67275

Моделирование случайных воздействий

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

В моделировании систем методами имитационного моделирования, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.

Русский

2014-09-06

302 KB

1 чел.

Лекция № 11

Моделирование случайных воздействий

В моделировании систем методами имитационного моделирования,  существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.  Формирование реализации случайных объектов любой природы  сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел.

В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевым факторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.

 Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирования систем.

Моделирование случайных событий.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события..

1. Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как сосотоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины удовлетворяет неравенству

                                                               (1)

Тогда вероятность наступления события А будет  Противоположное событие состоит в том, что xi >p. Тогда Р() = 1—р.

Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.

2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству

|

Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями l. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р

Пусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события  с вероятностями

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку условия (2);

2) определение одного из исходов  по жребию
с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но   сравнений   может   потребоваться   больше.   

Пусть события А и В являются
зависимыми. События наступают с вероятностями
pA и pB.  
Р(В/А) - условная вероятность наступления события В при
что событие
А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел { xi } извлекается число хт, удовлетворяющее хтл. Если этой неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности  чисел {х,} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А.

Если условие хтА не выполняется, то наступило событие А.  Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность

Выберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания А В или А В.

Схема моделирующего алгоритма для зависимых событий  

Алгоритм включает следующие процедуры:

ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;

ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;

ХМ=хт;

XMIm+1;

PA=pA РВ=рB;

РВА = Р(В/А);

PBNA = P(B/A);

КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — число событий ;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование Марковских цепей

Пусть простая однородная марковская цепь определяется матрицей переходов

где pij — вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.

Матрица переходов Р полностью описывает марковский процесс.  Так как сумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица является стохастической, т. е.

Пусть pi(n),  - вероятность, что система будет находиться в состоянии zi после п переходов. По определению .


Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. pij — это условная вероятность наступления события aj в данном испытании при условии, что исходом предыдущего испытания было событие ai.

Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборе событий aj по жребию с вероятностями рij. Последовательность действий следующая:

  1.  выбирается начальное состояние z0, задаваемое начальными вероятностями . Из последовательности чисел i} выбирается число хт и сравнивается с (2).  рi  - это  значения . Выбирается номер т0, удовлетворяющий неравенству (2). Начальным событием данной реализации цепи будет событие Аmo.
  2.  выбирается следующее случайное число xm+1, которое сравнивается с l. В качестве pi используются pmoj . Определяется номер m1. Следующим событием данной реализации цепи будет событие Am1 и т. д.

Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но и распределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номера mi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера испытаний.

Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, для которого предельное распределение вероятностей pi(n), , не зависит от начальных условий pi(0). Поэтому можно принимать, что

Моделирование дискретных случайных величин. 

Дискретная случайная величина принимает значения  с вероятностями p1,p2,…,pj составляющими дифференциальное распределение вероятностей

(3)

(4)

Интегральная функция распределения

Для получения дискретных случайных величин используется метод обратной функции. Если  случайная величина, распределенная на интервале (0,1), то случайная величина получается с помощью преобразования           (5)   

где  — функция, обратная Fn.

Алгоритм вычисления (3) и (4) сводится к выполнению следующих действий:

  При счете по (6) среднее число циклов сравнения .

Моделирование непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения

где  — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция  преобразует случайную величину , равномерно распределена на интервале (0,1) в случайную величину с требуемой функцией плотности . Чтобы получить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотности , необходимо разрешить относительно yi уравнение  (3)

Пример 1. Получить случайные числа с показательным законом

распределения:

