6611

Описательная статистика и обработка статистических данных в процессе проектирования авиационных двигателей

Контрольная

Социология, социальная работа и статистика

Описательная статистика Описательная статистика представляется наиболее широко применяемыми методами математической статистики, используемыми для первичной обработки и наглядного представления статистических данных. К рассматриваемым методам относят...

Русский

2013-01-06

505.72 KB

17 чел.

Описательная статистика

Описательная статистика представляется наиболее широко применяемыми методами математической статистики, используемыми для первичной обработки и наглядного представления статистических данных. К рассматриваемым методам относят: числовые характеристики случайных величин (среднее, стандартное отклонение, мода, медиана, дисперсия, эксцесс, асимметрия); построение полигона частот и гистограмм; подбор закона распределения, корреляционный и регрессионный анализ, кластерный анализ и др.

Основная статистическая обработка экспериментальных данных – нахождения среднего значения, стандартного (среднеквадратического) отклонения и др., а также для построения гистограммы может осуществляться с помощью программных инструментальных средств, например пакета «Статистика».

Рис.1. Обработка статистических данных.

Результаты статистической обработки:  число вариант, среднее, минимальное и максимальное значения, стандартное отклонение..

Построение гистограммы

Рис.  Гистограмма характеризует рассеяние случайной величины (производственного параметра).

Подбор закона распределения необходим для прогнозирования параметров процессов.

Например – нормальный закон распределения:

Или закон равной вероятности

Обосновать применимость того или иного закона можно с помощью критериев проверки статистических гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестных распределений или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

или

или

Отвергнута

Принята

Отвергнута

Ошибка первого рода

Принята

Ошибка второго рода

Ложная

Соответствует действительности (правильная)

ИЛИ

Гипотеза H01)

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через .

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначается через .

Статистическим критерием (критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением Кнабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборке.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Область принятия гипотезы (область допустимых значений) - совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

двусторонняя

левосторонняя

правосторонняя

Критическая область

Критическая область

0

Ккр

Ккр

К

Ккр

К

К

Ккр

Критическая область

Критическая область

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости  и определяют критические точки.

Для правосторонней критической области Р(К>Ккр)=          (Ккр>0);

для левосторонней критической области Р(К<Ккр)=          (Ккр<0);

для двусторонней критической области Р(К>Ккр)=/2          (Ккр>0)

                                                                    Р(К<-Ккр)=/2.

Критерий согласия 2 (хи-квадрат)

Критерий согласия 2 (критерий Пирсона) разработан лучше других критериев и чаще используется. Он основан на сравнении эмпирических частот интервалов группировки с теоретическими (ожидаемыми).

Условия применения: объем выборки n40, выборочные данные сгруппированы в интервальный вариационный ряд с числом интервалов не менее 7, ожидаемые (теоретические) частоты интервалов не должны быть меньше 5.

Выдвигаемая гипотеза Н0: f(x)=f '(x) - плотность распределения f(x) генеральной совокупности, из которой взята выборка, соответствует теоретической модели f '(x) (нормального распределения, равномерного распределения ...).

Альтернатива Н1: f(x)f '(x).

Уровень значимости .

Порядок применения:

1.Формулируется гипотеза, выбирается уровень значимости .

2.Получается выборка объема n40 независимых наблюдений и представляется эмпирическое распределение в виде интервального вариационного ряда.

3.Рассчитываются выборочные характеристики и S.

  - среднее выборочное (аналог математического ожидания)

          ,                                                                            (1)

где n - объем выборки, xi - варианты выборки.

Если данные сгруппированы, то среднее выборочное

        ,                                                                           (2)

где k - число интервалов группировки, ni - частоты интервалов, xi - срединные значения интервалов.

S - стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение).

,                                             (3)

                                                        (4)

Если данные сгруппированы

                                                        (5)

и S используют в качестве генеральных параметров  (математического ожидания) и  (среднего квадратического отклонения).

4.Вычисляются значения теоретических частот попадания в i-й интервал группировки.

В случае проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по выборке:

,                                         (6)

где Ф0(u) - функция Лапласа, xвi и  xнi - верхняя и нижняя границы i-го интервала группировки.

