеспечить реализацию принципов федерализма Полномочия субъекта РФ согласно Конституции РФ 1993 года: В совместном ведении РФ и субъекта РФ: 1 обеспечение соответствия конституции и законов субъектов РФконституции и... | |||
33577. | Формирование современной государственной политики и ее реализация | 88.5 KB | |
Интересы России в международных отношенияхКаково отношение России к политической и правовой позиции США в международных отношениях Совпадают ли интересы России с интересами западных стран в том числе США Чисто гипотетически политика России по отношению к Западу в той же сфере МЭО могла бы находиться в диапазоне между двумя крайними âточкамиâ:1 полностью принять стратегию Запада и присоединиться к ней; сознательно âпристроитьâ экономику России к экономике западных государств сначала в качестве сырьевого придатка рынка сбыта а... | |||
33578. | Взаимодействие государственного управления и местного самоуправления | 107 KB | |
Взаимодействие государственного управления и местного самоуправления. Для этого муниципальными сообществами создаются органы местного самоуправления. Являясь неотъемлемой частью общего механизма управления государством МСУ имеет отличительные особенности от органов государственной власти а именно: является властью подзаконной действующей в рамках законодательства принимаемого органами государственной власти; возникает лишь в том случае когда определены предметы его ведения; должно иметь достаточные... | |||
33579. | Система государственной службы Российской федерации | 40.5 KB | |
Система государственной службы Российской федерации. Уровни и виды государственной службы. Федеральный уровень государственный службы: государственная гражданская служба; военная служба; правоохранительная служба Региональный уровень государственной службы субъектов РФ Федеральные законы О системе государственной службе РФ 2003 г. О государственной гражданской службе РФ 2004 г. | |||
33580. | Государственная кадровая политика | 53.5 KB | |
Социальная база государственной кадровой политики России: специалисты различных отраслей народного хозяйства науки культуры административноуправленческие кадры и тд. Соотношение понятий государственная кадровая политика кадровая политика и кадровая работа: государственная кадровая политика политика органов государственной власти РФ воздействующая на все трудоспособный население России; кадровая политика это политика которую проводит руководитель любого государственного или муниципального органа; общественной СМИ или... | |||