65872

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на ее выходе исследователь получает...

Русский

2014-08-09

88.5 KB

18 чел.

Лекция №2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

Основные этапы построения математической модели:

  1.  составляется описание функционирования системы в целом;
  2.  составляется перечень подсистем и элементов с описанием их функционирования, характеристик и начальных условий, а также взаимодействия между собой;
  3.  определяется перечень воздействующих на систему внешних факторов и их характеристик;
  4.  выбираются показатели эффективности системы, т.е. такие числовые характеристики системы, которые определяют степень соответствия системы ее назначению;
  5.  составляется формальная математическая модель системы;
  6.  составляется машинная математическая модель, пригодная для исследования системы на ЭВМ.

Требования к математической модели:

Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером поставленной задачи:

"Хорошая" модель должна быть:

  1.  целенаправленной;
  2.  простой и понятной пользователю;
  3.  достаточной с точки зрения возможностей решения поставленной задачи;
  4.  удобной в обращении и управлении;
  5.  надежной в смысле защиты от абсурдных ответов;
  6.  допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она при взаимодействии с пользователями может становиться более сложной.

Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества альтернативных вариантов

В основе изучения и моделирования процессов функционирования технических систем всегда лежит эксперимент - реальный или логический. Суть реального эксперимента состоит в непосредственном изучении конкретного физического объекта. В ходе логического эксперимента свойства объекта исследуются не на самом объекте, а с помощью его математической или содержательной (словесной) модели, изоморфной объекту с точки зрения изучаемых эксперименте свойств.

Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на ее выходе, исследователь получает возможность установить и записать математически существующую между ними связь в виде уравнения, связывающего для каждого интервала времени значения входных и выходных воздействий и потому называемого уравнением «вход-выход». Кроме того, для адекватного отражения связи между входом и выходом системы в системотехнике вводится понятие «состояние». По своему смыслу состояние z(τ) представляет собой совокупность существенных свойств (характеристик) системы, знание которых в настоящем (в момент времени τ) позволяет определить ее поведение в будущем (в моменты времени t > τ). Благодаря этому понятию, уравнение “вход-выход”-состояние принимает вид:

YT = A(T, z(τ), XT), (2.1)

где XT, YT - входной и выходной процесс на интервале времени T;

A(*)- оператор выходов.

Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием и не зависит от того, каким образом система была переведена в это состояние. Отсюда ясно, что уравнение (2.1) ограничивает класс рассматриваемых систем только такими системами, функционирование которых в настоящем не зависит от того, как они функционировали в прошлом.

Для полного описания процесса функционирования системы необходимо задать условия определения состояния системы. Для этого вводится понятие уравнения состояния:

z(t) = B(τt, z(τ), Xτt), (2.2)

где

B(*) - оператор, устанавливающий однозначную зависимость z(t) от пары (z(τ), Xτt), которая задана на интервале t, и называемый оператором перехода.

Уравнения (2.1) и (2.2) имеют достаточно логичное обобщение и на многомерный случай, когда каждая из компонент уравнений имеет векторный вид:

Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на всем интервале функционирования T (множество времени) по заданному вектору начального состояния  записанном в векторном виде входному процессу (T). Согласно изложенному выше, для решения этой задачи достаточно задать множества допустимых значений входных X и выходных Y процессов, а также множество возможных  состояний системы Z и операторы выхода A и перехода B. Модель функционирования системы без предыстории представляет собой кортеж

MF = <T, X, Y, Z, A, B>. (2.3)

Если все компоненты в (2.3) известны, модель функционирования полностью определена и может быть использована для описания и изучения свойственных системе процессов функционирования. Множества и операторы, составляющие общесистемную модель (2.3), могут обладать различными свойствами, совокупность которых позволяет конкретизировать характер функционирования системы:

N – непрерывность;

Lлинейность;

Cстационарность;

Pстохастичность (вероятность).

Наделяя систему теми или иными свойствами общесистемная модель конкретизируется до системной модели.

Системные свойства:

1). Если интервал функционирования системы Т = [] представляет отрезок оси действительных чисел, заданный началом  и концом , то система функционирует в непрерывном времени. Если, кроме того непрерывны операторы А и В, то система наз. непрерывной.

2). С т.зр. реакции на внешнее воздействие объекты подразделяют на линейные и нелинейные. Линейными наз. такой объект, реакция которого на совместное воздействие 2-х любых внешних возмущений равно сумме реакций на каждое из этих воздействий, приложенных к системе порознь.

- принцип суперпозиции,

(0)=0 (начальное состояние системы),

где - оператор объекта, устанавливает связь входа и выхода.

Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции.

3). Поскольку стационарная система при фиксированном начальном состоянии Z(t0) одинаково реагирует на эквивалентные, отличающиеся только сдвигом по времени, входные воздействия, то наложение интервала t0, t на оси времени не оказывает влияния на процесс функционирования системы. Модель М для стационарных систем не содержит в явном виде интервал функционирования Т.

