66529

Интерполирование с помощью многочленов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В соответствии с вариантом исходное уравнение имеет вид: По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений.

Русский

2014-08-22

369.88 KB

3 чел.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Тульский Государственный Университет»

кафедра Автоматизированных станочных систем

Интерполирование с помощью многочленов

Отчет по практической работе №3

по курсу «Вычислительная математика»

Выполнил студент гр.220911

Проверил преподаватель

проф. каф. АСС Ямникова О.А.

Тула 2013 г.

Задание

1. Рассчитать значение функции, заданной таблично.

2. Построить график функции на участке интерполирования.

В соответствии с вариантом исходное уравнение имеет вид:

По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений .

Согласно формуле (5) имеем

Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получим

Учитывая, что

,

окончательно находим

Построить график функции на участке .

Теоретическая часть

Рассмотрим задачу интерполирования функции f с помощью алгебраических многочленов. В этом случае аппроксимирующая функция имеет вид

. (1)

Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами аппроксимируемой функции, требуемой точностью, а также узлами интерполирования. На выбор величины n существенное влияние оказывает и вычислительный процесс, привносящий в результат дополнительную погрешность.

В качестве критерия согласия принимается условие совпадения и f в узловых точках. Для однозначного определения n+1 коэффициентов многочлена необходимо потребовать совпадения f и необходимо потребовать совпадения f и в (n+1)-й узловой точке:

  (i = 0,1,…,n) (2)

Многочлен , удовлетворяющий условиям (2), называется интерполяционным многочленом.

Итак, рассмотрим следующую задачу интерполирования. На сетке в узлах заданы значения (i = 0,1,…,n) функции f. Требуется построить интерполяционный многочлен , совпадающий с f в узлах заданны значения (i=0,1,….,n) функции f  и оценить погрешность .

 Из условий для определения неизвестных коэффициентов многочлена получаем систему алгебраических уравнений

 (i=0,1,…,n) (3)

Определитель этой системы

(4)

есть определитель Вандермонда, который отличен от нуля при условии при .

Коэффициенты  интерполяционного многочлена (1) можно определить, положив в системе (3) и решив ее.

Подставив полученные значения коэффициентов в равенство (1), приходим к новой форме представления интерполяционного многочлена :

(5)

На практике обычно используются интерполяционные многочлены первой и второй степеней. При этом говорят о линейной и квадратичной интерполяции.

Описание входной и выходной информации

Входные данные:

А – начало интервала, переменная типа real

В – конец интервала, переменная типа real

n – степень многочлена, переменная типа integer

x* - произвольное значение из [a;b],переменная типа real

Выходные данные:

y – значение интерполяционного многочлена y* в точке x*, переменная типа real;

ix – вектор значений x на отрезке [a;b], одномерный массив типа real;

iy – вектор значений функции y(x), одномерный массив типа real

Схема алгоритма

Рисунок 1 – Схема основной программы

Рисунок 2 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 3 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 4 – Продолжение схемы основной программы

Рисунок 5 - Продолжение  схемы основной программы


Рисунок 6 – Схема полинома

Текст программы

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series, TeeFunci;

type

 TForm1 = class(TForm)

   lbl1: TLabel;

   lbl2: TLabel;

   lbl3: TLabel;

   lbl4: TLabel;

   edt1: TEdit;

   edt2: TEdit;

   edt3: TEdit;

   lst1: TListBox;

   Button1: TButton;

   Button2: TButton;

   lst2: TListBox;

   cht1: TChart;

   lbl5: TLabel;

   lbl6: TLabel;

   lbl7: TLabel;

   edt4: TEdit;

   Series1: TLineSeries;

   Series2: TLineSeries;

   lnsrsSeries3: TLineSeries;

   adtfnctnTeeFunction1: TAddTeeFunction;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

uses math;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type mas=array [1..100,1..100] of Real;

var masA ,h :mas;

ix,iy ,Ar: array [1..100] of Real;

a,b,ih,d,hag,x1,s1,xz:Real;

n,i,kt,j,k,l:Integer;

function pol(x:real):Real;

var

 z,s:Real;

 i:integer;

begin

 s:=ar[kt];

 z:=x;

 for i:=n downto 1 do

 begin

 s:=s+ar[i]*z;

 z:=z*x;

 end;

 pol:=s;

end;

