64626

Распределение средств между предприятиями, ООО «Солнышко», ООО «Алладин», ОАО «Береза», ОАО «Свет», ОАО «Сумки»

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Инвестировать деньги только в один какой-то проект часто может быть не самым прибыльным и надежным вариантом. Причина этого в том что все предприятия дают разную прибыль в зависимости от вложенных инвестиций и кроме того инвестируя лишь один проект шанс потерять свои деньги возрастает во много раз.

Русский

2014-07-09

684.92 KB

3 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО АВТОНОМНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Математические методы в экономике»

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Методы оптимизации (в экономике)»

На тему: Распределение средств между предприятиями,  ООО «Солнышко»,

ООО «Алладин», ОАО «Береза», ОАО «Свет», ОАО «Сумки»

Выполнил:

Студент группы 4111131

№ зач. книжки 5011239

Ахметов Р. Ф.

Проверили:

Профессор, д.ф.-м.н.

А.Г. Исавнин

Ст. преподаватель

Г.Р. Мингазова

Ст. преподаватель

Чуева З. И.

Набережные Челны

2014 г


Содержание

Введение 4

1. Постановка задачи 5

2. Математическая модель 11

3. Решение задачи планирования производства методом линейного программирования. 13

4. Оптимальное распределение финансовых средств методом динамического программирования. 30

Заключение 40

Список использованных источников 3

       


     Введение

В данной курсовой работе была рассмотрена следующая экономическая задача - распределение инвестиций между предприятиями.

Инвестирование - это финансовый род деятельности, связанный с вложением денег для получения в дальнейшем больших сумм (превышающих затраты).2 То есть другими словами вы вкладываете часть (или весь) своего капитала во что-либо, например: в какой-то финансовый проект, предпринимательское дело или же в имущественный объект (строительство жилого дома, покупку яхты и т. п.), с надеждой, что в последствии вы получите гораздо больше. Так же инвестицией можно назвать и вложение денег в банк.

Инвестировать деньги только в один какой-то проект часто может быть не самым прибыльным и надежным вариантом. Причина этого в том, что все предприятия дают разную прибыль, в зависимости от вложенных инвестиций, и, кроме того, инвестируя лишь один проект, шанс потерять свои деньги возрастает во много раз. В таком случае необходимо определить какое количество ресурсов нужно выделить каждому инвестируемому предприятию для максимизации прибыли.

Рассмотрим метод распределения ресурсов на примере распределения ресурсов (денежных средств) между пятью предприятиями разных отраслей. Этот процесс будет осуществлен в два этапа:

1. Нахождение для каждого предприятия соответствующих прибылей при различных объемах финансирования. Используем линейное программирование.

2. Распределение имеющегося объема финансовых ресурсов между предприятиями для получения максимальной прибыли. Используем метод динамического программирования.


  1.  Постановка задачи

В данный момент времени ОАО «Детский Мир» располагает свободными денежными средствами в размере 8 миллионов рублей (R), поэтому руководством компании принято решение заняться инвестированием пяти предприятий:

  1.  Детские и спортивные площадки от компании  ООО «Солнышко»
  2.  Предприятие по производству сантехники ООО «Алладин»
  3.   Мебельная фабрика  ОАО «Береза»
  4.  Производство светильников и люстр  ОАО «Свет»
  5.  Производство сумок ОАО «Сумки»

Эти средства должны быть распределены между предприятиями на закупку оборудования для производства новых видов продукции, привлечения дополнительного рабочего персонала и т.п. Каждое предприятие может получить дополнительный доход в зависимости от количества выделенных ресурсов.

Принято считать, что:

  1.  прибыль каждого предприятия не зависит от вложения средств в другие предприятия;
  2.  прибыль каждого предприятия выражается в одних условных единицах;
  3.  суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Задача состоит в том, чтобы получить оптимальный план распределения ресурсов, то есть нужно определить какое количество средств (R1, R2, R3, R4, R5) необходимо выделить каждому инвестируемому предприятию для получения максимальной суммарной прибыли предприятием-инвестором.

