67275

Моделирование случайных воздействий

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

В моделировании систем методами имитационного моделирования, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.

Русский

2014-09-06

302 KB

3 чел.

Лекция № 11

Моделирование случайных воздействий

В моделировании систем методами имитационного моделирования,  существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.  Формирование реализации случайных объектов любой природы  сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел.

В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевым факторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.

 Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирования систем.

Моделирование случайных событий.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события..

1. Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как сосотоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины удовлетворяет неравенству

                                                               (1)

Тогда вероятность наступления события А будет  Противоположное событие состоит в том, что xi >p. Тогда Р() = 1—р.

Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.

2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству

|

Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями l. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р

Пусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события  с вероятностями

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку условия (2);

2) определение одного из исходов  по жребию
с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но   сравнений   может   потребоваться   больше.   

Пусть события А и В являются
зависимыми. События наступают с вероятностями
pA и pB.  
Р(В/А) - условная вероятность наступления события В при
что событие
А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел { xi } извлекается число хт, удовлетворяющее хтл. Если этой неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности  чисел {х,} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А.

Если условие хтА не выполняется, то наступило событие А.  Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность

Выберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания А В или А В.

Схема моделирующего алгоритма для зависимых событий  

Алгоритм включает следующие процедуры:

ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;

ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;

ХМ=хт;

XMIm+1;

PA=pA РВ=рB;

РВА = Р(В/А);

PBNA = P(B/A);

КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — число событий ;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование Марковских цепей

Пусть простая однородная марковская цепь определяется матрицей переходов

где pij — вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.

Матрица переходов Р полностью описывает марковский процесс.  Так как сумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица является стохастической, т. е.

Пусть pi(n),  - вероятность, что система будет находиться в состоянии zi после п переходов. По определению .


Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. pij — это условная вероятность наступления события aj в данном испытании при условии, что исходом предыдущего испытания было событие ai.

Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборе событий aj по жребию с вероятностями рij. Последовательность действий следующая:

  1.  выбирается начальное состояние z0, задаваемое начальными вероятностями . Из последовательности чисел i} выбирается число хт и сравнивается с (2).  рi  - это  значения . Выбирается номер т0, удовлетворяющий неравенству (2). Начальным событием данной реализации цепи будет событие Аmo.
  2.  выбирается следующее случайное число xm+1, которое сравнивается с l. В качестве pi используются pmoj . Определяется номер m1. Следующим событием данной реализации цепи будет событие Am1 и т. д.

Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но и распределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номера mi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера испытаний.

Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, для которого предельное распределение вероятностей pi(n), , не зависит от начальных условий pi(0). Поэтому можно принимать, что

Моделирование дискретных случайных величин. 

Дискретная случайная величина принимает значения  с вероятностями p1,p2,…,pj составляющими дифференциальное распределение вероятностей

(3)

(4)

Интегральная функция распределения

Для получения дискретных случайных величин используется метод обратной функции. Если  случайная величина, распределенная на интервале (0,1), то случайная величина получается с помощью преобразования           (5)   

где  — функция, обратная Fn.

Алгоритм вычисления (3) и (4) сводится к выполнению следующих действий:

  При счете по (6) среднее число циклов сравнения .

Моделирование непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения

где  — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция  преобразует случайную величину , равномерно распределена на интервале (0,1) в случайную величину с требуемой функцией плотности . Чтобы получить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотности , необходимо разрешить относительно yi уравнение  (3)

Пример 1. Получить случайные числа с показательным законом

распределения:

