6266

Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения Содержание Виды математических моделей ЗЛП. Идея симплексного метода нахождения оптимального решения. Алгоритм симплексного метода. Нахождение оптимального решен...

Русский

2012-12-31

113 KB

38 чел.

Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения

Содержание

  1.  Виды математических моделей ЗЛП.
  2.  Идея симплексного метода нахождения оптимального решения.
  3.  Алгоритм симплексного метода.
  4.  Нахождение оптимального решения производственной задачи.

1. Виды математических моделей ЗЛП

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается так: найти максимум линейной целевой функции, все переменные которой неотрицательные и удовлетворяют системе линейных уравнений и неравенств

Если все ограничения системы заданы уравнениями и все переменные  неотрицательные, то такая модель ЗЛП называется канонической. Математическая модель ЗЛП в канонической форме имеет вид

при ограничениях

,  

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической.

Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак   неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства , то - минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Упорядоченный набор неотрицательных значений переменных , удовлетворяющий  системе ограничений, называется допустимым решением ЗЛП (допустимым планом).

Множество допустимых решений ЗЛП называют областью допустимых решений ЗЛП. 

Допустимое решение , при котором целевая функция  достигает экстремального значения, называют оптимальным решением ЗЛП и обозначается .

2. Идея симплексного метода нахождения оптимального решения

Симплексный метод – метод последовательного улучшения решения задачи линейного программирования, то есть задачи оптимизации.

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется опорная симплекс–таблица с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму.

Идея симплексного метода заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательный направленный переход от одного допустимого решения к другому и так далее – к оптимальному решению. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает.

Так как число допустимых решений конечное, то через конечное число шагов получим оптимальное решение. Процесс упорядоченного перебора допустимых решений продолжается до тех пор, пока не найдено оптимальное решение или не установлено, что задача не имеет такого решения.

3. Алгоритм симплексного метода

Математическую модель задачи привести к каноническому виду.

1. Построить начальную симплекс-таблицу. В ней система ограничений должна быть приведена к единичному базису. Подробнее – см. пример.

2. Найти разрешающий столбец (в строке коэффициентов ЦФ найти значение с наименьшим отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим).

3. Определить разрешающую строку (почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей). Разрешающий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.

4. Построить вторую симплекс-таблицу.

Построение элементов разрешающей строки (почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент).

Построение других строк в новой таблице. Пересчитать каждый элемент  в предыдущей таблице по правилу прямоугольника

                                         .

Схематично «правило прямоугольника» выглядит так:

                                                                       

                                                                          

Здесь  - пересчитываемый элемент,  - новое значение элемента ,  - разрешающий элемент.

При построении новой таблицы «убирается» из базиса строка с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице, а «вводится» в базис строка с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.

5. Проверяем полученную симплекс-таблицу второго шага на оптимальность.

Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда симплекс-таблица имеет оптимальный план.

6. Записать оптимальное решение задачи и значение целевой функции, используя столбец свободных членов. В решении Х базисные переменные приравниваются свободным членам, а остальные переменные приравниваются к нулю: . Значение целевой функции равно свободному члену в строке ЦФ.

Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу.

7. Построение третьей симплексной таблицы. Строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.4-5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением оптимального плана.

8. Замечание.

Если в строке ЦФ симплексной таблицы, содержащей оптимальный план, имеется хотя бы один нулевой элемент , то задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных решений.

4. Нахождение оптимального решения производственной задачи

Задача. На предприятии имеется возможность выпускать  вида продукции , , , . При ее изготовлении используются ресурсы , , , размеры которых ограничены соответственно величинами , , . 4Расход -го ресурса на единицу продукции -го вида составляют  и образуют «технологическую матрицу» .

Прибыль от реализации единицы продукции , , ,  равна  ден. ед.

  1.  Построить математическую модель задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных.
  2.  Найти оптимальный план производства симплекс-методом.

Математическая модель задачи

  •  основные переменные  (=1,…,4) – количество произведенной продукции ; ;
  •  целевая функция – прибыль от реализации всей продукции.

,

  •  ограничения: расход ресурсов не превышает запасов:

Канонический вид математической модели для решения симплексным методом (добавим дополнительные переменные):

Экономический смысл дополнительных переменных:

  •    (=5, 6,  7) – количество неиспользованного ресурса , , .

Симплексные таблицы.

Таблица 1

Базис

х1

х2

х3 

х4

х5

х6

х7

bi

Отношение

х5

х6

х7

2

4

3

3

1

5

2

3

2

1

2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

25

30

42

12,5

7,5

14

–6

–5

–4

–3

0

0

0

0

Таблица 2

Базис

х1

х2

х3 

х4

х5

х6

х7

bi

Отношение

х5

х1

х7

0

1

0

2,5

0,25

4,25

0,5

0,75

-0,3

0

0,5

0,5

1

0

0

-0,5

0,25

-0,8

0

0

1

10

7,5

19,5

4

30

4,59

0

-3,5

0,5

0

0

1,5

0

45

-

Таблица 3

Базис

х1

х2

х3 

х4

х5

х6

х7

bi

Отношение

х2

х1

х7

1

0

0

0

1

0

0,2

0,7

-1,1

0

0,5

0,5

0,4

-0,1

-1,7

-0,2

0,3

0,1

0

0

1

4

6,5

2,5

0

0

1,2

0

1,4

0,8

0

59

Анализ оптимального решения  и значения целевой функции .

