64047

Регрессионный анализ влияния ВВП на уровень безработицы

Дипломная

Экономическая теория и математическое моделирование

Для достижения указанной цели выпускной квалификационной работы были поставлены следующие задачи: Изучить теоретические концепции безработицы; Изучить модель парной регрессии; Оценить регрессионную зависимость между уровнем безработицы и ВВП...

Русский

2014-06-29

1.89 MB

43 чел.

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ  

ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ  

«НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ИНФОРМАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАФЕДРА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ»

ДОПУСКАЮ  К  ЗАЩИТЕ

                Зав. кафедрой Математические

методы в экономике
_____________   Е.В. Гайлит

              (подпись)  

«____»____________2014 г.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

«Регрессионный анализ влияния ВВП на уровень безработицы»


Выполнила студентка группы 56ММЭ

Т.В. Толкачева   ____________________________

                                                 (подпись, дата)

Направление подготовки / специальность: 080116.65 Математические методы в экономике

Форма обучения: очная

Научный руководитель: старший преподаватель Н.Н. Яковченко ______________________

                                                                                               (подпись, дата)

Новосибирск 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………… 3-4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ БЕЗРАБОТИЦЫ………………... 5

  1.  Сущность безработицы………………………………………………………………. 5-7
    1.  Виды безработицы……………………………………………………………………. 7-8
    2.  Причины безработицы………………………………………………………………... 8-9
    3.  Факторы, влияющие на динамику безработицы……………………………………. 9-11
    4.  ВВП. Взаимосвязь ВВП и безработицы…………………………………………….. 11-14

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ. ОПИСАНИЕ ПАРНОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА……………………………………………………...15

2.1 Спецификация модели……………………………………………………………….. 15-18

2.2 Линейная регрессия и корреляция…………………………………………………... 18-24

2.3 Оценка значимости параметров……………………………………………………... 20-25

2.4 Исследование остатков с применением предпосылок метода наименьших

квадратов………………………………………………………………………………….. 25-29

2.5 Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии……………… 29-30

2.6 Нелинейная регрессия………………………………………………………………... 31-34

ГЛАВА 3. ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УРОВНЯ БЕЗРАБОТИЦЫ И ВВП В РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЦИИ…………… 35

3.1 Построение модели парной регрессии……………………………………………….. 35-45

3.2 Прогноз уровня безработицы в Российской Федерации на 2014 и 2015 гг. ………. 45-54

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………… 55

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………… 56

ВВЕДЕНИЕ

         Наиболее значительными пороками экономического общества, в котором мы живем, являются его неспособность обеспечить полную занятость, а также его произвольное и несправедливое распределение богатства и доходов.

              Безработица считается обязательным составляющим рынка труда. Она представляет из себя трудное, много – аспектное явление. Безработные, вместе с занятыми, формируют рабочую силу державы. В реальной экономической жизни безработица выступает как превышение предложения рабочей силы над ее спросом. Совершеннолетнее население, владеющее рабочей мощью, разделяется на несколько главных категорий исходя из того положения, которое оно занимает сравнительно рынка труда. К трудоспособному народонаселению относятся те, кто по возрасту и по состоянию здоровья способны работать.  

             Безработица порождает как чисто финансовые трудности - недопроизводство валового национального продукта, но и общественные - нищета, преступность, общественные беспорядки. Вследствие государственная политика борьбы с безработицей ориентирована на достижение натурального (полного) уровня занятости. 

             В России проблема отсутствия работы образовалась на переходе к капиталистическому пути становления. Переход к рыночной экономике непременно привел к немалым изменениям в применении трудовых ресурсов. С перестройкой хозяйственной жизни страны проявилось большое количество факторов, оказывающих большое влияние на высококачественные характеристики рынка рабочей силы. Свертывание работы большого количества организаций, внезапное ухудшение социально-экономического положения отрицательно отразились на эффективности использования накопленного производственного потенциала, став причиной резкого роста безработицы населения. Появившаяся возможность миграции населения в страны дальнего зарубежья дала почву к потере высококвалифицированные кадров, профессионалов, способных вынести конкурентную борьбу на мировом рынке рабочей силы, что привело к понижению качества рабочей силы.

        Объектом исследования является безработица, как фактор макроэкономической нестабильности в Российской Федерации.

        Предметом исследования является уровень безработицы в Российской Федерации

        Целью выпускной квалификационной работы является эконометрический анализ влияния ВВП на уровень безработицы.

Для достижения указанной цели выпускной квалификационной работы были поставлены следующие задачи:

  1.  Изучить теоретические концепции безработицы;
  2.  Изучить модель парной регрессии;
  3.  Оценить регрессионную зависимость между уровнем безработицы и ВВП;
  4.  Оценить статистическую значимость параметров линейной регрессии и корреляции;
  5.  Провести прогнозирование уровня безработицы на 2014 и 2015 года.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ БЕЗРАБОТИЦЫ

  1.  Сущность безработицы

         Безработица - это социально-экономическое явление, при котором часть рабочей силы (экономически активного народонаселения) не занята в производстве товаров и услуг. Безработные вместе с занятыми формируют рабочую силу страны. В настоящей экономической жизни безработица выступает как превышение предложения рабочей силы над спросом на нее. [Г. Мэнкью с. 199]

       Безработица представляет из себя макроэкономическую проблему, оказывающую более прямое и мощное действие на любого человека. Потеря работы для основной массы людей означает понижение жизненного уровня и наносит серьезную эмоциональную травму. Поэтому неудивительно, что проблема безработицы часто является предметом политических дискуссий. Многие политики для оценки состояния экономики или успешности экономической политики используют так называемый "индекс нищеты", представляющий собой сумму уровней безработицы и инфляции.

Экономисты изучают безработицу для определения ее причин, а также для совершенствования мер государственной политики, влияющих на занятость. Некоторые из государственных программ, например, программы по профессиональной переподготовке безработных, облегчают возможность их будущего трудоустройства. Другие, такие как программы страхования по безработице, смягчают отдельные экономические трудности, с которыми сталкиваются безработные.

Ещё целый ряд государственных программ влияет на уровень безработицы косвенно. Например, большинство экономистов считает, что законы, предусматривающие высокую минимальную заработную плату, ведут к росту безработицы. Выявляя нежелательные побочные последствия той или иной государственной политики, экономисты могут помочь политикам оценить альтернативные варианты решения различных проблем.

Ежедневно некоторые рабочие увольняются или их увольняют, а некоторые безработные находят работу. Этот постоянный приток в ряды безработных и отток из них определяет долю рабочей силы, находящуюся в состоянии безработицы. [Л. А. Белоусова с. 445]

  На разных этапах становления человеческого общества эффективность применения рабочей силы была разной. Первобытному обществу свойственны были абсолютная занятость всего трудоспособного народонаселения общины и одновременно перенаселение отдельных земель; отсюда многократная борьба племен за территорию. При рабстве имела место абсолютная занятость всех рабов и относительное перенаселение свободных граждан, часть которых становилась колонистами либо воинами, их главным назначением было пополнение армии рабов. При феодализме и азиатском методе производства имело место абсолютное и относительное аграрное перенаселение, часть людей была скрыта, некоторые из них уходили в отхожие промыслы, иные пополняли армию, назначение которой было в захватывании свежих территорий. В условиях чистого капитализма на индустриальной стадии его становления, при господстве рыночных отношений появилось новое социально-экономическое явление - армия безработных.

Трудности рынка труда населения в РФ трудны и противоречивы. Здесь проявляются как общие закономерности, имеющие место в разных странах мира, так и специфические для нашего государства процессы и явления.

Безработица обусловлена состоянием экономики, из-за этого уровень безработицы может быть применен в виде показателя, отражающего социально-экономическое положение страны. [Ф. Т. Прокопов с. 200]

Анализируя стабилизационную политическую деятельность, мы представляем, что общество стремится минимизировать утраты от инфляции и от отклонения выпуска национального продукта при безработице от выпуска при полной занятости. Снижение выпуска ниже уровня полной занятости, как мы знаем, значит подъем безработицы. Безработица и инфляция в краткосрочном периоде также плотно связаны, и данная связь описывается кривой Филлипса. Их зависимость проявляется в цикличности экономического развития страны. На фазе спада, когда начинается падение цен, уровень безработицы увеличивается. А на фазе подъема увеличиваться начинает инфляция, в то время как безработица сокращается. Предельный уровень инфляции и безработицы достигается соответственно в самой верхней и в самой нижней точке экономического цикла. Так, на пике экономической активности уровень инфляции является самым высоким, а уровень безработицы - самым низким. На дне цикла, наоборот, самым высоким будет уровень безработицы, а самым низким - уровень инфляции. Согласно закону Оукена потери от безработицы весьма ощутимы: увеличение безработицы на 1% приводит к падению ВВП на 2%. Однако, издержки от безработицы распределяются очень неравномерно, поскольку работу теряет далеко не каждый член общества.

Состояние экономики характеризуется также тем, насколько эффективно используются имеющиеся ресурсы. Так как главным ресурсом экономики считается рабочая сила, поддержание занятости - главнейшая цель экономической политики. Уровень безработицы - это статистический показатель части не имеющих работы в общей численности желающих работать (в процентах). Ежемесячно Бюро статистики труда рассчитывает уровень безработицы и ряд иных показателей, позволяющих экономистам и авторам экономической политики расценивать состояние рынка труда. Эти статистические данные рассчитываются на основании обследований приблизительно 60 тысяч домашних хозяйств. Согласно с вопросами анкеты, любого человека в каждом домашнем хозяйстве относят к одной из трех категорий: занятый, безработный и не включаемый в рабочую силу. Человек считается занятым, в случае если большую часть предыдущей недели он работал, а не занимался домашним хозяйством, учебой или чем-нибудь еще. Человек считается безработным, если он не работает в ожидании выхода на новую работу, является временно уволенным или ищет работу. Люди, не попадающие в первые две категории (например, студенты или домашние хозяйки), не входят в состав рабочей силы: они не имеют работы, не ищут ее и не ожидают перехода на новую работу. Рабочая сила - это совокупность занятых и безработных, а уровень безработицы определяется как процент безработных в общей численности рабочей силы. [Л. С. Тарасевич с. 193]

  1.  Виды безработицы

Циклическая - это безработица, при которой трудоспособное население не может найти работу по специальности в связи с низким совокупным спросом на труд. Такой вид безработицы вызывается кризисными спадами производства.