Далее рассмотрим возможные проекты инвестирования.

Игровые площадки от компании «Солнышко»

Предприятие производит 6 видов продукции – горка с пластиковым скатом, домик, качели с турником и 2ух скатной лестницей, карусель четырехместную, качели двухместных и песочницу «Грибок» используя 6 видов ресурса – щит из сосны, металлические детали, детали из пластика, лак, грунтовку и краску.

Имеет собственные финансовые ресурсы в размере 2 500 тыс. рублей.

Все данные о товарах и ресурсах, необходимых для производства, а так же себестоимость единицы продукции цену реализации, прибыль предприятия в следующей таблице 1.1:

Таблица 1. 1. Данные о производстве товаров на предприятии «Солнышко»

ООО «Алладин»

Предприятие производит 6 видов продукции – смеситель общий, смеситель для мойки однорычажный, смеситель для душа, полотенцесушитель, термостатический смеситель, смеситель для мойки двухвитильный, используя 6 видов ресурса – латунь, никель, сталь, эмаль, крепежное соединение, винт.

Имеет собственные финансовые ресурсы в размере 350 тыс. рублей.

Все данные о товарах и ресурсах, необходимых для производства, а так же себестоимость единицы продукции цену реализации, прибыль предприятия в следующей таблице 1.2.:

Таблица  1. 2 Данные о производстве товаров на предприятии ООО «Алладин»

Мебельная фабрика ОАО «Береза»

Предприятие производит 6 видов продукции – стол кухонный, кровать, столик журнальный, скамья со спинкой, столик раскладной, качель навесная, используя 6 видов ресурса – мебельный щит из сосны, краска, декоративные детали, заглушка, пропитка защитная, металлические детали.

 Имеет собственные финансовые ресурсы в размере 500 тысяч рублей.

Все данные о товарах и ресурсах, необходимых для производства, а так же себестоимость единицы продукции цену реализации, прибыль предприятия в следующей таблице 1.3:

Таблица 1.3. Данные о производстве товаров на предприятии ОАО «Береза»

Производство светильников и люстр ОАО «Свет»

Предприятие производит 6 видов продукции – люстра потолочная, светильник потолочный подвесной, настенное бра, настольный светильник, торшер напольный, точечный светильник, используя 6 видов ресурса – металлические конструкции, краска, плафон, патрон, лампочка, провода.

 Имеет собственные финансовые ресурсы в размере 400 тысяч рублей.

Все данные о товарах и ресурсах, необходимых для производства, а так же себестоимость единицы продукции цену реализации, прибыль предприятия в следующей таблице 1.4:

Таблица 1.4. Данные о производстве товаров на предприятии ОАО «Свет»

ОАО «Сумки»

Предприятие производит 6 видов продукции – сумка женская, портфель-сумка, кошелек женский, сумка мужская, клатч, косметичка, из 6 видов ресурсов – натуральная кожа, шелковый подклад, нитки, металлические аксессуары, заклепки. 

Имеет собственные финансовые ресурсы в размере 310 тысяч рублей.

Все данные о товарах и ресурсах, необходимых для производства, а так же себестоимость единицы продукции цену реализации, прибыль предприятия в следующей таблице:

Таблица 1.5 Данные о производстве товаров на предприятии  «Сумки»


  1.   Математическая модель

Для решения задач линейного программирования составляется математическая модель задачи и выбирается метод решения. Математическая модель – это совокупность соотношений, состоящих из линейной целевой функции и линейных ограничений на переменную.

Для определения показателя эффективности каждого предприятия (на этапе динамического программирования) была сформулирована задача планирования производства, математическая модель которой описана ниже.

- целевая функция при условиях:

– целевая функция, являющаяся функцией максимизации прибыли k-ого предприятия:

– прибыль от реализации единицы продукции j-ого вида на k-ом предприятии;

– план производства продукции j-ого вида на k-ом предприятии.

