67456

Модифицированная функция Бесселя нулевого индекса

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

При решении сложных задач программирования эти задачи разбиваются на более простые подзадачи. Каждая из подзадач, в свою очередь, может быть разбита на еще более простые подзадачи, и т.д. Если задача в ходе такого последовательного разбиения свелась...

Русский

2014-09-10

172 KB

0 чел.

Лекция 4

 – одна из функций Бесселя. Точнее, это т.н. модифицированная функция Бесселя нулевого индекса.

,

,

,   ,

.

Условия прекращения цикла суммирования:   и  


S0 = 0

A0 = 1

S1 = S0 + A1

A1 = A0*B1

B1 = (x/2)2/12

S2 = S1 + A2

A2 = A1*B2

B2 = (x/2)2/22

. . .

. . .

. . .

Si = Si-1 + Ai

Ai = Ai-1* Bi

Bi = (x/2)2/i2


Текст программы на языке  
Free Pascal,  TP7:

program BesselI0 ;

var

   x,y: Double;

function BesselI0(x, eps : Double): Double;

var

   I, N: integer;

   T, A, B, R, x2: Double;

begin

 x2 := sqr(x/2) ;

 A := x2 ;

 N := 0 ;

 B := x2 / (N + 2) / (N + 2) ;

 

 repeat

   inc(N);

   A := A * B ;

   B := x2 / (N + 2 ) / (N + 2) ;

   R := A / (1 - B) ;

 until ( B < 1) and ( R < eps ) ;

 T := 1;

 for I := N downto 1 do

   T := 1 + x2 / I / I * T ;

 BesselI0 := T ;

end ;


begin

 x := 3 ;

 y := BesselI0(x, 1e-20) ;

 writeln(y) ;

 readln ;

end.

begin

writeln(‘Введите x’) ;  readln(x) ;

writeln(‘Введите eps’) ;  readln(eps) ;

 if  (eps <= 0) or (eps >= 1)  then  exit ;

   

   writeln(‘f=’, BesselI(x, Eps));

   readln;

end.


Оконное приложение в среде
Lazarus:


Текст кода в среде
Lazarus:

unit Unit1;

{$mode objfpc}{$H+}

interface

uses

 Classes, SysUtils, FileUtil, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, StdCtrls;

type

 { TForm1 }

 TForm1 = class(TForm)

   Button1: TButton;

   Edit1: TEdit; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit;

   Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { private declarations }

 public

   { public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.lfm}

{ TForm1 }

function BesselI0(x, eps : Double): Double;

var

 . . .

begin

 . . .

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

 x, y, eps: double;

begin

 x := StrToFloat(Edit1.Text);

 eps := StrToFloat(Edit2.Text);

 y := BesselI0(x, eps);

 Edit3.Text := FloatToStr(y);

end;

end.

Оконное приложение в среде Visual C++, фрагмент кода:

double BesselI0(double x, double eps)

{

 int i, N;

 double T, A, B, R, x2;

 x2 = (x / 2.0)*(x / 2.0) ;

 A = x2 ;

 N = 0 ;

 B = x2 / ((double)N + 2.0) / ((double)N + 2.0) ;

 

 do

 {

   N++;

   A *= B ;

   B = x2 / ((double)N + 2.0) / ((double)N + 2.0) ;

   R = A / (1 - B) ;

 }

//  while (!( B < 1 &&  R < eps )) ;

 while (B >= 1 || R >= eps);

 T = 1.0;

 for (i = N; i >= 1; i--)

   T = 1.0 + x2 / ((double)i * (double)i) * T;

 return T;

}

private: System::Void button1_Click(System::Object^ sender, System::EventArgs^ e)

{

 double x;

 x = System::Convert::ToDouble(textBox1->Text);

 double eps;

 eps = System::Convert::ToDouble(textBox2->Text);

 double y;

 y = BesselI0Aux(x, eps);

 textBox3->Text=System::Convert::ToString(y);

}


Рекурсия

При решении сложных задач программирования эти задачи разбиваются на более простые подзадачи. Каждая из подзадач, в свою очередь, может быть разбита на еще более простые подзадачи, и т.д. Если задача в ходе такого последовательного разбиения свелась (необязательно за один шаг) сама к себе самой, имеет место рекурсия.

Если задача сводится к себе, и еще раз к себе, и так далее, то количество обращений к себе должно быть конечным.

Каждое очередное сведение задачи к себе должно приближать задачу к тривиальному случаю. В тривиальном случае задача решается по алгоритму, который более не сводит задачу к себе.

Рекурсия используется во множестве стандартных алгоритмов. Далее, в курсе лекций, тема «Рекурсивные алгоритмы» будет возобновляться многократно.


Пример.
  

Применяя сведение задачи к себе  n  раз, можно «дойти» до тривиального случая – до значения  0!, а оно равно 1.

Пример 2.   

Применение такого сведения задачи к себе приводит к «зацикливанию».


Числа Фибоначчи  выражаются «сами через себя» при , но выражаются явно (дают тривиальный случай) при  и :

,  ,  ,  .

,   – Golden Ratio.