Сезонная – зависит от сезонности некоторых работ.

Институциональная - возникает в результате неэффективной организации рынка труда. Она названа так потому, что связана действиями тех или иных. общественных институтов. К примеру, государством, когда оно выплачивает хорошие. социальные пособия, провоцируя часть людей жить не работая.

Технологическая - связанная с внедрением малолюдной и безлюдной технологии основанной на электронной технике, то есть машина заменяет человека полностью, тем самым, выталкивая его с производства.

Структурная – результат превышения (или наоборот) спроса на труд и предложения его в разнообразных фирмах, отраслях, по профессиям. Подобное несовпадение может возникнуть из-за того, что спрос на один вид работников растет, а на другой, наоборот, снижается.

Фрикционная – при данном виде безработицы происходит текучесть кадров при затруднениях в трудоустройстве, люди хотят сменить место работы, профессию, повысить квалификацию или место жительства.

Открытая – люди в открытую говорят о своем желании работать и активно занимаются поиском. Вид открытой безработицы, это зарегистрированная безработица – люди регистрируются в службе занятости о поиске работы.

Скрытая безработица характеризует работу людей по найму, но:

а) работа не устраивает и люди ищут другое место основной или дополнительной работы;

б) появляется вероятность потери работы из – за претензий работодателя, который не доволен ее качеством или по другим причинам;

в) люди имеют неполный рабочий день или отправлены в административный отпуск без оплаты, в следствии чего ищут другую работу.

По длительности безработица подразделяется на кратковременную, умеренную, длительную и застойную.

Кратковременная безработица продолжительностью один - два месяца характерна для фрикционной безработицы. Умеренная имеет продолжительность до 12 месяцев. Длительная – от12 до 18 месяцев. Застойная – свыше 18 месяцев.

Добровольная – в данном случае люди сами не желают работать. Добровольная безработица усиливается во время экономического кризиса; её размеры и длительность различны у лиц разных профессий, уровня квалификации, а также у различных социально-демографических групп населения. Маргинальная это безработица бедных и слабо защищенного населения (молодёжи, женщин, инвалидов). [А. А. Фридман с. 289]

1.3 Причины безработицы.

Классические теории причин безработицы.

Более популярной теорией, которая показывает причины безработицы, считается теория Дж. М. Кейнса. Эта теория сменила теорию классиков-экономистов в середине 30-х годов (А. Смит, А. Маршалл). Они объясняли причину безработицы – это высокий уровень заработной платы.

Кейнс считал, что безработица – это обратная функция совокупного спроса. «Размер занятости абсолютно особым образом связан с размером эффективного спроса». Небольшой размер эффективного спроса побуждает вялость вкладываемого процесса, и, следовательно, происходят проблемы в обеспеченности занятости, что с подвигает подъем безработицы. Для выхода из этой ситуации Кейнс видел, что нужно будет увеличить роль страны в формировании совокупного спроса при помощи повышения государственных расходов, прежде всего на инвестиционные товары.

Сторонники неоклассической школы считали, что предпосылки безработицы существуют в той государственной политической деятельности, которую проводили развитые страны по мыслям Кейнса. Учитывая мнение Ф. Хайека, подъем государственных расходов ведет к инфляции, которая в результате сама делается предпосылкой повышения безработицы. Для выхода из этой ситуации Хайек считал, что нужно прекратить инфляционную политику абсолютной занятости. Естественно, это приведет к резкому увеличению безработицы, но именно это обеспечит шанс показать все пороки в размещении труда. [Л. С. Тарасевич с. 201]

М. Фридман выдвинул концепцию «естественной» безработицы, к которой они относили фрикционную безработицу. Фрикционная безработица обхватывает работников, меняющих по каким-нибудь причинам место работы, к примеру, в поисках наиболее высокого заработка или работы с большей престижностью, наиболее подходящими условиями труда, или мигрирующих в связи с потребностью смены места жительства. К естественной безработице относят также структурную, вызванную переменами в структуре общественного производства под влиянием научно-технического прогресса и совершенствования организации производственных процессов. Данный вид безработицы также считается временным (хотя и наиболее продолжительным, чем фрикционная безработица), потому что исчезновения одних производств (отраслей) сопровождается бурным подъемом других. Проблема лишь в том, насколько быстро безработные смогут приспособиться к изменившимся условиям на рынке труда.

Концепция «естественной безработицы» приветствуется фактически всеми экономистами, в том числе и неокейнсианцами. Споры идут только о том, что способствует росту безработицы выше естественного уровня, - недостаточность совокупного спроса или регулирующая политика государства, нарушающая «естественный» механизм формирования занятости и заработной платы на рынке труда.

Следовательно, западные экономисты признают, что безработица – обязательный атрибут рыночной системы хозяйства, она неминуема, а в своем «естественном» варианте даже полезна для обеспечения нужной эластичности рынка труда. Но до сих пор не одно экономическое учение не является бесспорным с точки зрения обоснования причин безработицы и занятости. [М. Фридман с. 197]

1.4 Факторы, влияющие на динамику безработицы

1. Демографические факторы — перемена части экономически интенсивного народонаселения в следствии сдвигов в уровне рождаемости, смертности, половозрастной структуре народонаселения, средней длительности жизни, в направлениях и размерах миграционных потоков.

2. Технико-экономические факторы — темпы и направления НТП, обусловливающие экономию рабочей силы. Разрушение наукоемких российских производств, проведение конверсии в отсутствии  учета финансовых и общественных результатов на всех уровнях сделали угрозу глобального разорения предприятий и высвобождения рабочей силы.

3. Экономические факторы — состояние государственного производства, вкладываемой активности, финансово-кредитной системы, уровень цен и инфляции. По сформулированному А. Оукеном закону присутствует отрицательная взаимосвязь между уровнем безработицы и размером ВВП, любой «всплеск» безработицы связан с понижением реального объема ВВП.

Можно выделить внешние и внутренние факторы, влияющие на рынок труда:

- внешние - кризисный регресс общественного производства, структурная перестройка производства, уменьшение вооруженных сил, перемена отношений принадлежности, денежно – кредитная и экономическая политика страны;

- внутренние (они считаются систематизирующими и действуют на предложение труда, а не на его спрос) – демографическая обстановка, образование, подготовка и переподготовка кадров, миграция.

Исследование этих всех факторов позволяет вычислить связи между ними и обстановкой на рынке труда:

- рост безработицы – уменьшение вложений и потребительского спроса – уменьшение совокупного спроса – сокращение объема производства – дальнейший рост безработицы;

- кризис производства - снижение производительности труда – усиление регресса производства;

- безработица – перераспределение национального дохода в пользу дорогих слоев – подъем бедности – снижение производства – последующий подъем безработицы;

- высокая производительность труда – подъем уровня благосостояния – дополнительная покупательная способность населения – дополнительные новые потребности – подъем производства – подъем занятости;

- неполная занятость – низкая зарплата – низкая производительность труда – дальнейшее уменьшение занятости. [А. А. Никифорова с. 201]

1.5 ВВП. Взаимосвязь ВВП и безработицы.

Со времен классической политэкономии одной из основных задач экономики считается ответ на вопрос: чем определяется благополучие людей и каковы пути его повышения. Адам Смит был первым, кто подверг критике людей меркантилизма (mercantile (англ.): 1. торговый; коммерческий; 2. меркантильный; торгашеский; корыстный), доказывая, что основа благосостояния нации – это национальное производство, увеличение производительности труда и наличие механизмов регуляции экономической системы. Однако, этим А. Смит поднял проблему измерения данного главнейшего признака, хотя сам про это определенно не говорил.

Классики политэкономии не придавали данной проблеме большого значения, поскольку считали, что для начала нужно будет выяснить условия, при которых вероятно повышение производства, а также определить оптимальную политическую деятельность, которая будет скорее содействовать, чем мешать этому увеличению. Однако, в 20 веке с началом усиленного применения статистических способов оценки экономических характеристик из-за очень большой номенклатуры товаров и услуг данная проблема стала существенной. Следовательно, проблема измерения национального производства представляет из себя проблему введения какой-либо меры на кривых производственных способностей для того, чтобы можно было производить сравнение точек этих кривых между собой. Считая данную меру кардиналистской, мы сравниваем данным точкам какие-либо числа, говоря о том, в какой из них национальное производство возможно считать наибольшим, а в какой –наименьшим сравнительно других точек данной кривой.

Явным может показаться на первый взгляд сравнение любому продукту его рыночной стоимости, и тогда можно считать признаком национального производства цена произведенных продуктов. Однако, это ведет к проблеме определения среднего изменения цен на товары и услуги на протяжении какого-либо интервала времени. Если мы хотим измерить изменение физического размера, производимого числа товаров и услуг, используя изменение рыночной цены данного объема продукта за это же время, то данное проблемно вследствие большрй номенклатуры производимых в экономике благ.  Очевидно, что должна быть построена эта система учета производимых благ, когда любой произведенный продукт обязан быть учтен лишь один раз. Присутствие других факторов, помимо цены блага, характеризующих ценность его применения в обществе, вызывает неэквивалентный смысл величины выпуска и общественного благополучия.

Рассмотрение данной проблемы отложим до рассмотрения проблемы адекватности оценки общественного благополучия с помощью величины валового внутреннего продукта.

Валовой внутренний продукт (англ. Gross Domestic Product( GDP)) — макроэкономический показатель, отражающий рыночную стоимость всех конечных товаров и услуг (то есть предназначенных для непосредственного употребления), произведённых за год во всех отраслях экономики на территории государства для потребления, экспорта и накопления, вне зависимости от национальной принадлежности использованных факторов производства. Валовой внутренний продукт определяется как рыночная стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного использования,

произведенных экономическими агентами страны за определенный период (как правило, за год).