Если окажется, что вычисленные ожидаемые частоты некоторых интервалов группировки меньше 5, то соседние интервалы объединяются так, чтобы сумма их ожидаемых частот была бы не меньше 5. Соответственно складываются и эмпирические частоты объединяемых интервалов.

5.Значение 2 - критерия рассчитываются по формуле

,                                                                (7)

где ni - эмпирические частоты, - ожидаемые (теоретические) частоты, k - число интервалов после группировки.

6.Из табл.1 находится критическое значение критерия Пирсона для уровня значимости  и числа степеней свободы =k-3.

7.Если - гипотезу о (нормальном, равномерном...) распределении генеральной совокупности Н0 отвергают. В противном случае нет оснований отвергать Н0.

Критерий  (ламбда) Колмогорова-Смирнова.

Гипотеза Н0 формулируется по отношению к функциям распределения F(x) и F'(x).

F(x) функция распределения генеральной совокупности, из которой получена выборка.

F'(x) - функция непрерывного теоретического (нормального) распределения.

Условия применения: объем выборки n35, эмпирическое распределение представлено в виде интервального вариационного ряда.

Гипотеза Н0: F(x)=F'(x).

Альтернатива Н1: F(x)F'(x).

Уровень значимости .

Порядок применения.

1.Формулируется гипотеза H0, выбирается уровень значимости .

2.Получается выборка объема n35 независимых наблюдений. Она группируется в интервальный вариационный ряд.

3.Рассчитываются выборочные характеристики и S (по формулам1-5).

4.Рассчитываются значения эмпирических накопленных частот nxi и теоретических накопленных частот n'xi.

,                                                   (8)

где n - объем выборки, Ф0(u) - функция Лапласа, xi - срединные значения интервалов группировки.

5.Вычисляется значение критерия :

  ,                                                                                   (9)

где - максимальное значение модуля разности между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами.

6.Определяется критическое значение - критерия Колмогорова-Смирнова при уровне значимости . Для стандартных уровней значимости критические значения равны:

   0.05=0.895,   0.01=1.035. Они соответствуют рассматриваемому варианту применения критерия Колмогорова-Смирнова, когда для вычисления теоретических накопленных частот используются выборочные характеристики и S В качестве параметров  и  нормального распределения.

7.Вывод: если  - Н0 отвергают, иначе нет оснований отвергнуть гипотезу Н0.

Оба рассмотренных критерия (Пирсона и Колмогорова-Смирнова) применимы в одних и тех же условиях (объем выборки более 40). Сравнение мощностей этих критериев для общего случая затруднительно, но из опыта известно, что критерий  чаще обнаруживает отклонения от нормального распределения при оценки параметров по выборке.

Критерий W Шапиро-Уилки.

(применим при объеме выборки n10)

Порядок применения:

1.Формулируем гипотезу Н0 о соответствии распределения генеральной совокупности, из которой получены данные, нормальному распределению. Назначается уровень значимости  (=0.05).

2.Получить выборку n10  независимых измерений.

3.Рассчитать значение выборочной дисперсии S2.

4.Ранжировать выборку, то есть расположить выборочные значения в возрастающем порядке.

5.Образовать разности k для чего из максимального значения xn вычесть наименьшее x1, затем из xn-1 вычитаем x2 и т.д. Если n четное, то число разностей k=n/2, если n нечетное, то , при этом центральная варианта выборки в образовании разностей не участвует.

6.По табл.2. находим значение коэффициентов ank критерия W Шапиро-Уилки, соответствующие объему выборки и номерам разностей.

7.Находим произведения ankk.

8.Вычисляем величину

                                                            (10)

9.Рассчитать значения критерия  W Шапиро-Уилки.

 

                                                             (11)

10.Из табл.3. находим критическое значение критерия Шапиро - Уилки для уровня значимости : (W0.05=0.842).

12.Если W>W можно говорить о соответствии эмпирических данных нормальному распределению.

В отличие от других критериев, Н0 принимается если W>W.


