66537

Численное решение задачи Коши для ОДУ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель: Решить ОДУ методом Адамса(3-х шаговым неявным) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результаты предоставить графически. Задание 1 Условие: Решить методом Адамса (3-х шаговым неявным). Результат представить графически...

Русский

2014-08-22

160 KB

2 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #4(вариант #47)

Тема: Численное решение задачи Коши для ОДУ.

Цель: Решить ОДУ методом Адамса(3-х шаговым неявным) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результаты предоставить графически.

Задание 1

Условие: Решить методом Адамса (3-х шаговым неявным). Результат представить графически:

;          ;          ;

Ход работы: 

Теория метода Адамса-Моултона:

проинтегрировав по промежутку

интерполируя f(x, y(x))

делаем замену  в соответствии с которой

где

В 3-х шаговом методе интерполяционный многочлен будет иметь 2-ю степень.

Ординатная формула будет иметь следующий вид:

Код программы:

//вычислим решение ОДУ в 3-х начальных точках с помощью классического метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности

//применим ординаторную формулу

while x<=b do

  begin

   y:=y+dx/24*(55*f(x,f0)-59*f(x-dx,f1)+37*f(x-2*dx,f2)-9*f(x-3*dx,f3));

   y:=y+dx/24*(9*f(x,y)+19*f(x-dx,f3)-5*f(x-2*dx,f2)+f(x-3*dx,f1));

   x:=x+dx;

   Series1.AddXY(x,y);

   f0:=f1;

   f1:=f2;

   f2:=y;

  end;

Полученные результаты:

Вывод:

Построен график y(x) решений ОДУ.

Порядок шаговости метода Адамса-Моултона на единицу ниже порядка его точности. Т.е. метод является методом 4-го порядка точности.

Задание 2

Условие: Решить методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результат представить графически:

;          ;          ;

Ход работы:

;

Теория метода:

1. Вычисляем значение коэффициента наклона касательной в начальной точке:

;

2. Вычисляем значение коэффициента наклона в середине интервала, используя предыдущее приближение:

;

3. Уточняем значение коэффициента наклона в центре интервала, используя полученное значение :

;

4. С помощью значения  находим приближенное значение функции в конце интервала и коэффициент наклона касательной в конечной точке:

;

5. «Усредняем» полученные коэффициенты и находим уточненное значение искомой функции

;

Код программы:

 begin

  x:=0;

  xx:=2;

  y0:=1;

  n:=100;

  dx:=(xx-x)/n;

  repeat

   Form1.Series1.AddXY(x,y);

   k[1]:=f(x,y);

   k[2]:=f(x+1/2*dx,y+1/2*dx*k[1]);

   k[3]:=f(x+1/2*dx,y+dx*k[2]/2);

   k[4]:=f(x+dx,y+dx*k[3]);

   y:=y+(k[1]+2*k[2]+2*k[3]+k[4])/6*dx;

   x:=x+dx;

  until x>=2;

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

Построен график y(x) решений ОДУ.

Метод Рунге Кутта является методом четвертого порядка, т.е локальная погрешность метода имеет порядок . Кроме того он является устойчивым, т.е. не приводит к существенному накоплению локальных ошибок.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65912. Управление как искусство 29.53 KB
  Искусство управления способность человека принимать нетривиальные решения в условиях дефицита информации. Поэтому существенно то что он помимо развитой интуиции воображения определённых знаний и так далее должен обладать организаторскими способностями...
65913. ЭВОЛЮЦИЯ ВТОРИЧНЫХ ТЕКСТОВ В 40-Е–90-Е ГОДЫ XIX ВЕКА НА ПРИМЕРЕ ТВОРЧЕСТВА А. МАЙКОВА 51.5 KB
  Материалом для наших наблюдений стали вторичные тексты в русской поэзии 40х-90х годов XIX века. Вторичные тексты 40х-90х годов XIX века являются органичным продолжением традиций вторичных текстов предшествующей эпохи. В русской поэзии XVIII-XIX века вторичные тексты нередко публикуются под жанровыми обозначениями...
65915. ИСТОРИЧЕСКОЕ СОЗНАНИЕ И ЖАНРОВЫЕ ФОРМЫ В РУССКОЙ ДРАМАТУРГИИ СЕРЕДИНЫ XIX ВЕКА 116.5 KB
  Тенденция к обособлению исторической драматургии от театра определившаяся к середине XIX века свидетельствовала о том что воспроизведение человека исторического в определенной жанровой форме стало осознаваться не только как индивидуально-психологический но как прежде всего социальный общественно...
65916. Методы повышения ценности объектов недвижимости 26.45 KB
  Как правило это экономические факторы которые определяют средний уровень цен конкретных сделок с субъектами недвижимости макроэкономические факторы связанные с общей конъюнктурой рынка налоги пошлины динамика курса валюты инфляция безработица уровень и условия оплаты труда...
65917. АНАЛИЗ МИФОЛОГЕМ И КОНЦЕПТОВ КАК ПУТЬ К ПОНИМАНИЮ ЛИТЕРАТУРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 46 KB
  Если при анализе любого текста необходимо опираться на семантику языковых единиц то смысл текста произведения строится на основе любых произвольных ассоциаций автора и опирается на сюжет композицию и авторский замысел в целом.
65918. Объекты недвижимости в сфере управления. Классификация объектов недвижимости 29.93 KB
  Способы управления многоквартирным домом ЖК РФ предлагает три способа управления многоквартирным домом: непосредственное управление собственниками помещений в многоквартирном доме; управление товариществом собственников жилья либо жилищным...
65919. ФОРМЫ ВЫРАЖЕНИЯ АВТОРСКОЙ ПОЗИЦИИ В ПОВЕСТЯХ «ПОЗДНЕГО» Л. Н. ТОЛСТОГО 92.5 KB
  Повести написанные Толстым в 80-90х годах направлены на разоблачение и критику строя современной писателю жизни и на обращение к жизни трудового народа: Я должен понять жизнь не исключений не нас паразитов жизни а жизнь простого трудового народа того который делает жизнь и тот смысл который он придает ей...
65920. История развития теории науки об управленческих решениях. Принципы научного управления Тейлора 24.81 KB
  Современная наука управления начинается с момента выхода в 1911 г. книги Тейлора Принципы научного управления. Тейлор предложил систему научного управления которую характеризовал так: Наука вместо традиционных навыков; гармония вместо противоречий сотрудничество вместо индивидуальной работы...