6270

Управленческие решения в конфликтных ситуациях

Реферат

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Управленческие решения в конфликтных ситуациях Содержание Теория игр как основа моделирования конфликтных ситуаций. Антагонистические игры (принцип минимакса, седловой элемент, цена игры, решение игры). Доминирование стратегий игро...

Русский

2012-12-31

219.5 KB

75 чел.

Управленческие решения в конфликтных ситуациях

Содержание

  1.  Теория игр как основа моделирования конфликтных ситуаций.
  2.  Антагонистические игры (принцип минимакса, седловой элемент, цена игры, решение игры).
  3.  Доминирование стратегий игроков.
  4.  Оптимальные смешанные стратегии ЛПР.
  5.  Графический способ нахождения оптимальных стратегий ЛПР.

1. Теория игр как основа моделирования конфликтных ситуаций

В предыдущих разделах были рассмотрены задачи принятия решений в ситуациях определенности. Однако существуют реальные задачи, в которых необходимо принимать решения в неопределенных ситуациях, когда известны лишь области возможных значений неопределенных факторов, но неизвестны их законы распределения вероятностей.

Подавляющее большинство социально-экономических решений приходится принимать с учетом противоречивых интересов, относящихся либо к различным лицам или организациям, либо к различным аспектам рассматриваемого явления, либо к тому и другому. В таких случаях невозможно применить традиционные методы  оптимизации. В обычных экстремальных задачах речь идет о выборе решения одним  лицом, и результат решения зависит от этого выбора, то есть определяется действиями только одного лица. В такую схему не укладываются ситуации, где решения, оптимальные для одной стороны, совсем не оптимальны для другой и  результат решения зависит от всех конфликтующих сторон.

Такие ситуации возникают тогда, когда в операции кроме оперирующей стороны принимают участие лица, преследующие отличные от оперирующей стороны цели. Такие ситуации называются конфликтными. Конфликтный характер таких задач не предполагает вражды между участниками, а свидетельствует о различных интересах. Необходимость анализировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат - теорию игр.

Необходимость анализа этих ситуаций при принятии решения потребовала разработку специального математического аппарата, получившего название «Теория игр». Задача теории игр – выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников конфликта. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу  действий участников в конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них.

Неопределенность может быть вызвана не только стремлением противников скрыть свои действия в игре, но и дефицитом информации и данных о рассматриваемом явлении.

Основные понятия.

Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по  вполне определенным правилам. Реальные конфликты обычно трудно поддаются формальному описанию, поэтому любая игра является упрощением исходной задачи, в ней отражаются лишь основные, первостепенные факторы, отражающие суть  процесса или явления.

Игрой называется всякая конфликтная ситуация, изучаемая в теории игр и представляющая собой упрощенную, схематизированную модель ситуации.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что не включает второстепенные, несущественные для ситуации факторы и ведется по определенным правилам, которые в реальной ситуации могут нарушаться

Всякая игра включает в себя три элемента: участников игры - игроков,  правила игры, оценку результатов действий игроков.

Ситуации - возможные исходы конфликта. Каждая ситуация - результат выбора  каждым игроком своей стратегии.

Стороны, участвующие в конфликте - игроки, а исход конфликта - выигрыш (проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.

Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми. Для задания такой игры достаточно выписать так называемую платежную матрицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго игрока. Элементами матрицы служат выигрыши первого игрока.

Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Поэтому для полного «задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.

Стратегией игрока называется доступные для игроков действия, в общем случае - это набор правил и ограничений, совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игрок  располагает  стратегиями , а игрок -  стратегиями .

Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Такие стратегии называются оптимальными.

При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Матрица, элементы которой  характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях , называется платежной матрицей игры и обозначается .

Отдельная партия в матричной игре реализуется следующим образом. Игрок  выбирает одну из строк платежной матрицы (одну из своих чистых стратегий). Не зная результата его выбора, игрок  выбирает один из столбцов (свою чистую стратегию). Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранных строки и столбца, определяет выигрыш  (проигрыш ).

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой.

В экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры - такие игры называют играми с природой.

Под термином «природа» понимается вся совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют "статистиком", а соответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды, определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает размер ожидаемой прибыли, уровень спроса.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает. В стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера. Но в статистических играх "природа" может предпринимать и такие ответные действия (реализовать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа и т.п.) действует случайно.

