65188

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Для ветвей i и j имеющих взаимное сопротивление связь между всеми указанными величинами определяется следующими уравнениями: 12 при указанных положительных направлениях.

Русский

2014-07-26

61.01 KB

7 чел.

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Состояние линейной электрической цепи описывается уравнениями законов Ома и Кирхгофа. Как известно, закон Ома определяет взаимосвязь параметров каждой из ветвей цепи. Для -й ветви, характеризующейся сопротивлением , действующей в ней ЭДС и протекающим по ней током. разность потенциалов между ее концами (падение напряжения на ветви) определяется в соответствии с уравнением

-                                                 (1-1)

В общем случае между отдельными ветвями i и j схемы замещения могут существовать взаимные сопротивления , обусловленные, например, взаимной индуктивностью. В схеме, обладающей свойством взаимности, взаимное сопротивление не зависит от очередности записи индексов:

Взаимное сопротивление определяет ЭДС , наведенную в ветви j током , проходящим в ветви i, и наоборот:

 =.

Для ветвей i и j, имеющих взаимное сопротивление, связь между всеми указанными величинами определяется следующими уравнениями:

                           (1-2)

при указанных положительных направлениях.

Величины и являются исходными (независимыми) параметрами режима, а величины и — параметрами системы. Знание этих величин необходимо для определения остальных (зависимых) параметров режима:      токов падений напряжений на ветвях.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в каждом узле электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Для произвольного узла, содержащего источник тока J и связывающего k ветвей, уравнение первого закона Кирхгофа имеет вид:

=                                               (1-3)

Второй закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в контурах электрической цепи и формулируется следующим образом:алгебраическая сумма падений напряжения на ветвях контура равна нулю. Для произвольного контура, содержащего l ветвей, уравнение второго закона Кирхгофа записывается в виде

                                                     (1-4)

Состояние электрической цепи полностью описывается уравнениями законов Ома и Кирхгофа (1-1)—(1-4).

Составим уравнения состояния для схемы замещения электрической системы, полагая для общности, что в каждую ветвь дополнительно введен источник напряжения с ЭДС i = 1,…..., 6. Пусть требуется определить токи в ветвях Ii при заданных значениях задающих токов, сопротивлений и ЭДС. Запишем уравнения первого закона Кирхгофа для узлов а-е в соответствии с уравнением  (1-3):

                                    (1-5)

Сумма этих уравнений приводит к тождеству: 0=0. Это обусловлено тем, что ток каждой ветви входит только в два уравнения (поскольку ветвь соединяет два узла), причем с противоположными знаками. Кроме того, сумма задающих токов

поскольку условие баланса требует, чтобы сумма токов источников энергии равнялась сумме токов нагрузок. Таким образом, уравнения (1-5) не являются взаимно независимыми: любое из них может быть получено в результате суммирования остальных.

Как известно, для электрической цепи, содержащей п узлов, можно составить n-1 взаимно независимых уравнений вида (1-3), т. е. один из узлов исключить из рассмотрения. Этот узел называется узлом баланса или балансирующим узлом.

Выберем в схеме, (n=5) узел е в качестве балансирующего. Это соответствует исключению последнего уравнения из системы (1-5). Оставшиеся четыре взаимно независимых уравнения можно записать в виде:

                                         (1-6)

Число неизвестных токов ветвей в уравнениях (1-6) равно числу ветвей (m=6), т.е. на два больше числа уравнений. Для получения двух недостающих уравнений воспользуемся вторым законом Кирхгофа.

Рассматриваемая схема содержит три контура, образуемых ветвями 1-2-5, 4-5-6 и 1-2-6-4. В соответствии с уравнением (1-4) запишем уравнения второго закона Кирхгофа для указанных контуров:

                    (1-7)

Полученные уравнения, так же как и уравнения (1-5), не являются взаимно независимыми - их суммирование приводит к тождеству 0=0. Это объясняется тем, что любой из рассматриваемых контуров содержит только ветви, входящие в оставшиеся два контура, и, следовательно, уравнение для него получается суммированием уравнении двух оставшихся контуров.

Известно, что для схемы, содержащей т ветвей и п узлов, число взаимно независимых уравнений второго закона Кирхгофа или, что то же самое, число независимых контуров равно k=m-n+1.

