65833

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Задание 1 Условие: Решить СЛАУ методом итераций Якоби либо Зейделя: Ход работы: Итерационный метод Якоби: Достаточное условие сходимости: Чтобы выполнялось достаточное условие сходимости преобразуем систему: Блоксхема метода Якоби: Код программы: for i:=1 to 4 do x[i]:=1; e:=0.001; k:=0; while k=0 do begin dx:=0; for i:=1 to 4 do begin s:=0; for j:=1 to i1 do...

Русский

2014-08-09

741 KB

18 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #1(вариант #5)

Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Цель: Найти решение СЛАУ, т.е. такую упорядоченную совокупность чисел, которая обращает все уравнения системы в верное равенство, пользуясь прямыми (точными) и итерационными методами решения систем.

Задание 1

Условие: Решить СЛАУ методом итераций (Якоби либо Зейделя):

Ход работы: 

Итерационный метод Якоби:

Достаточное условие сходимости:

Чтобы выполнялось достаточное условие сходимости, преобразуем систему:

Блок-схема метода Якоби:

Код программы:

   for i:=1 to 4 do

     x[i]:=1;

     e:=0.001;

     k:=0;

      while k=0 do

       begin

        dx:=0;

        for i:=1 to 4 do

         begin

          s:=0;

          for j:=1 to i-1 do

           s:=s+a[i,j]*x[j];

            for j:=i+1 to 4 do

             s:=s+a[i,j]*x[j];

             y:=(b[i]-s)/a[i,i];

             d:=abs(y-x[i]);

             if d>dx then

              dx:=d;

              x[i]:=y;

         end;

            if dx<e then k:=1;

       end;

Вектор невязки

for t:=1 to 4 do

  begin

   for q:=1 to 4 do

    v[t]:=v[t]+x[q]*a[t,q];

  end;

 Label12.Caption:=Floattostr(v[1]+2);

 Label13.Caption:=Floattostr(v[2]+32);

 Label14.Caption:=Floattostr(v[3]-26);

 Label15.Caption:=Floattostr(v[4]+26);

Полученные результаты:

Задание 2

Условие: Решить СЛАУ Методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента:

Ход работы:

Метод Гаусса:

Идея метода: привести матрицу к нижнему треугольному виду последовательным выполнением арифметических операций построчно.

Преобразуем систему, чтобы избавиться от нулевых и близких к нулю диагональных элементов, для проведения прямого хода:

Блок-схема метода Гаусса:

Код программы:

Прямой ход

  n:=4;

  for i:=1 to n do

    begin

     l:=i;

     for z:=i+1 to n do

       begin

        if (Abs(a[z,i])<(Abs(a[l,i]))) then

        l:=z;

        if l<>i then

         begin

          for j:=i to n do

           begin

            q:=a[i,j];

            a[i,j]:=a[l,j];

            a[l,j]:=q;

           end;

          w:=b[i];

          b[i]:=b[l];

          b[l]:=w;

         end;

       end;

     for k:=i+1 to n do

       begin

        c:=a[k,i]/a[i,i];

        for j:=i+1 to n do

         begin

          a[k,j]:=a[k,j]-c*a[i,j];

         end;

        b[k]:=b[k]-c*b[i];

       end;

    end;

Обратный ход

for i:=n downto 1 do

 begin

  s:=0;

  for j:=i+1 to n do

   begin

    s:=s+a[i,j]*x[j];

   end;

  x[i]:=(b[i]-s)/a[i,i];

 end;

Вевтор невязки

for t:=1 to 4 do

  begin

   for g:=1 to 4 do

    v[t]:=v[t]+x[g]*u[t,g];

  end;

 Label12.Caption:=Floattostr(v[1]-125);

 Label13.Caption:=Floattostr(v[2]-23);

 Label14.Caption:=Floattostr(v[3]-58);

 Label15.Caption:=Floattostr(v[4]+90);

Полученные результаты:

Вывод:

В данной работе были написаны программы для нахождения решения СЛАУ прямым (Гаусса) и итерационным (Якоби) методами. Исходные системы уравнений имеют 4-й порядок. Это позволило нам использовать оба метода (для прямых методов m<=100).

Для каждой из систем была найдена своя совокупность чисел-решений. Если подставить в исходные системы найденные переменные, уравнения системы обращаются в верные тождества.

Анализируя данные мы видим, что вычисленные векторы невязки малы, что указывает на близость найденных решений к точным, эти погрешности обусловлены машинным округлением. Также можно заметить, что итерационный метод дает погрешность больше, чем прямой.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2405. Досудовий (претензійний) порядок врегулювання господарських спорів 24.28 KB
  Мета заняття: закріпити і розширити знання по темі. Оволодіти навичками практичного застосування законодавчих актів при розв’язанні ситуаційних завдань.
2406. Теорія та практика страхування 477 KB
  Поняття страхової послуги, її необхідність і сутність. Економічна необхідність і значення медичного страхування. Роль реклами в реалізації страхових послуг. Страхування врожаю сільськогосподарських культур та багаторічних насаджень. Страхові посередники та їх роль в реалізації страхових послуг.
2407. Составление программ, использующих процедуры и функции пользователя 323.99 KB
  Написать программу решения следующей задачи: Даны четыре пары чисел: A, a, B, b, C, c, D, d, - которые являются соответственно наружными и внутренними радиусами колец. Найти общую площадь этих колец.
2408. Исследование нелинейной автономной двухкомпонентной системы с дискретным временем 1.18 MB
  Из проведенного анализа двухкомпонентной нелинейной автономной системы видно, что процессы, наблюдаемые в таких системах могут быть весьма разнообразными. Так в системе возможны периодические и хаотические колебания.
2409. Экономика как наука изучающая отношения в сфере производства 512.57 KB
  Экономика – совокупность отношений между людьми в сфере производства, распределения, обмена и потребления продуктов труда, соответствующая данной степени развития общества. Воспроизводство – неповторимо повторяющиеся процессы производства, а также распределения, обмена и потребления.
2410. Основы физики. Теория и практика 307.77 KB
  Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Диэлектрическая проницаемость вещества. Применение теоремы Гаусса к расчёту некоторых электрических полей в вакууме. Проводники в электрическом поле. Распределение зарядов в проводнике. Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах. Магнитный момент кругового тока. Закон Ампера.
2411. Особенности системы автоматизированного проектирования 101.5 KB
  Неавтоматизированное проектирование - проектирование осуществляется человеком; автоматизированное проектирование, при котором отдельные этапы или задачи осуществляются взаимодействием человека и ЭВМ, автоматическое проектирование, при котором все этапы и задачи осуществляются ЭВМ без участия человека.
2412. Иновационные информационные технологии 96.36 KB
  Факторы, оказывающие сдерживающее влияние на процесс становления рынка программных продуктов. Технология ASP. Объекты ADO. Пакетная модификация. Перемещение между записями в результирующем множестве ADO. Специальные значения свойства ADO Recordset.
2413. Выбор методом анализа иерархий с помощью MathCAD по 4 видам и 4 признаком. Методы очистки сточных вод 3.72 MB
  Элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию (весу, или интенсивности) на общую для них характеристику. Сравнивая набор составляющих проблемы друг с другом, получается квадратная матрица вида.