63340

Вектори і лінійні дії над ними

Лекция

Математика и математический анализ

Багато фізичних величин повністю визначається своїм числовим значенням (об’єм, маса, температура); вони називаються скалярними. Але є такі, які крім числового значення мають ще і напрям (швидкість, сила).

Украинкский

2014-06-19

594.5 KB

11 чел.

  1.  Вектори і лінійні дії над ними

1.1 Скалярні і векторні величини

Багато фізичних величин повністю визначається своїм числовим значенням (об’єм, маса, температура); вони називаються скалярними. Але є такі, які крім числового значення мають ще і напрям  (швидкість, сила). Це  векторні величини.

Вектором називається напрямлений відрізок.  Якщо початок вектора міститься у точці А, а кінець – у точці В, то вектор позначають . Вектор позначають також малою буквою латинського алфавіту із стрілочкою зверху.

Відстань між початком вектора   і його кінцем називається довжиною (або модулем) вектора і позначається  або .

Вектор, довжина якого дорівнює о, називається нульовим () .

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Він називається  і має напрям вектора .

Вектори, які лежать на паралельних  (або на одній і тій самій прямій) називаються колінеарними.

Вектори, які лежать на паралельних площинах (або на одній і тій самій площині), називаються компланарними.

Вектори називають рівними між собою, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і рівні за модулем.

Вектор, колінеарний даному вектору , рівний йому за модулем і протилежно напрямлений, називається протилежним вектором для вектора  і позначається -.

Радіус-вектором точки М відносно точки О називається вектор .

1.2 Лінійні дії з векторами.

До лінійних дій з векторами належать додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.

  1.  Додавання векторів. Сума двох векторів  і  є вектор , напрямлений з початку вектора  в кінець вектора  за умови, що початок вектора  збігається з кінцем вектора . Це правило називають правилом трикутника.

Суму двох векторів можна побудувати за правилом паралелограма.

Щоб побудувати суму будь-якого скінченого числа векторів, потрібно в кінці першого вектора побудувати другий, в кінці другого побудувати третій і т.д. Напрямлений відрізок, що йде з початку першого вектора в кінець останнього і буде сумою даних векторів.

 

  1.  Віднімання векторів визначається як дія, обернена додаванню. Різницею  називається вектор , який, будучи доданий до вектора , дає вектор .

  1.  Множення вектора на число. Цю операцію можна розширити, як „розтяг” вектора   в λ > 1 і „стиск” при 0 < λ < 1. При λ < 0 відбувається ще й зміна напрямку.

Лінійні операції над векторами мають такі властивості:

1. =

2. =

3.

4.

5.

1.3. Розкладання вектора за базисом

Базисом на прямій називається ненульовий вектор на цій прямій.

Базисом на площині називається довільна упорядкована пара не колінеарних векторів.

Базисом у просторі – довільна упорядкована трійка не компланарних векторів.

Вектори, що складають базис, називаються базисними. Розкласти вектор за базисом означає зобразити його у вигляді  лінійної комбінації  базисних векторів.

Якщо вектори , ,  складають базис і вектор , розкладений за базисом, тобто , то числа α, β, γ називаються координатами вектора  в даному базисі.

Вектор  є лінійною комбінацією векторів , , .

Теорема.

  1.  Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій.
  2.  Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині.
  3.  Кожен вектор можна розкласти за базисом у просторі.

Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.

Розглянемо геометричний зміст цієї теореми.

Приклад.

Нехай АВСД – паралелограм, M і N – середини його сторін.

Розкласти вектор  за векторами  та

З ΔANД:

З ΔAМВ:

З 1-ї рівності . Підставимо у 2:

Тобто, якщо базисними векторами є вектори   та , то координати вектора в цьому базисі є числа (4/3) та (-2/3).

  1.  Системи координат

2.1. Декартова система координат

Розглянемо в просторі  точку О і деякий  базис, що задається векторами , , . Сукупність точки і базису називається декартовою системою координат.

В цій системі координат вектор  може бути розкладений

де х1, х2, х3 – координати цього вектора.

