6507

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям. Выборка случайной величины объёмом...

Русский

2013-01-04

73.39 KB

86 чел.

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

  1. Исходные данные

В таблице 1 приведена выборка результатов измерения веса 100 студентов обучающихся на 1ом курсе в педагогическом институте. Измерения проводились с точностью до 1 кг:

Таблица 1 Выборка случайной величины объёмом n=100

70

70

78

83

68

75

86

75

77

83

85

83

83

78

70

71

74

81

63

70

80

75

80

80

78

69

71

88

66

78

88

73

78

78

83

86

84

68

78

82

73

70

81

63

70

78

74

79

75

73

78

83

87

66

78

89

93

78

83

68

78

75

68

78

81

74

78

83

90

86

70

80

74

75

73

79

84

84

67

76

85

75

79

82

68

79

80

78

70

71

73

93

84

90

85

69

94

81

78

88

1.1 Исключение ложных результатов в выборке

Для исключения из экспериментальных данных грубых ошибок (ложных результатов) воспользуемся критерием Стьюдента

где  – математическое ожидание случайной величины x,  – среднее квадратичное отклонение т.е. корень квадратный дисперсии,  – критерий Стьюдента берётся из таблице.

Поскольку, выборка объёмом 100, то для исключения ложных результатов удобней воспользоваться методом вычисления максимального относительного отклонения:

где – крайний (наибольший или наименьший) элемент выборки. Таким образом, для выделения аномального значения вычисляют τ, которое сравнивают с табличным значением . Если неравенство  соблюдается, то наблюдение не отсеивают, если не соблюдается, то наблюдение исключают.

Максимальное значение в данной выборке равняется Xmax=94, а минимальное значение Xmin=63. Рассчитаем математическое ожидание:

И среднее квадратичное отклонение:

Для  рассчитываются по формуле (1) τ

Далее из выбирают наибольшее. Для отсева грубых погрешностей удобно максимальные относительные отклонения разделить на три неравенства:

Из таблицы распределения Стьюдента:  ,

Подставляя найденные значения τ при , получаем, что выполняется неравенство (5), следовательно, рассматриваемые значения не исключаем, так как весомых аргументов в их ошибочности нет.

  1.  Оценка числовых характеристик распределения:
  2.  Среднее арифметическое рассчитывается по формуле (2) и принимает значение равное 77.78
  3. Эмпирическая дисперсия:

  1. Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле (3) и принимает значение = 6.941
  2.  Выборочное значение коэффициент вариации, является мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины в %, вычисляют по формуле:

  1.   Выборочный коэффициент асимметрии (скошенности) это количественная характеристика показывающая сходство с нормальным распределением и рассчитываемая по формуле:

Коэффициент асимметрии положителен, т.е. плотность распределения обладает положительной асимметрией

  1.  Выборочный коэффициент эксцесса (островершинности) это количественная характеристика островершинности распределения, которая вычисляется по формуле:

Эксцесс отрицателен, следовательно, вершина более пологая.

  1.  Статистическая проверка случайности и независимости результатов наблюдений

Рассмотрим критерий серий, основанный на медиане выборки.

Так как значение n – чётное, то выборочное значение медианы принимает вид

В исходной выборке вместо каждого хi будем ставить "+", если хi>xmed(n), "-", если хi < xmed(n). Если хi = xmed(n), то не ставится никакой знак. Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий (n) и длиной самой длинной серии (n). При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-". Если выборка стохастически независима (выборка случайна), то чередование плюсов и минусов в последовательности должно быть случайно. Таким образом, в данном критерии рассматриваются две критические статистики . 

где в квадратных скобках неравенства обозначена […] – целая часть,  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии.

Рассмотрим второй критерий - Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий "+" и "-". Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xi, i =  на месте i-го элемента ставят "+" если хi+1 > xi, и "-" если хi+1 < xi. Если хi+1 = xi, то в серии ничего не проставляется.

При уровне значимости q=0.05 количественное выражение этого правила примет вид:

где  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии,   – принимает значение 6 так как объём выборке удовлетворяет неравенству 26<n<153.

  1.  Проверка нормальности распределения

Критерий, основанный на вычислении среднего абсолютного отклонения (САО).

Для выборки n > 120 среднее абсолютное отклонение вычисляется по формуле:

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение:

Подставляя значения в данное неравенство получаем , следовательно неравенство выполнено выборка имеет приближённо нормальный закон распределения.

