66727
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Доклад
Математика и математический анализ
Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.
Русский
2014-08-26
220 KB
4 чел.
Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.
Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.
Решение уравнения вида разбивается на два этапа:
Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.
Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:
x-2+sin(x)=0
Уравнение можно представить в виде: .
Например: x-2+sin(1/x)=0 → x=2-sin(1/x)
Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется:
Процесс вычисления значений xk называется итерационным процессом.
Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .
Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено:
, при этом всегда выполняется , где ε задается погрешностью корня x*.
Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .
В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]
|
|
Функция непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.
Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.
|
|
Функция , причем f΄(x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].
Например как функция:
f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4
на отрезке [1.2,2]
Выбирается некоторая точка x0 на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:
Если x0 выбрано таким образом, что f΄(x0)*f˝(x0) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.
Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда
,
где m1 - наименьшее значение |f΄(x)| и на [a,b],
M2 - наибольшее значение |f˝(x)| на [a,b].
При этом выполняется .
Если , то верно
|
|
Функция может быть задана таблично или аналитически.
Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины
Точки разбиения: x0=a x1=x0+h … xi=x0+ih… xn=b.
Функция вычисляется в точках разбиения yi=f(xi).
Тогда согласно методу трапеций
Например, вычислить интеграл Площадь трапеции: |
|
|
|
Например, вычислить интеграл Площадь прямоугольника: ∆S1=y1* h |
|
левые концы участков, (1)
правые концы участков. (2)
Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).
Отрезок интегрирования разбивается на 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.
или, если обозначить N=2n
Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами:
Метод |
Результат |
|
MatLab |
трапеций |
0.88815714659999 |
MathCad |
0.88806573863715 |
|
Трапеций |
0.88815714659998 |
|
Прямоугольников |
слева |
0.852123212814331 |
Симпсона |
0.888067817687988 |
|
|
(1)
Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:
,
где
Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.
Процесс исключения неизвестных:
Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого iго (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.
По той же схеме исключается x2 , x3 и т.д.
Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.
Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.
Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:
Процесс исключения kго неизвестного называется kм шагом прямого хода.
Если на каком-то kм шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.
'Задание исходных данных For i = 1 To n For i = 1 To n flag = False |
'прямой ход - исключение i-го неизвестного For i = 1 To n 'поиск главного элемента в i-м столбце k = i r = Abs(a1(i, i)) If r = 0 Then 'определитель системы равен 0 flag = True Exit For End If For j = i + 1 To n If Abs(a1(j, i)) > r Then k = j r = Abs(a1(j, i)) End If Next j If k <> i Then 'перестановка i-го и k-го уравнения r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r For j = 1 To n r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r Next j End If ' исключение i-го неизвестного r = a1(i, i) x(i) = x(i) / r For j = i To n a1(i, j) = a1(i, j) / r Next j For k = i + 1 To n r = a1(k, i) x(k) = x(k) - r * x(i) For j = i To n a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j) Next j Next k Next i |
'обратный ход определение неизвестных If flag Then Picture3.Print "матрица вырождена" Else For i = n - 1 To 1 Step -1 For j = i + 1 To n x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j) Next Next |
PAGE 7
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
23550. | РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ | 1.42 MB | |
Русский язык и культура речи Речевое взаимодействие. Нормативные коммуникативные этические аспекты устной и письменной речи. Культура речи. | |||
23552. | РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС | 376 KB | |
МЕТОДИЧЕСКАЯ ЗАПИСКА Данное пособие является частью комплекса учебных пособий по русскому языку и культуре речи. В нем представлен теоретический материал предусмотренный программой по русскому языку и культуре речи. Рассматриваются различные аспекты речевой культуры формы существования языка стили современного русского языка характеризуются особенности официальноделовой речи основные черты языка юридических текстов излагаются основы ораторского искусства. | |||
23553. | Курс русской риторики | 1 MB | |
Перечитывая и осмысляя эту книгу читатель подружится с ней на долгие годы. Слово ητρική значает ораторское искусство или учение об ораторском искусстве но главным содержанием риторики уже в то время была теория аргументации в публичной речи. Грамматика наука об общих правилах построения осмысленной речи. Риторика наука об аргументации в публичной речи необходимой при обсуждении вопросов практического характера. | |||
23554. | Выразительность и ее основные условия | 128 KB | |
Выразительность речи зависит от многих причин и условий собственно лингвистических и экстралингвистических. Одним из основных условий выразительности является самостоятельность мышления автора речи что предполагает глубокое и всестороннее знание и осмысление предмета сообщения. В значительной степени выразительность речи зависит и от отношения автора к содержанию высказывания. | |||
23555. | ОБЩАЯ РИТОРИКА | 2.01 MB | |
Объектом этой теории является изучение дискурсивных приемов позволяющих вызвать или усилить сочувствие к предложенным для одобрения положениям Perelman 1958 с. Главы посвященные детальнейшему разбору четырех типов риторических метабол представляют собой образец блестящего анализа живого функционирования языка а значение совокупности содержащихся в них наблюдений эвристических ходов мысли далеко выходит за рамки проблематики даже столь сложного феномена каким является литературный художественный язык. Если с известной долей... | |||
23556. | ИСКУССТВО ОРАТОРА | 1.93 MB | |
Савкова ИСКУССТВО ОРАТОРА СОДЕРЖАНИЕ Введение Удивительный дар природы Оратор и его голос Что ни звук то и подарок Дикция оратора Порусски ли мы говорим Литературное произношение Косноязычна риторика без грамматики Языковая культура Мое богатство мой язык Языковые средства выразительности От сердца к сердцу нити проложить Интонационная выразительность Язык чувств Жесты и мимика как средство общения С пером в руке Как создать текст выступления Посмеемся вместе Юмор в публичном... | |||
23557. | Культура речи | 1.01 MB | |
Чтобы передать ее другому он произносит слова. Мужик либо не отвечал ничего либо произносил слова вроде следующих: А мы могим. Речь Базарова строится по нормам литературного языка в ней встречаются отвлеченные книжные слова непонятные собеседнику: воззрение будущность излагать эпоха история закон. Не случайно в древнерусском языке одно из значений слова смысл было разум рассудок ум. | |||
23558. | КУЛЬТУРА РУССКОЙ РЕЧИ | 3.36 MB | |
Виноградова КУЛЬТУРА РУССКОЙ РЕЧИ Учебник для вузов Ответственные редакторы доктор филологических наук профессор Л. Бурвикова Культура русской речи. ISBN 5891231867 ISBN 5862257055 Книга представляет собой первый академический учебник по культуре речи содержащий наиболее полный систематизированный материал по данной теме. В основе издания лежит принципиально новая теоретическая концепция культуры речи. | |||