Номинальный и реальный ВВП, дефлятор ВВП и ценовые индексы.

Вследствие стоимостной оценки производимых в экономике благ на изменение величины ВВП в следующем году оказывает большое влияние не только изменение физического размера выпуска конечных благ, но и изменение рыночных расценок на товары и услуги, произведенных данной экономикой за изучаемый промежуток времени. При расчете валового внутреннего продукта номинальным ВВП в каком-либо году называют стоимостную оценку благ, учитываемых при подсчете этого показателя в ценах этого года. Номинальный ВВП – это ВВП, рассчитанный в текущих ценах, в ценах данного года.

Подобрав некий базовый год, у нас есть возможность рассчитать показатель реального ВВП за некий год, в котором будет предусмотрен индекс цен между подобранным нами годом и базовым годом. Реальный ВВП показатель ВВП, скорректированный с учетом изменения уровня цен (инфляции или дефляции); измеряется в ценах базового года. Иными словами, реальный ВВП – это ВВП в ценах некоторого базового года. Очевидно, что номинальный ВВП базового года равен реальному ВВП базового года. Для измерения темпов роста цен в экономике применяются ценовые индексы. Индекс Ласпейреса определяется как отношение стоимости товаров и услуг в ценах текущего года, входящих в ВВП базового года, к стоимости товаров и услуг в ценах базового года, входящих в ВВП базового года.

IL = Σi (pi)1 (Qi)0 / Σi (pi)0 (Qi)0,

(pi)1 – цена товара i в текущем году

(pi)0 – цена товара i в базовом году

(Qi)1 – объем выпуска товара i в текущем году

(Qi)0 – объем выпуска товара i в базовом году.

Дефлятор ВВП = Номинальный ВВП / Реальный ВВП*100%

ВВП и мера благосостояния.

К главным проблемам адекватности измерения при помощи ВВП общественного благосостояния относят следующие:

•работа по дому не имеет валютной оценки, потому могут наблюдаться колебания ВВП исходя из числа браков и разводов в стране;

•изменение свойства товаров не разрешает сравнивать их одинаковым количествам одинаковую полезность;

•появление новых товаров принципиально изменяет структуру производимых товаров и услуг, учитываемых в ВВП;

•редкость каких-либо товаров приводит к их большой стоимости, чего же невозможно сказать про их полезности;

•по мере перехода к индустриальному развитому обществу все наибольшее количество благ проходит через рынок, но не создается внутри домохозяйств;

•загрязнение окружающей среды значительно оказывает большее влияние на состояние жизни человека, однако учет дополнительных затрат на ее восстановление приводят к переоценке благосостояния, так как она уже входит в стоимость товаров и услуг, производимых для конечного потребления;

•по мере совершенствования условий жизни досуг индивидов приобретает немалую полезность, чем участие в трудовой работе, что имеет возможность влиять на занижение оценки реального благосостояния общества при помощи ВВП.

В современном мире одним из главнейших показателей благосостояния нации считается показатель ВВП на душу населения (GDP per capita). [Г. Мэнкью с. 57]

       Основной характеристикой безработицы считается – невыпущенная продукция, которая возникает когда экономика не может создать достаточное число мест для всех желающих. Экономисты характеризуют эту величину как потери или разрыв ВВП. Потери ВВП рассчитываются по формуле: Потери ВВП= Фактический ВВП -Потенциальный ВВП.  Данная зависимость выражается при помощи законна Оукена, который показывает, что если фактический уровень безработицы превосходит естественный уровень на 1%, ВВП снижается приблизительно на 2%. Согласно этому закону уровень безработицы и утрат ВВП можно вычислить безусловные потери продукции при любом уровне безработицы выше естественного. Отрицательный разрыв ВВП - это объем продукции, который экономика утрачивает из-за неспособности полностью применять собственный производственный потенциал. Положительный ВВП – это реальный ВВП больше потенциального ВВП.  В некоторых случаях фактический ВВП может превышать потенциальный, но положительный разрыв ВВП порождает инфляционное давление и не может сохраняться бесконечно.

         На уровне общества в целом результаты безработицы состоят в недопроизводстве валового внутреннего продукта, условном отклонении (отставании) фактического ВВП от потенциального ВВП. Присутствие  циклической безработицы означает, что ресурсы употребляются не полностью. Потому фактический ВВП меньше, чем потенциальный (ВВП при полной занятости ресурсов). Отклонение (разрыв) ВВП (GDP gap)рассчитывается как процентное отношение различия между фактическим ВВП (Y) и потенциальным ВВП (Y*) к величине потенциального ВВП.  [Л. С. Тарасевич с. 215]

Глава 2. Модель парной регрессии. Описание парного регрессионного анализа

2.1 Спецификация модели

Цель – дать количественное описание связей между экономическими переменными. Исходя их числа факторов, включенных в уравнение регрессии, принято отличать простую (парную) и множественную регрессии. Простая регрессия представляет из себя модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной y рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной x, другими словами это модель вида:

                                                                                                                                             (2.1)

Множественная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной y рассматривается как функция нескольких независимых (объясняющих) переменных т.е. это модель вида:

                                                                                                                                      (2.2)      

Здесь будет рассмотрена и использована модель парной регрессии и корреляции и возможностями их применения.

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, то есть с формулировки вида модели отталкиваясь от подходящей теории взаимосвязи между переменными. Из всего круга факторов, оказывающих большое влияние на результативный показатель, выделяется наиболее влияющий фактор. Парная регрессия достаточна, если имеется преобладающий фактор, который употребляется в виде объясняющей переменной. Уравнение парной регрессии описывает взаимосвязь межу двумя переменными, которая имеет место быть как некоторая закономерность только в среднем по совокупности наблюдений. В уравнении регрессии корреляционная на самом деле взаимосвязь признаков представляется в виде функциональной взаимосвязи, выраженной соответствующей математической функцией. Практически в любом отдельном случае значение y складывается из двух слагаемых:

                                                                                                                           (2.3)

где фактическое значение результативного признака;

     теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из       соответствующей математической функции связи y и x, то есть из уравнения регрессии;

      случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Случайная величина включает воздействие не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее наличие в модели обусловлено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером начальных данных, особенностями измерения переменных.

Вместе с ошибками спецификации могут иметь место ошибки выборки, так как исследователь наиболее часто работает с выборочными данными при установлении закономерной взаимосвязи между показателями. Ошибки выборки имеют место и в следствии неоднородности данных в начальной статистической совокупности, что, в большинстве случаев, бывает при исследовании экономических действий.  Раз совокупность неоднородна, то уравнение регрессии не имеет практического смысла. Для получения неплохого тога обычно исключают из совокупности единицы с аномальными значениями исследуемых показателей. И в данном случает, итоги регрессии представляют собой выборочные характеристики. Применение временной информации так же представляет собой выборку из всего множества хронологических дат. Изменив временной интервал, возможно получить другие итоги регрессии.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами:

  •  графическим;
  •  аналитическим, то есть исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
  •  экспериментальным.

При исследовании зависимости между двумя признаками графический способ подбора вида уравнения регрессии довольно нагляден. Он базируется на полу корреляции.

Значительный интерес предполагает аналитический способ выбора вида уравнения регрессии. Он основан на исследовании материальной природы взаимосвязи исследуемых признаков.  При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно проводится экспериментальным методом, то есть путем сравнения величины остаточной дисперсии  рассчитанной при разных моделях.

Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля, что вероятно только при функциональной взаимосвязи, когда все точки на линии регрессии , то фактически значения результативного показателя совпадают с теоретическими , то они полностью обусловлены воздействием фактора x. В этом случае остаточная дисперсия  В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих не учитываемых в уравнении регрессии факторов. Иными словами, имеют место отклонения фактических данных от теоретических . Величина этих отклонений и лежит в основе расчета остаточной дисперсии:

                                                                                                                 (2.4)

Если меньше величина остаточной дисперсии, тем в наименьшей мере имеется воздействие остальных не учитываемых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит к начальным данным. При обработке статистических данных на компьютере перебираются различные математические функции в автоматическом режиме и из них выбирается та, для которой остаточная дисперсия считается меньшей.

Если остаточная дисперсия оказывается приблизительно одинаковой для нескольких функций, то на практике предпочтение отдается наиболее несложным видом функции, так как они в большей степень поддаются интерпретации и требуют наименьшего размера на количество исследований обязано в 6-7 раз быть больше число рассчитываемых характеристик при переменной x. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, ибо каждый параметр при x должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Следовательно, если мы выбираем параболу второй степени:

                                                                                                          (2.5)

то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений. Учитывая, что эконометрические модели часто строятся по данным рядов динамики, ограниченным по протяженности (10,20, 30 лет), при выборе спецификации модели предпочтительна модель с меньшим числом параметров при x.

Основные типы функций, используемые при количественной оценке связей:  

Линейная функция:

Нелинейная функции:

[И. И. Елисеева с. 43]

2.2 Линейная регрессия и корреляция

    Пусть подобраны n статистических значений свободной, объясняющей переменной х и n статистических значений зависимой переменной y. Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть обнаружены различными способами. Возможно обратиться к полю корреляции и, подобрав на графике две точки, провести через них прямую линию, после этого по графику найти значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью 0y, а параметр b оценим исходя из угла наклона линии регрессии как dy/dx, где dy – приращение результат y, а dx – приращение фактора x, то есть:

Классический способ к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов разрешает получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных минимальна:

                                                                                                        (2.6)

Параметры уравнения линейной регрессии можно вычислить следующим образом:

                                                                                                      (2.7)

Решая систему нормальных уравнений найдем искомые оценки параметров a и b. Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его значение показывает среднее изменение итога с изменением фактора на одну единицу. Знак при коэффициенте регрессии b указывает направление взаимосвязи: b>0 – связь прямая, а при b<0 – связь обратная.