При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно классифицировать задачу, потому что методы, применяемые к антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с природой.

2. Антагонистические игры (принцип минимакса, седловой элемент, цена игры)

В качестве цели при поиске решения антагонистической игры  будем рассматривать ситуацию равновесия, то есть устойчивое и выгодное решение.

Ситуация ( i*, j* ) называется равновесной, если она приемлема для обоих игроков. То есть всякое отклонение от приемлемой ситуации уменьшает выигрыш первого игрока и увеличивает проигрыш второго. Применительно к антагонистическим играм говорят о седловых точках.

Свойства седловых точек:

1. Равноценность. Если в игре несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2. Взаимозаменяемость оптимальных стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится, а выигрыш (проигрыш) останется неизменным.

Устойчивое решение игры может быть получено путем следующих рассуждений.

Рассмотрим парную конечную игру, то есть два игрока, и они имеют противоположные интересы, причем у каждого из игроков А и В конечное число возможных действий - чистых стратегий.

Пусть игрок  располагает   стратегиями , а игрок -   стратегиями . Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку  максимальный выигрыш, а игроку  - минимальный проигрыш.

Игрок , анализируя платежную матрицу, для каждой стратегии (строки)  () сначала найдет минимальное значение ожидаемого выигрыша  (). А затем из всех  выделит наибольшее число  и выберет соответствующую ему стратегию  - наиболее предпочтительную в данных условиях. Ее называют максиминной стратегией, поскольку она отвечает величине

. (1)

Число   называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой гарантированный минимальный выигрыш может получить игрок  при любых действиях игрока .

Игрок , стремясь минимизировать проигрыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии сначала для каждой стратегии (столбца)  () найдет максимально возможный проигрыш  (). А затем среди всех  выберет минимальное значение , которому будет соответствовать искомая стратегия . Ее называют минимаксной, так как она соответствует величине

.  (2)

Число  называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой гарантированный проигрыш может быть у игрока  независимо от действий игрока . 

Таким образом, правильно используя стратегии, игрок  обеспечит себе выигрыш не меньше , а игрок  в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку  выиграть больше, чем .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.

Сформулируем утверждение (без доказательства).

В матричной игре нижняя чистая цена игры  не превосходит верхней чистой цены игры :  .

Общее значение нижней и верхней цены игры  называется чистой ценой игры. 

Максиминная  и минимаксные  стратегии, соответствующие цене игры , являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением игры.

Элемент  платежной матрицы, стоящий на пересечении строки и столбца, которые соответствуют оптимальным стратегиям  и , называется седловым элементом платежной матрицы.

Пример 1. Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы

Стратегии игрока

Стратегии игрока

B1

B2

B3

A1

0,4

0,6

0,8

= 0,4

A2

1,1

0,7

0,9

= 0,7

A3

0,7

0,3

0,5

= 0,3

=1,1

=0,7

=0,9

Для этой матрицы видно, что . Седловая точка , значит, цена игры равна . 

Матричная игра, имеющая седловую точку , решается в чистых стратегиях.

Оптимальными являются чистые стратегии , образующие седловую точку, цена игры равна .

Решением игры считается тройка .

3. Доминирование стратегий игроков

Решение в матричных играх, особенно если матрица большая, получается путем громоздких вычислений и преобразований. Поэтому необходимо по  возможности сократить матрицу и упростить решение, не в ущерб результату. В качестве такого сокращения используется понятие доминирования стратегий.

Решение матричной игры можно упростить, если своевременно выявить имеющееся в платежной матрице доминирование одних стратегий над другими, поскольку это позволит предварительно сократить размерность матрицы.

Иногда возможно упростить игры, применяя следующие принципы:

1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы. Необходимо оставить доминирующие стратегии и отбросить доминируемую стратегию – в платежной отбросить ту строку, элементы которой меньше соответствующих элементов другой строки.

2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы. Необходимо оставить доминирующие стратегии и отбросить доминируемую стратегию – в платежной отбросить тот столбец, элементы которого больше соответствующих элементов другого столбца.

Пример 2. Выполнить возможные упрощения платежной матрицы

.

Проанализируем матрицу сначала с позиции игрока .

Элементы первой и третьей строк соответственно равны, поэтому одну из них (например, третью) можно отбросить. Элементы второй строки не превышают соответствующих элементов первой строки, поэтому вторую строку отбрасываем и приходим к матрице .

У игрока А остались доминирующие стратегии А3 и А4.

