64713

Physics-Mathematical modeling

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Using the general laws of the thermodynamics such integrals can be written for any function we are interested in. For example, the equilibrium states can be described by the minimum of the potential energy...

Английский

2014-07-10

401 KB

0 чел.

Physics-Mathematical modeling is one of the basic research methods of approach to various phenomenon and processes. A co-ordinate space is associated to an every natural object here and the processes are described by differential equations. Commonly these equations couple a number of physical functions Fк(xi) of the independent variable xi, defined in. As example to an element of a cooler (fig.1а), we can associate co-ordinate space (xi, х=1, 2, 3) (fig.1в). In this space we can define functions of the stress ij(xi), of the temperature T(xi) and of the velocity vi(xi). In the courses on “Mechanics of materials” “Mechanics of fluids” and “Heat and mass transfer” is presented, that differential equations, connecting these functions, can be derived from equilibrium of the infinitesimal area around point in .

   

а)      b)

Фиг.1

Фиг.2

If we examine mechanical equilibrium of the volume with infinitesimal edges size dx1, dx2, dx3 (fig.2), we receive:

(1.1)  ,

          ,

    ,

were Хi  are the components of the dead load,  is the density and ui are the displacements (the equations will be discussed in the next parts of these materials).

For this volume the next boundary conditions are in force:

33=0 at x3=R  - there isn’t any stress on the open  surface,

 33=p (p - pressure) for x3 = r  -  the stress on the inner side of the pipe is equal to the pressure.

(1.1а)  ij=oij at x1=0  -  the stress on the left boundary of the investigated area is equal to the stress on the right side of the next area or is defined by fixing.

 ij=lij at x1=l  - the stress on the right boundary of the investigated area is equal to the stress on the left side of the next area or is defined by fixing.

In the same way we can derive from the thermal quantity balance the next:

(1.2)   ,

were Т is the temperature and а is the conduction coefficient. The boundary conditions are:

  Т=Т0 at х1=0 for the temperature,

(1.2а)    at х1→0 for thermal flux.

For the fluid stream the equation of the continuity is in force:      

(1.3)   .

In this case the boundary conditions are:

(1.3а)  V1 = 0  за x3 = r; V1 = V1(o) за x1 = 0; V1= V1(l) за x1 = l, V2 = 0,  V3 = 0.

So, in existence of sufficiency of boundary conditions 1а-3а, the equations 1-3 can be solved and the functions Fк(xi), which describe the object state, can be determined. But the solution of these equations (by finite differences as example), runs into big difficulties when complex geometries or complex boundary conditions exist. For solving the problem nowadays it’s increasingly used the minimum-principles (variation principles) of Hamilton and Lagrange. According to these principles some definite integrals, representative for the process under investigation, obtain the minimum value if the unknown integral function describes the process in the right way.   

Using the general laws of the thermodynamics such integrals can be written for any function we are interested in. For example, the equilibrium states can be described by the minimum of the potential energy, the motion of mechanical systems - by the minimum of the kinetic potential etc. In this way all equations we are interested in can be obtained from one origin – variation principals of the continuum.