При этом имеют место следующие ограничения:

  1.   – ограничение на объем используемых ресурсов:

– нормы затрат ресурсов для производства единицы продукции j-ого вида на k-ом предприятии;

– первоначальные складские запасы ресурса i-ого вида на k-ом предприятии;

– объем закупаемых ресурсов i-ого вида на k-ом предприятии.

  1.   – ограничение на финансовые ресурсы:

– стоимость ресурса i-ого вида на k-ом предприятии;

, где – объем собственных финансовых ресурсов k-ого предприятия, а – объем выделенных предприятием инвестором финансов k-ому предприятию.

  1.   – ограничение по объему выпускаемой продукции:

– обязательные поставки j-ого вида продукции на k-ом предприятии;

– предельные объемы реализации j-ого вида продукции на k-ом предприятии.

  1.   – условие неотрицательности переменных, так как количество используемого ресурса не может быть отрицательным числом.

Рассмотрим, как будет выглядеть математическая модель планирования производства одного из инвестируемых предприятий (данные берутся из постановки задачи по каждому предприятию).

  1.  Решение задачи планирования производства методом линейного программирования.

Линейное программирование является одним из разделов математического программирования.

Стандартной задачей линейного программирования называется задача нахождения максимального (минимального) значения целевой функции:

 

,

, ,

Каждое ограничение – неравенство определяет полупространство в n-мерном пространстве. Пересечение множества полупространств образует область допустимых решений. Каждой точке этой области соответствует какое–либо значение целевой функции, и задача нахождения оптимального решения сводится к задаче нахождения оптимального значения этой целевой функции. В силу линейности целевой функции на выпуклом множестве целевая функция достигает экстремума на границе области.

Теоретически задача линейного программирования проста. Достаточно найти конечное число вершин многогранника и вычислить в них значения целевой функции. Одним из методов, которые приведут к решению задачи за приемлемое время, является симплекс – метод.

Симплекс - простейший выпуклый многогранник. Симплекс-метод – это метод последнего улучшения (приближения решения к оптимальному). Графически этот метод состоит в таком направленном переборе вершин многогранника условий (ОДР), при котором значение целевой функции возрастает (убывает) от вершины к вершине. Каждой вершине соответствует система уравнений, выбираемая специальным образом из системы неравенств, поэтому вычислительная процедура симплексного метода

состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений. В каждой вершине это решение удовлетворяет определенным свойствам – признакам, согласно этим признакам выбирается направление перехода. Решение симплекс-методом сопровождается составлением симплекс-таблиц. На основе анализа таких таблиц определяется необходимость улучшения решения или отсутствия решения, или находится оптимальное решение.


ООО «Солнышко»

Информация об оптимальном объеме закупаемых ресурсов компанией «Солнышко» представлена в следующей таблице 3.1:

Таблица 3.1Оптимальный объем закупаемых ресурсов компании «Солнышко»:

Информация об оптимальном плане производства продукции компанией «Солнышко» представлена в следующей таблице:

Таблица 3.1 Оптимальный план производства продукции "Солнышко"

Прибыль, полученная предприятием в зависимости от вложенных инвестиций, отражена в следующей таблице 3.3:

Таблица 3.3 Оптимальная прибыль компании «Солнышко»:


ООО «Алладин»

В зависимости от объема инвестиций можно получить следующие решение:


Информация об оптимальном объеме закупаемых ресурсов компанией «Алладин» представлена в следующей таблице:

Таблица 3.4 Оптимальный объем закупаемых ресурсов ООО «Алладин»:

Информация об оптимальном плане производства продукции компанией «Алладин» представлена в следующей таблице 3.5:

Таблица 3.5 Оптимальный план производства продукции "Алладин"

Прибыль, полученная предприятием в зависимости от вложенных инвестиций, отражена в следующей таблице 3.6:

Таблица 3.6 Оптимальная прибыль ООО «Алладин» в зависимости от объема выделенных инвестиций:


ОАО «Береза»

При вложении инвестиций (в предприятие ОАО «Береза»), можно получить следующее решение:

Информация об оптимальном объеме закупаемых ресурсов компанией «Береза» представлена в следующей таблице:

Таблица 3.7Оптимальный объем закупаемых ресурсов для предприятия «Береза»:

