ID: 6507

Название работы: Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям. Выборка случайной величины объёмом...

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-01-04

Размер файла: 73.39 KB

Работу скачали: 93 чел.

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

1. Исходные данные

В таблице 1 приведена выборка результатов измерения веса 100 студентов обучающихся на 1ом курсе в педагогическом институте. Измерения проводились с точностью до 1 кг:

Таблица 1 Выборка случайной величины объёмом n=100

70	70	78	83	68	75	86	75	77	83
85	83	83	78	70	71	74	81	63	70
80	75	80	80	78	69	71	88	66	78
88	73	78	78	83	86	84	68	78	82
73	70	81	63	70	78	74	79	75	73
78	83	87	66	78	89	93	78	83	68
78	75	68	78	81	74	78	83	90	86
70	80	74	75	73	79	84	84	67	76
85	75	79	82	68	79	80	78	70	71
73	93	84	90	85	69	94	81	78	88

1.1 Исключение ложных результатов в выборке

Для исключения из экспериментальных данных грубых ошибок (ложных результатов) воспользуемся критерием Стьюдента

где  – математическое ожидание случайной величины x,  – среднее квадратичное отклонение т.е. корень квадратный дисперсии,  – критерий Стьюдента берётся из таблице.

Поскольку, выборка объёмом 100, то для исключения ложных результатов удобней воспользоваться методом вычисления максимального относительного отклонения:

где – крайний (наибольший или наименьший) элемент выборки. Таким образом, для выделения аномального значения вычисляют τ, которое сравнивают с табличным значением . Если неравенство  соблюдается, то наблюдение не отсеивают, если не соблюдается, то наблюдение исключают.

Максимальное значение в данной выборке равняется Xmax=94, а минимальное значение Xmin=63. Рассчитаем математическое ожидание:

И среднее квадратичное отклонение:

Для  рассчитываются по формуле (1) τ

Далее из выбирают наибольшее. Для отсева грубых погрешностей удобно максимальные относительные отклонения разделить на три неравенства:

Из таблицы распределения Стьюдента:  ,

Подставляя найденные значения τ при , получаем, что выполняется неравенство (5), следовательно, рассматриваемые значения не исключаем, так как весомых аргументов в их ошибочности нет.

1.  Оценка числовых характеристик распределения:
2.  Среднее арифметическое рассчитывается по формуле (2) и принимает значение равное 77.78
3. Эмпирическая дисперсия:

1. Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле (3) и принимает значение = 6.941
2.  Выборочное значение коэффициент вариации, является мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины в %, вычисляют по формуле:

1.   Выборочный коэффициент асимметрии (скошенности) это количественная характеристика показывающая сходство с нормальным распределением и рассчитываемая по формуле:

Коэффициент асимметрии положителен, т.е. плотность распределения обладает положительной асимметрией

1.  Выборочный коэффициент эксцесса (островершинности) это количественная характеристика островершинности распределения, которая вычисляется по формуле:

Эксцесс отрицателен, следовательно, вершина более пологая.

1.  Статистическая проверка случайности и независимости результатов наблюдений

Рассмотрим критерий серий, основанный на медиане выборки.

Так как значение n – чётное, то выборочное значение медианы принимает вид

В исходной выборке вместо каждого хi будем ставить "+", если хi>xmed(n), "-", если хi < xmed(n). Если хi = xmed(n), то не ставится никакой знак. Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий (n) и длиной самой длинной серии (n). При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-". Если выборка стохастически независима (выборка случайна), то чередование плюсов и минусов в последовательности должно быть случайно. Таким образом, в данном критерии рассматриваются две критические статистики . 

где в квадратных скобках неравенства обозначена […] – целая часть,  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии.

Рассмотрим второй критерий - Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий "+" и "-". Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xi, i =  на месте i-го элемента ставят "+" если хi+1 > xi, и "-" если хi+1 < xi. Если хi+1 = xi, то в серии ничего не проставляется.

При уровне значимости q=0.05 количественное выражение этого правила примет вид:

где  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии,   – принимает значение 6 так как объём выборке удовлетворяет неравенству 26<n<153.

1.  Проверка нормальности распределения

Критерий, основанный на вычислении среднего абсолютного отклонения (САО).

Для выборки n > 120 среднее абсолютное отклонение вычисляется по формуле:

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение:

Подставляя значения в данное неравенство получаем , следовательно неравенство выполнено выборка имеет приближённо нормальный закон распределения.

Критерий, основанный на анализе показателей асимметрии и эксцесса.

В случаи нормального распределения характеристики асимметрии и эксцесса должны быть нулевыми. Вычислим выборочные характеристики асимметрии  по формуле 7 и эксцесса по формуле 8.

 

Далее определим среднеквадратическое отклонение выборочных асимметрий и эксцесс соответственно:

Если выполняются два неравенства,

то гипотеза о нормальном законе распределения рассматриваемой случайной величины принимается.

Подставляя полученные значения в неравенство (9) получаем:

Гипотеза о нормальном законе может быть принята.

1.  Построение гистограммы, полигона и кумулянты.

Разделим данные выборки на классы и построим полигон, гистограмму и кумулянту частот. Гистограмма и полигон дают графическое представление об эмпирической функции плотности этой переменной, а кумулятивная кривая – о её эмпирической функции распределения. Для этого выполним следующие преобразования:

1) находим xmin=63 и xmax=94, Размах выборки R= xmax- xmin = 31;

2) n=100 наблюдений;

3) Определяем длину интервала разбиений:

Длину интервала принимаем равной 4.0, число интервалов возьмём 8.

