66529

Интерполирование с помощью многочленов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В соответствии с вариантом исходное уравнение имеет вид: По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений.

Русский

2014-08-22

369.88 KB

3 чел.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Тульский Государственный Университет»

кафедра Автоматизированных станочных систем

Интерполирование с помощью многочленов

Отчет по практической работе №3

по курсу «Вычислительная математика»

Выполнил студент гр.220911

Проверил преподаватель

проф. каф. АСС Ямникова О.А.

Тула 2013 г.

Задание

1. Рассчитать значение функции, заданной таблично.

2. Построить график функции на участке интерполирования.

В соответствии с вариантом исходное уравнение имеет вид:

По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений .

Согласно формуле (5) имеем

Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получим

Учитывая, что

,

окончательно находим

Построить график функции на участке .

Теоретическая часть

Рассмотрим задачу интерполирования функции f с помощью алгебраических многочленов. В этом случае аппроксимирующая функция имеет вид

. (1)

Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами аппроксимируемой функции, требуемой точностью, а также узлами интерполирования. На выбор величины n существенное влияние оказывает и вычислительный процесс, привносящий в результат дополнительную погрешность.

В качестве критерия согласия принимается условие совпадения и f в узловых точках. Для однозначного определения n+1 коэффициентов многочлена необходимо потребовать совпадения f и необходимо потребовать совпадения f и в (n+1)-й узловой точке:

  (i = 0,1,…,n) (2)

Многочлен , удовлетворяющий условиям (2), называется интерполяционным многочленом.

Итак, рассмотрим следующую задачу интерполирования. На сетке в узлах заданы значения (i = 0,1,…,n) функции f. Требуется построить интерполяционный многочлен , совпадающий с f в узлах заданны значения (i=0,1,….,n) функции f  и оценить погрешность .

 Из условий для определения неизвестных коэффициентов многочлена получаем систему алгебраических уравнений

 (i=0,1,…,n) (3)

Определитель этой системы

(4)

есть определитель Вандермонда, который отличен от нуля при условии при .

Коэффициенты  интерполяционного многочлена (1) можно определить, положив в системе (3) и решив ее.

Подставив полученные значения коэффициентов в равенство (1), приходим к новой форме представления интерполяционного многочлена :

(5)

На практике обычно используются интерполяционные многочлены первой и второй степеней. При этом говорят о линейной и квадратичной интерполяции.

Описание входной и выходной информации

Входные данные:

А – начало интервала, переменная типа real

В – конец интервала, переменная типа real

n – степень многочлена, переменная типа integer

x* - произвольное значение из [a;b],переменная типа real

Выходные данные:

y – значение интерполяционного многочлена y* в точке x*, переменная типа real;

ix – вектор значений x на отрезке [a;b], одномерный массив типа real;

iy – вектор значений функции y(x), одномерный массив типа real

Схема алгоритма

Рисунок 1 – Схема основной программы

Рисунок 2 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 3 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 4 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 5 - Продолжение  схемы основной программы


Рисунок 6 – Схема полинома

Текст программы

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series, TeeFunci;

type

 TForm1 = class(TForm)

   lbl1: TLabel;

   lbl2: TLabel;

   lbl3: TLabel;

   lbl4: TLabel;

   edt1: TEdit;

   edt2: TEdit;

   edt3: TEdit;

   lst1: TListBox;

   Button1: TButton;

   Button2: TButton;

   lst2: TListBox;

   cht1: TChart;

   lbl5: TLabel;

   lbl6: TLabel;

   lbl7: TLabel;

   edt4: TEdit;

   Series1: TLineSeries;

   Series2: TLineSeries;

   lnsrsSeries3: TLineSeries;

   adtfnctnTeeFunction1: TAddTeeFunction;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

uses math;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type mas=array [1..100,1..100] of Real;

var masA ,h :mas;

ix,iy ,Ar: array [1..100] of Real;

a,b,ih,d,hag,x1,s1,xz:Real;

n,i,kt,j,k,l:Integer;

function pol(x:real):Real;

var

 z,s:Real;

 i:integer;

begin

 s:=ar[kt];

 z:=x;

 for i:=n downto 1 do

 begin

 s:=s+ar[i]*z;

 z:=z*x;

 end;

 pol:=s;

end;

 // расчет определителя

function det(a1:mas; n:integer):real;

var y:real;

m:mas;

i,j,k,z:integer;

begin

y:=0; z:=1;

if n>2 then

for j:=1 to n do

begin

for i:=2 to n do

for k:=1 to n do

begin

if k<j then

m[i-1,k]:=a1[i,k];

if k>j then

m[i-1,k-1]:=a1[i,k];

end;

y:=y+z*a1[1,j]*det(m,n-1);

z:=-z;

end

else y:=a1[1,1]*a1[2,2]-a1[2,1]*a1[1,2];

det:=y;

end;

begin

Lst1.Items.Clear;

Lst2.Items.Clear;

lbl7.Caption:=('');

Form1.Series1.Clear;

Form1.Series2.Clear;

