64708

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Конспект

Финансы и кредитные отношения

Опционы продажи обратный тип по отношению к опционам купли. Английское название такого опциона put options. Дело в том что покупатель опциона в момент заключения контракта выплачивает эмитенту определенную премию размер которой объявлен заранее и которая выплачивается сразу.

Русский

2014-07-10

3.2 MB

28 чел.

PAGE  111


Коэффициент

дисконтирования      или наращения

при <0

при >0

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

Т

EMBED Equation.3  

0

1

h

h+1

h+2

h+n-1

h+n

Y

t

0

1

h

h+1

h+2

h+n-1

h+n

Y

t

c + ba

S0

а

А0

x + n

x + t

w

x

x + T

TVx

80000

110000

150000

40000

150000

100000

130000

160000

150000

240000

200000

160000

0,2

0,2

0,3

0,4

0,3

0,1

0,8

0,1

0,6

Новосибирский Государственный Технический Университет

К.А.ДЖАФАРОВ

А.В.ШМАКОВ

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Курс лекций

Новосибирск, 2003


Cодержание

Введение

Глава 1. Методология инвестиционно-финансовых расчетов

  1.   Фактор времени в финансовых расчетах
    1.   Процент. Декурсивный и антисипативный проценты
    2.   Виды процентных ставок
    3.   Ставки наращения и учетная ставка. Наращение по простым и сложным процентам
    4.   Номинальная и эффективная ставки процентов
    5.   Дисконтирование по простым и сложным процентам
    6.   Сложная годовая учетная ставка
    7.   Номинальная и эффективная ставки дисконта
    8.   Непрерывное наращение и дисконтирование. Сила роста

1.10.Учет инфляции

1.11.Эквивалентность процентных ставок

Задачи к главе 1

Глава 2. Потоки платежей и финансовые ренты

2.1. Потоки платежей и их классификация

2.2. Аннуитет. Рента и виды рент

2.3. Наращенная сумма и современная стоимость потока платежей

2.4. Отсроченные, m-кратные и непрерывные ренты

2.5. Переменные потоки платежей

2.6. Финансовые ренты в страховании

2.7. Пенсионное страхование

Задачи к главе 2

Глава 3. Анализ кредитных операций. Расчеты амортизации займа

3.1. Анализ кредитных операций

3.2. Расчеты амортизации займа

3.2.1. Амортизация с равными суммами

3.2.2. Амортизация с переменными платежами

Задачи к главе 3

Глава 4. Форфейтные операции

4.1. Цели участников

4.2. Анализ позиции сторон

4.2.1. Анализ позиции продавца

4.2.2. Анализ позиции покупателя

4.2.3. Анализ позиции банка

Задачи к главе 4

Глава 5. Расчеты по формированию рынка ценных бумаг

5.1. Облигации

5.2. Рисковые ценные бумаги

5.3. Классификация опционов

5.4. Модели оценки цены опционов

5.4.1. Дискретная модель Кокса-Росса-Рубинштейна

5.4.2. Биномиальная модель Блэка-Скоулза

5.4.3. Непрерывная модель Блэка-Скоулза

5.4.4. Эмпирический анализ моделей формирования цен на опционы

5.5.Фьючерсные контракты. Фьючерсы

5.6. Анализ рисков операций с ценными бумагами

Задачи к главе 5

Глава 6. Измерение эффективности инвестиций. Анализ рисков инвестиционных проектов

6.1. Показатели эффективности инвестиционных проектов

6.2. Методы анализа рисков инвестиционных проектов

6.2.1. Метод корректировки нормы дисконта с учетом риска

6.2.2. Метод достоверных эквивалентов

6.2.3. Анализ чувствительности показателей

6.2.4. Метод сценариев

6.2.5. Анализ вероятностных распределений потоков платежей

6.2.6. Деревья решений

6.2.7. Имитационное моделирование инвестиционных рисков

Задачи к главе 6

Литература

Ответы на задачи

Приложения

Таблица 1. Коэффициенты наращения  по сложным процентам

Таблица 2. Коэффициенты дисконтирования  по сложным процентам

Таблица 3. Коэффициенты наращения ренты

Таблица 4. Коэффициенты дисконтирования ренты

Таблица 5. Коэффициент амортизации займа

Таблица 6. Значения функции стандартного нормального распределения

Таблица 7. Таблица смертности

Таблица 8. Коммутационные таблицы, мужчины

Таблица 9. Коммутационные таблицы, женщины


ГЛАВА 1

МЕТОДОЛОГИЯ ИНВЕСТИЦИОННО-ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ

1.1 Фактор времени в финансовых расчетах

В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важную роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит: cумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра. Согласно этому правилу  сегодняшние поступления ценнее будущих. Из этого правила следует:

- необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций;

- некорректность (с точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций требует применения специальных количественных методов его оценки.

Методами учета фактора времени в финансовых операциях являются методы наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем.

1.2 Процент. Декурсивные и антисипативные проценты

Слово «процент» - латинское «pro centum», означает «на сотню». С математической точки зрения 1% от a означает сотую долю числа a (например, 5% от a – это 0,05a). С экономической точки зрения «процент» - плата за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженная в сотых долях от исходной суммы.

Существуют два способа вычисления процентов: антисипативный (предварительный) и декурсивный (последующий).

Если процентный платеж начисляется в начале каждого расчетного периода – это антисипативное начисление процентов. Декурсивное начисление процентного платежа производится, если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу в конце каждого расчетного периода.

Декурсивное начисление – наиболее распространенное. Антисипативный способ выгоден при условии высокой инфляции.

1.3 Виды процентных ставок

Получение кредита – распространенная финансовая операция. С количественной стороны она характеризуется временными параметрами и денежными величинами:

– дата выдачи ссуды;

Т – ее срок или период;

– дата погашения ссуды;

– величина выданной ссуды;

– плата за ссуду, процент, процентный доход, абсолютное приращение начального капитала :

где – полная стоимость кредита или наращенная сумма;

– ставка процента, отношение процента к начальной сумме, эффективность вложения:

.

Замечание:  – мы будем выражать в абсолютных единицах или процентах. В последнем случае абсолютное значение i умножается на 100%.

Пример.

а) Кредит выдан на срок Т = 1 год в сумме S(0) = 1 млн. руб. с условием возврата S(1) = 2 млн. руб. Найдем эффективность вложения i(0,1):

, т.е. i(0,1) = 100% .

б) Кредит выдан на сумму S(0) = 3 млн. руб. на срок Т = 1 год под ставку i(0,1) = 50%. Через год наращенная сумма составит S(1) = S(0)(1+i(0,1)) = 4,5 млн. руб.

Основная единица времени (например, год) называется базовой. Временной  интервал, в конце (а иногда – в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или периодом начисления. Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной.

1.4 Ставка наращения и учетная ставка. Наращение по простым и сложным процентам

Рассмотрим сначала простых процентов.

Пусть базовая единица времени равна одному календарному году . Пусть t0 = 0. Предположим, что вкладчик открывает в банке счет до востребования на 1000 руб. при ставке 90% годовых. Проценты простые, т.е. деньги можно снимать в любое время, а проценты на проценты не начисляются. Тогда через 6 месяцев вкладчик может снять  руб., через год – 1900  руб., через 16 месяцев – 2200  руб.

Поэтому, если S(0) зачисляется на вклад под простые проценты по ставке i в год, то плата  банка вкладчику составит . Таким образом, наращенная сумма вклада за t лет составит: . Последняя формула носит название формулы наращения по простым процентам, а  – называется коэффициентом наращения простых процентов (обычно обозначается через А(t)).

Простые проценты применяют в следующих случаях:

а) при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;

б) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода;

в) при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т.д.

Пример. Пусть 3000 руб. выданы в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдем наращенное значение долга в конце каждого месяца.

Пусть S(k) – наращенное значение долга в конце k-го месяца. Так как S(0)=3000, i=0,1, то , k=1, 2, 3, 4, 5, 6.

Простые проценты бывают обычными, когда срок кредита составляет Т = 360 дней, и точными, если Т = 365 или 366 дней. Следовательно, наращенная сумма в произвольный момент  составит , где T = 360, 365 или 366.

Рассмотрим случай, когда простой процент за кредит или другое инвестиционное вложение выплачивается в момент заключения договора сроком на один год, т.е. «вперед». Введем определение годовой учетной ставки.

Определение. Годовой учетной ставкой «вперед» называется отношение процентного дохода за год к наращенной сумме и обозначается через d:

, где .

Из определения очевидно следует теорема.

Теорема. Годовая учетная ставка d для простых процентов «вперед» связана с годовой ставкой i соотношением:

.

Упражнение. Докажите теорему самостоятельно.

Теперь рассмотрим сложные проценты.

Пусть банк выплачивает по сберегательному счету проценты по ставке i в год, причем эта ставка действует два года. Пусть в t0 = 0 вкладчик открывает счет с начальным капиталом S(0), который можно пополнить или закрыть в любое время. Если он закроет через год, то получит сумму: . Пусть он положит эту сумму еще на один год. В конце второго года он получит ,

если же не будет переоформлять свой вклад, то через два года он получит , т.е. на  меньше.

Этот пример показывает необходимость введения понятия сложных процентов, когда исходная сумма увеличивается с каждым периодом начисления (а для простых процентов исходная сумма всегда равна S(0), т.е постоянна). Поэтому наращение по сложным процентам происходит плавно. Присоединение процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов.

Обобщая пример мы получим формулу наращения сложных процентов :

,  n = 1, 2,…

Величина  – называется коэффициентом наращения сложных процентов (обозначается через  А(0, n)).

Пример. Пусть S(0) = 250 руб. вложены на четыре года под сложные проценты при ставке 100% годовых. Тогда наращенная сумма за это время составит

= 4000 руб.

1.5 Номинальная и эффективная ставки процентов

Определение. Годовая ставка  называется номинальной, если соответствующая процентная ставка  за один период начисления  лет составляет ,  m = 1, 2, 3,…Если Т – срок инвестиции в годах, то

.

здесь mT – число периодов начисления за Т лет.

Пример. 10000 руб. инвестированы на два года по ставке 120% годовых. Найдем наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно. Воспользуемся приведенной выше формулой. Здесь руб.,  Т = 2, %

а) m = 1,   руб.;

б) m = 2,  65536 руб.;

в) m = 4,  81573,07 руб.;

г) m = 12,  98497,33 руб.

С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут. Для сравнения реального относительного дохода за один год при начислении процентов один и m раз введем понятие эффективной ставки процента.

Определение. Эффективная годовая ставка  для номинальной  находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:

.  (*)

Замечание. По определению

Из (*) следует, что эффективная ставка  эквивалентна в финансовом смысле ставке , применяемой m раз в году.

Пример. Пусть банк начисляет сложные проценты по номинальной ставке 120%. Тогда при ежедневной капитализации процентов эффективная ставка составит:

, т.е  231,6%,

а при ежемесячной капитализации

, т.е 213,8%.

1.6 Дисконтирование по простым и сложным процентам

Определение. Величина S(t0) называется современным, приведенным или текущим значением будущей суммы S(t0+Т) в настоящий момент t0, которая при инвестировании в начальный момент t0 по ставке i(t0)  процента даст через время Т требуемое наращенное значение S(t0+Т), при этом она может быть выражена следующим образом

, в случае, если – простая ставка процента, и

, в случае, если  – сложная ставка процента.

Операция вычисления современной стоимости будущей суммы денег называется математическим дисконтированием,  величина    дисконтным множителем,  разность  дисконтом суммы S(t0+T) и обозначается через D.

Пример. Кредит выдан на 6 месяцев под 80% годовых с условием вернуть 3000 руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

Предположим, что T = 360 дней, следовательно 6 месяцев = 180 дней. Тогда

руб. Дисконт составит D=857 руб.

Определение. Величина  - называется эффективной ставкой дисконта, где d – годовая учетная ставка.

При заданных S(Т) , 0 и сложной годовой процентной ставке i мы получим следующую формулу дисконтирования:

,

а при годовой номинальной ставке :

1.7 Сложная годовая учетная ставка

Определение. Если годовая учетная ставка d эквивалентна годовой ставке i сложных процентов, то d будем называть сложной годовой учетной ставкой.

Из равенства  следует, что . Теперь, используя равенства , мы получим:  при сложной учетной ставке, где 0<t<T.

Аналогично получается

при простой учетной ставке.

Следовательно, дисконтный множитель выглядит так:

здесь  время до платежа.

1.8 Номинальная и эффективная ставки дисконта

Определение. Пусть дисконтирование производится m раз в год. Тогда соответствующая годовая сложная учетная ставка  называется номинальной, если в начале каждого периода начисления осуществляется дисконтирование по ставке .

При этом формула дисконтирования выглядит так:

.

Определение. Эффективная сложная годовая учетная ставка  для номинального  находится из условия равенства двух соответствующих дисконтных множителей за год:

.

1.9 Непрерывное наращение и дисконтирование. Сила роста

Многие производственные и экономические процессы непрерывны по своей природе и, соответственно, финансовая модель такая же.

Пусть m – периоды начисления, m = 1, 2, 3, … Обозначим через   длину периода начисления;  - годовая ставка. Тогда

, m=1, 2, …, 0<h1.

Обозначим  – номинальную процентную ставку за один период начисления длиной h лет, обозначим .

Коэффициент наращения А(h) за любой период (t, t+h) длиной , на интервале (0, Т) представим в виде

Поскольку h мало, то различие между простыми и сложными процентами мало. Так как А(0)=1, то приращение одной денежной единицы за малое время h будет . Отсюда , т.е. .

При   и номинальная ставка  монотонно убывает, оставаясь положительной. Поэтому у  существует положительное предельное значение, которое обозначается через : .

Определение. Предел номинальной ставки  при  называется силой роста или интенсивностью наращения за один год при непрерывном начислении процентов. Величину можно назвать также номинальной годовой ставкой при непрерывном начислении процентов.

Приведем несколько теорем, которые связывают эффективные и номинальные ставки процентов. Отметим, что вопрос эквивалентности различных ставок будет рассмотрен позже.

Теорема. Эффективная годовая ставка i и номинальная годовая ставка связаны соотношением .

(Доказательство: )

Теорема. Эффективная годовая ставка d дисконтирования и номинальная годовая ставка связаны соотношением:.

Пример. Найти наращенное за 5 лет значение S(0)=106 руб., если оно реинвестируется по постоянной ставке % при 1) m=1, 2) m=2, 3) непрерывно.

руб.;

руб.;

руб..

Теорема. При постоянной эффективной годовой ставке i и номинальной годовой ставке  коэффициент наращения зависит лишь от длины интервала наращения измеренной в годах, и составляет

.

Коэффициент дисконтирования за лет равен

.

Замечание. Отметим, что как при непрерывном, так и при дискретном начислении сложных процентов справедливо:

.

Пример. Сумма 2000 руб. положена в банк под схему непрерывного начисления процентов с постоянной интенсивностью роста =10% за год. Найдем наращенную в конце года t сумму S(t) при t=1, 2, 3, 5 и 10.

Здесь S(t) =2000е0,1t. Подставляя вместо t последовательно значения  t=1, 2, 3, 5 и 10, находим

S(1) = 2210,34; S(2) = 2442,80; S(3) = 2699,71;

S(5) = 3297,44; S(10) = 5436,56.

Заметим, что если функцию  задать на интервале , то при >0 она совпадает с А(), а при  <0 – с v() (см.рис):

.

При этом  - интенсивность наращения за базовую единицу времени.

Пусть А(t, t+h) коэффициент наращения на интервале (t, t+h), и  А(t, t) =1, тогда . Здесь  - мгновенное значение в момент t годовой номинальной процентной ставки, которое зависит не только от длины h интервала наращения, но и от момента t его начала. Поэтому коэффициент наращения А(t, t+h) также зависит не только от h, но и от t. Пусть существует , где  - мгновенное значение интенсивности роста за базовую единицу времени (обычно один год) в момент t.

.

Справедлива следующая фундаментальная теорема.

Теорема. Пусть  и А(t, t) – непрерывные функции времени при  и что в этом интервале выполняется принцип стабильности рынка (см.ниже  Замечание). Тогда при

.

Следствие. Если v(t1, t2) – коэффициент дисконтирования одной  денежной единицы с момента t2 на момент t1, то

.

Замечание. (Принцип стабильности рынка). Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подынтервалов.

 

1.10 Учет инфляции

Инфляция – это процесс падения реальной покупательной способности денег и общего повышения цен внутри страны, который происходит в результате переполнения каналов обращения избыточной денежной массой при отсутствии адекватного увеличения товарной массы. Её необходимо учитывать при проведении среднесрочных и особенно долгосрочных финансовых операций.

Рассмотрим потребительскую корзину из  наименований и примем, что товар или услуга  входит в корзину в количестве  соответствующих единиц, а цена на эту единицу  в момент  составляет  рублей за единицу товара , . Тогда стоимость корзины в момент  будет

.

Определение. Индексом инфляции за время от  до  называется безразмерная величина

,

а темпом инфляции за этот период называется

.

H показывает во сколько раз, а h – на сколько (после умножения на 100) процентов выросли цены за рассматриваемый период.

Теорема. Если t0<t1<…<tn, то индекс инфляции на интервале  равен произведению индексов инфляции на каждом из составляющих  подынтервалов :

.

Отсюда видно, что инфляционный рост некоторой суммы S при годовом уровне инфляции h – то же самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке процентов h. Такие же рассуждения применяются, если вместо года берётся любой другой временной интервал (квартал, месяц, день и т.д.).

Пример. Цены каждый месяц растут на 2%. Требуется определить, выгодно ли предложение банка вложить средства под 25% годовых.

Со своей стороны банк надеется на то, что Вы будете рассчитывать годовой уровень инфляции как .

Между тем, если уровень инфляции составляет 2% в месяц, следовательно, за месяц цены возрастут в (1+0,02)=1,02 раза, а за год – в 1,0212 = 1,268 раза. Значит годовой уровень инфляции достигает (1,268-1)100 = 26,8%. После такого расчета процентная ставка 25% годовых теряет свою инвестиционную привлекательность и может рассматриваться лишь в плане минимизации потерь от инфляции.

Рассмотрим теперь различные случаи задания уровня инфляции. Если известен годовой уровень инфляции h, то за период в n лет (при том, что  и  - целое число лет, - оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции составит следующую величину:

.

В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции hm за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий m таких интервалов, индекс инфляции будет равен

.

Если в обычном случае первоначальная сумма S(t0) при заданной ставке процентов  превращается за определенный период в сумму S(t0+T), то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму Sh, что требует уже иной процентной ставки. Назовем её ставкой процента, учитывающей инфляцию.

Пусть ih – ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;

dh – учетная ставка, учитывающая инфляцию;

jh – номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляцию;

fh – номинальная сложная учетная ставка, учитывающая инфляцию.

Зададим годовой уровень инфляции h и простую годовую ставку ссудного процента i. Тогда для наращенной суммы S(t0+T), превращающейся в условиях инфляции в сумму Sh, используем формулу:

.

Для данной суммы можно записать ещё одно соотношение:

,

а затем составить уравнение эквивалентности:

,

из которого следует, что

.

Мы получили, таким образом, известную формулу И. Фишера, в которой сумма (h+ih) является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.

Пример. Пусть реальная ставка доходности равна 25%, а темп инфляции – 15%. Найти компенсированную ставку процента. . Иногда при проведении анализа хозяйственной деятельности предприятия для подсчета процентной ставки ih к величине реальной ставки доходности просто прибавляют величину темпа инфляции. Очевидно, что при этом предприятие несет значительные финансовые потери. Ведь когда счет идет на десятки миллионов, каждый процентный пункт – это сотни тысяч рублей.

Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период.

Для простых процентных ставок получаем

.

В то же время должно выполняться равенство:

.

Составим уравнение эквивалентности:

,

из которого получаем

.

Для простых учетных ставок аналогичное уравнение эквивалентности будет иметь вид:

;

.

Для случая сложных процентов используем формулу

;

.

Отсюда

.

Если начисление процентов происходит m раз в году, тогда используем формулу

.

Отсюда

.

Таким же образом получаем две формулы для случая сложных учетных ставок:

;

.

Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить зависимость i от ih или любую другую. Например, можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процента, учитывающая инфляцию:

.

Аналогичная формула для случая сложных процентов:

.

Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции выражение (1+h)n, получим формулу

,

отражающую несколько очевидных соображений:

  •  если ich = h (доходность вложений и уровень инфляции равны), то ic=0, то есть весь доход поглощается инфляцией;
  •  если ich<h (доходность вложений ниже уровня инфляции), то ic<0, то есть операция приносит убыток;
  •  если ich>h (доходность вложений выше уровня инфляции), то ic>0, то есть происходит реальный прирост вложенного капитала.

В реальных условиях зачастую разные аналитические агентства опубликовывают различные прогнозные значения темпа инфляции на один и тот же период. Тогда необходимо оценить вероятности этих прогнозов и рассчитывать реальные значения доходов как математическое ожидание дискретной случайной величины – предполагаемого дохода.

Пример. Вклад в сумме 2000 рублей помещен в банковский депозит с первого января с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке i = 6% в месяц. Требуется найти ожидаемый реальный доход вкладчика за год, если в печати опубликованы прогнозы трех организаций о месячном темпе инфляции, согласно которым темп будет постоянным и равен соответственно 0,03; 0,05 и 0,01 для k = 1,2,3. Вкладчик оценивает вероятности этих прогнозов: р1 = 0,3, р2 = 0,5, р3 = 0,2.

Найдем номинальный коэффициент наращения за 12 месяцев Агод = (1+0,06)12=2,01. Инфляция уменьшает реальные значения этих коэффициентов в  раз, т.е.

при ;

при ;

при .

Реальный коэффициент наращения за год составляет

,

т.е. , , , следовательно, доход составит  рублей, т.е. J(1)=2000(1,41-1)=820, J(2)=2000(1,12-1)=240, J(3)=2000(1,78-1)=1560. Отсюда получаем, что ожидаемый реальный доход вкладчика составит  рублей.

