67478

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Лекция

Физика

Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Русский

2014-09-10

147.5 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я   16

ОСНОВЫ  КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ  КВАНТОВОЙ   ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

  (r,t) = .

Рассмотрим нерелятивистский предел

 v << c: p2 << 2c2,     p  c2.

В функции w+(p) с положительной энергией имеем:

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w(p) с отрицательной энергией получим

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при 1 2

 

  = 0.

Действительно,

 .

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

   +,

запишем это условие как

 {w++(p) w+(p) + w-+(p) w-(p)} = const.

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=p1 в состояние с Е2=p2, где p2>p1. При этом выделится «даровая» энергия

 Е = Е1  Е2 = p2  p1  >  0.

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2c2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц,  с  энергией    (и с зарядом  , если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p , и постоянство вероятности запишется как

  {w++(p) w+(p)+ w-+(p) w-(p)} = C.

Будем считать, что функции w+ описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

 w++(p)w+(p)

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=p, p , ( - значение спиновой переменной), так что

 w+w  N(p).

Введем число частиц в системе N, равное

 N ={N-(p)+ N+(p)}.

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 Е = p{N+(p) + N-(p)}

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или p, или   p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 N(p) = 1,     N+(p) = 0,

так что

 N0=.

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 Nфиз =  N  N0 = {N+(p) - [1 -N-(p)]}

и

 Ефиз = Е  Е0 = p{N+(p) + [1 - N-(p)]}.

Так как N(p)1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем

 (p) 1N(p).

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 N(p)  N+(p).

Тогда получим

 Ефиз = p{N(p) + (p)}.

Поэтому (p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд  е. Тогда полный заряд будет

 Q = eN = e{N+(p) + N-(p)}.

Наблюдать же будем разность над фоном

 Qфиз = Q  Q0 = Q  eN0 = e{N(p) - (p)}.

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а е. Тогда это будет записываться как

 Qфиз = {eN(p) + (-e) (p)},

и все хорошо. Уравнение непрерывности

  + divj = 0

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

  + divje = 0,

где

 е = е(  0), je = ej.

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 1 = ,

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с p и p  не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц p и p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией.  Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с  p может стать частицей с p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 ,

где в явной форме записи

 .

Рассмотрим оператор орбитального момента

 ,

у которого третий компонент есть

 .

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 0,      j = 1, 2, 3,

а потому  не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому  - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

 .

Тогда из  будет следовать

 ;

в частности,

 .

Оператор  не действует на r , а потому оператор  должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через j и . Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67478_9e06c61e7b37139bda16253bc7fdbdfe.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20271. ОБОРУДОВАНИЕ GPRS 1.98 MB
  Между тем существуют некоторые технические особенности реализации оборудования GPRS среди которых следует выделить способ интеграции контроллеров пакетов PCU в подсистему базовых станции BSS. В качестве примера первого варианта организации оборудования GPRS может быть рассмотрено оборудование Alcatel в качестве второго Ericsson. ОБОРУДОВАНИЕ GPRS ПРОИЗВОДСТВА ALCATEL На рис.
20272. ОБОРУДОВАНИЕ GPRS. Сервисный узел поддержки услуг GPRS (SGSN) 1.58 MB
  Структурная схема SGSN В структуру SGSN входят: UNIX серверы блок маршрутизации интерфейсные модули интерфейсов на базе ОКС № 7 Gr Gd Gf Gs модули Gb интерфейса. UNIX серверы выполняют основные функции SGSN такие как управление мобильностью управление сессиями тарификация функции протокола GTP и др.Основные функции SGSN разделяются на две плоскости рис.
20273. Высокое качество передачи речевой информации 133.5 KB
  К началу 1994 года сети основанные на рассматриваемом стандарте имели уже 1. Воистину GSM шагает по планете в настоящее время телефоны этого стандарта имеют около 200 миллионов человек а GSMсети можно найти по всему миру. ОСНОВНЫЕ ЧАСТИ СИСТЕМЫ GSM ИХ НАЗНАЧЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДРУГ С ДРУГОМ Начнем с самого сложного и пожалуй скучного рассмотрения скелета или как принято говорить блоксхемы сети.
20274. ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЙ ИНТЕРФЕЙС МОБИЛЬНОЙ СТАНЦИИ 82.5 KB
  Примитивы ввода Спецификацией GSM предусмотрен следующий набор элементарных процедур ввода: 1 2 то же что и ABC 3 то же что и DEF 4 то же что и GHI 5 то же что и JKL 6 то же что и MNO 7 то же что и PQRS 8 то же что и TUV 9 то же что и WXYZ 0 то же что и SELECT ACCEPT SEND END для ввода номера в международном формате Код Страны Номер Процедура выбора страны PLMN Процедура ввода дополнительных данных о вызове голос факс данные синхронный асинхронный режим передачи и т. Индикатор...
20275. СЕТЕВЫЕ АСПЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ СПС 96 KB
  Третий уровень протокола обмена сигналами GSM подразделяется на три подуровня: Подуровень управления радио ресурсами Radio Resources Management. Спецификация MAP это одна из самых объемных частей в рекомендациях GSM.В системах GSM существуют четыре основных типа таких процедур: Каналы тайм слоты принадлежат одной соте. Очень важным аспектом GSM является тот факт что MSC так называемая якорная MSC является ответственной за большинство функций имеющих непосредственное отношение к соединению за исключением внутренних BSC хандоверов...
20276. Оборудование подсистемы коммутации (SSS) 254 KB
  Подсистема коммутации системы SSS в рамках СМЕ20 реализована на базе известной коммутационной системы АХЕ10. Каждая подсистема разделена на функциональные блоки. Подсистемы APT Подсистема Наименование подсистемы Функции Назначение станции в сети GSM CCS Common Channel Signalling Subsystem ОКС Управление ОКС № 7 MSC GMSC BSC HLR CHS Charging Subsystem Тарификация Обеспечение тарификации и учет стоимости MSC DTS Data Transmission Subsystem Передача данных Пакетирование сообщений при передаче данных в среде ISDN по Dканалу MSC ESS...
20277. ЯПОНИЯ в 20-30-е гг.20в. основные черты экономического и политического развития 16.94 KB
  В годы первой мировой войны и после нее происходил значительный экономический рост Японии. Политическая власть в Японии принадлежала прежде всего императору совету старейшин генро Тайному совету и правительству. Фашизация Японии. преодолевались в Японии за счет милитаризации экономики т.
20278. Причины и характер войны 19.19 KB
  Разгром Франции. Что касается поведения Англии и Франции то дело тут было более сложным. Объясняется это тем что Англия к войне на суше как военноморская держава подготовлена не была а правительство Франции в свою очередь ориентировалось на Англию. На поведении Англии и Франции отразилось также подписание 28 сентября 1939 г.
20279. КОРЕННОЙ ПЕРЕЛОМ В ХОДЕ ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ 19.04 KB
  КОРЕННОЙ ПЕРЕЛОМ В ХОДЕ ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ Вспомните. Начался коренной перелом в ходе Великой Отечественной и второй мировой войны. Битва под Курском знаменательное событие второй мировой войны. Победа на Курской дуге и успешное наступление завершили коренной перелом в ходе Великой Отечественной и второй мировой войны.