6507

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям. Выборка случайной величины объёмом...

Русский

2013-01-04

73.39 KB

90 чел.

Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова

  1. Исходные данные

В таблице 1 приведена выборка результатов измерения веса 100 студентов обучающихся на 1ом курсе в педагогическом институте. Измерения проводились с точностью до 1 кг:

Таблица 1 Выборка случайной величины объёмом n=100

70

70

78

83

68

75

86

75

77

83

85

83

83

78

70

71

74

81

63

70

80

75

80

80

78

69

71

88

66

78

88

73

78

78

83

86

84

68

78

82

73

70

81

63

70

78

74

79

75

73

78

83

87

66

78

89

93

78

83

68

78

75

68

78

81

74

78

83

90

86

70

80

74

75

73

79

84

84

67

76

85

75

79

82

68

79

80

78

70

71

73

93

84

90

85

69

94

81

78

88

1.1 Исключение ложных результатов в выборке

Для исключения из экспериментальных данных грубых ошибок (ложных результатов) воспользуемся критерием Стьюдента

где  – математическое ожидание случайной величины x,  – среднее квадратичное отклонение т.е. корень квадратный дисперсии,  – критерий Стьюдента берётся из таблице.

Поскольку, выборка объёмом 100, то для исключения ложных результатов удобней воспользоваться методом вычисления максимального относительного отклонения:

где – крайний (наибольший или наименьший) элемент выборки. Таким образом, для выделения аномального значения вычисляют τ, которое сравнивают с табличным значением . Если неравенство  соблюдается, то наблюдение не отсеивают, если не соблюдается, то наблюдение исключают.

Максимальное значение в данной выборке равняется Xmax=94, а минимальное значение Xmin=63. Рассчитаем математическое ожидание:

И среднее квадратичное отклонение:

Для  рассчитываются по формуле (1) τ

Далее из выбирают наибольшее. Для отсева грубых погрешностей удобно максимальные относительные отклонения разделить на три неравенства:

Из таблицы распределения Стьюдента:  ,

Подставляя найденные значения τ при , получаем, что выполняется неравенство (5), следовательно, рассматриваемые значения не исключаем, так как весомых аргументов в их ошибочности нет.

  1.  Оценка числовых характеристик распределения:
  2.  Среднее арифметическое рассчитывается по формуле (2) и принимает значение равное 77.78
  3. Эмпирическая дисперсия:

  1. Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле (3) и принимает значение = 6.941
  2.  Выборочное значение коэффициент вариации, является мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины в %, вычисляют по формуле:

  1.   Выборочный коэффициент асимметрии (скошенности) это количественная характеристика показывающая сходство с нормальным распределением и рассчитываемая по формуле:

Коэффициент асимметрии положителен, т.е. плотность распределения обладает положительной асимметрией

  1.  Выборочный коэффициент эксцесса (островершинности) это количественная характеристика островершинности распределения, которая вычисляется по формуле:

Эксцесс отрицателен, следовательно, вершина более пологая.

  1.  Статистическая проверка случайности и независимости результатов наблюдений

Рассмотрим критерий серий, основанный на медиане выборки.

Так как значение n – чётное, то выборочное значение медианы принимает вид

В исходной выборке вместо каждого хi будем ставить "+", если хi>xmed(n), "-", если хi < xmed(n). Если хi = xmed(n), то не ставится никакой знак. Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий (n) и длиной самой длинной серии (n). При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-". Если выборка стохастически независима (выборка случайна), то чередование плюсов и минусов в последовательности должно быть случайно. Таким образом, в данном критерии рассматриваются две критические статистики . 

где в квадратных скобках неравенства обозначена […] – целая часть,  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии.

Рассмотрим второй критерий - Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий "+" и "-". Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xi, i =  на месте i-го элемента ставят "+" если хi+1 > xi, и "-" если хi+1 < xi. Если хi+1 = xi, то в серии ничего не проставляется.

При уровне значимости q=0.05 количественное выражение этого правила примет вид:

где  - число серий, τ(n) – длина самой длинной серии,   – принимает значение 6 так как объём выборке удовлетворяет неравенству 26<n<153.

  1.  Проверка нормальности распределения

Критерий, основанный на вычислении среднего абсолютного отклонения (САО).

Для выборки n > 120 среднее абсолютное отклонение вычисляется по формуле:

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение:

Подставляя значения в данное неравенство получаем , следовательно неравенство выполнено выборка имеет приближённо нормальный закон распределения.

Критерий, основанный на анализе показателей асимметрии и эксцесса.

В случаи нормального распределения характеристики асимметрии и эксцесса должны быть нулевыми. Вычислим выборочные характеристики асимметрии  по формуле 7 и эксцесса по формуле 8.

 

Далее определим среднеквадратическое отклонение выборочных асимметрий и эксцесс соответственно:

Если выполняются два неравенства,

то гипотеза о нормальном законе распределения рассматриваемой случайной величины принимается.

