66529

Интерполирование с помощью многочленов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В соответствии с вариантом исходное уравнение имеет вид: По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений.

Русский

2014-08-22

369.88 KB

3 чел.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Тульский Государственный Университет»

кафедра Автоматизированных станочных систем

Интерполирование с помощью многочленов

Отчет по практической работе №3

по курсу «Вычислительная математика»

Выполнил студент гр.220911

Проверил преподаватель

проф. каф. АСС Ямникова О.А.

Тула 2013 г.

Задание

1. Рассчитать значение функции, заданной таблично.

2. Построить график функции на участке интерполирования.

В соответствии с вариантом исходное уравнение имеет вид:

По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений .

Согласно формуле (5) имеем

Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получим

Учитывая, что

,

окончательно находим

Построить график функции на участке .

Теоретическая часть

Рассмотрим задачу интерполирования функции f с помощью алгебраических многочленов. В этом случае аппроксимирующая функция имеет вид

. (1)

Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами аппроксимируемой функции, требуемой точностью, а также узлами интерполирования. На выбор величины n существенное влияние оказывает и вычислительный процесс, привносящий в результат дополнительную погрешность.

В качестве критерия согласия принимается условие совпадения и f в узловых точках. Для однозначного определения n+1 коэффициентов многочлена необходимо потребовать совпадения f и необходимо потребовать совпадения f и в (n+1)-й узловой точке:

  (i = 0,1,…,n) (2)

Многочлен , удовлетворяющий условиям (2), называется интерполяционным многочленом.

Итак, рассмотрим следующую задачу интерполирования. На сетке в узлах заданы значения (i = 0,1,…,n) функции f. Требуется построить интерполяционный многочлен , совпадающий с f в узлах заданны значения (i=0,1,….,n) функции f  и оценить погрешность .

 Из условий для определения неизвестных коэффициентов многочлена получаем систему алгебраических уравнений

 (i=0,1,…,n) (3)

Определитель этой системы

(4)

есть определитель Вандермонда, который отличен от нуля при условии при .

Коэффициенты  интерполяционного многочлена (1) можно определить, положив в системе (3) и решив ее.

Подставив полученные значения коэффициентов в равенство (1), приходим к новой форме представления интерполяционного многочлена :

(5)

На практике обычно используются интерполяционные многочлены первой и второй степеней. При этом говорят о линейной и квадратичной интерполяции.

Описание входной и выходной информации

Входные данные:

А – начало интервала, переменная типа real

В – конец интервала, переменная типа real

n – степень многочлена, переменная типа integer

x* - произвольное значение из [a;b],переменная типа real

Выходные данные:

y – значение интерполяционного многочлена y* в точке x*, переменная типа real;

ix – вектор значений x на отрезке [a;b], одномерный массив типа real;

iy – вектор значений функции y(x), одномерный массив типа real

Схема алгоритма

Рисунок 1 – Схема основной программы

Рисунок 2 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 3 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 4 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 5 - Продолжение  схемы основной программы


Рисунок 6 – Схема полинома

Текст программы

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series, TeeFunci;

type

 TForm1 = class(TForm)

   lbl1: TLabel;

   lbl2: TLabel;

   lbl3: TLabel;

   lbl4: TLabel;

   edt1: TEdit;

   edt2: TEdit;

   edt3: TEdit;

   lst1: TListBox;

   Button1: TButton;

   Button2: TButton;

   lst2: TListBox;

   cht1: TChart;

   lbl5: TLabel;

   lbl6: TLabel;

   lbl7: TLabel;

   edt4: TEdit;

   Series1: TLineSeries;

   Series2: TLineSeries;

   lnsrsSeries3: TLineSeries;

   adtfnctnTeeFunction1: TAddTeeFunction;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

uses math;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type mas=array [1..100,1..100] of Real;

var masA ,h :mas;

ix,iy ,Ar: array [1..100] of Real;

a,b,ih,d,hag,x1,s1,xz:Real;

n,i,kt,j,k,l:Integer;

function pol(x:real):Real;

var

 z,s:Real;

 i:integer;

begin

 s:=ar[kt];

 z:=x;

 for i:=n downto 1 do

 begin

 s:=s+ar[i]*z;

 z:=z*x;

 end;

 pol:=s;

end;

 // расчет определителя

function det(a1:mas; n:integer):real;

var y:real;

m:mas;

i,j,k,z:integer;

begin

y:=0; z:=1;

if n>2 then

for j:=1 to n do

begin

for i:=2 to n do

for k:=1 to n do

begin

if k<j then

m[i-1,k]:=a1[i,k];

if k>j then

m[i-1,k-1]:=a1[i,k];

end;

y:=y+z*a1[1,j]*det(m,n-1);

z:=-z;

end

else y:=a1[1,1]*a1[2,2]-a1[2,1]*a1[1,2];

det:=y;

end;

begin

Lst1.Items.Clear;

Lst2.Items.Clear;

lbl7.Caption:=('');

Form1.Series1.Clear;