В силу соотношения (3) получим


где xi — случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1). Тогда

- случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому  можно записать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83919. Современные хирургические инструменты для высоких технологий. Ультразвуковые, плазменные СВЧ – инструменты, сшивающие аппараты, лазеры в хирургии 53.42 KB
  Ультразвуковые приборы для разъединения тканей Такие приборы в большинстве случаев основаны на преобразовании электрического тока в ультразвуковую волну магнитострикционное или пьезоэлектрическое явление. Механизм воздействия ультразвука на ткани основан на том что высокочастотная вибрация приводит к механическому разрушению межклеточных связей; и на кавитационном эффекте создание за короткий промежуток времени в тканях отрицательного давления что приводит к закипанию внутри и межклеточной жидкости при температуре тела; образующийся пар...
83920. Выбор способа операции, хирургический риск, операции по стандарту и протоколу. Паллиативные и радикальные операции 48.39 KB
  Паллиативные и радикальные операции. Выбор способа операции зависит от органа на котором будет проводиться оперативное вмешательство от локализации нервных стволов и сосудов по отношению к данному органу и т. Хирургический операционный риск опасность для пациента во время операции представляют как сама оперативная травма и связанные с ней осложнения кровотечения перитонит и т.
83921. Топографическая анатомия подключичной вены и подключичной артерии. Техника пункции подключичной вены. Подключичная артерия, хирургическая тактика при ранении 195.94 KB
  Топография подключичной вены: Подключичная вена начинается от нижней границы 1 ребра огибает его сверху отклоняется кнутри вниз и немного вперёд у места прикрепления к 1 ребру передней лестничной мышцы и входит в грудную полость. Медиально за веной имеются пучки передней лестничной мышцы подключичная артерия и затем купол плевры который возвышается над грудинным концом ключицы. При надключичном доступе точку Иоффе определяют в углу образованном наружным краем латеральной головки грудинноключичнососцевидной мышцы и верхним краем...
83922. Плечевое сплетение. Техника анестезии плечевого сплетения 54.05 KB
  Техника анестезии плечевого сплетения. Короткие ветви отходят в различных местах сплетения в надключичной его части и снабжают отчасти мышцы шеи а также мышцы пояса верхней конечности за исключением m. musculocutneus мышечнокожный нерв отходит от латерального пучка плечевого сплетения из C5 С7 прободает m. cutneus brchii medilis происходит из медиального пучка сплетения из С8 Th1 идет по подмышечной ямке медиально от .
83923. Хирургическая анатомия подмышечной области. Сосудисто-нервный пучок. Коллатеральное кровоснабжение в области надплечья. Подмышечная лимфодиссекция 56.11 KB
  При отведенной конечности область имеет форму ямки foss xillris. Собственная фасция fsci xillris в центре области тонкая в ней заметны узкие щели через которые проходят мелкие крове носные и лимфатические сосуды и нервы к коже. Подфасциальные образования Клетчаточное пространство подмышечной ямки расположено под fsci xillris. По форме это четырехгранная пирамида основанием которой является fsci xillris а верхушка лежит у середины ключицы между ней и I ребром.
83924. Контроль качества продукции в кулинарной промышленности 27.39 KB
  Перед проведением бракеража продукции общественного питания члены бракеражной комиссии или работник лаборатории должны ознакомиться с меню рецептурой блюд и изделий калькуляционными карточками или прейскурантом технологией приготовления блюд изделий качество которых оценивается а также с показателями их качества установленными нормативными документами. Бракеражная комиссия в своей деятельности руководствуется Положением о бракераже пищи в предприятиях общественного питания нормативными документами сборниками рецептур блюд и...
83925. Требования к транспортированию, приему и хранению сырья, пищевых продуктов 26.45 KB
  Мороженое мясо хранят на стеллажах или подтоварниках штабелями. Субпродукты хранят в таре поставщика на стеллажах или подтоварниках. Птицу мороженую или охлажденную хранят в таре поставщика на стеллажах или подтоварниках укладывая в штабеля; для лучшей циркуляции воздуха между ящиками коробами рекомендуется прокладывать рейки. Рыбу мороженую филе рыбное хранят на стеллажах или подтоварниках в таре поставщика.
83926. Требования к обработке сырья и производству продукции 29.67 KB
  При приготовлении блюд кулинарных и кондитерских изделий необходимо строго соблюдать поточность технологических процессов. Готовность изделий из мяса и птицы определяется выделением бесцветного сока в месте прокола и серым цветом на разрезе продукта а также температурой в толще продукта. Для натуральных рубленых изделий не ниже 85 С для изделий из котлетной массы не ниже 90 С. Готовность изделий из рыбного фарша и рыбы определяется образованием поджаристой корочки и легким отделением мяса от кости в порционных кусках.
83927. Требования к раздаче блюд и отпуску полуфабрикатов и кулинарных изделий 25.48 KB
  Горячие блюда супы соусы напитки при раздаче должны иметь температуру не ниже 75 С вторые блюда и гарниры не ниже 65 С холодные супы напитки не выше 14 С. Готовые первые и вторые блюда могут находиться на мармите или горячей плите не более 23 ч с момента изготовления. Салаты винегреты гастрономические продукты другие холодные блюда и напитки должны выставляться в порционированном виде в охлаждаемый прилавоквитрину и реализовываться в течение одного часа. При составлении меню 23разовогопитания для организованных коллективов...