Контрольные вопросы

  1.  Как понимаете понятие «Ошибка первого рода»?
  2.  Как понимаете понятие «Ошибка второго рода»?
  3.  Назовите основные методы статистической обработки данных, используемых на производстве.
  4.  Для каких производственных параметров применима гистограмма?
  5.  Какой смысл вкладывается в закон шесть сигма?
  6.  Что характеризуют приемочные границы?
  7.  Назовите основные законы распределения случайных величин, встречающиеся на производстве.
  8.  Что характеризует среднее значение?
  9.  Что характеризует стандартное отклонение?
  10.  Что понимается под «Полем рассеяния»?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12903. ДЕСЯТЬ МІФІВ ПРО ТОРГІВЛЮ ЛЮДЬМИ 27.19 KB
  Виховна година ДЕСЯТЬ МІФІВ ПРО ТОРГІВЛЮ ЛЮДЬМИ Олександр зі Львова нелегально виїхав до Іспанії разом з дружиною і працював там на будівництві. Одного разу він упав з драбини і сильно забився. Звичайно ніякої страховки у нього не було а працедавець умив руки. Коли чол...
12904. Дружба єднає щирі серця 28.2 KB
  Виховна година у 6 класі Тема. Дружба єднає щирі серця. Навчальна мета: : Поглибити і розширити поняття у дітей про дружбу навчити учнів сприймати ситуації аналізувати їх та знаходити шляхи виходу; допомогти усвідомити значимість слова друг; сприяти виникненню др
12905. Однокласник, товариш, друг. Способи вирішення суперечок та конфліктів. 20.01 KB
  Тема: однокласник товариш друг. Способи вирішення суперечок та конфліктів. Мета: розглянути товариськість як обєктивне явище нашого життя як спосіб співіснування людей; формувати уявлення учнів про різні варіанти людського спілкування; учити уникати конфліктних си
12906. ПОДОРОЖ ЗА КОРДОН: ЗА І ПРОТИ 26.84 KB
  Виховна година ПОДОРОЖ ЗА КОРДОН: ЗА І ПРОТИ Останніми роками громадяни України все частіше подорожують за кордон. Подорож це пізнання культури та традицій інших країн знайомство з новими людьми маса позитивних вражень. Проте ноземні дежави для мандрівника можуть...
12907. Знавці дитячих пісень 15.44 KB
  Виховна година для 2 класу Тема: Знавці дитячих пісень. Мета: ознайомити дітей з найвідомішими дитячими композиторами піснями пробудити цікавість до музичного мистецтва розвивати музичний смак дітей виховувати товариськість колективізм. Форма проведення: конк
12908. Книга – джерело грамотності, вихованості, всебічного розвитку особистості 26.17 KB
  Виховна година на тему: Книга джерело грамотності вихованості всебічного розвитку особистості Мета: Допомогти учням осягнути значення книжки в житті людини викликати інтерес до цього порадника; сприяти розвитку мовлення та формувати пізнавальний інтерес; вихов...
12909. Виховна година на тему Дружба 20.95 KB
  Виховна година на тему Дружба Мета: розкрити зміст понять дружба дійсний друг; показати його відмінність від понять приятель і знайомий; прищепити учням повагу до цінностей дружби; сприяти розвиткові критичного ставлення до себе і своїх особистих якостей те
12910. ТОРГІВЛЯ ЛЮДЬМИ – ЦЕ МОЖЕ ТРАПИТИСЬ З КОЖНИМ 33.96 KB
  ВИХОВНА ГОДИНА З ЕЛЕМЕНТАМИ ТРЕНІНГОВОГО ЗАНЯТТЯ НА ТЕМУ ТОРГІВЛЯ ЛЮДЬМИ ЦЕ МОЖЕ ТРАПИТИСЬ З КОЖНИМ Мета: підвищення рівня поінформованості учнів щодо проблеми торгівлі людьми. Завдання: виявити рівень поінформованості учнів щодо проблеми торгівлі л
12911. Основи правосвідомості особистості 19.79 KB
  Орієнтовні форми класних годин. Години спілкування: Основи правосвідомості особистості Брейнринг Конституційні основи держави Історія та сучасність рідного краю Тренінг Мої права та обовязки Диспут Активна життєва позиція. Навіщо вона мені На...