67290

Приближенные способы преобразования

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Универсальный способ получения случайных чисел базируется на кусочной аппроксимации функции плотности. Для вычисления k воспользуемся следующим соотношением: Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий...

Русский

2014-09-06

279 KB

0 чел.

Лекция № 12

Приближенные способы преобразования

В практике моделирования систем приближенные способы преобразования случайных чисел классифицируются следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом распределения любого вида;

б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.

Универсальный способ

Универсальный способ получения случайных чисел, базируется на кусочной аппроксимации функции плотности.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {уi} с функцией плотности fn(y), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим fn(y)  в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на m интервалов.

Будем считать, что функция плотности на каждом интервале постоянна. Тогда случайную величину можно представить в виде

где  ak— абсцисса левой границы k-ro интервала;

— случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала.

На участке  случайная величина   распределена равномерно. Целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины  в любой интервал  была постоянной и не зависела от номера интервала .

Для вычисления ak воспользуемся следующим соотношением:


Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий:

1) генерируется случайное равномерно распределенное число xi из интервала (0, 1);

2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал ;

3) генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу , т. е. домножается на коэффициент

4) вычисляется случайное число  с требуемым законом распределения.

В п.2 целесообразно для этой цели построить таблицу (сформировать массив), в которую предварительно поместить номера интервалов k и значения коэффициента масштабирования, которые получаются из соотношения (1) для приведения числа к интервалу (а, Ь). Получив из генератора случайное число xi , с помощью  таблицы сразу определяем абсциссу левой границы ak и коэффициент масштабирования .

Достоинства способа: При реализации на ЭВМ требуется небольшое количество операций для получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования  выполняется только один раз перед моделированием.

Не универсальные способы преобразования

Рассмотрим способы преобразования последовательности равномерно распределенных случайных чисел {xi} в последовательность с заданным законом распределения j} на основе предельных теорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел с конкретным законом распределения, т. е. не являются универсальными.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел имеющих распределение Пуассона.

Воспользуемся предельной теорией Пуассона.

Если p- вероятность наступления события A в одном из испытаний, то вероятность наступления m событий в N  независимых испытаниях при ассимтотически равняется p(m). выберем достаточно бостаточно большое количество испытаний N, такое что .

Будем проводить серии из N независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p. Будем подсчитывать число случаев yj фактического наступления события  A в серии с номером j. Число yj будет приближенно следовать закону Пуассона. Практически номер выбирается таким образом, что

Алгоритм

Алгоритм генерации последовательности случайных чисел ур имеющих пуассоновское распределение.

— случайные числа последовательности, равномерно распределенной в интервале (0, 1);

:

NO — вспомогательная переменная;

ВИД [...] — процедура ввода исходных данных;

ВЫЧ [...] — процедура вычисления;

ГЕН [...] — процедура генерации случайных чисел;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование случайных векторов.

При решении задач исследования характеристик процессов функционирования систем методом статистического моделирования на ЭВМ возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов, которые обладают заданными вероятностными характеристиками. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, эти проекции являются случайными величинами, и описываются совместным законом распределения.

Случайные вектора можно задать проекциями на оси координат. В двухмерном случае, когда вероятность распределения на плоскости XOY, он может быть задан совместным законом распределения его проекций и на оси Ох и Оу.

Моделирование дискретных векторов

Пусть имеется дискретный случайный процесс. Двухмерная случайная величина (,) является дискретной. Ее составляющая принимает возможные значения . принимает  значения .

Каждой паре  соответствует вероятность pi . Возможному значению xi случайной    величины ,    будет    соответствовать

В соответствии распределением вероятностей можно определить конкретное значение xt случайной величины  и из значений pij выбрать последовательность                          

которая описывает условное распределение величины при условии . Тогда конкретное значение yi случайной величины будет определяться в соответствии с распределением вероятностей (2). Пара чисел  будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным образом определяем возможные значения , выбираем последовательность

и находим д в соответствии с распределением (3). Это дает реализацию вектора  и т. д.

Моделирование непрерывных случайных векторов

Пусть величины и являются составляющими случайного вектора. В этом случае двухмерная случайная величина (,) описывается совместной функцией плотности f(x, у).

С помощью функции плотности f(x) находится случайное число xt. При условии   определяется условное распределение случайной величины :

По функции плотности определяется случайное число yt. Пара чисел  будет являться искомой реализацией вектора (,).

В условиях многомерных векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.

В пространстве с числом измерений больше двух доступным оказывается формирование случайных векторов в рамках корреляционной теории. Рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями  и корреляционной матрицей

где .

Пример. Рассмотрим трехмерный случай реализации трехмерного случайного вектора с составляющими (,,) и имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями  и корреляционной матрицей К, элементы которой являются дисперсиями случайных величин . Элементы  представляют собой соответственно корреляционные моменты и , и , и .