Form1.Series2.Clear;

Form1.lnsrsSeries3.Clear;

a:=StrToFloat(edt1.Text);

b:=StrToFloat(edt2.Text);

n:=StrToInt(edt3.Text);

xz:=StrToFloat(edt4.Text);

    // определяем интервал

if ((a<-4) or (b>0)) then  MessageDlg('Ошибка! Введите другие значения', mtInformation, [mbOK], 0)

else

 begin

 if b>a then

 begin

 kt:=n+1;   //кол-во узлов в сетки

 ih:=(b-a)/n;//шаг сетки,где n кол-во интервалов

 ix[1]:=a;

 ix[kt]:=b;  // значение b равно кол-ву узлов сетки

 iy[1]:=(a*a+4*sin(a)); // просчитываем значения сетки(у)

 iy[kt]:=(b*b+4*sin(b));

 for i:=2 to n do

 begin

 ix[i]:=ix[i-1]+ih; //просчитываем х[i] с учетом шага

 iy[i]:=(ix[i]*ix[i]+4*Sin(ix[i]));

 end;

 end

 else MessageDlg('ошибка', mtInformation, [mbOK], 0);

  //вывод значения точек в листинг 1

for i:=1 to kt do

Lst1.Items.Add ('x'+FloatToStr(i-1)+' = ' + floatToStrF(ix[i],ffFixed,8,4) + '    y = ' + FloatToStrF(iy[i],ffFixed,8,4));

for i:=1 to kt do

begin

masA[i,kt]:=1;

for j:=n downto 1 do

begin

masA[i,j]:=masA[i,j+1]*ix[i];

end;

end;

for i:=1 to kt do

for j:=1 to kt do

h[i,j]:=masA[i,j];

  //считаем определитель,если =0 выходим,если нет a[i]=Ar[j]

d:=det(masA,kt);

if d=0 then Exit else

begin

 for j:=1 to kt do

 begin

   for i:=1 to kt do

   h[i,j]:=iy[i];

   Ar[j]:=det(h,kt)/d;

   for l:=1 to kt do

   for k:=1 to kt do

   h[k,l]:=masA[k,l];

 end;

 for j:=1 to kt do

 lst2.Items.Add('A'+floattostr(j)+' = '+floattostrF(Ar[j],ffFixed,8,4));

end;

hag:=(b-a)/99;

x1:=a;

for i:=1 to 100 do

begin

Series1.AddXY(x1,x1*x1+4*Sin(x1),'');

Series2.AddXY(x1,pol(x1),'');

x1:=x1+hag;

end;

for i:=1 to kt do

begin

lnsrsSeries3.AddXY(ix[i],iy[i],'');

end;

s1:=Pol(xz);

lbl7.Caption:=FloatToStrF(s1,ffGeneral,8,4);

end;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Form1.close;

end;

end.

Результат работы программы


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5943. Архитектура Киевской Руси 59.5 KB
  I. Архитектура Киевской Руси Н. М. Карамзин в Истории государства Российского, описывая истоки возникновения искусства Древней Руси, рассказывает, как Владимир, увидев, подобно бабке своей, заблуждение язычества, стал искать истины в разных верах...
5944. Рапсовое масло как альтернативное топливо для дизеля 39.56 KB
  Двигатели внутреннего сгорания (ДВС), на сегодняшний день, являются основными потребителями топлив нефтяного происхождения. По причине постоянного увеличения численности ДВС и снижения количества вновь открываемых месторождений нефти обостр...
5945. Изучение реэтимологизированных образований, функционирующих в языке сатирических и юмористических произведений 117.23 KB
  Великие мастера мировой культуры высоко ценили роль сатиры и юмора в культуре. Для выявления возможностей сатиры и юмора, их роли в развитии человека и социальной значимости необходимо изучение не только художественно - эстетических ка...
5947. Учет и анализ оборотного капитала организации на примере ОАО МАГЭ 440.5 KB
  Актуальность данного исследования заключается в том, что в условиях рыночной экономики особенно тщательного анализа требуют изменения состава и динамики оборотных активов как наиболее мобильной части капитала, от состояния которых в значите...
5948. Методы оценки физического развития и состояния здоровья человека 58.5 KB
  Методы оценки физического развития и состояния здоровья человека. Физическое развитие совокупность морфологических и функциональных признаков, которые определяют физическую работоспособность человека. На физическое развитие существенное влиян...
5949. Понятие и основные признаки судебной власти 31.93 KB
  Сегодня в правовой науке остро стоит вопрос о будущем системы органов прокуратуры в целом и ее взаимодействии и соотношении с судебной властью в Российской Федерации в частности. В отличие от других органов власти в отношении прокуратуры за...
5950. Бизнес план автосервиса 34.78 KB
  Введение Рынок иномарок в нашей стране по-прежнему растет за счет пересаживания автомобилистов с отечественных автомобилей или иностранного second-hand на новые машины. Пока эта тенденция сохраняется, в бизнесе будет выигрывать тот, кто сможет сос...