66521

Вычисление определенных интегралов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего.

Русский

2014-08-22

172 KB

5 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #3(вариант #26)

Тема: Вычисление определенных интегралов.

Цель: Вычислить значения интегралов на основании ряда значений подынтегральной функции методами Монте-Карло и Ньютона-Котеса.

Задание 1

Условие: Методом Монте-Карло найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью , с боков плоскостями , , , , а сверху — эллиптическим параболоидом . Сравнить полученное значение с результатом, вычисленным средствами MathCAD.

Ход работы: 

Интеграл принимается, как площадь под графиком.

Пусть имеется n точек, которые «бросают» на область интегрирования. Координаты точек, принадлежащих области, выбираются случайным образом. Тогда

Код программы:

 begin

   E:=0;

   sum:=0;

   n:=StrToInt(Edit1.Text);

   randomize;

   //вычисляем значение интеграла

   for i:=1 to n do

    begin

     x:=random*3;

     y:=random*7;

     if y<=7 then

      begin

       inc(E);

       sum:=sum+(sqr(x)+sqr(y));

      end;

    end;

   II:=sum*3*7/E;

   Label1.Caption:=floattostr(II);

 end;

Полученные результаты:

Результаты MathCAD:

Вывод:

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего. Но при большом количестве поставленных точек, получается результат близкий к истинному.

Задание 2

Условие: Вычислить значение определенного интеграла по квадратурным формулам Ньютона-Котеса с точностью , определяя шаг интегрирования по оценки остаточного члена:

Ход работы:

Вычислять будем по формулам закрытого типа, т.к. a и b являются узлами интерполяции. Воспользуемся формулой Симпсона для четного кол-ва узлов.

Код программы:

//функция под интегралом

   function f(x0: real): real;

   begin

     Result:=ln(3/2* exp(x0+0.3) )/ln(3* exp(-5*sqr(x0)+0.8) );

   end;

//интегрирование по формулам Ньютона-Котеса

  function integral(a1, b1: real; n1: integer): real;    

  var h1, sigma1, sigma2: real;

      i: integer;

  begin

   sigma1:=0;

   sigma2:=0;

   h1:=(b1-a1)/n1;

   for i:=1 to (n1-1) do

    begin

     if (i div 2)=(i/2) then

       begin

        sigma2:=sigma2+f(a1+i*h1);

       end

      else

       begin

        sigma1:=sigma1+f(a1+i*h1);

       end;

    end;

//формула Симпсона для четного количества узлов

   Result:=(h1/3)*(f(a1)+f(b1)+4*sigma1+2*sigma2);

  end;

begin

xa:=-0.21;

xb:=0.35;

e:=0.0005;

 q:=false;

//первоначально количество точек (кол-во в процессе интегрирования должно быть четн.)

 n:=2;  

while q=false do

  begin

//первая формула Рунге

  R:=(integral(xa,xb,n)-integral(xa,xb,n*2))/(2*2-1);  

  if abs(R)>e then

    n:=n*2

   else

    begin

     q:=true;

     S:=integral(xa,xb,n);

//вторая форулма Рунге

     S:=S+R;               

    end;

 end;

Полученные результаты:

Блок-схема метода Симпсона

Вывод:

Полученное значение интеграла совпадает со значением вычисленным в MathCAD с точностью до погрешности.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75037. Портрет как средство раскрытия характера в повести А. С. Пушкина «Капитанская дочка» 753.5 KB
  Почему именно повесть Капитанская дочка Во-первых это первое большое произведение Пушкина прочитанное мною удивившее своей глубиной и необычностью поднятых проблем. Во-вторых удивил подход Пушкина к изображению такой исторической личности как Е.
75038. Влияние автомобильного транспорта на атмосферный воздух г.Ноябрьска 813.5 KB
  Мы живём на дне воздушного океана. Эти слова много лет назад сказал ученик великого Галилея – Ториччели. Воздушный океан окружает нашу планету. Всё живёт в нём, и мы живём на его дне, охваченные им со всех сторон. Он доносит до нас пение птиц, шум леса, рокот волн. Он хранит в себе ароматы трав и цветов.
75039. Без особого труда, но недетская еда (питание детей и здоровый образ жизни) 142.5 KB
  Характер питания оказывает влияние на рост физическое и нервно-психическое развитие человека особенно в детском и подростковом возрасте. В первом разделе раскрываются секреты любимых детьми продуктов питания и стоит ли ими злоупотреблять...
75042. Широкая масленица 93 KB
  Тему для своего исследования мы выбрали не случайно, поскольку решили ставить коллекцию на тему «Масленица». Ведь для того, чтобы наиболее полно и достоверно отобразить народные обычаи в праздновании Масленицы на сцене, их нужно всесторонне изучить.
75043. Солнечная система и ее загадки 41 KB
  Происхождение Солнечной системы Современные методы исследования позволяют узнавать все новые и новые факты о Вселенной. Так до сих пор ведутся споры о происхождении Солнечной системы. Образование Солнечной системы из облака пыли и газа.
75044. Исторические личности периода Отечественной войны 1812 года 26.5 KB
  Задачи: Закрепить представления детей о том кто такие защитники Отечества полководцы. Познакомить детей с подвигами русских полководцев и с Бородинским сражением. Развивать речь детей обогащать словарь. Воспитывать у детей чувство гордости и уважение к защитникам Отечества.