67275

Моделирование случайных воздействий

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

В моделировании систем методами имитационного моделирования, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.

Русский

2014-09-06

302 KB

3 чел.

Лекция № 11

Моделирование случайных воздействий

В моделировании систем методами имитационного моделирования,  существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.  Формирование реализации случайных объектов любой природы  сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел.

В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевым факторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.

 Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирования систем.

Моделирование случайных событий.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события..

1. Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как сосотоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины удовлетворяет неравенству

                                                               (1)

Тогда вероятность наступления события А будет  Противоположное событие состоит в том, что xi >p. Тогда Р() = 1—р.

Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.

2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству

|

Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями l. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р

Пусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события  с вероятностями

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку условия (2);

2) определение одного из исходов  по жребию
с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но   сравнений   может   потребоваться   больше.   

Пусть события А и В являются
зависимыми. События наступают с вероятностями
pA и pB.  
Р(В/А) - условная вероятность наступления события В при
что событие
А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел { xi } извлекается число хт, удовлетворяющее хтл. Если этой неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности  чисел {х,} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А.

Если условие хтА не выполняется, то наступило событие А.  Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность

Выберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания А В или А В.

Схема моделирующего алгоритма для зависимых событий  

Алгоритм включает следующие процедуры:

ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;

ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;

ХМ=хт;

XMIm+1;

PA=pA РВ=рB;

РВА = Р(В/А);

PBNA = P(B/A);

КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — число событий ;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование Марковских цепей

Пусть простая однородная марковская цепь определяется матрицей переходов

где pij — вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.

Матрица переходов Р полностью описывает марковский процесс.  Так как сумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица является стохастической, т. е.

Пусть pi(n),  - вероятность, что система будет находиться в состоянии zi после п переходов. По определению .


Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. pij — это условная вероятность наступления события aj в данном испытании при условии, что исходом предыдущего испытания было событие ai.

Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборе событий aj по жребию с вероятностями рij. Последовательность действий следующая:

  1.  выбирается начальное состояние z0, задаваемое начальными вероятностями . Из последовательности чисел i} выбирается число хт и сравнивается с (2).  рi  - это  значения . Выбирается номер т0, удовлетворяющий неравенству (2). Начальным событием данной реализации цепи будет событие Аmo.
  2.  выбирается следующее случайное число xm+1, которое сравнивается с l. В качестве pi используются pmoj . Определяется номер m1. Следующим событием данной реализации цепи будет событие Am1 и т. д.

Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но и распределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номера mi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера испытаний.

Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, для которого предельное распределение вероятностей pi(n), , не зависит от начальных условий pi(0). Поэтому можно принимать, что

Моделирование дискретных случайных величин. 

Дискретная случайная величина принимает значения  с вероятностями p1,p2,…,pj составляющими дифференциальное распределение вероятностей

(3)

(4)

Интегральная функция распределения

Для получения дискретных случайных величин используется метод обратной функции. Если  случайная величина, распределенная на интервале (0,1), то случайная величина получается с помощью преобразования           (5)   

где  — функция, обратная Fn.

Алгоритм вычисления (3) и (4) сводится к выполнению следующих действий:

  При счете по (6) среднее число циклов сравнения .

Моделирование непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения

где  — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция  преобразует случайную величину , равномерно распределена на интервале (0,1) в случайную величину с требуемой функцией плотности . Чтобы получить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотности , необходимо разрешить относительно yi уравнение  (3)

Пример 1. Получить случайные числа с показательным законом

распределения:

В силу соотношения (3) получим


где xi — случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1). Тогда

- случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому  можно записать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55038. Портфоліо як одна з форм оцінювання індивідуальних досягнень учнів початкових класів 214.5 KB
  Відсутність оцінок протягом першого і другого років навчання в початковій школі в жодному разі не повинно розумітися як повна відмова від системи контролю і оцінки з боку вчителя. Навпаки, оцінка замінюється розгорнутою системою взаємин, співпрацею дитини і дорослого у контрольно-оціночної діяльності, яка будується на змістовно-оціночної основі.
55039. ПОРТРЕТ УЧИТЕЛЯ В РІЗНИХ РАКУРСАХ 73 KB
  Тому для одних Учитель це жива конкретна людина симпатична чи не дуже, як поталанило, а для інших - це певна міфологема одиниця легенди, яка необхідна часом людині для самозбагачення, самовиправдання, самоствердження чи просто для того, щоб память про чарівну частину життя дитинство та молодість...
55040. До 70-річчя Перемоги 144 KB
  Масовий подвиг народу, воїнів Армії і Флоту у двобої з фашистськими загарбниками, все героїчне минуле Батьківщини – вдячна і корисна нива для виховання підростаючого покоління. В наші дні героїко-патріотичне виховання набуває особливого звучання нині, в період відзначення річниць видатних перемог у Великій Вітчизняній війні і підготовки до 70-річчя Великої Перемоги.
55041. ПЕДАГОГІЧНІ ІННОВАЦІЇ ЯК РЕЗУЛЬТАТ ТВОРЧОГО ПОШУКУ ПЕДАГОГА 7.77 MB
  З огляду на важливість і актуальність поставлених перед освітою завдань, ми часто використовуємо інноваційні технології навчання, що дозволяють істотно активізувати розумову та пізнавальну діяльність студентів, підвищити інтерес до дисципліни.
55042. Пошук інформації в Internet. Пошукові системи 614.5 KB
  Мета: ознайомити із засобами пошуку інформації в Інтернеті принципами функціонування вебкаталогів та пошукових систем; навчити стратегії пошуку інформації; виховувати інформаційну культуру учнів уважність дисциплінованість прищеплювати навички групової роботи співробітництва.
55043. Объекты, цели, методы государственного регулирования экономики 19.59 KB
  Продажа государственной собственности частным физическим и юридическим лицам позволяет: уменьшить дефицит бюджета, пополнить его доходами и увеличить средства, направляемые в другие сектора экономики; расширить сферу действия рыночного механизма и развить конкурентную среду; привлечь частный капитал в совместный с государством бизнес
55044. Використання інформаційно-комунікаційних технологій на уроках української мови та літератури 242.5 KB
  Компютерна презентація на уроках української мови та літератури. Це уможливлює: удосконалення методології і стратегії добору змісту методів і організаційних форм навчання що відповідають задачам розвитку особистості того кого навчають у сучасних умовах інформатизації суспільства; створення методичних систем навчання орієнтованих на розвиток інтелектуального потенціалу того кого навчають на формування умінь самостійно здобувати знання здійснювати інформаційнонавчальну...
55045. Навчальний посібник для самостійної роботи та самоконтролю 2.9 MB
  Те саме стосується й швидкості світла бо вимога щодо знання одиниць швидкості також висувається лише у 8-му класі. Саме такими є промені що їх викидає точкове джерело світла. Непідкріпленою тож необґрунтовано завищеною виглядає також вимога щодо опанування учнями поняттям сила світла та їхньої здатності розв'язувати задачі із застосуванням цієї фізичної величини с.
55046. Математика в біології 2.95 MB
  На допомогу тим хто розвязує задачі з біології Кожна біологічна задача складається із сукупності даних умови задачі й запитань що вказує її вимогу. Якщо це задача з генетики використовуй генетичні символи; якщо вона стосується обміну речовин складіть ланцюг живлення...