ID: 66727

Название работы: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Категория: Доклад

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-08-26

Размер файла: 220 KB

Работу скачали: 3 чел.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение  - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Решение уравнения вида  разбивается на два этапа:

1.  отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
2.  вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.

Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:

•  метод итераций;
•  метод половинного деления;
•  метод Ньютона.

x-2+sin(x)=0

Метод итераций

Уравнение  можно представить в виде: .

Например: x-2+sin(1/x)=0 → x=2-sin(1/x)

Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется:

Процесс вычисления значений xk называется итерационным процессом.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено:

, при этом всегда выполняется  , где ε задается погрешностью корня x*.

Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .

В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]

Метод половинного деления

Функция  непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.

Метод Ньютона

Функция , причем f΄(x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x0 на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:

Если x0 выбрано таким образом, что f΄(x0)*f˝(x0) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |f΄(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)|  на [a,b].

При этом выполняется  .

Если  , то верно

Вычисление определенных интегралов

Функция может быть задана таблично или аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x0=a x1=x0+h … xi=x0+ih… xn=b.

Функция вычисляется в точках разбиения  yi=f(xi).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл Площадь трапеции:

Метод прямоугольников

Например, вычислить интеграл Площадь прямоугольника: ∆S1=y1* h

левые концы участков,  (1)

правые концы участков.   (2)

Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).

Метод Симпсона

Отрезок интегрирования разбивается на 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.

или, если обозначить N=2n

Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами:

Метод		Результат
MatLab	трапеций Симпсона Лобатто	0.88815714659999 0.88807223886900 0.88806573865982
MathCad		0.88806573863715
Трапеций		0.88815714659998
Прямоугольников	слева справа среднее	0.852123212814331 0.924191164970398 0.8881571888923645
Симпсона		0.888067817687988

 

Решение систем линейных уравнений

    (1)

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:

,

где

Метод Гаусса

Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.

Процесс исключения неизвестных:

Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.

По той же схеме исключается x2 , x3  и т.д.

Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.

Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.

Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:

•  Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.
•  Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.

Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.

Если на каком-то k–м шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов  (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.

'Задание исходных данных For i = 1 To n For j = 1 To n  a1(i, j) = a(i, j) 'коэффициенты при неизвестных Next Next For i = 1 To n x(i) = b(i) 'свободные члены Next flag = False

'прямой ход - исключение i-го неизвестного For i = 1 To n 'поиск главного элемента в i-м столбце k = i r = Abs(a1(i, i))  If r = 0 Then 'определитель системы равен 0   flag = True   Exit For   End If  For j = i + 1 To n  If Abs(a1(j, i)) > r Then    k = j    r = Abs(a1(j, i))  End If  Next j If k <> i Then  'перестановка i-го и k-го уравнения   r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r   For j = 1 To n    r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r   Next j End If ' исключение i-го неизвестного  r = a1(i, i) x(i) = x(i) / r  For j = i To n   a1(i, j) = a1(i, j) / r  Next j  For k = i + 1 To n   r = a1(k, i)   x(k) = x(k) - r * x(i)   For j = i To n     a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j)   Next j  Next k Next i

'обратный ход – определение неизвестных If flag Then  Picture3.Print "матрица вырождена" Else For i = n - 1 To 1 Step -1   For j = i + 1 To n     x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j)   Next Next

Метод Халецкого

PAGE  7