66549

Решение граничных задач для ОДУ. Метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В прямоугольной области строится сеточная область из одинаковых ячеек и приближающая область. В каждом узле исходное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением. Приближенные значения производных в каждом узле находятся по значениям искомой функции в соседних узлах.

Русский

2014-08-22

196.5 KB

7 чел.

Выполнил: Марудо А.В., 2 курс, 3 группа

Проверил: Шапочкина Ирина Викторовна

Лабораторная работа #5(вариант #7)

Тема: Решение граничных задач для ОДУ. Метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных.

Цель: Используя метод сеток решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Решить ОДУ с граничными условиями, результаты представить графически.

Задание 1

Условие: Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа  для функции  в прямоугольной области при заданных граничных условиях:

         

         

Ход работы: 

Теория метода сеток:

В прямоугольной области строится сеточная область из одинаковых ячеек и приближающая область. В каждом узле исходное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением. Приближенные значения производных в каждом узле находятся по значениям искомой функции в соседних узлах. Решение в граничных узлах сеточной области находится из граничных условий. Для решения разностной задачи используется метод релаксации, при котором каждая разностная схема решается относительно центрального узла.

Код программы:

function f1(x: real): real;    //U(x,1)

 begin

  f1:=-1/(sqr(x)+1);

 end;

 function f2(x: real): real;     //U(x,3)

 begin

  f2:=-3/(sqr(x)+9);

 end;

 function p1(y: real): real;       //U(0,y)

 begin

  p1:=-1/y;

 end;

 function p2(y: real): real;       //U(1,y)

 begin

  p2:=-y/(1+sqr(y));

 end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

 var

  h, l, x, y, t, uk, m: real;

  i, j: integer;

  u: array [1..11,1..11] of real;

  const

  a1=0;         //U(0,y)

  a2=1;         //U(1,y)

  b1=1;         //U(x,1)

  b2=3;         //U(x,3)

  e=0.01;

 begin

  h:=0.1;

  l:=0.2;

  for i:=1 to 10 do

   for j:=1 to 10 do u[i,j]:=0;

//зададим граничные условия

  for i:=1 to 11 do

   begin

    x:=a1+(i-1)*h;

    u[i,1]:=f1(x);

    u[i,11]:=f2(x);

   end;

  for j:=1 to 11 do

   begin

    y:=b1+(j-1)*l;

    u[1,j]:=p1(y);

    u[11,j]:=p2(y);

   end;

//произведем ряд приближений

  t:=h*h/(l*l);

  repeat

  m:=0;

  for i:=2 to 10 do

   for j:=2 to 10 do

    begin

     uk:=u[i,j];

     u[i,j]:=(u[i+1,j]+u[i-1,j]+t*(u[i,j+1]+u[i,j-1]))/(2+2*t);

     if m<abs(u[i,j]-uk) then m:=abs(u[i,j]-uk);

    end;

  until m<e;

//выводим сетку на форму

  for i:=1 to 11 do

    for j:=1 to 11 do

      StringGrid.Cells[j-1,i-1]:=floattostr(roundto(u[i,j],-2));

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

По таблице видно, что результат достаточно точный, что и обусловливается погрешностью в 0.01.

Задание 2

Условие: Дано ОДУ:

Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям:

         

при следующих значениях параметров:         

Построить график полученной зависимости .

Ход работы:

Теория метода конечных разностей:

Разбиваем отрезок [0,1] на части с постоянным шагом h с помощью узлов . Аппроксимируем вторую производную конечно-разностным соотношением , при этом значение искомой функции в узлах  приближенно заменяем соответствующими значениями сеточной функции :

;

Получилась система n-1 линейных уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных значений сеточной функции  в узлах. Ее значение на концах отрезка определены граничными условиями:  и .

Решая систему уравнений находим значение сеточной функции, которые приближенно равны значениям искомой функции.

Система уравнений имеет трехдиагональный вид на главной диагонали которой находятся элементы .

Код программы:

function fp(t: real): real;

 begin

  result:=t/(b+sqr(t));

 end;

 function fq(t: real): real;

 begin

  result:=-(1+cos(t))/sqrt(sqr(a)+sqr(t));

 end;

 function fr(t: real): real;

 begin

  result:=exp(-a*sqr(t));

 end;

 procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

 var

  h, g1, g2, g3, g4, g5, g6, x0, xkon: real;

  i, n: integer;

  x, l, k, y, p, r, q: array of real;

 begin

  Chart1.Series[0].Clear;

  x0:=0;

  xkon:=1;

  g1:=1;

  g2:=-0.5;

  g3:=1;

  g4:=4.5;

  g5:=0.3;

  g6:=4.7;

  h:=StrToFloat(Edit1.Text);

  n:=round((xkon-x0)/h);

  SetLength(x,n+1);

  SetLength(y,n+1);

  SetLength(l,n+1);

  SetLength(k,n+1);

  SetLength(p,n+1);

  SetLength(q,n+1);

  SetLength(r,n+1);

  for i:=0 to n do

   begin

    x[i]:=x0+i*h;

    p[i]:=fp(x[i]);

    q[i]:=fq(x[i]);

    r[i]:=fr(x[i]);

   end;

