67351

Проблемні питання автентифікації в каналах зв’язку. Методи та механізми імітозахисту в радіосистемах

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Прилад ЗІ призначений для забезпечений конфіденційності, цілісності та справжності інформації. Як правило цілісність та справжність реалізується засобом застосування цифрового підпису, кодів автентифікації тощо. Конфіденційність забезпечують засобом застосування процедури шифрування...

Украинкский

2014-09-07

683.71 KB

1 чел.

                        Лекція №17 (4.4)  

               З  дисципліни „ПРИКЛАДНА КРИПТОЛОГІЯ”

Тема лекції „ Проблемні питання автентифікації в каналах зв'язку.  Методи  та механізми  імітозахисту в радіосистемах ”

                         

Основні навчальні питання

4.4.1  Модель завадо захищеного каналу

4.4.2  Поняття складеного сигналу

4.4.3 Теоретичні положення про криптографічний захист на рівні складеного сигналу

4.4.4 Математична модель, структурна схема динамічного радіоканалу

 4.4.5  Методи формування Гу  управляючих і ключових даних

4.4.1Модель завадо захищеного каналу.

У ряді систем необхідно забезпечити не тільки конфіденційність, цілісність І дійсність переданих команд, але і сам факт передачі цієї Інформації в захищеному виді сховати. Цим займається стеганографія.

На рис 4.4.1 наведено структурна схема завадо захищеного радіоканалу, де :

1 - джерело інформації;

 

рис.4.4.1

  1.  - кодер джерела;
  2.  - кодер каналу;
  3.  - пристрій захисту інформації;
  4.  - модулятор та передатчик.

Кодер джерела забезпечує узгодження Д1 з пропускною здатністю каналу зв'язку. При цьому інформація джерела представляється в цифровому вигляді, бажано виключити надмірність. За цієї умови забезпечується збільшення відстані єдності.

На виході  радіо передавача формують сигнали S(t). На вході приймача спостерігається коливання

Мультиплікативна складова перешкоди

Адитивна складова перешкоди

Дія природних та штучних завад  приводить до помилок або перекручувань у каналі зв'язку. Внаслідок цього приймання здійснюється з імовірністю .

Кодер каналу призначений для внесення штучної надмірності (стійкого до перешкод кодування) з тією метою, щоб використовуючи цю надмірність на прийомній стороні можна було б чи виявити, чи виправити  помилки.

Прилад ЗІ призначений для забезпечений конфіденційності, цілісності та справжності  інформації. Як правило цілісність та справжність реалізується засобом застосування цифрового підпису, кодів автентифікації тощо. Конфіденційність забезпечують засобом застосування процедури шифрування..

У модуляторі здійснюється заміна Мі - символів криптограми на сигнали переносники інформації, що добре поширюються в середовищі.

Припустимо, що захист інформації здійснюється в ПЗІ.

   1

Сі

   0

 ( 1 )

У таких системах треба забезпечити:

  1.   енергетичну скритність, тобто умови роботи радіолінії, коли енергетики не вистачає, щоб виявити факт передачі сигналів, тобто

 ( 2 )

  1.   структурна скритність – стійкість сигналів, що випромінюють у радіоканалі, проти спроб виділення з них параметрів і інформації.
  2.   стійкість до завад (перешкод) – тобто здатність системи протистояти впливу як випадкових, так і навмисних завад (перешкод).
  3.  автентичність джерела , справжність та  цілісність інформації, тобто здатність протистояти передачі хибної чи викривленої  інформації чи команд, а також передачі „ раніше переданої інформації ”. Усім цим вимогам можуть задовольнити комплекс шумопо дібних сигналів.

4.4.2 Поняття складеного сигналу.

Особливості формування   ФМ ШПС.

На рис. 4.4.2 наведено приклади формування  складеного ФМ ШПС сигналу ( на прикладі передачі блоку „ 1 , -1, -1, 1”.

рис. 4.4.2- Епюри формування  простих  та  складених сигналів.

Полоса пропускання сигналу дискретного сигналу пов’язана з довжиною сигналу с

    ( 3 )

Якщо довжина елементу  складеного сигналу   , то полоса частот складеного сигналу

   ( 4 )

Якщо Рс > Рз – то такі сигнали називають простими , вони не можуть забезпечити структурну та енергетичну  скритності.

