66727

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Русский

2014-08-26

220 KB

2 чел.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Часто приходится находить корни уравнений вида , где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение  - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.

Решение уравнения вида  разбивается на два этапа:

  1.  отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
  2.  вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Первый этап более сложный, в этом случае может помочь построение приближенного графика функции с анализом на монотонность, смену знака, выпуклость и т.д.

Для вычисления выделенного корня существует множество методов, например:

  •  метод итераций;
  •  метод половинного деления;
  •  метод Ньютона.

x-2+sin(x)=0


Метод итераций

Уравнение  можно представить в виде: .

Например: x-2+sin(1/x)=0x=2-sin(1/x)

Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется:

Процесс вычисления значений xk называется итерационным процессом.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено:

, при этом всегда выполняется  , где ε задается погрешностью корня x*.

Если q ≤0.5 , то можно пользоваться соотношением .

В приведенном примере |φ΄(x)|= |(2-sin(1/x))΄|=cos(1/x)/x^2 < 0,47 на отрезке [1.2,2]


Метод половинного деления

Функция  непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.


Метод Ньютона

Функция , причем (x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x0 на отрезке [a,b] и последовательно вычисляются:

Если x0 выбрано таким образом, что (x0)*f˝(x0) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена.

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)|  на [a,b].

При этом выполняется  .

Если  , то верно


Вычисление определенных интегралов

Функция может быть задана таблично или аналитически.

Отрезок интегрирования разбивается на n равных частей длины

Точки разбиения: x0=a x1=x0+hxi=x0+ihxn=b.

Функция вычисляется в точках разбиения  yi=f(xi).

Метод трапеций (для аналитически заданной функции)

Тогда согласно методу трапеций

Например, вычислить интеграл

Площадь трапеции:


Метод прямоугольников

Например, вычислить интеграл

Площадь прямоугольника:

∆S1=y1* h

левые концы участков,  (1)

правые концы участков.   (2)

Погрешность формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам (1) и (2).

Метод Симпсона

Отрезок интегрирования разбивается на 2n равных частей длины h=(b-a)/2n.

или, если обозначить N=2n

Результаты вычисления интеграла , полученные разными методами:

Метод

Результат

MatLab

трапеций
Симпсона
Лобатто

0.88815714659999
0.88807223886900
0.88806573865982

MathCad

0.88806573863715

Трапеций

0.88815714659998

Прямоугольников

слева
справа
среднее

0.852123212814331
0.924191164970398
0.8881571888923645

Симпсона

0.888067817687988

 


Решение систем линейных уравнений

    (1)

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:

,

где

Метод Гаусса

Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.

Процесс исключения неизвестных:

Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.

По той же схеме исключается x2 , x3  и т.д.

Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.

Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.

Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:

  •  Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.
  •  Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.

Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.

Если на каком-то k–м шаге на главной диагонали окажется нулевой элемент , то среди элементов  (i=k+1,..n) следует найти ненулевой и перестановкой строк переместить его на главную диагональ, а затем продолжить вычисления.


'Задание исходных данных

For i = 1 To n
For j = 1 To n
 a1(i, j) = a(i, j) '
коэффициенты при неизвестных
Next
Next

For i = 1 To n
x(i) = b(i) '
свободные члены
Next

flag = False

'прямой ход - исключение i-го неизвестного

For i = 1 To n

'поиск главного элемента в i-м столбце

k = i

r = Abs(a1(i, i))

 If r = 0 Then 'определитель системы равен 0

  flag = True

  Exit For

  End If

 For j = i + 1 To n

 If Abs(a1(j, i)) > r Then

   k = j

   r = Abs(a1(j, i))

 End If

 Next j

If k <> i Then

 'перестановка i-го и k-го уравнения

  r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r

  For j = 1 To n

   r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r

  Next j

End If

' исключение i-го неизвестного

 r = a1(i, i)

x(i) = x(i) / r

 For j = i To n

  a1(i, j) = a1(i, j) / r

 Next j

 For k = i + 1 To n

  r = a1(k, i)

  x(k) = x(k) - r * x(i)

  For j = i To n

    a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j)

  Next j

 Next k

Next i

'обратный ход – определение неизвестных

If flag Then

 Picture3.Print "матрица вырождена"

Else

For i = n - 1 To 1 Step -1

  For j = i + 1 To n

    x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j)

