66549

Решение граничных задач для ОДУ. Метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В прямоугольной области строится сеточная область из одинаковых ячеек и приближающая область. В каждом узле исходное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением. Приближенные значения производных в каждом узле находятся по значениям искомой функции в соседних узлах.

Русский

2014-08-22

196.5 KB

7 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #5(вариант #7)

Тема: Решение граничных задач для ОДУ. Метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных.

Цель: Используя метод сеток решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Решить ОДУ с граничными условиями, результаты представить графически.

Задание 1

Условие: Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа  для функции  в прямоугольной области при заданных граничных условиях:

         

         

Ход работы: 

Теория метода сеток:

В прямоугольной области строится сеточная область из одинаковых ячеек и приближающая область. В каждом узле исходное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением. Приближенные значения производных в каждом узле находятся по значениям искомой функции в соседних узлах. Решение в граничных узлах сеточной области находится из граничных условий. Для решения разностной задачи используется метод релаксации, при котором каждая разностная схема решается относительно центрального узла.

Код программы:

function f1(x: real): real;    //U(x,1)

 begin

  f1:=-1/(sqr(x)+1);

 end;

 function f2(x: real): real;     //U(x,3)

 begin

  f2:=-3/(sqr(x)+9);

 end;

 function p1(y: real): real;       //U(0,y)

 begin

  p1:=-1/y;

 end;

 function p2(y: real): real;       //U(1,y)

 begin

  p2:=-y/(1+sqr(y));

 end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

 var

  h, l, x, y, t, uk, m: real;

  i, j: integer;

  u: array [1..11,1..11] of real;

  const

  a1=0;         //U(0,y)

  a2=1;         //U(1,y)

  b1=1;         //U(x,1)

  b2=3;         //U(x,3)

  e=0.01;

 begin

  h:=0.1;

  l:=0.2;

  for i:=1 to 10 do

   for j:=1 to 10 do u[i,j]:=0;

//зададим граничные условия

  for i:=1 to 11 do

   begin

    x:=a1+(i-1)*h;

    u[i,1]:=f1(x);

    u[i,11]:=f2(x);

   end;

  for j:=1 to 11 do

   begin

    y:=b1+(j-1)*l;

    u[1,j]:=p1(y);

    u[11,j]:=p2(y);

   end;

//произведем ряд приближений

  t:=h*h/(l*l);

  repeat

  m:=0;

  for i:=2 to 10 do

   for j:=2 to 10 do

    begin

     uk:=u[i,j];

     u[i,j]:=(u[i+1,j]+u[i-1,j]+t*(u[i,j+1]+u[i,j-1]))/(2+2*t);

     if m<abs(u[i,j]-uk) then m:=abs(u[i,j]-uk);

    end;

  until m<e;

//выводим сетку на форму

  for i:=1 to 11 do

    for j:=1 to 11 do

      StringGrid.Cells[j-1,i-1]:=floattostr(roundto(u[i,j],-2));

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

По таблице видно, что результат достаточно точный, что и обусловливается погрешностью в 0.01.

Задание 2

Условие: Дано ОДУ:

Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям:

         

при следующих значениях параметров:         

Построить график полученной зависимости .

Ход работы:

Теория метода конечных разностей:

Разбиваем отрезок [0,1] на части с постоянным шагом h с помощью узлов . Аппроксимируем вторую производную конечно-разностным соотношением , при этом значение искомой функции в узлах  приближенно заменяем соответствующими значениями сеточной функции :

;

Получилась система n-1 линейных уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных значений сеточной функции  в узлах. Ее значение на концах отрезка определены граничными условиями:  и .

Решая систему уравнений находим значение сеточной функции, которые приближенно равны значениям искомой функции.

Система уравнений имеет трехдиагональный вид на главной диагонали которой находятся элементы .