 // расчет определителя

function det(a1:mas; n:integer):real;

var y:real;

m:mas;

i,j,k,z:integer;

begin

y:=0; z:=1;

if n>2 then

for j:=1 to n do

begin

for i:=2 to n do

for k:=1 to n do

begin

if k<j then

m[i-1,k]:=a1[i,k];

if k>j then

m[i-1,k-1]:=a1[i,k];

end;

y:=y+z*a1[1,j]*det(m,n-1);

z:=-z;

end

else y:=a1[1,1]*a1[2,2]-a1[2,1]*a1[1,2];

det:=y;

end;

begin

Lst1.Items.Clear;

Lst2.Items.Clear;

lbl7.Caption:=('');

Form1.Series1.Clear;

Form1.Series2.Clear;

Form1.lnsrsSeries3.Clear;

a:=StrToFloat(edt1.Text);

b:=StrToFloat(edt2.Text);

n:=StrToInt(edt3.Text);

xz:=StrToFloat(edt4.Text);

    // определяем интервал

if ((a<-4) or (b>0)) then  MessageDlg('Ошибка! Введите другие значения', mtInformation, [mbOK], 0)

else

 begin

 if b>a then

 begin

 kt:=n+1;   //кол-во узлов в сетки

 ih:=(b-a)/n;//шаг сетки,где n кол-во интервалов

 ix[1]:=a;

 ix[kt]:=b;  // значение b равно кол-ву узлов сетки

 iy[1]:=(a*a+4*sin(a)); // просчитываем значения сетки(у)

 iy[kt]:=(b*b+4*sin(b));

 for i:=2 to n do

 begin

 ix[i]:=ix[i-1]+ih; //просчитываем х[i] с учетом шага

 iy[i]:=(ix[i]*ix[i]+4*Sin(ix[i]));

 end;

 end

 else MessageDlg('ошибка', mtInformation, [mbOK], 0);

  //вывод значения точек в листинг 1

for i:=1 to kt do

Lst1.Items.Add ('x'+FloatToStr(i-1)+' = ' + floatToStrF(ix[i],ffFixed,8,4) + '    y = ' + FloatToStrF(iy[i],ffFixed,8,4));

for i:=1 to kt do

begin

masA[i,kt]:=1;

for j:=n downto 1 do

begin

masA[i,j]:=masA[i,j+1]*ix[i];

end;

end;

for i:=1 to kt do

for j:=1 to kt do

h[i,j]:=masA[i,j];

  //считаем определитель,если =0 выходим,если нет a[i]=Ar[j]

d:=det(masA,kt);

if d=0 then Exit else

begin

 for j:=1 to kt do

 begin

   for i:=1 to kt do

   h[i,j]:=iy[i];

   Ar[j]:=det(h,kt)/d;

   for l:=1 to kt do

   for k:=1 to kt do

   h[k,l]:=masA[k,l];

 end;

 for j:=1 to kt do

 lst2.Items.Add('A'+floattostr(j)+' = '+floattostrF(Ar[j],ffFixed,8,4));

end;

hag:=(b-a)/99;

x1:=a;

for i:=1 to 100 do

begin

Series1.AddXY(x1,x1*x1+4*Sin(x1),'');

Series2.AddXY(x1,pol(x1),'');

x1:=x1+hag;

end;

for i:=1 to kt do

begin

lnsrsSeries3.AddXY(ix[i],iy[i],'');

end;

s1:=Pol(xz);

lbl7.Caption:=FloatToStrF(s1,ffGeneral,8,4);

end;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Form1.close;

end;

end.