Form1.lnsrsSeries3.Clear;

a:=StrToFloat(edt1.Text);

b:=StrToFloat(edt2.Text);

n:=StrToInt(edt3.Text);

xz:=StrToFloat(edt4.Text);

    // определяем интервал

if ((a<-4) or (b>0)) then  MessageDlg('Ошибка! Введите другие значения', mtInformation, [mbOK], 0)

else

 begin

 if b>a then

 begin

 kt:=n+1;   //кол-во узлов в сетки

 ih:=(b-a)/n;//шаг сетки,где n кол-во интервалов

 ix[1]:=a;

 ix[kt]:=b;  // значение b равно кол-ву узлов сетки

 iy[1]:=(a*a+4*sin(a)); // просчитываем значения сетки(у)

 iy[kt]:=(b*b+4*sin(b));

 for i:=2 to n do

 begin

 ix[i]:=ix[i-1]+ih; //просчитываем х[i] с учетом шага

 iy[i]:=(ix[i]*ix[i]+4*Sin(ix[i]));

 end;

 end

 else MessageDlg('ошибка', mtInformation, [mbOK], 0);

  //вывод значения точек в листинг 1

for i:=1 to kt do

Lst1.Items.Add ('x'+FloatToStr(i-1)+' = ' + floatToStrF(ix[i],ffFixed,8,4) + '    y = ' + FloatToStrF(iy[i],ffFixed,8,4));

for i:=1 to kt do

begin

masA[i,kt]:=1;

for j:=n downto 1 do

begin

masA[i,j]:=masA[i,j+1]*ix[i];

end;

end;

for i:=1 to kt do

for j:=1 to kt do

h[i,j]:=masA[i,j];

  //считаем определитель,если =0 выходим,если нет a[i]=Ar[j]

d:=det(masA,kt);

if d=0 then Exit else

begin

 for j:=1 to kt do

 begin

   for i:=1 to kt do

   h[i,j]:=iy[i];

   Ar[j]:=det(h,kt)/d;

   for l:=1 to kt do

   for k:=1 to kt do

   h[k,l]:=masA[k,l];

 end;

 for j:=1 to kt do

 lst2.Items.Add('A'+floattostr(j)+' = '+floattostrF(Ar[j],ffFixed,8,4));

end;

hag:=(b-a)/99;

x1:=a;

for i:=1 to 100 do

begin

Series1.AddXY(x1,x1*x1+4*Sin(x1),'');

Series2.AddXY(x1,pol(x1),'');

x1:=x1+hag;

end;

for i:=1 to kt do

begin

lnsrsSeries3.AddXY(ix[i],iy[i],'');

end;

s1:=Pol(xz);

lbl7.Caption:=FloatToStrF(s1,ffGeneral,8,4);

end;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Form1.close;

end;

end.

Результат работы программы


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19526. Интегральный закон регулирования 454.5 KB
  Интегральный закон регулирования описывается уравнением. Как видно из уравнения интегральным регулятором является интегрирующие звено с постоянной интегрирования которая является параметром настройки регулятора. Динамические характеристики: ; АФХ ; АЧХ ; ФЧХ ...
19527. Пропорционально-дифференцируемый (ПД - регулятор) 1014 KB
  Пропорционально-дифференцируемый ПД регулятор Представляет собой параллельное соединение пропорционально и дифференциальной составляющей. Динамические характеристики: С точки зрения качества переходных процессов ПД регулятора обладае...
19528. Пропорционально – интегральный регулятор (ПИ) 798 KB
  Пропорционально интегральный регулятор ПИ Динамические характеристики: Система с ПИ регулятором не дает статической ошибки. ПИ регулятор сочетает в себе достоинство обеих простейших составляющих. П составляющая обеспеч...
19529. Пропорционально – интегрально дифференцируемый регулятор (ПИД) 1.11 MB
  Пропорционально интегрально дифференцируемый регулятор ПИД АФХ АЧХ: ФЧХ ПИД регулятор сочетает в себе достоинства всех 3х составляющих. Высокое быстродействие П составляющей малая динамическая ошибка за счет воздействия по скорости и отсутст...
19530. Определение настроек регулятора методом расширенных частотных характеристик 1.15 MB
  Определение настроек регулятора методом расширенных частотных характеристик. При изучении условий устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста было отмечено что если разомкнутая система разомкнута и ее АФХ проходит через точку то замкнутая система будет...
19531. Определение настроек регулятора методом незатухающих колебаний 36.5 KB
  Определение настроек регулятора методом незатухающих колебаний. Суть метода заключается в нахождении критической настройками П регулятора при которой в замкнутой системе устанавливаются не затухающие колебания то есть система находится на границе устойчивости. На ...
19532. Цифровая обработка сигналов. Основные понятия 608.07 KB
  Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия Введение В настоящее время методы цифровой обработки сигналов digital signal processing DSP находят все более широкое применение вытесняя постепенно методы основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматрива...
19533. Преобразование Фурье и обобщенные функции 641.26 KB
  2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...
19534. Восстановление дискретного сигнала 146.5 KB
  Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...