В рассматриваемом случае k=6-5+1=2. В качестве независимых выберем контуры I и II, положительные направления обхода которых указаны .

Запишем уравнения второго закона Кирхгофа для этих контуров в соответствии с системой (1-7):

                               (1-8)

 Используя уравнения закона Ома (1-1), перепишем (1-8):

                                 (1-9)

Объединяя системы (1-6) и (1-9), получим систему из шести взаимно независимых уравнений, которые необходимы и достаточны для определения токов в ветвях схемы.

В общем случае электрической цепи, содержащей п узлов и т ветвей, число взаимно независимых уравнений первого и второго законов Кирхгофа

(n-1)+(m-n+ 1)=m,

т. е. равно числу ветвей схемы.

Схемы замещения современных сложных электрических систем содержат десятки и даже сотни узлов и ветвей. Количество уравнений состояния для таких систем соответственно настолько велико, что для их решения необходимо использовать цифровые электронные вычислительные машины (ЦВМ). Более того, составление уравнений состояния для сложных схем является весьма трудоемкой процедурой, и решение данной задачи также целесообразно возложить на ЦВМ. Для этого требуется иметь формализованный подход к составлению уравнений, который был бы одинаков для схем любой сложности и конфигурации. Такой подход может быть разработан на основе аналитического представления конфигурации схемы замещения с помощью элементов теории графов и алгебры матриц.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21438. ТЕОРИЯ ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ 16.29 KB
  Частный интерес потерпевшего в ГП состоит не в том чтобы подвергнуть нарушителя лишениям личностного характера а чтобы восполнить потери которые он понес ГПО это всегда ответственность одного субъекта ГП перед другим субъектом ГП этим отличается от АПО Черта обусловлена тем что ГП регулирует оо в целях удовлетворения частных интересов участников этих отношений а частные интересы участников...
21439. ВИНА 20.36 KB
  Вина имеет место тогда когда из поведения лица видно что это лицо либо желало совершить правонарушение либо не проявило ту степень заботливости и осмотрительности которое требовалось от него по характеру обязательства и условиям оборота для предотвращения правонарушения Иной подход к понятию вины: Вина никакого отношения к психическим процессам не имеет Суханов Ветрянский: вина должника имеет место тогда когда он не исполняет...
21440. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений 673 KB
  Исследование на устойчивость некоторого решения Системы уравнений 1 может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения точки покоя расположенной в начале координат. расположенной в начале координат точки покоя системы уравнений. Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя . Точка покоя системы 5 устойчива в смысле Ляпунова если для каждого  можно подобрать  такое что из...
21441. Замечания по поводу классификации точек покоя 340.5 KB
  Следовательно при достаточно большом t точки траекторий начальные значения которых находятся в любой окрестности начала координат попадают в сколь угодно малую окрестность начала координат а при неограниченно приближаются к началу координат т. точки расположенные в начальный момент в окрестности начала координат при возрастании t покидают любую заданную окрестность начала координат т. Если существует дифференцируемая функция называемая функцией Ляпунова удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям: 1 причем...
21442. Исследование на устойчивость по первому приближению 209.5 KB
  Напомним что исследование на устойчивость точки покоя системы 1 эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения системы дифференциальных уравнений 2 т. при правые части системы 1 обращаются в нуль:. Будем исследовать на устойчивость точку покоя линейной системы 5 называемой системой уравнений первого приближения для системы 4. система 1 стационарна в первом приближении то исследование на...
21443. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 170 KB
  Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида: . 2 Это уравнение линейно относительно производных но может быть нелинейным относительно неизвестной функции Z. Если а коэффициенты Xi не зависят от z то уравнение 2 называется линейным однородным.
21444. Дифференциальные уравнения векторных линий 218 KB
  Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...
21445. Приведение матрицы линейного оператора к канонической (жордановой) форме 623.5 KB
  Вектор называется присоединенным вектором оператора соответствующим собственному значению если для некоторого целого выполняются соотношения . Иными словами если присоединенный вектор порядка то вектор является собственным вектором оператора . Существует базис 1 образованный из собственных и присоединенных векторов оператора в котором действие оператора дается следующими соотношениями:...
21446. Обыкновенные дифференциальные уравнения 438.5 KB
  Функция называется решением (или интегралом) д.у., если она раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале и при удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием...