6355

Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів

Контрольная

Экономическая теория и математическое моделирование

Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів (Основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання. Поняття моделі. Математична модель, основні етапи процесу моделювання. Класифікація економіко-ма...

Украинкский

2013-01-03

200 KB

52 чел.

Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів

(Основні характеристики економічної системи як об’єкта моделювання. Поняття моделі. Математична модель, основні етапи процесу моделювання. Класифікація економіко-математичних моделей. Суть і методологічні основи економетричного моделювання, роль апріорної та апостеріорної інформації. Статистична база економетричних моделей. Змінні та рівняння в економетричних моделях. Макро- і мікроекономічні сукупності даних. Основні типи економічних моделей, їх зв'язок з іншими типами              математичних моделей. Етапи економетричного аналізу економічних процесів та явищ )

1. Роль і місце економетричних моделей у математичному моделюванні

Сучасні методи управління економічними системами та процесами базуються на широкому використанні математичних методів та ЕОМ. Застосовувати математику для розв’язування певних економічних задач почали дуже давно, сотні років тому. Але протягом останніх 50–60 років, коли економічна наука сягнула певних рубежів у своєму розвитку і в ній постали задачі, які не вдається розв’язати за допомогою традиційних економічних методів, математика посіла в цій науці одне з основних місць. Сформувався напрямок теоретично-практичних досліджень — економіко-математичне моделювання. Математичне моделювання є вираженням процесу математизації наукового економічного знання. Математика, проникаючи в сутність економічної науки, приносить із собою точність та універсальність розв’язків, строгість і довершеність наукових концепцій. З розвитком математики, електронної обчислювальної техніки, загальнометодологічних та економічної наук дедалі стають різноманітнішими математичні моделі, виникають усе нові форми математичного моделювання.

Математична модель кожного об’єкта (процесу, явища) містить у собі три групи елементів:

1) характеристику об’єкта, який потрібно визначити (невідомі величини), — вектор Y = (yj);

2) характеристики зовнішніх (щодо модельованого об’єкта) умов, які змінюються, — вектор X = (xj); 3) сукупність внутрішніх параметрів об’єкта — A.

Множини умов та параметрів X і A можуть розглядатись як екзогенні величини (тобто такі, які визначаються поза рамками моделі), а величини, що належать вектору Y, — як ендогенні (тобто такі, які визначаються за допомогою моделі).

Математичну модель можна тлумачити як особливий перетворювач зовнішніх умов об’єкта X (входу) на характеристики об’єкта Y (виходу), які мають бути знайдені.

залежно від способу вираження співвідношень між зовнішніми умовами, внутрішніми параметрами та характеристиками, які мають бути знайдені, математичні моделі поділяються на дві групи:

1) структурні та

2) функціональні.

 Структурні моделі відбивають внутрішню організацію об’єкта: його складові частини, внутрішні параметри, їх зв’язок з «входом» і «виходом» і т.ін. Розрізняють три види структурних моделей:

1) Y= fj(A,X);                        (1)

2) i(A,X,Y) = 0;           (2)

3) імітаційні моделі.

У моделях першого виду всі невідомі величини подаються у вигляді явних функцій від зовнішніх умов і внутрішніх параметрів об’єкта.

У моделях другого виду невідомі визначаються одночасно із системи співвідношень і-го виду рівнянь, нерівностей і т.ін.

В імітаційних моделях невідомі величини визначаються також одночасно із вхідними параметрами, але конкретний вигляд співвідношень невідомий.

Моделі типу (1)-(2) — це досить визначені математичні задачі, які можна розв’язати з допомогою чисельних алгоритмів. Модель (1) дає аналітичний розв’язок, але можливості побудови таких моделей дуже обмежені. Для розв’язування задачі (2), яка не зводиться до задачі (1), необхідно мати алгоритм, причому цей алгоритм може не лише застосовуватися для окремих розв’язків, але й виявляти загальні властивості розв’язків, які не залежать від конкретних параметрів задачі.

