6266

Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения Содержание Виды математических моделей ЗЛП. Идея симплексного метода нахождения оптимального решения. Алгоритм симплексного метода. Нахождение оптимального решен...

Русский

2012-12-31

113 KB

39 чел.

Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения

Содержание

  1.  Виды математических моделей ЗЛП.
  2.  Идея симплексного метода нахождения оптимального решения.
  3.  Алгоритм симплексного метода.
  4.  Нахождение оптимального решения производственной задачи.

1. Виды математических моделей ЗЛП

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается так: найти максимум линейной целевой функции, все переменные которой неотрицательные и удовлетворяют системе линейных уравнений и неравенств

Если все ограничения системы заданы уравнениями и все переменные  неотрицательные, то такая модель ЗЛП называется канонической. Математическая модель ЗЛП в канонической форме имеет вид

при ограничениях

,  

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической.

Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак   неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства , то - минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Упорядоченный набор неотрицательных значений переменных , удовлетворяющий  системе ограничений, называется допустимым решением ЗЛП (допустимым планом).

Множество допустимых решений ЗЛП называют областью допустимых решений ЗЛП. 

Допустимое решение , при котором целевая функция  достигает экстремального значения, называют оптимальным решением ЗЛП и обозначается .

2. Идея симплексного метода нахождения оптимального решения

Симплексный метод – метод последовательного улучшения решения задачи линейного программирования, то есть задачи оптимизации.

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется опорная симплекс–таблица с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму.

Идея симплексного метода заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательный направленный переход от одного допустимого решения к другому и так далее – к оптимальному решению. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает.

Так как число допустимых решений конечное, то через конечное число шагов получим оптимальное решение. Процесс упорядоченного перебора допустимых решений продолжается до тех пор, пока не найдено оптимальное решение или не установлено, что задача не имеет такого решения.

3. Алгоритм симплексного метода

Математическую модель задачи привести к каноническому виду.

1. Построить начальную симплекс-таблицу. В ней система ограничений должна быть приведена к единичному базису. Подробнее – см. пример.

2. Найти разрешающий столбец (в строке коэффициентов ЦФ найти значение с наименьшим отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим).

3. Определить разрешающую строку (почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей). Разрешающий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.

4. Построить вторую симплекс-таблицу.

Построение элементов разрешающей строки (почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент).

Построение других строк в новой таблице. Пересчитать каждый элемент  в предыдущей таблице по правилу прямоугольника

                                         .

Схематично «правило прямоугольника» выглядит так:

                                                                       

                                                                          

Здесь  - пересчитываемый элемент,  - новое значение элемента ,  - разрешающий элемент.

При построении новой таблицы «убирается» из базиса строка с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице, а «вводится» в базис строка с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.

5. Проверяем полученную симплекс-таблицу второго шага на оптимальность.

Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда симплекс-таблица имеет оптимальный план.

6. Записать оптимальное решение задачи и значение целевой функции, используя столбец свободных членов. В решении Х базисные переменные приравниваются свободным членам, а остальные переменные приравниваются к нулю: . Значение целевой функции равно свободному члену в строке ЦФ.

Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу.

7. Построение третьей симплексной таблицы. Строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.4-5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением оптимального плана.

8. Замечание.

Если в строке ЦФ симплексной таблицы, содержащей оптимальный план, имеется хотя бы один нулевой элемент , то задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных решений.

4. Нахождение оптимального решения производственной задачи

Задача. На предприятии имеется возможность выпускать  вида продукции , , , . При ее изготовлении используются ресурсы , , , размеры которых ограничены соответственно величинами , , . 4Расход -го ресурса на единицу продукции -го вида составляют  и образуют «технологическую матрицу» .

Прибыль от реализации единицы продукции , , ,  равна  ден. ед.

  1.  Построить математическую модель задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных.
  2.  Найти оптимальный план производства симплекс-методом.

Математическая модель задачи

  •  основные переменные  (=1,…,4) – количество произведенной продукции ; ;
  •  целевая функция – прибыль от реализации всей продукции.

,

  •  ограничения: расход ресурсов не превышает запасов:

Канонический вид математической модели для решения симплексным методом (добавим дополнительные переменные):

Экономический смысл дополнительных переменных:

  •    (=5, 6,  7) – количество неиспользованного ресурса , , .

Симплексные таблицы.

Таблица 1

Базис

х1

х2

х3 

х4

х5

х6

х7

bi

Отношение

х5

х6

х7

2

4

3

3

1

5

2

3

2

1

2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

25

30

42

12,5

7,5

14

–6

–5

–4

–3

0

0

0

0

Таблица 2

Базис

х1

х2

х3 

х4

х5

х6

х7

bi

Отношение

х5

х1

х7

0

1

0

2,5

0,25

4,25

0,5

0,75

-0,3

0

0,5

0,5

1

0

0

-0,5

0,25

-0,8

0

0

1

10

7,5

19,5

4

30

4,59

0

-3,5

0,5

0

0

1,5

0

45

-

Таблица 3

Базис

х1

х2

х3 

х4

х5

х6

х7

bi

Отношение

х2

х1

х7

1

0

0

0

1

0

0,2

0,7

-1,1

0

0,5

0,5

0,4

-0,1

-1,7

-0,2

0,3

0,1

0

0

1

4

6,5

2,5

0

0

1,2

0

1,4

0,8

0

59

Анализ оптимального решения  и значения целевой функции .