В складеного сигналу полоса частот збільшується  в п раз, але енергія сигналу збереглася. Щільність сигналу може стати набагато менше щільності перешкоди.

Наприклад   для ФМ ШПС                 

Фаза і частота такого сигналу можуть змінюватись за законом Тінф.

Особливості формування складених сигналів

Частотна модуляція.

ДМ повинен формувати множину сигналів.

Фазова модуляція.

Частотно-фазова модуляція.

Линійна частотна модуляція.

Якість системи радіозв’язку оцінюють  є:

Ес (енергія накоплення сигналу)                          і

N0 (спектральна щільність потужності поміхи)

абоР.

Визначимо величину

= Встривалість сигнали, - смуга частот, Вс – база сигналу.

Знайдемо Вс для простого сигналу:

Із виразу  випливає, що для того щоб можна було б розрізняти сигнали з РСП необхідно, щоб Вс > 1.

, де l – кількість елементів , в складному сигналі.

.

В дорівнює кількості символів складного сигналу. Збільшуючи  відповідним чином, можна забезпечити потрібне , при , тобто сигнал буде під шумом.

4.4.3 Теоретичні положення про криптографічний захист на рівні складеного сигналу.

Теорема 1

Нехай у радіосистемі здійснюється Мі-те кодування, при якому М біт інформації ставиться у відповідність 2т сигналам складним, що обираються з деякої безлічі {S}. Тоді, необхідною і достатньою умовою теоретичної не дешифруємості системи є наступна умова:

    (3)

  1.   Імовірність появи сигналу в каналі не повинна залежати від того, яке повідомлення з'явилося на виході джерела.
  2.  Імовірність появи сигналу в каналі не повинна залежати від того, які сигнали перед цим випромінювалися.

Радіоканали, у яких виконуються ці умови, називаються динамічними.

Рис.4.4.3 - Структурна схема динамічного каналу

У такій системі імовірність обману можна оцінити:

.

При можна забезпечити простір сигналів.

4.4.4  Математична модель, структурна схема динамічного радіоканалу

В ряді систем управління необхідно реалізувати старт - стопний принцип управління, коли команди на виконання визначених функцій передаються послідовно з очікуванням підтвердження виконання цієї команди. Прикладом таких систем є командні радіолінії управління космічними апаратами та іншими критичними системами та технологіями. В таких системах застосовувати традиційну апаратуру захисту достатньо складно. Імітостійкість (цілісність і справжність) таких радіоліній буде недостатньою.

Рис. 4.4.4

На рис. 4.4.4 приведена спрощена схема радіоканалу управління, де:

ДІ1, ДІ2 - джерело інформації

ДМ - динамічний модулятор

ФГУ - формувач Гу,

ДК - джерело ключів

КА - космічний апарат

ДІ1 і ДІ2 є джерелами та отримувачами команд управління. Команди передаються старт - стопним режимом. Для крипто захисту з одночасним забезпеченням і конфіденційності, і справжності, і цілісності застосовується динамічний режим передачі сигналів.

ДМ містить множину (ансамбль) складнях сигналів {S} з розмірністю . Формувач Гу, в кожний момент  формує символ Гш (Г - шифрування) з основою алфавіту т. В наслідок із множини  сигналів по т - ічной Г   обирається т сигналів, які в заданому інтервалі є дозволеними для випромінювання і прийому на обох сторонах. Встановлення відповідності: ті блок ДІ1  тсиг безупинно змінюється у відповідності з Г.

.

КА повинен бути синхронізований по Гу з тим, щоб розрізняти який із сигналів передається Si або Sj в коливанні.

       (19.1)

Схема розрізнення сигналів визначає який з сигналів Si або Sj передається в коливанні (рис.6.5.2).

Для забезпечення завадо захищеності несуча частота може також змінюватися у часі.

Якщо , то .

Якщо , то .

Очевидно, формувач Гу повинен у заданий момент обрати правильно на борту і и , такі ж як на Землі.