Імітаційні моделі не зводяться до чітко визначених математичних задач, а тому потрібно знаходити особливі способи для одержання розв’язків. Такі моделі виникають при спробах дати математичний опис особливо складних об’єктів (складних систем). Для дослідження цих об’єктів (систем) використовуються порівняно нові математичні методи: теорія випадкових процесів, теорія ігор та статистичних рішень, теорія автоматів і т.ін. Активну роль в процесі такого моделювання відіграють ЕОМ. Імітаційні моделі не мають чіткого зображення внутрішньої організації (структури) об’єкта, і тому їм належить проміжне місце між структурними та функціональними моделями.

Основна ідея функціональних моделей — пізнання сутності об’єкта через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функціонування, поведінку. Внутрішня структура об’єкта при цьому не вивчається, а тому інформація про структуру не використовується. Функціональна модель описує поводження об’єкта так, що задаючи значення «входу» X, можна дістати значення «виходу» Y (без участі інформації про параметри ):

                                    Y = A(X)                                                      (3)

Побудувати функціональну модель — означає знайти оператор A, який пов’язує X і Y.

Відмінності між структурними та функціональними моделями мають  відносний характер. Вивчення структурних моделей дає одночасно цінну інформацію про поводження об’єкта. З іншого боку, при вивченні функціональних моделей виникають гіпотези про внутрішню структуру об’єкта.

 

 Економетричні моделі належать до функціональних моделей. Вони кількісно описують зв’язок між вхідними показниками економічної системи (X) та результативним показником (Y). У загальному вигляді економетричну модель можна записати так:

Y = f(X,u),

де X — вхідні економічні показники; u — випадкова, або стохастична, складова.

Показники X найчастіше можуть бути детермінованими. Адитивна складова u є випадковою змінною, а отже, з огляду на те, що залежна змінна Y залежить від u, вона також є стохастичною. Звідси випливає висновок: економетрична модель є стохастичною.

(Детерминированность (от лат. determinans — определяющий) — определяемость. Детерминированность может подразумевать определяемость на общегносеологическом уровне или для конкретного алгоритма. Под детерминированностью процессов в мире понимается однозначная предопределённость. Является антонимом стахостичности. Детерминированность в решении какой-либо практической задачи или в алгоритме означает, что способ решения задачи определён однозначно в виде последовательности шагов. На любом шаге не допускаются никакие двусмысленности или неопределённости и независимо от единичных вещей.

 Стохастичность (греч. στόχος — цель или предположение) означает случайность. Стохастический процесс — это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайным).

Побудова і дослідження економетричних моделей мають ряд особливостей. Ці особливості пов’язані з тим, що економетричні моделі є стохастичними. Вони кількісно описують кореляційний зв’язок між економічними величинами. Отже, щоб побудувати економетричну модель, необхідно:

1) мати достатньо велику сукупність спостережень вихідних даних;

2) забезпечити однорідність сукупності спостережень;

3) забезпечити точність вихідних даних [Н, с. 11-16].

 2. Проста економетрична модель

Розглянемо економетричну модель з двома змінними у загальному вигляді:

Y = f(X) + u,  (4)

де Y — залежна змінна; X — незалежна (пояснювальна) змінна; u — випадкова складова.

Це означає, що ми ідентифікували змінну X, яка впливає на змінну Y. Назвемо таку економетричну модель простою моделлю.

Як відомо, численні взаємозв’язки між економічними показниками не можна формалізувати лише на базі простої економетричної моделі. Наведені раніше приклади економетричних моделей показують, що вони описують вплив багатьох чинників на економічні процеси та явища. Причому для формалізації цих зв’язків може використовуватись не одне рівняння, а їх система.

На базі простої економетричної моделі розглянемо принципову структуру економетричної моделі та основні методи оцінювання її параметрів. Змістовне тлумачення взаємозв’язку між економічними показниками [модель (4)] має підказати його конкретну аналітичну форму. Але оскільки одні й ті самі економічні умови можуть задовольняти різні функції, то краще звернутися до статистичного аналізу і з його допомогою зробити вибір серед    можливих альтернативних варіантів.

Найпростішою є лінійна форма зв’язку між двома змінними:

Y = a0 + a1X ,

де a0 і a1 — невідомі параметри, перший з яких визначає довжину відрізка, утворюваного перетином прямої з віссю ординат, а другий — тангенс кута нахилу цієї прямої до осі абсцис.

