6269

Управленческие решения в финансовом менеджменте. Подсчет сложных процентов

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Управленческие решения в финансовом менеджменте. Подсчет сложных процентов Содержание Начисление сложных годовых процентов Сравнение наращения по простым и сложным процентам Наращение по сложным процентам при нецелом числе лет...

Русский

2012-12-31

229.5 KB

37 чел.

Управленческие решения в финансовом менеджменте. Подсчет сложных процентов

Содержание

  1.  Начисление сложных годовых процентов
  2.  Сравнение наращения по простым и сложным процентам
  3.  Наращение по сложным процентам при нецелом числе лет
  4.  Номинальная ставка сложных процентов.
  5.  Эффективная ставка сложных процентов

1. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ

Модели сложных процентов отличаются от моделей простых процентов базой () начисления процентов.

Напомним, что по схеме простых процентов процентная ставка применялась к первоначальной сумме  инвестированного капитала.

По схеме сложных процентов процентная ставка применяется к наращенной сумме  («проценты на проценты»). После очередного интервала начисления процентов доход  (то есть начисленные за данный интервал проценты) присоединяется к денежной сумме , имеющейся на начало нового интервала.

Происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Следовательно, база, с которой начисляются сложные проценты, является переменной и все время возрастает.

Способ начисления сложных процентов (как и в случае применения простых процентных ставок) может быть декурсивным (начисление процентов в конце интервала начисления) и антисипативным (проценты начисляются в начале интервала начисления).

Дадим пояснения.

Пусть на начало срока ссуды известно:

- первоначальная сумма инвестированного капитала,

- годовая ставка сложных процентов,

- срок ссуды в годах.

Номер интервала

Сумма  на начало интервала (база для начисления процентов)

Проценты  на базу (доход)

Наращенная сумма  на конец интервала начисления =

= (сумма на начало интервала) + (проценты)

К концу 1-го года наращенная сумма на базу  составит

= (сумма на начало интервала начисления) + (проценты)= ,

т.е. .

Величина  - база для начисления сложных процентов на 2-й год.

Прошел еще один год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет составит

= (наращенная сумма после одного года) + (проценты)= =.

К концу 2-го года наращенная сумма на базу  составит

.

Величина  - база для начисления сложных процентов на 3-й год.

И так далее.

На начало -го года наращенная сумма равна , она и является базой для начисления сложных процентов на -й год.

В конце -ого года наращенная сумма составит .

Последовательность наращенных сумм по сложным процентам образует геометрическую прогрессию , , , ... ,  с первым членом  и знаменателем .

  •  Наращенная сумма по годовой ставке сложных ссудных процентов  за  лет равна  

                                          .                                     (1)

  •  Множитель наращения по сложным процентам 

                                                                 (2)

показывает, во сколько раз возрастает за  лет сумма , положенная в банк под  сложных процентов годовых.

Множитель  характеризует будущую стоимость 1 ден. единицы через  лет при годовой ставке сложного процента .

Заметим, что в схеме сложных процентов приращение капитала равно

                                                            (3)

и не пропорционально ни сроку ссуды , ни ставке процента .

Представим схематичный график функции  наращенной суммы по сложным процентам.

          , ден. ед.

                      

                                                                                              

                     

                                                

                      

                                                                     

                                                

                                              1                    2                                          годы

Рисунок 1 - График функции наращенной суммы по сложным процентам

Пример 1. Сумма  рублей инвестирована на три года под  сложных годовых процентов.

Решение 

По условию задачи,  руб., ,  года.

  1.  Найти суммы процентных денег, выплачиваемых за первый, второй, третий годы.

За первый год выплачивается сумма процентных денег

руб.

Наращенная сумма к концу 1-го года составит

руб.

За второй год сумма процентных денег равна

руб.

Наращенная сумма к концу второго года составит

руб.

За третий год сумма процентных денег равна

руб.

2. Найти наращенную сумму к концу периода, через 3 года.

Вычислим величину наращенной суммы за 3 года:

руб.

Проверка: наращенная сумма к концу 3-го года составит

руб.

3. Каковы сложные проценты за весь срок ссуды?

Доход  от предоставления капитала в долг, т.е. сложные проценты за весь срок ссуды найдем как разность

руб.

Проверка:  руб.

4. Во сколько раз выросла первоначальная сумма к концу срока инвестирования?

Множитель наращения по сложным процентам равен

.

Множитель наращения 1,191 показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма инвестиций  руб. к концу срока.

2. СРАВНЕНИЕ НАРАЩЕНИЯ ПО ПРОСТЫМ И СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ

Сравним множители наращения по простым процентам  и сложным процентам .

Для лица, предоставляющего кредит:

  1.  Обе схемы дают одинаковый результат, если срок ссуды 1 год и однократное начисление процентов.