Результат работы программы


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32316. Государственная власть: понятие и общие черты 33 KB
  В юридической литературе одни авторы рассматривают власть как определенную функцию присущую любому коллективу обществу; другие исследователи как волевое отношение властеотношение властвующего и подвластного субъектов; третьи как способность властвующего управляющего навязывать свою волю другим лицам; четвертые как организованную силу способную подчинять воле определенной социальной общности других людей. Власть понимается также как управление связанное с принуждением. И наконец зачастую под властью понимается государство или его...
32317. Сущность государства. Признаки и определение понятия государства. Различные подходы к определению понятия государства 45 KB
  Сущность государства. Признаки и определение понятия государства. Различные подходы к определению понятия государства. Его определяют и как общественный союз свободных людей с принудительно установленным мирным порядком посредством предоставления исключительного права принуждения только органам государства Н.
32318. больших группах классах тех или иных объектов обладающих набором общих характерных для каждого типа приз 27.5 KB
  В его основе лежит учение об общественноэкономической формации которая включает в себя тип производственных отношений базис и соответствующий ему тип надстройки государство право и т. Ленина и других решающим фактором общественного развития который детерминирует и соответствующий тип надстроечных элементов: государство и право. Рабовладельческое государство есть орудие поддержания власти рабовладельцев над рабами которые были собственностью свободных граждан. Феодальное государство это диктатура класса феодалов земельных...
32319. Внутренние функции государства. Их виды и характеристика в различных типах государства 43.5 KB
  Внутренние функции государства. Внутренние функции государства представляют собой основные направления разнообразной внутренней деятельности государства обусловленные необходимостью решения стоящих перед ним внутренних задач. Таковой была например позиция ряда авторов классифицировавших функции государства еще в 70е годы на функции политической охраны строя политическая функция а также на экономическую социальную и идеологическую функции. Правда при этом оговаривалась возможность и более дробной полностью не совпадающей с различными...
32320. Цивилизационный подход к типологии государств. Понятие цивилизаций. Виды цивилизаций и соответствующих типов государств при различных разновидностях цивилизационного подхода (Тойнби, Ростоу, Сорокин) 45 KB
  Цивилизационный подход это исследование состояния и развития общества закономерностей смены исторических типов государств с точки зрения качественных изменений в социокультурной среде общества в духовной культуре народа его религии и нравах. Цивилизационный подход выделяет три принципа соотношения государства и духовнокультурной жизни общества: Природа государства определяется не только реальным соотношением сил но и накопленными в ходе исторического процесса представлениями о мире ценностями образцами поведения. Цивилизация есть...
32321. Внешние функции государства. Их виды и характеристика в различных типах государства 45 KB
  Внешние функции государства. Их виды и характеристика в различных типах государства. Внешние функции государства представляют собой основные направления деятельности государства непосредственно связанные с решением стоящих перед ним на международной арене целей и задач. Они зависят от характера существующего в стране политического режима и типов государств от этапов развития одного и того же государства от складывающейся в мире международной обстановки от характера взаимоотношений сосуществующих друг с другом государств.
32322. Функции государства. Их понятие, соотношение с целями и задачами, виды функций 51.5 KB
  Функции государства. Функции государства это основные направления деятельности государства по решению стоящих перед ним целей и задач. Именно в функциях проявляется сущность конкретного государства его природа и социальное назначение. Как основные направления деятельности государства они не должны отождествляться с самой деятельностью или отдельными элементами этой деятельности.
32323. Экономические и социальные функции государства. Их изменение и особенности в государствах различных типов 46.5 KB
  Экономические и социальные функции государства. Их изменение и особенности в государствах различных типов. В данной функции наиболее полно проявляется современная роль государства в области хозяйствования. Вместе с тем возникла необходимость поиска оптимальных способов участия государства в экономических процессах а также налаживания эффективного государственного регулирования совместимого с рыночными механизмами.
32324. Функции государства в сфере науки, образования культуры. Их изменение и особенности в государствах различных типов 49 KB
  Функции государства в сфере науки образования культуры. Их изменение и особенности в государствах различных типов. Функция развития культуры науки и образования сложилась вместо ранее осуществлявшейся культурновоспитательной функции со свойственным ей доминированием монопольной государственной идеологии. 13 идеологического многообразия согласно которому никакая идеология не может устанавливаться в качестве государственной или обязательной.