Чтобы снизить воздействие инфляции на финансовые результаты деятельности предприятия, необходимо своевременно контролировать уровень рентабельности, закладываемый в продажную цену изделия. Как известно, общая формула рентабельности продаж, рассчитываемой по затратам, имеет следующий вид:

,

где r - рентабельность продаж, в %;

Р - прибыль от реализации продукции (работ, услуг), тыс. руб.;

С - затраты на производство продукции (работ, услуг), тыс. руб.

Чтобы оценить величину рентабельности, закладываемую в цену изделия, необходимо исходную формулу преобразовать. Выручка-нетто от реализации продукции может быть разложена по элементам стоимости:

N=С+P или N=M+U+A+P,

где М - затраты сырья, материалов, покупных изделий и полуфабрикатов;

U - расходы на оплату труда с отчислениями на социальные нужды;

А - амортизация основных средств;

Р - прибыль от реализации

Величина чистого притока денежных средств от реализации (NЧ) на предприятие меньше выручки-нетто от реализации (т.е. за минусом налога на добавленную стоимость, акцизов и аналогичных обязательных платежей) на величину налога на прибыль:

NЧ= M+U+A+(1-γ)P

где γ - ставка налога на прибыль.

Предположим, что материальные затраты и расходы на оплату труда растут в течение производственного цикла одинаковыми темпами. Рост этих элементов за период отражается коэффициентом:

,

где h- темп прироста затрат из-за инфляции за месяц;

t - число месяцев в производственном цикле.

Чистый приток денежных средств от реализации должен позволять оплачивать затраты на производство и реализацию в прежних масштабах (в случае простого воспроизводства), поэтому

или

откуда следует, что

.

Окончательный вид ограничения для рентабельности продаж, рассчитываемой по затратам:

или  или

.

Таким образом, для сохранения простого воспроизводства в условиях инфляции необходимо закладывать в продажные цены на продукцию уровень рентабельности, соответствующий полученному ограничению.

1.11 Эквивалентность процентных ставок

Формулы эквивалентности процентных ставок получаются путем приравнивания двух коэффициентов наращения или дисконтирования. Многие формулы так или иначе встречались нам ранее.

1) Эквивалентность простых процентных ставок

Найдем соотношение между простой ставкой наращения i и простой учетной ставкой d.

.

Если T – срок ссуды в годах, то

.

Если срок ссуды измеряется в днях, тогда подставляя вместо , где K=360, 365, получим необходимые соотношения.

2) Эквивалентность простых и сложных ставок

Пусть i простая ставка наращения и d простая учетная ставка,  сложная ставка наращения и  номинальная ставка. Приведем теперь соотношения.

А. Эквивалентность  и i: 

,

которые получаются из равенства: .

Б. Эквивалентность  и : 

В. Эквивалентность d и  :

Г. Эквивалентность d и : 

3) Эквивалентность сложных ставок

Приведем соотношения эквивалентности для ставок ,  и

где - сложная учетная ставка.

4) Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок

Пусть  - сила роста.

А. Эквивалентность  и : Из равенства  следует, что

Б. Эквивалентность  и :

.

В. Эквивалентность  и : Из равенства  следует, что

.

Г. Эквивалентность двух номинальных ставок  и

Пример. Определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

По условию , а нужно найти эквивалентное значение .

Так как , то  %.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1

  1.  Предприятие получило кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием вернуть 16 млн. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.
  2.  На счете в банке 1,2 млн. руб. Банк платит 12,5% годовых. Предлагается войти всем капиталом в совместное предприятие, при этом прогнозируется удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?
  3.  Вы имеете 10 млн. руб. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?
  4.  Какая сумма предпочтительнее при ставке 9% – $1000 сегодня или $2000 через 8 лет.
  5.  Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления: а) простых и б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды начисления 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.
  6.  Банк предоставил ссуду в размере $5000 на 39 месяцев под 20% годовых на условиях полугодового начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при различных схемах начисления процентов: а) схема сложных процентов; б) смешанная схема (т.е. начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года).
  7.  Какие условия предоставления кредита более выгодны банку: а) 28% годовых, начисление ежеквартальное; б) 30% годовых, начисление полугодовое?
  8.  Что более предпочтительнее – получить $2000 сегодня или $5000 через 8 лет, если коэффициент дисконтирования равен 9%?
  9.  Номинальная годовая ставка процента составляет 60%. Какова эффективная годовая ставка при начислении сложных процентов по полугодиям?
  10.  Какая сумма должна быть инвестирована сегодня для накопления 500 тыс. руб. к концу года при начислении процентов по ставке:

а) 160% годовых в конце каждого квартала;

б) 140% годовых в конце каждого полугодия.

  1.  Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 1 млн. руб., вырос до 1,2 млн. при условии, что начисляются проценты по ставке 25% годовых.
  2.  Финансовый инструмент на сумму 5 млн. руб., срок платежа по которому наступает через 5 лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Какова сумма дисконта?
  3.  Каков ваш выбор – получение $5000 через год или $12000 через 6 лет, если коэффициент дисконтирования равен а) 0%; б) 12%; в) 20%.
  4.  Фирме нужно накопить $2 млн., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?
  5.  Оплата по долгосрочному контракту предполагает выбор одного из двух вариантов: 25 млн. руб. через 6 лет или 50 млн. руб. через 12 лет. При каком значении коэффициента дисконтирования выбор безразличен?
  6.  Пусть современная стоимость $1000, которые истер А должен получить по банковскому депозиту через 2 года при постоянной интенсивности δ, равна удвоенной современной стоимости $600, которые мистер В получит по депозиту через 4 года при том же δ. Найти δ.
  7.  Заемщик В должен уплатить кредитору А по векселю

$1000 на 01.01.00

$2500 на 01.01.01

$3000 на 01.07.01.

Найти современную стоимость долга на моменты а) 01.01.98 и б) 01.04.99 при δ = 0,06 за год.

  1.  Пусть время измеряется в годах и что в ближайшие 5 лет прогнозируется следующее поведение δ(t):

Найти А (0,t) и ν (0,t).

  1.  Пусть δ (t) – кусочно-постоянная функция при t ≥ 0 задается:

Найти коэффициент дисконтирования при ν (0,t) при t ≥ 0.

  1.  Пусть на подынтервале (tj, tj+1) интенсивность роста изменяется по закону δ (t) = δj + (ttj) aj ≥ 0, где aj > 0 на подынтервалах ее уменьшения j = 0,1,…,n-1. Докажите, что при t є (tm, tm+1), m = 0,1,…,n-1

  1.  Пример из лекции: Вклад в сумме 2 млн. руб. помещен на банковский депозит с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке 6% в месяц. Требуется найти реальный ожидаемый доход вкладчика за год, если в печати опубликованы прогнозы трех организаций о месячном темпе инфляции, согласно которым h(н)мес = 0,03; 0,05 и 0,01 соответственно. Вероятности этих прогнозов: р1 = 0,3; р2 = 0,5; р3 = 0,2. Решить эту задачу т.о.: определите среднее значение Ĥгод по всем трем прогнозам, а затем с его помощью вычислить ожидаемый реальный доход вкладчика. Выполните этот расчет, сравните результат с предыдущим и обдумайте, почему результаты не совпадают. Какой из методов расчета кажется Вам более обоснованным?
  2.  Определить реальный доход вкладчика, если сумма 100.000 руб. положена на депозит на 2 года по сложной ставке 50% годовых с ежеквартальным начислением процентом при среднем за полугодие темпе инфляции, равном 20%.
  3.  Пусть сила роста изменяется во времени, следуя определенному закону – непрерывной функции времени: δ (t) = f (t). Найти коэффициент наращения в случаях:

а) δ (t) – линейная функция, т.е. δ (t) = δ (0) + at, где δ (0) – начальное значение силы роста, а – ее прирост;

б) δ (t) – изменяется по геометрической прогрессии, т.е. δ (t) = δ (0) at, a – постоянный темп роста.

  1.  Используя предыдущую задачу найти коэффициент наращения. Если начальный уровень силы роста 8%, процентная ставка непрерывно увеличивается (годовой прирост 20%, т.е. а = 1,2) срок Т = 5 лет.
  2.  Пусть полученные проценты облагаются налогом, и пусть ставка налога на проценты g. По-прежнему S (0) – начальная сумма, S (t) – наращенная сумма до выплаты налогов и пусть Ŝ (t) – с учетом выплаты. Найти наращенную сумму после выплаты налога, если а) i – простая ставка; б) i – сложная ставка.
  3.  Пусть ставка налога на проценты равна 10% (g = 10%). Процентная ставка – 30% годовых; срок начисления – 3 года. Первоначальная сумма ссуды – $1000. Определить наращенную сумму с учетом выплаты налога на проценты.
  4.  Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
  5.  Первоначальный капитал в размере 20 000 000 руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определить номинальную ставку процента и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12%.
  6.  При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кредит выдается на полгода, за которые предполагаемый индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.
  7.  Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 0,9% в месяц выдается кредит на два года по номинальной ставке сложных процентов 15% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.
  8.  Определить, какой реальной убыточностью обладает финансовая операция, если на уровне инфляции 14% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 8% при ежемесячном начислении.


ГЛАВА 2

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

2.1 Потоки платежей и их классификация

Проведение любой финансовой операции порождает движение денежных средств: возникновение отдельных платежей или множества выплат и поступлений, распределенных во времени. В процессе количественного анализа финансовых операций удобно абстрагировать от их конкретного экономического содержания и определить порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF0, CF1,…, CFn. Для обозначения подобного ряда в мировой практике используется термин поток платежей или денежный поток. Отдельный элемент такого числового ряда CFt (cash flow) представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходовании на конкретном временном отрезке.

Характеристиками потока платежей являются:

AVn – будущая стоимость потока за n периодов.

РVn – современная стоимость потока за n периодов.

CFt  - величина потока платежей в периоде t.

2.2 Аннуитет. Ренты и виды рент

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t0, а заканчивается в момент tn, а выплата суммы Yk происходит в момент tk, k=0, 1,…, n, причем .

Определение. Если все выплаты Yk одного знака и происходят через одинаковые интервалы времени , k=1, 2,…, n, то такая последовательность платежей называется финансовой рентой или аннуитетом.

Примерами рент могут служить, например, квартирная плата, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту и т.д. Yk  - называется членом ренты. Если Yk=Y, то рента называется постоянной, в противном случае переменной. Величина  называется периодом ренты или периодом выплат (т.е. календарная длина постоянного интервала между двумя последовательными выплатами), n - календарный срок ренты. Выплата ренты может производится один раз или l раз за год, начисление процентов – один раз или m раз за год. В этом случае ренты называются  дискретными (l, m) – кратными рентами, причем мы рассмотрим только случай l=m. Если выплаты и начисление процентов производятся очень часто (например, еженедельно), то в этом случае ренты называются непрерывными. Если выплата производится в конце каждого периода, то рента называется постнумерандо или обычной, а если в начале периода, то пренумерандо или авансированный. С точки зрения срока ренты делятся на безусловные, когда заранее оговариваются даты первой и последней выплаты, и условные, когда дата первой и/или последней выплат зависит от того, произойдет некоторое событие. Пример условной ренты – пенсия. Если  - то рента называется бессрочной (или вечной). Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то рента называется простой, в противном случае – общей.

2.3 Наращенная сумма и современная стоимость потока платежей

Пусть - базовая единица времени и срок ренты составляет n этих единиц, где n – любое целое число, n1. Пусть каждый член ренты равен Y  руб., а ставка сложного процента за базовую единицу времени равна  i (эффективная ставка). Ренту пренумерандо обозначим  через R0, постнумерандо через R1. Пусть t0 = 0. Временной интервал [0, n) разобьем на n подынтервалов:  [0, 1), [1, 2),…, [n-1, n). Представим себе, что в интервале [k-1, k) выплата постнумерандо происходит в момент k-, а выплата пренумерандо в интервале [k, k+1) – в момент k+, k = 1, 2, …, n-1. Пусть  S0(t) – суммарная стоимость всех выплат ренты R0, приведенная к моменту t, а S1(t) - аналогичная величина для ренты R1, . Для удобства обозначим современную стоимость - РV, наращенную сумму – AV, т.е. РV(R0)=S0(0),  АV(R0)=S0(n), РV(R1)=S1(0),  АV(R1)=S1(n).

Приведя все выплаты к моменту 0, получим

,

,

,

.

так как .

Для стоимости рент с единичными выплатами Y = 1 в международной финансовой практике применяются специальные обозначения. Современную стоимость в момент 0 рент постнумерандо и пренумерандо обозначают (соответственно):

Наращенную стоимость в момент n рент постнумерандо и пренумерандо обозначают (соответственно):

Пример. Кредит в сумме 5 млн. руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i = 1, 3, 5% в месяц. Найдем сумму ежемесячного взноса Y(i) при платеже а) постнумерандо, б) пренумерандо.

а) Для взносов постнумерандо Y1(i) находится из уравнения

Здесь значения  найдены из таблицы значений  (см. приложения, таблица 4).

б) Для взносов пренумерандо Y0(i) находится из уравнения :

,

Здесь  найдены из соотношения  .

Найдем современную стоимость бессрочной ренты:

   (так как )

.

Таким образом современная стоимость даже не ограниченного числа выплат конечна, поскольку далекие деньги мало чего стоят сегодня. При большой инфляции обесценивание далеких денег происходит особенно быстро.

Пример. Пусть ежегодно выплачивается бессрочная рента с Y=106 руб. Найти современную стоимость этой ренты постнумерандо и пренумерандо при годовой ставке i= 5, 10, 100%.

Здесь , , . Так как , то , , . Теперь вычислим и :

млн.руб., =10 млн.руб.,

млн.руб., млн.руб.,

млн.руб., млн.руб.

2.4 Отсроченные, m-кратные и непрерывные ренты

Отсроченная (отложенная) рента. Существует обобщение базовых рент, когда первая из выплат происходит в момент h+  для пренумерандо и h+1-, h>0 – для постнумерандо.

отсроченная на h рента пренумерандо.

отсроченная на h рента постнумерандо.

Определение. Такой поток платежей называется отсроченной на h единиц времени рентой, а его современная стоимость в момент 0 обозначается через  для выплат пренумерандо, и через  - для выплат постнумерандо, n=1, 2,…, h>0. При h=0 отсроченная рента совпадает с базовой.

.

Пример. Клиент желает приобрести в банке ренту с ежемесячной выплатой ему, а в случае его смерти – жене или детям 1000 руб. в последний рабочий день каждого месяца в течение четырех лет. При постоянной ставке i=0,5; 1 и 2% в месяц нужно оценить себестоимость для банка этой ренты на момент продажи для случаев начала выплаты: а) немедленной; б) отсроченной на 1,5 года; в) отсроченной на 3 года.

Для решения нужно вычислить значения величин  для указанных i и h используя таблицу значений . Получим:

h

i

0,005

0,01

0,02

0

42,5803

37,9740

30,6731

18

25,4179

21,5757

15,6811

36

9,7093

7,8665

5,1843

m-кратные ренты. Пусть базовая единица времени равна одному году, при эффективной годовой ставке i производится m  выплат по  руб. каждая, проценты начисляются также m раз, m = 1, 2,… . За n лет общее число выплат - nm, а общая сумма выплат при i = 0 составит n руб.

Для ренты постнумерандо выплаты производятся и проценты начисляются в моменты:

а для пренумерандо – в моменты:

а) Для m-кратных рент постнумерандо коэффициент дисконтирования определяется так: , а коэффициент наращения - .

б) Для m-кратных рент пренумерандо коэффицент дисконтирования определяется так: , а  коэффициент наращения - .

Непрерывные ренты. При непрерывной выплате различие между рентами постнумерандо и пренумерандо исчезает. Современную стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно с постоянной интенсивностью единица, т.е. одна денежная единица за одну единицу времени, при непрерывном начислении процентов с постоянной интенсивностью , обозначим :

 или  .

Пусть h – любое неотрицательное число, не обязательно целое; а  - современная стоимость отсроченной на h единиц времени ренты, выплачиваемой непрерывно с интенсивностью единица на интервале (h , h +n). Тогда

, следовательно.

Аналогично: =  или    .

Легко убедиться в том, что для вечной ренты при >0 имеет место .

2.5. Переменные потоки платежей

Встречаются случаи, когда члены потоков платежей изменяются во времени, что может быть связано либо обстоятельствами объективного порядка, либо случайными факторами. Примером таких потоков являются переменные ренты.

Рассмотрим несколько видов переменных рент.

Рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени

Предположим, что изменения происходят согласно арифметической прогрессии. Например, если выплачивается годовая рента постнумерандо, размеры членов ренты образуют последовательность:

Величина t-го члена ренты

Определим наращенную сумму и современную стоимость ренты. Современная стоимость:

Умножим на (1 + i) и вычтем из обеих сторон:

где an,i – современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1.

Наращенная сумма:

Как влияет на S1(0) абсолютный прирост платежей:

А0 – современная стоимость потока при нулевом приросте (А0 = Yani).

Аналогично

Для рент пренумерандо получим

В частном случае, когда прирост равен величине первого платежа, т.е. Y = a

(m,1) – кратная переменная рента с постоянным абсолютным приростом.

Здесь последовательность выплат:

Отдельный член этого ряда определяется как:

                     t = 1,2,…,mn.

При начислении процентов 1 раз в году для ренты постнумерандо находим:

и

Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Пусть размеры платежей изменяются в геометрической прогрессии. Поток таких платежей: Y, Yq, Yq2,…,Yqn-1, где q - знаменатель прогрессии или темп роста. Для рент постнумерандо ряд дисконтных платежей составляет:

Сумма .

Пусть q = 1+k, где k - темп прироста платежей. Тогда

Наращенная сумма ренты

Для рент пренумерандо получим:

,

(m, 1) - кратная рента с постоянными относительными изменениями членов.

Пусть платежи производятся m раз в год постнумерандо, а проценты начисляются раз в год по ставке i. Последовательность платежей – это геометрическая прогрессия: Y, Yq, …, Yqn-1, где q – темп роста за период. Тогда

Для современной величины такой ренты:

Непрерывные переменные потоки платежей

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Yt = f(t), то общая сумма поступлений за время n равна

Наращенная сумма находится как:

.

Современная стоимость такого потока

.

Здесь необходимо определить конкретный вид функции f(t). Выделяют два вида: линейная и экспоненциальная.

Наращенная сумма:

1) Yt = Y0 + at, где Y0 - начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в которую измеряется срок ренты.

Современная стоимость:

где ā - коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

2) Экспоненциальный рост платежей.

Функция потока платежей Yt = Yeqt, где q - непрерывный темп прироста платежей.

Современная величина:

Нетрудно найти зависимость непрерывных и дискретных темпов прироста процентных ставок:

2.6 Финансовые ренты в страховании

Анализ условных рент – один из фундаментальных разделов страховой математики, результаты которой положены в основу расчетов страховых тарифов. Без этого невозможна деятельность страховых фирм и пенсионных фондов. Расчеты условных рент связаны с вероятностями определенных событий и требуют знания хотя бы элементов теории вероятностей и математической статистики. В процессе создания и распределения страхового фонда формируются доходы, расходы и финансовые результаты страховых операций.

Доходы от страховых операций представляют собой поступление страховых платежей и взносов по различным видам страховок. Страховые платежи образуют фонд текущих поступлений, которые вместе с доходами от нестраховой деятельности составляет валовой доход страховщика. Страховой платеж как основной источник доходов страховщика определяется на основе страхового тарифа (тарифная ставка). Объективной основой тарифной ставки является себестоимость страховой услуги, которая отражает потребность в средствах на формирование страхового фонда и на ведение дела. В условиях рынка на страховой тариф большое влияние оказывает конъюнктура рынка и сложившиеся норма прибыли, в частности процент за банковский кредит. Страхование неизбежно сопряжено с риском, который определяется: частотой страховых событий – количеством страховых случаев, приходящихся на один объект страхования, коэффициентом кумуляции риска – отношением числа пострадавших объектов к числу страховых событий; отношением выплаченного страхового возмещения к страховой сумме всех объектов страхования; тяжестью ущерба (У), которая показывает: какая часть страховой суммы уничтожена: , где В – сумма выплаченного страхового возмещения; n – число объектов страхования; С – страховая сумма; m – число объектов, пострадавших в результате страхового случая.

Финансовая устойчивость страховых операций характеризуется дефицитом средств или соотношением доходов и расходов в целом по страховому фонду. Степень вероятности дефицита средств определяется коэффициентом , где  q – средняя тарифная ставка по всему страховому портфелю (в рублях); n – число застрахованных объектов.

Коэффициент финансовой устойчивости страхового фонда определяется так: , где З – средства запасных фондов;  Д – доход;  Р – расход.

2.7. Пенсионное страхование

Таблицы смертности (см. Приложения, табл. 7)

Таблицы смертности являются источником статистических данных для актуарных расчетов. Таблица смертности – числовая модель, характеризующая процесс изменения численности людей одного пола по возрастам. Основные показатели таблицы смертности:

lx – число доживших до возраста х лет;

qx – вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет;

dх – число умерших в течение года после возраста х лет.

Таблицы смертности составляются на основе демографических данных. При этом данные величины связаны следующими соотношениями:

На основе данных величин получают совокупность вероятностей, являющихся ключевыми для расчетов по страхованию пенсий:

Вероятность прожить хотя бы еще один год лицу в возрасте х лет:

Вероятность дожить до возраста х+п лет для лица в возрасте х лет: .

Вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет: , .

Вероятность умереть в возрасте от х до х+п для лица в возрасте х лет:

, .

Вероятность прожить п лет после возраста х и умереть в следующем году:  

Вероятность умереть в возрасте между х+п и х+п+m для лица в возрасте х лет: ,

Коммутационные функции (см. Приложения, табл. 8, 9)

Коммутационные функции необходимы для сокращения записи и уменьшения трудоемкости расчетов. Часто повторяющиеся в формулах элементы были рассчитаны и табулированы. Их нельзя интерпретировать содержательно. Это вспомогательные величины. Обязательным элементом коммутационной функции является дисконтный множитель

где

i – годовая ставка сложных процентов;

п – срок, за который производится дисконтирование.

Имеется две группы коммутационных чисел. Для расчета тарифов и резервов достаточно коммутационных чисел первой группы (в их основу положено число доживающих). Это функции  .

