67290

Приближенные способы преобразования

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Универсальный способ получения случайных чисел базируется на кусочной аппроксимации функции плотности. Для вычисления k воспользуемся следующим соотношением: Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий...

Русский

2014-09-06

279 KB

0 чел.

Лекция № 12

Приближенные способы преобразования

В практике моделирования систем приближенные способы преобразования случайных чисел классифицируются следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом распределения любого вида;

б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.

Универсальный способ

Универсальный способ получения случайных чисел, базируется на кусочной аппроксимации функции плотности.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {уi} с функцией плотности fn(y), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим fn(y)  в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на m интервалов.

Будем считать, что функция плотности на каждом интервале постоянна. Тогда случайную величину можно представить в виде

где  ak— абсцисса левой границы k-ro интервала;

— случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала.

На участке  случайная величина   распределена равномерно. Целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины  в любой интервал  была постоянной и не зависела от номера интервала .

Для вычисления ak воспользуемся следующим соотношением:


Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий:

1) генерируется случайное равномерно распределенное число xi из интервала (0, 1);

2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал ;

3) генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу , т. е. домножается на коэффициент

4) вычисляется случайное число  с требуемым законом распределения.

В п.2 целесообразно для этой цели построить таблицу (сформировать массив), в которую предварительно поместить номера интервалов k и значения коэффициента масштабирования, которые получаются из соотношения (1) для приведения числа к интервалу (а, Ь). Получив из генератора случайное число xi , с помощью  таблицы сразу определяем абсциссу левой границы ak и коэффициент масштабирования .

Достоинства способа: При реализации на ЭВМ требуется небольшое количество операций для получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования  выполняется только один раз перед моделированием.

Не универсальные способы преобразования

Рассмотрим способы преобразования последовательности равномерно распределенных случайных чисел {xi} в последовательность с заданным законом распределения j} на основе предельных теорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел с конкретным законом распределения, т. е. не являются универсальными.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел имеющих распределение Пуассона.

Воспользуемся предельной теорией Пуассона.

Если p- вероятность наступления события A в одном из испытаний, то вероятность наступления m событий в N  независимых испытаниях при ассимтотически равняется p(m). выберем достаточно бостаточно большое количество испытаний N, такое что .

Будем проводить серии из N независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p. Будем подсчитывать число случаев yj фактического наступления события  A в серии с номером j. Число yj будет приближенно следовать закону Пуассона. Практически номер выбирается таким образом, что

Алгоритм

Алгоритм генерации последовательности случайных чисел ур имеющих пуассоновское распределение.

— случайные числа последовательности, равномерно распределенной в интервале (0, 1);

:

NO — вспомогательная переменная;

ВИД [...] — процедура ввода исходных данных;

ВЫЧ [...] — процедура вычисления;

ГЕН [...] — процедура генерации случайных чисел;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование случайных векторов.

При решении задач исследования характеристик процессов функционирования систем методом статистического моделирования на ЭВМ возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов, которые обладают заданными вероятностными характеристиками. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, эти проекции являются случайными величинами, и описываются совместным законом распределения.

Случайные вектора можно задать проекциями на оси координат. В двухмерном случае, когда вероятность распределения на плоскости XOY, он может быть задан совместным законом распределения его проекций и на оси Ох и Оу.

Моделирование дискретных векторов

Пусть имеется дискретный случайный процесс. Двухмерная случайная величина (,) является дискретной. Ее составляющая принимает возможные значения . принимает  значения .

Каждой паре  соответствует вероятность pi . Возможному значению xi случайной    величины ,    будет    соответствовать

В соответствии распределением вероятностей можно определить конкретное значение xt случайной величины  и из значений pij выбрать последовательность                          

которая описывает условное распределение величины при условии . Тогда конкретное значение yi случайной величины будет определяться в соответствии с распределением вероятностей (2). Пара чисел  будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным образом определяем возможные значения , выбираем последовательность

и находим д в соответствии с распределением (3). Это дает реализацию вектора  и т. д.

Моделирование непрерывных случайных векторов

Пусть величины и являются составляющими случайного вектора. В этом случае двухмерная случайная величина (,) описывается совместной функцией плотности f(x, у).

С помощью функции плотности f(x) находится случайное число xt. При условии   определяется условное распределение случайной величины :

По функции плотности определяется случайное число yt. Пара чисел  будет являться искомой реализацией вектора (,).

В условиях многомерных векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.

В пространстве с числом измерений больше двух доступным оказывается формирование случайных векторов в рамках корреляционной теории. Рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями  и корреляционной матрицей

где .

Пример. Рассмотрим трехмерный случай реализации трехмерного случайного вектора с составляющими (,,) и имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями  и корреляционной матрицей К, элементы которой являются дисперсиями случайных величин . Элементы  представляют собой соответственно корреляционные моменты и , и , и .