Формально a – значение y при x=0. Если показатель – фактор x не имеет и не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена a не имеет смысла. Параметр a может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр а могут привести к абсурду, особенно при a<0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если a>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Иначе говоря, вариация тога меньше вариации фактора – коэффициент вариации по фактору x выше коэффициента вариации для результата y:  

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции  Имеются разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

                                 .                                            (2.8)

Линейный коэффициент корреляции находится в границах Если коэффициент регрессии b>0, то  и, наоборот, при b<0

Значение линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту взаимосвязи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. В следствии этого близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит отсутствия взаимосвязи между показателями имеет возможность оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции  называемый коэффициентом детерминации:

                                                                                                                         (2.9)

Значение коэффициента детерминации является одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной разновидности, тем согласно с этим меньше роль других факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует начальные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Линейный коэффициент корреляции по содержанию отличается от коэффициента регрессии. Выступая показателем силы взаимосвязи, коэффициент регрессии b на первый взгляд может быть применен как измеритель ее тесноты. Линейный коэффициент корреляции как измеритель тесноты линейной взаимосвязи показателей логически связан не только с коэффициентом регрессии b, но и с коэффициентом эластичности, который считается признаком силы взаимосвязи, выраженным в процентах. При линейной взаимосвязи признаков x и y средний коэффициент эластичности в общем по совокупности определяется как

                                                          .                                                           (2.10)

В данном случае, измерителем тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции, а коэффициент регрессии и коэффициент эластичности – показатели силы связи: коэффициент регрессии является абсолютной мерой, ибо имеет единицы измерения, присущие изучаемым признакам x и y, а коэффициент эластичности – относительным показателем силы связи, потому что выражен в процентах.

Несмотря на всю значимость измерителя тесноты взаимосвязи, в эконометрике большой практический интерес приобретает коэффициент детерминации, потому как он дает условную меру воздействия фактора на тог, фиксируя одновременно и роль ошибок, то есть случайных составляющих в формировании моделируемой переменной. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования. [И. И. Елисеева с. 51]

2.3 Оценка значимости параметров линейной регрессии и корреляции.

           В следствии того как уравнение линейной регрессии обнаружено, делается оценка значимости как уравнения в целом, но и отдельных его характеристик. Оценка значимости уравнения регрессии в общем дается при помощи F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, другими словами b=0, и, значит, фактор x не оказывает влияния на результат y.

          Конкретному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной y от среднего значения на две части – «объясненную» и «остаточную»:

Общая сумма квадратов отклонений равна сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией плюс остаточная сумма квадратов отклонений. Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака y от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разграничим всю совокупность причин на две категории: изучаемый фактор x и другие факторы. Если фактор не оказывает воздействия на итог, то линия регрессии на графике параллельна оси 0x и . Тогда вся дисперсия результативного показателя обусловлена действием иных факторов, и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной. Если же остальные факторы не оказывают большое влияние на результат, то y связан с x функционально, и остаточная сумма квадратов равна нулю. В данном случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов. Так как не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс, как обусловленный воздействием фактора х, то есть регрессией y и x, так и вызванный действием прочих причин. Пригодность линии регрессии для прогноза находится в зависимости от того, какая часть общей вариации признака y приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор x оказывает существенное влияние на результат y. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.

Каждая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df, другими словами с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы соединено с числом единиц совокупности n и с числом характеризуемых по ней констант. Применительно к исследуемой задаче число степеней свободы должно показать, какое количество независимых отклонений из n возможных потребуется для образования данной суммы квадратов. При расчете объясненной, или факторной, суммы квадратов используются теоретические (расчетные) значения результативного признака , найденные по линии регрессии:  В линейной регрессии                                                                 

                                             (2.11)

В этом не трудно убедиться, обратившись к формуле линейного коэффициента корреляции: Из формулы видно, что

                                                                            (2.12)

где - дисперсия признака y, обусловленная фактором x;

           - общая дисперсия признака y.

         Соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией, составит:

          Поскольку при заданном объеме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии b, то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы. К этому же выводу придем, если рассмотрим содержательную сторону расчетного значения признака y, то есть . Величина  определяется по уравнению линейной регрессии:

         Параметр a можно найти как  Подставив выражение параметра a в линейную модель, получим:

                                                                               (2.13)

         Отсюда видно, что при данном наборе переменных x и y расчетное значение является функцией лишь одного параметра – коэффициента регрессии. В соответствии с этим и факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное 1.

          Присутствует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, то есть .

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду.  Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения, то есть критерий F:

                                                                                                                   (2.14)

F-статистика используется для проверки нулевой гипотезы

Если нулевая гипотеза  справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Если несправедлива, то факторная дисперсия превышает остаточную в несколько раз. Британским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при различных уровнях значимости нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном расхождении их для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F- отношения признается достоверным, если оно больше табличного. Тогда нулевая гипотеза об отсутствии взаимосвязи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи:  отклоняется.

           Если же величина F окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод и наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым: не отклоняется. Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации. Значение F-критерия можно выразить следующим образом:

                                                     .                                                    (2.15)

           В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: . Стандартная ошибка коэффициента регрессии параметра рассчитывается по формуле:

                                                                                                       (2.16)

          Отношение коэффициента регрессии к его стандартной ошибке дает t-статистику, которая подчиняется статистике Стьюдента (n-2) степеням свободы. Эта статистика применяется для проверки статистической значимости коэффициента регрессии и для расчета доверительных интервалов.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравнивают с его стандартной ошибкой, то есть определяют фактическое значение t-критерия Стьюдента:                                                                                 (2.17)

которое затем сравнивают с табличным значением при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).

         Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

                                                          (2.18)

Процедура оценивания значимости данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии: вычисляется t-критерий:

                                                                    (2.19)

Его величина сравнивается с табличным значением при df=n-2 степенях свободы.

          Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

                                                                (2.20)

           Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как:

                                                  (2.21)

             Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии ибо, как уже указывалось,  Кроме того, следовательно, .

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о значимости линейного уравнения регрессии. [И. И. Елисеева с. 63]

Средняя ошибка аппроксимации.

               Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, то есть y и Чем меньше эти отличия, тем ближе теоретические значения к эмпирическим данным, тем лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. В отдельных случаях ошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Отклонения несравнимы между собой, исключая величину, равную нулю. Для сравнения используются величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям.

                 Поскольку  может быть величиной как положительной, так и отрицательной, ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю. Отклонения  можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а - как относительную ошибку аппроксимации. Для того чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, находят среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую.

                                                      (2.22)

[И. И. Елисеева с. 106]

2.4 Исследование остатков с применением предпосылок метода наименьших квадратов

После того как построено уравнение регрессии проводится проверка присутствия у оценок еi некоторых свойств. Данные свойства оценок, полученных МНК, имеют довольно весомое практическое значение в применении результатов регрессии и корреляции.

Коэффициенты регрессии ai, найденные на основе системы нормальных уравнений и представляющие собой выборочные оценки характеристики силы связи, должны обладать свойством несмещености.

Несмещенность оценки – это когда математическое ожидание остатков равно нулю. То есть, найденный параметр регрессии ai, можно рассматривать как среднее значение вероятных значений коэффициентов регрессии с несмещенными оценками остатков.

Для практических целей важна не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными в том случае, когда они характеризуются самой маленькой дисперсией.

Для того чтобы доверительные интервалы параметров регрессии были реальными, необходимо, чтобы оценки были состоятельными. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.

Для того чтобы исследовать остатки ei необходимо проверить наличие следующих пяти предпосылок МНК:

  1.  Случайный характер остатков;
  2.  Нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;
  3.  Гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений х;
  4.  Отсутствие автокорреляции остатков - значения остатков ei распределены независимо друг от друга;
  5.  Остатки подчиняются нормальному распределению.

Если случайные остаткиei не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то тогда следует корректировать модель.

Первый этап - проверяется случайный характер остатков ei.

Верификация гипотезы о случайности распределения случайных отклонений модели направлена на оценивание точности подбора аналитической формы модели. Для верификации гипотезы H0:  относительно альтернативной гипотезы H1:  служит тест количества серий. Так как модель строилась на основе динамических данных, то исходной точкой будем считать упорядоченную по времени последовательность остатков. Для упорядоченной последовательности подсчитывается количество серий S, остатков модели.

Серия – это каждый фрагмент последовательности, который составлен исключительно из положительных или отрицательных элементов.

Из таблиц количества серий для фактических количеств отрицательных n1 и положительных n2 остатков, а так же для принятого уровня значимости считываются два критических значения серий: и . Если , то распределение случайных отклонений случайно, аналитическая форма модели подобрана удачно. В то же время, если или , распределение случайных отклонений не случайно, аналитическая форма модели выбрана неудачно.

Вторая предпосылка означает равенство нулю средней величины остатков.

Рассмотрим нулевую среднюю величину остатков, не зависящую от хt.

Несмещенность является желательным свойством и означает, что математическое ожидание значений ошибок равно нулю. В качестве критерия рассмотрим статистику:

                                         ,                                                              (2.23)

где — среднее арифметическое остатков;— стандартное отклонение остатков.

                                      .                                            (2.24)

Для того чтобы рассчитать критерий t-теста Стьюдента необходимо воспользоваться функцией СТЬЮДРАСПОБР в MicrosoftExcel для m= n-1 степеней свободы и для принятого уровня значимости 0,05, это рассчитанное число является критическим значением . Если , то математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от нуля, поэтому отклонения признаются несмещенными. Если же , то математическое ожидание случайных отклонений существенно отличается от нуля, поэтому отклонения признаются смещенными.

В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора хj остатки еi имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

Для того чтобы проверить наличие гетероскедастичности в остатках регрессии можно воспользоваться ранговым коэффициентом Спирмена. Суть проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированны со значениями фактора хt. Эту корреляцию можно измерять с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

                                     ,                                                  (2.25)

где d - абсолютная разность между рангами значений хt и .

Принято считать, что если , то корреляция между значениями остатков и фактора статистически значима, то есть имеет место гетероскедантичность остатков.