Информация об оптимальном плане производства продукции компанией «Береза» представлена в следующей таблице 3.8:

Таблица 3.8 Оптимальный план производства продукции "Береза"

Прибыль, полученная предприятием в зависимости от вложенных инвестиций, отражена в следующей таблице 3.9:

Таблица 3.9 Оптимальная прибыль ОАО «Береза» в зависимости от объема выделенных инвестиций:

ОАО «Свет»

Пример оптимального решения:

Информация об оптимальном объеме закупаемых ресурсов компанией ОАО «Свет» представлена в следующей таблице 3.10:

 Таблица 3.10 Оптимальный объем закупаемых ресурсов для предприятия ОАО «Свет»

Информация об оптимальном плане производства продукции компанией «Свет» представлена в следующей таблице 3.11:

Таблица 3.11 Оптимальный план производства продукции "Свет"

Прибыль, полученная предприятием в зависимости от вложенных инвестиций, отражена в следующей таблице 3.12:

Таблица 3.12 Оптимальная прибыль ОАО «Свет»:

ОАО «Сумки»

При вложении инвестиций в кожгалантерею «Сумки»:

Информация об оптимальном объеме закупаемых ресурсов компанией представлена в следующей таблице 3.13:

Таблица 3.13 Оптимальный объем закупаемых ресурсов «Сумки»

Информация об оптимальном плане производства продукции компанией «Сумки» представлена в следующей таблице 3.14:

Таблица 3.14 Оптимальный план производства продукции " Сумки"

Прибыль, полученная предприятием в зависимости от вложенных инвестиций, отражена в следующей таблице 3.15:

Таблица 3.15 Оптимальная прибыль «Сумки»

    


  1.  Оптимальное распределение финансовых средств методом динамического программирования.

Динамическое программирование – метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми.

Рассматривается управляемый процесс принятия оптимальных управленческих решений (распределения средств между предприятиями). В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния s0 в состояние :

– управление на k-м шаге (k=1, 2, …,n).

В задаче распределения средств между предприятиями – это объем средств, выделяемых k-ому предприятию.

Совокупность всех управлений на каждом шаге называют управлением, переводящим объект S из состояния s0 в состояние . Переход из одного состояния в другое характеризуется некоторым показателем эффективности .

Решение задач динамического программирования – это нахождение множества параметров управленческих решений, обеспечивающее экстремум некоторой целевой функции.

Принцип оптимальности

Каково бы ни было состояние s системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Основное требование, при котором принцип верен – процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Таким образом, решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть – показатель эффективности k–ого шага при всевозможных управлениях .

Схема нахождения оптимального решения по обратной схеме.

Рассмотрим n-й шаг: – состояние системы к началу n-го шага, – конечное состояние, – управление на n-м шаге, – целевая функция (выигрыш) n-го шага.

Показатель эффективности n-ого шага:

.

Агрегированный показатель эффективности (n-1)-ого шага:

.

Агрегированный показатель эффективности первого шага:

.

В результате будут найдены следующие последовательности значений:

Решение задачи распределения ресурсов между предприятиями было выполнено по обратной схеме Беллмана.

Руководство компании «Детский Мир» может принять решение не выделять денежных средств данному предприятию, в этом случае инвестируемое предприятие должно будет рассчитывать лишь на собственные средства. Эти данные отображены в таблице в строке со значением выделенных инвестиций R=0 руб.

Также были получены оптимальные значения прибыли каждого рассматриваемого предприятия в зависимости от объема выделенных инвестиций. В этом случае инвестиции изменяются от 1 до 8 млн. руб (с шагом в 1 млн. руб).