Особливості: для правильного обміну командами наземний ФГУ і ФГУ космічного апарату повинні обрати Гу узгоджено. Це здійснюється за рахунок:

  1.  використання довгострокових ключів;
  2.  використання ключів сеансів;
  3.  передачі маркерів синхронізації або управляючих послідовностей у кожній команді.

Характеристики відносно модулятора.

  1.   Вид модуляції складного сигналу(спосіб формування)
  2.   Кількість складних сигналів пS, які можуть бути створені в модуляторі.
  3.   Складність створення складного сигналу в реальному масштабі часу.

Формування складного сигналу здійснюється на основі використання дискретних сигналів маніпуляції. Якщо здійснюється ФМ, то дискретний сигнал маніпуляції визначає закон створення складного ФМ сигналу.

Висновок: застосування складних сигналів дозволяє:

1. Розрізняти сигнали, тобто приймати інформацію при .

2. Так як , то такий сигнал володіє енергетичною скритністю.

З. Оскільки існує множина різних форм складних сигналів, то це можна використати для зменшення , тобто для зменшення імітозахисту.

В якості сигналів Wi маніпуляції повинні використовуватись сигнали з особливими  авто - і взаємно кореляційними функціями.

Класи Wi:

  1.   Лінійні і нелінійні рекурентні послідовності.
  2.   Ортогональні і довільні, в тому числі похідні  ортогональні послідовності.
  3.   Квазі ортогональні послідовності з самосинхронізацією.

4.4.5  Методи формування Гу  управляючих і ключових даних

Проведені дослідження показали що Гама управління

Гу повинна володіти таким ж стандартними властивостями, як і Гш :

1.

2. Основа алфавіту повинна бути т - ічною.

  1.  використання довгострокових ключів;
  2.  використання ключів сеансу;
  3.  передачі маркерів синхронізації або управляючих послідовностей у кожній команді.

1. Сутність методу генерування ПВП на основі багатомодульних перетворень

Він дозволяє генерувати ПВП з довільним алфавітом m, заданим періодом повторення та певними, але недостатньо дослідженими властивостями нерозрізнюваності.

Але в указаній  роботі залишились нерозглянутими питання управлінння ключами генератора, а по суті розробки криптографічного генератора, а також оцінки рівнів гарантій такого генератора ПВП в частині необоротності, непередбачуваності та нерозрізнюваності [ 2, 4].. Дослідження роботи носять також обмежений характер, так як вони проведені тільки для багатомодульних перетворень над простим полем Галуа

Метою статі є розробка методу генерування ПВП з певним алфавітом символів m, на основі багатомодульних перетворень з  використання елементів довільного поля Галуа . Зрозуміло що відносно цього методу  необхідно провести комплекс теоретичних та експериментальних досліджень в частині визначення необхідних та достатніх умов забезпечення заданого періоду повторення, основи алфавіту, ймовірності появи символів алфавіту на періоді повторення, якості необоротності, непередбачуваності та нерозрізнюваності с точки зору гарантій[ 2 - 5].

Метод багато модульного перетворення в скінченному полі

Розглянемо метод генерування ПВП з певним алфавітом символів, скажемо m, на основі багатомодульних перетворень, але на основі використання елементів уже довільного скінченного поля Галуа . Для загального випадку будемо вважати, що здійснюється k перетворень елементів розширення поля Галуа , відповідно за модулями та останнім модулем m. Загальними параметрами, яких достатньо для того, щоби генерувати елементи поля , є кортеж , де – незвідний поліном степеню n над полем , а – первісний елемент, вибраний із множини порядку , де – функція Ейлера [ 3 ]. В цьому випадку генерування (формування) елементів поля здійснюється за правилом

.                                   (1  )

Показано [ 6 ], що при виконанні вказаних вище вимог до кортежу , (1) породжує скінченне поле Галуа з періодом повторення . Замітимо, що вказане справедливо для і наступних простих чисел. Причому, при p=2 будемо мати розширення над полем Галуа .

Далі, нехай будуть кортежами загальних параметрів, наприклад поліномів (в тому числі незвідних) , , а – їх степені. В подальшому незвідність поліномів нам потрібна для того, щоби при необхідності забезпечити їх взаємну простоту [  6 ].