Сумма убывающей геометрической прогрессии

, ,

есть функциональный (а именно, степенной, по степеням переменной ) ряд с коэффициентами 1, 1, … .


Полиномы Фибоначчи  являются коэффициентами разложения в степенной ряд функции

,     .

Полиномы Фибоначчи  выражаются «сами через себя» при , но выражаются явно (дают тривиальный случай) при  и :

,    ,    

Связь с числами Фибоначчи:  


Пример
 рекурсивной функции

function  Fib(n: integer; x: double): double;

begin

if  n < 1 then  

Fib := 0

else

if  n = 1 then  

Fib := 1

else

if  n = 2 then  

Fib := x

else

Fib := x*Fib(n-1, x) + Fib(n-2, x);

end;

Пример рекурсивной процедуры.  Ханойские башни.

var

 n: integer;

procedure HanoiTowers(n, x, y, z: integer);

begin

 if n = 1 then

    writeln(x,'->', y)

 else

 begin

     HanoiTowers(n-1, x, z, y);

     writeln(x,’–>’, y);

     HanoiTowers(n-1, z, y, x);

 end;

end;

begin

 readln(n);

 HanoiTowers(n,1,2,3);

end.


Тип «Перечисляемый»

<Перечисляемый тип> : : = 

(<Список имён значений>)

Первому из элементов <Списка имён значений> придаётся внутренний (недоступный пользователю) номер 0, второму – номер 1, и т.д.


Переменные типа «Перечисляемый»

Примеры

var

 v1: (LeftDyrecton, RightDyrecton, BackDyrecton);

type

MyType2=(Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, Sunday);

MyType4=(MyTrue, MyFalse);

var

MyVar2: MyType2;

MyVar3: boolean;

MyVar4: MyType4;

begin

for  MyVar2 :=Monday  to  Friday  do  writeln(MyVar2);    // Ошибка

for  MyVar4 :=MyFalse to  MyTrue  do  writeln(MyVar4);  // Ошибка

for MyVar3 := False to True do writeln(MyVar3);            // Выход:  False  True

end.

Замечание.  boolean ≠ (False, True). Вообще говоря.

Замечание.  Тип «Перечисляемый – порядковый тип.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13055. Основы теории движения автомобиля. Классный час 21.87 KB
  Классный час Основы теории движения автомобиля Физические и психофизиологические требования к водителям транспортных средств могут быть определены исходя из анализа деятельности водителя автомобиля. Водитель должен воспринимать большое количество информации о
13056. Классный час «Сквернословие и здоровье» 25.97 KB
  Классный час Сквернословие и здоровье Ход мероприятия: Учитель: Здравствуйте дорогие ребята гости учителя Тема нашего сегодняшнего классного часа Сквернословие и здоровье. Второе название Здоровье не купишь его разум дарит. Сегодня мы поговорим с вами...
13057. Классный час. Режим дня 25.04 KB
  Классный час Режим дня 1 класс Цели: закрепить знания учащихся о гигиенических нормах и культуре поведения; научить детей составлять режим дня; развивать кругозор обогащать словарный запас. Оборудование: презентация Power Point; презентация на интеракт...
13058. Классный час. Мечта 29.5 KB
  Цель: познакомить детей с понятием мечта формировать его интеллектуальный коммуникативный и эстетический потенциал Задачи: 1. Развивать фантазию умение мечтать 2. Воспитывать любовь к профессиям 3. Развивать устную речь учащихся способность высказывать собств
13059. Классный час. Поделись улыбкою своей 58 KB
  Тема: Поделись улыбкою своей Цели: 1. Дать учащимся представление о том что такое улыбка в чём её секреты; Учить детей видеть понимать оценивать чувства и поступки других мотивировать объяснять свои суждения. Развивать речевые умения положительные эмоции; ...
13060. Классный час Защита прав несовершеннолетних 36.5 KB
  Классный час Защита прав несовершеннолетних Ребёнком считается человек до 18 лет. От взрослого он отличается тем что не имеет больших возможностей чтобы себя защитить. Ему требуется помощь и поддержка защита он зависит от взрослых. поэтому человечест
13061. Методические рекомендации для студентов по информационно-профориентационной работе во время педагогической практики в школах 112.5 KB
  Выбор профессии одно из главных решений в жизни, основа самоутверждения человека в обществе. Для учащихся старших классов проблема выбора профессии является наиболее актуальной. Уже в подростковом возрасте могут определяться профессиональные склонности и интересы,
13062. Все профессии нужны, все профессии важны. Классный час 18.45 KB
  Все профессии нужны все профессии важны 1.Организация класса. 1.1.Приветствие: Прозвенел звонок.Начался урок. Мы пришли сюда учиться Не лениться а трудиться. Работаем старательно Слушаем внимательно. 1.2.Посадка за партой: 1.3.Знакомство: Здравствуйте дети меня зовут ...
13063. Классный час «Дети войны» 21.79 KB
  Классный час Дети войны Цель: Показать Великую Отечественную войну как личностно значимое для нашего современника событие. Задачи: привить учащимся чувство патриотизма гражданственной ответственности; помочь им стать нравственно соверше