Проанализируем теперь полученную матрицу с позиции игрока .

Элементы первого столбца данной матрицы превышают соответствующие элементы второго столбца, элементы третьего – элементы четвертого, а элементы пятого – элементы второго столбца. Поэтому доминируемые первый, третий и пятый столбцы отбрасываем. В результате получаем матрицу . У игрока В остались доминирующие стратегии В2 и В4.

Вывод. Таким образом, если строка матрицы А доминируется какой-либо другой  (то есть она меньше) строк, то ее можно вычеркнуть и решать задачу с меньшей матрицей, а решение исходной задачи получить добавив нули вместо недостающих координат в векторе первого игрока.

Если столбец матрицы А доминирует какой-либо другой (то есть он больше) всех остальных столбцов, то его можно  вычеркнуть, решить игру с меньшим количеством столбцов и получить оптимальные смешанные стратегии добавлением нулей вместо недостающих координат в  векторе второго игрока.

4. Оптимальные смешанные стратегии ЛПР

Если матричная игра не имеет седловой точки (ситуации равновесия), то ее решение в чистых стратегиях становится непредсказуемым: каждому игроку можно только гарантировать, что его выигрыш при разумном поведении будет не менее нижней границы и не более верхней границы, цены игры.

Матричная игра без седловой точки приводит к неустойчивости использования стратегий при многократном повторении игры.

Если игра не имеет седловой точки, и применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В этом случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

  •  Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий: , где , .
  •  Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий: , где , .

Игра приобретает случайный характер, поэтому является случайной и величина выигрыша игрока  (проигрыша игрока ). Значит, можно вести речь о средней величине (математическом ожидании) выигрыша (проигрыша).

Для платежной матрицы  и смешанных стратегиях  и  средняя величина выигрыша (математическое ожидание) примет вид

.

5. Графический способ нахождения оптимальных стратегий ЛПР

Если седловой точки нет, то можно применить графический способ или составить модель и решить симплекс-методом.

Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Если же игра не сводится путем упрощения к размерности   или , то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.

Пример 3. Рассмотрим платежную матрицу, у которой нет седловой точки (проверить!). Значит, игроки будут применять смешанные стратегии.

7

6

5

4

2

5

4

3

2

3

5

6

6

3

5

2

3

3

2

4

Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков. Путем упрощения, ее можно свести к матрице .

               

()

()

()

4

2

()

3

5

Рассмотрим решение с позиции игрока А.

Найдем его оптимальную стратегию , в которой уже известно, что   (отброшены доминируемые стратегии А2 и А4).

Обозначим  - вероятность применения игроком  стратегии ;

        - вероятность применения игроком  стратегии .

Так как , то .

Тогда получим, что средний выигрыш игрока  равен цене игры :

, или .

Чистые стратегии игрока

Ожидаемые выигрыши игрока

 

= 4 р1 + 3 р3 =  4р1 + 3(1 - p1) = р1 + 3

= 2 р1 + 5 р3 = 2 р1 + 5(1-p1) = -3р1 + 5

На оси Ох разместим точки р1=0 и р1=1, через которые проведем прямые, перпендикулярные оси Ох. Подставляя р1=0 и р1=1 в выражение р1+3, найдем значения 3 и 4, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.

Аналогично рассмотрим выражение (-3р1+5). Подставляя р1=0 и р1=1 в это выражение, найдем значения 5 и 2, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим вторую прямую.

Оптимальная стратегия игрока  найдется из равенства выражений (р1+3) и (-3р1+5). Отсюда р13=0,5.

Оптимальная стратегия .

Цена игры для игрока А равна .

Для второго игрока оптимальная стратегия  ищется аналогично. Известно, что   (отброшены доминируемые стратегии В1, В2 , В3).

Обозначим  - вероятность применения игроком  стратегии ;

                    - вероятность применения игроком  стратегии .

Так как , то . Зная, что средний выигрыш игрока  равен цене игры , заполним таблицу.

Чистые стратегии игрока

Ожидаемые выигрыши игрока

 

= 4q4 + 2q5 =  4q4 + 2(1 – q4) = 2q4 + 2

= 3q4 + 5q5 = 3 q4 + 5(1-q4) = -2q4 + 5

Оптимальная стратегия игрока  найдется из равенства выражений (2q4+2) и (-2q4+5). Отсюда  q4=0,74; q5=0,25, оптимальная стратегия .