Також нехай степені поліномів (в тому числі незвідних) задовольняють вимогам

, , … , ,                 (2  )

причому основа алфавіту m є довільним числом, а також виконуються нерівності

, ,…,, .       (3  )

Справедливим є твердження 1.

Твердження 1. Детермінований генератор ПВП, що функціонує згідно багато модульного перетворення

                          (4  )

,

де кортежі загальних параметрів, m – певне натуральне число, k – ступень багато модульності, (не обов’язково просте), m ціле натуральне,  забезпечує генерування ПВП (символів) з періодом повторення , рівно ймовірно і з певною основою алфавіту m, за умови, що:

  1.  виконуються умови (1   ) – (3  ) ;
  2.  модулі (пари поліномів)

          (5  )

є взаємо простими, а кортеж  є довільним. 

В (4) запис – означає, що модуль m подається у вигляді полінома.

При виконанні умов (4)–( 5) забезпечується генерування ПВП (символів) з такими властивостями та характеристиками:

  1.  певною основою алфавіту m;
  2.  періодом повторення ;
  3.  символи генеруються рівноймовірно або "практично" рівно ймовірно;
  4.  ансамблем ізоморфізмів .

Справедливим також є твердження 2.

Твердження 2. Детермінований генератор ПВП, що функціонує згідно алгоритму багатомодульного перетворення

              (6  )

,

де K0+i є плинний ключ генератора, причому K0 є початковим ключем, а i – ключем сеансу, є не оборотним зі складністю не нижче чим О(n)[  ].

Розглянемо далі частковий випадок твердження 1 та 2 для 3-ьох модульного перетворення. В даному випадку елементи розширення поля Галуа також генеруються згідно (1 ). Але (2 ) – (6  ) приймають вид (7  ) – (10  ).

.                                                 (7  )

.                                            (8  )

.       (9  )

,    (10  )

де як в (4   4.24) K0+i є плинний ключ генератора, K0 початковий, а i – ключ сеансу.

Для умов (7) – (10) твердження 1 для трьох модульного перетворення подамо у вигляді теореми 1 .

Теорема 1. Детермінований генератор ПВП, що функціонує згідно трьох модульного перетворення на основі (1  ), за правилами

   (11   )

або

  (12   )

при виконанні умов (2) – (8), забезпечує генерування ПВП (символів) чисел з певною  основою алфавіту m, періодом повторення , рівно ймовірною появою символів на періоді повторення та ансамблем ізоморфізмів .

Доведемо теорему1   4.5 для 3-ьох модульного перетворення. Що стосується останнього модуля m в (11  4.31), то він може приймати довільне значення і будемо його подавати в поліноміальному вигляді. Замітимо, що та в (11  ) незвідні поліноми можуть подаватися над полем , тобто у вигляді полінома степені над .

Відносно періоду повторення.

Оскільки – первісні елементи, то для забезпечення максимального періоду необхідно та достатньо що би був незвідним над полем [  ]. Так як незвідний над полем , то згідно (11) генеруються елементи поля Галуа з періодом , а кожен елемент появляється один раз.

Визначимо ступінь рівно ймовірності появи m –символів (кінцевого алфавіту), тобто визначимо умови, за яких символи m-го алфавіту появляються рівно ймовірно. Будемо задавати символи  за допомогою поліномів не вище степені.

Подамо усі елементи поля у вигляді цілих натуральних чисел від до .

Далі упорядочимо числа в міру збільшення

                                                                                                                   (13  )

,

де  є значення елемента поля .

Приведемо ряд (133 4.33) по модулю , в результаті отримаємо

,  (14 )

де .

Послідовність (14) подамо у вигляді

                   (15 )

,

причому .

Всього в ПВП буде елементів послідовності, дорівнює . При цьому в останньому блоці будуть відсутні елементи послідовності, починаючи з і до та 0.

Далі, символи появляються z раз, – (z-1) раз. Відповідно ймовірності появи елементів будуть

,                                            (16 )

а

.                                            (17 )

Таким чином, на періоді послідовності в результаті виконання перетворення по другому модулю символи появляються з практично однаковою ймовірністю, тобто рівно ймовірно.