Можливі й інші форми залежностей між двома змінними, наприклад:

Останнє з цих співвідношень є лінійним відносно , а перші два можна звести до лінійної форми для перетворених змінних, якщо взяти логарифми від виразів в обох частинах кожного з рівнянь:

lnY = lna0 + a1X;

lnY = lna0 + a1lnX.

Навіть побіжне знайомство з економічними показниками, взаємозв’язок між якими вимірюється, показує, що окремі експериментальні значення залежної змінної не можуть міститися строго на прямій лінії чи на графіку функції іншої форми. Певна частина фактичних спостережень над змінною лежатиме вище або нижче від значень, обчислених згідно з вибраною функцією. Якщо фактичні значення залежної змінної містяться на значній відстані від обчислених з допомогою функції, то можна припустити, що формалізація залежності між економічними показниками на основі функції типу (4) чи якоїсь іншої функції не адекватна реальному процесу взаємозв’язків в економіці. Проте поняття «значна відстань» не є конкретним, а тому не може бути критерієм для оцінювання адекватності моделі.

Щоб розв’язати цю задачу, до економетричної моделі вводять стохастичну складову, яка акумулює в собі всі відхилення фактичних спостережень змінної  Y  від обчислених згідно з моделлю.

Математичний аналіз цієї складової дасть змогу зробити висновок щодо того, чи можна вважати її стохастичною і чи містить вона систематичну частину відхилень, яка може бути зумовлена наявністю тих чи інших помилок у моделюванні.

Нехай вектор змінної Y описує витрати на споживання, а вектор X — величину доходу сім’ї. Очевидно, що для окремих груп сімей існує певна залежність між споживчими витратами і доходом сім’ї. Проте, як уже зазначалося, на розмір споживчих витрат крім доходу можуть впливати інші фактори, частина яких є випадковими. Ці фактори й зумовлюють відхилення фактичних витрат на споживання від обчислених, наприклад, на основі регресійної функції:

(5)

Наблизити обчислені значення до фактичних формально можна введенням до моделі стохастичної складової:

Y = a0 + a1X + u.  (6)

 

У моделі (6) символом u позначено змінну, яка може набувати додатних та від’ємних значень, оскільки вона вимірює відхилення витрат на споживання кожної окремої сім’ї від обчисленого значення згідно з (5).

Зауважимо, що в моделі (6) a0 і a1 — оцінювані параметри, а в моделі (5)  і  — їх оцінки.

Означення 2.1. Стохастичну складову u економетричної моделі називають помилкою (залишком,збуренням, відхиленням).

Введення до моделі (6) стохастичної складової має три підстави, кожна з яких не виключає решти двох.

1. Величину витрат на споживання визначає не лише рівень доходів, а й інші об’єктивні чинники, наприклад розмір сім’ї, середній вік і т.ін.;

2. На величину споживання впливають випадкові фактори, наприклад схильність до ощадливості, стриманість чи навпаки — надмірність у витратах і т.ін.;

3. Частина факторів, які впливають на величину споживчих витрат, не оцінюються кількісно. Крім того, можлива помилка вимірювання змінних.

Звернемося до прикладу простої економетричної моделі, де потрібно кількісно оцінити зв’язок між витратами на споживання та доходами сім’ї. Щоб оцінити параметри моделі (5), необхідно сформувати вихідну сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризуватиметься витратами на споживання і доходами сімей. Припустимо, що економетрична модель споживання будується для тієї групи людей, в якій зі збільшенням доходів зростають витрати на споживання, тобто модель має вигляд (5).

Рис. Кореляційне поле точок

Зобразимо кожну пару спостережень у системі координат, де величина витрат на споживання відкладається на осі ординат, а доходів — на осі абцис. У результаті дістанемо кореляційне поле точок (рис.).