Код программы:

function fp(t: real): real;

 begin

  result:=t/(b+sqr(t));

 end;

 function fq(t: real): real;

 begin

  result:=-(1+cos(t))/sqrt(sqr(a)+sqr(t));

 end;

 function fr(t: real): real;

 begin

  result:=exp(-a*sqr(t));

 end;

 procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

 var

  h, g1, g2, g3, g4, g5, g6, x0, xkon: real;

  i, n: integer;

  x, l, k, y, p, r, q: array of real;

 begin

  Chart1.Series[0].Clear;

  x0:=0;

  xkon:=1;

  g1:=1;

  g2:=-0.5;

  g3:=1;

  g4:=4.5;

  g5:=0.3;

  g6:=4.7;

  h:=StrToFloat(Edit1.Text);

  n:=round((xkon-x0)/h);

  SetLength(x,n+1);

  SetLength(y,n+1);

  SetLength(l,n+1);

  SetLength(k,n+1);

  SetLength(p,n+1);

  SetLength(q,n+1);

  SetLength(r,n+1);

  for i:=0 to n do

   begin

    x[i]:=x0+i*h;

    p[i]:=fp(x[i]);

    q[i]:=fq(x[i]);

    r[i]:=fr(x[i]);

   end;

//прямой ход решения трехдиагональной матрицы

  k[0]:=(h*h*r[0]*g2+h*(2-h*p[0])*g3)/((h*h*q[0]-2)*g2+h*(2-p[0])*g1);

  l[0]:=(2*g2)/((h*h*q[0]-2)*g2+h*(2-h*p[0])*g1);

  for i:=1 to n do

   begin

    k[i]:=(2*h*h*r[i]-(2-h*p[i])*k[i-1])/(2*h*h*q[i]-4-(2-h*p[i])*l[i-1]);

    l[i]:=(2+h*p[i])/(2*h*h*q[i]-4-(2-h*p[i])*l[i-1]);

   end;

//обратный ход

  y[n]:=(2*h*g6+(k[n-1]-k[n]/l[n])*g5)/(2*h*g4+(l[n-1]-1/l[n])*g5);

  for i:=(n-1) downto 0 do y[i]:=k[i]-l[i]*y[i+1];

  for i:=0 to n do Chart1.Series[0].AddXY(x[i],y[i]);

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

Из графика видно, что граничные условия выполняются достаточно точно. Точность можно увеличить, уменьшив шаг.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70134. Прості цикли в Паскалі. Сума нескінченного ряду 102 KB
  Постановка завдання: Обчислити суму нескінченного ряду з заданою точністю. Визначити кількість членів, необхідних для досягнення заданої точності. Створити два типи програм за допомогою різних операторів циклу.
70135. Чертёж плоского контура и его аксонометрия 89.5 KB
  Команда LIMITS (Ограничения) позволяет выбрать формат поля чертежа. Первый запрос командной строки предлагает нам координаты левого нижнего угла формата принять за начало координат (0,0) по умолчанию. После ввода начала координат второй запрос предлагает выбрать правый верхний угол...
70136. ИЗУЧЕНИЕ ПРИНЦИПА ДЕЙСТВИЯ И СХЕМ ДЕАЭРАТОРОВ 157.5 KB
  Деаэрация питательной воды паровых котлов и подпиточной воды тепловых сетей является обязательной для всех котельных. Деаэраторы предназначены для удаления из воды растворенных в ней неконденсирующихся газов. Для деаэрации питательной воды в котельных применяются струйные...
70138. ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ПОИСК РЕШЕНИЯ. ПОДБОР ПАРАМЕТРА 383 KB
  Изучить Поиск решения и Подбор параметра в электронной таблице Excel. Решение задач оптимизации Рассматривается технология разработки модели и решения задач с помощью программы Excel Поиск решений. Освоить методику и технологию оптимизации планов производства продукции в табличном...
70139. Оценка параметров надежности программ по временным моделям обнаружения ошибок 145.87 KB
  Научиться использовать модель обнаружения ошибок Джелинского-Моранды. Изучить поведение модели для различных законов распределения времен обнаружения отказов и различного числа используемых для анализа данных.
70140. Изучение конструкции цилиндрических и конических редукторов 61.5 KB
  Познакомится с классификацией, кинематическими схемами, конструкцией узлами и деталями цилиндрических и конических редукторов. Выяснить назначения всех деталей редукторов. Определение основных параметров редуктора. Определить параметры зацепления, размеров зубчатых колес и передач.