2.2. Прямокутня система координат

Ясно, що декартових систем координат може бути скільки завгодно. Серед них широко використовується прямокутня декартова система координат. Для визначення цієї системи введемо такі поняття.

Упорядкована трійка одиничних попарно ортогональних векторів називається ортонормованим базисом.  

(,,), || = || = || = 1, .

Прямокутню систему координат позначаємо Оxyz. (Ох – вісь абсцис, Оу – вісь ординат, Оz – вісь аплікат).

А площини Оху, Oyz, Ozx – координатні площини.

Прямокутна система координат називається правою, якщо її ортонормований базис утворює праву трійку векторів  (,,), тобто з кінця вектора  найкоротший поворот від першого вектора  до другого вектора  видно проти годинникової стрілки. В протилежному випадку – ліва.

Надалі ми будемо користуватися правою системою координат.

Нехай задана прямокутна система координат Oxyz і довільна точка М.

Тоді . Координати вектора (x;y;z) називають координатами точки М. M (x;y;z).

З ортогональності базисних векторів системи Oxyz випливає, що координати точки М дорівнюють відповідним проекціям радіус-вектора цієї точки на осі координат:

х = пр.х ; у = пр.у; z = пр.z.

Якщо прямокутна система задана на площині, то точка має дві координати: М(х;у).

3. Вектори в системі координат.

3.1. Координати, довжина і напрямні косинуси вектора.

1.       Координати вектора. Нехай в прямокутній системі координат Оxyz задано вектор  Це означає, що в ортонормованому базисі  який задає цю систему, вектор

Де числа ax, ay, azкоординати вектора  в цьому базисі. Але

              аx = прx

              ay = прy

              az = прz

Отже, координати вектора в системі координат Оxyz це його проекції на осі координат.

2.        Довжина вектора .Зобразимо вектор в декартовій системі координат.

Вектор є діагоналлю прямокутнього паралелепіпеда з векторами  тому довжина цього вектора дорівнює

Якщо початок вектора  міститься в точці А(x1;y1;z1), а кінець у точці В(x2;y2;z2), то впливає, що

   

тобто  - координати вектора

 

         

Довжина вектора        

        

    

Цю формулу використовують, коли знаходять відстань між точками А і В.

3.2       Напрямні косинуси вектора .

Напрям довільного вектора (ax,ay,az) визначаються кутами α, β, γ, які утворює вектор  з осями координат. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами

          

Підносимо обідві частини кожної рівності до квадрата і підсумовуючи їх, одержимо:

 

Приклади:

  1.  Знайти координати, довжину та котрим вектора  якщо

задано точки А(0;-1;2) і В(-1;1;4).

         = (-1-0;1-(-1);4-2) = (-1;2;2).

          

          

  1.  Чи може вектор утворювати з осями координат кути

 - не може.

3.3. Лінійні дії з векторами. Рівність і колінеарність векторів.

  1.  Дії з векторами. Якщо відомі координати векторів, то лінійним діям з векторами відповідають відповідні арифметичні дії над їхніми координатами.

    Нехай задамо вектори  ,  і дійсне число . Тоді

±

  1.  Рівність векторів. Нехай вектори  та  рівні, тобто       

     мають однакові довжини і напрям, тоді

      і навпаки: з рівності координат випливає рівність векторів.

  1.  Колінеарність векторів. Необхідною і достатньою умовою того, що вектори та колінеарні, є пропорціональність їх проекцій:

                                          

           Приклад: Знайти вектор  колінеарний вектору

;     

 ;   

 .

  1.  Поділ відрізка в даному відношенні. Координата центру мас.

Нехай задамо відрізок АВ точками А(x1;y1;z1) та B(x2;y2;z2). Якщо точка С (x;y;z) належить відрізку АВ і ділить його у відношенні

то координати точки С можна знайти за формулою:

.

Закрема, якщо точка С ділить відрізок АВ навкіл (), то

4. Скалярний добуток двох векторів.

4.1. Означення, геометричний та механічний зміст скалярного добутку.

Скалярним добутком  двох векторів  та  називається число,  що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута.

Оскільки ││со=; ││сosφ= =; то маємо:

.