На підставі гіпотези про лінійність зв’язку між витратами на споживання і доходом сімей (див. рис.), через кореляційне поле точок можна провести безліч прямих ліній, які різняться між собою параметрами  і . Так, якщо витрати на споживання описуватимуться прямою I, то відхилення їх фактичних значень від розрахункових матимуть переважно знак «мінус». Якщо вони описуватимуться прямою III, то ці  відхилення будуть переважно додатними, а якщо прямою II, то кількість від’ємних і додатних відхилень буде приблизно однаковою. Наявність серед відхилень переважно від’ємних чи додатних значень підтверджує, що вони мають невипадковий характер. А це означає: певна пряма лінія не адекватно описує фактичну залежність між витратами на споживання і доходом сімей. Звідси постає задача — застосувати метод найменших квадратів для оцінювання параметрів моделі, щоб відхилення фактичних витрат од розрахункових на основі прямої мали приблизно однакову суму від’ємних і додатних значень, а також були б найменшими. Останнє буде свідчити про те, що розрахункові значення витрат на споживання максимально наближені до фактичних, а це є гарантом вірогідності моделі.

Не доцільно знаходити параметри економетричної моделі, мінімізуючи суму лінійних відхилень фактичних витрат на споживання від розрахункових, бо вона може дорівнювати нулю, якщо сума від’ємних і додатних відхилень буде однаковою. Тому мінімізації підлягає сума квадратів відхилень, і величина її залежатиме безпосередньо від розсіювання точок навколо лінії регресії, а саме:

.

Принцип найменших квадратів відхилень полягає в знаходженні таких  і , для яких  найменша. Необхідна умова для цього — перетворення на нуль похідних цієї функції за кожним із параметрів  і . Метод, який реалізує принцип найменших квадратів, називається методом найменших квадратів (1МНК). Оскільки

,

то

Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему нормальних рівнянь

                       (7)

Підставимо в систему (7) значення , , , , які можна дістати на підставі сукупності спостережень, і розв’яжемо її відносно невідомих параметрів  і :

Оскільки оцінки найменших квадратів такі, що лінія регресії обов’язково проходить через точку середніх значень (), то оцінки параметрів моделі можна знайти дещо інакше.

Поділивши перше рівняння системи (7)  на  n, дістанемо:

. (8)

Параметр  можна обчислити, використавши співвідношення (8):

    (9)                     .   (10)

3. інформаційна база економетричних моделей

Економетрика як наука насамперед ставить собі за мету обґрунтований аналіз економічних явищ на базі математико-статистичних методів. Такий аналіз потребує наявності числових характеристик економічних явищ та можливості вимірювання їх. При вимірюванні кількісних ознак можуть бути отримані два типи рядів даних — динамічні та варіаційні. Ці ряди здебільшого і становлять інформаційну базу економетричних моделей.

Динамічні ряді» та їхні характеристики

Динамічним рядом називається послідовність спостережень за процесом або явищем у рівновіддалені проміжки часу.

Позначимо через хі значення деякої ознаки економічного процесу або явища в і-й проміжок часу. Тоді, вимірюючи значення цієї ознаки в рівновіддалені проміжки часу, отримаємо динамічний ряд: x1, х2,..,хі,…,хn. Окремі значення ознаки, які відносяться до певних проміжків часу, ще називають рівнями динамічного ряду. Наприклад, xi — це значення ознаки, що вивчається у i-й проміжок часу або і-й рівень динамічного ряду.

Для того, щоб ці динамічні ряди можна було використовувати як інформаційну базу для побудови регресійних моделей, необхідно, щоб усі їхні рівні можна було порівняти. Наприклад, дані можуть стосуватися території, кордони якої з часом змінювалися. Непорівнянність такого роду усувається перерахунком даних із врахуванням змінених кордонів.

Непорівнянність може бути значною, коли показники, що розглядаються, підвладні сезонним або іншим періодичним коливанням (ціна на сільськогосподарську продукцію, тарифи перевезень             та ін.). Такі дані необхідно проаналізувати за методами сезонної декомпозиції.

Непорівнянними є також дані, подані у різному масштабі виміру. Їх треба спочатку перевести в однакові одиниці.

При формуванні динамічних рядів можуть бути ускладнення, пов'язані з браком необхідних даних. Один з найбільш поширених засобів подолання цього — виявлення закономірностей, яким підпорядковується динамічний ряд, та екстраполювання або інтерполювання його недостатніх рівнів.

Після того, як динамічний ряд всебічно проаналізовано на достовірність та порівнянність даних, його можна використати як вхідну інформацію для побудови моделей.