                                                                             (2.26)

Таким образом, принимается гипотеза об отсутствии гетероскедантичности остатков.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках - это расчет критерия Дарбина-Уотсона.

Широко известная статистика Дарбина-Уотсона имеет следующий вид:

                                                                                   (2.27)

Таким образом, величина d=DW есть отношение суммы квадратов, разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Итак, алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий:

– выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках;

– далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dl и du для заданного числа наблюдений п, числа независимых переменных модели т и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков;

– принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью Р=1–α осуществляется следующим образом: 0 < d < dl – есть положительная автокорреляция остатков, Н0 отклоняется, с вероятностью Р=1–α принимается Н1; dl < d < du – зона неопределенности; du < d < 4 – du – нет оснований отклонять Н0,  т.е. автокорреляция остатков отсутствует; 4 – du < d < 4 – dl – зона неопределенности; 4– dl < d < 4 – есть отрицательная автокорреляция остатков, Н0 отклоняется, с вероятностью Р=1–α принимается Н1*.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н0.

Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динамики, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уровней.

Исследование остатков на наличие нормальности распределения производится с помощью теста ШапироУилка.

Процедура теста ШапироУилка представляется следующим образом:

Остатки упорядочиваются по возрастанию.

Рассчитывается значение статистики:

                                                       (2.28)

где — целая часть числа an-t+1—коэффициенты ШапироУилка.

  1.  Из таблиц теста ШапироВилька для принятого уровня значимости выбирается критическое значение W*.
    1.  Если , то можно говорить о нормальном распределении случайных отклонений. Если же ,то распределение отклонений нельзя считать нормальным .

При несоблюдении основных предпосылок МНК приходится корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии, которые обладают свойством несмещённости, имеют меньшее значение дисперсии остатков и обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.

Таким образом, построив окончательное статистически значимое уравнение регрессии уровня безработицы в Российской Федерации, обязательно необходимо проверить выполнение всех предпосылок метода наименьших квадратов. [Э. Ферстер с. 304]

2.5 Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии.

         В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое  значение как точечный прогноз при  то есть путем подстановки в линейное уравнение регрессии  соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки то есть , и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения :

                                               (2.29)

Для того чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки  тогда уравнение регрессии примет вид:

                                        (2.30)

Отсюда следует, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b, то есть:

                                           (2.31)

           Из теории выборки известно, что  

Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы , получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной y:

                                                               (2.32)

            Ошибки коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

                                                (2.33)

            Считая, что прогнозное значение фактора , получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, то есть

.                                    (2.34)

Соответственно имеет выражение:

                                     ( 2.35)

              Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения y при заданном значении  характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки  достигает минимума при  и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между и , тем больше ошибки , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения . Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х, и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от .  Если же значение  оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. [И. И. Елисеева с. 72]

2.6 Нелинейная регрессия

        Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы  параболы второй степени и др.

        Различают два класса нелинейных регрессий:

  •  регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
  •  регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам;

Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

  •  полиномы разных степеней;
  •  равносторонняя гипербола

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

  •  степенная
  •  показательная
  •  экспоненциальная .

Нелинейная регрессия по включенным переменным не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени заменив переменные получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

Для оценки параметров которого используется МНК.

           Полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее способами оценивания характеристик и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, между нелинейной полиномиальной регрессии наиболее часто употребляется парабола второй степени; в отдельных вариантах – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов наиболее высоких степеней связаны с требованием односторонности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и в соответствии с этим меньше односторонность совокупности по результативному признаку.

             Парабола второй степени целесообразна к использованию, если для конкретного промежутка значений фактора изменяется характер взаимосвязи рассматриваемых показателей: прямая взаимосвязь меняется на обратную или обратная на прямую. В такой ситуации определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени: b+2cx=0

               Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

               Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

                                              (2.36)

        Решить ее относительно параметров a, b, c можно методом определителей:

где  - определитель системы;

      a, b, c – частные определители для каждого из параметров.

        При b>0 и c>0 кривая симметрична относительно высшей точки, то есть точки перелома кривой, изменяющей направление взаимосвязи, а конкретно подъем на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при исследовании зависимости заработной платы работников физического труда от возраста – с повышением возраста увеличивается заработная плата ввиду одновременного роста опыта и повышения квалификации работника. При b<0 и c>0 парабола второго порядка симметрична относительно своего минимума, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, то есть снижение на рост.

    Ввиду симметричности кривой параболу второй степени не всегда возможно применить в конкретных случаях. Параметры параболической взаимосвязи не всегда могут быть логически объяснены. Таким образом, график зависимости не показывает четко выраженной параболы второго порядка, то она может быть заменена другой нелинейной функцией.

   В группе нелинейных функций, параметры которых будут оценены МНК, в эконометрике хорошо известна равносторонняя гипербола  Она может быть использована для объяснения взаимосвязи удельных расходов. Стандартным примером является кривая Филлипса, объясняющая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y.

    Британский экономист А. В. Филлипс установил обратную взаимозависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

  Если в уравнении равносторонней гиперболы  заменить  на z, получим линейное уравнение регрессии y= a+bz+e, параметры будут оценены с помощью МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

                                                  (2.37)

  При b>0 имеем обратную зависимость, которая при х стремящемуся к бесконечности объясняется нижней асимптотой, то есть минимальным предельным значением y, оценкой которого служит параметр a.

 При b<0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при х стремящемуся к бесконечности, то есть с максимальным предельным уровнем y, оценку которого в уравнении дает параметр а.

  Среди нелинейных функций в эконометрических исследованиях глубоко используется степенная функция  Это связано с тем, что параметр b в функции имеет четкое экономическое объяснение, то есть является коэффициентом эластичности. Это говорит о том, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в средним итог, если фактор изменится на 1%. Формула расчета коэффициента эластичности:

                                                           (2.38)

где f’(x) – первая производная, характеризующая соотношение приростов результата для соответствующей формы связи.

   В связи с тем, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:

                                                       (2.39)

   Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению и решается система нормальных уравнений.  Параметр b определяется из системы, а параметр а – после потенцирования величины ln a.  

  В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Поскольку в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров появляются из критерия  то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а их преобразованным величинам. Это поясняется тем, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах.

  При использовании связей среди функций, применяющих ln y, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и производственные функции, и критерии освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и размерами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

 При применении линеаризуемых функций, затрагивающих преобразования зависимой переменной y, следует проверить присутствие предпосылок МНК, что бы они не нарушались при преобразовании. При нелинейных отношениях рассматриваемых признаков, приводимых к линейному виду, возможно интервальное оценивание параметров нелинейной функции.

   Для внутренне нелинейных моделей, которые путем несложных преобразований не приводятся к линейному виду, оценка параметров не может быть дана привычным МНК. Здесь используются иные подходы. [И. И. Елисеева с. 77]

 Глава 3.  Парный регрессионный анализ взаимодействия уровня безработицы и ВВП в Российской Федерации

3.1 Построение модели парной регрессии

       Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

 или   

      Уравнение  позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака подстановкой в него фактических значений фактора x.

Расчет параметров уравнения линейной регрессии.

Таблица 1. Исходные данные.

 

t

Уровень безработицы, %

ВВП, в млрд.руб

 

 

Y

Х

2000

1

10,6

7305,6

2001

2

9,0

8943,6

2002

3

7,9

10830,5

2003

4

8,2

13208,2

2004

5

7,8

17027,2

2005

6

7,1

21609,8

2006

7

7,1

26917,2

2007

8

6,0

33247,5

2008

9

6,2

41276,8

2009

10

8,3

38807,2

2010

11

7,3

46308,5

2011

12

6,5

55644,0

2012

13

5,5

61810,8

2013

14

5,5

66689,1

Примечание: Данные граф 3, 4 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо.

С помощью табличного процессора Excel, вычислим коэффициенты модели парной регрессии и проверим значимость уравнения регрессии (таблица 2).

Таблица 2. Уравнение регрессии y = a + bx

Регрессионная статистика

Множественный R

0,79108027

R-квадрат

0,85994365

Нормированный R-квадрат

0,594625327

Стандартная ошибка

0,904808628

Наблюдения

14

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

16,43014187

16,43014187

20,06909769

0,000752611

Остаток

12

9,824143841

0,818678653

Итого

13

26,25428571

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

9,146954439

0,467008408

19,586273552

0,000000000178

Переменная X1

-0,000055729

0,000012440

-4,479854651

0,000752611

Примечание: режим регрессия, пакет анализа Microsoft Excel

С помощью СТЬЮДРАСПОБР tкр, tкр= 2,144. Сравнивая значения t- статистики с рассчитанным критерием, получаем: значение всех переменных (X= -4,48) по модулю больше чем tкр= 2,144, а значит, фактор значим. Итоговое уравнение имеет вид:

Y= 9,14695 – 0,00006X.

Коэффициент этого уравнения показывает, что снижение ВВП способствует снижению уровня безработицы.

Далее следует выявить значимость выбранного фактора. Для этого следует определить адекватность построенной модели.

              Рассмотрим коэффициент детерминации . Данный коэффициент показывает долю полной вариации объясняемой переменной, она детерминирована объясняющими переменными. Для полученной нами регрессии коэффициент детерминации  это означает что модель примерно на 86% раскрывает степень влияния фактора, то есть модель имеет высокую значимость.

             Коэффициент множественной регрессии R=0,93, он показывает тесноту связи зависимой переменной (уровень безработицы) с объясняющим фактором, входящим в модель регрессии.