  Next

Next

Метод Халецкого

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30716. Развитие социально-политического кризиса в Европе в начале 1920-х гг 22 KB
  : сильный рост промышленного правительства в США Франции в результате 1 мировой войны они обогатились. Основой промышленного подъема был технический прогресс новые технологии новые отрасли автомобили Увеличение концентрации и централизации капитала усиления мощи корпораций смена промышленности и банков – рост финансового капитала. Рост благотворительности для поддержания социальной стабильности.
30717. ФРГ: переход к новой «восточной политике». Договор с СССР от 12 августа 1970 г 27 KB
  Брандт – с 1969 канцлер ФРГ лидер социалдемократов. Подтверждалось что Западный Берлин не является частью территории ФРГ и устанавливался тройной механизм взаимоотношений между компетентными органами ГДР Западного Берлина и ФРГ по вопросам регулирования транзитных перемещений граждан транспортного телефонного и телеграфного сообщения и пр. Но Западный Берлин имел международные соглашения заключенные ФРГ поэтому ФРГ получила право представлять интересы жителей Западного Берлина в международных организациях по вопросам не...
30718. Причины, особенности и основные последствия мирового экономического кризиса 1929 – 1933 гг 23 KB
  Мировой экономический кризис 19291933 годов носивший название Великой депрессии наиболее сильно затронул такие страны как Великобритания США Франция Канада и Германия. Важным фактором обусловившим всемирный характер великой депрессии стал процесс перемещения экономического центра из Западной Европы в США. Последствиями Великой депрессии стали: ухудшение уровня жизни фермеров и мелких торговцев; уменьшение уровня производства; рост числа безработных; возрастание сторонников фашистских организаций.
30719. Исторический опыт Народных фронтов (Франция, Испания, Чили) 23.5 KB
  Народный фронт представляет собой политический союз который как правило объединяет левые и центральные силы для осуществления противодействия правым силам представителей власти. Основной целью возникновения народных фронтов стала борьба за защиту экономических интересов рабочего класса и противопоставление войне и фашизму. Самый первый народный фронт был образован во Франции в 1935 году который объединил в себе все левосторонние партии.
30720. Общее и особенное в политике британских консерваторов и лейбористов в 1920-е гг 23 KB
  Консервативная партия Великобритании – одна из двух ведущих политических партий страны образовавшаяся в 1867 году на базе партии тори. К 1930му году в Великобритании стала ясной гибель радикального социализма тогда на первый план выдвинулся либерализм который настаивал на прямом вмешательстве государства в экономику и передаче государству целого ряда социальных функций. Внутреннюю политику консерваторов Великобритании 1920 1930х годов можно охарактеризовать как стремление сохранить существующую ранее универсальность и...
30721. Основные этапы первой мировой войны. Факторы поражения германо-австрийского блока 27.5 KB
  В июле 1914 г Германия и Австровенгрия начинают первую мировую войну. Германия хотела сначала вывести из строя Францию чтобы прекратить борьбу на два фронта: Западном и Восточном. 1 этап – вторжение в Бельгию где Германия потерпела поражение: в Восточной Пруссии – Германия воевала с русскими армиями; в Галиции и Польше – где победы достались русским. Германия и АвстроВенгрия были экономически истощены под влиянием революций в России среди военных германии и Австрии усилилась антивоенная агитация народ устал от...
30722. «Новый курс» Результата и его историческое значение 24.5 KB
  Его основная цель состояла в оздоровлении экономики и восстановления доверия граждан к государству. Политика Рузвельта получила название Новый курс который он восстановил государственное регулирование экономики и социальных отношений. Законом об оздоровлении национальной экономики вся промышленность была разделена на 17 групп по отраслям и регулировалась нормативными актами кодексами чести определявшими объем выпуска товаров уровня заработной платы распределение рынков сбыта продолжительность рабочего времени и др....
30723. Эволюция и крах бюрократических режимов в стране ЦЮВЕ 26.5 KB
  было сформировано коалиционное правительство в ГДР. Чехословакия и ГДР несколько условно могут быть отнесены к государствам с довольно высоким уровнем развития Польша Венгрия Хорватия и Словения – страны среднего развития а Болгария Румыния четыре другие республики бывшей Югославии Сербия Черногория Македония Босния и Герцеговина Албания – низкого. По решению парламентов ГДР и ФРГ с 1 июля 1990 г. ГДР прекратила свое существование вместо нее появились пять новых федеральных земель ФРГ.
30724. Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. 25 KB
  Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. для обозначения направления во внешней политике США в основе которого лежит идея невмешательства в европейские дела и вообще в вооруженные конфликты вне американского континента. складывались под влиянием ряда факторов: географическая обособленность Американского континента создание в США ёмкого внутреннего рынка способствовавшего тому что значительная часть буржуазии мало интересовалась заокеанской экспансией расширение за счет др.