64713

Physics-Mathematical modeling

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Using the general laws of the thermodynamics such integrals can be written for any function we are interested in. For example, the equilibrium states can be described by the minimum of the potential energy...

Английский

2014-07-10

401 KB

0 чел.

Physics-Mathematical modeling is one of the basic research methods of approach to various phenomenon and processes. A co-ordinate space is associated to an every natural object here and the processes are described by differential equations. Commonly these equations couple a number of physical functions Fк(xi) of the independent variable xi, defined in. As example to an element of a cooler (fig.1а), we can associate co-ordinate space (xi, х=1, 2, 3) (fig.1в). In this space we can define functions of the stress ij(xi), of the temperature T(xi) and of the velocity vi(xi). In the courses on “Mechanics of materials” “Mechanics of fluids” and “Heat and mass transfer” is presented, that differential equations, connecting these functions, can be derived from equilibrium of the infinitesimal area around point in .

   

а)      b)

Фиг.1

Фиг.2

If we examine mechanical equilibrium of the volume with infinitesimal edges size dx1, dx2, dx3 (fig.2), we receive:

(1.1)  ,

          ,

    ,

were Хi  are the components of the dead load,  is the density and ui are the displacements (the equations will be discussed in the next parts of these materials).

For this volume the next boundary conditions are in force:

33=0 at x3=R  - there isn’t any stress on the open  surface,

 33=p (p - pressure) for x3 = r  -  the stress on the inner side of the pipe is equal to the pressure.

(1.1а)  ij=oij at x1=0  -  the stress on the left boundary of the investigated area is equal to the stress on the right side of the next area or is defined by fixing.

 ij=lij at x1=l  - the stress on the right boundary of the investigated area is equal to the stress on the left side of the next area or is defined by fixing.

In the same way we can derive from the thermal quantity balance the next:

(1.2)   ,

were Т is the temperature and а is the conduction coefficient. The boundary conditions are:

  Т=Т0 at х1=0 for the temperature,

(1.2а)    at х1→0 for thermal flux.

For the fluid stream the equation of the continuity is in force:      

(1.3)   .

In this case the boundary conditions are:

(1.3а)  V1 = 0  за x3 = r; V1 = V1(o) за x1 = 0; V1= V1(l) за x1 = l, V2 = 0,  V3 = 0.

So, in existence of sufficiency of boundary conditions 1а-3а, the equations 1-3 can be solved and the functions Fк(xi), which describe the object state, can be determined. But the solution of these equations (by finite differences as example), runs into big difficulties when complex geometries or complex boundary conditions exist. For solving the problem nowadays it’s increasingly used the minimum-principles (variation principles) of Hamilton and Lagrange. According to these principles some definite integrals, representative for the process under investigation, obtain the minimum value if the unknown integral function describes the process in the right way.   

Using the general laws of the thermodynamics such integrals can be written for any function we are interested in. For example, the equilibrium states can be described by the minimum of the potential energy, the motion of mechanical systems - by the minimum of the kinetic potential etc. In this way all equations we are interested in can be obtained from one origin – variation principals of the continuum.

Thus the solution of the problem can be obtained by a procedure in which an approximate continuous function is assumed to represent the solution and an above integral formulation is used to create a system of algebraic equations. Finite element method assumes that the investigated area is divided into smaller pieces (elements) and the procedure above mentioned is implemented for every element separately as a first step of the solution (discretization), the results are collated in a global matrix at the second step (assembling) and at the end – a system of algebraic equations for the unknown quantities in the all area is obtained (expanding). A brief description of this three-step procedure is presented in the next part of these materials.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81934. Технологія виконання дизайну нігтів в манікюрі та педикюрі під креативний образ жінки 12.44 MB
  Одним із популярних дизайнів нігтів є французький манікюр. Так він називається тому, що був винайдений дизайнерами Франції. Він зразу ж знайшов популярність - як у жінок середніх шарів, так і біля зірок кіно і естради - за свою практичність і універсальність.
81935. Інвентаризаційна робота – об’єкт ревізійного дослідження 1.62 MB
  Проведення інвентаризації дозволяє підтвердити або спростувати інформацію тих бухгалтерських документів первинних та зведених по яких можна визначити законність доцільність і необхідність здійснених працівниками підприємства господарських операцій.
81936. Теоретичні та практичні аспекти вдосконалення організації праці та виробництва на прикладі місцевого підприємства 3.22 MB
  Важливою ознакою НОП є її спрямованість на рішення взаємозалежних груп завдань: економічних економія ресурсів підвищення якості продукції ріст результативності виробництва; психофізіологічних оздоровлення виробничого середовища гармонізація психофізіологічних навантажень на людину зниження ваги...
81937. Проблема профессионального самоопределения молодежи в условиях начального профессионального образования 537.5 KB
  В отечественной психологии накоплен богатый опыт в области теории профессионального самоопределения, который во многом предопределил современные подходы к данной проблеме. Это ставшими классическими исследования в области профессиональной ориентации и профконсультирования...
81938. Монтаж главных распределительных щитов (ГРЩ) 798.5 KB
  Щиты ГРЩ предназначены для приёма и распределения электроэнергии (возможен также учёт) в сетях переменного тока с разделенной землёй и нейтралью возможно подключение к сетям с глухозаземлённой нейтралью тип заземления TN-C, TN-S, TN-C-S напряжением до 380 вольт частотой 50 Гц...
81939. Особенности начисления заработной платы в бюджетном учреждении (на примере ФГУ «Карабашская КЭЧ района») 62.03 KB
  Учет труда и заработной платы по праву занимает одно из центральных мест во всей системе учета в учреждении. Он должен обеспечить оперативный контроль над количеством и качеством труда за использованием средств включаемых в фонд заработной платы и выплаты социального характера.
81940. Ресторанный комплекс при клубе знаменитых людей: ресторан высшего класса на 140 мест, бар на 28 мест, арт-кафе на 40 мест, банкетный зал на 100 мест 395.5 KB
  Дипломная работа включает разработку и обоснование использования различных форм и методов обслуживания, выбор средств и информационного обеспечения процесса обслуживания, порядка подготовки торговых помещений к обслуживанию. Определение рыночной стратегии выхода на рынок: сбытовой, ценовой, и рекламной политики.
81941. Управление инновационной политикой компании по продвижению продукции нетрадиционной энергетики на мировой рынок 771.81 KB
  Экономика глобализируется вследствие возникновения новых форм конкуренции, когда возрастающее количества участников мирохозйственных связей не имеет определенной государственной принадлежности. Развертывание процесса глобализации противоречиво с точки зрения характера влияния на национальные экономики...
81942. ОФИСНАЯ PBX НА БАЗЕ СЕРВЕРА АSTERISK 13.09 MB
  Целью квалификационной работы является создание офисной PBX на базе сервера Asterisk с возможностями. Прием и распределения вызовов через диспетчера, удержание вызова, переадресация вызова, переадресация вызова при отсутствии ответа.