Пусть имеется последовательность некорреляционных случайных чисел {i}, имеющих одномерное нормальное распределение с параметрами а и . Выберем три числа , преобразуем так, что они имеют характеристики  и K. Искомые составляющие случайного вектора  (,,) обозначим как х, у, z и представим в виде линейного преобразования случайных величин i:

где cij — некоторые не известные коэффициенты. Для вычисления этих коэффициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы К. Велечины   независимы между собой, то  при  В итоге имеем: 

Решая эту систему уравнения относительно cij получим

Вычислив коэффициенты cij три последовательных случайных числа i  i:=1, 2, 3, преобразуются в составляющие случайного вектора .

Требуется хранить в памяти ЭВМ п(п+1)/2 корреляционных моментов kij и п математических ожиданий аi. При больших п могут встречаться сложности, связанные с большим объемом вычислений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33056. Питання про пізнаванність обєктивного світу 15.19 KB
  Наука яка вивчає сутність знання закономірності його функціонування і розвитку називаєтьсятеорією пізнання або гносеологією. Основною проблемою гносеології є проблема відносин обєкта пізнання навколишнього світу і субєкта пізнавальної діяльності людини. Вперше в історії філософії саме у Демокріта зявляється розгорнута теорія пізнання заснована на розумінні чуттєвого і розумового. Важливий крок у розвитку теорії пізнання було зроблено європейською філософією XVII XVIII ст.
33057. Практика пізнання 13.32 KB
  Практика це матеріальна чуттєвопредметна цілепокладаюча діяльність людини що має своїм змістом засвоєння і перетворення природних і соціальних об'єктів і становить загальну основу рушійну силу розвитку людського суспільства і пізнання. Структура практикимістить у собі такі моменти якпотреба мета мотив доцільна діяльність у вигляді її окремих актів предмет до якого спрямована діяльність засоби за допомогою яких досягається мета і нарешті результатдіяльності. ♦ Основним і вихідним видом суспільної практики є насамперед...
33058. Процес абстрактного, логічного мислення 14.88 KB
  Процес пізнання завжди починається з безпосереднього живого споглядання тобто з безпосередньої взаємодії людини в практичній діяльності з предметами і явищами. Основні формичуттєвого пізнання: ♦ відчуття; ♦ сприймання; ♦ уявлення. Першою і початковою формою і джерелом чуттєвого пізнання є відчуття. Тому сприймання це така форма чуттєвого пізнання коли у свідомості людини відбувається цілісне відображення зовнішнього матеріального предмета з усією сукупністю його властивостей якостей сторін які відображені у відчуттях.
33059. Поняття світогляду, його специфіка, структура, функції 13.72 KB
  Поняття світогляду його специфіка структура функції Отже світогляд це сукупність поглядів оцінок принципів що визначають найзагальніше усвідомлення розуміння світу місця в ньому людини а також ціннісні орієнтації людей їх життєві позиції. Світогляд як складне духовне явище поєднує в собі переконання ідеали цілі мотиви поведінки інтереси ціннісні орієнтації принципи пізнання моральні норми естетичні погляди тощо. Структура світогляду залежить від певних чинників. Залежно від співвідношення інтелектуального та емоційного...
33060. Предмет і специфіку філософії 13.27 KB
  Методологічна функція полягає в тому що філософія виступає як загальне вчення про метод і як сукупність найбільш загальних методів пізнання і освоєння дійсності людиною. Прогностична функція філософії формулювання в її рамках гіпотез про загальні тенденції розвитку матерії і свідомості людини і світу. Критична функція філософії.
33061. Зародження філософії 15.38 KB
  Зародження філософії історично співпадає з виникненням зачатків наукового знання з появою громадської потреби в цілісному переконанні на світ і людину у вивченні загальних принципів буття і пізнання. онтос буття суще вчення про буття чи про першооснови усього сущого : проблема буття розуміється тут в універсальному всеосяжному сенсі чому є щось а не ніщо одне з перших філософських питань аналізуються буття сам принцип існування небуття чи можливе неіснування ніщо буття матеріальне природа і ідеальне ідея думка...
33062. Співвідношення філософії та науки 15.18 KB
  Порівняння пізнавальних можливостей філософії і конкретних наук зясування місця філософії в систему людських знань має давні традиції в європейській культурі. Ще в античності Платон і Арістотель намагалися розмежувати особливості науки і філософії. При цьому теоретична міць філософії прагнення логічно обгрунтувати знання висловити його в теоретичній формі виявлялася несумірної з можливостями конкретних наук що давало підстави протягом довгих століть від Аристотеля до Гегеля вважати філософію наукою наук .
33063. Джерела, провідні ідеї та напрями філософії Стародавньої Індії 59.26 KB
  Джерела провідні ідеї та напрями філософії Стародавньої Індії Зародки філософського мислення Індії сягають у глибоку давнину середина І тис. Канонічним духовним джерелом Стародавньої Індії є Веди із їх назвою споріднено наше слово відати знати записані на листях пальми приблизно за 1. Таким чином вже у найдавніших духовних джерелах Стародавньої Індії йдеться про фундаментальні моральні ідеї про певне осмислення становища людини у світі про різні шляхи звільнення від кармінних законів долі найкращим з яких є шлях дійового...