67275

Моделирование случайных воздействий

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

В моделировании систем методами имитационного моделирования, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.

Русский

2014-09-06

302 KB

3 чел.

Лекция № 11

Моделирование случайных воздействий

В моделировании систем методами имитационного моделирования,  существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.  Формирование реализации случайных объектов любой природы  сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел.

В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевым факторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.

 Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирования систем.

Моделирование случайных событий.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события..

1. Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как сосотоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины удовлетворяет неравенству

                                                               (1)

Тогда вероятность наступления события А будет  Противоположное событие состоит в том, что xi >p. Тогда Р() = 1—р.

Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.

2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству

|

Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями l. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р

Пусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события  с вероятностями

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку условия (2);

2) определение одного из исходов  по жребию
с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но   сравнений   может   потребоваться   больше.   

Пусть события А и В являются
зависимыми. События наступают с вероятностями
pA и pB.  
Р(В/А) - условная вероятность наступления события В при
что событие
А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел { xi } извлекается число хт, удовлетворяющее хтл. Если этой неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности  чисел {х,} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А.

Если условие хтА не выполняется, то наступило событие А.  Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность

Выберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания А В или А В.

Схема моделирующего алгоритма для зависимых событий  

Алгоритм включает следующие процедуры:

ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;

ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;

ХМ=хт;

XMIm+1;

PA=pA РВ=рB;

РВА = Р(В/А);

PBNA = P(B/A);

КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — число событий ;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование Марковских цепей

Пусть простая однородная марковская цепь определяется матрицей переходов

где pij — вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.

Матрица переходов Р полностью описывает марковский процесс.  Так как сумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица является стохастической, т. е.

Пусть pi(n),  - вероятность, что система будет находиться в состоянии zi после п переходов. По определению .


Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. pij — это условная вероятность наступления события aj в данном испытании при условии, что исходом предыдущего испытания было событие ai.

Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборе событий aj по жребию с вероятностями рij. Последовательность действий следующая:

  1.  выбирается начальное состояние z0, задаваемое начальными вероятностями . Из последовательности чисел i} выбирается число хт и сравнивается с (2).  рi  - это  значения . Выбирается номер т0, удовлетворяющий неравенству (2). Начальным событием данной реализации цепи будет событие Аmo.
  2.  выбирается следующее случайное число xm+1, которое сравнивается с l. В качестве pi используются pmoj . Определяется номер m1. Следующим событием данной реализации цепи будет событие Am1 и т. д.

Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но и распределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номера mi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера испытаний.

Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, для которого предельное распределение вероятностей pi(n), , не зависит от начальных условий pi(0). Поэтому можно принимать, что

Моделирование дискретных случайных величин. 

Дискретная случайная величина принимает значения  с вероятностями p1,p2,…,pj составляющими дифференциальное распределение вероятностей

(3)

(4)

Интегральная функция распределения

Для получения дискретных случайных величин используется метод обратной функции. Если  случайная величина, распределенная на интервале (0,1), то случайная величина получается с помощью преобразования           (5)   

где  — функция, обратная Fn.

Алгоритм вычисления (3) и (4) сводится к выполнению следующих действий:

  При счете по (6) среднее число циклов сравнения .

Моделирование непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения

где  — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция  преобразует случайную величину , равномерно распределена на интервале (0,1) в случайную величину с требуемой функцией плотности . Чтобы получить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотности , необходимо разрешить относительно yi уравнение  (3)

Пример 1. Получить случайные числа с показательным законом

распределения:

В силу соотношения (3) получим


где xi — случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1). Тогда

- случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому  можно записать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75494. Виды и группы расчетов (1С) 33 KB
  Виды и группы расчетов 1С Группы расчетов это средство логического объединения видов расчета по тем или иным признакам. Вся работа с объектами метаданных типа Вид расчета и Группа расчета ведется в окне Конфигурация Метаданные. Свойства вида расчета редактируются в окне редактирования Вид расчета рис. Окно редактирования вида расчета Очередность служит для организации последовательности выполнения расчетов.
75495. Определение компьютерного вируса, типы антивирусных программ 30 KB
  Определение компьютерного вируса типы антивирусных программ Компьютерный вирус программа которая может включать в другие программы свою иногда модифицированную копию способную к дальнейшему размножению и выполнению вредных воздействий. ЖЦ компьютерного вируса: Создание вируса Функционирование вируса Прекращение его существования Функционирование вируса Латентная фаза фаза выживания Инкубационная фаза фаза размножения Проявление вируса проявление диструктивных действий Некоторые вирусы не имеют 1 и 2 фазы например черви....
75497. Ввод начальных остатков в ИС «1С: Предприятие» 21 KB
  Для ввода остатков в плане счетов конфигурации предусмотрен специальный вспомогательный счет 00. Он используется для корреспонденции с дебетом или кредитом того счета, по которому необходимо ввести остаток.
75498. Документация в БУ ИС 1С 22.5 KB
  Для автоматизации процесса используются следующие виды первичных стандартных документов по учету: документы движения материальных ценностей приходный ордер приемный акт накладная акт на списание требование лимитная карта...
75499. Принципы программирования дополнительных задач в ИС 1С 23 KB
  Наследование есть свойство объектов порождать своих потомков. Полиморфизм это свойство родственных объектов т. объектов имеющих одного общего родителя решать схожие по смыслу проблемы разными способами. Это и называется полиморфизмом объектов.
75500. Типы данных, используемые при программировании в ИС 1С 30.5 KB
  Типы данных используемые при программировании в ИС 1С В системе поддерживаются базовые и агрегатные типы данных. Агрегатные типы данных это специализированные типы данных предназначенные для работы с объектами 1С: Предприятия. Агрегатными типами данных называются следующие типы данных: Константа средство работы с постоянными или условно постоянными значениями. Справочник средство для ведения списков однородных элементов данных.
75501. Управляющие оператора, используемые для при программировании в 1С 25 KB
  Для управления логикой выполнения программы используются логические выражения и управляющие операторы. Логическое выражение записывается с помощью символов сравнения
75502. Индивидуальный пользовательский интерфейс (1С) 107 KB
  Индивидуальный пользовательский интерфейс 1С Индивидуальный пользовательский интерфейс включает расширенное меню и панели инструментов настроенные на работу только с той информацией доступ к которой разрешен набором прав пользователя. Внешний вид списка пользовательских интерфейсов зависит от положения переключателей Список Таблица в меню Действия главного меню Конфигуратора. Для создания нового пользовательского интерфейса необходимо выбрать пункт Новый в меню Действия главного меню конфигуратора рис. не содержит меню и...