Критерий, основанный на анализе показателей асимметрии и эксцесса.

В случаи нормального распределения характеристики асимметрии и эксцесса должны быть нулевыми. Вычислим выборочные характеристики асимметрии  по формуле 7 и эксцесса по формуле 8.

 

Далее определим среднеквадратическое отклонение выборочных асимметрий и эксцесс соответственно:

Если выполняются два неравенства,

то гипотеза о нормальном законе распределения рассматриваемой случайной величины принимается.

Подставляя полученные значения в неравенство (9) получаем:

Гипотеза о нормальном законе может быть принята.

  1.  Построение гистограммы, полигона и кумулянты.

Разделим данные выборки на классы и построим полигон, гистограмму и кумулянту частот. Гистограмма и полигон дают графическое представление об эмпирической функции плотности этой переменной, а кумулятивная кривая – о её эмпирической функции распределения. Для этого выполним следующие преобразования:

1) находим xmin=63 и xmax=94, Размах выборки R= xmax- xmin = 31;

2) n=100 наблюдений;

3) Определяем длину интервала разбиений:

Длину интервала принимаем равной 4.0, число интервалов возьмём 8.

4) Разбиваем массив данных на интервалы и вычисляем частоту. Результаты этой операции представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Интервал веса

Середина интервала

Частоты

абсолютные

относительные

относительные накопленные

от 62 до 66

64

4

0.04

0.04

от 66 до 70

68

17

0.17

0.21

от 70 до 74

72

10

0.1

0.31

от 74 до 78

76

25

0.25

0.56

от 78 до 82

80

16

0.16

0.72

от 82 до 86

84

18

0.18

0.9

от 86 до 90

88

7

0.07

0.97

от 90 до 94

92

3

0.03

1

5) После составления таблицы строим полигон, гистограмму и кумулянту распределения результатов наблюдения:

Рис.1. Полигон распределения

Рис.2. Гистограмма распределения

Рис. 3. Кумулянта распределения

По виду гистограммы подбираем закон распределения случайной величины. В данной работе имеем гистограмму близкую к гистограмме нормального закона распределения.

Нормальный закон:

,

Проверим по критериям согласия, будут ли опытные данные согласоваться с нормальным законом распределения.

  1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию

Условие:

где r – число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные; ni – число опытных данных, попавших в i-ый интервал (абсолютная частота);  - теоретическое число, попавшее в i-ый интервал.

где n - объём выборки.

В случае нормального закона распределения

где  (значения данной функции берутся из таблицы её значений).

Для первого интервала левый конец изменим на -, а для последнего интервала правый конец на + . Таким образом, первый интервал будет (-; 66), а последний (90; + ). Расчёт  приведён в табл. 3; 4; 5.

Таблица 3

i

Границы интервала

xi - 

xi +1 - 

Границы интервалов

zi=

zi+1=

xi

xi+1

1

-

66

-

-11.78

-

-1.6972

2

66

70

-11.78

-7.78

-1.6972

-1.1209

3

70

74

-7.78

-3.78

-1.1209

-0.5446

4

74

78

-3.78

0.22

-0.5446

0.0317

5

78

82

0.22

4.22

0.0317

0.608

6

82

86

4.22

8.22

0.608

1.1843

7

86

90

8.22

12.22

1.1843

1.7606

8

90

+

12.22

-

1.7606

+

Таблица 4

i

Границы интервала

(zi)

(zi+1)

Pi = (zi+1) - (zi)

=100Pi

     zi

     zi+1

1

-

-1.6972

-0.5

-0.4552

0.0448

4.48

2

-1.6972

-1.1209

-0.4552

-0.3688

0.0864

8.64

3

-1.1209

-0.5446

-0.3688

-0.207

0.1618

16.18

4

-0.5446

0.0317

-0.207

0.0126

0.2196

21.96

5

0.0317

0.608

0.0126

0.2284

0.2158

21.58

6

0.608

1.1843

0.2284

0.3819

0.1535

15.35

7

1.1843

1.7606

0.3819

0.4608

0.0789

7.89

8

1.7606

+ 

0.4608

0.5

0.0392

3.92

Таблица 5

i

ni

ni -

(ni - )2

(ni - )2 /

/

1

4

4.48

-0.48

0.2304

0.05143

16

3.57

2

17

8.64

8.36

69.8896

8.0891

289

33.45

3

10

16.18

-6.18

38.1924

2.3605

100

6.18

4

25

21.96

3.04

9.2416

0.4208

625

28.46

5

16

21.58

-5.58

31.1364

1.4428

256

11.86

6

18

15.35

2.65

7.0225

0.4575

324

21.11

7

7

7.89

-0.89

0.7921

0.1004

49

6.21

8

3

3.92

-0.92

0.8464

0.2159

9

2.30

Σ

100

100

13.1384

113.14

Столбцы  и  служат для контроля вычисления по формуле:

. Вычисления произведены правильно.