Ці формули виражають геометричній   зміст    скалярного добутку - скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора.

З фізики видимо, що робота А сили  при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з вектором

кут α, дорівнює:

, або

Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення. В цьому суть механічного скалярного добутку.

4.2. Властивості скалярного добутку.

1)

2)

3)

4) Якщо  , то коли кут -гострий, і коли кут - тупий.

5) , коли ┴

6) Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини

Приклади:

  1.  Знайти скалярний добуток векторів  і , якщо    

  1.  Знайти довжину вектора , якщо

4.3. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.

 Отримаємо скалярний добуток векторів-ортів

  (так як ┴┴) , тому

Вкажемо на ряд важливих висновків з цієї формули:

  1.  Якщо ┴, то .

  1.  Довжина вектора

  1.  Кут φ між векторами та :

  

 

Приклади:

  1.  Задані вектори і

Знайти проекцію вектора на вектор .

Координати вектора

  1.  Трикутник заданий векторами А(0;-1;2); В(-1;-2;7); С(1;-2;6).

    Знайти його внутрішній кут при вершині А.

 

     Знайдемо вектори   

   

 

                         

  1.  Векторній добуток двох векторів

5.1 Означення і властивості векторного добутку.

Векторним добутком вектора  на вектор   називається вектор , який визначається трьома умовами:

  1.  вектор  перпендикулярний до кожного з векторів  і ;
    1.  вектор  має такий напрямок, що при спостереженні з його кінця найближчий поворот від вектора  до вектора  виконується проти годинникової стрілки;
    2.  довжина вектора  дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і ;

  1.      

Вектор добуток позначають  × ; або [].

Розглянемо приклад.

Нехай в т. А прикладена сила  і О – деяка фізична точка. Відомо, що моментом сили  від точки О називається вектор , довжина якого дорівнює добутку сили на плече і який направлений по осі одержання так, що коли дивитись з його кінця, то одержання тіла відбувається проти руху стрілки годинника.

.

Тобто момент сили , прикладеної у точку А відносно т. О виражається векторними добутком

Алгебраїчні властивості векторного добутку.

Геометричні властивості векторного добутку.

1.  × = 0 тоді і лише тоді, коли   і  колінеарні.

2. Модуль векторного добутку не колінеарних векторів дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах  і , віднесених до спільного початку.

S=  ×   .

Векторні добутки ортів будуть:

і т.д.

 

Приклад.

Обчислити

Якщо

 

5.2 Векторній добуток двох векторів,заданих координатами

Нехай в прямокутній системі координат задано вектори  та . Покажемо, що їх векторний добуток визначається за формулою:

 × =

Маємо:

=

Приклад.

Знайти площу трикутника заданого вершинами А(1;2;0),

В(0;-2;1),  С(-1;0;2). Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах и .

Знайдемо =(-1;-4;1); = (-2;-2;2)

== -

ед.

  1.  Мішаний добуток векторів.

6.1. Означення і обчислення мішаного добутку

Множення трьох векторів   ,і можна виконати різними способами. Розглянемо найбільш важливий з них.

Спочатку знайдемо векторний добуток × , а потім одержаний новий вектор полярно помножимо на , тобто отримаємо ( × ). Це і буде мішаним добутком векторів  ,і.

Якщо векторі задані координатами, тобто  та

і , то

( × )=

Доведемо цю формулу . Знайдемо

           

  =

   Тепер   ( × )=      

         

     

 

А це і є визначення      у розкритому вигляді

6.2  Властивості мішаного добутку

1. Якщо поміняти місцями які-небудь два множниками, то мішаний добуток змінить знак:

( × )= - (×)

.

2. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

     ( × )=  (×)

Тому мішаний добуток позлягають так: .

3. При циклічній перестановці множників мішаний добуток не змінюється:

==

Наступні три властивості виражають геометричний зміст мішаного добутку.

4. Модуль мішаного добутку  дорівнює обєму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , віднесених до спільного початку:

V =    .

5. Якщо мішаний добуток  додатній, то вектори утворюють праву трійку, якщо відємний, то ліву.

