67260

ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Количество случайных чисел используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ. Количество случайных чисел колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от...

Русский

2014-09-06

127 KB

3 чел.

Лекция № 10

ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ

При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ. Количество случайных чисел  колеблется в достаточно широких пределах  в зависимости от:

1 класса объекта моделирования;

2.вида оцениваемых характеристик;

3необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел.

На практике используются три основных способа генерации случайных чисел:

  •  аппаратный (физический);
  •  табличный (файловый);
  •  алгоритмический (программный).

Аппаратный способ. Генерация случайных чисел вырабатываются специальной электронной приставкой — генератором (датчиком) случайных чисел,— служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В основе лежит физический эффект, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д.

Достоинства:

Запас чисел не ограничен;

Расходуется   мало   операций;

He занимается место в памяти .

Недостатки:

Требуется периодическая проверка;

Нельзя воспроизводить последовательности;

Используется специальное устройство;

Необходимы меры по обеспечению стабильности.                                                                    

Табличный способ. Случайные числа, представленные в виде таблицы, помещаются в память ЭВМ. Этот способ получения случайных чисел  обычно используют при сравнительно небольшом объеме таблицы и файла чисел.

Достоинства:

Требуется  однократная проверка;

Можно   воспроизводить   последовательности.                        

Недостатки:

Запас чисел ограничен;                              

Много места в ОЗУ;

Необходимо время для обращения к памяти.

Алгоритмический способ. Способ получения последовательности случайных чисел основанный на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникновения потребностей при моделировании системы на ЭВМ.

Достоинства:

Требуется однократная проверка;

Многократная воспроизводимость последовательности чисел;

Мало места в памяти и нет внешних устройств.

Недостатки:

Запас чисел ограничен периодом последовательности;

Затраты машинного времени.

Программная имитация случайных воздействий сводится к генерированию некоторых стандартных процессов и  их последующего функционального преобразования. В качестве базового может быть принят любой удобный для моделирования конкретной системы S процесс (например, пуассоновский поток при моделировании Q-схемы). При дискретном моделирований базовым процессом является последовательность чисел , которые представляют реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных величин . В статистических терминах -  повторная выборка из равномерно распределенной на интервале (0, 1) генеральной совокупности значений величины .

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение в интервале (а, Ь), если ее функции плотности (а) и функция распределения (б) примет вид (Рис. 1):

Рис.1

Числовые характеристики случайной величины , принимающей значения х— это математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно:

При моделировании систем на с случайными числами интервала (0, 1), где границы интервала соответственно а=0 и б = 1. Частным случаем равномерного распределения является функция плотности и функция распределения, соответственно имеющие вид:

Такое распределение имеет математическое ожидание М [] = 1/2

и дисперсию D[] = 1/12.

Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с п-разрядными числами. Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала  (0,   1)  используют дискретную последовательность 2" случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным  распределением.

Случайная величина , имеющая квазиравномерное распределение в интервале (0, 1), принимает значения  с вероятностями , .

Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной случайной величины соответственно имеют вид


На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать  только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной величины используются формулы (алгоритмы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными.

Требования к генератору случайных чисел.

Требованиями, к идеальному генератору случайных чисел формулируются следующим образом. Полученные с помощью идеального генератора псевдослучайные последовательности чисел должны:

  •  состоять из квазиравномерно распределенных чисел;
  •  содержать статистически независимые числа;
  •  быть воспроизводимыми;
  •  иметь неповторяющиеся числа;
  •  получаться с минимальными затратами машинного времени;
  •  занимать минимальный объем машинной памяти.

В практике моделирования применяются генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида (1)

                                                      (1)

Данные алгоритмы представляют рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число х0 и постоянные параметры  уже заданы.

Метод серединных квадратов

Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1:

 1.Возведем его в квадрат:

2. Отберем средние 2n разрядов  которые будут являться очередным числом псевдослучайной последовательности.

Пример, если начальное число х0=0,2152, то (х0)2=0,04631104,

т. е. Xj=0,6311, затем (х1)2=0,39828721, т. е. х2=0,8287, и т. д.

Недостаток метода:

Наличие корреляции между числами последовательности, в некоторых случаях может отсутствовать.

Конгруэнтные процедуры генерации.

Конгруэнтные процедуры представляют собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности.

Два целых числа и конгруэнтны или сравнимы по модулю m,  m — целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что  т. е. разность  делится на m и  числа и  дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа m.

Например,

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, так как описываются в виде рекуррентного соотношения (1), и имеют вид.

где   — неотрицательные целые числа.

Раскроем рекуррентное соотношение (2):


Если заданы начальные числа (3) последовательность целых чисел {Xi}, составленную из остатков от деления на М членов

последовательности

 

Таким образом, для любого i>=1 справедливо неравенство Xt<M, получится последовательность рациональных чисел из единичного интервала (0,1)  

Мультипликативный метод.

Задается последовательность неотрицательных целых чисел {Xt}, не превосходящих М, рассчитанных по формуле

т. е. это частный случай соотношения (2) при =0.

В силу детерминированности метода получаются воспроизводимые последовательности..

В машинной реализации наиболее удобна версия M=pg, где р — число цифр в системе счисления в ЭВМ; g -— число битов в машинном слове. Тогда вычисление остатка от деления на М сводится к выделению g младших разрядов делимого. Преобразование целого числа Xt в рациональную дробь из интервала  осуществляется подстановкой слева от Xi двоичной или десятичной запятой.

Алгоритм построения последовательности для двоичной машины M=pg сводится к выполнению таких операций:

1. Выбрать в качестве X0 произвольное нечетное число.

2. Вычислить коэффициент  где t — любое целое положительное число.

3. Найти произведение , содержащее не более 2g значащих
разрядов.

4. Взять g младших разрядов в качестве первого члена последовательности X1 а остальные отбросить.

5. Определить дробь  из интервала (0, 1).

6. Присвоить .

7. Вернуться к п. 3.

Смешанный метод.

Позволяет вычислить последовательность неотрицательных целых чисел {Xi}, не превосходящих М, по формуле

Отличием от мультипликативного метода является .

С вычислительной точки зрения смешанный метод генерации сложнее мультипликативного на одну операцию сложения. При этом возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел.