67456

Модифицированная функция Бесселя нулевого индекса

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

При решении сложных задач программирования эти задачи разбиваются на более простые подзадачи. Каждая из подзадач, в свою очередь, может быть разбита на еще более простые подзадачи, и т.д. Если задача в ходе такого последовательного разбиения свелась...

Русский

2014-09-10

172 KB

0 чел.

Лекция 4

 – одна из функций Бесселя. Точнее, это т.н. модифицированная функция Бесселя нулевого индекса.

,

,

,   ,

.

Условия прекращения цикла суммирования:   и  


S0 = 0

A0 = 1

S1 = S0 + A1

A1 = A0*B1

B1 = (x/2)2/12

S2 = S1 + A2

A2 = A1*B2

B2 = (x/2)2/22

. . .

. . .

. . .

Si = Si-1 + Ai

Ai = Ai-1* Bi

Bi = (x/2)2/i2


Текст программы на языке  
Free Pascal,  TP7:

program BesselI0 ;

var

   x,y: Double;

function BesselI0(x, eps : Double): Double;

var

   I, N: integer;

   T, A, B, R, x2: Double;

begin

 x2 := sqr(x/2) ;

 A := x2 ;

 N := 0 ;

 B := x2 / (N + 2) / (N + 2) ;

 

 repeat

   inc(N);

   A := A * B ;

   B := x2 / (N + 2 ) / (N + 2) ;

   R := A / (1 - B) ;

 until ( B < 1) and ( R < eps ) ;

 T := 1;

 for I := N downto 1 do

   T := 1 + x2 / I / I * T ;

 BesselI0 := T ;

end ;


begin

 x := 3 ;

 y := BesselI0(x, 1e-20) ;

 writeln(y) ;

 readln ;

end.

begin

writeln(‘Введите x’) ;  readln(x) ;

writeln(‘Введите eps’) ;  readln(eps) ;

 if  (eps <= 0) or (eps >= 1)  then  exit ;

   

   writeln(‘f=’, BesselI(x, Eps));

   readln;

end.


Оконное приложение в среде
Lazarus:


Текст кода в среде
Lazarus:

unit Unit1;

{$mode objfpc}{$H+}

interface

uses

 Classes, SysUtils, FileUtil, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, StdCtrls;

type

 { TForm1 }

 TForm1 = class(TForm)

   Button1: TButton;

   Edit1: TEdit; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit;

   Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { private declarations }

 public

   { public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.lfm}

{ TForm1 }

function BesselI0(x, eps : Double): Double;

var

 . . .

begin

 . . .

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

 x, y, eps: double;

begin

 x := StrToFloat(Edit1.Text);

 eps := StrToFloat(Edit2.Text);

 y := BesselI0(x, eps);

 Edit3.Text := FloatToStr(y);

end;

end.

Оконное приложение в среде Visual C++, фрагмент кода:

double BesselI0(double x, double eps)

{

 int i, N;

 double T, A, B, R, x2;

 x2 = (x / 2.0)*(x / 2.0) ;

 A = x2 ;

 N = 0 ;

 B = x2 / ((double)N + 2.0) / ((double)N + 2.0) ;

 

 do

 {

   N++;

   A *= B ;

   B = x2 / ((double)N + 2.0) / ((double)N + 2.0) ;

   R = A / (1 - B) ;

 }

//  while (!( B < 1 &&  R < eps )) ;

 while (B >= 1 || R >= eps);

 T = 1.0;

 for (i = N; i >= 1; i--)

   T = 1.0 + x2 / ((double)i * (double)i) * T;

 return T;

}

private: System::Void button1_Click(System::Object^ sender, System::EventArgs^ e)

{

 double x;

 x = System::Convert::ToDouble(textBox1->Text);

 double eps;

 eps = System::Convert::ToDouble(textBox2->Text);

 double y;

 y = BesselI0Aux(x, eps);

 textBox3->Text=System::Convert::ToString(y);

}


Рекурсия

При решении сложных задач программирования эти задачи разбиваются на более простые подзадачи. Каждая из подзадач, в свою очередь, может быть разбита на еще более простые подзадачи, и т.д. Если задача в ходе такого последовательного разбиения свелась (необязательно за один шаг) сама к себе самой, имеет место рекурсия.

Если задача сводится к себе, и еще раз к себе, и так далее, то количество обращений к себе должно быть конечным.

Каждое очередное сведение задачи к себе должно приближать задачу к тривиальному случаю. В тривиальном случае задача решается по алгоритму, который более не сводит задачу к себе.

Рекурсия используется во множестве стандартных алгоритмов. Далее, в курсе лекций, тема «Рекурсивные алгоритмы» будет возобновляться многократно.


Пример.
  

Применяя сведение задачи к себе  n  раз, можно «дойти» до тривиального случая – до значения  0!, а оно равно 1.

Пример 2.   

Применение такого сведения задачи к себе приводит к «зацикливанию».