//прямой ход решения трехдиагональной матрицы

  k[0]:=(h*h*r[0]*g2+h*(2-h*p[0])*g3)/((h*h*q[0]-2)*g2+h*(2-p[0])*g1);

  l[0]:=(2*g2)/((h*h*q[0]-2)*g2+h*(2-h*p[0])*g1);

  for i:=1 to n do

   begin

    k[i]:=(2*h*h*r[i]-(2-h*p[i])*k[i-1])/(2*h*h*q[i]-4-(2-h*p[i])*l[i-1]);

    l[i]:=(2+h*p[i])/(2*h*h*q[i]-4-(2-h*p[i])*l[i-1]);

   end;

//обратный ход

  y[n]:=(2*h*g6+(k[n-1]-k[n]/l[n])*g5)/(2*h*g4+(l[n-1]-1/l[n])*g5);

  for i:=(n-1) downto 0 do y[i]:=k[i]-l[i]*y[i+1];

  for i:=0 to n do Chart1.Series[0].AddXY(x[i],y[i]);

 end;

Полученные результаты:

Вывод:

Из графика видно, что граничные условия выполняются достаточно точно. Точность можно увеличить, уменьшив шаг.

БГУ

Физический факультет

2011/2012 учебный год

Минск

PAGE   \* MERGEFORMAT 5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41593. Местное самоуправление в зарубежных странах 57 KB
  Понятие и основные принципы местного самоуправления. Системы основные модели местного управления и самоуправления. Понятие и основные принципы местного самоуправления. Исторически социальное назначение местного самоуправления было связано с защитой местных муниципальных интересов которые касаются решения вопросов непосредственного обеспечения жизнедеятельности населения.
41594. Основы конституционного права Французской Республики 78.5 KB
  Статус президента и правительства во Франции. Парламент Франции: структура полномочия. Система судебной власти Франции. принятая на референдуме учредила Пятую Республику во Франции заложила основы новой организации высших органов государственной власти которая в литературе получила наименование полупрезидентской смешанной формы правления.
41595. ПРЕДМЕТ МЕТОД И СИСТЕМА ТРУДОВОГО ПРАВА 54 KB
  ПОНЯТИЕ И ПРЕДМЕТ ТРУДОВОГО ПРАВА. Основным критерием для размежевания отраслей права является предмет правового регулирования т. круг общественных отношений который регулируется той или иной отраслью права.
41596. ИСТОЧНИКИ ТРУДОВОГО ПРАВА 38.5 KB
  Понятие источников трудового права Источники трудового права это формы выражения правовых предписаний через нормативные акты как результат деятельности компетентных органов государства которые устанавливают или санкционируют правовые нормы обязательные для сторон правоотношений которые составляют предмет трудового права. У термина источники права два значения: 1.материальное причины образования права т.
41597. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАМЕДЛЯЮЩИХ СИСТЕМ 76.32 KB
  Овладение методами построения дисперсионных характеристик и расчета сопротивления связи. С помощью петли связи в макете возбуждается стоячая волна амплитуда которой контролируется через петлю связи Конструктивно макет выполнен из колец и диафрагм с прорезанными в них щелями связи. Связь генератора и детекторной головки с макетом ЗС или с калибровочным резонатором осуществляется с помощью входной и индикаторной петель связи.
41598. ЛАНДШАФТНАЯ АРХИТЕКТУРА 3.28 MB
  Два варианта посадки растений для вертикального озеленения 15. Устройство и подбор ассортимента растений 18. При формировании древеснокустарниковых насаждений учитываются не только композиционные но и биологические и экологические особенности растений. Виды растений используемых для солитеров: крупные кустарники 23 м и более сирень обыкновенная и венгерская боярышник туя западная; красиво и обильно цветущие: чубушники ракитники калина розы.
41599. Понятие ландшафта в ландшафтной архитектуре. Природный, антропогенный, культурный и деградированный ландшафты 3.27 MB
  При формировании древеснокустарниковых насаждений учитываются не только композиционные но и биологические и экологические особенности растений. Виды растений используемых для солитеров: крупные кустарники 23 м и более сирень обыкновенная и венгерская боярышник туя западная; красиво и обильно цветущие: чубушники ракитники калина розы. По величине: малые 23 растения; средние 47 растений; большие 1012 растений. Виды растений предназначенных для стрижки: липа тополь боярышник чубушник барбарис можжевельник туя...
41600. Основные понятия баз данных ACCESS 2007 104.45 KB
  Создание базы данных состоящей из одной таблицы. Цели урока: Познакомиться с основными понятиями баз данных; Научиться создавать таблицы баз данных в режиме Конструктор; Освоить переход из режима Конструктор в режим таблицы; Освоить основные приемы заполнения и редактирования таблиц; Познакомиться с простой сортировкой данных и с поиском записей по образцу; Научиться сохранять и загружать базы данных. В окне системы управления базы данных щелкнуть по значку Новая база данных . Справа в появившемся окне дать имя новой...
41601. Background Radioactivity of Environment 19.23 KB
  Shchetynsk ICS 405 Lbortory work Bckground Rdioctivity of Environment im: to lern the methods of mesure of bckground rdioctivity simply gmmrdition. Theoreticl informtion Mny forms of ârditionâ re encountered in the nturl environment nd re produced by modern technology. Even sunlight the most essentil rdition of ll cn be hrmful in excessive mounts. Most public ttention is given to the ctegory of rdition known s âionizing rdition.