66537

Численное решение задачи Коши для ОДУ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель: Решить ОДУ методом Адамса(3-х шаговым неявным) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результаты предоставить графически. Задание 1 Условие: Решить методом Адамса (3-х шаговым неявным). Результат представить графически...

Русский

2014-08-22

160 KB

2 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #4(вариант #47)

Тема: Численное решение задачи Коши для ОДУ.

Цель: Решить ОДУ методом Адамса(3-х шаговым неявным) и методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результаты предоставить графически.

Задание 1

Условие: Решить методом Адамса (3-х шаговым неявным). Результат представить графически:

;          ;          ;

Ход работы: 

Теория метода Адамса-Моултона:

проинтегрировав по промежутку

интерполируя f(x, y(x))

делаем замену  в соответствии с которой

где

В 3-х шаговом методе интерполяционный многочлен будет иметь 2-ю степень.

Ординатная формула будет иметь следующий вид:

Код программы:

//вычислим решение ОДУ в 3-х начальных точках с помощью классического метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности

//применим ординаторную формулу

while x<=b do

  begin

   y:=y+dx/24*(55*f(x,f0)-59*f(x-dx,f1)+37*f(x-2*dx,f2)-9*f(x-3*dx,f3));

   y:=y+dx/24*(9*f(x,y)+19*f(x-dx,f3)-5*f(x-2*dx,f2)+f(x-3*dx,f1));

   x:=x+dx;

   Series1.AddXY(x,y);

   f0:=f1;

   f1:=f2;

   f2:=y;

  end;

Полученные результаты:

Вывод:

Построен график y(x) решений ОДУ.

Порядок шаговости метода Адамса-Моултона на единицу ниже порядка его точности. Т.е. метод является методом 4-го порядка точности.

Задание 2

Условие: Решить методом Рунге-Кутта 4-го порядка (классическим). Результат представить графически:

;          ;          ;

Ход работы:

;

Теория метода:

1. Вычисляем значение коэффициента наклона касательной в начальной точке:

;

2. Вычисляем значение коэффициента наклона в середине интервала, используя предыдущее приближение:

;

3. Уточняем значение коэффициента наклона в центре интервала, используя полученное значение :

;

4. С помощью значения  находим приближенное значение функции в конце интервала и коэффициент наклона касательной в конечной точке:

;

5. «Усредняем» полученные коэффициенты и находим уточненное значение искомой функции

;

Код программы:

 begin

  x:=0;

  xx:=2;

  y0:=1;

  n:=100;

  dx:=(xx-x)/n;

  repeat

   Form1.Series1.AddXY(x,y);

   k[1]:=f(x,y);

   k[2]:=f(x+1/2*dx,y+1/2*dx*k[1]);

   k[3]:=f(x+1/2*dx,y+dx*k[2]/2);

   k[4]:=f(x+dx,y+dx*k[3]);

   y:=y+(k[1]+2*k[2]+2*k[3]+k[4])/6*dx;

   x:=x+dx;

  until x>=2;

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

Построен график y(x) решений ОДУ.

Метод Рунге Кутта является методом четвертого порядка, т.е локальная погрешность метода имеет порядок . Кроме того он является устойчивым, т.е. не приводит к существенному накоплению локальных ошибок.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79305. Принципы и методы управления персоналом 13.77 KB
  Принципы управления персоналом правила основные положения и нормы которым должны следовать руководители и специалисты в процессе управления персоналом. Управление персоналом традиционно осуществляется на основе принципов: научности; демократического централизма; плановости; первого лица; единства распорядительства; отбора подбора и расстановки кадров; сочетания единоначалия и коллегиальности централизации и децентрализации; линейного функционального и целевого управления; контроля исполнения решений и др. Современные зарубежные...
79306. Теория потребления 38.81 KB
  Потребительское поведение и полезность блага. рациональный потребитель стремится максимизировать полезность. Полезность это субъективное понятие которое характеризует степень удовольствия от покупки данного товара. Предельная полезность это добавочная полезность или удовлетворение извлекаемое потребителем из одной дополнительной единицы конкретной продукции.
79307. Теория производства и издержек 72.85 KB
  Теория производства и издержек Производственная функция. Издержки производства. Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долгосрочном периоде.
79308. Рынок совершенной конкуренции 23.72 KB
  Прибыль фирмы будет максимизироваться при таком объёме производства когда валовой доход превышает валовые издержки на максимальную величину. Оптимальным будет считаться такой объём производства когда валовые издержки будут превышать валовой доход на минимальную величину. Фирме следует закрыться в том случае когда ей не удастся покрыть свои переменные издержки. Если предельные издержки меньше предельного дохода то в таких условиях фирме следует увеличивать производство.
79309. Фирма в условиях чистой монополии и несовершенной конкуренции 12.19 KB
  в данном случае понятия фирмы и отрасли совпадают производится уникальный продукт у которого не существует близких заменителей велики барьеры для вступления в отрасль. Так же как и фирмы в условиях совершенной конкуренции сталкивается с двумя ограничениями: связанные с издержками связанные со спросом рисунок Линия спроса убывает. Однако с другой стороны практика показывает что фирмымонополисты часто осуществляют затраты для сохранения монопольного положения на рынке.
79311. Инвестиции и рынок ценных бумаг 9.91 KB
  капитальные фонды и формирование рыночного спроса на инвестиции дисконтирование доходов от инвестиций формирование и развитие рынка ценных бумаг сущность ценных бумаг и их виды 1. Рынок ценных бумаг это часть рынка ссудных капиталов где формируется спрос и предложение на ценные бумаги. Институты рынка ценных бумаг: банки специальные кредитные учреждения фондовая биржа 2 вида рынка ценных бумаг: Первичный рынок биржевой охватывает лишь новые выпуски ценных бумаг Вторичный фондовый рынок где производится купляпродажа ранее выпущенных...
79312. Введение в экономическую теорию и общественное производство 51.78 KB
  Сущность и элементы общественного производства. Экономика это наука о способах использования ограниченных ресурсов общества для производства товаров и услуг и их распределения среди различных групп людей. Можно выделить три уровня производства: процесс труда отдельного индивидуума производство в рамках предприятия микроуровень производство в рамках общества государства страны макроуровень производство в рамках мира Элементы общественного производства: рабочая сила это совокупность определенных физических и духовных способностей...
79313. Собственность и исторические формы организации экономической деятельности 13.37 KB
  Собственность и исторические формы организации экономической деятельности Сущность собственности. Субъекты и объекты собственности. Существуют 2 подхода к пониманию собственности: Правовой. Сущностной основой отношений собственности являются отношения присвоения.