4) Разбиваем массив данных на интервалы и вычисляем частоту. Результаты этой операции представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Интервал веса	Середина интервала	Частоты
		абсолютные	относительные	относительные накопленные
от 62 до 66	64	4	0.04	0.04
от 66 до 70	68	17	0.17	0.21
от 70 до 74	72	10	0.1	0.31
от 74 до 78	76	25	0.25	0.56
от 78 до 82	80	16	0.16	0.72
от 82 до 86	84	18	0.18	0.9
от 86 до 90	88	7	0.07	0.97
от 90 до 94	92	3	0.03	1

5) После составления таблицы строим полигон, гистограмму и кумулянту распределения результатов наблюдения:

Рис.1. Полигон распределения

Рис.2. Гистограмма распределения

Рис. 3. Кумулянта распределения

По виду гистограммы подбираем закон распределения случайной величины. В данной работе имеем гистограмму близкую к гистограмме нормального закона распределения.

Нормальный закон:

,

Проверим по критериям согласия, будут ли опытные данные согласоваться с нормальным законом распределения.

1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию

Условие:

где r – число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные; ni – число опытных данных, попавших в i-ый интервал (абсолютная частота);  - теоретическое число, попавшее в i-ый интервал.

где n - объём выборки.

В случае нормального закона распределения

где  (значения данной функции берутся из таблицы её значений).

Для первого интервала левый конец изменим на -, а для последнего интервала правый конец на + . Таким образом, первый интервал будет (-; 66), а последний (90; + ). Расчёт  приведён в табл. 3; 4; 5.

Таблица 3

i	Границы интервала		xi -	xi +1 -	Границы интервалов
					zi=	zi+1=
	xi	xi+1
1	- ∞	66	-	-11.78	- ∞	-1.6972
2	66	70	-11.78	-7.78	-1.6972	-1.1209
3	70	74	-7.78	-3.78	-1.1209	-0.5446
4	74	78	-3.78	0.22	-0.5446	0.0317
5	78	82	0.22	4.22	0.0317	0.608
6	82	86	4.22	8.22	0.608	1.1843
7	86	90	8.22	12.22	1.1843	1.7606
8	90	+ ∞	12.22	-	1.7606	+ ∞

Таблица 4

i	Границы интервала		(zi)	(zi+1)	Pi = (zi+1) - (zi)	=100Pi
	zi	zi+1
1	- ∞	-1.6972	-0.5	-0.4552	0.0448	4.48
2	-1.6972	-1.1209	-0.4552	-0.3688	0.0864	8.64
3	-1.1209	-0.5446	-0.3688	-0.207	0.1618	16.18
4	-0.5446	0.0317	-0.207	0.0126	0.2196	21.96
5	0.0317	0.608	0.0126	0.2284	0.2158	21.58
6	0.608	1.1843	0.2284	0.3819	0.1535	15.35
7	1.1843	1.7606	0.3819	0.4608	0.0789	7.89
8	1.7606	+ ∞	0.4608	0.5	0.0392	3.92

Таблица 5

i	ni		ni -	(ni - )2	(ni - )2 /		/
1	4	4.48	-0.48	0.2304	0.05143	16	3.57
2	17	8.64	8.36	69.8896	8.0891	289	33.45
3	10	16.18	-6.18	38.1924	2.3605	100	6.18
4	25	21.96	3.04	9.2416	0.4208	625	28.46
5	16	21.58	-5.58	31.1364	1.4428	256	11.86
6	18	15.35	2.65	7.0225	0.4575	324	21.11
7	7	7.89	-0.89	0.7921	0.1004	49	6.21
8	3	3.92	-0.92	0.8464	0.2159	9	2.30
Σ	100	100			13.1384		113.14

Столбцы  и  служат для контроля вычисления по формуле:

. Вычисления произведены правильно.

По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0.01 и числу степеней свободы k=S-3=8-3=5 (S-число интервалов, 3-количество неизвестных параметров нормального закона распределения), находим критическую точку

Имеем , следовательно, выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения принимается, т.е. опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию Колмогорова.

λ=D, где n-объём выборки; Необходимо  вычислить

где  и  теоретическая и эмпирическая функции распределения.

Расчёты согласия по критерию Колмогорова приведены в таблице 6, где nx и -суммы опытных и теоретических данных меньших x.

Таблица 6

ni	nx			F(x) =	F*(x) =
4	4	4.48	4.48	0.04	0.0448	0.0048
17	21	8.64	13.12	0.21	0.1312	0.0788
10	31	16.18	29.3	0.31	0.293	0.017
25	56	21.96	51.26	0.56	0.5126	0.0474
16	72	21.58	72.84	0.72	0.7284	0.0084
18	90	15.35	88.19	0.9	0.8819	0.0181
7	97	7.89	96.08	0.97	0.9608	0.0092
3	100	3.92	100	1	1	0

D = 0.0788; при n=100; 

λ=D = 0.0788· = 0.788; При α = 0.2, λкр = 1.073;

Имеем λ < λкр , следовательно, по критерию Колмогорова имеем, что опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

1.  Графики функций плотности и распределения.

13