66871

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод половинного деления

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Анализ технического задания Для выполнения задания требуется: Найти область определения функции корень. Блок-схема алгоритма Блок-схема функции представлена на рисунке 2. Выполняемые функции реализует алгоритм нахождения корня уравнения.

Русский

2014-08-29

499 KB

9 чел.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» в г. Смоленске

Кафедра информатики

Расчетное задание

По курсу «Информатика и программирование»

1 семестр

Студент:

Корнеева М.И.

Группа:

ПИЭ-10

Преподаватель:

Нестеров А.П.

Вариант:

12

Смоленск, 2010


Задание 1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

  1.  Теоретическое введение

В практических вычислениях часто приходиться решать уравнения вида:

F(x) =0,                                                                                                                                (1)

где F(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a<x<b.

Если функция представляет собой многочлен, то уравнение (1) называется алгебраическим, если же в функцию входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение называют трансцендентным.

Всякое значение x, обращающее функцию F(x) в нуль, называется корнем уравнения (1), а способ нахождения этого значения x и есть решение уравнения.

Найти корни уравнения вида (1) точно удается лишь в частных случаях. Поэтому разработаны методы численного решения уравнения вида (1), которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения.

Для заданного уравнения применяется метод половинного деления.

Метод половинного деления.

Для нахождения корня (1), принадлежащего отрезку [a;b], делим отрезок пополам, т.е. выбираем начальное приближение равным x0=(a+b)/2. Если F(x0)=0, то x0 является корнем уравнения. Если F(x0)<>0, то выбираем тот отрезок [a;x0] или [x0;b], на концах которого функция F(x) имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т.д.

Процесс деления отрезков пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше наперед заданного числа eps.

  1.  Техническое задание

Найти корень уравнения y = sin(ln(x))- cos(ln(x)) + 2ln(x), расположенный на найденном отрезке, с абсолютной погрешностью eps методом половинного деления.

  1.  Анализ технического задания

Для выполнения задания требуется:

  •  Найти область определения функции, корень.
  •  Определить способ задания входных  параметров – ввод с экрана.

Решение задачи требует выполнить метод половинного деления, описанного в теоретическом введении.

  1.  Блок-схема

Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 1.

   

           Рисунок 1. Блок-схема алгоритма

Блок-схема функции  представлена на рисунке 2.

Рисунок 2. Блок-схема алгоритма

  1.  Модульная структура программы

Модульная структура программы изображена на рисунке 3.

Рисунок 3. Модульная структура программы

  1.  Спецификация на программные модули

Модуль 1.

  1.  Имя модуля TForm1.Button1Click(Sender: TObject).
  2.  Имя вызывающего модуля Unit1.
  3.  Выполняемые функции – реализует алгоритм нахождения корня уравнения.
  4.  Входные данные – a, b, eps.
  5.  Выходные данные – x.
  6.  Особенности, ограничения – координата начала отрезка должна быть больше нуля.

Модуль 2.

  1.  Имя модуля F.
  2.  Имя вызывающего модуля – TForm1.Button1Click(Sender: TObject).
  3.  Выполняемые функции – вычисление значения функции.
  4.  Входные данные – x.
  5.  Выходные данные – F.
  6.  Особенности, ограничения – значение входного параметра x должно быть больше нуля.

Модуль 3.

  1.  Имя модуля Unit1
  2.  Имя вызывающего модулянет.
  3.  Выполняемые функции – обеспечивает работу всех модулей.
  4.  Входные данные – нет.
  5.  Выходные данные – нет.
  6.  Особенности, ограничения нет.
  7.  Текст программы

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var a, b, x0, x, Eps:Real;

function F(x:Real):real;

begin

 F:=sin(ln(x))-cos(ln(x))+2*ln(x);

end;

begin

 a:=StrToFloat(edit1.Text);      {начало отрезка}

 b:=StrToFloat(edit2.Text);      {конец отрезка}

 eps:=StrToFloat(edit3.Text);    {абсолютная погрешность}

if (F(a)*F(b)>=0) then

edit4.Text:='на заданном отрезке корней нет'

else

begin

if F(a)=0 then x:=a

else

begin

 if F(b)=0 then x:=b

 else

 begin

   x0:=(a+b)/2;

   while (f(x0)<>0) and (Abs(b-x0)>=eps) do

   begin

     if (F(a)*F(x0)<0) then b:=x0

     else a:=x0;

     x0:=(b+a)/2;

   end;

   x:=x0

 end;

end;

edit4.Text:=FloatToStr(x);

end;

end;

end.

  1.  Результаты тестирования

С использование программы MathCad был найден корень заданной функции. Изображение экрана с результатом представлено на рисунке 4.

Рисунок 4. Изображение экрана с результатом.

Разработанная программа была протестирована в двух режимах: корректные значения, не корректные значения. Граничные значения отсутствуют. Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты тестирования.