Розглянемо етап перетворення по третьому модулю, який згідно теореми 1 може бути довільним числом . При аналізі на частоту перетворення позначимо послідовність як

                                           (18 )

і приведемо її, тобто (4.38),  по модулю і отримаємо ряд

,      (19 )

Причому .

Аналізуючи ймовірність появи символів отримаємо ті ж оцінки, що і в (16 ) та (17 ).

Також відмітимо, що в (16) нерівноймовірність появи V символів не перевищує 1 в числі появлення символів , а також оцінкою нерівноймовірності для кожного символу .

Таким чином , теорема 1 для 3-ьох модульного перетворення доведена. Також необхідно замітити що наведене доведення теореми 1 може бути розповсюджене і на випадок k модульного перетворення, зрозуміло за умови коли пари поліномів є взаємо простими, а кортеж є довільним, мається на увазі значення модуля m.

У цілому процедура генерування ПВП на основі багатомодульного перетворення може бути зведеною до наступного.

1. Ввести або генерувати загальносистемні параметри – кортежі загальних параметрів згідно вимог твердження 1.

2. Ввести або інсталювати таємний ключ генератора , .

3. Обчислити початкове значення генератора , використовуючи правило

,                             (20)

де – основний модуль перетворення.

4. Обчислити елемент генератора, використовуючи правило

,            (21)

де – номер елемента ПВП, що генерується, -й елемент послідовності над полем поширення .

5. Обчислити елемент ДГВЧ, використовуючи правило

,          (22)

де .

6. Обчислити елемент ДГВЧ, використовуючи правило

,   (23 )

де – номер елемента ПВП, що генерується, – проміжні модулі.

7. Якщо потрібно, то обчислити -е геш-значення від та прийняти його в якості -го випадкового слова, тобто

.                                            (24 )

Схема алгоритму (варіант), що реалізує наведений вище метод генерування ДГВЧ, наведена на рис. 1.

Рисунок 1 – Схема алгоритму генерування детермінованих випадкових послідовностей в скінченному полі порядку - 1 методом багатомодульного перетворення

Висновки

  1.  На нинішній час розроблено ряд методів та на їх основі засобів формування ПВП,  Їх особливістю є те, що вони будуються, як правило, для двійкової основи . Важливою і необхідною є задача розробки методів і засобів генерування ПВП із необхідними властивостями випадковості та довільною (певною) основою алфавіту. В якості перспективного, на наш погляд, класу таких перетворень необхідно назвати клас багатомодульних перетворень.
  2.  Детермінований генератор ПВП, що функціонує згідно трьох модульного перетворення на основі (11  ) або (12 ) при виконанні умов (2 ) – (8  ), забезпечує генерування ПВП (символів) чисел з певною основою алфавіту m, періодом повторення , рівно ймовірною появою символів на періоді повторення та ансамблем ізоморфізмів .

Додаток А

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ ПРОИЗВОДНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

И. Д. ГОРБЕНКО, д. т. н., А. А. ЗАМУЛА, к. т. н., Р. И. КИЯНЧУК.

Системы нелинейных рекуррентных последовательностей (НРП) являются плотноупакованными по периодической функции корреляции (ПФАК), существуют для большого спектра длительностей L, однако размерность ансамбля НРП ограничена, например для НРП характеристического типа, функцией Эйлера. Проведенные исследования показали, что дальнейшее увеличение размерности ансамбля и улучшение структурных свойств может быть достигнуто на основе использования L-позиционных НРП, построение которых осуществляется посредством образования последовательного произведения , символов НРП с одно- или двухуровневой ПФАК.

Правило построения символов производных нелинейных рекуррентных последовательностей (ПНРП) сформулируем в виде

.

(1)

ПФАК, построенную по (1) ПНРП, найдем, используя соотношение :

,

(2)

где в общем случае .

Анализ корреляционных свойств с использованием (2) в общем виде затруднен, поэтому рассмотрим ряд частных случаев, важных как c теоретической, так и практической точкек зрения.

1. Пусть , а , тогда (2) имеет вид

.

