66727

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Русский

2014-08-26

220 KB

4 чел.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение  - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Решение уравнения вида  разбивается на два этапа:

  1.  отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
  2.  вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.

Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:

  •  метод итераций;
  •  метод половинного деления;
  •  метод Ньютона.

x-2+sin(x)=0


Метод итераций

Уравнение  можно представить в виде: .

Например: x-2+sin(1/x)=0x=2-sin(1/x)

Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется:

Процесс вычисления значений xk называется итерационным процессом.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено:

, при этом всегда выполняется  , где ε задается погрешностью корня x*.

Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .

В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]


Метод половинного деления

Функция  непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.


Метод Ньютона

Функция , причем (x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x0 на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:

Если x0 выбрано таким образом, что (x0)*f˝(x0) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)|  на [a,b].

При этом выполняется  .

Если  , то верно


Вычисление определенных интегралов

Функция может быть задана таблично или аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x0=a x1=x0+hxi=x0+ihxn=b.

Функция вычисляется в точках разбиения  yi=f(xi).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл

Площадь трапеции:


Метод прямоугольников

Например, вычислить интеграл

Площадь прямоугольника:

∆S1=y1* h

левые концы участков,  (1)

правые концы участков.   (2)

Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).

Метод Симпсона

Отрезок интегрирования разбивается на 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.

или, если обозначить N=2n

Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами:

Метод

Результат

MatLab

трапеций
Симпсона
Лобатто

0.88815714659999
0.88807223886900
0.88806573865982

MathCad

0.88806573863715

Трапеций

0.88815714659998

Прямоугольников

слева
справа
среднее

0.852123212814331
0.924191164970398
0.8881571888923645

Симпсона

0.888067817687988

 


Решение систем линейных уравнений

    (1)

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:

,

где

Метод Гаусса

Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.

Процесс исключения неизвестных:

Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.

По той же схеме исключается x2 , x3  и т.д.

Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.

Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.

Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:

  •  Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.
  •  Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.

Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.

Если на каком-то k–м шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов  (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.


'Задание исходных данных

For i = 1 To n
For j = 1 To n
 a1(i, j) = a(i, j) '
коэффициенты при неизвестных
Next
Next

For i = 1 To n
x(i) = b(i) '
свободные члены
Next

flag = False

'прямой ход - исключение i-го неизвестного

For i = 1 To n

'поиск главного элемента в i-м столбце

k = i

r = Abs(a1(i, i))

 If r = 0 Then 'определитель системы равен 0

  flag = True

  Exit For

  End If

 For j = i + 1 To n

 If Abs(a1(j, i)) > r Then

   k = j

   r = Abs(a1(j, i))

 End If

 Next j

If k <> i Then

 'перестановка i-го и k-го уравнения

  r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r

  For j = 1 To n

   r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r

  Next j

End If

' исключение i-го неизвестного

 r = a1(i, i)

x(i) = x(i) / r

 For j = i To n

  a1(i, j) = a1(i, j) / r

 Next j

 For k = i + 1 To n

  r = a1(k, i)

  x(k) = x(k) - r * x(i)

  For j = i To n

    a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j)

  Next j

 Next k

Next i

'обратный ход – определение неизвестных

If flag Then

 Picture3.Print "матрица вырождена"

Else

For i = n - 1 To 1 Step -1

  For j = i + 1 To n

    x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j)

  Next

Next

Метод Халецкого

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77530. Особенности ухода за пациентами пожилого и старческого возраста 92 KB
  Активность участие пожилых и старых людей в профессиональной общественной жизни стали необходимыми для большинства людей переступивших пенсионный возраст. В специальной литературе все чаще подчеркивается различие между хронологическим и биологическим возрастом высказывается мнение о возможности деления людей одного и того же возраста на молодых старых и старых старых основываясь на состоянии здоровья и социальных показателях. У пожилых и тем более старых людей снижается частота сердечных сокращений в состоянии покоя.
77531. Фреймовое представление знаний 1.36 MB
  Термин фрейм frme рамка остов каркас предложен в 1975 г. Фрейм это единица представления знаний заполненная в прошлом детали которой могут быть изменены согласно текущей ситуации т. Получается что фрейм это абстрактный образ объект или ситуация.
77532. Экспертные системы. Приобретение (извлечение) знаний 255.5 KB
  В экспертных системах знания отделены от данных и мощность ЭС обусловлена в первую очередь мощностью базы знаний и только во вторую очередь используемыми методами решения задач. системы функциональные возможности которых являются в первую очередь следствием их наращиваемой базы знаний БЗ и только во вторую очередь определяется используемыми методами принятия решения. Правильное функционирование ЭС как систем основанных на знаниях зависит от качества и количества знаний хранимых в их БЗ. Поэтому приобретение знаний для ЭС является очень...
77533. Нечеткая логика: история проблемы, практические приложения 1.22 MB
  Для этого значения степень принадлежности физической величины к терму будет равна единице а для всех остальных значений в зависимости от выбранной функции принадлежности. Здесь необходимо описать лингвистические переменные которые вы будете использовать; их функции принадлежности; описать стратегию управления посредством нечетких правил которые вы сможете объединить в единую базу правил или знаний о системе. Другими словами множество А образуют такие объекты элементы для которых указанная выше функция называемая функцией...
77534. НЕЙРОННЫЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ. БИОЛОГИЧЕСКИЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ 463 KB
  С появлением дешевых компьютеров появилась возможность использовать в этой области нейронные сети НС. Крупный толчок развитию нейрокибернетики дал американский нейрофизиолог Френк Розенблатт предложивший в 1962 году свою модель нейронной сети персептрон. Хопфилд предложил оригинальную модель нейронной сети названную его именем.
77535. Проблемно-ориентированные языки. Языки представления знаний 97.5 KB
  Стремление к эффективной программной реализации моделей представления знаний привело к разработке большого числа языков представления знаний от простых, предназначенных для решения отдельных специальных задач, до мощных универсальных.
77536. ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 299 KB
  В животной клетке каждая молекула ДНК окружена оболочкой такое образование называется хромосомой. Основная часть хромосомы нить ДНК определяющая какие химические реакции будут происходить в данной клетке как она будет развиваться и как функции выполнять. В каждой соматической клетке человека содержится 46 хромосом. Эти 46 хромосом на самом деле 23 пары причем в каждой паре одна из хромосом получена от отца а вторая от матери.
77537. РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ И СИТУАЦИЙ 89 KB
  Суть задачи распознавания установить обладают ли изучаемые объекты фиксированным конечным набором признаков позволяющим отнести и ке определенному классу. Цели науки распознавания образов: замена человеческого эксперта или сложной экспертной системы более простой системой автоматизация деятельности человека или упрощение сложных систем; построение обучающихся систем которые умеют принимать решения без указания четких правил а именно систем которые умеют сами синтезировать правила принятия решений на основе некоторого конечного...
77538. МУЛЬТИ-АГЕНТНЫЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 96.5 KB
  Системы группового управления должны обеспечить возможность быстрой перестройки производства к изменению типа и объёма выпускаемой продукции в изменяющейся среде. Первоначально были разработаны принципы централизованного и децентрализованного группового управления сложными робототехническими системами. При децентрализованном управлении использовались распределённая группа микропроцессоров встроенных в локальные системы управления гибко программирующие поведение роботов и оборудования в соответствии с заданной в реальном времени...