6507

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям. Выборка случайной величины объёмом...

Русский

2013-01-04

73.39 KB

86 чел.

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

  1. Исходные данные

В таблице 1 приведена выборка результатов измерения веса 100 студентов обучающихся на 1ом курсе в педагогическом институте. Измерения проводились с точностью до 1 кг:

Таблица 1 Выборка случайной величины объёмом n=100

70

70

78

83

68

75

86

75

77

83

85

83

83

78

70

71

74

81

63

70

80

75

80

80

78

69

71

88

66

78

88

73

78

78

83

86

84

68

78

82

73

70

81

63

70

78

74

79

75

73

78

83

87

66

78

89

93

78

83

68

78

75

68

78

81

74

78

83

90

86

70

80

74

75

73

79

84

84

67

76

85

75

79

82

68

79

80

78

70

71

73

93

84

90

85

69

94

81

78

88

1.1 Исключение ложных результатов в выборке

Для исключения из экспериментальных данных грубых ошибок (ложных результатов) воспользуемся критерием Стьюдента

где  – математическое ожидание случайной величины x,  – среднее квадратичное отклонение т.е. корень квадратный дисперсии,  – критерий Стьюдента берётся из таблице.

Поскольку, выборка объёмом 100, то для исключения ложных результатов удобней воспользоваться методом вычисления максимального относительного отклонения:

где – крайний (наибольший или наименьший) элемент выборки. Таким образом, для выделения аномального значения вычисляют τ, которое сравнивают с табличным значением . Если неравенство  соблюдается, то наблюдение не отсеивают, если не соблюдается, то наблюдение исключают.

Максимальное значение в данной выборке равняется Xmax=94, а минимальное значение Xmin=63. Рассчитаем математическое ожидание:

И среднее квадратичное отклонение:

Для  рассчитываются по формуле (1) τ

Далее из выбирают наибольшее. Для отсева грубых погрешностей удобно максимальные относительные отклонения разделить на три неравенства:

Из таблицы распределения Стьюдента:  ,

Подставляя найденные значения τ при , получаем, что выполняется неравенство (5), следовательно, рассматриваемые значения не исключаем, так как весомых аргументов в их ошибочности нет.

  1.  Оценка числовых характеристик распределения:
  2.  Среднее арифметическое рассчитывается по формуле (2) и принимает значение равное 77.78
  3. Эмпирическая дисперсия:

  1. Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле (3) и принимает значение = 6.941
  2.  Выборочное значение коэффициент вариации, является мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины в %, вычисляют по формуле:

  1.   Выборочный коэффициент асимметрии (скошенности) это количественная характеристика показывающая сходство с нормальным распределением и рассчитываемая по формуле:

Коэффициент асимметрии положителен, т.е. плотность распределения обладает положительной асимметрией

  1.  Выборочный коэффициент эксцесса (островершинности) это количественная характеристика островершинности распределения, которая вычисляется по формуле:

Эксцесс отрицателен, следовательно, вершина более пологая.

  1.  Статистическая проверка случайности и независимости результатов наблюдений

Рассмотрим критерий серий, основанный на медиане выборки.

Так как значение n – чётное, то выборочное значение медианы принимает вид

В исходной выборке вместо каждого хi будем ставить "+", если хi>xmed(n), "-", если хi < xmed(n). Если хi = xmed(n), то не ставится никакой знак. Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий (n) и длиной самой длинной серии (n). При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-". Если выборка стохастически независима (выборка случайна), то чередование плюсов и минусов в последовательности должно быть случайно. Таким образом, в данном критерии рассматриваются две критические статистики . 

где в квадратных скобках неравенства обозначена […] – целая часть,  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии.

Рассмотрим второй критерий - Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий "+" и "-". Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xi, i =  на месте i-го элемента ставят "+" если хi+1 > xi, и "-" если хi+1 < xi. Если хi+1 = xi, то в серии ничего не проставляется.

При уровне значимости q=0.05 количественное выражение этого правила примет вид:

где  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии,   – принимает значение 6 так как объём выборке удовлетворяет неравенству 26<n<153.

  1.  Проверка нормальности распределения

Критерий, основанный на вычислении среднего абсолютного отклонения (САО).

Для выборки n > 120 среднее абсолютное отклонение вычисляется по формуле:

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение:

Подставляя значения в данное неравенство получаем , следовательно неравенство выполнено выборка имеет приближённо нормальный закон распределения.

Критерий, основанный на анализе показателей асимметрии и эксцесса.

В случаи нормального распределения характеристики асимметрии и эксцесса должны быть нулевыми. Вычислим выборочные характеристики асимметрии  по формуле 7 и эксцесса по формуле 8.

 

Далее определим среднеквадратическое отклонение выборочных асимметрий и эксцесс соответственно:

Если выполняются два неравенства,

то гипотеза о нормальном законе распределения рассматриваемой случайной величины принимается.

Подставляя полученные значения в неравенство (9) получаем:

Гипотеза о нормальном законе может быть принята.

  1.  Построение гистограммы, полигона и кумулянты.