При  множители  и  равны между собой и составляют .

  1.  Более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды меньше года.

Получим:  , так как при .

  1.  Более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды более одного года. 

, так как  при .

Взаимосвязь между наращенными суммами по схемам простых и сложных процентов представлена на рисунке 2.


          

                                                                                 

                                                                                                   

      

                                                       

                                                     1                                              лет

Рисунок 2 - Сравнение наращенных сумм по простым и сложным процентам

3. НАРАЩЕНИЕ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ ПРИ НЕЦЕЛОМ ЧИСЛЕ ЛЕТ

При выводе формулы  предполагалось, что  измеряется в годах, а  является годовой процентной ставкой.

Пусть срок контракта равен  месяцев, а - годовая процентная ставка. Тогда в формуле наращенной суммы величину срока ссуды нужно выразить как  - часть года. Наращенная сумма по сложной ставке ссудных процентов за  месяцев составит

                                      .                                      (4)

Пусть срок контракта равен  дней, то величина  - часть года и наращенная сумма

                                                .                                       (5)

Временнáя база  дней рассчитывается так же, как в схеме простых процентов - либо 365, либо 360 дней.

Пусть срок ссуды равен  лет,  месяцев и  дней, то наращенная сумма равна

                                      .                     (6)

Пример 2. Сумма  рублей положена на банковский счет на 1 год, 3 месяца и 18 дней по сложной процентной ставке % в год. Найти наращенную сумму.

Решение

руб.,  (дней) – интервал начисления,  - годовая сложная процентная ставка.

Приведем длину периода и процентную ставку во временное соответствие: интервал начисления равен  (года), годовая процентная ставка (за период) . Тогда по формуле (6) получим:

.

Смешанный метод расчета наращенной суммы по сложным процентам для нецелого числа лет предполагает: для целого числа периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части – формулу сложных процентов.

Пусть  - период сделки,  - целое число лет,  - дробная часть года. Тогда   .   (7)

Так как , то . Итак,

  1.  при использовании смешанного метода наращенная сумма будет больше;
  2.  смешанная схема начисления процентов для кредитора оказывается менее выгодной.

Пример 3. В банк положили вклад  руб. по ставке  сложных годовых процентов на  года. Какую сумму получит вкладчик в конце срока?

Дано:  (руб.), ,  (года),  (мес.).

Первый способ. Тогда  (года) и наращенная сумма равна руб.

Второй способ.


4. Номинальная ставка сложных процентов

Нередко в договорах, контрактах и других финансовых соглашениях предусматривается капитализация процентов несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д.

На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая процентная ставка, и одновременно указывается период начисления процентов. Например, «24% годовых с ежемесячным начислением процентов».

Применяя в этом случае формулу , нужно понимать под  число периодов начисления, а под  - процентную ставку за период.

При этом нужно обязательно следить, чтобы длина периода и процентная ставка имели временнóе соответствие.

Обозначим через  - количество начислений сложных процентов в году,  - процентную ставку (нижний индекс  указывает, сколько раз в году происходит наращение).

Тогда длительность каждого периода наращения равна  (годам) и каждый период проценты начисляются по ставке .

Годовая процентная ставка  называется номинальной (nominal rate), если начисление процентов происходит  раз в году за каждый период длительностью  (лет) по процентной ставке .

Тогда формула наращенной суммы по сложным процентам за  лет при -кратном начислении процентов в год примет вид:     

                                   .                                  (8)

Здесь  - количество периодов начисления процентов за  лет.

Если  - целое число, то для вычисления множителя наращения  можно пользоваться таблицей сложных процентов (Приложение).

Пример 4.  Кредит размером  рублей выдан под сложные проценты на полтора года по ежемесячной ставке сложных процентов %. Найдите полную сумму долга к концу срока.

Решение

По условию задачи ,  (месяцев в году),  (месячная ставка),  года. Тогда по формуле (14) получим:

Значение множителя наращения по сложным процентам   найдено по таблице 2 в Приложении при заданных значениях числа периодов (18) и ставке процентов (25%).

Пример 5. Вклад на сумму  руб. был положен на 1 год в банк под  сложных годовых процентов. Найти наращенную сумму за год, применяя начисление процентов: 1) один раз в году; 2) по полугодиям; 3) поквартально; 4) помесячно. Сравнить результаты и сделать вывод.

Решение

Во всех случаях  (год).

  1.  При начислении процентов один раз в году количество периодов наращения в году , а процентная ставка равна . Тогда

руб.

При начислении процентов два раза в год , полугодовая процентная ставка . Тогда

руб.

  1.   При начислении процентов поквартально , квартальная процентная ставка . Значит,

тыс. руб.

  1.  При начислении процентов ежемесячно , квартальная процентная ставка . Тогда

тыс. руб.