Далее оценим адекватность модели по F-критерию Фишера. Для этого воспользуемся функцией FРАСПОБР в программе Microsoft Excel. Получаем , =4,75. Получаем что табличное значение меньше, следовательно, модель адекватна и пригодна для использования.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений от фактических. Для этого воспользуемся остатками модели

Таблица 3. Вывод остатков

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

Стандартные остатки

1

8,739815768

1,860184232

2,13983496

2

8,64853471

0,35146529

0,404302812

3

8,543376129

-0,643376129

-0,740098056

4

8,410868605

-0,210868605

-0,242569529

5

8,19804074

-0,39804074

-0,45788018

6

7,94265699

-0,84265699

-0,969337798

7

7,646877219

-0,546877219

-0,629091986

8

7,29409327

-1,29409327

-1,488640734

9

6,846623869

-0,646623869

-0,743834045

10

6,984254694

1,315745306

1,513547828

11

6,566211116

0,733788884

0,844103009

12

6,045951383

0,454048617

0,522307999

13

5,702278662

-0,202278662

-0,232688217

14

5,430416845

0,069583155

0,080043936

Примечание: режим регрессия, пакет анализа Microsoft Excel

Таблица  4.  Расчетная таблица для вычисления средней ошибки аппроксимации.

t

Уровень безработицы, %

ВВП, в млрд.руб

Y

Х

1

10,6

7305,6

8,739816

1,9

1,9

0,179245

2

9,0

8943,6

8,648535

0,4

0,4

0,044444

3

7,9

10830,5

8,543376

-0,6

0,6

0,055949

4

8,2

13208,2

8,410869

0,2

0,2

0,02439

5

7,8

17027,2

8,198041

-0,4

0,4

0,051282

6

7,1

21609,8

7,942657

-0,8

0,8

0,012676

7

7,1

26917,2

7,646877

-0,5

0,5

0,070423

8

6,0

33247,5

7,294093

-1,3

1,3

0,016667

9

6,2

41276,8

6,846624

-0,6

0,6

0,096774

10

8,3

38807,2

6,984255

1,3

1,3

0,156627

11

7,3

46308,5

6,566211

0,7

0,7

0,09589

12

6,5

55644,0

6,045951

0,5

0,5

0,076923

13

5,5

61810,8

5,702279

-0,2

0,2

0,036364

14

5,5

66689,1

5,430417

0,1

0,1

0,018182

Примечание: данные графы 2, 3 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 4 предсказанное Y из таблицы 3; данные графы 5 получены путем вычитания из графы 2 графу 5; данные графы 6 это данные графы 5 по модулю; данные графы 7 получены путем деления графы 6 на графу 2.

Таким образом, по формуле (2.22), получаем  

Поскольку ошибка меньше 10%, то можно говорить о хорошем подборе модели к исходным данным.

Проанализируем уравнение регрессии полностью, то есть проверим выполняются ли предпосылки метода наименьших квадратов (МНК).

Исследование остатков  предполагает проверку присутствие следующих пяти предпосылок МНК:

  •  случайный характер остатков;
  •  нулевая средняя величина остатков, не зависящая от ;
  •  гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения  одинакова для всех значений
  •  отсутствие автокорреляции остатков – значения  распределены независимо друг от друга;
  •  остатки подчинены нормальному распределению.

Для анализа используем таблицу 3.

Остатки исследуемого тренда образуют S= 5 серии,  уровень значимости равен 0,05. В таблице «Критерии значения для количества серий» находим критические значения (Таблицы, стр. 354). Получаем, что , следовательно, аналитическая форма модели выбрана удачно.

Определим случайный характер остатков. Построим график отклонений фактических значений от теоретических значений признака.

Рисунок 3.1. Фактические и теоретические значения уровня безработицы в Российской Федерации с 2000 по 2013 гг.

На рис. 3.1  показано как построенная модель парной регрессии аппроксимирует  уровень безработицы в Российской Федерации с 2000 по 2013 года.

Рисунок 3.2 График остатков.

На рисунке 3.2 показан график остатков, получена горизонтальная полоса, которая показывает, что остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано.

Далее нужно определить присутствие зависимости остатков от . Рассмотрим нулевую величину остатков, которая не зависит от . В качестве критерия рассмотрим статистику:

где  – среднее арифметическое остатков  – стандартное отклонение.

 Рассчитаем критерий t-теста Стьюдента для m=n-1, m=14-1=13 степеней свободы и для уровня значимости 0,05. Определим с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в Microsoft Excel. Если I*I, то математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от 0, то есть отклонение признается несмещенным. В противно случае мат ожидание отличается от 0, значит отклонение признается смещенным. Так как модель линейная и построена по МНК, то  значит и I тоже равно 0. Получились такие результаты: I*= 2,160, значит I* является критическим значением. Получается, что I*I, то есть отклонение несмещенное.

Далее проверим отсутствие автокорреляции остатков с помощью критерия Дарбина – Уотсона в нашем случае.

Таблица 5. Вспомогательная таблица для вычисления критерия Дарбина-Уотсона

t

Y

1

10,6

8,739815768

1,860184

-

-

3,460285

2

9,0

8,64853471

0,351465

-1,50872

2,2762328

0,123528

3

7,9

8,543376129

-0,64338

-0,99484

0,9897094

0,413933

4

8,2

8,410868605

-0,21087

0,432508

0,1870628

0,044466

5

7,8

8,19804074

-0,39804

-0,18717

0,0350334

0,158436

6

7,1

7,94265699

-0,84266

-0,44462

0,1976836

0,710071

7

7,1

7,646877219

-0,54688

0,29578

0,0874857

0,299075

8

6,0

7,29409327

-1,29409

-0,74722

0,5583318

1,674677

9

6,2

6,846623869

-0,64662

0,647469

0,4192166

0,418122

10

8,3

6,984254694

1,315745

1,962369

3,8508928

1,731186

11

7,3

6,566211116

0,733789

-0,58196

0,3386733

0,538446

12

6,5

6,045951383

0,454049

-0,27974

0,0782546

0,20616

13

5,5

5,702278662

-0,20228

-0,65633

0,4307655

0,040917

14

5,5

5,430416845

0,069583

0,271862

0,0739088

0,004842

Итого

 

 

 

 

9,5232512

9,824144

Примечание: данные графы 2 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 2 это предсказанное Y взяты из таблицы 3; данные графы 4 остатки взяты из таблицы 3; данные графы 5 получены путем вычитания из последующего значения предыдущего; данные графы 6 получены путем возведения в квадрат графы 5; данные графы 7 получены путем возведения в квадрат графы 4.

Таким образом, получаем из (2.27),  что .

Из таблицы «Значения статистики Дарбина-Уотсона» [Елисеева стр. 566] определим критические значения критерия Дарбина-Уотсона 1,05 и  для заданного числа наблюдений 14 и числа независимых переменных модели равного 1, уровня значимости α=0,05.

Получаем, что 1,34<0,97<-0,34, это говорит о том, что нет оснований отклонять гипотезу  об отсутствии автокорреляции в остатках.

Проверим наличие гетероскедастичности в остатках регрессии с помощью рангового коэффициента Спирмена. Суть этой проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированы со значением фактора . В таблице 6 показан расчет рангового коэффициента Спирмена.

Таблица 6. Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена.

1

1

14

2

2

13

3

3

4

4

4

2

5

5

5

6

6

12

7

7

7

8

8

3

9

10

9

10

9

11

11

11

6

12

12

8

13

13

10

14

14

1

Итого

105

105

Примечание: данные графы 2 получены путем ранжирования от большего к меньшему графы 4 таблицы 1; данные графы 3 получены путем ранжирования значений, взятых по модулю от меньшего к большему графы 4 таблицы 2.

После присвоения х рангов (табл. 6), нужно найти абсолютные разности между ними, возвести их в квадрат и просуммировать, затем полученные значения подставить в формулу (2.25) для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена по каждому фактору.

Таблица 7. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

 

1

13

169

2

11

121

3

1

1

4

-2

4

5

0

0

6

6

36

7

0

0

8

-5

25

9

-1

1

10

2

4

11

-5

25

12

-4

16

13

-3

9

14

-13

169

Итого

0

580

Примечание: данные графы 2 получены путем вычитания из графы 3 таблицы 6 графы 2 таблицы 6; данные графы 3 получены путем возведения в квадрат графы 2.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для Х равен:

Статистическую значимость коэффициента можно определить с помощью t-критерия (2.26).

Таким образом, получаем:

Далее сравним эту величину с табличной величиной, рассчитанной с помощью функции в Microsoft Exel СТЬЮДРАСПОБР при α=0,05 и числе степеней свободы n=2=14-2=12;

Получается что, , тогда принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

          Далее исследуем остатки на наличие нормальности распределения с помощью теста Шапиро-Уилка.

Таблица 8. Расчетная таблица для вычисления статистики W

 №

 

 

 

 

 

 

1

1,8602

-1,2941

1,6747

0,7251

-1,7906

2,5157

2

0,3515

-0,8427

0,7101

1,3318

-0,5537

1,8855

3

-0,6434

-0,6466

0,4181

0,7460

1,0974

-0,3514

4

-0,2109

-0,6434

0,4139

0,1802

1,1318

-0,9516

5

-0,3980

-0,5469

0,2991

0,1240

1,7138

-1,5898

6

-0,8427

-0,3980

0,1584

0,9727

0,1960

0,7767

7

-0,5469

-0,2109

0,0445

0,0240

-0,7472

0,7712

8

-1,2941

-0,2023

0,0409

 

 

 

9

-0,6466

0,0696

0,0048

 

 

 

10

1,3157

0,3515

0,1235

 

 

 

11

0,7338

0,4540

0,2062

 

 

 

12

0,4540

0,7338

0,5384

 

 

 

13

-0,2023

1,3157

1,7312

 

 

 

14

0,0696

1,8602

3,4603

 

 

 

Итого

 

 

9,8241

 

 

3,0563

Примечание: данные графы 2 - это остатки из табл.2, данные графы 3 получены путем ранжирования от меньшего к большему графы 2, данные графы 4 получены путем возведения квадрат графы 3, данные графы 5 взяты из табл. [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title], данные графы 6 получены путем вычитания соответствующего, но номеру значения из графы 3, данные графы 7 получены путем умножения  графы5 на графу 6.

Так как

Из таблицы выбираем критическое значение W*, для n=14 и уровня значимости α = 0,05, W*= 0,874. Так как W>W*, то можно утверждать о том, что распределение случайных отклонений нормальное. Все предпосылки МНК выполнены, что говорит о качестве полученных оценок параметров эконометрической модели.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле (2.10):

Таким образом, ВВП является статистически значимым фактором, оказывающим влияние на уровень безработицы в Российской Федерации.

