66521

Вычисление определенных интегралов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего.

Русский

2014-08-22

172 KB

5 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #3(вариант #26)

Тема: Вычисление определенных интегралов.

Цель: Вычислить значения интегралов на основании ряда значений подынтегральной функции методами Монте-Карло и Ньютона-Котеса.

Задание 1

Условие: Методом Монте-Карло найти объем тела, ограниченного снизу плоскостью , с боков плоскостями , , , , а сверху — эллиптическим параболоидом . Сравнить полученное значение с результатом, вычисленным средствами MathCAD.

Ход работы: 

Интеграл принимается, как площадь под графиком.

Пусть имеется n точек, которые «бросают» на область интегрирования. Координаты точек, принадлежащих области, выбираются случайным образом. Тогда

Код программы:

 begin

   E:=0;

   sum:=0;

   n:=StrToInt(Edit1.Text);

   randomize;

   //вычисляем значение интеграла

   for i:=1 to n do

    begin

     x:=random*3;

     y:=random*7;

     if y<=7 then

      begin

       inc(E);

       sum:=sum+(sqr(x)+sqr(y));

      end;

    end;

   II:=sum*3*7/E;

   Label1.Caption:=floattostr(II);

 end;

Полученные результаты:

Результаты MathCAD:

Вывод:

То, насколько точно методом Монте-Карло будет вычислен интеграл, зависит от количества поставленных точек и количества точек попавших в область интегрирования, поэтому при вычислении каждый раз значение интеграла будет отличаться от предыдущего. Но при большом количестве поставленных точек, получается результат близкий к истинному.

Задание 2

Условие: Вычислить значение определенного интеграла по квадратурным формулам Ньютона-Котеса с точностью , определяя шаг интегрирования по оценки остаточного члена:

Ход работы:

Вычислять будем по формулам закрытого типа, т.к. a и b являются узлами интерполяции. Воспользуемся формулой Симпсона для четного кол-ва узлов.

Код программы:

//функция под интегралом

   function f(x0: real): real;

   begin

     Result:=ln(3/2* exp(x0+0.3) )/ln(3* exp(-5*sqr(x0)+0.8) );

   end;

//интегрирование по формулам Ньютона-Котеса

  function integral(a1, b1: real; n1: integer): real;    

  var h1, sigma1, sigma2: real;

      i: integer;

  begin

   sigma1:=0;

   sigma2:=0;

   h1:=(b1-a1)/n1;

   for i:=1 to (n1-1) do

    begin

     if (i div 2)=(i/2) then

       begin

        sigma2:=sigma2+f(a1+i*h1);

       end

      else

       begin

        sigma1:=sigma1+f(a1+i*h1);

       end;

    end;

//формула Симпсона для четного количества узлов

   Result:=(h1/3)*(f(a1)+f(b1)+4*sigma1+2*sigma2);

  end;

begin

xa:=-0.21;

xb:=0.35;

e:=0.0005;

 q:=false;

//первоначально количество точек (кол-во в процессе интегрирования должно быть четн.)

 n:=2;  

while q=false do

  begin

//первая формула Рунге

  R:=(integral(xa,xb,n)-integral(xa,xb,n*2))/(2*2-1);  

  if abs(R)>e then

    n:=n*2

   else

    begin

     q:=true;

     S:=integral(xa,xb,n);

//вторая форулма Рунге

     S:=S+R;               

    end;

 end;

Полученные результаты:

Блок-схема метода Симпсона

Вывод:

Полученное значение интеграла совпадает со значением вычисленным в MathCAD с точностью до погрешности.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5491. Пиодермии. Чесотка. Педикулез 70 KB
  Пиодермии. Чесотка. Педикулез Определение Этиология Тактика среднего медицинского работника при данных заболеваниях Принципы лечения Особенности ухода за пациентами Диспансеризация Профилактика Пиодермия. Че...
5492. Формирование миссии и целей организации 75 KB
  Формирование миссии и целей организации План: Понятие миссии, факторы выработки миссии. Цели организации: понятие, направления целей, требования к целям. Формы и способы установления целей. ПОНЯТИЕ МИССИИ, ФАКТОРЫ ВЫРАБОТКИ М...
5493. Учение о клетке. Строение и функции клетки 64 KB
  Учение о клетке. Строение и функции клетки. План: Основные положения клеточной теории. Клеточная оболочка, ее строение и функции. Цитоплазма. Ядро, состав ядра, функции компонентов ядра. Органеллы с двумембранным строен...
5494. Брюшной тиф. Паратифы А и В. Сальмонеллезы. Дизентерия 113 KB
  Брюшной тиф. Паратифы А и В. Сальмонеллезы. Дизентерия Раздел Брюшной тиф Брюшной тиф - острая антропонозная инфекционная болезнь, характеризующаяся язвенным поражением лимфатической системы тонкой кишки, бактериемией, циклическим течением, явлен...
5495. Кинематический анализ механизмов. Цели и задачи кинематического анализа 551.23 KB
  Кинематический анализ механизмов. Цели и задачи кинематического анализа Кинематический анализ механизма - исследование его основных параметров с целью изучения законов изменения и на основе этого выбор из ряда известных наилучшего механизма. По...
5496. Нарушение периферического кровообращения и микроциркуляции 78.5 KB
  Нарушение периферического кровообращения и микроциркуляции Периферическое кровообращение - кровообращение в пределах одного органа. Микроциркуляторным руслом называется мелкие кровеносные сосуды с просветом менее 100 мкм. (артериолы, венулы, ка...
5497. Гуманистический и эллинистический периоды античной философии 103.5 KB
  Гуманистический и эллинистический периоды античной философии. Вопрос 1 Софисты и Сократ: открытие человека. Человек есть мера всех вещей (Протагор). Познай сначала самого себя (Сократ). Определение слов софист, софизм и причины их отрицательного зна...
5498. Электронагрев. Электродный нагрев. Инфракрасный нагрев. Диэлектриче-ский нагрев. Индукционный нагрев. Общие сведения о топливе 84.5 KB
  Электронагрев. Электродный нагрев. Инфракрасный нагрев. Диэлектрический нагрев. Индукционный нагрев. Общие сведения о топливе. Электронагрев. В современных тепловых аппаратах широко применяют различного рода нагревательные элементы, в которых электр...
5499. Складывание единого централизованного российского государства 72 KB
  Складывание единого централизованного российского государства. Факторы, причины и этапы возвышения Москвы. Влияние Золотой Орды на формирование российской государственности. Образование централизованного...