Чтобы получить наибольшую прибыль  ден. единиц, необходимо произвести 6,5 ед. продукции первого вида , 4 ед. продукции второго вида , а продукции третьего  и четвертого  видов не производить. Ресурсы  и  дефицитны (остаток ресурсов ), ресурс  избыточен (остаток ресурса равен ).


Контрольные вопросы

Симплексный метод решения ЗЛП

  1.  Запишите задачу ЛП в канонической, стандартной  форме.
  2.  С помощью каких преобразований можно перейти от общей или стандартной ЗЛП к канонической?
  3.  Сформулируйте основную идею симплексного метода решения ЗЛП.
  4.  Дайте определения допустимого решения, оптимального решения  ЗЛП.
  5.  Сформулируйте алгоритм симплексных преобразований в симплексных таблицах.
  6.  Таблица какого вида называется симплексной, как она заполняется?
  7.  Как по симплексной таблице записать компоненты опорного решения ЗЛП?
  8.  По каким правилам преобразуются элементы в симплексной таблице при переходе к новой симплексной таблице?
  9.  Как определить по симплексной таблице, что имеющееся опорное решение не является оптимальном, но его можно улучшить?
  10.  Чтобы перейти от опорного решения к улучшенному опорному решению, как нужно для ЗЛП выбрать разрешающий элемент?
  11.  Дайте понятие альтернативного оптимума ЗЛП.
  12.  Как получить общее оптимальное решение, если ЗЛП имеет альтернативный оптимум?
  13.  Дайте экономическую и математическую постановку прямой ЗЛП об использовании сырья для производства продукции нескольких видов. Каков экономический смысл основных и дополнительных переменных  в оптимальном решении ЗЛП об использовании ресурсов?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8848. Основные понятия безопасности труда 53 KB
  Основные понятия безопасности труда. 1. Охрана труда - это правовые, социально-экономические (расчет вредности, инструктажи, знаки безопасности и т.д.), организационно-технические, санитарно-гигиенические (фонтанчики, омыватели лица), лечебно - проф...
8849. Электроприёмники и режимы их работы 952 KB
  Электроприёмники и режимы их работы. Основные понятия и классификации электроприёмников. Системой электроснабжения (СЭС)- называется совокупность устройств, для производства, передачи, распределения и потребления электроэнергии. Система электроснабж...
8850. Хозяйственный учет, его сущность и значение 45.48 KB
  Хозяйственный учет, его сущность и значение Цель лекции: студент должен познакомиться с понятиями учета Содержание. Сущность учета. Понятие учета. Слагаемые любого вида учета. Хозяйственный учет и его виды. Сферы совр...
8851. Основные понятия бухгалтерского учета 217.33 KB
  Основные понятия бухгалтерского учета Цель лекции: студент должен познакомиться с основными понятиями бухгалтерского учета Содержание. Бухгалтерский учет. Виды бухгалтерского учета. Функции бухгалтерского учета. Объекты бухгалтер...
8852. Бухгалтерские счета и двойная запись 202.88 KB
  Бухгалтерские счета и двойная запись Цель лекции: студент должен познакомиться с понятиями бухгалтерский счет, двойная запись. Содержание. Понятие бухгалтерского счета. Структура бухгалтерского счета. Виды бухгалтерских счетов. Акт...
8853. Хозяйственные операции и хозяйственные процессы 68.54 KB
  Хозяйственные операции и хозяйственные процессы Цель лекции: студент должен познакомиться с понятиями хозяйственные операции, хозяйственные процессы. Содержание 1. Понятие хозяйственного процесса и хозяйственной операции 1 2.1. Характеристика ...
8854. Классификация счетов бухгалтерского учета 120.33 KB
  Классификация счетов бухгалтерского учета Цель лекции: студент должен познакомиться с классификацией счетов бухгалтерского учета. Содержание 1. Классификация счетов по отношению к балансу 1 2. Классификация счетов по экономическому содержанию, стр...
8855. Cчета синтетического и аналитического учета 108 KB
  Cчета синтетического и аналитического учета. Цель лекции: студент должен познакомиться с понятиями синтетический и аналитический счет. Содержание. Взаимосвязь счетов бухгалтерского учета и бухгалтерского баланса. Синтетические и аналитич...
8856. Оценка хозяйственных средств и калькуляция себестоимости продукции (работ, услуг) 54.74 KB
  5 Оценка хозяйственных средств и калькуляция себестоимости продукции (работ, услуг) Цель лекции: студент должен познакомиться со способами оценки хозяйственных средств. Содержание 1. Оценка хозяйственных средств 1 2. Способы оценки хозяйственных сре...