В Таблице 5.1 представлены значения прибыли (Zi(R)), которые были получены путем решения в MathCad задачи планирования производства (методом линейного программирования) для каждого инвестируемого предприятия. Эти значения изменяются в зависимости от объемов вложенных инвестиций R, где:

  1.  ОАО «Солнышко»
  2.  ОАО «Сумки»
  3.  ОАО «Свет»
  4.  ООО «Береза»
  5.  ООО «Алладин»

Таблица 5.1 Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных инвестиций: 

Выделенные инвестиции (руб), R

Прибыль предприятий (руб)

F1(Q) "Солнышко"

F2(Q) "Сумки"

F3(Q) "Свет"

F4(Q) "Береза"

F5(Q) "Алладин"

0

1422457

1363338

1396678

1208441

1165151

1 000 000

1692456

1633338

1676677

1439141

1435152

2 000 000

1962456

1903338

1936676

1669821

1705154

3 000 000

2232455

2173338

2206675

1899835

1975156

4 000 000

2502454

2443338

2476674

2129850

2245158

5 000 000

2772454

2713338

2746673

2359864

2515160

6 000 000

3042453

2983338

3016672

2589872

2785161

7 000 000

3312453

3253338

3286671

2819877

3055163

8 000 000

3582452

3523338

3556671

3049870

3309262


В Таблице 5.2 представлены данные о дополнительном доходе (Zi(R)), которое предприятие-инвестор получит от каждого инвестируемого предприятия в зависимости от объема вложенных инвестиций R.

  1.  дополнительный доход компании «Солнышко»;
  2.  дополнительный доход компании «Сумки»;
  3.  дополнительный доход ОАО «Свет»;
  4.  дополнительный доход ОАО «Береза»
  5.  дополнительный доход ООО «Алладин».

Таблица 5.2 Дополнительный доход предприятий в зависимости от объема выделенных инвестиций:

Выделенные инвестиции (руб), R

Дополнительный доход от проектов (руб)

F1(Q) "Солнышко"

F2(Q) "Сумки"

F3(Q) "Свет"

F4(Q) "Береза"

F5(Q) "Алладин"

0

0

0

0

0

0

1 000 000

269999

270000

279999

230700

270001

2 000 000

539999

540000

539998

461380

540003

3 000 000

809998

810000

809997

691394

810005

4 000 000

1079997

1080000

1079996

921409

1080007

5 000 000

1349997

1350000

1349995

1151423

1350009

6 000 000

1619996

1620000

1619994

1381431

1620010

7 000 000

1889996

1890000

1889993

1611436

1890012

8 000 000

2159995

2160000

2159993

1841429

2144111

Для определения величины дополнительного дохода каждого предприятия необходимо из величины прибыли при соответствующем объёме выделенных дополнительных средств вычесть прибыль в случае, если дополнительные средства не выделяются.

Находим показатели эффективности деятельности каждого предприятия с помощью рекуррентных соотношений Беллмана.

В Таблице 5.3 рассчитаны показатели эффективности (Zi(Q)) инвестируемых предприятий, которые были получены с помощью обратной схемы Беллмана:

  1.  компания «Солнышко»;
  2.  кожгалантерея «Алладин»;
  3.  фабрика «Береза»;
  4.  ООО «Сумки»;
  5.   ОАО «Свет».

Таблица 5.3 Показатели эффективности предприятий в зависимости от объема выделенных инвестиций:

Вычисленные показатели эффективности деятельности каждого предприятия (в зависимости от объема получаемых финансовых средств) в последующем используются для нахождения оптимального распределения средств между предприятиями.

Рассмотрим нахождение показателей эффективности.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности пятого шага: .

– показатель эффективности деятельности предприятия , то есть:

Произведем вычисления значений функции , объединённого показателя эффективности деятельности двух предприятий: по формуле: . Получим:

Произведем вычисления значений функции , объединённого показателя эффективности деятельности трех предприятий:, по формуле: . В ходе решения получим следующие данные:

Произведем вычисления значений функции , объединённого показателя эффективности деятельности четырех предприятий по формуле: . Получим:

Вычисления значений функции , объединённого показателя эффективности деятельности всех предприятий, по формуле :

Из Таблицы 5.2 находим оптимальный план распределения выделенных средств.

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет (руб).