(3)

Для преобразования (3) представим индекс суммирование i в -р ичной системе счисления

(4)

.

(5)

С учетом, того, что

(6)

Кроме того, если принимает значение из множества вычетов по то пробегает значения по модулю , поэтому

(7)

и ПФАК ПНРП может быть вычислена с использованием выражения

(8)

Но так как и могут принимать соответственно значения и при  и при , то

(9)

Анализ (9) показывает, что минимальные боковые лепестки ПНРП достигаются в случае, если , , , принимают минимальные значения. Кроме того, как следуает из [1] ПНРП имеет максимальный период, если и взаимно простые числа.

2. Пусть , а . В этом случае по аналогии с (9) выражение (2) можно представить в виде

(10)

Или

(11)

Рассмотрение (11) показывает, что для минимизации необходимо и достаточно, чтобы , и были минимальными, а , и – минимальными и взаимопростыми. Минимальное значение, , равное 0 и достигается только при использовании в качестве последовательности [2] вида {1 1 1 -1}. В этом случае выражение (11) принимает вид

а)

б)

в)

г)

(12)


Исследование выражений (12
а, б и г) показывает, что для их минимизации необходимо, чтобы как принимаемые значения ПФАК, и , так и значения их длительностей были бы минимальными. С учетом того, что , максимальные значения ПФАК дают слагаемые в) и г). Если и – взаимнопростые, то минимальные значения и могут быть соответсвенно равны и или , или , поэтому

а)

б)

в)

г)

(13)

Если и – взаимнопростые, то выражение принимает значение либо , либо , поэтому максимальный боковой лепесток дает составяющая .

Из рассмотренного выше следует, что для минимизации боковых лепестков необходимо, чтобы , и были взаимнопростыми. Этого можно достичь, если и – простые, а . При этих условиях составляющие (11) принимают значения

(14)


3. Пусть
, а . Для этих условий с учетом (2) выражение для ПФАК ПНРП можно представить в виде

(15)

причем (15) позволяет вычислить ПФАК, если положить, что .

Проведенные исследования показали, что для (15) можно получить оценки, если воспользоваться теорией двухзначных характеров, в частности, тем, что для любого нетривиального характера справедливо [3]

,

и фиксированными правилами кодирования. Например, для наиболее мощного класса двухуровневых последовательностей – последовательностей характеристического типа с числом символов ,

;


либо

а)

б)

(16)


где
q-ый первообразный элемент поля , а m-ый первообразный примитивный полином степени n.

Приведем вывод аналитического выражения для ПФАК ПНРП.

Используя (15) и полагая, что , имеем

.

(17)

С учетом того, что , [4], при

(18)

где Z – учитывает сумму слагаемых, входящих в (17), для которых

(19)

Более точно структуру (19) определяют сформулированные ниже утверждения.

Утверждение 1. Пусть и  есть элементы поля а -ый первообразный элемент, тогда при   и никогда не сравнимы с . Доказательство утверждения следует из цикличности поля [4].

Утверждение 2. Пусть и – элементы поля , а и – первообразные. Существуют и автоморфные преобразования, при которых

.

Доказательство утверждения следует из авто- и изоморфных свойств поля [4].

С учетом утверждения (17) и (18) выражение (19) распадается на следующие логические высказывания.







а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

(20)

Анализ (20) показывает, что исключающими являются высказывания а), г), ж), з), поэтому

,

.

(21)

Действительно, если истинно высказываение (20, а), то , так как [4], поэтому .

В случае, если , то .

Преобразуем выражение (18), используя свойство характера [Альберт], не рассматривая сумму, определяемую (П. 7.5), обозначив его переменной :

(22)

Проанализируем выражение

,

учитывая, что если  принимает значения индексов суммирования, то степени первообразных элементов и принимают значения всех ненулевых элементов поля . Обозначая ненулевые элементы поля через и соответственно для первообразных и , при , перейдем к сумме произведения характеров ненулевых элементов

.

