66521

Вычисление определенных интегралов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего.

Русский

2014-08-22

172 KB

5 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #3(вариант #26)

Тема: Вычисление определенных интегралов.

Цель: Вычислить значения интегралов на основании ряда значений подынтегральной функции методами Монте-Карло и Ньютона-Котеса.

Задание 1

Условие: Методом Монте-Карло найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью , с боков плоскостями , , , , а сверху — эллиптическим параболоидом . Сравнить полученное значение с результатом, вычисленным средствами MathCAD.

Ход работы: 

Интеграл принимается, как площадь под графиком.

Пусть имеется n точек, которые «бросают» на область интегрирования. Координаты точек, принадлежащих области, выбираются случайным образом. Тогда

Код программы:

 begin

   E:=0;

   sum:=0;

   n:=StrToInt(Edit1.Text);

   randomize;

   //вычисляем значение интеграла

   for i:=1 to n do

    begin

     x:=random*3;

     y:=random*7;

     if y<=7 then

      begin

       inc(E);

       sum:=sum+(sqr(x)+sqr(y));

      end;

    end;

   II:=sum*3*7/E;

   Label1.Caption:=floattostr(II);

 end;

Полученные результаты:

Результаты MathCAD:

Вывод:

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего. Но при большом количестве поставленных точек, получается результат близкий к истинному.

Задание 2

Условие: Вычислить значение определенного интеграла по квадратурным формулам Ньютона-Котеса с точностью , определяя шаг интегрирования по оценки остаточного члена:

Ход работы:

Вычислять будем по формулам закрытого типа, т.к. a и b являются узлами интерполяции. Воспользуемся формулой Симпсона для четного кол-ва узлов.

Код программы:

//функция под интегралом

   function f(x0: real): real;

   begin

     Result:=ln(3/2* exp(x0+0.3) )/ln(3* exp(-5*sqr(x0)+0.8) );

   end;

//интегрирование по формулам Ньютона-Котеса

  function integral(a1, b1: real; n1: integer): real;    

  var h1, sigma1, sigma2: real;

      i: integer;

  begin

   sigma1:=0;

   sigma2:=0;

   h1:=(b1-a1)/n1;

   for i:=1 to (n1-1) do

    begin

     if (i div 2)=(i/2) then

       begin

        sigma2:=sigma2+f(a1+i*h1);

       end

      else

       begin

        sigma1:=sigma1+f(a1+i*h1);

       end;

    end;

//формула Симпсона для четного количества узлов

   Result:=(h1/3)*(f(a1)+f(b1)+4*sigma1+2*sigma2);

  end;

begin

xa:=-0.21;

xb:=0.35;

e:=0.0005;

 q:=false;

//первоначально количество точек (кол-во в процессе интегрирования должно быть четн.)

 n:=2;  

while q=false do

  begin

//первая формула Рунге

  R:=(integral(xa,xb,n)-integral(xa,xb,n*2))/(2*2-1);  

  if abs(R)>e then

    n:=n*2

   else

    begin

     q:=true;

     S:=integral(xa,xb,n);

//вторая форулма Рунге

     S:=S+R;               

    end;

 end;

Полученные результаты:

Блок-схема метода Симпсона

Вывод:

Полученное значение интеграла совпадает со значением вычисленным в MathCAD с точностью до погрешности.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74939. Письмове множення багатоцифрових чисел на одноцифрові. Розв’язування задач 56 KB
  Мета: ознайомити учнів з письмовим множенням багатоцифрових чисел на одноцифрові з переходом через два і більше розрядів; формувати вміння розв’язувати задачі на основі творчих видів роботи; розвивати логічне мислення...
74940. Письмове додавання і віднімання багатозначних чисел. Перевірка додавання і віднімання 72 KB
  Мета: ознайомити учнів з прийомами письмового додавання і віднімання багатозначних чисел у межах мільйона; узагальнити уявлення дітей про зв’язок дій додавання і віднімання; закріплювати вміння розв’язувати задачі та рівняння; розвивати навички усної лічби логічне мислення уважність уяву...
74941. Письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел. Перевірка додавання і віднімання 61 KB
  Мета. Познайомити з прийомом письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел, узагальнити уявлення учнів про зв’язок дій додавання і віднімання, робити перевірку; розвивати логічне мислення, пам’ять, увагу; формувати мотивацію до вивчення математики.
74942. Умножение чисел, заканчивающихся нулями 126.5 KB
  Цель: закрепить навыки умножения чисел заканчивающихся нулями на однозначное число; совершенствовать навыки устного счета навыки решения задач; развивать логическое мышление математическую речь внимание умение работать в группах; воспитывать интерес к математике чувство товарищества.
74943. Круглі числа. Периметр прямокутної ділянки. Знаходження суми та різниці багатозначних чисел 394.5 KB
  Мета уроку: повторити закріпити поглибити удосконалити знання учнів із розділів Круглі числа. Робота з круглими числами Дивлячись на утворені числа назвіть по пам’яті первоначальні числа. Я хочу ще додати інформацій про бджіл вчитель називає та вивішує числа...
74944. Ділення з остачею на двоцифрове число 136.5 KB
  Удосконалювати вміння розв’язувати задачі на пропорційне ділення. Розвивати обчислювальні навички. Під час подорожі ми ознайомимося із діленням з остачею на двоцифрове число закріпимо вміння ділити числа що закінчуються нулями удосконалимо вміння розв’язувати задачі.
74945. Умножение многозначного числа на однозначное число 447 KB
  Цели: продолжать знакомить учащихся с приёмом письменного умножения многозначного числа на однозначное число; совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки; развивать умение решать задачи; закреплять умение рассуждать делать выводы.
74946. Правило обчислення площі прямокутника та його застосування. Знаходження значень виразів на сумісні дії 162 KB
  Мета: повторити поняття «площа» та «квадратний сантиметр»; навчити користуватись правилом обчислення площі; проводити роботу, спрямовану на запобігання змішувань понять «площа» і «периметр»; розвивати логічне мислення, пам’ять; виховувати організованість і дисципліну розумової праці дітей.
74947. Дроби. Вершки и корешки 138.5 KB
  Деление на команды Все вы знаете русскую народную сказку Вершки и корешки. Мы разделимся на команды Вершки и Корешки. Команды это I и II вариант. Сейчас проведем тендер конкурс на право выбора названия варианта-команды: команда числителя Вершки и команда знаменателя Корешки.