66727

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Русский

2014-08-26

220 KB

4 чел.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение  - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Решение уравнения вида  разбивается на два этапа:

  1.  отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
  2.  вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.

Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:

  •  метод итераций;
  •  метод половинного деления;
  •  метод Ньютона.

x-2+sin(x)=0


Метод итераций

Уравнение  можно представить в виде: .

Например: x-2+sin(1/x)=0x=2-sin(1/x)

Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется:

Процесс вычисления значений xk называется итерационным процессом.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено:

, при этом всегда выполняется  , где ε задается погрешностью корня x*.

Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .

В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]


Метод половинного деления

Функция  непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.


Метод Ньютона

Функция , причем (x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x0 на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:

Если x0 выбрано таким образом, что (x0)*f˝(x0) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)|  на [a,b].

При этом выполняется  .

Если  , то верно


Вычисление определенных интегралов

Функция может быть задана таблично или аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x0=a x1=x0+hxi=x0+ihxn=b.

Функция вычисляется в точках разбиения  yi=f(xi).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл

Площадь трапеции:


Метод прямоугольников

Например, вычислить интеграл

Площадь прямоугольника:

∆S1=y1* h

левые концы участков,  (1)

правые концы участков.   (2)

Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).

Метод Симпсона

Отрезок интегрирования разбивается на 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.

или, если обозначить N=2n

Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами:

Метод

Результат

MatLab

трапеций
Симпсона
Лобатто

0.88815714659999
0.88807223886900
0.88806573865982

MathCad

0.88806573863715

Трапеций

0.88815714659998

Прямоугольников

слева
справа
среднее

0.852123212814331
0.924191164970398
0.8881571888923645

Симпсона

0.888067817687988

 


Решение систем линейных уравнений

    (1)

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:

,

где

Метод Гаусса

Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.

Процесс исключения неизвестных:

Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.

По той же схеме исключается x2 , x3  и т.д.

Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.

Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.

Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:

  •  Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.
  •  Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.

Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.

Если на каком-то k–м шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов  (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.


'Задание исходных данных

For i = 1 To n
For j = 1 To n
 a1(i, j) = a(i, j) '
коэффициенты при неизвестных
Next
Next

For i = 1 To n
x(i) = b(i) '
свободные члены
Next

flag = False

'прямой ход - исключение i-го неизвестного

For i = 1 To n

'поиск главного элемента в i-м столбце

k = i

r = Abs(a1(i, i))

 If r = 0 Then 'определитель системы равен 0

  flag = True

  Exit For

  End If

 For j = i + 1 To n

 If Abs(a1(j, i)) > r Then

   k = j

   r = Abs(a1(j, i))

 End If

 Next j

If k <> i Then

 'перестановка i-го и k-го уравнения

  r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r

  For j = 1 To n

   r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r

  Next j

End If

' исключение i-го неизвестного

 r = a1(i, i)

x(i) = x(i) / r

 For j = i To n

  a1(i, j) = a1(i, j) / r

 Next j

 For k = i + 1 To n

  r = a1(k, i)

  x(k) = x(k) - r * x(i)

  For j = i To n

    a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j)

  Next j

 Next k

Next i

'обратный ход – определение неизвестных

If flag Then

 Picture3.Print "матрица вырождена"

Else

For i = n - 1 To 1 Step -1

  For j = i + 1 To n

    x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j)

  Next

Next

Метод Халецкого

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84871. Розповідні речення. Інтонація при читанні розповідних речень. Розділові знаки в кінці розповідних речень. Слова, близькі за значенням 38 KB
  Дати учням уявлення про розповідне речення; розвивати навички інтонування розповідних речень з крапкою або знаком оклику в кінці; виховувати почуття любові до своєї Вітчизни. Сьогодні ми з вами побуваємо у містечку Речення. Вони хочуть допомогти вам у вивченні речення і розповісти багато нового і цікавого.
84872. Пом’якшені приголосні. Відсутність ь знака після букв приголосних, що не мають пари м’яких. Правильна вимова твердих, м’яких і пом’якшених приголосних 2.16 MB
  Мета уроку: Формувати комунікативну компетентність, контрольно-оцінювальну діяльність. З’ясувати, після яких букв в українській мові пишеться ь. Удосконалювати вимову твердих, м’яких і пом’якшених приголосних. Поповнювати словниковий запас. Розвивати мовлення, пам’ять.
84873. Донбас – мій рідний край 541.5 KB
  Мета: Формувати в учнів інтерес до навчання; вчити розповідати про символи нашої Української держави, Донецького краю та їх значення; розвивати прагнення бути свідомим громадянином України, її патріотом. Розвивати пізнавальні інтереси. Виховувати бажання наполегливо оволодівати знаннями, любов до школи.
84874. Note on Tracking from the ART List by Armin Winkler 29 KB
  Imagine you are playing ball with the dog, and the dog decides to stalk a bird instead. You can just yell harsh and loud enough to have the dog come back and leave the bird alone, but also leave the ball.
84875. Obedience tracking theory 27.5 KB
  The best advice I have EVER gotten in tracking is you can not track too much. I used to track twice maybe three times a week. Now I track at least 5 times a week and I am very happy with the results.
84876. Schutzhund Tracking 82 KB
  Some dogs are naturally inclined to air scent, others you will see naturally explore their surroundings with their noses very close to the ground from a young age. For Schutzhund, the dog is expected to follow a footstep trail with a deep nose (nose very close to the ground) and to indicate articles along the way.
84877. ATTENTION BEGINNING OR POTENTIAL TRACKERS 29.5 KB
  To gin the TD title dog must pss one KC trcking test which is usully bout qurter mile in length with three to five turns ged between onehlf nd one hour old nd glove t the end. I wnt the dog to WNT to find the glove t the end of the trck.
84878. Subsequent Training Sessions 29.5 KB
  For several training sessions, the same process should be followed, with the length of track steadily increased. By the time the track is between 20 and 50 yards long, the dog will probably no longer be able to find the glove by sight alone.
84879. Aging and Blind Tracks 30 KB
  Once your dog can complete a three-turn track 200 yards in length (50 yards for each of four legs), then use only the single track at each training session. As tracks have been getting longer, they have naturally been aging for a few minutes.