где w – предельный возраст в таблице смертности (у нас w = 90);

     х – возраст, для которого рассчитывается коммутационная функция.

Полезно знать формулы, связывающие данные функции (находятся из определения функции):

                     

Соответственно в таблицах представлены значения коммутационных функций Dx и Nx, в зависимости от пола, ставки процента и возраста.

Вторая группа коммутационных чисел применяется для оценки степени сбалансированности пенсионных фондов (в их основу положено число умерших). Это функции Сх, Мх и Rх.

,                  

Функции данных групп взаимосвязаны:

,

Страховые аннуитеты

Аннуитет – обобщающее понятие для всех видов страхования ренты и пенсии, означающее, что страхователь единовременно или в рассрочку вносит определенную сумму денег, а затем в течение нескольких лет или пожизненно получает регулярный доход. Отличие страховых аннуитетов в том, что платежи зависят от некоторого условия (достижения определенного возраста, наличием стажа и др.). Следовательно, выплаты не безусловны, а имеют некоторую вероятность. Термины «страховая пенсия» и «страховой аннуитет» часто используются как синонимы.

Основным принципом при определении стоимости страховых аннуитетов является принцип эквивалентности обязательств страховщика и страхователя. Этот принцип реализуется приравниванием нетто-премии, которую получает страховщик к сумме выплачиваемых пенсий. Математически данный принцип можно записать как     

где E(S) – математическое ожидание премии;

     Е(А) – математическое ожидание выплат.

Для определения стоимости аннуитета необходимо дисконтированием. Современная стоимость аннуитета, состоящего из периодических платежей размера S при условии, что выплата определяется вероятностью дожития пенсионера до соответствующего возраста (nPx) составит:  Легко увидеть, что  – математическое ожидание современной величины выплаты пенсии через n лет.

В страховании принято считать стоимостью аннуитета современную величину страховых выплат при условии, что S = 1, т.е. стоимость аннуитета равна . Принцип эквивалентности здесь выражается в равенстве нетто-ставки современной стоимости выплаты 1 рубля страхового возмещения через n лет. Соответственно используется стоимость аннуитета для лица в возрасте х лет при выплате 1 рубля. Т.е. мы определяем сумму, которой обеспечивается выплата пенсии по заданной схеме с платежами в размере 1 рубль.

Страхование на дожитие (предусматривает одноразовую выплату страховой суммы при достижении застрахованным оговоренного возраста). Контракт заключается в возрасте х лет, выплата происходит в возрасте x + n лет. Современная стоимость страхового возмещения в 1 рубль: . Данную сумму денег мы должны внести, чтобы через n лет получить пенсию в размере 1 руб. Соответственно, если мы хотим получить пенсию 100 руб., то взнос должен составить 100nEx. Это простейший вариант пенсионного страхования, выступающий отдельной веткой в классификации возможных форм страхования. Представим данную классификацию.

Признак

Возможные значения для аннуитета

Срок выплат

пожизненные

срочные

Начало выплат

немедленный

отложенный на n лет

отложенный на L лет

Момент выплат

пренумерандо

постнумерандо

Периодичность выплат

раз в год

раз в полугодие

раз в квартал

ежемесячно

Пожизненные пенсии означают, что пенсии выплачиваются пожизненно по достижении определенного возраста.

Срочные пенсии означают, что пенсии выплачиваются в течение оговоренного срока после достижения возраста выплат.

Отложенная выплата означает, что пенсии выплачиваются спустя n лет после заключения контракта или с возраста L лет.

Выплаты пренумерандо означают, что выплаты производятся в начале периода, постнумерандо – в конце.

Каждый аннуитет описывается полным набором характеристик.

Рассмотрим аннуитеты с периодичностью раз в год.

Немедленный пожизненный страховой аннуитет постнумерандо: (пожизненные выплаты в конце каждого года с момента заключения контракта).

w = 90 (максимальное значение х в таблице смертности);

х – возраст страхуемого.

Отложенный до L лет пожизненный аннуитет постнумерандо: (пожизненные ежегодные выплаты в конце каждого года, начиная с возраста L).

В современном законодательстве РФ принято для мужчин L = 60, для женщин L = 55 (для ПФРФ).

Отложенный на n лет пожизненный аннуитет постнумерандо: (пожизненные ежегодные выплаты в конце каждого года спустя n лет после заключения контракта).

Немедленный срочный страховой аннуитет постнумерандо: (пенсия выплачивается в течение срока k ежегодно в конце каждого года после заключения контракта).

Отложенный до L лет срочный аннуитет постнумерандо:

Отложенный на n лет срочный аннуитет постнумерандо:

Немедленный пожизненный страховой аннуитет пренумерандо: (пожизненные ежегодные выплаты в начале каждого года с момента заключения контракта).

Отложенный до L лет пожизненный аннуитет пренумерандо:

Отложенный на n лет пожизненный аннуитет пренумерандо:

Немедленный срочный (выплата в течение k лет) аннуитет пренумерандо:

Отложенный до L лет срочный аннуитет пренумерандо:

Отложенный на n лет срочный аннуитет пренумерандо:

Теперь рассмотрим стоимость аннуитета с выплатами m раз в год. Обозначим их аналогично годовым аннуитетам, но добавив верхний индекс (m). Например, немедленный срочный аннуитет пренумерандо будет обозначаться как  Очевидно, что между аннуитетами сохраняются некоторые соотношения. Например,  и так далее. Приведем формулы для расчета аннуитетов с выплатами m раз в год. Ясно, что аннуитеты с ежемесячными выплатами – частный случай при m = 1.

Пример. Пусть мужчина заключает контракт пенсионного страхования в 20 лет с условием, что ему будут выплачивать пожизненную пенсию пренумерандо раз в год. Годовая ставка процентов для вкладов ПФ равна 9%. В данном случае стоимость аннуитета будет равна:

Т.е. если он хочет получать пенсию в размере 1000 руб., то она обеспечивается в среднем суммой 173,27 руб. и начисленными процентами.

Страховые премии

Нетто-премия рассчитывается, исходя из принятой величины выплат, путем умножения нетто-ставки на размер пенсии. Нетто-ставка рассчитывается на основе принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя. Страхователь выплачивает страховщику брутто-премию, или сумму превышающую нетто-премию на величину нагрузки, включающей расходы по ведению дела, нормативную прибыль, рисковую надбавку. Нагрузка может быть включена следующим образом:

где Тх – брутто-премия;

Пх – нетто-премия;

и коэффициенты, один из них может быть равен 0.

Основной задачей, следовательно, является определение нетто-премии.

Нетто-премия при единовременном взносе

Если выплаты премии производятся единовременным платежом в момент заключения контракта, то нетто-премия равна стоимости страхового аннуитета. Получаем следующие нетто-ставки пенсий:

Пенсия

Пренумерандо

Постнумерандо

Немедленная пожизненная пенсия

Пх = ах

Пх = ах*

Отсроченная до возраста L пожизненная пенсия

Пх = (L)ах

Пх = (L)ах*

Отсроченная на n лет пожизненная пенсия

Пх = nах,k

Пх = nах*

Немедленная срочная пенсия

Пх = ах,k

Пх = ах,k*

Отсроченная до возраста L срочная пенсия

Пх = (L)ах,k

Пх = (L)ах,k*

Отсроченная на n лет срочная пенсия

Пх = nах,k

Пх = nах,k*

Аналогично определяются нетто-премии для выплат m раз в году.

Нетто-премии при расчете взносов

Часто страховые премии выплачиваются в рассрочку. Такие страховые платежи так же представляют собой страховые аннуитеты. Пусть страхователь выплачивает в начале каждого года в течение t лет премии в сумме Рх. Их современная стоимость с учетом вероятностей дожития составит:

t – общий срок выплат премии в годах,

х – возраст страхователя в момент заключения контракта.

Исходя из принципа эквивалентности обязательств  т.е.

где Ах – современная стоимость пенсии (стоимость пенсионного аннуитета).

Отсюда нетто-премия за год составит  (для случая выплаты премии в начале года).

На основе аналогичных рассуждений получим годовые ставки нетто-премий.

пожизненные пенсии пренумерандо с взносами, выплачиваемыми в начале года

Выплата пенсий с возраста L лет

 

Отложенные на n лет пенсии .

Выплата пенсии сразу после окончания рассрочки (t = n)

срочные пенсии пренумерандо с взносами, выплачиваемыми в начале года

Выплаты с возраста L лет

Отложенные на n лет

Для пенсий постнумерандо используются соответственно вместо Ах аннуитеты постнумерандо.

Если взносы выплачиваются в конце года, то нетто-премия равна . Данные выражения легко выводятся. Пожизненные пенсии пренумерандо, отложенные на n лет с взносами, выплачиваемыми в конце года, например, выводятся так:

 

При выдаче пенсий и взносов m раз в году при выводе формул отталкиваемся соответственно от равенств:

и

Пример. Путь пенсия выплачивается пожизненно, начиная с 60 лет, мужчине. Выплаты осуществляются 12 раз в год в конце месяца. Взносы назначаются в начале каждого квартала 4 раза в год в течение 40 лет. Контракт заключается в 20 лет, i = 9%. Каков размер нетто-ставки?

,   ,

Если желаемая пенсия 1000 руб. в месяц, то в год должна выплачиваться премия 15 руб., каждый квартал выплачивается четверть данной суммы.

Пенсионный резерв

Резерв необходим, чтобы соблюсти точный баланс между премиями и выплатами. Страховой резерв определяется как разность современной стоимости выплат, которые обязан осуществлять страховщик, и современной стоимости будущих взносов страхователя.

где TVx – резерв страховых выплат в момент Т после начала страхования,

Ax+T – современная стоимость страховых выплат, осуществленных после взноса х + Т,

Pxax+T – современная стоимость будущих взносов страхователя.

Резерв при единовременной уплате нетто-премии

В этом случае страхователь в будущем не несет никаких обязательств, и резерв равен современной стоимости ожидаемых страховых выплат. В случае страхования х лет на дожитие до x + n лет, в некоторый промежуточный момент х + Т резерв будет составлять

(поскольку оставшийся до выплаты срок равен nT).

Для страхования пенсий общий срок контракта можно разбить на 3 интервала (при условии, что нетто-премия выплачивается единовременно, в момент х + Т резерв равен стоимости пенсионного аннуитета на этот момент).

В первом интервале, до начала выплат пенсий (T < n) резерв равен

Во втором периоде происходит выплата пенсий (T = n) резерв равен

На третьем интервале после начала выплаты пенсий (T > n) резерв равен

Аналогичны формулы для срочных пенсий (срок выплат равен k годам):

Для момента T < n  

Для момента T = n  

Для момента T > n  

Резерв при рассрочке выплат премии

Действие страхового полиса в этом случае делится на несколько этапов. Пусть пенсия выплачивается с возраста x + n, рассрочка премий занимает t лет. (t < n).

На этапе (x, x + t) поступают нетто-премии и происходит ускоренное накопление средств.

(для пожизненных пенсий), Рх – взнос премии.

(для срочных пенсий).

На этапе (x + t, x + n) сумма накоплений увеличивается только за счет наращения процентов.

(для пожизненных пенсий).

(для срочных пенсий).

На этапе (x +n, w) для пожизненной пенсии или (x + n, x + n + k) средства идут на выплату пенсий.

(для пожизненных пенсий).

(для срочных пенсий).

В возрасте w (или x + n + k) накопления должны быть полностью использованы. В этом состоит принцип эквивалентности обязательств. При этом картину резерва можно представить следующим образом (рис. 1).

Если пенсии и премии выплачиваются m раз в году, вместо соответствующих годовых аннуитетов берутся стоимости аннуитетов с выплатами m раз в году.

Пример. Найдем оценку резерва в 45 лет для 40-летнего мужчины при условии, что срок выплат пенсии ограничен 15 годами, а взносы премии производятся в течение 10 лет (t = 10, k = 15, T = 5).

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2

  1.  На ежеквартальные взносы в банк в размере 100 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет 12% годовых: а) раз в год; б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?
  2.  На взносы в банк каждые полгода в течение 5 лет по $1000 по схеме пренумерандо банк начисляет проценты по ставке 12% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?
  3.  Раз в полгода делается взнос в банк по схеме пренумерандо в размере $500 на условии 8% годовых, начисляемых каждые 6 месяцев. Какая сумма будет на счете через 5 лет? Как изменится эта сумма, если проценты будут начисляться раз в год?
  4.  Проанализируйте 2 варианта накопления средств по схеме аннуитета постнумерандо. План 1: вносится вклад на депозит $500 каждые полгода при условии, что банк начисляет 8% подовых с полугодовым начислением процентов. План 2: делается ежегодный вклад в размере $1000 на условиях 9% годовых при ежемесячном начислении процентов. Определите:

а) какая сумма будет на счете через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?

б) изменится ли ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8,5%?

  1.  Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50 000 д.е. с последующим ежегодным наполнением суммами по 10 000 д.е. Ставка по депозиту равна 10% годовых. Найти величину фонда к концу 4-го года.
  2.  Корпорация планирует покупку земельного участка, стоимость которого равна 100 000 руб. Какова должна быть величина взноса для создания соответствующего фонда в течение 10 лет, если ставка равна а) 5%; б)10%; в) 12%?
  3.  Сколько лет понадобится для выплаты долга в 10 000 д.е. равными платежами по 2309,75 д.е. при процентной ставке в 5%?
  4.  За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в 5 раз по сравнению с годовой суммой взносов, если последние осуществляются непрерывно и равномерно в пределах года? На взносы начисляются проценты, сила роста 8%.
  5.  Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн. руб. Последующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн. руб. Начисление процентов производится по ставке 20% годовых. Срок выплат – десять лет. Найти современную стоимость и наращенную сумму.
  6.  Сбыт продукции будет увеличиваться в течение 2-х лет – каждый квартал на 25 млн. руб. Определить наращенную сумму к концу срока при условии, что поступление денег – постнумерандо.
  7.  В задаче 9 пусть члены ренты увеличиваются каждый год на 12%. Найти наращенную сумму и современную стоимость.
  8.  В задаче 11 пусть условия те же. Какой должен быть ежегодный прирост, который не изменит величину современной стоимости?
  9.  В течение 3 лет намечается увеличивать ежегодно выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска – 10 млрд. руб. Определить суммарный стоимостной объем выпуска с начислением процентов – сила роста 8%.
  10.  Капиталовложения составят 1000 млн. руб., начальная отдача от них оценивается в сумме 300 млн. руб. в год. Предположим, что отдача будет непрерывно увеличиваться в течение всего периода эксплуатации (5 лет) – по 10 млн. в год. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста и годовой процентной ставки?
  11.  Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если Y = 100, i = 7% и n = 3 года.
  12.  Найти вероятность двадцатилетнего мужчины дожить до 40 лет.
  13.  Найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 20 лет. Пусть процентная ставка – 9%.
  14.  Найти величину премии в виде доли от страховой суммы для 20-летнего мужчины при немедленном пожизненном страховании жизни.
  15.  Найти стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для 20-летнего мужчины:

а) при ежегодной выплате 1 тыс. руб.;

б) при ежемесячных выплатах.

  1.  Определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 20 лет. Размер годовой пенсии 10 000 руб., выплата пренумерандо с 60 лет пожизненно.

а) Отложенный пожизненный аннуитет пренумерандо;

б) Если бы пенсия страховалась в 60 лет, то аннуитет немедленный.

  1.  Пусть 20-летний мужчина вносит премию в рассрочку в течение 5 лет, пенсия пожизненная в размере 10000 р. в год. Оба потока платежей (премия и выплаты) пренумерандо. Найти размер премии.
  2.  Пусть выплаты пренумерандо мужчине должны производиться в размере 10000 р. в год. Если i = 9%, n = 15. Найти необходимый размер разового взноса.

б) если это страховая пенсия, то стоимость 15-летней выплаты пенсии в 60 лет составит 10000.


ГЛАВА 3

АНАЛИЗ КРЕДИТНЫХ ОПЕРАЦИЙ. РАСЧЕТЫ АМОРТИЗАЦИИ ЗАЙМА

3.1 Анализ кредитных операций

Кредитная система – это совокупность кредитно-финансовых институтов, действующих на рынке ссудных капиталов и осуществляющих аккумуляцию и мобилизацию денежного капитала. Кредит – есть движение ссудного капитала, т.е. денежного капитала, который отдается в ссуду на условиях возвратности за определенный процент. Кредит выполняет следующие функции:

аккумуляцию и мобилизацию денежного капитала;

перераспределение денежного капитала;

экономию издержек;

ускорение концентрации и централизации капитала;

регулирование экономики.

Существует две основные формы кредита: коммерческий и банковский.

Коммерческий кредит – представляется одним функционирующим предприятием другому в виде продажи товаров с отсрочкой платежа. Орудием такого кредита является вексель, оплачиваемый через коммерческий банк.

Банковский кредит –предоставляется банками и другими кредитно-финансовыми институтами юридическим лицам, населению, государству иностранным клиентам в виде денежных ссуд.

Формы банковского кредита:

1) Потребительский кредит – предоставляется торговыми компаниями, банками и специализированными кредитно-финансовыми институтами для приобретения населением товаров и услуг с рассрочкой платежа. С помощью такого кредита реализуются товары элитного пользования (автомобили, холодильники, мебель, бытовая техника). Срок кредита составляет 3 года, процент от 10 до 25.

2) Ипотечный кредит – выдается на приобретение либо строительство жилья, либо покупку земли. На западе распространен чаще (проценты от 15 до 30, может быть и более).

3) Государственный кредит – а) государственные кредит - кредитуются некоторые секторы экономики; б) государственный долг - государство заимствует денежные средства у банков и т.д. на рынке капиталов для финансирования бюджетного дефицита и государственного долга.

4) Международный кредит – он носит частный или государственный характер. Он функционирует на принципах возвратности, срочности, плотности, обеспеченности, целевого характера за счет внешних и внутренних источников.

Формы международного кредита:

по источникам (внутреннее и внешнее кредитирование внешней торговли);

по назначению (коммерческие, финансовые, промежуточные и т.д.);

по видам (товарные, валютные);

по валюте займа (в валюте страны-должника, в валюте страны-кредитора);

по срокам (сверхсрочные (сутки, недельные, до 3 месяцев), краткосрочные (до 1 года), среднесрочные (от 1 до 5 лет), долгосрочные (>5 лет));

по обеспеченности (обеспеченные, бланковые);

с точки зрения предоставления (наличные, акцептные, депозитные сертификаты, облигационные займы, консорциальные кредиты).

3.2 Расчеты амортизации займа

В банковской практике  погашения кредита часто называют амортизацией займа. Амортизация займа – это постепенное погашение кредита путем периодических взносов по заранее утвержденному плану погашения (плану амортизации).

Способы амортизации займа:

долг может погашаться одинаковыми или изменяющимися частями (возрастающими или уменьшающимися в геометрической или арифметической прогрессии). Плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, может выплачиваться отдельно.

аннуитетами, содержащими выплату основного долга и процентный платеж.

Естественно, в каждом отдельном случае выбирается способ амортизации займа, наиболее удовлетворяющий заемщика и кредитора.

Замечание. Мы будем приводить расчеты амортизации займа при декурсивном метода расчета процентов, как наиболее распространенном.

3.2.1 Амортизация займа равными суммами

Амортизация займа равными аннуитетами при декурсивном методе расчета означает, что заем погашается в конце каждого расчетного периода постоянной величиной, т.е. сумма выплат основного долга и процентов по нему постоянна в течение всего периода выплаты. Сумма всех дисконтированных аннуитетов на протяжении всего срока погашения долга равна величине займа К. Если кредит выдан в начале года равными аннуитетами и продолжается n лет, это можно представить следующим образом.

Величина наращенной суммы постнумерандо за n лет:

,   (*)

где Y – выплаты без процентов.

(см. формулу  , стр.  ).

В конце периода выплаты составят: долг плюс проценты. Пусть  - первая выплата. Поскольку d – годовая учетная ставка, то , где  называется коэффициентом амортизации или погашения задолженности (см. таблицу 5). Определим а:

Из  и , используя равенство получаем   и подставляем в (*):

Отсюда:

,

следовательно, коэффициент амортизации займа, обозначаемый через , определяется так:  = . .

Коэффициент амортизации показывает величину аннуитета при погашении кредита в одну денежную единицу.

Если заем погашается равными аннуитетами, то выплата растет в геометрической прогрессии.

Первая выплата  определяется по формуле:.

Последующие выплаты определяются  по формуле:

,

а процентный платеж:

.

Оплаченная часть долга Ok в каком-либо расчетном периоде k равна сумме выплат, которые уже получены кредитором до этого периода, и определяется по формуле

.

Остаток долга Rk после выплаты k первых аннуитетов можно рассчитать, если из займа К вычесть оплаченную часть займа Ok: .

3.2.2 Амортизация займа переменными аннуитетами.

Возможна ситуация, когда погашения займа осуществляется разными выплатами основного долга. В этом случае:

,

где Rk-1 – остаток долга перед k-м платежом , k=1, 2, …n.

В случае изменения (долга) выплат по арифметической прогрессии первая выплата рассчитывается по формуле:, где p – разность между двумя последовательными выплатами. Знак «+» или «-» зависит от выбранного порядка вычисления. Выплата долга в k-м году находится из равенства

Пример. Заем величиной 10000 руб. амортизируется в течение пяти лет ежегодными выплатами постнумерандо, которые каждый раз а) увеличивается на 500 руб.; б) уменьшается на 500 руб. При годовой процентной ставке 6% составьте план амортизации займа.

а) Здесь  Вычислим первую выплату . Теперь составим план амортизации, используя вышеуказанные формулы

На конец года

Долг и остаток долга

Процентный платеж

Выплата

Аннуитет

0

10000

1

9000

600

1000

1600

2

7500

540

1500

2040

3

5500

450

2000

2450

4

3000

330

2500

2830

5

0

180

3000

3180

б) Составьте план амортизации самостоятельно.

Если выплаты изменяются в геометрической прогрессии, заем можно рассчитать по формуле:

, когда q>1, и , когда q<1,

где q – знаменатель геометрической прогрессии.

Найдем первую выплату:

, когда q>1, и  , когда q<1.

