65833

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Задание 1 Условие: Решить СЛАУ методом итераций Якоби либо Зейделя: Ход работы: Итерационный метод Якоби: Достаточное условие сходимости: Чтобы выполнялось достаточное условие сходимости преобразуем систему: Блоксхема метода Якоби: Код программы: for i:=1 to 4 do x[i]:=1; e:=0.001; k:=0; while k=0 do begin dx:=0; for i:=1 to 4 do begin s:=0; for j:=1 to i1 do...

Русский

2014-08-09

741 KB

10 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #1(вариант #5)

Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Цель: Найти решение СЛАУ, т.е. такую упорядоченную совокупность чисел, которая обращает все уравнения системы в верное равенство, пользуясь прямыми (точными) и итерационными методами решения систем.

Задание 1

Условие: Решить СЛАУ методом итераций (Якоби либо Зейделя):

Ход работы: 

Итерационный метод Якоби:

Достаточное условие сходимости:

Чтобы выполнялось достаточное условие сходимости, преобразуем систему:

Блок-схема метода Якоби:

Код программы:

   for i:=1 to 4 do

     x[i]:=1;

     e:=0.001;

     k:=0;

      while k=0 do

       begin

        dx:=0;

        for i:=1 to 4 do

         begin

          s:=0;

          for j:=1 to i-1 do

           s:=s+a[i,j]*x[j];

            for j:=i+1 to 4 do

             s:=s+a[i,j]*x[j];

             y:=(b[i]-s)/a[i,i];

             d:=abs(y-x[i]);

             if d>dx then

              dx:=d;

              x[i]:=y;

         end;

            if dx<e then k:=1;

       end;

Вектор невязки

for t:=1 to 4 do

  begin

   for q:=1 to 4 do

    v[t]:=v[t]+x[q]*a[t,q];

  end;

 Label12.Caption:=Floattostr(v[1]+2);

 Label13.Caption:=Floattostr(v[2]+32);

 Label14.Caption:=Floattostr(v[3]-26);

 Label15.Caption:=Floattostr(v[4]+26);

Полученные результаты:

Задание 2

Условие: Решить СЛАУ Методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента:

Ход работы:

Метод Гаусса:

Идея метода: привести матрицу к нижнему треугольному виду последовательным выполнением арифметических операций построчно.

Преобразуем систему, чтобы избавиться от нулевых и близких к нулю диагональных элементов, для проведения прямого хода:

Блок-схема метода Гаусса:

Код программы:

Прямой ход

  n:=4;

  for i:=1 to n do

    begin

     l:=i;

     for z:=i+1 to n do

       begin

        if (Abs(a[z,i])<(Abs(a[l,i]))) then

        l:=z;

        if l<>i then

         begin

          for j:=i to n do

           begin

            q:=a[i,j];

            a[i,j]:=a[l,j];

            a[l,j]:=q;

           end;

          w:=b[i];

          b[i]:=b[l];

          b[l]:=w;

         end;

       end;

     for k:=i+1 to n do

       begin

        c:=a[k,i]/a[i,i];

        for j:=i+1 to n do

         begin

          a[k,j]:=a[k,j]-c*a[i,j];

         end;

        b[k]:=b[k]-c*b[i];

       end;

    end;

Обратный ход

for i:=n downto 1 do

 begin

  s:=0;

  for j:=i+1 to n do

   begin

    s:=s+a[i,j]*x[j];

   end;

  x[i]:=(b[i]-s)/a[i,i];

 end;

Вевтор невязки

for t:=1 to 4 do

  begin

   for g:=1 to 4 do

    v[t]:=v[t]+x[g]*u[t,g];

  end;

 Label12.Caption:=Floattostr(v[1]-125);

 Label13.Caption:=Floattostr(v[2]-23);

 Label14.Caption:=Floattostr(v[3]-58);

 Label15.Caption:=Floattostr(v[4]+90);

Полученные результаты:

Вывод:

В данной работе были написаны программы для нахождения решения СЛАУ прямым (Гаусса) и итерационным (Якоби) методами. Исходные системы уравнений имеют 4-й порядок. Это позволило нам использовать оба метода (для прямых методов m<=100).

Для каждой из систем была найдена своя совокупность чисел-решений. Если подставить в исходные системы найденные переменные, уравнения системы обращаются в верные тождества.

Анализируя данные мы видим, что вычисленные векторы невязки малы, что указывает на близость найденных решений к точным, эти погрешности обусловлены машинным округлением. Также можно заметить, что итерационный метод дает погрешность больше, чем прямой.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50426. Экспериментальная проверка зависимостей между физическими величинами, характеризующими колебания математического и оборотного маятников 94 KB
  Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Определим ускорение свободного падения с помощью оборотного маятника. Используя измеренные значения d2 d1 Т1 Т2 рассчитаем ускорение свободного падения g и момент инерции маятника Ic относительно оси проходящей через его центр масс по формулам: Где L= d1d2=0308 м Задание3.
50427. Изучение физического маятника, лабораторная работа 146.5 KB
  Цель работы: экспериментальная проверка зависимостей между физическими величинами характеризующими колебания математического и оборотного маятников; экспериментальное определение ускорения свободного падения g помощью математического маятника; экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. В результате измерений получился набор значений периодов колебаний Т соответствующих длинам маятника li где i – номер опыта.
50428. Изучение физического маятника (математического и оборотного) 243 KB
  Цель работы: экспериментальная проверка зависимостей между физическими величинами характеризующими колебания математического и оборотного маятников; экспериментальное определение ускорения свободного падения g помощью математического маятника; экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Общий вид универсального маятника FPM04 представлен на рис. Оба маятника математический и оборотный\' представляют собой различные реализации физического маятника.
50429. Экспериментальное определение среднего значения периода Тсвоб свободных колебаний; Ткрут крутильных колебаний (в зависимости от выбранной модели) 128.5 KB
  Экспериментальное определение среднего значения периода Тсвоб свободных колебаний; Ткрут крутильных колебаний в зависимости от выбранной модели. Экспериментальное определение зависимости периода Ткач колебаний с качением наклонного маятника от значения угла наклона плоскости колебаний. Сравнение экспериментально установленной зависимости периода Ткач колебаний с качением от значения угла наклона плоскости колебаний с теоретическими моделями различной степени сложности. Измерение периода свободных колебаний: № измерения...
50430. Изучение газовых законов. Определение показателя идиабаты и политропы 287.5 KB
  Кран 3 открыт давление в сосуде. Температура газа в сосуде равна температуре окружающей среды . Нагнетание насосом 5 воздуха в сосуд: воздух в сосуде нагревается до температуры при закрытом кране K. Проведём измерение конечного давления в сосуде после ходов насоса при различных но небольших скоростях его вращения.