 - Середні характеристики динамічного ряду.

Узагальненими характеристиками динамічного ряду є середня хронологічна, середній абсолютний приріст, середній темп зростання та приросту. Нехай ми маємо динамічний ряд з                        n спостережень: x1, х2,..,хі,…,хn .

Середня хронологічна показує, яким рівнем у середньому характеризується даний динамічний ряд і розраховується за формулою:

де х — середня хронологічна; хiі-й рівень динамічного ряду; n — кількість спостережень (рівнів).

Середні хронологічні корисні для порівняльного аналізу двох або кількох динамічних рядів (наприклад, порівняння середніх рівнів урожайності для різних регіонів країни, порівняння середньої заробітної плати у промисловості та в цілому по країні і т.ін.).

Характеристику зміни динамічного ряду та швидкість цієї зміни в середньому дають середній абсолютний приріст та середній темп зростання (приросту).

 Середній абсолютний приріст показує, як швидко змінюється кінцевий рівень ряду відносно початкового:

де ∆х — середній абсолютний приріст; хn, х1 — кінцевий та початковий рівень ряду.

 Середній коефіцієнт зростання характеризує середню швидкість зміни економічного процесу або явища і розраховується за формулою:

де kp — середній коефіцієнт зростання.

Середній коефіцієнт приросту відрізняється від середнього коефіцієнта зростання на одиницю:

де kpr — середній коефіцієнт приросту.

Середні коефіцієнти зростання та приросту, виражені у відсотках, називаються відповідно середнім темпом зростання (Tp) та середнім темпом приросту  (Тpr).

 

Відхилення від середнього вимірює дещо штучна величина — дисперсія. Дисперсія показує середню суму квадратів відхилень членів ряду від свого середнього і позначається σ2, або var(x):

де х — середнє значення динамічного ряду; п — кількість спостережень.

У підрахунках дисперсії використовується середня сума квадратів відхилень, тому що середня сума відхилень дорівнює нулеві. Справді:

Для того, щоб дисперсію можна було порівняти з середніми характеристиками, вводиться середнє квадратичне відхилення:

Дисперсія цікава також тим, що яким би не був розподіл величини х, як мінімум 75% спостережень знаходяться між (х - 2σ) та (х +2σ).

Для порівнювання ступеня коливання різнорідних показників у відсотках запроваджено інший показник — коефіцієнт варіації, який розраховується за формулою:

де V — коефіцієнт варіації; x — середнє значення ряду;  σ — середнє квадратичне відхилення.

- Варіаційні ряди та їхні характеристики.

Іншим джерелом побудови економетричних моделей служать варіаційні ряди.

 Варіаційні ряди — це ряди даних, які показують кількісну міру певної ознаки у всіх об'єктів однієї сукупності, наприклад, заробітна плата у викладачів однієї кафедри, вік студентів першого курсу і т.ін.

Нехай ми маємо варіаційний ряд:

x1, х2,..,хі,…,хn

де х — числа, які показують зміну (варіацію) ознаки, що вивчається;

і — номер варіанти (і = 1, 2,..., n).

 

Приклад. При обстеженні студентів 1-го курсу за віком було зафіксовано такі дані:

17,18,18,18,18,19,20,20,20,21,21,21,17,18,18,18,19,20,20,20,21,21,21,24,

Якщо впорядкувати ці дані у зростаючому або спадному порядку, то отримаємо ранжований ряд. Числа, які показують, скільки разів (як часто) зустрічаються окремі значення варіант, називаються частотами.

Позначимо частоту i-ї варіанти хi через ni, тоді ранжований дискретний варіаційний ряд запишеться у вигляді (табл.)

Для варіаційного ряду є також дві групи характеристик: міри рівнів (середні) та міри розсіяння.

Найбільш поширеними середніми характеристиками для варіаційних рядів є середня арифметична, медіана і мода. Вони розраховуються в залежності від того, який варіаційний ряд ми маємо — дискретний чи інтервальний.

Для дискретного варіаційного ряду середня арифметична розраховується за формулою:  

де х — середня арифметична; хiі-та варіанта; ni — частота і-ї варіанти.

