66727

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Русский

2014-08-26

220 KB

3 чел.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение  - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Решение уравнения вида  разбивается на два этапа:

  1.  отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
  2.  вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.

Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:

  •  метод итераций;
  •  метод половинного деления;
  •  метод Ньютона.

x-2+sin(x)=0


Метод итераций

Уравнение  можно представить в виде: .

Например: x-2+sin(1/x)=0x=2-sin(1/x)

Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется:

Процесс вычисления значений xk называется итерационным процессом.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено:

, при этом всегда выполняется  , где ε задается погрешностью корня x*.

Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .

В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]


Метод половинного деления

Функция  непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.


Метод Ньютона

Функция , причем (x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x0 на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:

Если x0 выбрано таким образом, что (x0)*f˝(x0) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)|  на [a,b].

При этом выполняется  .

Если  , то верно


Вычисление определенных интегралов

Функция может быть задана таблично или аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x0=a x1=x0+hxi=x0+ihxn=b.

Функция вычисляется в точках разбиения  yi=f(xi).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл

Площадь трапеции:


Метод прямоугольников

Например, вычислить интеграл

Площадь прямоугольника:

∆S1=y1* h

левые концы участков,  (1)

правые концы участков.   (2)

Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).

Метод Симпсона

Отрезок интегрирования разбивается на 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.

или, если обозначить N=2n

Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами:

Метод

Результат

MatLab

трапеций
Симпсона
Лобатто

0.88815714659999
0.88807223886900
0.88806573865982

MathCad

0.88806573863715

Трапеций

0.88815714659998

Прямоугольников

слева
справа
среднее

0.852123212814331
0.924191164970398
0.8881571888923645

Симпсона

0.888067817687988

 


Решение систем линейных уравнений

    (1)

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:

,

где

Метод Гаусса

Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.

Процесс исключения неизвестных:

Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.

По той же схеме исключается x2 , x3  и т.д.

Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.

Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.

Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:

  •  Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.
  •  Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.

Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.

Если на каком-то k–м шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов  (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.


'Задание исходных данных

For i = 1 To n
For j = 1 To n
 a1(i, j) = a(i, j) '
коэффициенты при неизвестных
Next
Next

For i = 1 To n
x(i) = b(i) '
свободные члены
Next

flag = False

'прямой ход - исключение i-го неизвестного

For i = 1 To n

'поиск главного элемента в i-м столбце

k = i

r = Abs(a1(i, i))

 If r = 0 Then 'определитель системы равен 0

  flag = True

  Exit For

  End If

 For j = i + 1 To n

 If Abs(a1(j, i)) > r Then

   k = j

   r = Abs(a1(j, i))

 End If

 Next j

If k <> i Then

 'перестановка i-го и k-го уравнения

  r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r

  For j = 1 To n

   r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r

  Next j

End If

' исключение i-го неизвестного

 r = a1(i, i)

x(i) = x(i) / r

 For j = i To n

  a1(i, j) = a1(i, j) / r

 Next j

 For k = i + 1 To n

  r = a1(k, i)

  x(k) = x(k) - r * x(i)

  For j = i To n

    a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j)

  Next j

 Next k

Next i

'обратный ход – определение неизвестных

If flag Then

 Picture3.Print "матрица вырождена"

Else

For i = n - 1 To 1 Step -1

  For j = i + 1 To n

    x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j)

  Next

Next

Метод Халецкого

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58952. Вечір-реквієм до Дня Перемоги 40.5 KB
  Жива людська пам’ять, не старіє вона з роками. Вона стукає в наші серця дзвоном Хатині, попелом Лідіце, обелісками в полі. І поки існуватиме наш рід, існуватиме і пам’ять, бо без неї немає в нас майбутнього. А майбутнє в наше в наших дітях.
58953. Стежинами рідного міста 153 KB
  Сьогодні ми з вами поговоримо про місто Донецьк. І тому я пропоную сьогодні здійснити подорож до краєзнавчого музею і якомога більше дізнатися про наше чудове місто.
58954. Володимир Винниченко. «Федько - халамидник». Щедрий на добро внутрішній світ героя. Федько як особистість. Образи Федька і Толі 57 KB
  Мета: допомогти учням розібратися в складнощах характерів та вчинків героїв оповідання; розвивати навички виразного читання, переказу, виділення головних епізодів та деталей, висловлення власного ставлення до прочитаного, обґрунтування своєї думки...
58955. Микола Вороний. «Євшан – зілля». Поема про необхідність повернення людині історичної пам’яті, усвідомлення своєї національної приналежності 51 KB
  Мета: створити умови для ознайомлення учнів із життям і творчістю Миколи Вороного з історичною основою та змістом поеми Євшан-зілля; сприяти розвитку навичок вдумливого виразного читання; коментування прочитаного визначення особливостей літературного твору...
58956. Пристрої введення та виведення інформації 178.71 KB
  Що таке інформація За допомогою чого передають інформацію Види інформації Як називають повідомлення яке не несе корисної інформації Що називають елементною базою компютера Що таке швидкодія Що розуміють під терміном апаратне забезпечення...
58957. Виховний захід: «Прощавай, початкова школо!» 87.5 KB
  Всі вони народилися в одному селі ходили до однієї незвичайної школи і навіть вчилися в одному класі. Вперше чую Важко уявити Це мабуть був клас одних вундеркіндів Їх що збирали в клас з усього селища Ведуча. Починаємо пряму трансляцію із загальноосвітньої школи...
58958. Вплив антропогенних факторів на репродуктивну функцію людини 162 KB
  І кожен з вас мріятиме щоб його дитина була гарною розумною а головне здоровою. Коли маля росте здоровим розвивається фізично і розумово то батьки безмежно щасливі. Щоб вона стала здоровою батьки йдуть на все.
58959. Урок. Пори року 348 KB
  Мета: розвивати початкові навички використання елементів взаємодії з комп’ютером – списків та закладок у діалогових вікнах; ознайомити учнів з особливостями погоди в різні пори року; розвивати елементи логічного мислення, пам’ять, увагу, кмітливість...
58960. Аналіз поеми М. Гоголя «Мертві душі». Чичиков герой нашого часу? 57 KB
  Мета: проаналізувати образ Чичикова; вдосконалювати вміння висловлювати та доводити свої думки аргументувати свої вислови узагальнювати; розкривати творчі здібності учнів; прищеплювати звичку з повагою ставитися до думок інших людей...