4)  Если в модели М операторы А и В каждой паре (X, V, Z(t0)) (вход, состояние) ставят в соответствие единственные значения Y и Z, описываемая этой моделью система называется детерминированной. Для стохастической (вероятностной) системы Y и Z, случайные величины, заданные законами распределения.

Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшем термин «модель функционирования» для краткости может заменяться термином «модель» с сохранением исходного смысла) обладают исключительно высокой степенью общности. Они, безусловно, необходимы для теоретических исследований и полезны, так как выявляют общие закономерности, присущие весьма широкому классу систем. Но в повседневной практической деятельности инженеры традиционно используют так называемые конструктивные модели - гораздо менее общие, но позволяющие производить конкретные вычисления. Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям других переменных. Однако между системными и конструктивными моделями нет противоречия. По мере накопления знаний о системе, уточнения и конкретизации ее свойств и характеристик системная модель естественным образом преобразуется в конструктивную. Следовательно, конструктивная модель может и должна закономерно вырастать из более общей системной модели. Такой - истинно системотехнический подход – представляется более обоснованным, чем априорное задание конструктивной модели исследователем, использующим для этого лишь свою интуицию и субъективные представления о возможностях тех или иных математических схем.

Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы определяются процессом реализации системотехнической цепочки преобразований «общесистемная модель  системная модель  конструктивная модель  машинная модель».

Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (2.3), определения их содержательного смысла и областей изменения. Согласно модели (2.3), необходимо определить: интервал времени, на котором нас интересует функционирование системы; множество входных и выходных воздействий и области их возможных изменений; множество характеристик состояния системы и область их возможных изменений.

Классификация системных моделей

Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточно широкому классу систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов.

КМ – алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других переменных.

КМ – может и должна вырастать из большой общей системной модели путем конкретизации ее свойств.

При построении моделей функционирования систем применяют следующие подходы:

  1.  непрерывно-детерминированный подход (дифференцированные уравнения);
  2.  дискретно-детерминированный  (конечные автоматы);
  3.  дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);
  4.  непрерывно-стохастический подход (системы СМО)
  5.  обобщенный / универсальный подход (агрегитивные системы)

 

PAGE  5


M

MN

MN

N

L

MNL

MNLC

NL

MNLC

MNLC

MNLC

MNLC

C

MNLC

MNLC

MNLC

MNLC

MNLC

MNLCP

MNLCP

MNLCP

MNLCP

...

MNLCP

P

MNLCP

Да        Нет

Да        Нет

Да        Нет

Да        Нет

MNLCP - легко мат.описание

MNLCP - нет адекватного мат.описания (трудно)

Инверсия (N) – данное свойство не выполняется, например нет свойства непрерывности


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58507. Одномерные массивы 119.5 KB
  Цель: закрепить знания по теме “Одномерные массивы”, проверить умение решать базовые задачи, совершенствовать умение учащихся оценивать свой учебный труд. Развивать логическое мышление. Воспитывать культуру предмета.
58509. Новогодняя открытка 47.5 KB
  После смерти Петра I новогодние елки ставить перестали. Лишь владельцы трактиров украшали ими свои дома причем эти елки стояли на трактирах круглый год отсюда пошло их название елки-палки. Новогодние празднества и традиция ставить елки возродились при Екатерине II.
58510. Понятие информации. Виды информации. Свойства информации 62.5 KB
  Цель урока: Познакомить учащихся с понятием информации и носителями информации. Учащиеся должны понимать, что существуют различные подходы к определению информации в различных областях человеческой деятельности...
58511. Поняття алгоритму. Базові структури алгоритмів 163 KB
  Виконання алгоритму повинно приводити до очікуваного результату за скінченну кількість кроків. Виконання алгоритму завжди повинно призводити до певного результату. Виконавець відповідно до алгоритму повинен одержати результат не вникаючи в його суть.
58512. Проведення реєстрації осіб, які виявили бажання пройти зовнішнє незалежне оцінювання в 2012 році. Робота з програмою створення заяви-реєстраційної картки 166 KB
  Мета уроку: ознайомити учнів з порядком реєстрації на зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року навчити учнів користуватися програмою реєстрації на ЗНО 2012 ознайомити учнів з правами та обов’язками осіб які бажають взяти участь у ЗНО...
58513. Властивості інформації. Кодування інформації 82.5 KB
  Перевірка домашнього завдання 67 хв. Зараз я пройду та перевірю домашнє завдання. 1 учень: Запиши у якому вигляді подано інформацію в таких прикладах: Хто не виконав завдання слідкуйте і самостійно запишіть відповідь у таблицю.
58514. Первобытный мир – первые шаги человечества 153.5 KB
  Цели: образовательные: создать у детей образ эпохи Первобытного мира; проследить расселение первобытных людей по планете; развивающие: учить анализировать ответы товарищей и высказывать свое мнение; познакомить с открытиями и изобретениями древних людей...