Режим тестирования

a

b

eps

Результат

Корректные значения

1

0,2

1,2

4

6

4

0,001

0,00004

0,01

1,374267578125

1,37487258911133

1,36953125

Не корректные значения

s

4

0,001

Ошибка – неверный формат

Вывод: программа работает верно.

  1.  Заключение

В ходе проделанной работы был освоен способ нахождения корня уравнения методом половинного деления.


Задание 2. Вычисление конечных сумм.

  1.  Теоретическое введение

Обычно формула общего члена суммы принадлежит у одному из следующих трех типов:

  1.  .     xn/n!            (-1)n* x2n-1/(2n+1)!      x2n/(2n)!
  2.        cos(nx)/n     sin((2n-1)x)/2n-1         cos(2nx)/4n2-1
  3.       X4n-1/4n+1   (-1)n*cos(nx)/n2              n2+1(x/2)n/n!

В случаи b) необходимо каждый член суммы вычислять по общей формуле.

Алгоритм решения задач суммирования при значениях параметра суммирования, изменяющегося в некотором диапазоне с заданным шагом, сводится к двум вложенным циклам. Внутренний цикл суммирует слагаемые при фиксированном параметре x, а внешний организует изменение параметра x. Вычисляемая сумма является частичной суммой некоторого функционального ряда, поэтому наряду с вычислением суммы необходимо вычислить для сравнения и значения соответствующей функции y=F(x).

  1.  Техническое задание

Составить программу для вычисления суммы ряда с заданной точностью eps и значения функции на заданном диапазоне изменения аргумента (количество расчетных точек – не менее 10).

Сумма: S=(x*cos(pi)/3))/1+(x^2*cos(2*pi)/3))/2+…+(x^n*cos(n*pi)/3))/n

Диапазон изменения аргумента:0,1<=x<=0,8

Функция y:= -1/2*ln(1-2*x*cos((pi)/3)+x^2)

  1.  Анализ технического задания

Для нахождения суммы ряда, значения функции на заданном диапазоне необходимо:

  •   Рассчитать точки
  •  Найти значения функции в полученных точках
  •  Определить способ задания входных  параметров – ввод с экрана.
  •  Найти суммы рядов в полученных точках и сопоставить со значениями функции в соответствующих значениях.

  1.  Блок-схема

Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 5.

           Рисунок 5. Блок-схема алгоритма

Блок-схема функции  представлена на рисунке 6.

Рисунок 6. Блок-схема алгоритма

  1.  Модульная структура программы

Модульная структура программы изображена на рисунке 7.

Рисунок 7. Модульная структура программы

  1.  Спецификация на программные модули

Модуль 1.

  1.  Имя модуля TForm1.Button1Click(Sender: TObject).
  2.  Имя вызывающего модуля Unit1.
  3.  Выполняемые функции – реализует алгоритм нахождения конечных сумм.
  4.  Входные данные – eps.
  5.  Выходные данные – y,s,x.
  6.  Особенности, ограничения – нет.

Модуль 2.

  1.  Имя модуля y.
  2.  Имя вызывающего модуля – TForm1.Button1Click(Sender: TObject).
  3.  Выполняемые функции – вычисление значения функции.
  4.  Входные данные – x.
  5.  Выходные данные – y.
  6.  Особенности, ограничения – нет.

Модуль 3.

  1.  Имя модуля Unit1
  2.  Имя вызывающего модулянет.
  3.  Выполняемые функции – обеспечивает работу всех модулей.
  4.  Входные данные – нет.
  5.  Выходные данные – нет.
  6.  Особенности, ограничения нет.

Модуль 4.

  1.  Имя модуля TForm1.FormCreate(Sender: TObject).
  2.  Имя вызывающего модуля – Unit1.
  3.  Выполняемые функции – обеспечивает очистку полей Memo.
  4.  Входные данные – нет.
  5.  Выходные данные – нет.
  6.  Особенности, ограничения нет.

  1.  Текст программы

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var n:integer;

var s,x,eps :real;

function y(x:real):real;

begin

 y:=-1/2*ln(1-2*x*cos((pi)/3)+sqr(x));

end;

begin

    memo1.Clear;

    memo2.Clear;

    memo3.clear;

 eps:=strtofloat(edit1.Text);     {абсолютная погрешность}

 x:=0.1;

 while x<=0.8 do

 begin

   n:=1;

   s:=(exp(n*ln(x))*cos(pi*n/3))/n;

   while (abs(y(x)-s))>=eps do

   begin

     n:=n+1;

     s:=s+(exp(n*ln(x))*cos(pi*n/3))/n;

   end;

   memo1.Lines.Add(floattostr(x));

   memo2.Lines.Add(floattostr(s));

   memo3.Lines.Add(floattostr(y(x)));

   x:=x+0.07;

 end;

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

memo1.Clear;

memo2.Clear;

memo3.clear;

end;

end.

