6509

Средние величины

Лекция

Математика и математический анализ

Средние величины. Большое распространение в статистике имеют средние величины.Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности:издержки обращения,прибыль,рентабельность и др. Средняя...

Русский

2013-01-04

373.6 KB

21 чел.

Средние величины.

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя -  это  один из распространенных приемов обобщений.  Правильное понимание сущности средней определяет ее особую  значимость  в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средняя величина - это обобщающие показатели,  в которых  находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе  массовых  данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного).  Однако статистическая средняя будет  объективна  и типична, если  она  рассчитывается  по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).  Например,  если рассчитывать среднюю  заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях,  а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана  по  неоднородной совокупности,  и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака,  которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняя выработка продавца зависит  от  многих  причин: квалификации, стажа,  возраста,  формы обслуживания,  здоровья и т.д.

Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности. 

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя  величина  характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку.  Чтобы  получить  полное  и  всестороннее представление об  изучаемой  совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин,  которые могут описать явление с разных сторон.

Существуют различные средние:

  1.   средняя арифметическая;
  2.   средняя геометрическая;
  3.   средняя гармоническая;
  4.   средняя квадратическая;
  5.   средняя хронологическая.

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х (); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

Пример 1.

Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции  А  за смену:

раб.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Выпущено изделий за смену

16

17

18

17

16

17

18

20

21

18

В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

Численные значения признака (16,17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях,  когда имеются отдельные значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе.

Пример 2.

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих - сдельщиков:

Таблица 5.1.

Месячная з/п (варианта - х), руб.

Число рабочих, n

xn

х = 110

n = 2

220

х = 130

n = 6

780

х = 160

n = 16

2560

х = 190

n = 12

2280

х = 220

n = 14

3080

ИТОГО

50

8920

По данным дискретного ряда распределения видно,  что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз.  Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

Число одинаковых  значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего  в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту,  а сумма этих произведений дает общий фонд  заработной платы всех рабочих.

В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:

Полученная формула  называется средней арифметической взвешенной.

Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры. Изменим в условии задачи состав рабочих и исчислим среднюю в измененной структуре.

Статистический материал в результате обработки может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.

Пример 3.

Имеются следующие данные:

Таблица 5.2.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.

Число рабочих, n

Середина интервала, х

хn

3 — 5

10

4

40

5 — 7

30

6

180

7 — 9

40

8

320

9 — 11

15

10

150

11 — 13

5

12

60

ИТОГО

100

750

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим  за  смену.  В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом,  а в виде интервала "от - до". Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт.,  рабочие второй группы - от до 7 шт.  и т. д.  Таким образом,  каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант,  или закрытые интервалы.  Исчисление средней по сгруппированным  данным  производится  по  формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить  эту формулу,  необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным).  За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна:

(3 + 5) / 2 = 4

Дальнейший расчет производится обычным методом определения  средней арифметической взвешенной:

Итак, все рабочие произвели 750 шт.  изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами.

Пример 4.

Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:

                                                       Таблица 5.3.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.

Число рабочих, n

Середина интервала, х

хn

до 5

10

4

40

5 — 7

30

6

180

7 — 9

40

8

320

9 — 11

15

10

150

свыше 11

5

12

60

ИТОГО

100

750

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Пример 5.

Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:

Таблица 5.4.

Номер завода

Выпуск продукции по плану, млн.руб.

Выполнение плана, %

1

18

100

2

22

105

3

25

90

4

20

106

5

40

108

ИТОГО

125

 

В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются не индивидуальными, а средними по заводу. Весами являются выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной: ,

где  — фактически выпущенная продукция, получаемая путём умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану).

Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах.

e8 102,4%

Основные свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения  признака х в п раз величина средней арифметической не изменится. 

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений  признака  может  быть вынесен за знак средней:

3. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Пример 6.

Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый  взгляд  кажется,  что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по  одной детали.  Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей.  Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

                                        все затраченное время 

Среднее время, затраченное =  --------------------------------------

на одну деталь                           число деталей

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одной детали, равно:

 

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом,  формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Пример 7.

Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:

Таблица 5.5.

Номер завода

Издержки производства, тыс.руб.

Себестоимость единицы продукции, руб.