Последующие выплаты находятся из уравнения:

Пример. Заем величиной 20000 руб. амортизируется в течение пяти лет ежегодными выплатами постнумерандо, которые а) увеличиваются на 5%, б) уменьшаются на 5%. Процентная ставка 10%. Составим план амортизации.

Составим план амортизации для случая:

а)  Тогда:

руб.

План амортизации выглядит так:

На конец года

Долг и остаток долга

Процентный платеж

Выплата

Аннуитет

0

20000

1

16380,5

2000

3619,5

5619,5

2

12580,025

1638,051

3800,475

5438,525

3

8689,527

1258,002

3990,498

5248,5

4

4399,504

858,952

4190,024

5048,976

5

439,951

439,951

4839,459

61949,556

6194,956

21694,956

б) Составьте план амортизации самостоятельно, взяв q=0,95.

Изменяться может процентная ставка, срок погашения кредита, или частота капитализации процентов, или и то, и другое, и третье. В результате изменяется аннуитет. Изменение условий амортизации займов называется «конверсией займа». Наиболее распространенный способ изменения условий амортизации займа является так называемая консолидация кредита или объединение нескольких кредитов в один.

При существовании долгосрочных займов обычно различают номинальную и эффективную величину займа. Номинальной величиной займа называется требуемый размер кредитных средств по расчетам заемщика. Однако, если банк вместо К требуемых денежных единиц выдает Кэ единиц, величина Кэ называется эффективной суммой займа. Величинам К и Кэ соответствуют две процентные ставки: номинальная () и эффективная (iэ).

Эффективная величина займа, выраженная в процентах от номинальной суммы займа, называется курсом займа. Его обозначают через С, получим:

.

Так как заем равен сумме дисконтированных аннуитетов, то

,

где  m – количество капитализации в год.

Отсюда:

. .

Курс займа зависит от срока погашения, номинальной и эффективной процентных ставок и не зависит от величины займа.

Для выбора займа требуется вычислить аннуитеты и сравнить их между собой. Наиболее выгодным будет предложение займа, у которого аннуитет меньше.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3

  1.  Долг в сумме 10000 руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 5% годовых. Составьте план амортизации займа.
  2.  Пусть долг равен 10000 р. и выдан под 10% годовых. Для погашения долга предполагается выделять сумму порядка 2000 р. в год. Оценить величину срока, необходимого для погашения задолженности.
  3.  Долг в размере 10000 р. решено погасить по специальному графику за 4 года – размеры расходов по погашению долга по годам: 4000, 2000 и 3000. Остаток выплачивается в конце четвертого года. План погашения составьте при условии, что ставка процента по долгу составляет 10%.
  4.  Пусть выплаты по займу уменьшаются каждый год на 10%. Общий срок погашения – 5 лет; первоначальная сумма долга – 10000 руб.; ставка процента по долгу – 5%. Составьте план амортизации займа.


ГЛАВА 4

ФОРФЕЙТНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Форфейтные операции осуществляются при продаже крупных объектов – крупной партии товара, предприятия, самолета и т.д. В момент покупки у покупателя нет достаточного количества денег, а продавец должен получить их сразу, и не может продать товар в кредит. Тогда покупатель выписывает комплект векселей суммой, равной стоимости приобретаемого товара плюс проценты за кредит, который вроде бы предоставляет покупателю продавец. После получения векселей продавец кладет их в банк без права использовать их, и получает деньги. Покупатель перечисляет платежи по векселям частями в течение будущего времени. Таким образом, банк предоставляет кредит и берет весь риск на себя.

4.1 Цели участников

Целью Продавца является получение по векселям сумму, соответствующую оговоренной цене. Если получаемая сумма от банка меньше, чем эта цена, то продавец увеличит цену за товар, либо увеличит плату за кредит. Форфейтная операция обеспечивает продавцу кредит за счет банка, получить деньги сразу, тем самым устранить риск неполучения платежей от покупателя и риск, связанный с колебанием процентных ставок. А так же сократить расходы, связанные с организацией кредитования, страхования.

Целью Покупателя является приобретение товара с наименьшими издержками. Форфейтная операция дает возможность покупателю приобрести товар в кредит, который предоставляется банком, а не продавцом.

Целью Банка является увеличение оборота средств и получение прибыли. Для банка это обычно операция учета векселей. Эффективность зависит от размеров учетной ставки и количеством векселей.

4.2 Анализ позиции сторон

4.2.1 Анализ позиции продавца.

Определение суммы векселя. Продавец должен получить в банке сумму по векселям. Сумма по векселю (Vt) состоит из суммы, погашающей долг (т.е. цена товара плюс проценты за кредит).

Ставка процента за кредит определяется двумя способами.

I способ.  Проценты на остаток задолженности. Срок начисления погашения начинается с момента погашения предыдущего векселя;

II способ. Проценты на сумму долга, включенную в вексель. Срок начисления производится от начала сделки до момента погашения векселя.

Применяются оба способа, если долг погашается равными суммами. Обозначим:

n - число векселей или периодов,

i - ставка простых процентов за период, под который производится кредитование,

d - простая учетная ставка, используемая банком для учета векселей,

Р - цена товара (из которого вычтен аванс, если он был).

I способ. Выплаты по векселям производятся равными суммами, в каждый вексель записана сумма  . Проценты за кредит образуют ряд:

.

Сумма векселя в момент времени t составит при погашении:

.

Общая сумма начисленных процентов:

.

Сумма всех векселей составит:  .

II способ.  - сумма векселя в момент t.

Отсюда,  сумма процентов за весь срок находится  так:

.

Ответы одинаковые, различие в том, что распределение процентов по периодам разные.

Пример. Цена товара Р =4000 руб., и на нее выписано 5 векселей с погашением по полугоду. Предположим, что ставка процента – 20% годовых.

Даны , i=10%, n=5. Определим процентные платежи и суммы двумя способами:

I способ

II способ

t

Vt

Vt

1

800

400

1200

80

880

2

800

320

1120

160

960

3

800

240

1040

240

1040

4

800

160

960

320

1120

5

800

80

880

400

1200

Итого:

4000

1200

5200

1200

5200

При I способе платежи уменьшаются, а при II способе увеличиваются. Для покупателя II способ более привлекателен.

Корректировка условий продажи. Если применяется простая учетная ставка, то сумма, которую получает продавец определяется так:

Найдем при каждом способе. При I способе:

.  (*)

Если , то продавец получает сумму меньше договорной цены. Способ избежать потерь продавцу – повысить цену в  раз. Если  и нет необходимости корректировать сумму, продавец получает в банке оговоренную сумму.

Пример. Если в предыдущем примере предположить, что учетная ставка - 12% годовых, получим такое Z1:

Таким образом, если все условия сделки будут соблюдены, продавец получит большую сумму (4000 руб.) вместо оговоренной 4000 руб.

Выведем соотношение процентных ставок, при которых продавец не будет нести потери.

В (*) А=Р – в случае, когда

,

где d и i предельные значения ставок, при которых продавец не несет потерь, и получаемая сумма равна цене.

При II способе сумма, которую получит продавец, определяется следующим образом.

Из следует, что:

.

Корректирующий  цену множитель тут равен .

Если в примере из предыдущего пункта предположить, что учетная ставка - 12% годовых, то корректирующий множитель выглядит так:

Видно, что . Следовательно, для II способа требуется более существенная корректировка цены.

4.2.2 Анализ позиции покупателя.

Определение совокупных издержек покупателя.

I способ. Современная величина платежей по векселям составит:

,

где– дисконтный множитель по рыночной ставке g.

Эта формула предполагает, что цена товара не скорректирована.

Пример. Предположим, что в рамках предыдущего примера i = 15%. Тогда рыночная ставка (эквивалентная ставке i) определяется из условия экивалентности:. Отсюда , следовательно .

Вычислите значение  самостоятельно.

II способ. Современная величина платежей по векселям составит:

.

В рамках предыдущего примера вычислите значение  самостоятельно.

Минимизация издержек. Величина Wj зависит от показателей сделки – n, i, Zj при заданном значении g. Параметр Zj зависит от n, i и от учетной ставки d.

Преобразуем:

.

Напомним, что и также  Отсюда

.

Записывая сюда значения Z1 и Z2 получим:

.

Аналогично при II способе получаем:

.

Отметим некоторые свойства Wj .

При g>i W1>W2. Т.е. совокупные издержки покупателя будут меньше при начислении процентов по II способу. Причем чем больше n и g, тем больше разность W1-W2. Влияние исходной цены Р пропорционально Wj. В случае, когда учетная ставка d больше предельного значения ставок, получаемая покупателем сумма равна цене, возникает необходимость корректировать условия сделки. Влияние d становится все более заметным при увеличении n и g. Влияние ставки процента i на величину издержек неоднозначно. Иногда рост i приводит к увеличению Wj, иногда к уменьшению. Это особенно заметно при больших n. Существует зависимость совокупных издержек от количества последовательно погашенных векселей.

4.2.3 Анализ позиции банка

Банк, участвуя в сделке принимает весь риск по проведению операции. Естественно он заинтересован в проценте дохода от инвестированных в векселя средств. Доход банка здесь определяется учетной ставкой. Расчет позиции банка заключается в расчете ставки сложных процентов, эквивалентной учетной ставке d, примененной при учете комплекта из n векселей с последовательными сроками погашения.

Допустим, что имеются  n векселей, учитываемых по ставке d. Найдем эквивалентную ставку наращения, которую получит продавец и обеспечит тот же доход от инвестиций банку. Если банк выплатил сумму Р, то

,

где v – дисконтный множитель по неизвестной ставке f. Определяется корень v многочлена степени n (Заметим, что определение корня многочлена с помощью итерационных методов рассмотрено в п. 6.1).

В заключение этого пункта отметим еще раз, что

а) для продавца средствами управления в данной операции являются снижение учетной ставуи, повышение ставки процентов за кредит, уменьшение числа векселей;

б) для покупателя средствами управления являются параметры n и d. Большая величина параметра i играет отрицательную роль лишь при очень высоких значениях n Основной задачей покупателя является нахождение значения n, минимизирующее значение W;

в) для банка основным инструментом,  воздействующим на эффективность форфейтной операции является учетная ставка.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4

  1.  Продавцом в уплату за товар Р = 10000 руб. выписано четыре векселя с погашением по полугодиям. Ставка процентов за кредит – 10% годовых (простых). Определить процентные платежи и суммы векселей двумя способами.
  2.  В предыдущей задаче пусть учетная ставка 9,5% годовых. Найти корректирующий множитель Z1.
  3.  Каков должен быть уровень процентной ставки за кредит для того, чтобы покупатель не понес ущерба в операции а форфэ при условии, что d=4,75%. Данные взять из задачи № 1.
  4.  По данным задачи № 1, при условии, что ставка, которая характеризует средний уровень среднего процента на рынке, равна 15% годовых, найти современную величину платежей W1 (Z1 из задачи № 2).
  5.  По данным задачи № 4 найти W2.

ГЛАВА 5

РАСЧЕТЫ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Понятие финансового рынка емкое. Исходя из различных форм обращения и распределения денежных ресурсов в его составе выделяют рынок банковских кредитов и рынок ценных бумаг.

Рынок ценных бумаг охватывает как кредитные отношения, так и отношения совладения, выражающиеся через выпуск специальных документов – ценных бумаг. Ценная бумага представляет собой документ, который имеет денежную стоимость, отражает связанные с ним имущественные права или долговые обязательства, может самостоятельно обращаться на рынке и быть объектом купли-продажи или иных сделок, а также служит источником получения регулярного или разового дохода. В зависимости от сущности выражаемых экономических отношений различают долговые (облигации, депозитные сертификаты, векселя), долевые (акции) и производные (фьючерсы, опционы) ценные бумаги.

Сначала рассмотрим облигации - ценные бумаги с фиксированным доходом.

5.1 Облигации

Облигации – это долговые ценные бумаги, могут выпускаться в обращение государством или местными органами управления, а также частными предприятиями. Облигация – это ценная бумага, подтверждающая обязательства эмитента возместить владельцу ее номинальную стоимость в оговоренный срок и выплатить причитающийся доход. Покупая облигацию, инвестор становится кредитором ее эмитента и получает преимущественное, по сравнению с акционером право на его активы в случае ликвидации или банкротства.

Любая облигация имеет следующие основные характеристики: номинальная стоимость, купонная норма доходности, дата выпуска, дата погашения, сумма погашения.

Номинальная стоимость – это сумма, указанная на бланке. Если цена, уплаченное за облигацию, ниже номинала, говорят, что облигация продана со скидкой или с дисконтом, а если выше – с премией.

Для удобства сопоставления рыночных цен облигаций с различными номиналами используется показатель, называемой курсовой стоимостью или курсом ценных бумаг.

,

где К – курс облигации, Р – рыночная цена,  N – номинал.

Пример. Определим курс облигации с номиналом в 1000 руб., если она реализована на рынке по цене: а) 920,30 руб.;  б) 1125,00 руб. по формуле:

а) ;

б) .

В случае а) облигация приобретена с дисконтом (1000-920,3=79,70), а в случае б) с премией (1125-1000=125).

Купонная норма доходности – это процентная ставка, по которой владельцу облигации выплачивается периодический доход. Соответственно сумма периодического дохода равна произведению купонной ставки на номинал облигации.

Пример. Определим величину ежегодного дохода по облигации номиналом в 1000 руб.при купонной ставке 8,2%: 10000,082=82,00.

В общем случае доход по купонным облигациям имеет две составляющие: периодические выплаты и курсовая разница между рыночной ценой и номиналом. Поэтому такие облигации характеризуются несколькими показателями доходности: купонной, текущей (на момент приобретения) и полной (доходность к погашению).

Купонная доходность задается при выпуске облигаций и определяется соответствующей процентной ставкой. Ее величина зависит от двух факторов: срока займа и надежности эмитента. Чем больше срок погашения, тем выше ее риск, следовательно, тем больше  может быть норма доходности, требуемая инвестором в качестве компенсации. Не менее важным фактором является надежность эмитента. Как правило, наиболее надежным заемщиком считается государство. Соответствующая ставка купона у государственных облигаций обычно ниже, чем у муниципальных или корпоративных. Последние считаются наиболее рискованными.

Текущая доходность облигации с фиксированной ставкой купона определяется так:

,

где N – номинал; Р – цена покупки; k – годовая ставка купона; К – курсовая цена облигации.

Текущая доходность Y меняется в соответствии с изменениями их цен на рынке. Однако с момента покупки она становится постоянной. Текущая доходность облигаций с дисконтом выше купонной, а облигаций с премией – ниже.

Пример. Определим текущую доходность операции, если она приобретена по цене 106,20 руб.:

, или 7,84%

где N =100.000 руб., текущая ставка k=33,33%/4, число выплат 4.

Здесь Y ниже ставки купона k (8,33%) поскольку облигация продана с премией. Показатель текущей доходности не учитывает вторую составляющую поступлений от облигации – курсовую разницу между ценой покупки и погашения. Поэтому он не пригоден для сравнения эффективности операций с различными исходными условиями. В качестве меры общей эффективности инвестиций в облигации используется полная доходность облигации.

Полная доходность облигации представляет собой процентную ставку (норму дисконта), устанавливающую равенство между текущей стоимостью потока платежей по облигации PV и ее рыночной ценой P.

Для облигаций с фиксированным купоном, выплачиваемым раз в году, она определяется решением уравнения:

,

где F – цена погашения (как правило, F=N).

Это уравнение решается итерационным методом (описание этого метода приведем в п.6.1). Приблизительное значение находится так:

.

Реальная (общая) доходность облигации будет равна YTM только при  выполнении следующих условий:

1) облигация хранится до срока погашения;

2) полученные купонные доходы немедленно реинвестируется по ставке r=YTM.

Второе условие трудно выполнить на практике. Между полной доходностью YTM и ставкой реинвестированного купонного дохода r существует прямая зависимость. А зависимость между P и YTM обратная.

Приведем общие правила, отражающие взаимосвязи между ставкой купона k, текущей доходностью Y, полной доходностью YTM и ценой облигации P:

если P>N, то k>Y>YTM

если P<N, то k<Y<YTM

если P=N, то k=Y=YTM

Современная стоимость потока (денежного), генерируемая ценными бумагами:

,

где F - сумма погашения (как например F=N); k - годовая ставка купона; r - рыночная ставка;  n - срок облигации;  N - номинал; m - число купонных выплат в году.

Пример. Определим текущую стоимость трехлетней облигации с номиналом в 1000 руб. и купонной ставкой 8%, выплачиваемых 4 раза в год, если норма дисконта (рыночная ставка) равна 12%:

руб.

Таким образом, норма доходности в 12% по данной операции будет обеспечена при покупке облигации по цене, приблизительно равной 900,46 руб.

В заключение несколько слов о бессрочных облигациях. Примерами бессрочных облигаций могут служить британские консоли, выпущенные в начале XIX в., а также французская рента. Держателями подобных облигаций являются различные фонды и страховые компании. Текущая доходность бессрочных облигаций определяется так:

,

где k – годовая ставка купона, N - номинал, P -цена, К - курсовая стоимость (цена).

Полная доходность бессрочных облигаций определяется так:

,

где m – число купонных выплат в год.

Пример. Облигация фирмы IBM со сроком обращения 100 лет была куплена по курсу 92,50. Ставка купона равна 7,72%, выплачиваемых раз в полгода. Определим доходность операции: или 8,3%;

или 8,5%.

Оценка стоимости бессрочных облигаций:

.

Если платежи осуществляются m раз в год, то

.

Пример. Из предыдущего примера определим текущую стоимость 100 единиц облигации, исходя из требуемой нормы доходности в 8,5%:

.

Таким образом при YTM =8,5%, цена, уплаченная за облигацию несколько ниже ее доходности Y.

5.2 Рисковые ценные бумаги

В связи с расширением экономического пространства рынка ценных бумаг роль стохастики резко меняется. В приложениях к некоторым проблемам стохастические методы выходят на первый план. В первую очередь это относится к тем вопросам, которые связаны с премиями по рисковым ценным бумагам, эволюция цен которых происходит под воздействием случая. Особенно важны стохастические методы для анализа таких инструментов фондового рынка, таких рисковых ценных бумаг, как контракты со сроками реализации в будущем, включающие сделки с объявленной заранее премией эмитенту контракта и таким вознаграждением держателю контракта, которое зависит от рыночной ситуации, а алгоритм вычисления этого вознаграждения фиксируется в контракте. Особо отметим роль стохастики в связи с приложениями к анализу финансовых рынков. Здесь наиболее эффективные методы экономического анализа используют в равной степени сбалансированные фундаментальный и стохастический подходы. Достаточно полный экономический анализ какого-либо финансового рынка немыслим без применения так называемого технического анализа, который основывается на методах теории случайных процессов.

Проведем исследование контрактов на будущее с объявленной заранее премией. Под словом «товар» мы будем понимать действительно товар, различного вида ценные бумаги, обеспечения, валюту, т.е. то, что имеет стоимость на каком-либо рынке. Поскольку мы исследуем вопросы, связанные рынком ценных бумаг, под «товар»ом будет понимать акции (без дивидендов, если не оговорено противное). Предположим, что все описанные ниже типы контрактов содержат некоторую конечную дату T – последний срок действия контракта. Этот зафиксированный срок называется терминальным временем (или датой истечения действия контракта).

Дадим классификацию таких контрактов.

Фьючерсы – контракты, которые обязывают продавца продать товар по фиксированной цене и в определенный срок в будущем, а покупателя обязывает купить этот товар в тот же срок.

Здесь срок исполнения контракта является сроком истечения контракта. Фьючерсы оформляются через клиринговую палату, которая несет ответственность перед сторонами по гарантии соблюдения интересов сторон-участниц контракта. Как правило, все стороны-участницы вносят определенный залог в клиринговую палату.

Форварды – то же самое, что и фьючерсы, только без привлечения клиринговой палаты.

Опционы купли – контракты, которые обязывают продавца продать товар по фиксированной цене K (называемой страйковой) до (или в) определенного срока, а покупателю дают право купить до (или в) срока, обозначенного в контракте.

Эти опционы по английски называются call options, поэтому в русскоязычной литературе часто используют название «колл»-опционы. В случае, когда требование к исполнению такого рода контракта может быть выставлено до терминального срока (включительно), то такой опцион называется опционом американского типа, а когда точно в срок, то европейского типа.

Опционы продажи – обратный тип по отношению к опционам купли. Продавцу контракта дают право продать, а покупателя обязывают купить товар по цене K до (или в) определенного срока, обозначенного в контракте.

Английское название такого опциона – put options.

Варранты – это контракты, в которых в качестве продавца-эмитента выступает фирма, в качестве товара используется акции или продукции той же фирмы. Варрант для его владельца предусматривает право, но не обязанность, приобрести товар по гарантированной фирмой цене в определенный срок. Для акций это обычно есть цена номинала. Варрант по своей сути – опцион купли, только продавцом товара является фирма-эмитент, а покупателем может быть любой субъект, обычно- служащий той же фирмы.

Опционы относятся к сделкам с объявленной заранее премией. Дело в том, что покупатель опциона в момент заключения контракта выплачивает эмитенту определенную премию, размер которой объявлен заранее и которая выплачивается сразу. Эта премия играет роль комиссионных  и для покупателя есть просто цена опциона. Со своей стороны, владелец, к примеру, европейского опциона купли на акцию в случае превышения в момент T рыночной цены над страйковой K может купить акцию по цене K, продать по рыночной цене, а разницу, называемую вознаграждением, положить в карман. Опционные контракты являются ценностями рынка прав, или рынка фиктивного капитала. Этот рынок имеет тенденцию к быстрому расширению, особенно в США. Темпы прироста капитала, циркулирующих на этом рынке, опережают темпы прироста капиталов на рынке соответствующих основных обеспечений (акций или товара). Часто на рынке фиктивного капитала можно наблюдать, что цена права на владение определенным товаром ведет себя совсем не так, как цена самого товара. Встречаются контракты на права весьма изощренных типов, таких как: «опционы на опцион» и т.д. Однако наибольшую массу представляют все же опционы стандартных типов.

Пример. (котировка опциона купли европейского типа фондовой биржи США).

