67478

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Лекция

Физика

Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Русский

2014-09-10

147.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я   16

ОСНОВЫ  КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ  КВАНТОВОЙ   ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

  (r,t) = .

Рассмотрим нерелятивистский предел

 v << c: p2 << 2c2,     p  c2.

В функции w+(p) с положительной энергией имеем:

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w(p) с отрицательной энергией получим

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при 1 2

 

  = 0.

Действительно,

 .

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

   +,

запишем это условие как

 {w++(p) w+(p) + w-+(p) w-(p)} = const.

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=p1 в состояние с Е2=p2, где p2>p1. При этом выделится «даровая» энергия

 Е = Е1  Е2 = p2  p1  >  0.

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2c2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц,  с  энергией    (и с зарядом  , если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p , и постоянство вероятности запишется как

  {w++(p) w+(p)+ w-+(p) w-(p)} = C.

Будем считать, что функции w+ описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

 w++(p)w+(p)

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=p, p , ( - значение спиновой переменной), так что

 w+w  N(p).

Введем число частиц в системе N, равное

 N ={N-(p)+ N+(p)}.

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 Е = p{N+(p) + N-(p)}

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или p, или   p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 N(p) = 1,     N+(p) = 0,

так что

 N0=.

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 Nфиз =  N  N0 = {N+(p) - [1 -N-(p)]}

и

 Ефиз = Е  Е0 = p{N+(p) + [1 - N-(p)]}.

Так как N(p)1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем

 (p) 1N(p).

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 N(p)  N+(p).

Тогда получим

 Ефиз = p{N(p) + (p)}.

Поэтому (p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд  е. Тогда полный заряд будет

 Q = eN = e{N+(p) + N-(p)}.

Наблюдать же будем разность над фоном

 Qфиз = Q  Q0 = Q  eN0 = e{N(p) - (p)}.

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а е. Тогда это будет записываться как

 Qфиз = {eN(p) + (-e) (p)},

и все хорошо. Уравнение непрерывности

  + divj = 0

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

  + divje = 0,

где

 е = е(  0), je = ej.

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 1 = ,

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с p и p  не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц p и p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией.  Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с  p может стать частицей с p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 ,

где в явной форме записи

 .

Рассмотрим оператор орбитального момента

 ,

у которого третий компонент есть

 .

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 0,      j = 1, 2, 3,

а потому  не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому  - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

 .

Тогда из  будет следовать

 ;

в частности,

 .

Оператор  не действует на r , а потому оператор  должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через j и . Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67478_9e06c61e7b37139bda16253bc7fdbdfe.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45860. Автоматизация операций загрузки-выгрузки деталей и приспособлений на многооперационных станках 15.72 KB
  Рабочий стол многооперационного станка имеет расширенные возможности по сравнению с обычными столами станков ЧПУ в связи с дополнительной степенью подвижности: поворота вокруг горизонтальной и вертикальной осей такие столы наз. Наличие таких рабочих столов позволяет осуществлять обработку заготовок с пяти сторон под различными углами за один установ детали что значительно сокращает время изготовления и повышает качество изделия. Помимо основного рабочего стола многооперационные станки оснащаются столами спутниками а также реже столами...
45861. Устройства автоматической смены инструментов. Револьверные головки и инструментальные магазины - накопители 86.88 KB
  Устройства автоматической смены инструментов. Обязательным элементом автоматизированных и автоматических производств функционирующих на основе безлюдных технологий является автоматическая смена инструментов осуществляющаяся устройствами автоматической смены инструментов УАСИ. Возможность автоматической смены инструментов зависит от наличия достаточного количества инструментов которые может вместить базовый элемент УАСИ – инструментальный накопитель от его расположения доступности наличия датчиков для контроля размера износа и поломки...
45862. Инструментальные магазины – накопители. Виды инструментальных магазинов. Кодирование и распознавание инструментов в инструментальных магазинах 320.18 KB
  Инструментальные магазины – накопители. Виды инструментальных магазинов. Кодирование и распознавание инструментов в инструментальных магазинах. Основным элементом УАСИ является инструментальные магазины – накопители устанавливаемые на многооперационных станках представляющих собой накопители инструментов большой емкости от 16 и более.
45863. Автоматизация загрузочных операций. Автоматизация и механизация загрузки и разгрузки. Виды загрузочно – разгрузочных устройств 16.43 KB
  Для осуществления загрузочных операций в автоматическом режиме необходимо осуществлять следующие действия: 1создать задел заготовок для обеспечения бесперебойной работы загрузочного оборудования 2осуществить пространственную ориентацию загрузочных изделий. В комплексе задач по автоматизации технологических процессов наиболее сложным является задача автоматизации и механизации загрузки и разгрузки что вызвано большим разнообразием форм и размеров заготовок и деталей а также самих процессов. ЗРУ в условиях серийного производства...
45864. Автоматический контроль. Виды контроля по формам воздействия на объект. Активный автоматический контроль 14.98 KB
  Виды контроля по формам воздействия на объект. Под устройствами автоматического контроля понимают устройства которые без вмешательства человека выполняют всю совокупность операций необходимых для выяснения действительных параметров заготовок и деталей полуфабрикатов производят измерения в процессе обработки до его начала либо после сортируют по величине отклонений действительных параметров от номинального значения а также управляет режимами работы оборудования. Для осуществления пассивного автоматического контроля широко используются...
45865. Промышленные роботы: понятие и назначение. Основные сведения о промышленных роботах. Манипуляторы и автооператоры 18.22 KB
  При обслуживании основного технологического оборудования ПР выполняют операции по загрузке заготовок и разгрузке готовых деталей или полуфабрикатов контролю смене инструментов уборке отходов производства установке и смене средств контроля в автоматическом режиме на технологическое оборудование межоперационной передаче и транспортированию складированию. В составе транспортных систем ПР могут самостоятельно осуществлять операции перемещения и доставки грузов обслуживать различные линии осуществлять операции по накоплению и контролю. Они...
45866. Инструменты для нарезания резьбы. Формообразующие движения. Особенности эксплуатации и обеспечение точности нарезаемой резьбы 103.44 KB
  Инструменты для нарезания резьбы. Особенности эксплуатации и обеспечение точности нарезаемой резьбы. Резьбы на деталях получают на сверлильных резьбонарезных и токарных станках а также накатыванием т. Инструментом для накатывания резьбы служат накатные плашки накатные ролики и накатные головки.
45867. Инструменты для нарезания зубьев цилиндрических колес. Методы их работы. От каких факторов зависит степень точности нарезаемого зубчатого венца 96.1 KB
  Относятся 1дисковые пальцевые и зуборезные фрезы зубодолбежные головки идрСхема фрезерия зуб. Вращение фрезы вокруг своей оси. Пальцевые фрезы целесообразно использовать при обр. фрезы и загат.
45868. Инструменты для повышения степени точности зубчатых колес, их конструкция и принцип работы 61.73 KB
  Если вращать шевер а обрабатываемому колесу увлекаемому им во вращение сообщать поступательное движение то режущие кромки канавок шевера будут снимать тонкие толщиной менее 001 мм волосообразные стружки с поверхности зубьев. Шевингование применяют для тонкой обработки зубьев у незакаленных колес или закаленных до твердости HRC = 35. Схема шлифования зубьев: а методом копирования; б методом обкатки Закаленные до более высокой твердости поверхности зубьев могут быть отделаны шлифованием. Как и при зубонарезании шлифование зубьев...