Подставляя полученные значения в неравенство (9) получаем:

Гипотеза о нормальном законе может быть принята.

  1.  Построение гистограммы, полигона и кумулянты.

Разделим данные выборки на классы и построим полигон, гистограмму и кумулянту частот. Гистограмма и полигон дают графическое представление об эмпирической функции плотности этой переменной, а кумулятивная кривая – о её эмпирической функции распределения. Для этого выполним следующие преобразования:

1) находим xmin=63 и xmax=94, Размах выборки R= xmax- xmin = 31;

2) n=100 наблюдений;

3) Определяем длину интервала разбиений:

Длину интервала принимаем равной 4.0, число интервалов возьмём 8.

4) Разбиваем массив данных на интервалы и вычисляем частоту. Результаты этой операции представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Интервал веса

Середина интервала

Частоты

абсолютные

относительные

относительные накопленные

от 62 до 66

64

4

0.04

0.04

от 66 до 70

68

17

0.17

0.21

от 70 до 74

72

10

0.1

0.31

от 74 до 78

76

25

0.25

0.56

от 78 до 82

80

16

0.16

0.72

от 82 до 86

84

18

0.18

0.9

от 86 до 90

88

7

0.07

0.97

от 90 до 94

92

3

0.03

1

5) После составления таблицы строим полигон, гистограмму и кумулянту распределения результатов наблюдения:

Рис.1. Полигон распределения

Рис.2. Гистограмма распределения

Рис. 3. Кумулянта распределения

По виду гистограммы подбираем закон распределения случайной величины. В данной работе имеем гистограмму близкую к гистограмме нормального закона распределения.

Нормальный закон:

,

Проверим по критериям согласия, будут ли опытные данные согласоваться с нормальным законом распределения.

  1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию

Условие:

где r – число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные; ni – число опытных данных, попавших в i-ый интервал (абсолютная частота);  - теоретическое число, попавшее в i-ый интервал.

где n - объём выборки.

В случае нормального закона распределения

где  (значения данной функции берутся из таблицы её значений).

Для первого интервала левый конец изменим на -, а для последнего интервала правый конец на + . Таким образом, первый интервал будет (-; 66), а последний (90; + ). Расчёт  приведён в табл. 3; 4; 5.

Таблица 3

i

Границы интервала

xi - 

xi +1 - 

Границы интервалов

zi=

zi+1=

xi

xi+1

1

-

66

-

-11.78

-

-1.6972

2

66

70

-11.78

-7.78

-1.6972

-1.1209

3

70

74

-7.78

-3.78

-1.1209

-0.5446

4

74

78

-3.78

0.22

-0.5446

0.0317

5

78

82

0.22

4.22

0.0317

0.608

6

82

86

4.22

8.22

0.608

1.1843

7

86

90

8.22

12.22

1.1843

1.7606

8

90

+

12.22

-

1.7606

+

Таблица 4

i

Границы интервала

(zi)

(zi+1)

Pi = (zi+1) - (zi)

=100Pi

     zi

     zi+1

1

-

-1.6972

-0.5

-0.4552

0.0448

4.48

2

-1.6972

-1.1209

-0.4552

-0.3688

0.0864

8.64

3

-1.1209

-0.5446

-0.3688

-0.207

0.1618

16.18

4

-0.5446

0.0317

-0.207

0.0126

0.2196

21.96

5

0.0317

0.608

0.0126

0.2284

0.2158

21.58

6

0.608

1.1843

0.2284

0.3819

0.1535

15.35

7

1.1843

1.7606

0.3819

0.4608

0.0789

7.89

8

1.7606

+ 

0.4608

0.5

0.0392

3.92

Таблица 5

i

ni

ni -

(ni - )2

(ni - )2 /

/

1

4

4.48

-0.48

0.2304

0.05143

16

3.57

2

17

8.64

8.36

69.8896

8.0891

289

33.45

3

10

16.18

-6.18

38.1924

2.3605

100

6.18

4

25

21.96

3.04

9.2416

0.4208

625

28.46

5

16

21.58

-5.58

31.1364

1.4428

256

11.86

6

18

15.35

2.65

7.0225

0.4575

324

21.11

7

7

7.89

-0.89

0.7921

0.1004

49

6.21

8

3

3.92

-0.92

0.8464

0.2159

9

2.30

Σ

100

100

13.1384

113.14

Столбцы  и  служат для контроля вычисления по формуле:

. Вычисления произведены правильно.

По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0.01 и числу степеней свободы k=S-3=8-3=5 (S-число интервалов, 3-количество неизвестных параметров нормального закона распределения), находим критическую точку

Имеем , следовательно, выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения принимается, т.е. опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

  1.  Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию Колмогорова.

λ=D, где n-объём выборки; Необходимо  вычислить

где  и  теоретическая и эмпирическая функции распределения.