(23)

Полагая в (23) и , проанализируем все и , если и пробегают при изменении все ненулевые элементы поля , то и так же пробегают все ненулевые поля исключая 1, поэтому

(24)

Если же



а)

б)

в)

(25)


Исключим в (25) условие
, для этого добавим в него и вычтем , и . В результате получим

(26)


Даже, принимая во внимание, что
и являются постоянными, обозначив их как и , , а также обозначив и , которые пробегают так же все элементы поля , получим

С учетом (21), (23), (25), выражение (18) есть:

(27)

где запись означает, что слагаемые в скобках необходимо брать со знаками во всевозможных сочетаниях, то есть - сочетаний, если -число слагаемых.

Упростим (27) учитывая, что все слагаемые

(28)

Из (28) непосредственно следует, что
принимает значение на множестве чисел
. Поэтому, используя (28), выражение (27) можно представить

(29)

где запись [3] и [4] означает, что вместо [3] при анализе необходимо подставлять числа , а вместо [4] – числа .

Рассмотрим вывод аналитического выражения для ПФВК ПНРП. Используя выражение для расчета функции взаимной корреляции

получим

.

(30)

Приведем вывод выражения для оценки выбросов ПФВК

(30)

Далее, аналогично выражению (19)

(31)

где представляет собой сумму слагаемых, входящих в (30), для которых , что эквивалентно:




а)

б)

в)

г)


поэтому:

(32)

может принимать значения на множестве следовательно (29) есть

(33)

Преобразуем выражение для  следующим образом:

(34)

Далее, выражение для (обозначив и ), представим в виде:

С учетом (24) – (26), а также того, что и могут принимать все значения из , обозначив и , причем , так как, во-первых, и ,, а во-вторых, при и , , (34) можно представить в виде:

(35)

Анализ (35) показывает, что элементы полей представляют собой автоморфизмы полей и при . Сумма в нем берется по всевозможным произведениям характеров над и дает оценку для максимально достигаемого выброса . С учетом того, что элементы , , и строятся по различным первообразным и пары условий

не истинны, (35) имеет вид

(36)

Важной задачей является несбалансированность ПНРП по число символов и .

Если – первообразные элементы поля , то несбалансированность в числе символов есть

При аналогично (32)

где представляет собой сумму слагаемых, для которых

(37)

то есть

(38)

Далее обозначив и , а затем и аналогично (21) –
(25) имеем

(39)

С учетом (39)

(40)

Заметим, что для случая , можно оценить используя соотношения (36), то есть

(41)

Анализ (41) показывает, что несбалансированность, а следовательно, и шумы неортогональности с увеличением увеличиваются и уже при достигают значительной величины, даже без учета результатов сумм в (40) и (41).

Особенности вычисления выражений (29), (36), (41) и оценки их значений рассмотрим на примере выражения (41).

Воспользовавшись свойством функции характеров, имеем

(42)

Для случая двухзначного характера, используя (15) имеем

(43)

Непосредственный анализ (43) показывает, что оценка максимальных боковых леместков ПФАК, ПФВК и несбалансированности (то же максимальной) в числе символов и может быть сведена к изучению насбалансированности по четности и нечетности индексов производного поля, элементами которого являются числа (полиномы) вида

.

Сопоставительное рассмотрение (43) показывает, что для анализа НРП (ПНРП) по критерию минимума максимальных выбросов с точки зрения вычислительной сложности, предпочтительнее использовать алгоритм (42), а при вычислении основных статистических харктеристик алгоритм (43).