3.2 Прогноз уровня безработицы в Российской Федерации на 2014 и 2015 года

Для того, чтобы сделать прогноз для уровня безработицы нужно спрогнозировать ВВП. Для этого снова проделаем процедуру по выявлению значимости. С помощью табличного процессора Excel, вычислим коэффициенты множественной регрессии и проверим значимость уравнения регрессии (таблица 9).

Таблица 9. Уравнение регрессии

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,985723

R-квадрат

0,971649

Нормированный R-квадрат

0,969286

Стандартная ошибка

3535,343

Наблюдения

14

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Регрессия

1

5140238077,8641800

5140238077,8641800

411,2634027

Остаток

12

149983821,8681630

12498651,8223469

Итого

13

5290221899,7323400

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

-3534,06

1995,767232

-1,770776654

0,10197189

Переменная X 1

4753,362

234,3909744

20,27963024

1,186E-10

Примечание: режим регрессия, пакет анализа Microsoft Excel

С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР рассчитаем 2,144. Аналогично сравнивая значения t-статистики с рассчитанным критерием, получаем значение переменной х= 20,28, больше чем , следовательно фактор значим. Итоговое уравнение имеет вид:

X = -3534,06+4753,362t

Далее необходимо определить адекватность построенной модели. Модель адаптирована к данным лучше, когда коэффициент детерминации ближе к 1. Значение его лежит в пределах от 0 до 1. В данном случае коэффициент детерминации  это означает что модель примерно на 97% раскрывает степень влияния факторов, значит модель имеет высокую значимость.

Коэффициент регрессии R= 0,98, он показывает тесноту связи зависимой переменной (ВВП) с объясняющими факторами, включенными в модель регрессии.

Затем оценим степень адекватности модели по F-критерию Фишера, для этого применим функцию FРАСПОБР в программе Microsoft Excel. Получили = 4,75, находим  (из таблицы значений F-критерия Фишера).

После сравнения  со значением  , получаем что табличное значение меньше, значит модель адекватна и пригодна для использования.

Оценим качество уравнения с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Для этого рассмотрим остатки модели (таблица 2).

Таблица 10. Вывод остатка

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное Х

Остатки

Стандартные остатки

1

1219,304

6086,342028

1,791867211

2

5972,667

2970,915835

0,874661109

3

10726,03

104,5061951

0,03076745

4

15479,39

-2271,157372

-0,668646686

5

20232,75

-3205,562584

-0,943742968

6

24986,12

-3376,350248

-0,994024206

7

29739,48

-2822,276656

-0,83090056

8

34492,84

-1245,327095

-0,366634142

9

39246,2

2030,64657

0,597838404

10

43999,56

-5192,346335

-1,528667811

11

48752,93

-2444,386013

-0,719646567

12

53506,29

2137,72844

0,629364153

13

58259,65

3551,18724

1,045497599

14

63013,01

3676,079995

1,082267013

Примечание: режим регрессия, пакет анализа Microsoft Excel

Вспомогательная таблица для расчета ошибки аппроксимации (таблица 11).

Таблица 11. Расчетная таблица для нахождения ошибки аппроксимации.

t

ВВП, в млрд.руб

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

1

7305,6

1219,304

6086,3

6086,3

0,033101

2

8943,6

5972,667

2970,9

2970,9

0,032184

3

10830,5

10726,03

104,5

104,5

0,009649

4

13208,2

15479,39

-2271,2

2271,2

0,171953

5

17027,2

20232,75

-3205,6

3205,6

0,188264

6

21609,8

24986,12

-3376,4

3376,4

0,156244

7

26917,2

29739,48

-2822,3

2822,3

0,104851

8

33247,5

34492,84

-1245,3

1245,3

0,037455

9

41276,8

39246,2

2030,6

2030,6

0,049196

10

38807,2

43999,56

-5192,3

5192,3

0,033797

11

46308,5

48752,93

-2444,4

2444,4

0,052785

12

55644,0

53506,29

2137,7

2137,7

0,038417

13

61810,8

58259,65

3551,2

3551,2

0,057453

14

66689,1

63013,01

3676,1

3676,1

0,055123

Всего

 

 

 

 

1,220473

Примечание: данные графы 2, 3 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 4 предсказанное Y из таблицы 10; данные графы 5 получены путем вычитания из графы 2 графу 5; данные графы 6 это данные графы 7 по модулю; данные графы 7 получены путем деления графы 6 на графу 2.

Тогда на основании формулы (2.22) получаем 8,7177.

Ошибка меньше 10%, значит уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Проанализируем полученное уравнение регрессии с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Для анализа используем таблицу 2.

Остатки образуют S= 5 серии,  уровень значимости равен 0,05. В таблице «Критерии значения для количества серий» находим критические значения , (таблица, стр. 354). Получили  . Значит, аналитическая форма модели выбрана удачно.

Построим график отклонений фактических значений от теоретических значений признака.

Рисунок 3.3 Фактические и теоретические значения ВВП за 2000-2013 гг.

Рассмотри присутствие зависимости остатков от . Рассмотрим нулевую величину остатков, которая не зависит от   Несмещенность является желательным свойством и означает, что математическое ожидание значений ошибок равно нулю. В качестве критерия возьмем статистику:

где  – среднее арифметическое остатков  – стандартное отклонение.

Рассчитаем критерий t-теста Стьюдента для m=n-1, m=14-1=13 степеней свободы и для уровня значимости 0,05. Определим с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в Microsoft Excel. Если I*I, то математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от 0, то есть отклонение признается несмещенным. В противно случае мат ожидание отличается от 0, значит отклонение признается смещенным. Так как модель линейная и построена по МНК, то  значит и I тоже равно 0. Получились такие результаты: I*= 2,160, значит I* является критическим значением. Получается, что I*I, то есть отклонение несмещенное.

Далее проверим отсутствие автокорреляции остатков с помощью критерия Дарбина – Уотсона в нашем случае.

Таблица 12. Вспомогательная таблица для вычисления критерия Дарбина-Уотсона.

t

Х

1

7305,6

1219,304272

6086,342

-

-

37043559,28

2

8943,6

5972,666565

2970,916

-3115,43

9705880,4

8826340,898

3

10830,5

10726,02886

104,5062

-2866,41

8216304,2

10921,54481

4

13208,2

15479,39115

-2271,16

-2375,66

5643777,4

5158155,808

5

17027,2

20232,75344

-3205,56

-934,405

873113,1

10275631,48

6

21609,8

24986,11574

-3376,35

-170,788

29168,426

11399741

7

26917,2

29739,47803

-2822,28

554,0736

306997,55

7965245,52

8

33247,5

34492,84032

-1245,33

1576,95

2486769,9

1550839,573

9

41276,8

39246,20262

2030,647

3275,974

10732003

4123525,493

10

38807,2

43999,56491

-5192,35

-7222,99

52171627

26960460,46

11

46308,5

48752,9272

-2444,39

2747,96

7551285,9

5975022,981

12

55644,0

53506,2895

2137,728

4582,114

20995773

4569882,883

13

61810,8

58259,65179

3551,187

1413,459

1997865,8

12610930,81

14

66689,1

63013,01408

3676,08

124,8928

15598,2

13513564,13

Всего

 

 

 

 

120726164

149983821,86816

Примечание: данные графы 2 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 2 это предсказанное Y взяты из таблицы 3; данные графы 4 остатки взяты из таблицы 10; данные графы 5 получены путем вычитания из последующего значения предыдущего; данные графы 6 получены путем возведения в квадрат графы 5; данные графы 7 получены путем возведения в квадрат графы 4.

Таким образом, получаем из (2.27) что:  

Из таблицы «Значения статистики Дарбина-Уотсона» (Елисеева) определим критические значения критерия Дарбина-Уотсона 1,05 и  для заданного числа наблюдений 14 и числа независимых переменных модели равного 1, уровня значимости α=0,05.

Получаем, что 1,34<0,97<-0,34, это говорит о том, что нет оснований отклонять гипотезу  об отсутствии автокорреляции в остатках.

Проверим наличие гетероскедастичности в остатках регрессии с помощью рангового коэффициента Спирмена. Суть этой проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированы со значением фактора . В таблице 6 показан расчет рангового коэффициента Спирмена.

Таблица 13. Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена.

1

1

3

2

2

6

3

3

14

4

4

8

5

5

9

6

6

7

7

7

12

8

8

4

9

9

11

10

10

2

11

11

5

12

12

13

13

13

10

14

14

1

Всего

105

105

Примечание: данные графы 2 получены путем ранжирования от большего к меньшему графы 4 таблицы 1; данные графы 3 получены путем ранжирования значений взятых по модулю от меньшего к большему графы 4 таблицы 10.

После присвоения х рангов (табл. 6), нужно найти абсолютные разности между ними, возвести их в квадрат и просуммировать, затем значения подставить в формулу (2.25) для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена по каждому фактору.

Таблица 14. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

 

1

2

4

2

4

16

3

11

121

4

4

16

5

4

16

6

1

1

7

5

25

8

-4

16

9

2

4

10

-8

64

11

-6

36

12

1

1

13

-3

9

14

-13

169

Всего

0

498

Примечание: данные графы 2 получены путем вычитания из графы 3 таблицы 13 графы 2 таблицы 13; данные графы 3 получены путем возведения в квадрат графы 2.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для Х равен:

Статистическую значимость коэффициента можно определить с помощью t-критерия (2.26). Таким образом, получаем:

Далее сравним эту величину с табличной величиной, рассчитанной с помощью функции в Microsoft Exel СТЬЮДРАСПОБР при α=0,05 и числе степеней свободы n=2=14-2=12;

Получается что, , тогда принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

Теперь исследуем остатки на наличие нормальности распределения с помощью теста Шапиро-Уилка.

Таблица 15. Расчетная таблица для вычисления статистики W.