Цена игры для игрока В равна .

Ответ:

оптимальное решение игры .

цена игры .

Контрольные вопросы

  1.  Чем отличаются проблемы теории игр от проблем теории оптимизации?
  2.  Что понимается под термином «игра»?
  3.  В чем состоит основная задача теории игр?
  4.  Какие парные игры называются матричными? Приведите пример построения платежной матрицы.
  5.  Что понимается под стратегией игрока?
  6.  Что значит «решить игру»?
  7.  Какие встречаются типы игр?
  8.  Как определяется матричная антагонистическая игра двух лиц?
  9.  Как находится верхняя и нижняя цена игры для определенной матричной антагонистической игры двух лиц?
  10.   Всегда ли матричные игры имеют решение в чистых стратегиях?
  11.   Какая игра называется игрой с нулевой суммой?
  12.   Что является элементами платежной матрицы игры?
  13.   Что показывают положительные, нулевые и отрицательные элементы платежной матрицы?
  14.   В каком случае стратегия игрока  называется оптимальной?
  15.   В каком случае стратегия игрока  называется оптимальной?
  16.   Как найти седловой элемент платежной матрицы?  Какую роль играет седловой элемент?  
  17.  Какие есть методы решения матричных антагонистических игр?
  18.  Каковы принципы решения игр в неопределенных ситуациях?
  19.   Какими способами можно упрощать платежные матрицы?
  20.   Как определить доминирующие стратегии игрока?
  21.   Что понимается под играми с природой?
  22.   Как найти средний выигрыш игрока при известных вероятностях стратегий и при неизвестных вероятностях?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4838. Создание справочных систем на языке Pascal 251.5 KB
  Справочная система Цель: Научить студентов создавать справочную систему. Задачи: Воспитательная: работа над собой. Учебная: создание приложений. Развивающая: развитие внимательности. План занятия. Организационный момент. Изучение нового...
4839. Создание баз данных на языке Pascal 367 KB
  Базы данных Цель: Научить студентов создавать базы данных. Задачи: Воспитательная: работа над собой. Учебная: создание приложений. Развивающая: развитие внимательности. План занятия. Организационный момент. Изучение нового материала...
4840. Создание установочного диска c помощью Install Shield Express 425.5 KB
  Создание установочного диска Цель: Научить студентов создавать установочные диски. Задачи: Воспитательная: работа над собой. Учебная: создание приложений. Развивающая: развитие внимательности. План занятия. Организационный момент. Изучен...
4841. Технические средства автоматизации в системах управления 223 KB
  Сбор информации о текущем состоянии технологического объекта управления (ТОУ); определение критериев качества работы ТОУ; нахождение оптимального режима функционирования ТОУ и оптимальных управляющих воздействий, обеспечивающих экстремум критериев качества; реализация найденного оптимального режима на ТОУ.
4842. Информатика - Основы алгоритмизации и программирование 732.5 KB
  Излагаемый материал предусматривает три уровня сложности в соответствии с требованиями системы Ритм. Часть вопросов можно вынести на рассмотрение на практических занятиях, некоторые вопросы могут быть прочитаны факультативно для студентов, желающих...
4843. Основы алгоритмизации. Основные аспекты алгоритмизации 306 KB
  Введение Процесс решения любой задачи на компьютере состоит из нескольких последовательных шагов или этапов. Наиболее важными из них являются следующие: постановка задачи (формализация задачи) алгоритмическая часть (алгоритмизация)...
4844. Природа - це казка. Виховний захід 102.5 KB
  Мета. Сприяти формуванню екологічної свідомості та екологічної культури у молоді показати унікальний світ природи планети Земля навчати бережливому ставленню молоді до природи. 1- й. Сьогодні іскристо вирує наснага І щедрість природа дарує всякчас...
4845. Збережемо природу рідного краю. Виховний захід 509 KB
  Мета: Вчити учнів усвідомлювати себе частиною світу природи формувати інтерес до навколишнього середовища розвивати спостережливість, увагу, бажання допомогти довкіллю виховувати в школярів дбайливе і гуманне ставлення до природи, бажання милуват...
4846. Семейный круг идеальная среда для роста Основа основ - родительский дом 274.86 KB
  В семейном кругу мы с вами растём Основа основ - родительский дом Цели: развивать творческий потенциал каждого ученика - формировать коммуникативную компетентность в процессе совместной творческой деятельности - формирование социальной компетентно...