3     XYZ     Nov     60       C      at2,

где 3 – число контрактов на 100 акций, лежащих в основе опциона (опционы выписываются на лоты акций, один лот содержит 100 единиц, таким образом, здесь опцион выписан на 3 лота), XYZ – краткое название акций конкретной корпорации, Nov – дата истечения контракта, 60 – цена реализации опциона (страйковая цена K в $США), C – тип опциона (в данном случае Call, в случае продажи – P), 2 – цена опциона (премия за опцион).

Таким образом, в этой котировке описывается, что держатель опциона имеет право приобрести 300 акций корпорации XYZ по цене $60 за акцию до третьей пятницы ноября. За это право владелец опциона заплатил премию в размере $600 ($2x300 акций).

Теперь дадим определение понятия функции выплаты. Если опцион – это ценная бумага, по которой можно получить некоторый доход, то величина этого дохода будет являться значением функции выплаты. Таким образом, функция выплаты – это алгоритм, в соответствии с которым вычисляется прибыль владельца контракта на будущее в зависимости от значений процесса цен «рискового» товара. Особо стоит выделить случай, когда опционные и фьючерсные контракты составляются не на акцию, или какой-нибудь физический товар, а на нечто неовеществленное – на индексы биржевой активности. В этом случае, в контракте фиксируется алгоритм, по которому вычисляется значение функции выплаты, в зависимости от случайных значений индекса.

Нетрудно догадаться, что для европейского опциона купли функция выплаты есть разница между рыночной ценой актива  в терминальный момент T и страйковой ценой K при условии превосходства первой над второй, и нуль в противном случае, что обозначается так:  (а для европейского опциона продажи: ).

В общем случае, алгоритм вычисления функции выплаты обязан быть определен в опционном контракте, и должен зависеть от текущих до момента T включительно цен товара, на который продается опцион. Опционом с последействием как раз и называется такой опцион, в котором функция выплаты зависит от всех текущих значений цен до момента T. Опцион обладает внутренней и внешней ценой. Внутренная цена – доход опционодержателя в случае немедленного исполнения контракта, т.е. если бы момент T наступил бы мгновенно: , где  цена актива в момент заключения контракта. Внешняя цена -–разница между ценой опциона (премией) и внутренней ценой. Вознаграждение опционодержателю должен обеспечить продавец опциона, называемый агентом. Значения функции выплаты для него всегда пассив. Для описания эволюции актива агента обычно в модель включают так называемый процесс потребления, который неотрицателен, и как правило, детерминирован. С другой стороны, если функция выплаты описывает расход агента, то равный этому доход получает владелец опциона. Опционодержатель в момент погашения опциона выдвигает требование на получение вознаграждения, численно равного значению функции выплаты. Величину этого вознаграждения называют долевым требованием. В математической литературе по финансам обычно используют вместо функции выплаты долевое требование, при этом всегда отмечается, что оно является неотрицательной случайной величиной, а значения этой случайной величины мы узнаем, не раньше терминального момента времени.

Одной из важнейших задач, возникающих на рынке ценных бумаг, является проблема вычисления цены контракта на будущее, т.е. размера премии, которую покупатель платит продавцу опциона. Такой контракт сам становится ценной бумагой, и в дальнейшем его цена подвержена изменениям, зависящим от рыночной конъюнктуры. Владелец контракта может стать продавцом. Отметим, что роль прямого экономического анализа заметно сильнее выражена при определении цены фьючерса и варранта, нежели чем опциона, так как установление страйковой цены на первые в значительно большей степени связано с микроэкономическими соображениями, т.е. с внутриэкономической деятельностью фирмы. Что же касается именно рыночной компоненты цены на фьючерс или варрант, то ее вычисление по существу сводится к методам вычисления цены опциона. В связи с этим в дальнейшем мы будем рассматривать лишь контракты опционного типа.

Для решения проблемы определения цены (справедливой или рациональной) опциона в вероятностных моделях наряду с рисковыми активами (акциями) всегда рассматриваются безрисковые активы, дающие фиксированный доход (облигации). В стандартных базовых моделях предполается, что доход по облигации описывается уравнением эволюции, или, подчиняется сложному банковскому проценту:

где r – ставка процента за один период времени. Так как значения цены облигации детерминированы, то удобно рассмотреть цены всех активов, уже поделенными на соответствующие значения цены облигации в каждой точке , где - цена облигации. Это означает, что цена акции рассматривается в единицах облигации (т.е сколько облигаций стоит одна акция). Таким образом, для любого  Итак, для того, чтобы избежать тупиковой ситуации в процессе продажи опциона, его цена должна быть основана на понятии справедливости. Таким критерием справедливости (или рациональности) цены опциона на акцию служит следующий принцип: Цена контракта должна быть минимальной из всех таких цен, что у агента существует по меньшей мере одна торговая стратегия, т.е такая последовательность сделок купли-продажи акции и облигации, чтобы, стартовав с начальным капиталом, равным цене опциона, агент имел возможность расплатиться в случае любого исхода из всего множества событий, могущих повлиять на изменение в ценах акции до терминального момента времени. При этом агент не должен привлекать никаких дополнительных средств со стороны в процессе осуществления своей торговой стратегии.

Следуя этому принципу, агент начинает выступать на рынке в качестве инвестора. Продавая и покупая ценные бумаги, он как бы страхует свои обязательства по опционному контракту равномерно по всем случаям изменения цены акции. Такого рода страхование называется хеджированием.

При решении задачи по определению рациональной цены опциона наиболее эффективными оказываются методы стохастического анализа. Оказывается, что рациональная цена опциона может быть определена в терминах теории вероятностей: Рациональная или справедливая цена опциона есть математичесое ожидание от функции выплаты, взятое относительно эквивалентной мартингальной меры, т.е. относительно такой вероятностной меры, что каждое приращение цены акции в будущем имеет нулевое среднее при всяком фиксированном прошлом. В литературе такая мера называется риск-нейтральной.

Важной характеристикой модели рынка является наличие или отсутствие спекулятивных (или арбитражных) возможностей. Наличие арбитражных возможностей у инвестора формулируется так: существует такая торговая стратегия, оперирующая дисконтированными акциями и облигациями исключительно данной рыночной модели, что начав с нулевого капитала, не привлекая средств со стороны и не отдавая на сторону (однако позволяется брать в долг либо акции, либо облигации), в терминальный момент T можно привести свой портфель к неотрицательному капиталу для всех случаев изменений в ценах акций и к строго положительному капиталу хотя бы для одного случая. Оказывается, что отсутствие арбитража в такой постановке вопроса равносильно существованию хотя бы одной эквивалентной мартингальной меры. Таким образом, отсутствие возможностей для спекуляции влечет существование справедливой цены опциона.

5.3 Классификация опционов

В настоящей классификации предполагаем, что опцион полностью определяется своей функцией выплаты. Напомним, что численно функция выплаты и долевое требование совпадают, разница состоит лишь в том, что функция выплаты – это то, что платит агент опционодержателю, а долевое требование – то, что имеет право требовать владелец опциона с агента в случае благоприятных для владельца событий. Сначала рассмотрим рынок, состоящий из одной акции S и одной облигации. Облигацию не обозначаем, полагая, что опционы на нее не составляются, она приносит фиксированный доход.

Пусть  - множество элементарных событий, на котором задана модель рынка S;  - элементы . Приведем описание некоторых опционов европейского типа.

1) Европейский стандартный опцион купли (английское название Europian Call).

Для этого опциона долевое требование имеет следующий вид:

.

2) Европейский стандартный опцион продажи (Europian Put). Для этого опциона долевое требование имеет следующий вид:

.

Выписывание опциона купли сопряжено с большим риском, нежели выписывание опциона продажи. Теоретически может принять очень большое значение, в случае если значение K невелико, эмитент опциона понесет большие потери. При выписывании опциона продажи риск, естественным образом, ограничен вследствие ограниченности  снизу нулем, и функция выплат не может принять значение большее, чем страйковая постоянная K.

3) Европейский опцион коллар (Europian Collar)

Долевое требование имеет вид:

, где .

Здесь покупатель опциона заранее оплачивает акцию, то есть получает не только право на приобретение акции, но и гарантию, однако только в том случае, если ее цена будет в некоторых пределах . В случае, если цена акции выйдет за эти пределы, то опционодержатель имеет право получить компенсацию в размере  в случае повышения цены, и  в случае снижения. Таким образом, опцион коллар соответствует фьючерсу с оговоренными ограничениями на выход цены  из определенных пределов.

4) Европейский опцион со стеллажами ( Europian Straddle)

Здесь долевое требование имеет вид:

где  и  – произвольные положительные константы, называемые стеллажом продажи и купли, соответственно. Этот тип опциона комбинирует типы купли-продажи. Владелец такого опциона гарантирует себе возможность купить акцию по цене не выше  и продать не ниже . Он как бы страхует себя от чрезмерных колебаний цены на момент T. Заметим, что слово “Straddle” переводится как “двойная игра”.

Описанные выше типы являются опционами без последействия, то есть такие, что у которого функция выплаты X при фиксированном  не зависит от

Теперь приведем некоторые типы опционов с последействием.

5) Стандартный опцион купли с последействием (Look Back Call Option).

Долевое требование имеет вид:

 где

Такой опцион гарантирует его держателю вознаграждение в размере разницы между ценой акции в момент исполнения T и минимальным значением цены акции на всем временном промежутке T.

6) Стандартный опцион продажи с последействием (Look Back Put Option)

Долевое требование имеет вид:

 где

Приведем теперь описание некоторых опционов американского типа. Напомним, что момент предъявления такого опциона к реализации может быть произвольно выбран опционодержателем из оговариваемого контрактом временного промежутка. Владелец опциона американского типа как бы останавливает действие контракта, предъявляя опцион к исполнению. Пусть задан дискретный временный промежуток T ={0, 1, …,T}, и T обозначает сигма-алгебру событий, порожденных всеми значениями цены акции от начального момента до момента времени n. Моментом остановки мы будем называть случайную величину , принимающую значения из множества T, для которой выполнено следующее условие измеримости: . Таким образом, где надо остановиться на временном промежутке {0, 1, …, n} зависит лишь от значений , и никак не зависит от значений процесса цен, которые наступят после момента n.

Приведем два наиболее известных типа таких опционов.

1. Американский стандартный опцион продажи (American Put Option)

Функция выплаты имеет вид:

где K – страйковая постоянная, а  - момент остановки, который выбирается опционодержателем.

2. Американский стандартный опцион купли (American Call Option).

Функция выплаты имеет вид:

.

Заметим, что в отличие от европейского опциона, стандартным для исследования является американский опцион продажи. Это обусловлено рядом причин, одна из которых связана с тем, что значения цены акции ограничены снизу нулем, а опционодержателю американского опциона продажи наиболее выгодно остановиться в момент, когда цена акции минимальна.

В заключение данного описания приведем еще один тип опциона, которого ввели русский математик А.Н.Ширяев совместно с американским математиком Л.Шеппом в 1993 году. Он относится к классу американских опционов.

3. Русский опцион (Russian Option)

Функция выплаты имеет вид:

,

где r – ставка процента по дисконтирующей облигации, - момент остановки.

Теперь перейдем к опционам на рыночных моделях, состоящих более чем из одной акции. Пусть рынок – это векторнозначный процесс цен рисковых ценных бумаг(акций) d различных типов T , и процесс цены облигации B.

Выделим два подхода к обобщению опционов при переходе от рынка, состоящего из одной акции, к рыночным моделям с несколькими акциями.

Первый подход. Опцион выписывается на один вид акции, например на . Остальные акции используются наряду с облигацией для хеджирования данного опциона. В этом случае, обычно используются для хеджирования сильно коррелированные с  ценные бумаги. Для хеджирования имеет смысл выбирать активы, имеющие обратную зависимость с . Например, опцион выписывается на американскую валюту, облигацией является счет в швейцарском банке, а в качестве обратного зависимого актива в торговой хеджирующей стратегии используется немецкая марка.

Второй подход состоит в том, что опцион выписывается на некоторый функционал от вектора - для опционов без последействия либо на функционал от T  - для опционов с последействием . Например, такое обобщение стандартного европейского опциона купли может иметь функцию выплат:

,

где  - некоторая норма в пространстве , ограниченная на множестве значений вектор-процесса цен. При этом можно ввести некоторую функцию весов h(t) на множестве {1, 2, …, d} и рассмотреть норму взвешенного вектора .

Отметим, что первый подход чаще используется на практике, чем второй. Обычно первый подход встречается на валютных рынках, либо при выписывании опционов брокерскими фирмами, не особенно заинтересованными в распределении инвестиций. Второй подход используется фирмами-эмитентами акций. Выписывая такой опцион, они при построении многомерной модели рынка в векторе  учитывают акции дочерних фирм. Таким образом эмитент акций, выписывая опцион, при подходящем подборе весовой функции h(t) создает определенный механизм для регулирования инвестиций. Возможно включать также и в вектор  акции конкурирующих фирм, составляя функцию выплат таким образом, чтобы они в нее входили с отрицательным знаком для опционов купли, и соответственно, наоборот для опционов продажи.

5.4 Модели оценки цены опционов

5.4.1 Дискретная модель Кокса-Росса-Рубинштейна

Наиболее простой моделью с дискретными значениями цен активов и с дискретным временем торговли является так называемая модель Кокса-Росса-Рубинштейна (КРР) или «бинарный рынок». В 1976 году эти авторы исследовали модель, в которой цена акции изменяется по правилу «подъем-спад» на фиксированную величину, а что именно произойдет, подъем или спад – зависит от случая. Эта модель на сегодня является основной дискретной моделью на рынке ценных бумаг. Ценность ее заключается еще и в том, что известная непрерывная модель Блэка-Скоулза (БС, которую мы рассмотрим ниже) является для нее предельным случаем. На простом примере рассмотрим эту модель подробнее.

Пример. Пусть имеется партия из 100 единиц некоторого товара по цене 1 условная единица (у.е) за единицу товара в момент времени t = 0. Под у.е будем понимать цену некоторой ценной бумаги (облигации), которая в момент времени t = 0 стоит 100%, а в момент времени t = 1 стоит , т.е. дает доход > 0. Такая ценная бумага эквивалентна банковскому счету с процентной ставкой  в единицу времени. Предположим, что в момент t = 1 цена товара либо упадет на 30% либо поднимется на 20%, т.е. значения цены товара будут равны U = 120 у.е. или D = 70 у.е. Если обозначить цену товара  то ; а . На рынке есть покупатель, собирающийся купить данную партию товара, и агент, имеющий возможность ее продать. При этом покупатель может перечислить деньги за товар только в момент t = 1, однако хочет купить товар по цене не выше, чем на момент t = 0. Агент обязуется обеспечить покупателю возможность купить товар по цене, установленной на момент t = 0, в случае, если цена поднимется. В противном случае покупатель, не обращаясь к агенту, просто купит товар по более выгодной цене 70. Спрашивается, сколько должен заплатить покупатель агенту в момент t = 0 за подобную услугу, т.е. каков размер премии?

Один из способов рассуждений следующий. Пусть вероятность повышения цены есть , вероятность снижения , а премия равна . Тогда прибыль агента есть случайная величина , принимающая два значения:

и математическое ожидание прибыли равно:

Покупатель вполне справедливо полагает, что математическое ожидание прибыли агента должно быть нулевым, и в этом случае: . Агент скорее всего согласится с нулевым средним своей прибыли, однако наверняка будет полагать, что рыночная вероятность подъема превосходит оценку этой вероятности покупателем. Нетрудно видеть, что агенту выгодно завышать оценку вероятности подъема , а покупателю занижать, и они вряд ли придут к общему мнению, даже несмотря на то, что оба согласны, что агент должен иметь в среднем нулевую прибыль. Для того, чтобы покупатель и агент пришли к согласию, по всей видимости, должен существует другой подход, который не зависел бы от вероятностей  и , а значит, и от субъективных оценок этих вероятностей. Этот подход базируется на идее о том, что агент, пользуясь правильной торговой стратегией, не должен терпеть убытков в любом случае изменений цен товара, однако прибыль его должна быть сведена к минимуму. Для того, чтобы определить, что значит «правильная торговая стратегия», необходимо наряду с акцией рассмотреть безрисковую ценную бумагу «облигацию», имеющую хождение на данном рынке. Мы полагаем, что цена безрискового обеспечения постоянна и равна единице. Итак, «правильная торговая стратегия», или еще говорят «оптимальная торговая стратегия» или «оптимальный хедж», для агента означает следующее: взять взаймы в момент  определенное количество безрисковых ценных бумаг, купить на них плюс на деньги, полученные от покупателя за контракт, соответствующее количество рискового товара, а в момент  иметь возможность расплатиться как с кредиторами, так и с покупателем, какое бы значение ни приняла цена товара,  не оставшись при этом «в накладе». Пусть  - количество безрискового обеспечения, взятое агентом в долг (например, в банке) в момент , и, соответственно,  - общий денежный актив агента, на который он покупает рисковый товар. В наших условиях это будет также и количество единиц товара у агента в момент . Составим два уравнения баланса для агента: первое – для случая снижения цены, а второе – для случая подъема цены. В левой части запишем актив агента, в правой – пассив:

В случае (1) агент расплачивается только с банком, в случае (2) – и с банком, и с покупателем. Решая эту систему, получаем:  Полученные цифры означают, что рациональная цена данного опционного контракта есть 12 у. е., а оптимальная торговая стратегия заключается во взятии взаймы 28 у.е. и покупке 40 у.е. товара (по 1 у.е. за штуку). Замечательно то, что вычисленная цена опциона от  и  не зависит.

Хотя вычисления тривиальны, однако нетрудно предвидеть, какие сложности возникнут для решения уравнения баланса при рассмотрении модели с более длинным интервалом времени, влекущим более частую дискретизацию временного интервала, а уж тем более при увеличении в каждой точке времени числа возможных изменений в ценах рискового товара. И совсем трудно понять, что делать при обобщении модели на случай непрерывного интервала времени?

Сейчас приведем метод, который сравнительно легко обобщается и который лежит в основе теории вычисления рациональной цены опциона. Сначала нам необходимо найти эквивалентную мартингальную (риск-нейтральную) меру для процесса стоимости товара – в нашем случае это такие вероятности подъема цены  и снижения цены , относительно которых процесс стоимости будет мартингалом, или, что то же самое, приращение будет иметь нулевое среднее: . Откуда получаем  и . Далее, заметим, что функция выплаты  в случае европейского опциона купли для агента определяется так:

где - стоимость партии рискового товара на момент времени . И это является одним из ключевых фактов: рациональная цена опциона  равна математическому ожиданию случайной величины , вычисленному относительно эквивалентной мартингальной меры. В нашем случае: , что совпадает с полученным выше значением (здесь - обозначает математическое ожидание, вычисленное по вероятностям ).

Теперь покажем, как при данном подходе вычисляется оптимальная стратегия для агента. Пусть  обозначает сколько единиц рискового товара агент должен иметь в момент времени t=0, а  - количество безрисковых ценных бумаг на тот же момент. Заметим, что распределение случайной величины  есть

Для того, чтобы агенту иметь возможность расплатиться по контракту необходимо приравнять капитал, находящийся в «портфеле» агента, к значениям случайной величины X, данным в (3):

Отсюда получаем искомые значения: и , которые означают, что в «портфеле» агента в нулевой момент времени должно быть 40 акций и долговых обязательств на 28 облигаций, что так же совпадает с вычисленными выше значениями.

Замечание. Если последовательно пользоваться методом, предписываемым теорией (критерий рациональности цены опциона), то сначала надо составить два неравенства превосходства актива над пассивом:

и искать минимальное значение неизвестного x, чтобы выполнялись (5) и (6). Данный минимум как раз и будет достигаться в точке x = 12 – решение уравнений (1) и (2). Это обусловлено тем, что левые части (5) и (6) – суть монотонно возрастающие функции по x при фиксированном .

Теперь дадим общий вид формул рассмотренной выше модели.

Пусть значения дисконтированной цены одной акции суть  и T=1. Предположим, что  детерминировано, а  принимает два значения: с вероятностью  и с вероятностью , соответственно в случае подъема и падения цены акции. При этом предполагаем, что . Рассмотрим стандартный европейский опцион купли с функцией выплаты , где  - некоторая страйковая постоянная. Последнее неравенство естественно с точки зрения экономической выгоды: если , то такой опцион никто не купит, так как в любом случае его будет невыгодно предъявлять к исполнению. Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать случай . Система уравнений баланса для продавца опциона выглядит так:

где x – цена опциона на одну акцию, - сумма, которую надо занять в банке для хеджирования опциона. Решение этой системы есть (проверьте самостоятельно):

Риск-нейтральная мера находится из уравнения:  откуда

и .

Рациональная цена опциона, вычисленная через риск-нейтральные вероятности, равна  Из решения уравнений баланса, или из выражения для рациональной цены опциона следует, что .

Уравнения для оптимального хеджа выглядит следующим образом:

Их решения:  «Минус» в последнем равенстве означает, что  облигаций мы заняли в банке.

Для хеджирования в акцию надо вложить величину

.

Выразим x через y : , теперь выразим K через y:

.

Эти выкладки могут быть использованы как первое приближение для определения справедливой цены опционов и других типов контрактов на будущее. Важно, чтобы были известны значения функции выплаты и все предполагаемые значения цены рискового товара. Для существования риск-нейтральной меры необходимо, чтобы хотя бы одно из возможных значений было выше 1+r и хотя бы одно было ниже, где r – доход от одной облигации за один период времени.

Рассмотрим в общем виде случай «самохеджирования», обозначенный в численном примере. Допустим, что покупатель акции не приобретает опцион, а в порядке подстраховки от возможного повышения акции в цене покупает часть акции в момент , затем в момент  докупает оставшуюся часть акции. Оказывается, что такая предварительная покупка любой части акции равносильно приобретению по справедливой цене опциона купли на одну акцию с некоторой страйковой постоянной, что потверждается следующей теоремой.

Теорема. Покупка на величину  доли акции в момент  и дальнейшее приобретение оставшейся доли в момент  равносильно покупке опциона типа колл со страйком  по рациональной цене

Эта теорема показывает, как практически происходит разделение риска между агентом и покупателем, численно отражает обозначенный выше эффект перестрахования. Для данной величины y , которую требуется вложить в акцию в момент , покупатель изначально вкладывает x облигаций, а агент облигаций, и отношение  отражает соотношение рисков.