Числа Фибоначчи  выражаются «сами через себя» при , но выражаются явно (дают тривиальный случай) при  и :

,  ,  ,  .

,   – Golden Ratio.

Сумма убывающей геометрической прогрессии

, ,

есть функциональный (а именно, степенной, по степеням переменной ) ряд с коэффициентами 1, 1, … .


Полиномы Фибоначчи  являются коэффициентами разложения в степенной ряд функции

,     .

Полиномы Фибоначчи  выражаются «сами через себя» при , но выражаются явно (дают тривиальный случай) при  и :

,    ,    

Связь с числами Фибоначчи:  


Пример
 рекурсивной функции

function  Fib(n: integer; x: double): double;

begin

if  n < 1 then  

Fib := 0

else

if  n = 1 then  

Fib := 1

else

if  n = 2 then  

Fib := x

else

Fib := x*Fib(n-1, x) + Fib(n-2, x);

end;

Пример рекурсивной процедуры.  Ханойские башни.

var

 n: integer;

procedure HanoiTowers(n, x, y, z: integer);

begin

 if n = 1 then

    writeln(x,'->', y)

 else

 begin

     HanoiTowers(n-1, x, z, y);

     writeln(x,’–>’, y);

     HanoiTowers(n-1, z, y, x);

 end;

end;

begin

 readln(n);

 HanoiTowers(n,1,2,3);

end.


Тип «Перечисляемый»

<Перечисляемый тип> : : = 

(<Список имён значений>)

Первому из элементов <Списка имён значений> придаётся внутренний (недоступный пользователю) номер 0, второму – номер 1, и т.д.


Переменные типа «Перечисляемый»

Примеры

var

 v1: (LeftDyrecton, RightDyrecton, BackDyrecton);

type

MyType2=(Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, Sunday);

MyType4=(MyTrue, MyFalse);

var

MyVar2: MyType2;

MyVar3: boolean;

MyVar4: MyType4;

begin

for  MyVar2 :=Monday  to  Friday  do  writeln(MyVar2);    // Ошибка

for  MyVar4 :=MyFalse to  MyTrue  do  writeln(MyVar4);  // Ошибка

for MyVar3 := False to True do writeln(MyVar3);            // Выход:  False  True

end.

Замечание.  boolean ≠ (False, True). Вообще говоря.

Замечание.  Тип «Перечисляемый – порядковый тип.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55736. Виховний захід «Моя родина, я, клас, шкільна сім`я» 59 KB
  Ми зібрались сьогодні на свято. Добрий день всі хто прийшов сьогодні на наше свято Здрастуйте дорога класна родино Дорогі діти Шановні батьки Любі друзі Ми починаємо наше родинне свято.
55737. Нашому роду - нема переводу. Родинне свято 67.5 KB
  Розширити поняття дітей про сім ю, родину, наш український рід, щедрий, багатий своїми традиціями, обрядами, прищеплювати любов до близьких людей, повагу до старших, ровесників та молодших за себе; довести, що найсильніше зігріває родинне вогнище, материнське тепло, батьківська підтримка і порада
55738. Моя сім’я, моя родина – це рідна область, Україно! 52 KB
  Формувати знання дітей про значення здоров’я розуміння необхідності дружби зі спортом. Прищеплювати гігієнічні навички встановити взаємозв’язок між здоров’ям дітей та майбутнім країни.
55739. Семья и семейные ценности 104.5 KB
  Цель: показать ценности семьи и семейные традиции в русской классической литературе на примере романа Л.Н. Толстого «Война и мир»; формировать представление о психологических особенностях семьи, помочь в осознании семейных ценностей
55740. Яку роль відіграє у житті людини родинне коло 130.5 KB
  Мета: Уточнити розширити поглибити уявлення дітей про сім’ю родину рід їх значення в житті людини пробуджувати пізнавальний інтерес до історії свого родоводу формувати навички толерантного поводження в у сім’ї...
55741. Яке значення має для людини сім’я 47.5 KB
  Мета: Ознайомити учнів із поняттям сім’я; з’ясувати значення сім’ї для людини поговорити про те як слід уникати конфліктів у сім’ї...
55742. Твій родовід, піклування про здоров’я в родині 72 KB
  Слово вчителя Діти коли ви чуєте чи вимовляєте це слово кого ви уявляєте діти називають слова; вчитель будує на дошці асоціативний кущ: брат дідусь тато тітка мама сестра СІМ’Я...
55743. Рід, родина, родовід 48.5 KB
  Обладнання: мультимедійні засоби фонограми з записами українських народних пісень столи для команд дзвоники для подачі сигналу про відповідь аркуші паперу ручки секундомір грамоти для нагородження учасників.
55744. Інтегрований урок з української і світової літератури у 8-му класі 135.5 KB
  Про яку літературну героїню сьогодні ми будемо вести розмову Вчитель світової літератури: Виконуючи кожний етап уроку ми з пазлів зберемо в одну цілісну картину образ двох Роксолан. Учителі прикріплюють перший пазл до плакату портрет...