Пусть имеется последовательность некорреляционных случайных чисел {i}, имеющих одномерное нормальное распределение с параметрами а и . Выберем три числа , преобразуем так, что они имеют характеристики  и K. Искомые составляющие случайного вектора  (,,) обозначим как х, у, z и представим в виде линейного преобразования случайных величин i:

где cij — некоторые не известные коэффициенты. Для вычисления этих коэффициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы К. Велечины   независимы между собой, то  при  В итоге имеем: 

Решая эту систему уравнения относительно cij получим

Вычислив коэффициенты cij три последовательных случайных числа i  i:=1, 2, 3, преобразуются в составляющие случайного вектора .

Требуется хранить в памяти ЭВМ п(п+1)/2 корреляционных моментов kij и п математических ожиданий аi. При больших п могут встречаться сложности, связанные с большим объемом вычислений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23306. Етномовні макроспільності первісності - загальна хар-ка; індоєвропейська родина 19 KB
  Ностратична макроспільнота Ескалеутська родина екімоси алеути мови народів Півночі Алтайська родина тюркська татарська узбецька киргизька туркменська турецька монгольська бурятська калмицька Уральські мови фіноугорські мови та діалекти Дравідійська родина еламська протоіранська Картвельська грузинська та діалекти народів Закавказзя Індоєвропейська 12 мов та мовних груп: 1. індоіранські давньоіндійські мови зокрема мова Вед санскрит давньоіранські мови Авести 3. тохарські мови 7. альбанські мови 8.
23307. Археологічні культури первісності на території України 18.5 KB
  ; €œІсторія української культури€ т. 1 Основні етапи розвитку матеріальної та духовної культури первісного суспільства на території України 1. Головним обєктом дослідження історії первісних суспільств зокрема на території України є так звані археологічні культури група або декілька груп чи комплексів груп матеріальних викопних археологічних знахідок які харся трьома спільностями: спільність території поширення цих памяток часу або хронологічного періоду поширення технології виготовлення 1 знаряддя праці з природних та штучних...
23308. Культурно-мистецьке життя Галицько-Волинського князівства 15 KB
  життя ГВК літературни процес образотворче мистецтво та архітектура ГВК 1 Впродовж другої половини ХІІІ ст. процеси давньоукраїнського державотворення переміщується на західноукраїнські землі де галицькі князі Роман Мстиславич і його син Данило Галицький створили ГВК. Протяго майже 40 років Данило Романович обєднав етнічні українські землі у складі ГВК. ГВК втратило політичну незалежність і було поділено між Польським та Угорським королівствами.
23309. ІУК як наукова дисципліна 26.5 KB
  Розвиток ІУК в ХХ ст. Важливий внесок у становлення ІУК як науки про культуру протягом ХІХ ст. зробили: вихованці та викладачі внз Харківський Київський університети науковці з академічних установ Росія АвстроУгорщина Німеччниа Франція представники різних державних і громадських наукових товариств ІсторикоФілологічне Товариство Харківський унт КАК Київська археографічна комісія Південнозахідний відділ РГТ Російське географічне товариство комісій КАК обєдання наковців та окремі дослідники Основними напрямами...
23310. Культура як об’єкт наукового дослідження 18.5 KB
  Дослідженням культури в усіх її проявах займаються науки про культуру: історія культури теорія культури філософія культури соціологія культури культурологія соціальна онтологія. більшість наук використовують методи а загальноісторичний окремий тип соціальноекономічного розвитку суспільства ототожнюється із однойменним типом культури б локальногеографічний поділ культур світу на етнічні народні регіональні континентальні Інші типи культур: класові професійні субкультури молодіжні етнічні та інші 2. Чинники формування...
23311. Классификация гласных звуков. Принципы классификации гласных по МФА. Дифтонги 22.5 KB
  Дифтонги. дифтонги сложный гласный состоящий из двух элементов образующих один слог чем и обеспечивается фонетическая целостность. Дифтонги нисходящие aurum восходящие иа.
23312. Сравнительно-исторический метод в языкознании. Периодизация. Внешняя и внутренняя реконструкция 28 KB
  Сравнительноисторический метод метод классификации языков который служит для сравнительного изучения языкового материала. Принципы и методы сравнительноисторического метода: 1 Тщательный отбор языкового материала подлежащего сравнению. Сравниваемые языковые формы должны соотноситься по значению но подобная соотнесенность может быть лишь частичной. 3 Реконструкция праязыковых форм.
23313. Зависимость композиции произведения от художественного метода, рода и жанра 28.5 KB
  Зависимость композиции произведения от художественного метода рода и жанра. Главные особенности: исключительные обстоятельства действия исключительные герои Автор затушёвывает особые свойства героя для создания романтического образа Цыгане Пушкина культ свободы В романтических произведениях автор своё субъективное начало проявляет более широко и властно чем в классицистических. композиция лирического произведения см. ответ на вопрос №49 композиция драматического произведения см.