Попытаемся на примере предыдущего пункта ответить на вопрос «В каких случаях выгодно покупать опцион?» . «Выгода» понимается в среднем смысле по рыночным вероятностям . Определим случайную величину  как общую стоимость акции в момент T = 1 для опционодержателя, т.е. цену непосредственно акции плюс цену опциона на нее: .

Теорема. Пусть долевое требование определяется стандартным европейским опционом купли с функцией выплаты , где  - некоторая страйковая постоянная. Тогда математическое ожидание E , вычисленное по рыночным  вероятностям, цены акции без опциона больше общей средней стоимости акции с опционом  в том и только в том случае, когда рыночная вероятность подъема p больше риск-нейтральной вероятности :.

Этот факт имеет естественное объяснение с экономической точки зрения: Если акция имеет тенденцию к повышению цены, то очевидно, что выгодно иметь опцион на его покупку.

Как и в случае обладания опционом, так и в случае, когда опцион не приобретается, общая стоимость акции, т.е. во сколько она обошлась в итоге покупателю, является случайной величиной. При обладании опционом дисперсия этой величины уменьшается. В примере это можно легко увидеть иэ формул (4).

Рассмотрим общий случай значений величин спада, подъема и страйка. Нетрудно вычислить, что  Сравним среднеквадратичные отклонения стоимостей акций в случаях обладания и необладания опционом: . Так как , то неравенство имеет место. Таким образом, мы видим, что разброс в общей стоимости акции уменьшается при наличии опциона у покупателя акции.

5.4.2 Биномиальная модель Блэка-Скоулза

Зададим терминальный, т.е. конечный момент нашей экономики NN. Будем предполагать, что эволюция облигации – безрисковой бумаги описывается дискретной формулой банковского процента

(7)

с процентной ставкой r >0. Обозначим R=1+r.

Коксом, Россом и Рубинштейном в работе 1976г. была описана простая дискретная биноминальная модель, отражающая колебания цен акций . И основу построения этой модели легла идея о том , что цена акции S эволюционирует по закону , аналогичному (7) , с той лишь разницей, что процентная ставка r является величиной случайной, принимающей всего два значения, и разыгрывающейся независимым образом каждый раз при переходе  от одного момента времени к следующему. Таким образом, цена акции эволюционирует по закону

Sn=Sn-1n ,    n = 1,…,N          (8)

где 1,…,N – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения: U и D c вероятностями 0 < p < 1 и q=1-p соответственно. Для значений U и D предполагается , что 0 < D < R < U<

Эволюцию цены акции, заданную посредством (8) можно описать с помощью стандартных бернуллиевских величин. Пусть u и d – такие числа , что 1+u=U и 1+d=D. Экономически числа u и d интерпретируются как случайные значения ставки сложного процента, т.е. по аналогии с формулой (7) предполагается , что цена акции описывается сложным банковским процентом со случайной ставкой , принимающей значения из множества {u,d}.

Зададимся следующим вопросом. Как же будет описываться мартингальная мера для процесса  S , или другими словами, какие значения должны принимать числа p и q ,чтобы рынок был справедливым ? (Ведь термин мартингал впервые  в математике был введен для описания справедливой игры!) Это должны быть такие числа  и , в среднем значении, вычисленным по этим вероятностям , акция дает доход равный R при переходе от одного  момента торгов к следующему : Решение этого уравнения выглядит так (проверьте самостоятельно):  или .

Такие вероятности  и  будем называть справедливыми или риск-нейтральными вероятностями, а вероятностную меру всего процесса S , порожденную этой парой чисел будем называть справедливой или риск-нейтральной мерой.

В дальнейшем будем рассматривать лишь так называемые эффективные рынки, т.е. рынки  без комиссионных, трансакций и прочих издержек при торговле акцией и облигацией.

Для рациональной  цены европейского опциона купли справедлива формула Блэка-Скоулза (подробный вывод этой формулы см.[3]):

где N -срок реализации контракта; K –страйковая цена; a определяется посредством равенства: , где [.] обозначает целую часть числа;  – хвост биномиального распределения с параметрами n и p , числа  определяются так: .

Справедлива аналогичная формула для рациональной цены европейского опциона продажи:

,

где a определяется посредством равенства:

.

Пример. Рассмотрим цены акции ОАО «Сургутнефтегаз» за период с 05.01.99 по 11.03.99:

Дата

Цена

Дата

Цена

Дата

Цена

Дата

Цена

05.01

0,063

22.01

0,067

09.02

0,116

25.02

0,145

06.01

0,065

25.01

0,070

10.02

0,126

26.02

0,145

10.01

0,065

26.01

0,069

11.02

0,125

01.03

0,109

11.01

0,066

27.01

0,068

12.02

0,131

02.03

0,145

12.01

0,066

28.01

0,069

15.02

0,088

03.03

0,138

13.01

0,068

29.01

0,068

16.02

0,137

04.03

0,142

14.01

0,068

01.02

0,066

17.02

0,140

05.03

0,142

15.01

0,061

02.02

0,065

18.02

0,144

09.03

0,106

18.01

0,061

03.02

0,066

19.02

0,145

10.03

0,148

19.01

0,064

04.02

0,066

22.02

0,094

11.03

0,153

20.01

0,064

05.02

0,111

23.02

0,144

21.01

0,067

08.02

0,069

24.02

0,145

Пусть известны начальные данные: текущее время t=12.03.99; дата истечения срока опциона T = 12.05.99 , начальная цена  (в $США); страйковая цена K = 0,160. Cначала надо найти годовую ставку дохода по безрисковым ценным бумагам r. Для расчета показателя доходности воспользуемся ставкой по валютным облигациям со сроком реализации 14.05.99. На момент заключения контракта ставка дохода по ним составляла 9,23% (т.е. r =0,0923). Посчитаем числа U и D (рост и падение цены акции, соответственно) как среднее арифметическое всех подъемов и спадов акций, получаем U = 1,1215, D = 0,8609. По приведенным выше формулам найдем вероятности , а также a = 28, затем и рациональную цену европейского опциона купли X = 0,05120 (проверьте самостоятельно).

5.4.3 Непрерывная модель Блэка-Скоулза

Как мы отмечали выше, существуют определенные границы цены опционов. Напомним, что функция выплаты (долевое требование) для европейского опциона купли определяется так

где T – момент истечения срока опциона. В любой другой день цена опциона будет отличаться от этих значений (0 или ). Мы рассмотрим соотношения, которые могли бы определять цену опциона в любой момент в течение срока его действия.

От каких переменных зависит цена опциона? Как эти переменные влияют на эту цену?  Цена опциона зависит от следующих переменных: а) цена исполнения опциона (K); б) текущая цена акций (S); в) время до истечения срока опциона; г) размах колебаний цен по рассматриваемым акциям; д) уровень процентных ставок в течение срока опциона. Кроме этих основных на цену опциона могут влиять другие переменные: дивиденды, налоги, трансакционные издержки и т.д. Приводимые модели позволяют непосредственно установить характер зависимости цен опционов от этих переменных.

 

Модель Блэка-Скоулза для нахождения цены опциона купли

Как мы отмечали, цена опциона купли к моменту истечения срока должна быть равна . В любой день до истечения срока нижняя граница цены опциона определяется как , где S – сегодняшняя цена акций, а PV(K) – текущая стоимость будущих денежных расходов, связанных с исполнением опциона. Интуитивно представлялось бы разумным оценить цену опциона, используя для этого некоторую взвешенную комбинацию величин S и PV(K). Другими словами, можно предположить, что существуют такие веса  и , при которых соблюдается равенство: .

Как найти  и ? К моменту истечения срока опциона его исполнение может оказаться выгодным либо невыгодным. Если исполнение опциона выгодно, тогда значение обоих весов должно быть равно единице, т.е. , если же исполнение опциона невыгодно, то следовательно . Поэтому веса  и  как-то связаны с вероятностью того, что исполнение опциона принесет доход. Модель Блэка-Скоулза позволяет рассчитать точные значения этих весов.

Модель Блэка-Скоулза предполагает, что норма дохода по акциям, исчисляемая по сложным процентам, на протяжении периода T характеризуется логнормальным распределением (т.е. распределением с плотностью

, иначе 0,

где параметры нормального закона.)

Перечислим другие предположения модели:

1. Отсутствуют налоги и трансакционные издержки.

2. Отсутствуют выплаты дивидендов по акциям в течение всего срока действия опциона.

3. Отсутствуют ограничения на продажу акций с коротких позиций.

4. Существуют возможности ссуд и займов с нулевым риском, при этом процент равен r.

5. Состав портфеля можно мгновенно корректировать.

6. Опцион может быть исполнен только по истечении срока.

Итак, при этих предположениях формула Блэка-Скоулза (доказательство можно найти в [4] ) выглядит так:

,

где

,

здесь S – текущая цена акций, K – цена исполнения опциона, T – время до истечения срока, (.) – функция стандартного нормального распределения,

Итак, вес  представлен множителем (D1). Множитель  представляет собой текущую стоимость цены исполнения PV(K) при непрерывном начислении сложных процентов по ставке r. Таким образом, вес  задан множителем (D2), который может интерпретироваться как вероятность исполнения опциона к моменту T. Другими словами, выражение  можно трактовать как ожидаемую текущую стоимость затрат, требующихся для исполнения ошибок. Следовательно, модель Блэка-Скоулза строится как взвешенная комбинация цены акций и текущей стоимости цены исполнения опциона.

Пример. Пусть S=45; K=50; T=0,75 (9 месяцев); ; r = 0,08. Тогда

;

. Из таблицы значений функции (.) находим (D1)=0,51687; (D2)=0,38053. Отсюда.

Отметим, что «качество» цены опциона, в результате использования модели Блэка-Скоулза, зависит прежде всего от того, в какой степени исходные предположения соответствуют действительности. Несмотря на то, что модель Блэка-Скоулза включает большое число исходных предположений, в действительности можно считать важными только два из них. Наиболее важным является предположение, согласно которому опцион может быть исполнен только в день истечения срока. Досрочное исполнение нельзя считать оптимальным для акций, по которым не выплачиваются дивиденды, поскольку простейшие экономические соображения свидетельствуют о том, что цена опциона всегда выше, чем цена его досрочного исполнения. Но эти аргументы не применимы ко всем опционам купли или продажи, по которым выплачиваются дивиденды, так как после наступления срока ex dividend (день, после которого права на получение ближайшего дивиденда переходят к продавцу акций) стоимость акций понижается на сумму выплачиваемых дивидендов. В результате этого стоимость опциона после срока ex dividend определяется прежней ценой акций за вычетом указанных дивидендов, тем самым обнаруживается дискретное падение цены опциона. Так, в некоторых случаях стоимость исполнения опциона до дивидендных выплат может оказаться выше рыночной стоимости опциона после дивидендных выплат по соответствующим акциям. В связи с этим следует скорректировать модель Блэка-Скоулза применительно к возможности досрочного исполнения опциона. Существуют различные способы такой адаптации модели Блэка-Скоулза. К числу простых можно отнести предположение, согласно которому опцион может быть исполнен только после срока ex dividend, тогда можно «привязать» стоимость опциона к каждому из оставшихся дней до выплаты дивиденда. Рассмотрим, например, опцион с единственной датой после ex dividend до истечения его срока. Тогда можно рассчитать цену опциона на эту дату и сравнить ее с ценой опциона к концу срока (при этом стоимость акций предполагается равной текущей рыночной цене за вычетом текущей стоимости ожидаемых дивидендных выплат). Предполагая, что инвестор придерживается оптимальной стратегии операций с опционами, мы приходим к заключению, что цена опциона равна большей из этих двух величин. Однако при таком подходе цена опциона все же недооценивается. Дж.Кокс и М.Рубинштейн продемонстрировали такую процедуру определения цен опционов купли, которая полностью учитывает возможности досрочного исполнения опциона и выявляет динамичность такой политики.

Модель Блэка-Скоулза для нахождения цены опциона продажи

Как известно, соотношение опционов купли и продажи выглядит так:

X (цена опциона продажи) = X (цена опциона купли) – S + PV(K).

Естественно, подставляя сюда цену опциона купли, вычисленную по формуле Блэка-Скоулза, можно рассчитать цену опциона продажи. При этом предполагается, что опцион продажи является опционом европейского типа, и что по базовым ценным бумагам дивиденды не выплачиваются.

Замечание. Для определения цены опционов американского типа не существует готовых рецептов. Технику количественного анализа цен таких опционов разработал М.Паркинсон, а в книге Кокса, Рубинштейна ([11]) приведено описание методов расчета для таких опционов.

5.4.4. Эмпирический анализ моделей формирования цен на опционы

Для оценки надежности различных моделей формирования цен на опционы проводились многочисленные исследования. Статистическая проверка выявила некоторые ограничения в возможном применении моделей. В отдельных случаях проведение моделей способствовало «доработке» моделей, что позволило лучше описать реальные процессы. Дэн Галай (Galai D. Working Paper no. 2-83, Graduate School of Management, University of California at Los Angeles, 1983) подготовил обзор множества статистических тестов, использовавшихся для проверки гипотез ценообразования на рынке опционов. В этой работе содержаться следующие выводы:

1. Модель Блэка-Скоулза обеспечивает сравнительно хорошие результаты, особенно для опционов с нулевым доходом. Для опционов с доходом и с убытком систематически наблюдались отклонения реальных цен, рассчитанных с помощью модели.

2. Не существует модели, которая все время обеспечивала бы результаты прогнозов лучше, чем модель Блэка-Скоулза.

3. Основной проблемой, которая возникает при использовании модели Блэка-Скоулза или любой другой из предложенных на сегодняшний день моделей, оказывается нестационарность оценок риска по базовым ценным бумагам.

4. Ни одна модель не учитывает трансакционных издержек, а так же существования налогов, которые могут влиять на уровень цены опционов.

5.5. Фьючерсные контракты. Фьючерсы

Здесь так же, как и в теории формирования цен на опционы, справедливая цена фьючерсного контракта устанавливается, исходя из принципа равновесия, достигаемого с помощью арбитража, при равновесной цене инвесторы не могут, не подвергаясь риску, обеспечить прибыль путем обмена активами, которые предполагают одинаковые потоки денежных средств.

Пример. Покупается актив, оцениваемый в $100, а денежные средства для этого мобилизуются с помощью займа на 3 месяца под проценты (пусть $2) на весь срок. Предположим, что в конце третьего месяца можно продать этот актив за $110, получив доход в $8. (110-100-2). Теперь предположим, что вместо покупки указанного актива инвестор покупает фьючерсный контракт на туже сумму, срок которого истекает через 3 месяца. Тогда справедливая цена контракта должна быть равна той цене, которая обеспечивает доход в $8, для инвесторов, хранящих этот фьючерс до истечения срока. Поскольку стоимость контракта к моменту истечения срока должна быть равна цене базовых активов на эту дату, цена в $102 представляет ту сумму, которая обеспечивает инвестору доход в $8. Если бы цена фьючерсного контракта опустилась ниже $102, то можно было бы продать с коротких позиций соответствующие базовые активы, купить фьючерс и без риска получить дополнительный доход. С другой стороны, если бы цена фьючерса превысила $102, то можно было бы купить базовый актив и продать фьючерсный контракт. В этом случае также можно было бы без риска получить дополнительный доход.

Для оценки справедливой цены фьючерсных контрактов можно использовать следующее соотношение:

F = S + C,

где F – справедливая цена фьючерса;

S – цена базовых активов;

C – чистые издержки осуществления операции.

Использование фьючерсов для контролирования риска

Пример. Предположим, что мы инвестировали $10 млн. в индексные обязательства S&P 500, при этом мы хотели бы частично защитить эти вложения от обесценения, превратив, скажем 30% наших активов в безрисковые финансовые инструменты. Одна из альтернативных возможностей: мы можем продать 30% этих обязательств и инвестировать вырученные доходы в краткосрочные безрисковые бумаги. Более эффективный подход: продажа с коротких позиций фьючерсных контрактов на S&P 500 на сумму в $3 млн. Сочетание 10 миллионных вложений в индексные обязательства S&P 500 и продаж с коротких позиций фьючерсных контрактов на $3 млн. эквивалентно $7 млн. инвестициям в индексные обязательства и $3 млн. вложениям в безрисковые активы.

Пусть, текущая цена одного фьючерса на индексные обязательства S&P 500 равна $300. Совокупная цена одного фьючерсного контракта на индексные обязательства S&P 500 в 500 раз больше и равна $150000. Поэтому необходимо продать с коротких позиций 20 фьючерсных контрактов на индекс S&P 500, чтобы общая сумма, вырученная от продажи контрактов, составила $3 млн.

Этот пример прост, но не реалистичен.

Вместо вложений в индексные обязательства сумму в $10 млн., их можно инвестировать в активно управляемый портфель, который по некоторым своим характеристикам будет отличаться от индексных обязательств S&P 500.

Так, активно управляемый портфель может быть в большей или меньшей степени подвержен систематическому риску, и к тому же владение таким портфелем сопряжено со специфическим риском – этот риск оказывается потенциальным источником приращения стоимости портфеля.

Систематический риск нашего портфеля можно оценить, рассчитав уравнения регрессии, описывающие зависимость доходов по нашему портфелю активов от доходов по портфелю S&P 500. Тангенс угла наклона линии регрессии называется коэффициентом бета () – он отражает чувствительность доходов нашего портфеля к изменению доходов по портфелю S&P 500. (Пример: если = 1,1 – то ожидаемый доход по нашему портфелю 1,1 раза дохода по портфелю S&P 500).

Что бы защитить себя на 30% от систематического риска, можно скорректировать чисто контрактов, которые должны стать объектом торговых операций; в этом случае зависимость принимает следующий вид:

,

где N – число контрактов;

T – сумма сделки;

P – цена фьючерсов на биржевые индексы;

S – сумма контракта;

β – коэффициент бета.

Таким образом, в предыдущем примере, в котором мы должны были на $3 млн. сократить чувствительность портфеля к риску, присущему S&P 500, нам пришлось бы в этом случае продать не 20, а 22 фьючерсных контракта.

         

По облигациям величина системного риска определяется степенью чувствительности их курса к изменению процентных ставок. Такая чувствительность оценивается с помощью скорректированного показателя продолжительности облигации:

где d (t1),…, d (T) – дисконтные множители, рассчитанные для платежей, получаемых через t1,…, T лет(считая от настоящего момента);

С – купонный доход по облигации;

PV – текущая стоимость облигации.

Если скорректированный показатель D равен, скажем 5, а процентные ставки выросли на 1%, то рыночная цена облигации понизится на 5%. Подобные корректировки можно использовать для определения числа торгуемых фьючерсных контрактов, если задан портфель активов, характеризующийся указанной продолжительностью:

,

где Р – цена фьючерса на государственные облигации;

Dp – скорректированный показатель продолжительности, рассчитанный для портфеля облигаций;

Dt – скорректированный показатель продолжительности, рассчитанный для тех государственных облигаций, против которых оформляются фьючерсные контракты.

5.6. Анализ рисков операций с ценными бумагами

Напомним, что риск – это возможность наступления некоторого неблагоприятного события, влекущего за собой возникновение различного рода потерь. Риск интерпретируется как возможность отклонения фактических результатов проводимых операций от ожидаемых (прогнозируемых). Чем шире диапазон возможных отклонений, тем выше риск данной операции.

Мы должны: минимизировать риск при проведении операций; оптимизировать соотношения между степенью риска операции и возможными выгодами от ее проведения.

Риск имеет вероятностную природу. Поэтому для его измерения используются показатели, характеризующие распределение вероятностей случайной величины. Важнейшие из них: среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение. Среднее (или математическое ожидание) служит центром распределения случайной величины.

Пример. Предположим, что прогнозируемая доходность по акциям фирмы через год будет зависеть от состояния спроса на ее продукцию в течение данного периода и соответственно равна: 12% - в случае повышения спроса; 9% - при обычном спросе; 6% - при умеренном спросе. Обозначив через R доходность, мы получим среднее значение . Смысл заключается в том, что ER представляет собой наиболее правдоподобную меру годовой доходности по акциям фирмы. Однако ER не позволяет измерить степень риска проводимой операции.

Пример. Рассматривается возможность приобретения акций двух фирм А и В. Полученные экспертные оценки предполагаемых значений доходности по акциям и их вероятности представлены в таблице.

Прогноз

Вероятность

Доходность, %

фирма А

фирма В

Пессимистический

0,3

-70

10

Вероятный

0,4

15

15

Оптимистический

0,3

100

20

Из этой таблицы следует ER1 (для фирмы А)=0,3(-70)+0,415+0,3100=15%; ER2=100,3+0,415+0,320=15%.

Хотя средняя доходность одинакова по акциям обеих фирм, но величины полученных доходов в наиболее благоприятном случае, как и величины возможных убытков в наиболее неблагоприятном случае будут существенно различаться.

Дисперсия и стандартное отклонение – служат характеристиками разброса (вариации) случайной величины от ее центра распределения (ER). Несмотря на то, что дисперсия может служить мерой риска финансовых операций, ее применение не всегда удобно. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель разброса случайной величины выражен в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. Для этих целей в качестве меры разброса случайной величины удобно использовать другой показатель – стандартное (среднеквадратическое) отклонение:

где .

Величина представляет собой средневзвешенное отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Следовательно, чем меньше стандартное отклонение, тем уже диапазон распределения вероятностей и тем ниже риск, связанный с данной операцией.

Для рассматриваемого примера:

,

следовательно, диапазон реальной доходности:

по акциям А: (-50,84%; 80,84%) (получено так: (15-65,84; 15+65,84)),

по акциям В: (11,13%; 18,87%) (получено так: (15-3,87; 15+3,87)).

Зная закон распределения и его основные параметры можно делать выводы о степени риска проводимой операции. Эти выводы носят вероятностный характер.

Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе рисков, является коэффициент вариации:. Коэффициент вариации – относительный показатель, он представляет степень риска на единицу среднего дохода.

Для нашего примера коэффициент вариации выглядит так:

, .

Следовательно, риск на среднюю единицу дохода по акциям А почти в 17 (4,3:0,26) раз выше, чем у фирмы В.