Якщо у ряді є нетипові дані, то це впливає на середню величину, яка вже не відображає середньої тенденції. У таких випадках краще використовувати медіану.

Медіаною називається таке значення ознаки, що вивчається, яке припадає на середину варіаційного ряду. При знаходженні медіани можливі два випадки: кількість членів ряду парна                    (n = 2k) та непарна (п = 2k+1).

У другому випадку знайти медіану дуже просто. За означенням вона дорівнює:

де Мe — медіана; xk+1 — значення (k+1)-го члена варіаційного ряду.

 

У першому випадку:

де Мe— медіана; xk, xk+1 — відповідно k та (k + 1) варіанти.

Модою називається варіанта, яка найчастіше зустрічається в даному варіаційному ряду. Іншими словами, для дискретного ряду мода дорівнює варіанті з найбільшою частотою.

Середніх характеристик часом буває недостатньо для характеристики як варіаційного ряду, так і динамічного. Інколи два ряди можуть мати однакові середнє, медіану та моду, але по-різному можуть бути згруповані навколо середнього. Розглянемо це на дещо штучному прикладі.

У наведеній таблиці два варіаційні ряди мають одні й ті самі середні характеристики, але                     по-різному згруповані навколо середнього.

Для того щоб охарактеризувати розсіяння навколо середнього, вводиться дисперсія (σ2):

Якщо дисперсію зручно подавати в тих самих одиницях виміру, що й варіанти, то використовують середнє квадратичне відхилення (а):

Для варіаційних рядів розраховується також коефіцієнт варіації (V):

Коефіцієнт варіації дає змогу: порівняти варіацію однієї і тієї самої ознаки у різних групах об'єктів; виявити ступінь відмінності однієї ознаки в одній групі об'єктів за різні проміжки часу; порівняти варіацію різних ознак в однакових групах об'єктів.

Повернемося до нашого умовного прикладу про обстеження студентів 1-го курсу за віком. Розрахуємо для отриманого варіаційного ряду всі характеристики. Дані для розрахунків наведені у таблиці.

Середній вік студентів 1-го курсу дорівнює: х = 19,38 .

Медіана відповідно дорівнює:

Ме = х20 = 20,

а мода:

Мо=x25 =(21;18).

Дисперсія варіаційного ряду σ2=1.927, середнє квадратичне відхилення σ = 1.38, а варіація                              V = 7.16% [Л, с. 36-43].

 

Приклад. Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність витрат на одиницю продукції від рівня фондомісткості продукції. Вихідні дані і відповідні розрахунки для оцінювання параметрів наведені в табл.

Таблиця

№ п/п

Yі

Xі

XіYі

Xі

Yі –

(Xі –)2

(Xі –)*

(Yі – )

і

uі

(Yі – )2

1

50

90

8100

4500

-10,8

-4,2

116,64

45,36

48,8

1,2

1,44

17,64

2

40

75

5625

3000

-25,8

-14,2

665,64

336,36

41,3

-1,3

1,69

201,64

3

65

120

14400

7800

29,2

10,8

368,64

207,36

63,8

1,2

1,44

116,64

4

55

100

10000

5500

-0,8

0,8

0,64

-0,64

53,8

1,2

1,44

0,64

5

45

80

6400

3600

-20,8

-9,2

432,64

181,36

43,8

1,2

1,44

84,64

6

42

78

6084

3276

-22,8

-12,2

519,64

278,16

42,8

-0,8

0,64

148,84

7

56

110

12100

6160

9,2

1,8

84,64

16,56

58,8

-2,8

7,84

3,24

8

60

115

13225

6900

14,2

5,8

201,64

82,36

61,3

-1,3

1,69

33,64

9

64

115

13225

7350

14,2

9,8

201,64

139,16

61,3

2,7

7,29

96,04

10

65

125

15625

8125

24,2

10,8

585,64

261,26

66,3

-1,3

1,69

116,64

542

1008

104784

56221

3376

1587,5

26,6

819,6

Нехай залежність між витратами на одиницю продукції і рівнем фондомісткості описується прямою лінією

Y = a0 + a1X + u,

де Y — витрати на одиницю продукції; X — рівень фондомісткості;
u — залишки.