Расчёты согласия по критерию Колмогорова приведены в таблице 6, где nx и -суммы опытных и теоретических данных меньших x.

Таблица 6

ni

nx

F(x) =

F*(x) =

4

4

4.48

4.48

0.04

0.0448

0.0048

17

21

8.64

13.12

0.21

0.1312

0.0788

10

31

16.18

29.3

0.31

0.293

0.017

25

56

21.96

51.26

0.56

0.5126

0.0474

16

72

21.58

72.84

0.72

0.7284

0.0084

18

90

15.35

88.19

0.9

0.8819

0.0181

7

97

7.89

96.08

0.97

0.9608

0.0092

3

100

3.92

100

1

1

0

D = 0.0788; при n=100; 

λ=D = 0.0788· = 0.788; При α = 0.2, λкр = 1.073;

Имеем λ < λкр , следовательно, по критерию Колмогорова имеем, что опытные данные согласуются с нормальным законом распределения.

  1.  Графики функций плотности и распределения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81148. Инертная, оптимальная и агрессивная среда. Управление в условиях агрессивной среды 38.71 KB
  Источниками конфликта может служить конкуренция соперничество враждебность противоречивые намерений и т. В результате конфликта происходит столкновение двух или более противоборствующих сторон и выражается в том что они осознаются на уровне социального субъекта: отдельной личности или социальной группы. В сущности конфликта важное место занимают такие понятия как участник и субъект конфликта. Участником конфликта может быть отдельный человек организация или группа лиц которые не отдают себе отчет о целях и задачах конфликтного...
81149. Способы управления организацией в условиях агрессивной среды 35.04 KB
  Способами управления в агрессивной социальной среде могут быть: социальное прогнозирование; социальное планирование; социальное регулирование. Деловые организации пытаясь отстоять свое место в социальном пространстве вынуждены применять такие способы управления как: нарушение закона с целью адаптации к негативным реалиям организационной среды; использование взятки как способ обеспечения коммуникаций и т. Главное правило управления в агрессивной среде заключается в том чтобы по возможности ее избегать.
81150. Социология управления как отрасль социологического знания 34.51 KB
  В Российской социологической энциклопедии социология управления определяется как отрасль социологического знания изучающая систему и процессы управления в условиях складывающихся в обществе социальных отношений. Удальцовой наука изучающая социальные отношения и устанавливающая основные критерии эффективности их функционирования с точки зрения всех субъектов социальных отношений называется социологией и психологией управления в организации. Как научная дисциплина социология управления пересекается с такими разделами социологической науки...
81151. Объект, предмет, функции и задачи социологии управления 37.25 KB
  Выступает изучение деятельности субъектов управления по разработки решений направленных на реализацию основных направлений социальной политики. изучает закономерности функционирования социальных отношений в процессе управления проблемы социального взаимодействия внутри организации между руководителем и подчиненными. управленческие отношения: в процессе управления обе стороны находятся в постоянных связях друг с другом и вступают в управленческие отношения Определив особенности социологии управления как специальной социологической теории...
81152. Социология управления и смежные дисциплины 46.67 KB
  Важно понять взаимодействие менеджмента с другими науками используемыми для осуществления процессов управления такими как менеджмент информатика социология психология см. Таким образом на стыке менеджмента и социологии возникает новая отрасль человеческих знаний – социология управления которая была вызвана естественным развитием общества и философии управленческих концепций. Интеграция науки управления школа научного менеджмента и социологии школа человеческих отношений происходит в середине XXв.
81153. Административная система управления 38.24 KB
  Субъект менеджмента это человек или группа людей создающих управленческие воздействия в рамках организации и в целях реализации ее целей и задач. Объект менеджмента это все то на что ориентированы управленческие воздействия субъекта менеджмента. Объектами менеджмента могут выступать персонал организации ее конкуренты финансы организации производство сбыт поставщики ресурсов информация т. Субъекты и объекты менеджмента представляют собой в совокупности систему управления организации.
81154. Отечественная социология управления: становление и развитие 37.23 KB
  Особенности и основные причины развития социологии в России Общественная жизнь России во многом определила своеобразие ее мировоззренческих теорий по сравнению с социальными теориями Запада и США. Во-первых в течение длительного времени проблемы обществоведения освещались в России преимущественно с помощью художественных средств поэзии прозы публицистики и т. Возникновение социологической мысли в России связано с трудами Ю. Вовторых возникновению социологии в России как вполне самостоятельной области научных знаний предшествовал...
81156. Первый этап развития социологии в России 40.73 KB
  Первая российская кафедра социологии была открыта в Петербурге при Психоневрологическом институте в 1908 г. В связи с этим история социологии в России предстает в основном как серия индивидуальных вкладов ученых. Как и на Западе в российской социологии этого периода преобладали редукционизм сведение к простому упрощение инатурализм различных оттенков.