66537

Численное решение задачи Коши для ОДУ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель: Решить ОДУ методом Адамса(3-х шаговым неявным) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результаты предоставить графически. Задание 1 Условие: Решить методом Адамса (3-х шаговым неявным). Результат представить графически...

Русский

2014-08-22

160 KB

2 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #4(вариант #47)

Тема: Численное решение задачи Коши для ОДУ.

Цель: Решить ОДУ методом Адамса(3-х шаговым неявным) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результаты предоставить графически.

Задание 1

Условие: Решить методом Адамса (3-х шаговым неявным). Результат представить графически:

;          ;          ;

Ход работы: 

Теория метода Адамса-Моултона:

проинтегрировав по промежутку

интерполируя f(x, y(x))

делаем замену  в соответствии с которой

где

В 3-х шаговом методе интерполяционный многочлен будет иметь 2-ю степень.

Ординатная формула будет иметь следующий вид:

Код программы:

//вычислим решение ОДУ в 3-х начальных точках с помощью классического метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности

//применим ординаторную формулу

while x<=b do

  begin

   y:=y+dx/24*(55*f(x,f0)-59*f(x-dx,f1)+37*f(x-2*dx,f2)-9*f(x-3*dx,f3));

   y:=y+dx/24*(9*f(x,y)+19*f(x-dx,f3)-5*f(x-2*dx,f2)+f(x-3*dx,f1));

   x:=x+dx;

   Series1.AddXY(x,y);

   f0:=f1;

   f1:=f2;

   f2:=y;

  end;

Полученные результаты:

Вывод:

Построен график y(x) решений ОДУ.

Порядок шаговости метода Адамса-Моултона на единицу ниже порядка его точности. Т.е. метод является методом 4-го порядка точности.

Задание 2

Условие: Решить методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результат представить графически:

;          ;          ;

Ход работы:

;

Теория метода:

1. Вычисляем значение коэффициента наклона касательной в начальной точке:

;

2. Вычисляем значение коэффициента наклона в середине интервала, используя предыдущее приближение:

;

3. Уточняем значение коэффициента наклона в центре интервала, используя полученное значение :

;

4. С помощью значения  находим приближенное значение функции в конце интервала и коэффициент наклона касательной в конечной точке:

;

5. «Усредняем» полученные коэффициенты и находим уточненное значение искомой функции

;

Код программы:

 begin

  x:=0;

  xx:=2;

  y0:=1;

  n:=100;

  dx:=(xx-x)/n;

  repeat

   Form1.Series1.AddXY(x,y);

   k[1]:=f(x,y);

   k[2]:=f(x+1/2*dx,y+1/2*dx*k[1]);

   k[3]:=f(x+1/2*dx,y+dx*k[2]/2);

   k[4]:=f(x+dx,y+dx*k[3]);

   y:=y+(k[1]+2*k[2]+2*k[3]+k[4])/6*dx;

   x:=x+dx;

  until x>=2;

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

Построен график y(x) решений ОДУ.

Метод Рунге Кутта является методом четвертого порядка, т.е локальная погрешность метода имеет порядок . Кроме того он является устойчивым, т.е. не приводит к существенному накоплению локальных ошибок.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81855. Техническая политика в области специализации различный видов транспорта 28.16 KB
  Научно-техническая политика на транспорте тесно связана со структурной определение темпов пропорций и приоритетов в развитии транспортной отрасли и инвестиционной определение объема структуры и направлений капиталовложений с целью обновления основных транспортных фондов. Структурная политика направлена: на ускоренное развитие наукоемких составных частей различных видов транспорта определяющих рост производительности труда и повышение социальноэкономической эффективности транспортного производства; на свертывание неэффективных...
81856. Речной транспорт. Тенденции развития 27.28 KB
  Речной транспорт внутренний водный транспорт транспорт осуществляющий перевозки грузов и пассажиров судами по внутренним водным путям как по естественным реки озёра так и по искусственным каналы водохранилища. Перевозки по Каспийскому морю относятся к морскому транспорту хотя фактически это море является озером самым большим в мире. Главным преимуществом речного транспорта является низкая себестоимость перевозок; благодаря ей он продолжает занимать важное место в транспортной системе несмотря на низкие скорости и сезонность.
81857. Транспортный процесс и его элементы 30.31 KB
  Транспортный процесс – это совокупность операций с грузами и транспортными средствами в результате выполнения которых грузы изменяют своё положение в пространстве. Структура транспортного процесса включает три элемента подпроцесса: – процесс погрузки; – процесс перевозки; – процесс разгрузки. Основной элемент транспортного процесса – перевозка грузов все другие элементы подчинены ему.
81858. Основные принципы проектирования транспортных узлов 28.9 KB
  Принцип общей эффективности. Принцип комплексной оптимизации. В основе этого принципа лежит утверждение что независимая оптимизация отдельных подсистем не обеспечивает оптимальности режимов функционирования узла как системы в целом.
81861. Воздушный транспорт 29.54 KB
  Возду́шное су́дноэто летательный аппарат поддерживаемый в атмосфере за счёт взаимодействия с воздухом Аэропо́рт комплекс сооружений предназначенный для приёма отправки базирования воздушных судов и обслуживания воздушных перевозок имеющий для этих целейаэродром аэровокзал в крупных аэропортах нередко несколько аэровокзалов один или несколько грузовых терминалов и другие наземные сооружения и необходимое оборудование.трта следует отнести высокую с с перевозок.
81862. Взаимодействие развития науки и транспорта 22.31 KB
  Современное состояние и тенденции развития транспорта и транспортной науки. Рассматриваются вопросы разработки и внедрения новых технических средств и технологических процессов на всех видах транспорта. Уделяется особое внимание инновациям на транспорте повышению уровня развития и управления транспортных отраслей а также транспортного машиностроения применению математических методов для оптимизации транспортных систем совершенствованию систем автоматизации функционирования сложных технических устройств методов и средств передачи и...
81863. Эксплуатационная надежность транспортного узла 20.61 KB
  Определение эксплуатационной надежности транспортного узла или его элемента подсистемы базируется на совокупности следующих понятий: отказ частичная или полная утрата работоспособности среднее время безотказной работы среднее время восстановления вероятность безотказной работы и др. Причем эти понятия имеют смысл только для элементов узла по отношению к которым применимо понятие отказ.