  1.  Результаты тестирования

С использование программы MathCad были найдены значения функции в заданных точках(0,1;0,17;0,24;0,31;0,38;0,45;0,52;0,59;0,66;0,73;0,8). Изображение экрана с результатом представлено на рисунке 8.

Рисунок 8. Изображение экрана с результатом.

Разработанная программа была протестирована в двух режимах: корректные значения, не корректные значения. Граничные значения отсутствуют. Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты тестирования.

Режим тестирования

eps

Результат

Корректные значения

0,0001

0,1

См. рисунок 9,10.

Не корректные значения

s

Ошибка – неверный формат

\

Рисунок 9. Изображение экрана с результатом тестирования.

Рисунок 10. Изображение экрана с результатом тестирования.

Вывод: программа работает верно. При уменьшении значения eps сумма ряда сходится к значению функции.

  1.  Заключение

В ходе проделанной работы был освоен метод нахождения суммы ряда с заданной погрешностью.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54722. Темперамент 85.5 KB
  Павлов Темперамент По Гиппократу Краткая характеристика Свойства Нервной системы По Павлову Выдающиеся Личности ФЛЕГМАТИК Работоспособный Малоэмоциональный Серьезный Надежный Спокойный Сильный Уравновешенный Малоподвижный Кутузов Крылов Ньютон САНГВИНИК Активный Энергичный Жизнерадостный Легкомысленный Беззаботный Сильный Уравновешенный Подвижный Наполеон ХОЛЕРИК Очень энергичный Вспыльчивый Эмоциональный Напористый Чувствительный Сильный Неуравновешенный Подвижный Петр Первый Пушкин Суворов МЕЛАНХОЛИК...
54723. Сведения о заявках бронирования. Аннуляция бронирования 143 KB
  Образовательная: Знать правила предоставления гостиничных услуг в Российской Федерации; -организацию службы бронирования; -виды и способы бронирования; -виды заявок по бронированию и действия по ним; -последовательность и технологию резервирования мест в гостинице; -состав, функции и возможности использования информационных и телекоммуникационных технологий для приема заказов; -правила заполнения бланков бронирования для индивидуалов, компаний, турагентств и операторов;...
54724. Здоровье сберегающие технологии по укреплению опорно-двигательного аппарата (осанка, плоскостопия) 116 KB
  На носках руки вверх на носках руки в стороны. на пятках руки за голову. перекат с пятки на носок руки на пояс. перекат с носка на пятку руки на пояс.
54725. Is it easy to be young? 67.5 KB
  The United Nations Organization is an international organization to which nearly all the countries in the world belong. Its head offices are in New York . The UN tries to make sure there is peace in world and that all countries work together to deal with international problems. The UN Convention on the Rights of the Child sets out in a number of statements called articles, the rights which all children and young people up to the age of 18 should have.
54726. Розрахунок і видача кредиту на прикладі підприємства ТОВ «Іва» 893 KB
  Позики, виконуючи функції кредиту, мають різні форми і допомагають більш гнучко використовувати отримані кошти. Підприємство може отримати позику в найбільш зручній для себе формі - безпосередньо позику
54727. Система смазки 264 KB
  Новая тема - Система смазки дизелей. 1 Назначение системы и виды систем смазки дизелей – под запись -10 мин. 2 Устройство (состав) системы смазки дизелей – на экране система смазки двигателя К-661 и анимация ее работы – 5 мин. 3 1-я подгруппа идет смотреть системы смазки дизелей в лаб. №008 – 7 мин. 2-я подгруппа выписывает из учебника стр.153 состав и назначение элементов комбинированной системы смазки. - 7 мин 4 Подгруппы меняются местами.
54728. Формы музыки. Рондо 43.5 KB
  Цель урока: развитие и закрепление темы Формы музыки; знакомство с новой формой рондо; разучивание песни Новый год Задачи: развивать восприятие память внимание учащихся а также исполнительские творческие навыки; пробуждать художественно-образное мышление любовь к музыке; активизировать самостоятельную познавательную деятельность.
54729. СЕРДЕЧНО - СОСУДИСТЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ - КЛИНИКА И ПРОГНОЗ 101 KB
  Толстого: Все мысли о смерти нужны для жизни а тема урока заболевания сердечнососудистой системы оказание первой помощи. На уроке мы рассмотрим с вами следующие вопросы: Причины сердечнососудистых заболеваний. Профилактика сердечнососудистых заболеваний. Часто причиной смерти являются болезни сердечнососудистой системы.
54730. Обработка накладного кармана 463.5 KB
  Задачи урока: познакомить с историческими сведениями о кармане, его роли в современной одежде, тренировать глазомер, приобщать к работе в коллективе, учить аккуратному выполнению швов. Тип урока: урок усвоения нового материала. Формы работы: фронтальная. групповая.