Разделим данные выборки на классы и построим полигон, гистограмму и кумулянту частот. Гистограмма и полигон дают графическое представление об эмпирической функции плотности этой переменной, а кумулятивная кривая – о её эмпирической функции распределения. Для этого выполним следующие преобразования:

1) находим xmin=63 и xmax=94, Размах выборки R= xmax- xmin = 31;

2) n=100 наблюдений;

3) Определяем длину интервала разбиений:

Длину интервала принимаем равной 4.0, число интервалов возьмём 8.

4) Разбиваем массив данных на интервалы и вычисляем частоту. Результаты этой операции представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Интервал веса

Середина интервала

Частоты

абсолютные

относительные

относительные накопленные

от 62 до 66

64

4

0.04

0.04

от 66 до 70

68

17

0.17

0.21

от 70 до 74

72

10

0.1

0.31

от 74 до 78

76

25

0.25

0.56

от 78 до 82

80

16

0.16

0.72

от 82 до 86

84

18

0.18

0.9

от 86 до 90

88

7

0.07

0.97

от 90 до 94

92

3

0.03

1

5) После составления таблицы строим полигон, гистограмму и кумулянту распределения результатов наблюдения:

Рис.1. Полигон распределения

Рис.2. Гистограмма распределения

Рис. 3. Кумулянта распределения

По виду гистограммы подбираем закон распределения случайной величины. В данной работе имеем гистограмму близкую к гистограмме нормального закона распределения.

Нормальный закон:

,

Проверим по критериям согласия, будут ли опытные данные согласоваться с нормальным законом распределения.

  1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию

Условие:

где r – число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные; ni – число опытных данных, попавших в i-ый интервал (абсолютная частота);  - теоретическое число, попавшее в i-ый интервал.

где n - объём выборки.

В случае нормального закона распределения

где  (значения данной функции берутся из таблицы её значений).

Для первого интервала левый конец изменим на -, а для последнего интервала правый конец на + . Таким образом, первый интервал будет (-; 66), а последний (90; + ). Расчёт  приведён в табл. 3; 4; 5.

Таблица 3

i

Границы интервала

xi - 

xi +1 - 

Границы интервалов

zi=

zi+1=

xi

xi+1

1

-

66

-

-11.78

-

-1.6972

2

66

70

-11.78

-7.78

-1.6972

-1.1209

3

70

74

-7.78

-3.78

-1.1209

-0.5446

4

74

78

-3.78

0.22

-0.5446

0.0317

5

78

82

0.22

4.22

0.0317

0.608

6

82

86

4.22

8.22

0.608

1.1843

7

86

90

8.22

12.22

1.1843

1.7606

8

90

+

12.22

-

1.7606

+

Таблица 4

i

Границы интервала

(zi)

(zi+1)

Pi = (zi+1) - (zi)

=100Pi

     zi

     zi+1

1

-

-1.6972

-0.5

-0.4552

0.0448

4.48

2

-1.6972

-1.1209

-0.4552

-0.3688

0.0864

8.64

3

-1.1209

-0.5446

-0.3688

-0.207

0.1618

16.18

4

-0.5446

0.0317

-0.207

0.0126

0.2196

21.96

5

0.0317

0.608

0.0126

0.2284

0.2158

21.58

6

0.608

1.1843

0.2284

0.3819

0.1535

15.35

7

1.1843

1.7606

0.3819

0.4608

0.0789

7.89

8

1.7606

+ 

0.4608

0.5

0.0392

3.92

Таблица 5

i

ni

ni -

(ni - )2

(ni - )2 /

/

1

4

4.48

-0.48

0.2304

0.05143

16

3.57

2

17

8.64

8.36

69.8896

8.0891

289

33.45

3

10

16.18

-6.18

38.1924

2.3605

100

6.18

4

25

21.96

3.04

9.2416

0.4208

625

28.46

5

16

21.58

-5.58

31.1364

1.4428

256

11.86

6

18

15.35

2.65

7.0225

0.4575

324

21.11

7

7

7.89

-0.89

0.7921

0.1004

49

6.21

8

3

3.92

-0.92

0.8464

0.2159

9

2.30

Σ

100

100

13.1384

113.14

Столбцы  и  служат для контроля вычисления по формуле:

. Вычисления произведены правильно.

По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0.01 и числу степеней свободы k=S-3=8-3=5 (S-число интервалов, 3-количество неизвестных параметров нормального закона распределения), находим критическую точку

Имеем , следовательно, выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения принимается, т.е. опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

  1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию Колмогорова.

λ=D, где n-объём выборки; Необходимо  вычислить

где  и  теоретическая и эмпирическая функции распределения.

Расчёты согласия по критерию Колмогорова приведены в таблице 6, где nx и -суммы опытных и теоретических данных меньших x.