По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0.01 и числу степеней свободы k=S-3=8-3=5 (S-число интервалов, 3-количество неизвестных параметров нормального закона распределения), находим критическую точку

Имеем , следовательно, выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения принимается, т.е. опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

  1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию Колмогорова.

λ=D, где n-объём выборки; Необходимо  вычислить

где  и  теоретическая и эмпирическая функции распределения.

Расчёты согласия по критерию Колмогорова приведены в таблице 6, где nx и -суммы опытных и теоретических данных меньших x.

Таблица 6

ni

nx

F(x) =

F*(x) =

4

4

4.48

4.48

0.04

0.0448

0.0048

17

21

8.64

13.12

0.21

0.1312

0.0788

10

31

16.18

29.3

0.31

0.293

0.017

25

56

21.96

51.26

0.56

0.5126

0.0474

16

72

21.58

72.84

0.72

0.7284

0.0084

18

90

15.35

88.19

0.9

0.8819

0.0181

7

97

7.89

96.08

0.97

0.9608

0.0092

3

100

3.92

100

1

1

0

D = 0.0788; при n=100; 

λ=D = 0.0788· = 0.788; При α = 0.2, λкр = 1.073;

Имеем λ < λкр , следовательно, по критерию Колмогорова имеем, что опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

  1.  Графики функций плотности и распределения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74048. Картина мира средневекового человека в отражении современной медиевистики 36.5 KB
  Эти компоненты объединены в картине мира специфическим для данной эпохи этноса или субкультуры образом. Восприятие мира обусловленное исторически. Из картины мира вытекает всё остальное и ценности и иерархия и парадигмы научного познания и допустимые способы человеческих действий.
74049. Современная историческая наука о феномене Реформации 77.5 KB
  С католической точки зрения, протестантизм представлял собой ересь, самовольный отход от богооткровенных учений и установлений церкви, ведущий к отступничеству от истинной веры и попранию моральных норм христианской жизни.
74050. Основы количественного анализа 14.59 KB
  Основы количественного анализа. Количественный химический анализ имеет целью определение относительного количества отдельных составных частей какоголибо химического соединения или смеси. Количественный анализ бывает гравиметрический весовой титриметрический объемный Титриметрический метод анализа основан на определении вещества после взаимодействия с раствором вещества в ходе химической реакции. Объемный метод анализа основан на законе эквивалентов.
74051. Основы титриметрического (объемного) анализа 15.5 KB
  Титриметрический анализ титрование метод количественного массового анализа который часто используется в аналитической химии основанный на измерении объёма раствора реактива точно известной концентрации расходуемого для реакции с определяемым веществом. Титрование процесс определения титра исследуемого вещества. Титрование производят с помощью бюретки заполненной титрантом до нулевой отметки. По количеству пошедшего на титрование рабочего раствора рассчитывают результаты анализа.
74052. Физико-химические методы анализа (спектральные, хромотография, электрогравиметрические и др.) 13.89 KB
  Физико-химический анализ — комплекс методов анализа физико-химических систем путем построения и геометрического анализа диаграмм состояния и диаграмм состав-свойство.
74053. Основы химической термодинамики. Первый закон термодинамики. Энтальпия 14.81 KB
  Основы химической термодинамики. Первый закон термодинамики. Химическая термодинамика раздел физической химии изучающий процессы взаимодействия веществ методами термодинамики. Основными направлениями химической термодинамики являются: Классическая химическая термодинамика изучающая термодинамическое равновесие вообще.
74055. Фазовые равновесия и учение о растворах. 181.37 KB
  Растворы бывают газовыми жидкими твердыми. Такие растворы называются иначе истинными. Газообразные растворы называются иначе газовыми смесями. Образуются твердые растворы при кристаллизации расплавов.