1

200

20

2

460

23

3

110

22

Исчислим среднюю себестоимость изделия по  трем  заводам.  Как  и прежде, главным  условием  выбора  формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.

                                  Издержки производства

Средняя себестоимость = ----------------------------------------

единицы продукции ()     Количество продукции

руб.

Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

Мода.

Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Пример 8.

Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:

размер обуви

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

и выше

число пар, в % к итогу

 

1

6

8

22

30

20

11

1

1

 

В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.

Для интервальных рядов распределения с равными  интервалами  мода определяется по формуле:

где  - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Пример 9.

Распределение предприятий  по  численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 5.6.

Группы предприятий по числу работающих, чел

Число предприятий

100 — 200

1

200 — 300

3

300 — 400

7

400 — 500

30

500 — 600 

19

600 — 700 

15

700 — 800

5

ИТОГО

80

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400,  =100,   =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

f7.

Медиана

Медиана - это варианта,  расположенная в  середине  вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет.  По обе стороны от  нее  находится одинаковое число рабочих.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант,  расположенных в середине ряда.  Пусть теперь будет не пять человек в бригаде,  а  шесть, имеющих стаж работы 2,  4,  6,  7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.

Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.

Пример 10.

Определим медиану заработной платы рабочих.

Таблица 5.7.

Месячная з/п , руб.

Число рабочих

Сумма накопительных частот

110

2

2

130

6

8  (2+6)

160

16

24  (8+16)

190

12

 

220

4

 

40

Для определения  медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до  получения  накопленной  суммы частот, превышающей  половину.  В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.

Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.

Если же  сумма  накопленных  частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Пример 11.

Таблица 5.8.

Месячная з/п, руб.

Число рабочих

Сумма накопительных частот

110

2

2

130

6

8   (2+6)

160

12

20  (8+12)

190

16

 

220

4

 

40

Медиана будет равна:

Ме = (150 + 170) / 2 = 160 руб.

Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.

Медиана интервального вариационного ряда распределения  определяется по формуле 

где  — начальное значение интервала, содержащего медиану;

—  величина медианного интервала;

—  сумма частот ряда;

—  сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

—  частота медианного интервала.

Пример 12.

Таблица 5.9.

Группы предприятий по числу рабочих

Число предприятий

Сумма накопительных частот

100 — 200

1

1

200 — 300

3

4   (1+3)

300 — 400

7

11  (4+7)

400 — 500

30

41  (11+30)

500 — 600

19

 

600 — 700

15

 

700 — 800

5

 

ИТОГО

80

Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500.  Это и есть медианный интервал,  в  котором находится медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Продолжение контрольной работы1.

По данным  о  распределении  предприятий региона по товарообороту (табл. 5.10.) определите:

- средний объем товарооборота;

- моду;

- медиану.

По всем расчетам сделать выводы.  Данные каждого расчета оформить в виде таблиц.

Таблица 5.10.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб.

Число предприятий

до 400

9

400 — 500

12

500 — 600

8

600 — 700

9

свыше 700

2

ИТОГО

40

Продолжение контрольной работы1 в лекции6.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70743. Поверка технических приборов 72 KB
  Методом амперметра или вольтметра при номинальном токе поверяемого прибора измерить его сопротивление. Схема поверки амперметра. Расчёт основных погрешностей поверка амперметра. Показания проверяемого амперметра Iп мА Показания образцового амперметра...
70744. Исследование катушки со стальным сердечником 131.5 KB
  Цель работы: Исследование зависимости параметров и потерь в стали катушки от воздушного зазора и напряжения сети. Схема исследования катушки со стальным сердечником. Провести исследование катушки со стальным сердечником при постоянной величине напряжения...
70745. Исследование параллельного соединения катушки со стальным сердечником и конденсатора 61 KB
  Изменяя напряжение U с помощью автотрансформатора АТ снять вольтамперную характеристику катушки со стальным сердечником. По данным таблицы № 1 в одной системе координат построить вольтамперные характеристики катушки UkI конденсатора UCI и последовательного соединения катушки...
70746. Резонансный контур 718.5 KB
  Частоту свободных колебаний ω0 можно найти из равенства энергии: Учитывая что Um=ω0LIm находим: Период свободных колебаний как известно: Из равенства энергий найдем волновое сопротивление контура: На резонансной частоте реактивные сопротивления конденсатора и индуктивности равны...