66521

Вычисление определенных интегралов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего.

Русский

2014-08-22

172 KB

5 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #3(вариант #26)

Тема: Вычисление определенных интегралов.

Цель: Вычислить значения интегралов на основании ряда значений подынтегральной функции методами Монте-Карло и Ньютона-Котеса.

Задание 1

Условие: Методом Монте-Карло найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью , с боков плоскостями , , , , а сверху — эллиптическим параболоидом . Сравнить полученное значение с результатом, вычисленным средствами MathCAD.

Ход работы: 

Интеграл принимается, как площадь под графиком.

Пусть имеется n точек, которые «бросают» на область интегрирования. Координаты точек, принадлежащих области, выбираются случайным образом. Тогда

Код программы:

 begin

   E:=0;

   sum:=0;

   n:=StrToInt(Edit1.Text);

   randomize;

   //вычисляем значение интеграла

   for i:=1 to n do

    begin

     x:=random*3;

     y:=random*7;

     if y<=7 then

      begin

       inc(E);

       sum:=sum+(sqr(x)+sqr(y));

      end;

    end;

   II:=sum*3*7/E;

   Label1.Caption:=floattostr(II);

 end;

Полученные результаты:

Результаты MathCAD:

Вывод:

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего. Но при большом количестве поставленных точек, получается результат близкий к истинному.

Задание 2

Условие: Вычислить значение определенного интеграла по квадратурным формулам Ньютона-Котеса с точностью , определяя шаг интегрирования по оценки остаточного члена:

Ход работы:

Вычислять будем по формулам закрытого типа, т.к. a и b являются узлами интерполяции. Воспользуемся формулой Симпсона для четного кол-ва узлов.

Код программы:

//функция под интегралом

   function f(x0: real): real;

   begin

     Result:=ln(3/2* exp(x0+0.3) )/ln(3* exp(-5*sqr(x0)+0.8) );

   end;

//интегрирование по формулам Ньютона-Котеса

  function integral(a1, b1: real; n1: integer): real;    

  var h1, sigma1, sigma2: real;

      i: integer;

  begin

   sigma1:=0;

   sigma2:=0;

   h1:=(b1-a1)/n1;

   for i:=1 to (n1-1) do

    begin

     if (i div 2)=(i/2) then

       begin

        sigma2:=sigma2+f(a1+i*h1);

       end

      else

       begin

        sigma1:=sigma1+f(a1+i*h1);

       end;

    end;

//формула Симпсона для четного количества узлов

   Result:=(h1/3)*(f(a1)+f(b1)+4*sigma1+2*sigma2);

  end;

begin

xa:=-0.21;

xb:=0.35;

e:=0.0005;

 q:=false;

//первоначально количество точек (кол-во в процессе интегрирования должно быть четн.)

 n:=2;  

while q=false do

  begin

//первая формула Рунге

  R:=(integral(xa,xb,n)-integral(xa,xb,n*2))/(2*2-1);  

  if abs(R)>e then

    n:=n*2

   else

    begin

     q:=true;

     S:=integral(xa,xb,n);

//вторая форулма Рунге

     S:=S+R;               

    end;

 end;

Полученные результаты:

Блок-схема метода Симпсона

Вывод:

Полученное значение интеграла совпадает со значением вычисленным в MathCAD с точностью до погрешности.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85870. Тепловой расчёт парогазовой установки 811.9 KB
  Расчет осевого турбокомпрессора (ОК). Расчет потерь давления воздуха в воздухозаборном тракте ОК. Вычисление параметров рабочего тела в начале цикла ГТУ. Вычисление параметров рабочего в конце адиабатного сжатия. Вычисление параметров воздуха, отбираемого из ОК. Расчет удельной работы ОК.
85871. Монархическая форма правления в истории эволюции 102.5 KB
  Определение и характеристики форме монархии правительства развитие истории и природе монархии и системы классификации. С большими запасами могут быть установлены в соответствии с рисунком развития: С начала нынешнего правительства в виде монархии.
85872. Разработка технологического процесса изготовления книжной продукции 329.37 KB
  Важнейшими направлениями развития современного производства являются автоматизация и механизация производственных процессов, в целях увеличения производительности и устранения тяжелого и монотонного труда; нормализации технологических процессов; повышения качества изделий...
85873. История возникновения и развития таможенной политики России 76.3 KB
  К субъектам таможенной политики относятся законодательные и исполнительные органы государства: институты таможни, правовые и административные институты власти, а также группы интересов и группы политики, связанные с внешнеэкономической сферой деятельности.
85876. Схема перевозок и вариант движения флота методом динамического программирования 306.83 KB
  Расчет скорости состава относительно воды.3 Расчет интервалов отправления времени расформирования состава и себестоимости для схемы с переформированием. Нормирование времени в начальном пункте Общее время стоянки в начальном пункте будет складываться из технических операций...
85877. Стратегия управления запасами компании 1.1 MB
  Стратегии управления запасами включают в себя: определенную систему контроля и учета уровня запаса на складах как часто осуществляется контроль какие параметры подлежат учету и контролю; систему организации заказа на пополнение запаса при каких условиях делается заказ на пополнение запаса как определяется размер заказа...