Чтобы получить наибольшую прибыль  ден. единиц, необходимо произвести 6,5 ед. продукции первого вида , 4 ед. продукции второго вида , а продукции третьего  и четвертого  видов не производить. Ресурсы  и  дефицитны (остаток ресурсов ), ресурс  избыточен (остаток ресурса равен ).


Контрольные вопросы

Симплексный метод решения ЗЛП

  1.  Запишите задачу ЛП в канонической, стандартной  форме.
  2.  С помощью каких преобразований можно перейти от общей или стандартной ЗЛП к канонической?
  3.  Сформулируйте основную идею симплексного метода решения ЗЛП.
  4.  Дайте определения допустимого решения, оптимального решения  ЗЛП.
  5.  Сформулируйте алгоритм симплексных преобразований в симплексных таблицах.
  6.  Таблица какого вида называется симплексной, как она заполняется?
  7.  Как по симплексной таблице записать компоненты опорного решения ЗЛП?
  8.  По каким правилам преобразуются элементы в симплексной таблице при переходе к новой симплексной таблице?
  9.  Как определить по симплексной таблице, что имеющееся опорное решение не является оптимальном, но его можно улучшить?
  10.  Чтобы перейти от опорного решения к улучшенному опорному решению, как нужно для ЗЛП выбрать разрешающий элемент?
  11.  Дайте понятие альтернативного оптимума ЗЛП.
  12.  Как получить общее оптимальное решение, если ЗЛП имеет альтернативный оптимум?
  13.  Дайте экономическую и математическую постановку прямой ЗЛП об использовании сырья для производства продукции нескольких видов. Каков экономический смысл основных и дополнительных переменных  в оптимальном решении ЗЛП об использовании ресурсов?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6004. Автоматизация учета приема оплаты с юридических лиц за коммунальные услуги 1.18 MB
  В настоящее время приемом оплаты за коммунальные услуги занимаются предприятия, аналогичные МУП ГЕРЦ г.Махачкалы. Все эти предприятия широко распространены. Сказать, что все предприятия имеют сходную структуру, полномочия и обязанности, з...
6005. Аграрное право Российской Федерации. Курс лекций 552.5 KB
  Тема № 1. Источники аграрного права Вопрос № 1. Понятия и виды источников аграрного права В современной теории права выражение источник права часто используется в двух значениях: материальном и формальном. В материальном значении под источником пр...
6006. Неметаллические материалы. Материаловедение 939 KB
  В пособии подробно описаны основные характеристики неметаллических материалов, с точки зрения возможности их использования в качестве конструкционных. Приведены контрольные вопросы по разделу Неметаллические материалы и варианты тестовых заданий Вве...
6007. Базовые концепции логистики 685.5 KB
  Рассматриваются базовые концепции логистики: точно в срок, планирование потребности/ресурсов, стройного производства, реагирование на спрос, а также микрологистические системы, основанные на данных концепциях. Теоретические положения иллюстрируются ...
6008. Методика определения погрешностей приборов 63.5 KB
  Методика определения погрешностей приборов Погрешность срабатывания определяют путем математической обработки результатов проведенного эксперимента (рис. 1). На измерительный стержень 2 прибора 3, прикрепленный к кронштейну 5 стойки 6, воздействует ...
6009. Испытания и поверка приборов активного контроля в динамическом режиме 63 KB
  Испытания и поверка приборов активного контроля в динамическом режиме Эксплуатация приборов активного контроля и применение нормативно-технической документации, регламентирующей их точностные показатели, привели к необходимости создания специальных ...
6010. Активный контроль деталей с прерывистыми поверхностями 68 KB
  Активный контроль деталей с прерывистыми поверхностями К деталям с прерывистой поверхностью относятся такие, у которых на гладкой контролируемой поверхности имеются разрывы в виде отверстий, пазов, срезов и других углублений. При перемещении такой д...
6011. Электроконтактные преобразователи 72 KB
  Электроконтактные преобразователи По назначению преобразователи разделяются на предельные, предназначенные для контроля размера детали, и амплитудные, предназначенные для контроля отклонений от правильной геометрической формы. В предельных пре...
6012. Исследование статических характеристик биполярного транзистора 75.5 KB
  Исследование статических характеристик биполярного транзистора 1. Цель работы Ознакомиться с устройством и принципом действия биполярного транзистора (БТ). Изучить его вольтамперные характеристики в схемах включения с общей базой (ОБ) и общим эмитте...