Список литературы: 1 Виноградов И.М. Основы теории чисел. М. Наука, 1965 г. 2 Свердлик М.Б.Оптимальные дискретные сигналы. М., «Сов. Радио», 1975, 200 с.  3. Холл М. Комбинаторика. М. Мир. 1970 – 421 с. 4. Альберт А. А. Константные поля. В киберн. сб. ВМП. З. М.: Мир, 1966. – 242 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20274. ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЙ ИНТЕРФЕЙС МОБИЛЬНОЙ СТАНЦИИ 82.5 KB
  Примитивы ввода Спецификацией GSM предусмотрен следующий набор элементарных процедур ввода: 1 2 то же что и ABC 3 то же что и DEF 4 то же что и GHI 5 то же что и JKL 6 то же что и MNO 7 то же что и PQRS 8 то же что и TUV 9 то же что и WXYZ 0 то же что и SELECT ACCEPT SEND END для ввода номера в международном формате Код Страны Номер Процедура выбора страны PLMN Процедура ввода дополнительных данных о вызове голос факс данные синхронный асинхронный режим передачи и т. Индикатор...
20275. СЕТЕВЫЕ АСПЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ СПС 96 KB
  Третий уровень протокола обмена сигналами GSM подразделяется на три подуровня: Подуровень управления радио ресурсами Radio Resources Management. Спецификация MAP это одна из самых объемных частей в рекомендациях GSM.В системах GSM существуют четыре основных типа таких процедур: Каналы тайм слоты принадлежат одной соте. Очень важным аспектом GSM является тот факт что MSC так называемая якорная MSC является ответственной за большинство функций имеющих непосредственное отношение к соединению за исключением внутренних BSC хандоверов...
20276. Оборудование подсистемы коммутации (SSS) 254 KB
  Подсистема коммутации системы SSS в рамках СМЕ20 реализована на базе известной коммутационной системы АХЕ10. Каждая подсистема разделена на функциональные блоки. Подсистемы APT Подсистема Наименование подсистемы Функции Назначение станции в сети GSM CCS Common Channel Signalling Subsystem ОКС Управление ОКС № 7 MSC GMSC BSC HLR CHS Charging Subsystem Тарификация Обеспечение тарификации и учет стоимости MSC DTS Data Transmission Subsystem Передача данных Пакетирование сообщений при передаче данных в среде ISDN по Dканалу MSC ESS...
20277. ЯПОНИЯ в 20-30-е гг.20в. основные черты экономического и политического развития 16.94 KB
  В годы первой мировой войны и после нее происходил значительный экономический рост Японии. Политическая власть в Японии принадлежала прежде всего императору совету старейшин генро Тайному совету и правительству. Фашизация Японии. преодолевались в Японии за счет милитаризации экономики т.
20278. Причины и характер войны 19.19 KB
  Разгром Франции. Что касается поведения Англии и Франции то дело тут было более сложным. Объясняется это тем что Англия к войне на суше как военноморская держава подготовлена не была а правительство Франции в свою очередь ориентировалось на Англию. На поведении Англии и Франции отразилось также подписание 28 сентября 1939 г.
20279. КОРЕННОЙ ПЕРЕЛОМ В ХОДЕ ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ 19.04 KB
  КОРЕННОЙ ПЕРЕЛОМ В ХОДЕ ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ Вспомните. Начался коренной перелом в ходе Великой Отечественной и второй мировой войны. Битва под Курском знаменательное событие второй мировой войны. Победа на Курской дуге и успешное наступление завершили коренной перелом в ходе Великой Отечественной и второй мировой войны.
20280. КИТАЙСКАЯ модель развития 19.78 KB
  СССР признал КНР и в феврале 1950 г. в КНР был восстановлен довоенный уровень экономики. Маоисты решили подавить оппозицию внутри КНР и установить военнобюрократическую диктатуру.
20281. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ. РАЗГРОМ ФАШИСТСКОГО БЛОКА (1944—1945 гг.) 33.37 KB
  повлияли на ход войны Освобождение Красной Армией территории СССР и европейских стран и народов в 1944 1945 гг. народы СССР встретили с надеждой на полное изгнание врага с советской земли. Красная Армия полностью освободила территорию СССР и перенесла боевые действия на территорию оккупированных европейских стран где провела ряд успешных наступательных операций 1. В ходе наступления были освобождены Румыния с которой СССР подписал перемирие как с бывшей союзницей Германии и Болгария где произошло антифашистское восстание в...
20282. ОКТЯБРЬСКАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И УСТАНОВЛЕНИЕ СОВЕТСКОЙ ВЛАСТИ В РОССИИ 39.52 KB
  Тогда СНК принял решение всячески затягивать переговоры рассчитывая на революцию в Германии. В ходе переговоров немцы предъявили ультиматум требуя передачи Германии территории в 150 тыс. ФЕДЕРАТИВНАЯ РЕСПУБЛИКА ГЕРМАНИИ Раскол Германии. война для Германии закончилась но трагедия германского народа продолжалась.