Thus the solution of the problem can be obtained by a procedure in which an approximate continuous function is assumed to represent the solution and an above integral formulation is used to create a system of algebraic equations. Finite element method assumes that the investigated area is divided into smaller pieces (elements) and the procedure above mentioned is implemented for every element separately as a first step of the solution (discretization), the results are collated in a global matrix at the second step (assembling) and at the end – a system of algebraic equations for the unknown quantities in the all area is obtained (expanding). A brief description of this three-step procedure is presented in the next part of these materials.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24359. Проблема интернализма и экстернализма в понимании механизмов научной деятельности 54.5 KB
  60 Движущие силы развития научного познания: интернализм и экстернализм а Интернализм Что является движущими силами развития научного знания При ответе на этот вопрос исследователь сталкивается с двойственным характером существования и движения научного знания. Они развиваются по внутренней логике: вытекают одна из другой обосновывают друг друга и образуют единую систему знания. С другой стороны исследователь не может не учитывать того обстоятельства что производит эти знания конкретный субъект ученый научное сообщество и что их...
24360. Предмет философии науки: общие закономерности научного познания в его историческом развитии и изменяющемся социокультурном контексте 54.5 KB
  Функции науки культурная технологическая наука как фактор соц регуляции проективно – конструктивная экологическая Научное познание – процесс получения объективного истинного знания направленного на отражение закономерности действительности. 9 Предмет и структура философии науки Специфика предмета науки определяется в ходе исследовательской деятельности. Поэтому представление о предмете философии науки в истории развития этой отрасли знания существенно меняется.
24361. Наука и культура. Традиционалистический и техногенный тип цивилизации. Ценность научной рациональности 53.5 KB
  Тема соотношения науки и культуры обширна здесь много деталей но общий механизм их взаимодействия таков: наука выявляя законы изменения природных и социальных процессов становится необходимым условием их управления воздействует на потребности общества помогает человечеству в выборе жизненных стратегий поиске путей культурного развития. Надежность влияния культуры на науку подчеркивает хотя бы тот факт что не всякая культура способна продуцировать науку: многие культуры в истории человечества в частности культура майя обходились без...
24362. Соотношение науки и философии 100.5 KB
  Первые пять вопросов получили впоследствии в философии название онтологических или метафизических первый смысл этого понятия проблем. Шестой вопрос гносеологические вопросы философии: философия вырабатывает положения являющиеся базисными для познающего мир о глобальности и абсолютности материи о постоянном развитии мира в целом и отдельных его частей о сотканности мира из противоречий о маятникообразности всех процессов относительно положения равновесия о несводимости закона целого к законам его частей и др. И если на какомто...
24363. Единство и различие науки и искусства 60 KB
  Он же положил начало тенденции рассматривать поэзию в качестве главной составляющей искусства. Белинский утверждал что наука живая современная наука сделалась пестуном искусства и без нее немощно вдохновение бессилен талант. Новый виток обсуждения взаимоотношений науки и искусства связан с огромными достижениями науки и искусства XX столетия.
24364. Наука и обыденное познание 52 KB
  Наряду с научным художественным философским существует обыденное сознание познание. Эксперты отмечают сложность четкой структуризации понятия обыденное знание. К обыденным знаниям относят: практические знания необходимые человеку для решения повседневных задач основанные на здравом смысле умения навыки социальный опыт; исторически первый способ идеального отражения в форме мифологического знания; обыденное массовое сознание в форме стихийного массового опыта и др.
24365. Наука и религия в современной культуре 62 KB
  Научное и религиозное познание Для целей нашего исследования представляет определенный интерес и сопоставление научного и религиозного познания. В общественном сознании россиян под влиянием атеистической критики религии сложилось представление о противоположности и даже несовместимости науки и религии религиозного и научного познания. В рамках данного раздела мы не имеем возможности исследовать все эти грани а сконцентрируем преимущественное внимание на сопоставлении специфики научного и религиозного познания. И именно эта специфичность...
24366. Роль науки в современном образовании и формировании личности 32.5 KB
  Образовательный процесс выступает в качестве исходной территории на которой происходит встреча индивида и науки подготовка его к жизнедеятельности в данном обществе и формирование зрелой личности. Образование – необходимая ступень социализации личности. Образование подразумевает не только процесс передачи знания но и процесс окультурования личности самого учащихся.
24367. Основные функции науки в жизни общества (наука как мировоззрение, как производительная и социальная сила) 59 KB
  Культурная сущность науки влечет за собой ее этическую и ценностную наполненность. Результативная функция науки осуществляется из систему образования воспитания обучения и подключения членов общества к исследовательской деятельности и эпосу науки. Функций у науки много и с ее развитием их становится все больше и больше.