 №

 

 

 

 

 

 

1

6086,342

-5192,35

26960460,46

0,7251

-2410,26

2410,9871

2

2970,916

-3376,35

11399741

1,3318

5800,271

-5798,9396

3

104,5062

-3205,56

10275631,48

0,7460

2033,222

-2032,4762

4

-2271,16

-2822,28

7965245,52

0,1802

173,229

-173,0488

5

-3205,56

-2444,39

5975022,981

0,1240

1986,78

-1986,6560

6

-3376,35

-2271,16

5158155,808

0,9727

5406,997

-5406,0241

7

-2822,28

-1245,33

1550839,573

0,0240

1576,95

-1576,9256

8

-1245,33

104,5062

10921,54481

 

 

 

9

2030,647

2030,647

4123525,493

 

 

 

10

-5192,35

2137,728

4569882,883

 

 

 

11

-2444,39

2970,916

8826340,898

 

 

 

12

2137,728

3551,187

12610930,81

 

 

 

13

3551,187

3676,08

13513564,13

 

 

 

14

3676,08

6086,342

37043559,28

 

 

 

Всего

 

 

149983821,9

 

 

-14563,0832

Примечание: данные графы 2 - это остатки из табл.10, данные графы 3 получены путем ранжирования от меньшего к большему графы 2, данные графы 4 получены путем возведения квадрат графы 3, данные графы 5 взяты из табл. [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title], данные графы 6 получены путем вычитания соответствующего, но номеру значения из графы 3, данные графы 7 получены путем умножения  графы5 на графу 6.

Так как


Из таблицы выбираем критическое значение W*, для n=14 и уровня значимости α = 0,05, W*= 0,874. Так как W>W*, то можно утверждать о том, что распределение случайных отклонений нормальное. Все предпосылки МНК выполнены, что говорит о качестве полученных оценок параметров эконометрической модели.

Построим точечный прогноз ВВП на 2014 и 2015 года на основе линейного тренда

X = -3534,06+4753,362t.

Так как мы прогнозируем ВВП на 2014 год, то t = 15, а на 2015 год t = 16. То есть, для 2014 года X = -3534,06+4753,362*15= 67 766,37.

Для 2015 года X = -3534,06+4753,362*16 = 72 519,732.

Рассчитаем доверительные интервалы прогноза: t±tα·, где tα- доверительная величина по критерию Стьюдента;  - остаточная квадратичная ошибка тренда, которая рассчитывается по формуле: , где n – число уровней базисного ряда динамики; m – число параметров адекватной модели тренда [Гладилин А.В. 162стр].

tα находим таблицам распределения Стьюдента [Елисеева 256стр.], уровень значимости в нашем случае 0,05, а число средней свободы n-2=12, значит tкр=2,18.

Для 2014 нижняя граница 60 059,35, а верхняя граница 75 473,42.

Для 2015 нижняя граница 64 812,68, а верхняя граница 80 226,782.

Таблица 16.  Прогнозные значения ВВП В Российской Федерации в млрд, руб

Годы

Нижняя граница прогноза

Точечная оценка прогноза

Верхняя граница прогноза

1

2

3

2014

1

60 059,35

67 766,37

75 473,42

2015

2

64 812,68

72 519,73

80 226,78

Примечание: данные графы 2 и 4 получены путем подстановки в формулу , данные графы 2 получены путем подстановки в уравнение регрессии

X = -3534,06+4753,362t

 

Точечную оценку прогноза уровня безработицы в России получим из уравнения регрессии: y= 9,14695 – 0,00006 x.

В 2014: y = 9,14695 – 0,00006 *67766,37 = 5,08

В 2015: y = 9,14695 – 0,00006*72519,732 = 4,79.

Однако наиболее надежный прогноз предполагает его оценку в интервале. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки то есть  и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения Y*:

S – остаточная дисперсия на одну степень свободы, рассчитываемая по формуле:


S = 2,188.

Ошибка прогноза в 2014 году составит:

Следовательно, нижняя граница прогноза равна: 5,08 – 0,763 = 4,317,

а верхняя граница 5,08 + 0,763 = 5,843.

Ошибка прогноза в 2015 году составит:

Нижняя граница: 4,79 – 0,763 = 4,027.

Верхняя граница: 4,79 + 0,763 = 5,553.

Таблица 17.  Прогнозные значения уровня безработицы В Российской Федерации в %

Годы

Нижняя граница прогноза

Точечная оценка прогноза

Верхняя граница прогноза

1

2

3

2014

1

4,317

5,08

5,843

2015

2

4,027

4,79

5,553

Примечание: данные графы 2 и 4 получены путем подстановки в формулу (2.29); данные графы 3 получены путем подстановки значений в уравнение регрессии y= 9,14695 – 0,00006 x

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Таким образом, в выпускной квалификационной работе, в первой главе рассмотрены основные экономические понятия и теории безработицы, используемые современной экономической наукой. Дана характеристика основных проблем безработицы, рассмотрены виды безработицы, а также показана взаимосвязь между ВВП и безработицей.

        Безработица – обязательный атрибут рыночной системы хозяйства, она неминуема, а в своем «естественном» варианте даже полезна для обеспечения нужной эластичности рынка труда. Решение проблем, выработка достаточно эффективных мер экономической и социальной политики, осуществленных правительством несколько снизили негативные тенденции кризисного периода, обеспечили положительные изменения в структуре занятости и качестве рабочей силы, уровне доходов населения.

        Решение проблем, выработка достаточно эффективных мер экономической и социальной политики, осуществленных правительством несколько снизили негативные тенденции кризисного периода, обеспечили положительные изменения в структуре занятости и качестве рабочей силы, уровне доходов населения.

     Во второй главе «Модель парной регрессии. Описание парного регрессионного анализа» описана методика построения парного регрессионного анализа. Данная модель дает количественное описание связей между экономическими переменным, так же модель позволяет сделать точечный прогноз исследуемой проблемы, то есть безработицы.

    В третьей главе «Построение линейной модели парной регрессии» проведен парный регрессионный анализ зависимости уровня безработицы от ВВП за период с 2000 по 2013 года, построена адекватная модель, показано, что доля объясняющей переменной в эконометрической модели приблизительно составляет 86%, тем самым модель имеет высокую значимость, оценена статистическая зависимость параметров линейной регрессии и корреляции.

Проверена выполняемость всех пяти предпосылок метода наименьших квадратов (МНК). Рассчитан коэффициент эластичности, который показывает статистическую значимость влияющего фактора.

Рассчитаны прогнозные значения безработицы в Российской Федерации на 2014 и 2015 года. В 2014 году прогнозные значения безработицы составляют 5,08%, а в 2015 году 4,79%.  

Таким образом, если опираться на прогнозные значения уровня безработицы Минэкономразвития, которые составляют на период 2014-2015 года 5,7% можно сказать о том, что полученные нами прогнозные значения уровня безработицы приблизительно совпадают с прогнозом Минэкономразвития

Таким образом, все поставленные задачи в работе решены.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Белоусова Л. А. Экономическая теория, Полизнак, Москва 2000 г., стр. 445-500

Елисеева И.И., С. В. Курышева, Т. В. Костеева Эконометрика; под ред. И.И. Елисеева. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2007. – стр. 43, 51, 63, 106, 72, 77

Мэнкью Г. Макроэкономика общая редакция  Р. Г. Емцова и др. Издательство Московского Университета 1994 г. Стр. 57, 199

Никифорова А. А. Рынок труда, занятость и безработица. // М., 2001 г. стр. 201

Прокопов Ф. Т. Безработица и эффективность государственной политики труда в переходной экономике России 1999 год стр. 200, 215

Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика: Учебник.- 6-е изд. испр. и доп.- М: Высшее образование, 2006г. стр. 193, 201

Э.Ферстер, Б.Рену Методы корреляционного и регрессионного анализа Руководство для экономистов М.: Финансы и статистика, 1983г. 304с.  

Фридман А. А. Курс лекций по макроэкономике стр. 289

Фридман М. Количественная теория денег. М., 1996 г. стр. 197

        Федеральная служба государственной статистики (www.gks.ru)

Международная экономическая статистика (www.statinfo.biz)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37449. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО МАРШРУТА ГРУЗОПЕРЕВОЗОК. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1.83 MB
  Mathematica — система компьютерной алгебры разработанная компанией Wolfram Research. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение дву- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука.
37454. Теплоснабжение района города Архангельск 8.09 MB
  20 Расчет расходов сетевой воды по ЦТП.1 Рекомендации по центральному качественному регулированию отпуска теплоты и определению расхода сетевой воды в закрытых системах тепловая нагрузка потребителей ЖКХ более 65 полной нагрузки № Условие Способ регулирования Расход сетевой воды Подключение подогревателей систем ГВС Расчетная тепловая нагрузка для выбора ЦТП см. Квартальные сети присоединены к магистральным трубопроводам через ЦТП. На плане показан источник теплоты магистральные трубопроводы и ответвления к ЦТП узловые теплокамеры УТ...
37455. Философия. Учебник 2.26 MB
  Электронный учебник Философия предназначен для студентов высших и средних специальных учебных заведений. Учебник открывает содержание-меню, состоящее из названий 13 тем. При совмещении курсора с названием темы на экране дисплея возникает страница текста. Кроме шестой все темы представлены в форме системных обучающих модулей. Каждый модуль состоит из основного текста темы и дополнений, куда включены такие элементы, как основные выводы, основные термины в вопросах и ответах на них
37456. Сам себе психолог 406.5 KB
  Вы ощущаете бремя молодости бремя зрелого возраста бремя старости или чеголибо другого особенно если жизнь ваша проходит в эпоху больших перемен.Довольно медвежьих услуг фруктов для консервации лыжных прогулок неинтересных путевок на отпуск навязываемых вам соседями коллегами или родственниками в той ситуации когда вам решительно не хотелось чтолибо консервировать кататься н лыжах или отдыхать в октябре на берегу Балтийского моря.Если вы предпочитаете систематическое чтение главу за главой и если помимо рецептов разрешения...