Ответ. 1)  тыс. руб.; 2) тыс. руб.; 3)  тыс. руб.; 4)  тыс. руб. Процесс наращения идет тем быстрее, чем чаще начисляются сложные проценты в год.

Сделаем несколько практических выводов:

при начислении сложных процентов  годовых не эквивалентно  в полугодие, или  в квартал, или  в месяц;

чем чаще начисляются сложные проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

5. Эффективная годовая процентная ставка

Чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности финансовых контрактов, в которых предусмотрены различные схемы начисления процентов, вводится универсальный показатель для любой схемы начисления - эффективная годовая процентная ставка (effective rate).

Пусть банк разрешает вкладчику переоформлять вклад и согласен за каждую  часть года начислять сложные проценты по ставке . Тогда в конце года на счете вкладчика окажется сумма, большая, чем та сумма, которую банк выплатил бы при однократном начислении . Поэтому банк устанавливает эффективную ставку процентов.

Эффективной процентной ставкой  называется такая годовая ставка сложных процентов, которая дает то же наращение, что и -кратное начисление процентов по ставке .

Таким образом, множители наращения по эффективной и номинальной ставкам должны быть равны между собой: . Отсюда связь между эффективной  и номинальной  ставками:

                                                  ,                     (9)  

                                                  .                    (10)

Формула (9) показывает, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений:

  1.  с ростом  эффективная ставка увеличивается,
  2.  при  эффективная ставка больше номинальной ставки.

Пример 6. Предприниматель может получить ссуду:

1) на условиях поквартального начисления процентов из расчета  годовых, или

2) или на условиях полугодового начисления процентов из расчета  годовых.

Какой вариант лучше выбрать?

Решение 

Найдем эффективные годовые процентные ставки для каждого варианта и сравним их.

Для первого варианта получим: .

Для второго варианта найдем: .

Чем ниже эффективная годовая процентная ставка, тем для заемщика вариант предпочтительнее. Так как , значит, первый вариант для заемщика предпочтительнее.

6. Эквивалентность номинальных и эффективных ставок

Принятие решения о наиболее выгодном варианте ссуды не зависит от величины кредита, поскольку критерием эффективности финансовой сделки является только эффективная ставка . Она, в свою очередь, является относительным показателем и зависит лишь от номинальной ставки  и количества начислений .

Эффективная и номинальная ставки эквивалентны в финансовом  отношении: замена в договоре эффективной ставки  на номинальную ставку  (и наоборот) не изменяет финансовых обязательств обеих сторон.

Пример 7. Вкладчик намерен положить сумму  в банк на один год. Банк начисляет за год . У вкладчика есть выбор: 1) сразу положить деньги на год, 2) положить их сначала на полгода, а затем еще на полгода по той же ставке.

Какую годовую номинальную ставку процентов должен установить банк для полугодовых вкладов, чтобы двукратное начисление процентов приносило бы вкладчику такой же доход, как и тот, который он получил бы, положив деньги сразу на весь год?

Решение

1) По условию задачи, эффективная ставка процентов . По этой ставке вкладчик через год получит сумму .

2) Обозначим через  искомую номинальную годовую ставку для начисления процентов по полугодиям. По окончании первого полугодия на счете вкладчика будет находиться сумма , а по окончании второго полугодия - сумма .

По условию задачи, суммы  и  должны быть равны:

.

Отсюда найдем годовую номинальную ставку процентов:

;     ;     .

Финансовый смысл результата состоит в следующем.

Если  - годовая номинальная ставка, то через год двукратное начисление процентов по номинальной ставке процентов  и однократное - по эффективной ставке процентов  дает один и тот же результат. Значит, эффективная ставка  и номинальная ставка   являются эквивалентными.