6. Вектори  компланарні тоді і тільки тоді, нам їхній мішаний добуток дорівнює нулю.

Приклад.

Знайти обєм тетраедра, заданого вершинами А(2;-1;0), В(5;5;3), С(3;2;-2), Д(4;1;2).

Відомо, що обєм тетраедра, побудованого на векторах дорівнює шостій частині обєму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Тому маємо

Знаходимо =(3;6;3), (1;3;-2), = (2;2;2)

PAGE   \* MERGEFORMAT2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36783. Работа с текстом. Форматирование абзацев 950.5 KB
  Выделять можно с помощью мыши и с помощью клавиатуры. Выделение с помощью мыши Фирма Microsoft разрабатывая Word поставила себе целью сделать выделение различных фрагментов текста максимально удобным. Объем фрагмента который вы выделяете зависит от количества щелчков левой кнопки мыши как показано в таблице. Простой щелчок Перемещает в указанное место курсор вставки Двойной щелчок Выделяет слово Тройной щелчок в любом месте текста Выделяет весь абзац Щелчок в любом месте предложения при нажатой клавише [Ctrl] Выделяет все предложение С...
36785. Исследование магнитных полей с помощью измерительной катушки 167 KB
  Приборы и принадлежности: два коротких соленоида планшеты из оргстекла с отверстиями для фиксации измерительной катушки датчик магнитного поля измерительная катушка длинный соленоид блок питания переменного тока амперметр блок сопряжения компьютер. Теоретическая часть В лабораторной работе измерение и исследование переменных магнитных полей осуществляются с помощью датчика измерительной катушки. При помещении датчика в переменное магнитное поле в нем возникает ЭДС индукции величина которой определяется по формуле:...
36786. Измерение логарифмического декремента и добротности 177 KB
  Краткое теоретическое введение Колебательным контуром называется электрическая цепь состоящая из последовательно составленных конденсаторов с емкостью катушки индуктивности и активного сопротивления . Измерение логарифмического декремента затухания и добротности контура производят при различных условиях: а сопротивление катушка индуктивности не имеет сердечника. Колебания в этом случае будут тоже затухающими так как имеет место внутреннее сопротивление катушки индуктивности и соединительных проводов; б сопротивление катушка...
36787. Определение скорости звука, модуля Юнга и внутреннего трения резонансным методом 187.5 KB
  Деформацией твердого тела называется изменение формы или объема тела под действием внешних сил. Деформации, которые полностью исчезают после прекращения внешних воздействий, называются упругими. Деформации, которые не исчезают после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Деформации реальных тел после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать деформации как упругие.
36788. Тоновая и цветовая коррекция 12.22 MB
  В реальном изображении могут встретиться случайные светлые и темные пятна, царапины. Для правильной настройки следует отсечь уровни с низким процентом пикселей, чтобы ориентироваться по тонам документа, а не по случайным пятнам.
36789. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ I АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 61 KB
  Тема: ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ I АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ. Перечень заданий: Частные реакции катиона N. Частные реакции катиона К. Частные реакции катиона NH4.
36790. Определение концентрации и подвижности основных носителей заряда в полупроводниках 174.5 KB
  Эффект Холла обусловлен взаимодействием носителей заряда электронов проводимости и дырок с магнитным полем. В магнитном поле на электрон действует магнитная сила F= e[B v] на положительные заряды F= q[B v] v = j ne – средняя скорость направленного движения носителей в электрическом поле; nконцентрация носителей; e qзаряды под действием которой частицы отклоняются в направлении перпендикулярном j и B. При одном и том же направлении тока на передней грани накапливаются разные по знаку заряды в зависимости от типа...
36791. Изучение распределения термоэлектронов по скоростям. Распределение Максвелла 211 KB
  Краткое теоретическое введение Известно что свободные электроны внутри металла описываются квантовой статистикой ФермиДирака согласно которой распределение электронов по скоростям имеет вид 1 где число свободных электронов в единице объема металла с компонентами скоростей в интервалах от до от до от до ; масса электрона; постоянная Планка; энергия электрона; постоянная Больцмана; температура; энергия Ферми такое значение энергии электрона ниже которой все состояния...