В случае одинаковых или нулевых ER вычисление этого показателя теряет смысл. Определение коэффициента вариации полезно в тех случаях, когда ER сравниваемых операций существенно различаются.

Пример. Предположим, что ожидаемая доходность по акциям фирм С и D равна 45%15% и 8%4% соответственно. Определим степень риска операций.

;.

Согласно значениям разброс доходности по акциям С значительно выше, следовательно, ее акции должны быть более рисковыми. Однако степень риска на среднюю единицу дохода выше у фирмы D. Ну и что же? Воспользуемся правилом трех сигм: Если - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а и дисперсией 2 , то . Тогда для фирмы D : нулевое значение доходности достигается в (а -2), а отрицательное – в диапазоне (а -3, а -2 ). Тогда как по акциям С получение нулевой доходности возможно лишь в крайнем случае - (а -3), а вероятность получения отрицательной доходности практически равна нулю, поскольку средняя доходности очень высока и в 3 раза превышает величину .

Этот пример демонстрирует преимущество коэффициента вариации в случаях, когда средние доходы различаются.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 5

  1.  Оценить текущую стоимость облигации номиналом $ 1000, купонной ставкой 9% годовых и сроком погашения через 3 года, если рыночная норма прибыли равна 7%.
  2.  Ожидаемая доходность акций А и Б равна соответственно 10 и 20%; их стандартное отклонение равно 5 и 60%. Коэффициент корреляции между доходностями акций равен 0,5. Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 40% из акций А и на 60% из акций Б.
  3.  Вычислить текущую цену бессрочной облигации, если выплачиваемый по ней годовой доход составляет 100 т. руб., а рыночная доходность – 12%.
  4.  Последний выплаченный дивиденд по акции равен $ 1. Ожидается, что он будет возрастать в течение следующих трех лет с темпом 14%, а затем темп прироста стабилизируется на уровне 5%. Какова цена акции, если рыночная норма прибыли 15%.
  5.  Куплена акция за $ 50; прогнозируемый дивиденд следующего года составит $ 2. Ожидается, что в последующие годы этот дивиденд будет возрастать с темпом 10%. Какова приемлемая норма прибыли, использованная инвестором при принятии решения о покупке акции?
  6.  Найти стоимость опциона купли, если цена актива равна 75 у.е., цена исполнения – 50 у.е., процентная ставка – 10% годовых, срок действия – 1 год. Цена актива будет двигаться вверх и вниз на 25% в течение года.
  7.  Найти цену трехмесячного опциона купли, где цена актива и цена исполнения равны 40 у.е., краткосрочная ставка процента – 10% годовых, а волатильность () равна 20%.


ГЛАВА 6

ИЗМЕРЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ.

АНАЛИЗ РИСКОВ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Управление инвестиционными процессами, связанными с вложениями денежных средств в долгосрочные материальные и финансовые активы, представляет собой наиболее важный и сложный раздел финансовой математики.

6.1 Показатели эффективности инвестиционных проектов

Основными показателями эффективности инвестиционных проектов являются: чистая современная стоимость, индекс рентабельности, внутренняя норма доходности и срок окупаемости.

Чистая современная стоимость. Основная идея чистой современной стоимости (NPV) заключается в том, чтобы найти разницу между инвестиционными затратами и будущими доходами, выраженную в скорректированной во времени денежной величине. Пусть I0 – сумма первоначальных затрат, т.е. сумма инвестиций на начало проекта; PV – современная стоимость денежного потока на протяжении экономической жизни проекта. Тогда

,

где, как известно,

,

здесь r – норма дисконта; n - число периодов реализации проекта; CFt - чистый поток платежей в периоде t. Отсюда,

.

Если NPV >0 – это означает, что в течение своей экономической жизни проект возместит первоначальные затраты I0, обеспечит получение прибыли согласно заданному стандарту r, а также ее некоторый резерв, равный NPV. Если  NPV <0 – это показывает, что заданная норма прибыли не обеспечивается и проект убыточен. Если NPV = 0 - проект только окупает производственные затраты, но не приносит дохода.

Пример. Фирма собирается вложить средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит 100.000 руб. Ожидается, что внедрение оборудования обеспечит получение на протяжении 6 лет чистых доходов в 25.000, 30.000, 35.000, 40.000, 45.000 и 50.000 руб. соответственно. Норма дисконта 10%. Определить экономическую эффективность проекта.

По формуле (проверьте самостоятельно) NPV =57302,37 – остаток полученный от проекта, после расчетов с кредиторами.

Индекс рентабельности проекта (PI). Сначала рассмотрим пример.

Пример. Предположим, что имеется  два проекта. Норма дисконта 10%. Оценка денежных потоков и расчет NPV приведены в таблице:

Проект

I0

CFt

PV

NPV

X

-10.000

16.500

15.000

5.000

Y

-100.000

115.000

105.000

5.000

Чистая современная стоимость обоих проектов оставляет 5.000 руб.и (в случае необходимости) сложно выбрать лучший проект. Поэтому используются другие показатели.

Индекс рентабельности (PI) – показывает, сколько единиц современной величины денежного потока приходится на единицу предполагаемых первоначальных затрат, т.е.

.

Если PI >1, то современная стоимость денежного потока превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV. При PI=1 величина NPV <0 и инвестиции не приносят дохода. Если PI <1, проект не обеспечивает заданного уровня рентабельности. Следовательно, проект принимается, если PI >1. Для рассматриваемого примера:

;     .

Следует отдать предпочтение проекту Х.

Внутренняя норма доходности (IRR). Под внутренней нормой доходности понимают процентную ставку, при которой чистая современная стоимость инвестиционного проекта равна нулю. Внутренняя норма доходности определяется решением уравнения:

.

Это уравнение решается итерационным методом.

Замечание. Нелинейное уравнение  эквивалентными преобразованиями приводится к виду:  Предположим, что x скалярный аргумент. Построение сходящейся последовательности  по правилу  при заданном  называется итерационным методом вычисления корня , где . Из наиболее известных итерационных методов приведем два: метод Ньютона и метод секущих.

Метод Ньютона. Здесь в качестве . Итерационная формула задается так:

Метод секущих. Здесь итерационная формула выглядит так:

и  ,  - два заданных числа такие, что .

Практическое применение итерационных методов осложнено, если нет специализированного финансового калькулятора. В этом случае применяется метод последовательных итераций с использованием табулированных значений дисконтирующих множителей. Для этого с помощью таблиц выбираются два значения коэффициента дисконтирования  таким образом, чтобы в интервале  функция NPV = f(r) меняла свой знак с «+» на «-» или с «-» на «+». Далее применяют формулу:

.

Точность вычислений обратно пропорциональна длине интервала , а наилучшая аппроксимация с использованием табулированных значений достигается в случае, когда длина интервала минимальна (равна 1%), т.е.  - ближайшие друг к другу значения коэффициента дисконтирования, удовлетворяющие условиям (в случае изменения знака функции с «+» на «-»:  - значение табулированного коэффициента дисконтирования, минимизирующее положительное значение показателя NPV, т.е. ;  - значение табулированного коэффициента дисконтирования, максимизирующее положительное значение показателя NPV, т.е. . Путем взаимной замены коэффициентов  и  аналогичные условия выписываются для ситуации, когда функция меняет знак с «-» на «+»).

Если NPV =0 современная стоимость проекта PV равна по абсолютной величине I0, следовательно, они окупаются. В общем случае, чем выше IRR, тем больше эффективность инвестиций. На практике IRR сравнивается с r (нормой дисконта). При этом: если IRR>r, то проект обеспечивает положительную NPV и доходность, равную IRR-r. Если IRR<r, затраты превышают доходы, и проект убыточен. Таким образом, проект принимается, если  IRR>r.

Пример. Определить значение IRR  для проекта, рассчитанного на три года, требующего инвестиций в размере 10 млн.руб. и имеющего предполагаемые денежные поступления в размере 3 млн.руб.; 4 млн.руб., 7 млн.руб.

Возьмем два произвольных значения коэффициента дисконтирования:  Приведем соответствующие расчеты с использованием этих значений:


Год

Поток

Расчет 1

r = 10%

Расчет 2

r = 20%

t

0

-10

1,000

-10,00

1,000

-10,00

1-й

3

0,909

2,73

0,833

2,50

2-й

4

0,826

3,30

0,694

2,78

3-й

7

0,751

5,26

0,579

4,05

NPV = 1,29

NPV = -0,67

Используя расчеты 1 и 2 мы находим значение IRR следующим образом:

Полученное значение можно уточнить. Допустим, что путем нескольких итераций мы определили ближайшие целые значения коэффициента дисконтирования, при которых NPV меняет знак: при  r =16%  NPV = 0,05 и при r =17% NPV = -0,14

Год

Поток

Расчет 3

r = 16%

Расчет 4

r = 17%

t

0

-10

1,000

-10,00

1,000

-10,00

1-й

3

0,862

2,59

0,855

2,57

2-й

4

0,743

2,97

0,731

2,92

3-й

7

0,641

4,49

0,624

4,37

NPV = 0,05

NPV = -0,14

Тогда уточненное значение IRR будет равно:

Срок окупаемости (PP). Алгоритм расчета срока окупаемости зависит от равномерности распределения прогнозируемых доходов от инвестиции. Если доход распределен по годам равномерно, то срок окупаемости рассчитывается делением единовременных затрат на величину годового дохода, обусловленного ими. При получения дробного числа оно округляется в сторону увеличения до ближайшего целого. Если прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, в течение которых инвестиция будет погашена кумулятивным доходом. Общая формула расчета PP выглядит так:

.

6.2 Методы анализа рисков инвестиционных проектов

Отметим еще раз, что принимая решение об инвестировании денег в проект, необходимо учитывать: инфляцию, риск, неопределенность, возможность альтернативного использования денег. Предполагаемые последствия принимаемых решений обязательно отражают в результатах проводимой экспертизы проекта, с использованием специально разработанного инструментария под общим названием «анализ рисков». Предпринимаемый анализ рисков включает качественный и количественный подходы. Если в ходе качественного анализа определяются основные возможные риски проекта, описываются последствия их реализации и намечаются пути минимизации с указанием примерной стоимости необходимых мероприятий, то в ходе количественного анализа оценивают изменения эффективности проекта в результате предполагаемых изменений факторов проекта, исключающих или способствующих проявлению конкретных рисков. Анализ возможного влияния конкретных рисков на эффективность инвестиционных проектов обычно включает следующие разделы:

Собственный риск проекта – риск того, что реальные поступления денежных средств (а следовательно, и ожидаемая доходность) в ходе его реализации будут сильно отличаться от запланированных;

Корпоративный, или внутрифирменный, риск связан с влиянием, которое может оказать ход реализации проекта на финансовое состояние данной фирмы;

Рыночный риск характеризует влияние, которое может оказать реализация проекта на изменение стоимости акций фирмы.

В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа рисков инвестиционных проектов. Наиболее распространенные следующие: метод корректировки нормы дисконта; метод достоверных эквивалентов (коэффициентов достоверности); анализ чувствительности критериев эффективности (NPV, IRR и др.); метод сценариев; анализ вероятностных распределений потоков платежей; деревья решений; метод Монте-Карло (имитационное моделирование).

6.2.1. Метод корректировки нормы дисконта с учетом риска

Этот метод наиболее простой и часто применяемый. Основная идея метода заключается в корректировке некоторой базовой нормы дисконта, которая считается безрисковой или минимально приемлемой (например, ставка доходности по государственным ценным бумагам, предельная или средняя стоимость капитала для фирмы). Корректировка осуществляется путем прибавления величины требуемой премии за риск, после чего производится расчет показателей эффективности инвестиционного проекта NPV, IRR, PI по вновь полученной таким образом норме и принимается решение. В общем случае чем больше риск, ассоциируемый с проектом, тем выше должна быть величина премии, которая может определяться по внутрифирменным процедурам, экспертным путем или формальным методикам. В частности, в качестве ориентира для установления величины премии за риск может использоваться коэффициент вариации. Чем больше этот коэффициент, тем большей должна быть величина премии за риск.

Пример. Фирма рассматривает инвестиционный проект, первоначальные затраты по которому составят 100000 руб. Ожидаемые поступления от реализации проекта 50000, 60000 и 40000 руб. Допустим, что фирма может установить премию за риск в 10% при расширении уже успешно действующего проекта, 15% - в случае, если реализуется новый проект, связанный с основной деятельностью фирмы и 20% - если проект связан с выпуском продукции, производство и реализация которой требуют освоения новых видов деятельности и рынков. Пусть предельная стоимость капитала для фирмы равна 8%. Тогда для перечисленных типов проектов норма дисконта будет соответственно равна – 18%, 23% и 28%.

Произведем оценку проекта, если его реализация связана с освоением новых видов деятельности для корпорации. Отметим еще раз, что с учетом предельной стоимости капитала для корпорации (8%) скорректированная норма дисконта будет равна: 8%+20%=28%. Рассчитаем NPV (проведите самостоятельно) по норме дисконта 28% и получим NPV = -5242,92. Поскольку результат отрицательный, согласно правилу NPV проект следует отклонить. Проведем расчет NPV по норме дисконта 8% (без учета надбавки за риск) и получим NPV = 29489,92. Также приведем расчеты NPV по норме дисконта с надбавкой за риск в 10% и 15% соответственно NPV = 9809,18 и NPV=1804,70.

Как мы видим, главные достоинства этого метода в простоте расчетов. Вместе с тем этот метод имеет существенные недостатки: а) метод корректировки нормы дисконта осуществляет приведение будущих потоков платежей к настоящему моменту времени (т.е. обыкновенное дисконтирование по более высокой норме), но не дает никакой информации о степени риска . При этом полученные результаты существенно зависят только от величины надбавки за риск; б) он также предполагает увеличение риска во времени с постоянным коэффициентом, что вряд ли может считаться корректным, так как для многих проектов характерно наличие рисков в начальные периоды с постепенным снижением их к концу реализации. Таким образом, прибыльные проекты, не предполагающие со временем существенного увеличения риска, могут быть оценены неверно и отклонены; в) метод не несет никакой информации о вероятностных распределениях будущих потоков платежей и не позволяет получить их оценку; г) наконец, обратная сторона простоты метода состоит в существенных ограничениях возможностей моделирования различных вариантов, которое сводится к анализу зависимости показателей NPV (IRR, PI и др.) от изменений только одного показателя – нормы дисконта.

6.2.2. Метод достоверных эквивалентов (коэффициентов определенности)

В отличие от предыдущего метода в этом случае осуществляется корректировка не нормы дисконта, а ожидаемых значений потока платежей  путем введения специальных понижающих коэффициентов  для каждого периода реализации проекта. Теоретически значения коэффициентов  могут быть определены из соотношения:

где  - величина чистых поступлений от безрисковой операции в периоде t (например, периодический платеж по долгосрочной государственной облигации);  - ожидаемая (запланированная) величина чистых поступлений от реализации проекта в периоде t. Тогда достоверный эквивалент ожидаемого платежа может быть определен как:

Таким образом осуществляется приведение ожидаемых поступлений к величинам платежей, получение которых практически не вызывает сомнений и значения которых могут быть определены абсолютно точно (достоверно). Однако в реальной практике для определения значений коэффициентов чаще всего прибегают к методу экспертных оценок. В этом случае коэффициенты отражают степень уверенности специалистов-экспертов в том, что поступление ожидаемого платежа осуществится. После того как значения коэффициентов тем или иным путем определены, рассчитывают показатели NPV (IRR, PI) для откорректированного потока платежей по формуле:

Предпочтение отдается проекту, скорректированный поток платежей которого обеспечивает получение большей величины NPV. Используемые при этом множители  получили названия коэффициентов достоверности или определенности.

Рассмотрим пример из предыдущего метода. Предположим, что в результате опроса экспертов получены следующие значения коэффициентов достоверности: 0,9, 0,85 и 0,6 соответственно. Расчет скорректированного потока платежей для данного случая приведен в таблице.

t

0

-100000

1,00

-100000

1

50000

0,90

45000

2

60000

0,85

51000

3

40000

0,60

24000

Рассчитаем NPV для скорректированного потока платежей и получим NPV = 4442,92. Как следует из полученных результатов, чистая приведенная величина скорректированного с учетом риска потока платежей более чем в 6 раз меньше обычной. В случае, если NPV потока платежей по данному проекту превышает значения аналогичного показателя для других альтернатив, этому проекту следует отдать предпочтение.

В отличие от метода корректировки нормы дисконта данный метод не предполагает увеличение риска с постоянным коэффициентом, при этом сохраняются простота расчетов, доступность и понятность. Таким образом, он позволяет учитывать риск более корректно. Вместе с тем исчисление коэффициентов достоверности, адекватных риску каждого этапа реализации проекта, представляет определенные трудности. Кроме того, этот метод также не позволяет провести анализ вероятностных распределений ключевых параметров.

6.2.3. Анализ чувствительности показателей

Этот метод сводится к исследованию зависимости некоторого результирующего показателя от вариации значений показателей, участвующих в его определении. Другими словами, этот метод позволяет получить ответы на вопросы вида: что будет с результирующей величиной, если изменится значение некоторой исходной величины? Отсюда его второе название – анализ «что будет, если». Как правило проведение подобного анализа предполагает выполнение следующих шагов.

Задается взаимосвязь между исходными и результирующим показателями в виде математического уравнения или неравенств.

Определяются наиболее вероятные значения для исходных показателей и возможные диапазоны их изменений.

Путем изменения значений исходных показателей исследуется их влияние на конечный результат.

Проект с меньшей чувствительностью NPV считается менее рисковым. Обычная процедура анализа чувствительности предполагает изменение одного исходного показателя, в то время как значения остальных считаются постоянными величинами. Рассмотрим применение этого метода на примере.

Пример. Фирма рассматривает инвестиционный проект, связанный с выпуском продукта «А». Полученные в результате опроса экспертов данные по проекту приведены в таблице.

Показатели

Диапазон изменений

Наиболее вероятное

значение

Объем выпуска Q

150-300

200

Цена за штуку P

35-55

50

Переменные затраты V

25-40

30

Постоянные затраты F

500

500

Амортизация A

100

100

Налог на прибыль T

60%

60%

Норма дисконта r

8%-15%

10%

Срок проекта n

5-7

5

Остаточная стоимость

200

200

Начальные инвестиции

2000

2000

Первый этап анализа согласно сформулированному выше алгоритму состоит в определении зависимости результирующего показателя от исходных. В данном случае с учетом приведенных в таблице обозначений подобная зависимость может быть задана соотношением:

Диапазоны возможных изменений исходных показателей определены ранее, поэтому можно приступить к анализу.

Выберем параметр, влияние которого будет подвергнуто анализу. Предположим, что таким параметром является цена. Диапазон ее изменений составляет интервал 35-55. Придавая варьируемому параметру значения (P) 25, 30, 35, 40, 45 по формуле получим соответствующие значения для NPV: -3922,84; -2406,53; -890,21; 626,10; 2142,42. Отметим, что за остальные параметры в формуле мы берем наиболее вероятные значения.

Теперь берем в качестве варьируемого параметра объем выпуска (Q). Проведем анализ чувствительности NPV к изменению объемов выпуска. Придавая Q последовательно значения: 60, 100, 140, 180, 220, 260, 300 мы из формулы получим соответствующие значения для NPV: -586,95; 626,10; 1839,16; 3052,21; 4265,26; 5478,31; 6691,36.

Из результатов анализа по двум параметрам следует вывод, что NPV проекта более чувствительна к изменениям цены, чем объемов выпуска. При неизменных значениях остальных показателей падение цены менее чем на 20% приведет к отрицательной величине чистой современной стоимости проекта, тогда как снижение объемов выпуска с 300 до 100 единиц при прочих равных условиях все еще обеспечивает положительную величину NPV.

Отметим преимущества ии недостатки этого метода. Этот метод является хорошей иллюстрацией влияния отдельных исходных показателей на результат. Он также показывает направления дальнейших исследований. Если установлена сильная чувствительность результирующего показателя к изменениям некоторого исходного, последнему следует уделить особое внимание. Вместе с тем данный метод обладает следующими недостатками: Жесткая детерминированность используемых моделей для связи ключевых переменных не позволяет получить вероятностные оценки возможных отклонений исходных и результирующих показателей; предполагает изменение одного исходного показателя, в то время как остальные считаются постоянными величинами.

Упражнение. Провести анализ чувствительности NPV к изменениям переменных затрат и нормы дисконта.

6.2.4 Метод сценариев

В отличие от предыдущих метод сценариев позволяет совместить исследование чувствительности результирующего показателя с анализом вероятностных оценок его отклонений. В общем случае процедура использования данного метода в процессе анализа инвестиционных рисков включает выполнение следующих шагов.

Определяют несколько вариантов изменений ключевых исходных показателей (например, пессимистический, наиболее вероятный и оптимистический).

Каждому варианту изменений приписывают его вероятностную оценку.

Для каждого варианта рассчитывают вероятное значение показателя NPV (либо IRR, PI), а также оценки его отклонений от среднего значения.

Проводится анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Проект с наименьшими стандартным отклонением () и коэффициентом вариации (CV) считается менее рисковым.

Пример. Предположим, что по результатам анализа проекта из предыдущего примера были составлены следующие сценарии его развития и определены возможные вероятности их осуществления. Проведем анализ собственного риска проекта.

Показатели

Сценарий

Наихудший

=0,25

Наилучший

=0,25

Вероятный

=0,5

Объем выпуска Q

150

300

200

Цена за штуку P

40

55

50

Переменные затраты V

35

25

30

Норма дисконта r

15%

8%

10%

Срок проекта n

7

5

5

Расчет NPV дает:  = –1259,15 для наихудшего сценария,  = 3658,73 для вероятного (ожидаемого) сценария и  = 11950,89 для наилучшего сценария. (расчеты проведите самостоятельно).

Эти результаты используются для дальнейшего анализа-оценки вероятностного распределения значений показателя NPV. Сначала определим среднее ожидаемое значение NPV по формуле:

.

Расчет показывает, что E(NPV) = 4502,30. Среднее ожидаемое значение больше величины, которую мы надеялись получить в наиболее вероятном случае.

