64713

Physics-Mathematical modeling

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Using the general laws of the thermodynamics such integrals can be written for any function we are interested in. For example, the equilibrium states can be described by the minimum of the potential energy...

Английский

2014-07-10

401 KB

0 чел.

Physics-Mathematical modeling is one of the basic research methods of approach to various phenomenon and processes. A co-ordinate space is associated to an every natural object here and the processes are described by differential equations. Commonly these equations couple a number of physical functions Fк(xi) of the independent variable xi, defined in. As example to an element of a cooler (fig.1а), we can associate co-ordinate space (xi, х=1, 2, 3) (fig.1в). In this space we can define functions of the stress ij(xi), of the temperature T(xi) and of the velocity vi(xi). In the courses on “Mechanics of materials” “Mechanics of fluids” and “Heat and mass transfer” is presented, that differential equations, connecting these functions, can be derived from equilibrium of the infinitesimal area around point in .

   

а)      b)

Фиг.1

Фиг.2

If we examine mechanical equilibrium of the volume with infinitesimal edges size dx1, dx2, dx3 (fig.2), we receive:

(1.1)  ,

          ,

    ,

were Хi  are the components of the dead load,  is the density and ui are the displacements (the equations will be discussed in the next parts of these materials).

For this volume the next boundary conditions are in force:

33=0 at x3=R  - there isn’t any stress on the open  surface,

 33=p (p - pressure) for x3 = r  -  the stress on the inner side of the pipe is equal to the pressure.

(1.1а)  ij=oij at x1=0  -  the stress on the left boundary of the investigated area is equal to the stress on the right side of the next area or is defined by fixing.

 ij=lij at x1=l  - the stress on the right boundary of the investigated area is equal to the stress on the left side of the next area or is defined by fixing.

In the same way we can derive from the thermal quantity balance the next:

(1.2)   ,

were Т is the temperature and а is the conduction coefficient. The boundary conditions are:

  Т=Т0 at х1=0 for the temperature,

(1.2а)    at х1→0 for thermal flux.

For the fluid stream the equation of the continuity is in force:      

(1.3)   .

In this case the boundary conditions are:

(1.3а)  V1 = 0  за x3 = r; V1 = V1(o) за x1 = 0; V1= V1(l) за x1 = l, V2 = 0,  V3 = 0.

So, in existence of sufficiency of boundary conditions 1а-3а, the equations 1-3 can be solved and the functions Fк(xi), which describe the object state, can be determined. But the solution of these equations (by finite differences as example), runs into big difficulties when complex geometries or complex boundary conditions exist. For solving the problem nowadays it’s increasingly used the minimum-principles (variation principles) of Hamilton and Lagrange. According to these principles some definite integrals, representative for the process under investigation, obtain the minimum value if the unknown integral function describes the process in the right way.   

Using the general laws of the thermodynamics such integrals can be written for any function we are interested in. For example, the equilibrium states can be described by the minimum of the potential energy, the motion of mechanical systems - by the minimum of the kinetic potential etc. In this way all equations we are interested in can be obtained from one origin – variation principals of the continuum.

