67456

Модифицированная функция Бесселя нулевого индекса

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

При решении сложных задач программирования эти задачи разбиваются на более простые подзадачи. Каждая из подзадач, в свою очередь, может быть разбита на еще более простые подзадачи, и т.д. Если задача в ходе такого последовательного разбиения свелась...

Русский

2014-09-10

172 KB

1 чел.

Лекция 4

 – одна из функций Бесселя. Точнее, это т.н. модифицированная функция Бесселя нулевого индекса.

,

,

,   ,

.

Условия прекращения цикла суммирования:   и  


S0 = 0

A0 = 1

S1 = S0 + A1

A1 = A0*B1

B1 = (x/2)2/12

S2 = S1 + A2

A2 = A1*B2

B2 = (x/2)2/22

. . .

. . .

. . .

Si = Si-1 + Ai

Ai = Ai-1* Bi

Bi = (x/2)2/i2


Текст программы на языке  
Free Pascal,  TP7:

program BesselI0 ;

var

   x,y: Double;

function BesselI0(x, eps : Double): Double;

var

   I, N: integer;

   T, A, B, R, x2: Double;

begin

 x2 := sqr(x/2) ;

 A := x2 ;

 N := 0 ;

 B := x2 / (N + 2) / (N + 2) ;

 

 repeat

   inc(N);

   A := A * B ;

   B := x2 / (N + 2 ) / (N + 2) ;

   R := A / (1 - B) ;

 until ( B < 1) and ( R < eps ) ;

 T := 1;

 for I := N downto 1 do

   T := 1 + x2 / I / I * T ;

 BesselI0 := T ;

end ;


begin

 x := 3 ;

 y := BesselI0(x, 1e-20) ;

 writeln(y) ;

 readln ;

end.

begin

writeln(‘Введите x’) ;  readln(x) ;

writeln(‘Введите eps’) ;  readln(eps) ;

 if  (eps <= 0) or (eps >= 1)  then  exit ;

   

   writeln(‘f=’, BesselI(x, Eps));

   readln;

end.


Оконное приложение в среде
Lazarus:


Текст кода в среде
Lazarus:

unit Unit1;

{$mode objfpc}{$H+}

interface

uses

 Classes, SysUtils, FileUtil, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, StdCtrls;

type

 { TForm1 }

 TForm1 = class(TForm)

   Button1: TButton;

   Edit1: TEdit; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit;

   Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { private declarations }

 public

   { public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.lfm}

{ TForm1 }

function BesselI0(x, eps : Double): Double;

var

 . . .

begin

 . . .

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

 x, y, eps: double;

begin

 x := StrToFloat(Edit1.Text);

 eps := StrToFloat(Edit2.Text);

 y := BesselI0(x, eps);

 Edit3.Text := FloatToStr(y);

end;

end.

Оконное приложение в среде Visual C++, фрагмент кода:

double BesselI0(double x, double eps)

{

 int i, N;

 double T, A, B, R, x2;

 x2 = (x / 2.0)*(x / 2.0) ;

 A = x2 ;

 N = 0 ;

 B = x2 / ((double)N + 2.0) / ((double)N + 2.0) ;

 

 do

 {

   N++;

   A *= B ;

   B = x2 / ((double)N + 2.0) / ((double)N + 2.0) ;

   R = A / (1 - B) ;

 }

//  while (!( B < 1 &&  R < eps )) ;

 while (B >= 1 || R >= eps);

 T = 1.0;

 for (i = N; i >= 1; i--)

   T = 1.0 + x2 / ((double)i * (double)i) * T;

 return T;

}

private: System::Void button1_Click(System::Object^ sender, System::EventArgs^ e)

{

 double x;

 x = System::Convert::ToDouble(textBox1->Text);

 double eps;

 eps = System::Convert::ToDouble(textBox2->Text);

 double y;

 y = BesselI0Aux(x, eps);

 textBox3->Text=System::Convert::ToString(y);

}


Рекурсия

При решении сложных задач программирования эти задачи разбиваются на более простые подзадачи. Каждая из подзадач, в свою очередь, может быть разбита на еще более простые подзадачи, и т.д. Если задача в ходе такого последовательного разбиения свелась (необязательно за один шаг) сама к себе самой, имеет место рекурсия.

Если задача сводится к себе, и еще раз к себе, и так далее, то количество обращений к себе должно быть конечным.

Каждое очередное сведение задачи к себе должно приближать задачу к тривиальному случаю. В тривиальном случае задача решается по алгоритму, который более не сводит задачу к себе.

Рекурсия используется во множестве стандартных алгоритмов. Далее, в курсе лекций, тема «Рекурсивные алгоритмы» будет возобновляться многократно.


Пример.
  

Применяя сведение задачи к себе  n  раз, можно «дойти» до тривиального случая – до значения  0!, а оно равно 1.

Пример 2.   

Применение такого сведения задачи к себе приводит к «зацикливанию».


Числа Фибоначчи  выражаются «сами через себя» при , но выражаются явно (дают тривиальный случай) при  и :

,  ,  ,  .

,   – Golden Ratio.