Розрахункові значення витрат на одиницю продукції можна знайти, скориставшись такою моделлю:

.

Щоб оцінити параметри моделі  і  методом 1МНК, запишемо систему нормальних рівнянь

Коефіцієнти для цих рівнянь системи знаходимо за табл.2.1:

Розв’язком системи є параметри  = 3,8; = 0,5. Економетрична модель має вигляд

Y = 3,8 + 0,5 X + u.

Скориставшись альтернативним способом обчислення параметрів за допомогою відхилень середніх арифметичних, (див. табл., стовпці 6–9) на підставі (9) і (10) дістанемо

Зауважимо, що оцінки параметрів моделі згідно з методом 1МНК є досить чутливими до точності розрахунків та адекватності аналітичної форми моделі. Оскільки вільний член моделі = 3,8  0, то рівень витрат на одиницю продукції не є строго пропорційним до рівня фондомісткості. Кількісна оцінка параметра = 0,5 показує, що граничне збільшення витрат при зростанні фондомісткості продукції на 1 грн. становить 0,5 грн. Еластичність витрат щодо фондомісткості продукції визначається коефіцієнтом еластичності

Значення цього коефіцієнта слід тлумачити так: при збільшенні фондомісткості продукції на 1 % витрати на одиницю гранично зростуть на 0,93 %.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82058. Сім’я буде щасливою коли… 155.5 KB
  На світ білому єдине, Як і Дніпрова течія, Домашнє вогнище родинне, Оселя наша і сім’я. В щасливі і в сумні години, Куди б нам не стелився шлях, Не згасне вогнище родинне В людських запалених серцях. (Д. Білоус) Тематичні питання: Які люди, що допомагають іншим, найважливіші? Чи важливо знати історію свого роду?
82060. Вертайтеся додому, журавлі! 79.5 KB
  Краю мій, мій рідний краю! Який ти безмежний, мальовничий, багатий на звичаї та обряди і водночас скільки випало на твою долю випробувань і страждань. Скільки людей змушені були покинути тебе у пошуках кращої долі. Одними із перших стали мешканці Небилова, які у далекому 1891 полинули як ті журавлі за океанські води.
82061. Вплив антропогенних факторів на репродуктивну функцію людини 173.5 KB
  Цілі: Узагальнити знання учнів про індивідуальний розвиток організму його залежність від умов зовнішнього середовища; виховувати почуття відповідальності за власне здоров’я та здоров’я майбутніх дітей; формувати навички здорового способу життя; сприяти екологічному вихованню учнів...
82062. Я єсть народ… Двомовна музично-поетична композиція, присвячена 65 річниці визволення України від німецько-фашистських загарбників 75.5 KB
  Славним ветеранам Великой Отечественной, выстоявшим, победившим, подаривши миру жизнь и счастье, посвящается. Досі ще не визнаним ветеранам Великої Вітчизняної, бійцям Української повстанської армії, що боролись за щастя рідної землі...
82064. За мир у всьому світі – це значить за життя! (до 66 річниці з Дня Перемоги) 34.5 KB
  Мета заходу: Оглянути героїчні, бойові сторінки історії життя нашого народу в боротьбі за свободу і незалежність. Акцентувати увагу учнів на розкриття великого подвигу народу у Великій Вітчизняній війні, бо без пам’яті про тих, хто приніс нам довгоочікувану Перемогу, відстоявши мир на землі, не може бути щасливого майбутнього.
82065. Людина для професії чи професія для людини? 118 KB
  Привернути увагу підлітків до питання вибору професії та її значення, звернути увагу на фактори, що обумовлюють вибір людиною тієї або іншої спеціальності, поговорити про помилки, які допускаються при обранні професії, наголосити на важливості прийняття правильного вибору фаху для подальшого щасливого життя.
82066. ДЕНЬ НАРОДЖЕННЯ У. ШЕКСПІРА 68.5 KB
  Великим святом в Англії вважається 23 квітня день народження Уільяма Шекспіра.Ім’я Уільяма Шекспіра знайоме і дорослим і школярам усього світу. Так хто ж такий Уільям Шекспір Шекспіродне з тих чудес світу яким не перестаєш дивуватися: історія рухається гігантськими кроками змінюється образ планети...