66521

Вычисление определенных интегралов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего.

Русский

2014-08-22

172 KB

5 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #3(вариант #26)

Тема: Вычисление определенных интегралов.

Цель: Вычислить значения интегралов на основании ряда значений подынтегральной функции методами Монте-Карло и Ньютона-Котеса.

Задание 1

Условие: Методом Монте-Карло найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью , с боков плоскостями , , , , а сверху — эллиптическим параболоидом . Сравнить полученное значение с результатом, вычисленным средствами MathCAD.

Ход работы: 

Интеграл принимается, как площадь под графиком.

Пусть имеется n точек, которые «бросают» на область интегрирования. Координаты точек, принадлежащих области, выбираются случайным образом. Тогда

Код программы:

 begin

   E:=0;

   sum:=0;

   n:=StrToInt(Edit1.Text);

   randomize;

   //вычисляем значение интеграла

   for i:=1 to n do

    begin

     x:=random*3;

     y:=random*7;

     if y<=7 then

      begin

       inc(E);

       sum:=sum+(sqr(x)+sqr(y));

      end;

    end;

   II:=sum*3*7/E;

   Label1.Caption:=floattostr(II);

 end;

Полученные результаты:

Результаты MathCAD:

Вывод:

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего. Но при большом количестве поставленных точек, получается результат близкий к истинному.

Задание 2

Условие: Вычислить значение определенного интеграла по квадратурным формулам Ньютона-Котеса с точностью , определяя шаг интегрирования по оценки остаточного члена:

Ход работы:

Вычислять будем по формулам закрытого типа, т.к. a и b являются узлами интерполяции. Воспользуемся формулой Симпсона для четного кол-ва узлов.

Код программы:

//функция под интегралом

   function f(x0: real): real;

   begin

     Result:=ln(3/2* exp(x0+0.3) )/ln(3* exp(-5*sqr(x0)+0.8) );

   end;

//интегрирование по формулам Ньютона-Котеса

  function integral(a1, b1: real; n1: integer): real;    

  var h1, sigma1, sigma2: real;

      i: integer;

  begin

   sigma1:=0;

   sigma2:=0;

   h1:=(b1-a1)/n1;

   for i:=1 to (n1-1) do

    begin

     if (i div 2)=(i/2) then

       begin

        sigma2:=sigma2+f(a1+i*h1);

       end

      else

       begin

        sigma1:=sigma1+f(a1+i*h1);

       end;

    end;

//формула Симпсона для четного количества узлов

   Result:=(h1/3)*(f(a1)+f(b1)+4*sigma1+2*sigma2);

  end;

begin

xa:=-0.21;

xb:=0.35;

e:=0.0005;

 q:=false;

//первоначально количество точек (кол-во в процессе интегрирования должно быть четн.)

 n:=2;  

while q=false do

  begin

//первая формула Рунге

  R:=(integral(xa,xb,n)-integral(xa,xb,n*2))/(2*2-1);  

  if abs(R)>e then

    n:=n*2

   else

    begin

     q:=true;

     S:=integral(xa,xb,n);

//вторая форулма Рунге

     S:=S+R;               

    end;

 end;

Полученные результаты:

Блок-схема метода Симпсона

Вывод:

Полученное значение интеграла совпадает со значением вычисленным в MathCAD с точностью до погрешности.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84379. Закріплення знань про звук ж, букви Ж, ж (же). Опрацювання народної казки «Лисичка і Журавель» 51.5 KB
  Мета: - закріплювати вміння читати слова, речення з вивченими буквами; формувати навички читання вголос; розвивати зв’язне мовлення, збагачувати словниковий запас учнів; виховувати любов до тварин.
84380. Г. Черінь “Чи ми з природою єдині...”; І. Драч “В товаристві джмеля”; Д. Білоус “Пісенька до куличка”; К. Перелісна “Песик і хлопці” 38.5 KB
  Мета: розвивати образне бачення поетичних картин уміння простежувати взаємозв’язок людини з природою знаходити спільне й відмінне в його зображенні в різних віршах; удосконалювати вміння читати діалоги; знаходити рими.
84381. Добре того вчити, хто хоче все знати. Англійська народна казки «Сорочаче гніздо» 73 KB
  Мета: ознайомити учнів із англійською народною казкою «Сорочаче гніздо», вдосконалювати навики читання школярів, учити стежити за послідовністю описуваних подій, орієнтуватися у структурі тексту; розвивати критичне мислення учнів; виховувати наполегливість у здобутті знань.
84382. Д. Родари «Чем пахнут ремесла». М. Пляцковский «Кто что умеет» 39 KB
  Цели: совершенствовать умения и навыки детей в быстром и выразительном чтении развивать читательскую компетентность учащихся пополнять словарный и лексический запас детей воспитывать трудолюбие Оборудование: учебник Литературное чтение иллюстрации Конституция Украины...
84383. Н. Сладков «Каждый год мы путешествуем вокруг Солнца». И. Бунин «Сегодня на пустой поляне…». О. Высотская «Что нам осень принесла?». Загадка 29.5 KB
  Цели: совершенствовать умения и навыки детей в быстром и выразительном чтении, развивать читательскую компетентность учащихся, пополнять словарный и лексический запас детей, воспитывать любовь к природе.
84384. «Художник-осень» по И. Соколову-Микитову 30 KB
  Золотая осень вырезанные из бумаги листья осины дуба клена; краски Ход урока I Организация класса II Проверка домашнего задания III Мотивация учебной деятельности учащихся Мозговой штурм Прочитайте слова. Кем предстала Осень у поэтессы Маргариты Алигер Осень только взялась за работу...
84385. Де гурт – там і сила. (Німецька народна казка «Бременські музиканти») 48.5 KB
  Мета: удосконалювати навички правильного і виразного читання та навички літературного аналізу твору; вчити дітей працювати в парах; збагачувати словниковий запас учнів; розвивати уміння самостійно працювати з текстом; виховувати почуття товариськості уміння цінувати дружбу.
84386. Невмирущий Кобзар. Тарас Григорович Шевченко – великий народний поет і художник 62 KB
  Ознайомити учнів із творчістю Т. Г. Шевченка, викликати бажання розповідати, слухати вірші, вчити, сприймати зміст поезії на слух та знаходити її відображення в малюнках; розвивати зв’язне мовлення, пам’ять, увагу, вміння виразно читати вірші, збагачувати словниковий запас.
84387. Theatre of the 20th century and beyond 22.06 KB
  The achievements of realism at the end of the 19th century continued to resonate through the turn of the 21st century, but the most influential innovations in early 20th-century theatre came from a vigorous reaction against realism.