В силу соотношения (3) получим


где xi — случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1). Тогда

- случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому  можно записать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53415. Проектирование ПС напряжением 35/10 кВ и электрической сети 10 кВ 8.14 MB
  Электрические нагрузки подстанции определяют для выбора силовых трансформаторов, электрических аппаратов и токоведущих частей, релейной защиты и компенсирующих устройств, а также для расчета потерь электроэнергии в трансформаторах.
53416. Інклюзивне навчання: рівні можливості для кожного 50 KB
  Тренінг для педагогічних працівників Мета: познайомити вчителів з особливостями інклюзивного навчання в сиситемі освіти; сформувати толерантне ставлення до впровадження інклюзивного навчання у закладах освіти. Чи знаєте ви що таке інклюзивне навчанняа так; б ні. Як ви вважаєте чи готова школа створити умови для впровадження інклюзивного навчання а так; б ні; в частково.
53417. Інноваційні технології навчання на уроках інформатики 61 KB
  Інноваційні технології навчання на уроках інформатики. Ця технологія навчання передбачає організацію навчального процесу за якої навчання здійснюється в процесі спілкування між учнями взаємонавчання у групах. Технологію індивідуалізації процесу навчання. Це організація навчального процесу при якій вибір педагогічних засобів та темпу навчання враховує індивідуальні особливості учнів рівень розвитку їх здібностей та сформованого досвіду.
53418. Інноваційні технологій навчання у розвитку творчих здібностей учнів в класі спеціального фортепіано школи мистецтв 158 KB
  Апробовано спосіб інтеграції деяких сучасних технологій навчання у розвитку творчої особистості учня на уроках фортепіано Опис та презентація досвіду роботи Викладача вищої категорії з фортепіано дитячої школи мистецтв при НУКіМ ім. Тема досвіду: Інноваційні технологій навчання у розвитку творчих здібностей учнів в класі спеціального фортепіано школи мистецтв Базова модель досвіду Актуальність і перспективність досвіду: Забезпечує умови для розвитку творчої особистості дитини; Сприяє виконанню завдань Національної доктрини...
53419. Використання інтерактивних технологій у навчанні іноземних мов 68.5 KB
  Для забезпечення швидкого та ефективного включення учнів в інтерактивну діяльність пропоную їм памятки які містять опис алгоритму діяльності послідовний перелік дій які вони мають здійснювати у тій чи іншій навчальній ситуації Тема: Великобританія Ажурна пилка Домашні групи: Gret Britin Wles Scotlnd Northern Irelnd red green blueyellow pink...
53420. Інструктаж з безпеки життєдіяльності під час проведення лабораторногопрактикуму з фізики 54.5 KB
  Цю розробку можна також використовувати під час проведення вхідного інструктажу на початку навчального року. Інструктаж з безпеки життєдіяльності під час проведення лабораторногопрактикуму з фізики. Мета: Повторити основні правила техніки безпеки під час проведення лабораторних робіт та правила поведінки в надзвичайних ситуаціях.
53421. Современный урок с позиции интерактивного обучения 88.5 KB
  Во время интерактивного обучения учащиеся учатся быть демократичными общаться с другими критически мыслить принимать продуманные решения. Обсуждение вопросов будет проходить путём коллективного обдумывания мозгового штурма которые проводится так: 1 условие задания записывается на доске чтобы видно было всем; 2 все участники штурма имеют право высказать свои идеи для решения задания; 3 когда участники группы выясняют что идей достаточно их предложение останавливается; 4 поданные идеи анализируются обговариваются в группах;...
53422. Важливість упровадження в навчальний процес інтерактивних технологій як одного із засобів особистісно-зорієнтованого навчання 43 KB
  Сучасна школа стоїть перед прикрим фактом: в умовах традиційних форм та методів навчання школярі пасивно отримуючи інформацію не вміють здобувати її самостійно і застосовувати те що знають. Особистіснозорієнтоване навчання у цьому плані є досить перспективним оскільки воно виходить із самоцінності особистості її духовності та суверенності. Визначальним для особистіснозорієнтованого навчання має бути соціокультурний діалог у системі âпедагог дитинаâ на основі її розуміння прийняття і визнання.
53423. Зимова подорож до святого Миколая. Виготовлення листівки бажань 41.5 KB
  Зимова подорож до святого Миколая. Мета: розширити знання учнів про святого Миколая; вчити учнів правильно виразно читати поетичні твори; збагачувати словниковий запас учнів; виготовити листівку бажань; сприяти вихованню міцної внутрішньої опори людини що знаходить свій прояв у доброті чуйності лагідності. Сьогодні на уроці ми завітаємо у гості до святого Миколая. Я знаю що день святого Миколая улюблене свято українських дітей.