Thus the solution of the problem can be obtained by a procedure in which an approximate continuous function is assumed to represent the solution and an above integral formulation is used to create a system of algebraic equations. Finite element method assumes that the investigated area is divided into smaller pieces (elements) and the procedure above mentioned is implemented for every element separately as a first step of the solution (discretization), the results are collated in a global matrix at the second step (assembling) and at the end – a system of algebraic equations for the unknown quantities in the all area is obtained (expanding). A brief description of this three-step procedure is presented in the next part of these materials.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31304. Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з курсу Теорія автоматичного керування 1.49 MB
  Лінійні системи автоматичного керування (САК) описують лінійними диференціальними рівняннями. У цих рівняннях змінні та їх похідні зустрічаються лише у першому ступені й відсутні взаємні добутки змінних та їх добутки з похідними.
31305. Методичні вказівки до виконання контольних і розрахункових завданнь з курсу “Теорія електропривода” 725.5 KB
  Сумісна робота двигуна і робочої машини. Вираз характеристик двигуна у відносних одиницях. Гальмівні режими роботи двигуна: а з віддачею енергії в мережу рекуперативне гальмування; б режим противмикання; в режим електродинамічного гальмування. Механічні характеристики і регулювання швидкості двигуна при шунтуванні якоря.
31306. ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРОПРИВОДА 397.5 KB
  Незважаючи на різноманітність систем електропривода в завданні на проект а також у методичних вказівках здійснюється загальний підхід до розв’язання задач вибору потужності двигуна дослідження статичних і неусталених режимів. Розрахувати відсутні параметри тахограми орієнтовно визначити потужність двигуна вибрати за каталогом двигун і редуктор. Виконати уточнений розрахунок потужності електродвигуна використовуючи формули приведення моментів і мас що обертаються. Розрахувати й побудувати статичні характеристики двигуна в розімкненій і...
31307. Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни «Теорiя електропривода» (частина I) 2.27 MB
  Гальмівний режим Залежно від того як використовується перетворена електрична енергія існує декілька гальмівних режимів: режим рекуперативного гальмування або генераторний режим із віддачею енергії у мережу; при цьому активна механічна потужність із вала двигуна перетворюється в електричну і за відрахуванням втрат віддається в мережу тобто. Перехід із рушійного режиму в режим рекуперативного гальмування здійснюється при кутовій швидкості двигуна вище кутової швидкості ідеального холостого ходу; режим противмикання; при цьому двигун...
31308. «ТЕОРIЯ ЕЛЕКТРОПРИВОДA» (ЧАСТИНА IІ) 4.07 MB
  1 На відміну від каскаду сталої потужності додаткова ЕРС вводиться в ротор АД від машини постійного струму механічно не зв’язаної з валом робочого двигуна рис. Очевидно що і потужність приводного двигуна ПД МПС повинна бути в цьому випадку однаковою з потужністю АД. машини постійного струму і випрямленої напруги ротора асинхронного двигуна. ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2 ДОСЛІДЖЕННЯ МЕХАНІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГУНА ПОСТІЙНОГО СТРУМУ В СИСТЕМІ КВ – Д МЕТА РОБОТИ Одержати експериментально швидкісні і за допомогою розрахунку –...
31309. Методичні вказівки щодо оформлення дипломних проектів (робіт) для студентів денної та заочної форм навчання 1.08 MB
  Зразок обкладинки дипломної роботи. Додаток Б Зразок обкладинки дипломного проекту. Додаток В Зразок титульної сторінки комплексного дипломного проекту Додаток Г Зразок титульної сторінки дипломного проекту. Додаток Д Оформлення аркуша технічного завдання на дипломний проект роботу Додаток Е Оформлення відомості дипломного проекту.
31310. ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВЕ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА СРЕДСТВАМИ ИСКУССТВА 139.5 KB
  Выявить особенности представлений детей о пространстве и времени, отражённых в различных видах искусства. Разработать содержание и методы, обеспечивающие формирование представлений и времени и о пространстве, сохраняющих культурные ценности. Разработать целостную систему занятий по формированию представлений о пространстве и времени для детей 5-7 лет...
31311. Обучающая подсистема для лабораторного исследования характеристик замкнутых САУ в среде интернет 3.05 MB
  В данном дипломном проекте рассматривается Обучающая подсистема для лабораторного исследования характеристик замкнутых САУ в среде интернет. В экономической части дается техникоэкономическое обоснование разработки Обучающей подсистемы для лабораторного исследования характеристик замкнутых САУ в среде интернет с помощью частотных критериев устойчивости проводится расчет ее сметной стоимости и стоимости эксплуатации.1 Описание предметной области по характеристикам и частотным показателям качества САУ .
31312. Экспериментальная работа по ознакомлению детей старшего дошкольного возраста с Олимпийскими играми 281 KB
  Теоретические основы формирования представлений у детей старшего дошкольного возраста об Олимпийских играх. Научные основы развития детей старшего дошкольного возраста посредством олимпийского образования. Специфика формирования представлений детей старшего дошкольного возраста об Олимпийских играх 22 Выводы 31 II. Экспериментальная работа по ознакомлению детей старшего дошкольного возраста с Олимпийскими играми 2.