Контрольные вопросы

  1.  В чем состоит принципиальная разница между простыми и сложными процентами?
  2.  Дайте определение эффективной годовой процентной ставки. Назовите параметры, от которых она зависит.
  3.  Запишите формулу для расчета наращенной суммы по сложным процентам, поясните входящие в нее величины.
  4.  Как изменяется наращенная сумма при росте частоты начисления сложных процентов по процентной ставке? Отличается ли ответ в случае простых процентов?
  5.  Как изменяется эффективная годовая процентная ставка при увеличении числа внутригодовых начислений?
  6.  Как происходит начисление сложных процентов на капитал в течение всего срока?
  7.  Какая годовая ставка процентов называется номинальной?
  8.  Какое начисление процентов - более частое или менее - и при каких условиях более выгодно для инвестора?
  9.  Сделайте сравнительный анализ графиков изменения наращения капитала при реализации схем простых и сложных процентов.
  10.  Чем отличается капитализация при сложных процентах от капитализации при простых процентах?
  11.  Что называется капитализацией процентов?
  12.  Что понимается под капитализацией при сложных процентах?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82298. Экологические проблемы Казахстана на современном этапе (движение Невада-Семипалатинск, Арал, Балхаш и т.д.) 33.34 KB
  Высыхание Аральского моря и возникновение зоны экологического бедствия в регионе стало возможным в результате неэкономного использования воды рек Сырдарьи и Амударьи. Сырдарья в настоящее время не доходит до моря заканчивая свой путь на полях а Амударья достигает Арала лишь зимой тоненьким ручейком. Осушенное дно моря становится источником пыли и солей разносимых на очень большие расстояния. Площадь моря разделилась на несколько самостоятельных водоемов море отошло от берегов местами на 100150 км и продолжает расчленяться.
82299. Земельно- водная реформа 1921 г, ее цели и сущность 29.36 KB
  Аграрные преобразования способствовали возвращению и укреплению социально экономического положения 300 тысяч беженцев казахов и киргизов эмигрировавших в 1916 году в Китай. Реформа способствовала укреплению союза рабочего класса и казахских шаруа узбекских дунганских уйгурских дехкан укреплению национального согласия. Кредит семенные ссуды и другие средства экономического регулирования способствовали укреплению связи государства с трудовым крестьянством восстановлению производительных сил росту трудовой активности трудящихся аула и...
82300. Противоречивость хода перестройки в Казахстане 30.94 KB
  Черненко Генеральным секретарем КПСС становится М. В преддверии поворотного ХХVII съезда КПСС в период его практической подготовки 15 января 1986 г. было опубликовано Заявление Генерального секретаря ЦК КПСС в котором была выдвинута конкретная рассчитанная на точно определенный срок до конца нынешнего столетия программа мероприятий направленных на полную и повсеместную ликвидацию ядерного и других видов оружия массового поражения. ХХVII съезде КПСС была принята новая философия внешней политики Советского Союза.
82301. Причины гололда 1931-1932 годов и его последствия. Письмо «пятерых» 30.48 KB
  В ходе проведения политики раскулачивания более 60 тысяч хозяйств были объявлены байскими и их имущество подлежало конфискации; более 40 тысяч было раскулачено а остальные скрылись бросив свое имущество. В 1929 году привлечено к ответственности 56 498 крестьян из них более 34 тысячи были осуждены. Тургайские перегибщики объявили лозунг Перегибов не допускать – парнокопытных не оставлять здесь из миллионного поголовья...
82302. Декабрьские события 1986 г. причины и следствия 28.12 KB
  Однако в дальнейшем оказалось, что руководство республики не способно реагировать даже на поверхностные изменения в политике, и поэтому ЦК КПСС принял решение сменить Д.А. Кунаева на кадровика новой волны Г.В. Колбина. Результатом этого стали декабрьские 1986 года события в Алма-Ате.
82303. Курс на индустриализацию и ее особенности в Казахстане 33.01 KB
  В экономике Казахстана преобладало сельское хозяйство на которое приходилось 844 всей валовой продукции 90 населения проживало в сельской местности. В начале индустриализации Казахстана основное внимание было сосредоточено на комплексном восстановлении наиболее крупных и важных для того времени объектов тяжелой промышленности. В 19261939 годах население Казахстана увеличилось на 1 1335 тысяч человек появились новые города возросла численность городского населения в 24 раза. В годы индустриализации практиковалось шефство над...
82304. Процесс демократизации в Казахстане. Образование партий и движений в 80-е-90-е годы 31.19 KB
  Существовавшая ранее советская система государственного управления была полностью демонтирована коммунистическая партия перестала быть монополистом на политическом поле страны. Именно в это время начала оформляться Социальнодемократическая партия и Гражданское демократическое движение Азат. Сама Компартия к этому времени перестала быть единой. Это были партии Народный Конгресс Казахстана и Социалистическая партия Казахстана.
82305. Насильственная коллективизация сельского хозяйства и ее последствия в Казахстане 29.74 KB
  Советское правительство решило изыскать средства для индустриализации путем перекачки их из сельского хозяйства в промышленность. Советское правительство решило изыскать средства для индустриализации путем перекачки их из сельского хозяйства в промышленность. С позиции Голощекина Казахстан являлся в первую очередь аграрным регионом поэтому первоочередная задача состояла в развитии сельского хозяйства и мелкой обрабатывающей промышленности но никак не крупной.
82306. Провозглашение Независимости Республики Казахстан. Государственные символы РК 29.88 KB
  Принятие 16 декабря 1991 года Конституционного Закона РК стало Днем независимости Казахстана и обретение республикой самостоятельности. Большинство жителей Казахстана поддержало кандидатуру Н. определил Казахстан как независимое правовое демократическое государство.