На основании этого значения показателя эффективности можно получить решение задачи:


Таблица 5.4 Показатели эффективности и дополнительный доход предприятия

Таким образом, в результате решения задачи распределения средств между предприятиями получили, что для обеспечения максимальной эффективности деятельности (прибыли) всех предприятий, равной 2 170 009 рублей в месяц:

  1.  ОАО «Сумки» необходимо выделить 1 млн. руб;
  2.  ОАО «Свет» – 1 млн. руб;
  3.  Предприятию ООО«Алладин», согласно оптимальному распределению, необходимо выделить 6 млн. руб.

Проведем сравнительный анализ оптимального и равномерного распределений 8 000 000 рублей. Для этого необходимо найти совокупную прибыль при равномерном распределении:

 

Таблица 5.5. данные о дополнительном доходе предприятий при равномерном распределении.

Выделяемые
ресурсы

«Солнышко»

ООО «Алладин»

ОАО «Сумки»

«Свет»

«Береза»

Совокупный
доход

R

F1

F2

F3

F4

F5

 

1 600 000

431 999

432 000

431 998

369 121

432 002

2 097 120

Подсчитаем разницу, которую мы получили: 2 170 009 - 2 097 120 = 72 889 рублей.

При этом мы получили прибыль равную 2 097 120 рублей.

 


Заключение

Целью данной курсовой работы было решение задачи распределения инвестиций между пятью предприятиями:

1. Детские площадки от компании «Солнышко» ;

2. ООО «Алладин» - предприятие по производству сантехники;

3. ОАО «Свет» - предприятие по производству люстр;

4. Мебельная фабрика ООО «Береза»;

5. Производство сумок «Сумки».

Для решения данной задачи мы применили методы линейного и динамического программирования.

Метод линейного программирования позволил найти оптимальные планы производства продукции, значение прибыли, полученной без дополнительных ресурсов (денежных средств), и значения прибыли каждого предприятия в зависимости от объема выделенных инвестором денежных средств.

Метод динамического программирования позволил определить оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями, который обеспечит предприятию-инвестору максимальную совокупную прибыль.

Оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями, который обеспечит предприятию-инвестору максимальную совокупную прибыль, при вложенных денежных средствах в размере 8 000 000 рублей, выглядит следующим образом:

1. Детские площадки от компании «Солнышко» – 0 руб;

2. . ОАО «Сумки» - 1 000 000 руб;

3. ООО «Свет» – 1000000 руб;

4. ОАО«Береза»  – 0 руб;

5. ОАО «Алладин» –6 000 000 руб.

Объединенный максимальный показатель эффективности равен 3160973,1рублей.

Проведя сравнительный анализ, мы сделали следующий вывод. Прибыль при оптимальном распределении средств между предприятиями равна 2 170 009  рублей. Прибыль при равномерном распределении средств между предприятиями в размере 8 000 000 рублей равна 2 097 120  рублей. Мы получили разницу в размере – 72 889 рублей.


Список использованных источников

  1.  Смирнов Ю.Н., Кучумова Е.В. Экономико-математические модели и методы. Динамическое программирование: Методические указания для самостоятельной работы и выполнения курсовой работы для студентов экономических специальностей. – Набережные Челны: ИНЭКА, 2010. – 39с.
  2.  Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман: Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 407 с.
  3.   «Математическое программирование в примерах и задачах»/И.Л.Акулич, Москва 2004 г. – 317стр.;
  4.  Курс лекций по исследованию операции Мингазова Г.Р., 2013-2014 гг;
  5.  http://uchebnikionline.ru

2  И.Л.Акулич «Математическое программирование в примерах и задачах» Москва.- 2004 г. – Стр. 57


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28728. Император Николай 1 13.69 KB
  Жестокие телесные наказания и холодность привели к тому что в солдатской среде закрепилось прозвище Николая 1 Николай Палкин. Александра Федоровна жена Николая 1 обладающая удивительной красотой стала матерью будущего императора Александра 2. Хотя манифест о вступлении на престол Николая 1 был издан 13 25 декабря 1825 г юридически правление Николая 1 началось 19 ноября 1 декабря. Внутренняя политика Николая 1 отличалась крайним консерватизмом.