Сумма убывающей геометрической прогрессии

, ,

есть функциональный (а именно, степенной, по степеням переменной ) ряд с коэффициентами 1, 1, … .


Полиномы Фибоначчи  являются коэффициентами разложения в степенной ряд функции

,     .

Полиномы Фибоначчи  выражаются «сами через себя» при , но выражаются явно (дают тривиальный случай) при  и :

,    ,    

Связь с числами Фибоначчи:  


Пример
 рекурсивной функции

function  Fib(n: integer; x: double): double;

begin

if  n < 1 then  

Fib := 0

else

if  n = 1 then  

Fib := 1

else

if  n = 2 then  

Fib := x

else

Fib := x*Fib(n-1, x) + Fib(n-2, x);

end;

Пример рекурсивной процедуры.  Ханойские башни.

var

 n: integer;

procedure HanoiTowers(n, x, y, z: integer);

begin

 if n = 1 then

    writeln(x,'->', y)

 else

 begin

     HanoiTowers(n-1, x, z, y);

     writeln(x,’–>’, y);

     HanoiTowers(n-1, z, y, x);

 end;

end;

begin

 readln(n);

 HanoiTowers(n,1,2,3);

end.


Тип «Перечисляемый»

<Перечисляемый тип> : : = 

(<Список имён значений>)

Первому из элементов <Списка имён значений> придаётся внутренний (недоступный пользователю) номер 0, второму – номер 1, и т.д.


Переменные типа «Перечисляемый»

Примеры

var

 v1: (LeftDyrecton, RightDyrecton, BackDyrecton);

type

MyType2=(Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, Sunday);

MyType4=(MyTrue, MyFalse);

var

MyVar2: MyType2;

MyVar3: boolean;

MyVar4: MyType4;

begin

for  MyVar2 :=Monday  to  Friday  do  writeln(MyVar2);    // Ошибка

for  MyVar4 :=MyFalse to  MyTrue  do  writeln(MyVar4);  // Ошибка

for MyVar3 := False to True do writeln(MyVar3);            // Выход:  False  True

end.

Замечание.  boolean ≠ (False, True). Вообще говоря.

Замечание.  Тип «Перечисляемый – порядковый тип.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59056. Новорічний гороскоп 44.5 KB
  Звучить музика П. Чайковського з балету «Лускунчик». На сцену вибігають Зірочки й танцюють свій танець. У цей час виходить Звіздар у довгому халаті, ковпаку, окулярах.
59057. Мультисервісна мережу стадіону для надання послуг трансляціі відео потоків, IP-телефоніі, доступу до внутрішніх web-сервісів і доступу в інтернет 795.5 KB
  Мультисервісна мережа зможе поєднувати велику кількість пристроїв користувачів на всій території стадіону. Їх число може вимірятися десятками тисяч, які зможуть не тільки використовувати надані послуги, а й мати доступ до мережі інтернет, яка стала невід’ємною частиною життя
59058. Образ віку в ліриці ХХ століття 50 KB
  Література не задовольняючись формами романтизму і реалізму намагалася знайти нові форми зображення змін що відбувалися передусім у людській свідомості і разом зі світовим мистецтвом вийти на новий рівень творення художніх цінностей.
59059. Око як оптична система. Комбінований урок із біології, фізики та основ здоровя 77.5 KB
  На основі знань одержаних вами у 8-му класі на уроках фізики про світло про закони заломлення світла на межі двох прозорих середовищ про геометричну оптику ми ознайомимося з тим як наше око сприймає світло та колір пояснимо причини порушення зору...
59060. Олена Пчілка - світоч національних ідей 56.5 KB
  У таких складних навіть небезпечних історичних умовах розвивалась українська мова працювали та продовжували видавати свої чудові твори видатні українські поети та письменники серед яких була Олена Пчілка.
59061. Оповідання Р. Бредбері. Усмішка 60 KB
  Мета: розкрити вплив мистецтва Леонардо да Вінчі на творчість Р. Обладнання: репродукції картин Леонардо да Вінчі книги що розповідають про нього: Всеобщая история искусств Т. да Вінчі та Р. да Вінчі та його картину Джоконда .
59062. Трудове навчання. Осінні фантазії 34 KB
  Виховувати любов до природи та бережливе ставлення до неї Наочність та обладнання: репродукція картини Левітана Золота осінь грамзапис П. Чайковського Пори року відеозапис телевізор відеомагнітофон програвач казковий герой Осінь.
59063. Особливі, одиничні та суттєві ознаки. Корекційне заняття 4-й клас 38 KB
  Запитання озвучуються інші команди дають відповіді. Запрошення до зоопарку Капітан команди Євразія знайомить усіх дітей із кішкою рись. Капітан команди Африка знайомить усіх дітей із кішкою сервал яка проживає на Африканському континенті.
59064. Особливості побудови опису приміщення 31 KB
  Як ви гадаєте для чого використовуються описи приміщення Навіщо письменники їх складають Яким чином інтерєри розповідають про життя і працю людей допомагають зрозуміти внутрішній світ персонажів художніх творів Подумайте і назвіть твори в яких є описи приміщень....