Таблица 6

ni

nx

F(x) =

F*(x) =

4

4

4.48

4.48

0.04

0.0448

0.0048

17

21

8.64

13.12

0.21

0.1312

0.0788

10

31

16.18

29.3

0.31

0.293

0.017

25

56

21.96

51.26

0.56

0.5126

0.0474

16

72

21.58

72.84

0.72

0.7284

0.0084

18

90

15.35

88.19

0.9

0.8819

0.0181

7

97

7.89

96.08

0.97

0.9608

0.0092

3

100

3.92

100

1

1

0

D = 0.0788; при n=100; 

λ=D = 0.0788· = 0.788; При α = 0.2, λкр = 1.073;

Имеем λ < λкр , следовательно, по критерию Колмогорова имеем, что опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

  1.  Графики функций плотности и распределения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54345. Комплекс игр и упражнений «Биоэнергопластика» в коррекционной работе с детьми-логопатами 717 KB
  Поражение верхней височной извилины приводит к тому что человек слышит слова но не понимает их смысла так как в зоне Вернике как в своеобразной картотеке хранятся все усвоенные человеком слова точнее их звуковые образы и он всю жизнь пользуется этой картотекой. Если произошло поражение этой зоны то хранящиеся там звуковые образы слов распадаются человек перестает понимать слова. При нормальном слухе он остается глухим к словам. Действительно левое полушарие отвечает: за движение правых конечностей и обеих рук за...
54346. Урок русского языка и литературного чтения 352 KB
  Планируемые результаты учебного предмета Русский язык общие на 4 года обучения Личностными результатами изучения русского языка в начальной школе являются: осознание языка как основного средства человеческого общения; восприятие русского языка как явление национальной культуры; понимание того что правильная устная и письменная речь является показателем индивидуальной культуры человека; способность к самооценке на основе наблюдения за собственной речью; способность к итоговому и пооперационному самоконтролю; ...
54347. Етапи розвязування задач за допомогою компютера 1.3 MB
  Для розвязання цих задач компютер озброєний найрізноманітнішим програмним забезпеченням, яке поділяється на чотири великих категорії: операційні системи, системні утиліти, системи програмування, прикладне програмне забезпечення.
54348. Інформаційно-комп’ютерні технології на уроках географії та природознавства 83.5 KB
  Вчителями природознавства опановано такі теми: Створення слайдових презентацій у середовищі програми MS Power Point Пошук та завантаження текстової звукової та відеоінформації з Інтернету Створення потокових презентацій відео кліпів у середовищі програми Movie Mker Створення та обробка графічної інформації засобами растрового графічного редактора dobe Photoshop. № п п Термін Тема заняття 1 Вересень Створення слайдових презентацій у середовищі програми MS Power Point. 3 Лютий Створення потокових презентацій відео кліпів у...
54349. Методика вивчення дробових чисел за курсом Математика у 5-6 класах 334 KB
  Організація самостійної діяльності учнів при вивченні дій ззвичайними дробами. ВСТУП Характеристика обовязкових результатів навчальних досягнень при вивченні дробових чисел Основною метою курсу математики 5-6 класів вважається: систематичний розвиток понять числа та вироблення вмінь усно та письмово робити арифметичні операції над числами формувати вміння переводити практичні задачі на мову математики підготовка учнів до вивчення курсів Алгебра€ та Геометрія€. Форми організації усного рахунку Добре розвинені у учнів навики усної...
54350. Методика организации инновационной деятельности в школе 142.5 KB
  Внутренние мотивы таковы: интерес к процессу деятельности интерес к результату деятельности стремление к саморазвитию развитию какихлибо своих качеств способностей. Мотив придает смысл деятельности для человека. Проведение диагностики: Изучение мотивов трудового поведения Ваш творческий потенциал Личностные ориентации педагога Готовность педагога к работе в инновационном режиме наблюдения за работой учителя индивидуальные собеседования дали возможность заинтересовать 76 педагогов нашей школы в участии в инновационной...
54351. Методика створення ігрових зон для першокласників 225.5 KB
  Сюжети ігор дуже різноманітні й відображають реальні умови життя дитини. Народна педагогіка виділяє дві основні групи ігор. Дидактичні гри різновид ігор за правилами. Успіх дидактичних ігор значною мірою залежить від правильного використання в них ігрового обладнання іграшок геометричних фігур природного матеріалу шишок плодів насіння листків тощо.
54352. Вибір учительських методик відповідно до індивідуальних стилів навчання молодших школярів 159 KB
  Ось декілька методів читання які допомагають організувати ефективну роботу учніввізуалів з друкованими текстами. Вчитель розбиває текст на короткі частини об’єднує учнів у пари і дає чіткі пояснення що вони повинні будуть робити. Навчання учніваудіалів Ученьаудіал сприймає світ через призму звуків.
54353. Методика розробки гри-подорожі для молодших школярів у навчальному закладі, як ефективна традиційна форма виховної роботи 106.5 KB
  Місце проведення: ЦДЮТ Дзержинського району Мета: Ознайомити учасників із особливостями форм організації довгострокової гриподорожі для молодшої ланки школярів та сформувати навички проектування їх окремих різновидів. Завдання: Надати учасникам інформацію про різновиди гри –подорожі молодших школярів; Сформувати в учасників навички проектування довгострокової гриподорожі; Показати шляхи практичного застосування отриманої інформації. План...