6506

Регрессионный анализ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Регрессионный анализ Исходные данные Пусть y-случайная переменная, x-неслучайная переменная. - выборка значений (xy), полученная в эксперименте. xi- количество населения в миллионах, yi- число городов в России соответствующие данно...

Русский

2013-01-04

40.01 KB

10 чел.

Регрессионный анализ

Исходные данные

Пусть y-случайная переменная, x-неслучайная переменная. – выборка значений (x;y), полученная в эксперименте. xi - количество населения в миллионах, yi - число городов в России соответствующие данному количеству населения (таблица 1).

Таблица 1.

x

y

1

111

15

2

120

10

3

140

7

4

155

5

5

170

6

6

180

5

7

190

5

8

200

3

9

220

5

10

250

2

11

270

3

12

280

3

13

300

3

14

310

4

15

330

4

16

350

2

17

400

1

18

500

1

19

550

2

20

600

3

Объём выборки составляет n=20.

На рисунке 1 представлена зависимость числа городов от количества населения.

Рис. 1. Зависимость городов России от числа жителей

Построение модели зависимости

Построим модель зависимости между переменными x и y методом наименьших квадратов. Предположим, что зависимость между переменными линейная. Т.е. строится модель вида:

По выборочным данным найдём b0 и b1.

Решая систему методом Крамера, из составленных определителей получаем:

В полученные выражения введём выборочные моменты:

Тогда формулы для вычисления b0 и b1 примут вид:

Откуда b1 = -0.0152 и b0 = 8.726. Таким образом, получаем модель, которая представлена на рисунке 2 уравнением y = -0.0152x+8.726.

Рис. 2. Модель зависимости числа городов от населения

Оценки разброса или точности измерений дисперсий коэффициентов b0 и b1:

Проверка значимости коэффициентов регрессии

Проверка значимости коэффициентов регрессии сводится к последовательной проверке гипотез вида:

1) H0: β0 = 0  H1: β0 0     

2) H0: β1 = 0  H1: β1 0     

Для проверки этих гипотез вычисляются две выборочные статистики:

 

C11 и С22 – диагональные элементы информационной матрицы.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α = 0.05 и числу степеней свободы k = 20-2=18 находим критическую точку tкр = 2.10.

Поскольку выполняется неравенство tкр<t, то можно говорить, что второй параметр модели не равен нулю.

Оценка корреляции

Через второй выборочный момент имеем:

r(b0, b1) отрицательный, близкий к -1, следовательно, параметры сильно взаимосвязаны друг с другом.

Доверительные интервалы

Зная коэффициент t = 2.10 при α = 0.05 и n = 20, находим:

Проверка адекватности модели Фишера

Проверим адекватность модели по критерию Фишера.

Найдём

где  =   =

где  = 6.04 xi + 6.86 ,  

Видно, что модель адекватна, т.к. <.

По таблице критических точек распределения Фишера, по уровню значимости α = 0.05 и числам степеней свободы k1 = 20-1=19 и k2 = 20-1=19 находим критическую точку Fкр = 2.1555.

Имеем, Fкр > Fнабл , следовательно, выдвинутая гипотеза о соответствии выборочных данных построенной модели принимается.

Исследование остатков

Проведём проверку остатков на нормальность при помощи критерия, основанного на анализе показателей асимметрии и эксцесса.

Вычисляем выборочные характеристики асимметрии и эксцесса:

Определяем среднеквадратические отклонения выборочных асимметрии и эксцесса:

Гипотеза о нормальности закона не отвергается.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70667. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЖЕЛТУХА 72 KB
  Большая группа болезней билиарной системы и поджелудочной железы сопровождается развитием механической непроходимости желчных протоков проявляющейся появлением у больного желтушной окрашенности кожи и склер что ошибочно привело к объединению всех этих заболеваний...
70668. ОПУХОЛИ И КИСТЫ СРЕДОСТЕНИЯ 207.28 KB
  Под средостением следует понимать комплекс органов и нервно-сосудистых образований, заключенных между обеими средостенными плеврами и окруженных значительным количеством клетчатки.
70669. ОСТРЫЙ И ХРОНИЧЕСКИЙ ХОЛЕЦИСТИТ 100.5 KB
  Исследование органов брюшной полости: осмотр: форма живота участие в дыхании видимое увеличение желчного пузыря; пальпация: а тонус брюшных мышц локализация болезненности пальпация...
70670. ПАНКРЕАТИТ 91.5 KB
  Железа располагается позади желудка, в сальниковой сумке, забрюшинно; спереди и сзади покрыта расходящимися листками брыжейки поперечно-ободочной кишки; позади нее располагается солнечное сплетение.
70671. Перитониты. Анатомия и физиология брюшины 108.5 KB
  Брюшина это серозный покров стенок париетальная брюшина и органов брюшной полости висцеральная брюшина. Нижний этаж брюшной полости может быть осмотрен после того как большой сальник и поперечно-ободочная кишка будут отвернуты вверх.
70672. ПОВРЕЖДЕНИЯ ЖИВОТА 144 KB
  Ранение тканей брюшной стенки. Повреждение органов брюшной полости. Повреждение органов брюшной полости и забрюшинного пространства. Клиника повреждений брюшной полости зависит от: характера травмы локализации повреждения.
70673. ОНКОПАТОЛОГИЯ ЛЕГКИХ ТРАХЕИ И КРУПНЫХ БРОНХОВ 388.98 KB
  В зависимости от характера роста опухоли выделяют три анатомические формы рака легкого. Рост опухоли происходит кнаружи от стенки бронха. Выделяют две разновидности этой опухоли: солитарную и мультицентрическую.
70674. ПОВРЕЖДЕНИЯ ГРУДИ 176.5 KB
  Повреждения груди относятся к категории тяжелых травм мирного и военного времени. Обращает на себя внимание что и сегодня до 15 пострадавших умирают не из-за тяжести и обширности повреждения а от вторичных в большинстве случаев устранимых причин.
70675. ОСЛОЖНЕНИЯ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНИ 72.5 KB
  Язвенная болезнь заболевание в основе которого лежит образование и долгое не заживление дефекта слизистой и других слоев желудка и 12 п. К местным факторам принадлежат: 1 повышение кислотно-ферментативного воздействия на слизистые...