Теперь вычислим стандартное отклонение по формуле:

.

Результаты вычислений дают = 4673,62. Исходя из предположения о нормальном распределении случайной величины, с вероятностью приблизительно 0,7 можно утверждать, что значение NPV будет находиться в диапазоне 4502,304673,62.

Определим теперь  (т.е. вероятность того, что NPV будет иметь нулевое или отрицательное значение). Используя таблицу 6 приложения (значений стандартного нормального распределения) находим  = 0,17 (NPV имеет нормальное распределение с параметрами a = E(NPV) и , т.е . Чтобы воспользоваться таблицей 6 отметим, что , а также свойство функции ) Таким образом, существует один шанс из шести возникновения убытков. Определим теперь вероятность того, что величина NPV будет меньше ожидаемой на 50%. Находим =0,32.  Аналогично можно вычислить  и т.д. Можно вычислить также коэффициент вариации CV=1,04 (эти вычисления проведите самостоятельно).

Полученные результаты свидетельствуют о наличии риска для этого проекта. Несмотря на то, что среднее значение NPV (4502,30) превышает прогноз экспертов (3658,73), ее величина меньше стандартного отклонения. Значение коэффициента вариации (1,04) больше 1, следовательно, риск данного проекта несколько выше среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. В случае, если значения стандартного отклонения и коэффициента вариации по этому проекту меньше, чем у остальных альтернатив, при прочих равных обстоятельствах ему следует отдать предпочтение. В целом этот метод позволяет получить достаточно наглядную картину результатов для различных вариантов реализации проектов. Он обеспечивает менеджера информацией как о чувствительности, так и о возможных отклонениях выбранного показателя эффективности. Применение программных средств (типа EXCEL) позволяет значительно повысить эффективность подобного анализа путем практически неограниченного увеличения числа сценариев, введения дополнительных (до 32) ключевых переменных, построения графиков распределения вероятностей и т.д.

Вместе с тем использование данного метода направлено на исследование поведения только результирующих показателей (NPV, IRR, PI). Метод сценариев не обеспечивает пользователя информацией о возможных отклонениях потоков платежей и других ключевых показателей, определяющих в конечном итоге ход реализации проекта.

Упражнение. Определить вероятность того, что а) величина NPV будет меньше 70% от ожидаемой средней; б) значение NPV будет больше ожидаемой средней на величину двух стандартных отклонений.

6.2.5 Анализ вероятностных распределений потоков платежей.

Зная распределение вероятностей для каждого элемента потока платежей, можно определить ожидаемую величину чистых поступлений наличности  в соответствующем периоде, рассчитать по ним чистую современную стоимость проекта NPV и оценить ее возможные отклонения. Проект с наименьшей вариацией доходов считается менее рисковым. Однако, количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между отдельными элементами потока платежей. Рассмотрим два противоположных случая:

-элементы потока платежей независимы друг от друга во времени (т.е. корреляция между ними отсутствует);

-значение потока платежей в периоде t сильно зависит от значения потока платежей в предыдущем периоде t-1 (т.е. между элементами потока платежей существует тесная корреляция).

Сначала рассмотрим первый случай – независимые потоки платежей.

В этом случае ожидаемая величина NPV и ее стандартное отклонение  могут быть определены из следующих соотношений:

где  - ожидаемое значение потока платежей в периоде t;  - i –й вариант значения потока платежей в периоде t ; m – количество предполагаемых значений потока платежей в периоде t ;  - вероятность i-го значения потока платежей в периоде t ;  - стандартное отклонение потока платежей от ожидаемого значения в периоде t.

Пример. Проект требует первоначальных вложений в размере 10000 ден. ед. Предположим, что норма дисконта составляет 6%. Планируемый поток платежей по проекту характеризуется распределением вероятностей, приведенным в таблице.

Год 1

Год 2

Год 3

3000

0,3

2000

0,2

3000

0,3

5000

0,4

4000

0,6

5000

0,4

7000

0,3

6000

0,2

7000

0,3

Определим чистую современную стоимость NPV и риск проекта. Расчеты дают: NPV = 2475,06 и . Зная их можно провести анализ вероятностного распределения будущего дохода, исходя из предположения о его нормальном распределении. Определим =0,14, следовательно вероятность получения положительного значения NPV будет равна: 1-0,14 = 0,86. Аналогично могут быть определены вероятности получения других значений NPV.

Теперь рассмотрим второй случай – сильно зависимые потоки платежей.

В этом случае распределения элементов потока платежей будут одинаковы. Например, если фактическое значение поступлений от проекта в первом периоде отклоняется от ожидаемого на n стандартных отклонений, все остальные элементы потока платежей в последующих периодах будут также отклоняться от ожидаемого значения на эту же величину. Другими словами, между элементами потока платежей существует линейная зависимость. Такие потоки платежей называют идеально коррелированными. В этом случае формулы расчетов следующие:

,

Предположим, что в рассмотренном выше примере потоки платежей идеально коррелированные. Проведенные расчеты по указанным формулам дают: NPV = 2475,06; =3888. Из таблицы значений стандартного нормального распределения находим =0,26.

Рассмотренные случаи имеют важное теоретическое и практическое значение. Однако, в реальной практике преобладает золотая середина, и между элементами потоков платежей обычно существует умеренная корреляция. В этом случае сложность вычислений существенно возрастает. Несмотря на то, что их реализация средствами EXCEL не представляет особого труда, методика проведения анализа рисков при существовании умеренной корреляции между элементами потока платежей требует предварительного рассмотрения понятия условной вероятности. В целом, применение этого метода позволяет получить полезную информацию об ожидаемых значениях NPV и чистых поступлений, а также провести анализ их вероятностных распределений. Вместе с тем использование этого метода предполагает, что вероятности для всех вариантов денежных поступлений известны либо могут быть точно определены. В действительности в некоторых случаях распределение вероятностей может быть задано с высокой степенью достоверности на основе анализа прошлого опыта при наличии больших объемов фактических данных. Однако чаще всего такие данные недоступны, поэтому распределения задаются исходя из предположения экспертов и несут в себе большую долю субъективизма.

6.2.6. Деревья решений

Деревья решений обычно используются для анализа рисков проектов, имеющих обозримое или разумное число вариантов развития. Они особо полезны в ситуациях, когда решения, принимаемые в момент времени t, сильно зависят от решений, принятых ранее, и свою очередь определяют сценарии дальнейшего развития событий. Дерево решений имеет вид нагруженного графа, вершины его представляют ключевые состояния, в которых возникает необходимость выбора, а дуги (ветви дерева) – различные события (решения, последствия, операции), которые могут иметь место в ситуации, определяемой вершиной. Каждой дуге дерева могут быть приписаны числовые характеристики, например, величина платежа и вероятность его осуществления. В общем случае использование этого метода предполагает выполнение следующих шагов.

1. Для каждого момента времени t определяют проблему и все возможные варианты дальнейших событий;

2. Откладывают на дереве соответствующую проблеме вершину и исходящие из нее дуги;

3. Каждой исходящей дуге приписывают ее денежную и вероятностную оценку;

4. Исходя из значений всех вершин и дуг рассчитывают вероятное значение показателя NPV (либо IRR, PI);

5. Проводят анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Пример. Рассматривается двухлетний контракт, требующий первоначальных вложений в объеме 200000 ден.ед. Согласно экспертным оценкам приток средств от реализации проекта в первом году с вероятностью 0,3 составит 80000 ден.ед.; с вероятностью 0,4 – 100000 ден.ед. и с вероятностью 0,3 – 150000 ден.ед. Притоки средств во втором периоде зависят от результатов, полученных в первом периоде (см. таблицу). Предположим, что норма дисконта равна 12%. Построить дерево решений для оценки риска.

40000

0,2

130000

0,3

160000

0,1

100000

0,6

150000

0,4

200000

0,8

150000

0,2

160000

0,3

240000

0,1

Представим дерево решений:

А соответствующие расчеты NPV приведены  в таблице:

Путь

1

80000

40000

-96680

0,06

-5800,80

2

80000

100000

-48860

0,18

-8794,80

3

80000

150000

-9010

0,06

-540,60

4

110000

130000

1840

0,12

220,80

5

110000

150000

17780

0,16

2844,80

6

110000

160000

25750

0,12

3090,00

7

150000

160000

61470

0,03

1844,10

8

150000

200000

93350

0,24

22404,00

9

150000

240000

125230

0,08

3756,90

E(NPV)=

19024,40

Значения  были рассчитаны исходя из дисконтных множителей, равных 0,893 для первого и 0,797 для второго периода соответственно, т.е.

Значения  представляет собой совместные вероятности двух событий, т.е. вероятности того, что произойдет и событие 1 и событие 2:

Поскольку суммарная ожидаемая NPV положительна, при отсутствии других альтернатив проект можно принять. В общем случае предпочтение следует отдавать проекту с большей ожидаемой NPV.

Быстрый рост сложности вычислений, а также необходимость применения специальных программных средств для реализации подобных моделей являются основными причинами невысокой популярности данного метода оценки рисков.

6.2.7 Имитационное моделирование инвестиционных рисков

Имитационное моделирование позволяет преодолеть многие ограничения, присущие всем рассмотренным выше методам. В общем случае под имитацией понимают процесс проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями сложных систем реального мира. Отличие подобного эксперимента от реального состоит в том, что он проводится с моделью системы, а не с самой системой. Проведение реальных экспериментов с экономическими системами по крайней мере неразумно, требует значительных затрат. Таким образом, имитация – единственный способ исследования систем без осуществления реальных экспериментов.

При решении многих задач финансового анализа используются модели, содержащие случайные величины, поведения которых не поддается управлению со стороны лиц, принимающих решения. Такие модели называют стохастическими. Применение имитации позволяет сделать выводы о возможных результатах, основанные на вероятностных распределениях случайных факторов (величин). Стохастическую имитацию часто называют методом Монте-Карло.

В общем случае проведение имитационного эксперимента можно разбить на следующие этапы.

1. Установить взаимосвязи между исходными и выходными показателями в виде математического уравнения или неравенства.

2. Задать законы распределения вероятностей для ключевых параметров модели.

3. Провести компьютерную имитацию значений ключевых параметров модели.

4. Рассчитать основные характеристики распределений исходных и выходных показателей.

5. Провести анализ полученных результатов и принять решение.

Приведем результаты ИМ анализа рисков инвестиционного проекта на основании данных примера, используемого в предыдущих методах.

Фирма рассматривает проект по производству продукта «А». В процесса предварительного анализа экспертами выявлены три ключевых параметра (Q, P, V) проекта и определены возможные границы их изменений. Прочие параметры проекта считаются постоянными величинами.

Показатели

Сценарий

наихудший

наилучший

вероятный

Объем выпуска Q

150

300

200

Цена за штуку P

40

55

50

Переменные затраты V

35

25

30

Постоянные затраты F

500

Амортизация A

100

Налог на прибыль T 

60%

Норма дисконта r

10%

Срок проекта n

5

Начальные инвестиции

2000

Первый этап анализа состоит в определении зависимости результирующего показателя от исходных. При этом в качестве результирующего показателя обычно выступает один из показателей эффективности проекта: NPV, IRR, PI.

Предположим, что результирующим показателем выступает NPV. По условиям примера значения нормы дисконта и первоначального объема инвестиций известны и считаются постоянными. Предположим для простоты, что поток платежей имеет вид аннуитета. Тогда величина потока платежей NCF для любого периода t одинакова и имеет вид:

Следовательно, NPV считается:

Следующий этап проведения анализа состоит в выборе законов распределения вероятностей ключевых переменных. По условиям примера ключевыми варьируемыми параметрами являются переменные расходы V, объем выпуска Q и цена P. При этом будем исходить из предположения, что все ключевые переменные имеют равномерное распределение.

Реализация третьего этапа может быть осуществлена только с применением ЭВМ, оснащенной специальными программными средствами. Проведение имитационных экспериментов в среде EXCEL можно осуществить двумя способами- с помощью встроенных функций и путем использования инструмента Генератоp случайных чисел дополнения Анализ данных (Analysis ToolPack).

А. Первый способ. Применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности реализации всех значений случайной величины считаются одинаковыми. В результате имитационного анализа (метод Монте-Карло) мы получим следующие результаты:

Показатели

V

Q

P

NPV

Среднее значение

29,93

223,72

47,32

1414,47

3361,96

Ст. отклонение

3,14

45,53

4,66

599,17

2271,31

Коэф. вариации

0,10

0,20

0,10

0,42

0,68

Минимум

25,00

150,00

40,00

196,00

-1257,01

Максимум

35,00

300,00

55,00

3224,00

10221,50

P(NPV<0)

0,20

Сумма убытка

-11691,92

Сумма дохода

1692669,76

X = 0

P=0,07

Если сравнить полученные результаты с данными анализа по методу сценариев, отметим, что по результатам имитационного анализа риск проекта значительно ниже. Величина ожидаемой NPV меньше (3361,96 против 4502,30). Однако величина стандартного отклонения также существенно ниже (2271,31 против 4673,62) и не превышает значения NPV. Коэффициент вариации меньше 1, таким образом, риск данного проекта в целом ниже среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. Результаты вероятностного анализа показывают, что шанс получить отрицательную величину NPV не превышает 7%. Еще больший оптимизм внушают результаты анализа распределения чистых поступлений от проекта NCF. Величина стандартного отклонения здесь составляет всего 42% среднего значения. Таким образом, с вероятностью больше 0,9 можно утверждать, что поступления от проекта будут положительными величинами. Сумма всех отрицательных значений NPV может быть интерпретирована как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае принятия проекта. Аналогично сумма всех положительных значений NPV может трактоваться как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае отклонения проекта. Несмотря на всю условность этих показателей, в целом они представляют собой индикаторы целесообразности проведения дальнейшего анализа. В данном случае они наглядно демонстрируют несоизмеримость суммы возможных убытков по отношению к общей сумме доходов (-11691,92 и 1692669,76 соответственно).

Одним из важнейших этапов анализа результатов имитационного моделирования является исследование зависимостей между ключевыми параметрами. Методы оценки степени зависимости, а также технология ее автоматизации путем применения специальных инструментов EXCEL можно найти в [5]. В заключение отметим, что применение рассмотренной технологии проведения имитационных экспериментов в среде EXCEL достаточно трудоемкий процесс, который к тому же ограничивается случаем равномерного распределения исследуемых переменных.

Б) Второй способГенератор случайных чисел позволяет автоматически сформировать генеральную совокупность величин, имеющих распределение вероятностей. При этом могут быть использованы распределения: равномерное, нормальное, Пуассона, Бернулли. Отсылаем читателя в [5].

Преимущества имитационного моделирования: позволяет учесть максимально возможное число факторов внешней среды для поддержки принятия решений и является наиболее мощным средством анализа рисков. Результаты имитации могут быть дополнены вероятностным  и статистическим анализом и в целом обеспечивают менеджера наиболее полной информацией о степени влияния ключевых факторов на ожидаемые результаты и возможных сценариев развития событий.

Недостатки имитационного моделирования: трудность понимания и восприятия менеджерами имитационных моделей, учитывающих большое число внешних и внутренних факторов, вследствие их математической сложности и объемности; при разработке реальных моделей может возникнуть необходимость привлечения специалистов или научных консультантов со стороны; относительная неточность полученных результатов по сравнению с другими методами численного анализа и др.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 6

  1.  Имеются данные о 4-х проектах:

Год

П1

П2

П3

П4

0

-10000

-13000

-10000

-6000

1

6000

8000

5000

5000

2

6000

8000

5000

2000

3

2000

1000

5000

2000

Полагая, что цена капитала составляет 12% ответьте на вопросы:

а) какой проект имеет наибольший NPV?

б) какой проект имеет наименьший NPV?

в) чему равно значение IRR проекта П1?

г) чему равно значение IRR проекта П1, если денежные потоки 3-го года считаются слишком непредсказуемыми и потому должны быть исключены из расчета?

  1.  Предприятие имеет возможность инвестировать а) до 55 млн. р.; б) до 90 млн. р., при этом цена капитала составляет 10%. Составьте оптимальный инвестиционный портфель из следующих альтернативных проектов (млн. р.):

П1:

-30

6

11

13

12

П2:

-20

4

8

12

5

П3:

-40

12

15

15

15

П4:

-15

4

5

6

6

  1.  Предприятие рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии. На рынке имеются 2 модели со следующими параметрами ($):

П1

П2

Цена

9500

13000

Генерируемый годовой доход

2100

2250

Срок эксплуатации

8 лет

12 лет

Ликвидационная стоимость

500

800

Требуемая норма прибыли

11%

11%

Обоснуйте целесообразность приобретения той или иной технологической линии.

  1.  Средний период погашения дебиторской задолженности на предприятии равен 80 дням. В результате опроса экспертов составлены следующие сценарии возможного развития экономической ситуации:

Показатель

Сценарий

пессимистический

наиболее вероятный

оптимистический

Месячный темп инфляции, %

18

10

5

Планируемое сокращение периода погашения (в дн.)

5

12

20

Уровень банковской процентной ставки, %

100

80

50

Вероятность сценария

0,2

0,5

0,3

Провести анализ оценки вероятностного распределения значений показателей NPV. В частности определить вероятность того, что значение NPV будет больше ожидаемой средней на величину 2-х стандартных отклонений.

Л И Т Е Р А Т У Р А

  1.  Количественные методы финансового анализа. / Под ред. С.Дж.Брауна и М.П.Крицмена. - М.: ИНФРА-М, 1996. - 336 с.
  2.  О.В.Русаков. Вводные понятия и простейшая модель стохастической финансовой математики. - С-П.: Изд-во СпбГУ, 1997. - 26 с.
  3.  О.В.Русаков, В.Н.Солев. Многомерная модель с дискретным временем в стохастической финансовой математике. - С-П.: Изд-во СпбГУ, 1997. - 33 с.
  4.  О.В.Русаков, В.Н.Солев. Предельный переход для классических моделей в стохастической финансовой математике. - С-П.: Изд-во СпбГУ, 1997. - 34 с.
  5.  И.Я.Лукасевич. Анализ финансовых операций. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. – 400 с.
  6.  Е.М.Четыркин. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: Дело Лтд, 1995. – 320 с.
  7.  Г.П.Башарин. Начала финансовой математики. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 160 с.
  8.  В.В.Ковалев. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. – М.:Финансы и статистика, 1995. – 432 с.
  9.  Е.Кочович. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов. – М.: Финансы и статистика, 1994. – 271 с.
  10.  Инвестирование в инновационный бизнес: мировая практика – венчурный капитал / Сост. и общ.ред. Н.М.Фонштейн. – М.: ЗелО, 1996. – 172 с.
  11.  Е.М. Четыркин Пенсионные фонды. Зарубежный опыт для отечественных предприятий, актуарные расчеты. – М.: АО «АРГО», 1993. – 100 с.
  12.  А.А. Гвозденко Основы страхования: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1998.
  13.  Cox J.C., Rubinstein M. Option Markets. Englewood Cliffs N.J., 1985. 498 p.

П Р И Л О Ж Е Н И Я

Таблица 1.

Коэффициенты наращения  по сложным процентам.

n

i

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

1

1,0100

1,0200

1,0300

1,0400

1,0500

1,0600

1,0700

1,0800

2

1,0201

1,0404

1,0609

1,0816

1,1025

1,1236

1,1449

1,1664

3

1,0303

1,0612

1,0927

1,1249

1,1576

1,1910

1,2250

1,2597

4

1,0406

1,0824

1,1255

1,1699

1,2155

1,2625

1,3108

1,3605

5

1,0510

1,1041

1,593

1,2167

1,2763

1,3382

1,4026

1,4693

6

1,0615

1,1262

1,1941

1,2653

1,3401

1,4185

1,5007

1,5869

7

1,0721

1,1487

1,2299

1,3159

1,4071

1,5036

1,6058

1,7138

8

1,0829

1,1717

1,2668

1,3686

1,4775

1,5938

1,7182

1,8509

9

1,0937

1,1951

1,3048

1,4233

1,5513

1,6895

1,8385

1,9990

10

1,1046

1,2190

1,3439

1,4802

1,6289

1,7908

1,9672

2,1589

11

1,1157

1,2434

1,3842

1,5395

1,7103

1,8983

2,1049

2,3316

12

1,1268

1,2682

1,4258

1,6010

1,7959

2,0122

2,2522

2,5182

13

1,1381

1,2936

1,4685

1,6651

1,8856

2,1329

2,4098

2,7196

14

1,1495

1,3195

1,5126

1,7317

1,9799

2,2609

2,5785

2,9372

15

1,1610

1,3459

1,5580

1,8009

2,0789

2,3966

2,7590

3,1722

16

1,1726

1,3728

1,6047

1,8730

2,1829

2,5404

2,9522

3,4259

17

1,1843

1,4002

1,6528

1,9479

2,2920

2,6928

3,1588

3,7000

18

1,1961

1,482

1,7024

2,0258

2,4066

2,8543

3,3799

3,9960

19

1,2081

1,4568

1,7535

2,1068

2,5270

3,0256

3,6165

4,3157

20

1,2202

1,4859

1,8061

2,1911

2,6533

3,2071

3,8697

4,6610

21

1,2324

1,5157

1,8603

2,2788

2,7860

3,3996

4,1406

5,0338

22

1,2447

1,5460

1,9161

2,3699

2,9253

3,6035

4,4304

5,4365

23

1,2572

1,5769

1,9736

2,4647

3,0715

3,8197

4,7405

5,8715

24

1,2697

1,6084

2,0328

2,5633

3,2251

4,0489

5,0724

6,3412

25

1,2824

1,6406

2,0938

2,6658

3,3864

4,2919

5,4274

6,8485

26

1,2953

1,6734

2,1566

2,7725

3,5557

4,5494

5,8074

7,3964

27

1,3082

1,7069

2,2213

2,8834

3,7335

4,8823

6,2139

7,9881

28

1,3213

1,7410

2,2879

2,9987

3,9201

5,1117

6,6488

8,6271

29

1,3345

1,7758

2,3566

3,1187

4,1161

5,4184

7,1143

9,3173

30

1,3478

1,8114

2,4273

3,2434

4,3219

5,7435

7,6123

10,063

40

1,4889

2,2080

3,2620