67478

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Лекция

Физика

Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Русский

2014-09-10

147.5 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я   16

ОСНОВЫ  КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ  КВАНТОВОЙ   ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

  (r,t) = .

Рассмотрим нерелятивистский предел

 v << c: p2 << 2c2,     p  c2.

В функции w+(p) с положительной энергией имеем:

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w(p) с отрицательной энергией получим

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при 1 2

 

  = 0.

Действительно,

 .

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

   +,

запишем это условие как

 {w++(p) w+(p) + w-+(p) w-(p)} = const.

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=p1 в состояние с Е2=p2, где p2>p1. При этом выделится «даровая» энергия

 Е = Е1  Е2 = p2  p1  >  0.

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2c2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц,  с  энергией    (и с зарядом  , если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p , и постоянство вероятности запишется как

  {w++(p) w+(p)+ w-+(p) w-(p)} = C.

Будем считать, что функции w+ описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

 w++(p)w+(p)

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=p, p , ( - значение спиновой переменной), так что

 w+w  N(p).

Введем число частиц в системе N, равное

 N ={N-(p)+ N+(p)}.

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 Е = p{N+(p) + N-(p)}

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или p, или   p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 N(p) = 1,     N+(p) = 0,

так что

 N0=.

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 Nфиз =  N  N0 = {N+(p) - [1 -N-(p)]}

и

 Ефиз = Е  Е0 = p{N+(p) + [1 - N-(p)]}.

Так как N(p)1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем

 (p) 1N(p).

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 N(p)  N+(p).

Тогда получим

 Ефиз = p{N(p) + (p)}.

Поэтому (p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд  е. Тогда полный заряд будет

 Q = eN = e{N+(p) + N-(p)}.

Наблюдать же будем разность над фоном

 Qфиз = Q  Q0 = Q  eN0 = e{N(p) - (p)}.

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а е. Тогда это будет записываться как

 Qфиз = {eN(p) + (-e) (p)},

и все хорошо. Уравнение непрерывности

  + divj = 0

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

  + divje = 0,

где

 е = е(  0), je = ej.

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 1 = ,

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с p и p  не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц p и p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией.  Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с  p может стать частицей с p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 ,

где в явной форме записи

 .

Рассмотрим оператор орбитального момента

 ,

у которого третий компонент есть

 .

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 0,      j = 1, 2, 3,

а потому  не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому  - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

 .

Тогда из  будет следовать

 ;

в частности,

 .

Оператор  не действует на r , а потому оператор  должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через j и . Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67478_9e06c61e7b37139bda16253bc7fdbdfe.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22015. Польские земли до XV вв. 115.5 KB
  В Польше некоторое ограничение крестьянских выходов были узаконено для всей Малой Польши Вислицким статутом Казимира III так как села пустеют то мы устанавливаем чтобы из одного села в другое вопреки желанию господина села в котором они живут могло перебраться не больше чем 12 кметя. Изданный одновременно для Великой Польши Пётрковский статут разрешал выход на рождество если за крестьянином не было недоимок. В христианизации Польши большую роль сыграла Чехия. Мешко в борьбе с Чехией овладел Силезией и частью Малой Польши.
22016. Польша в XVI-XVII вв. 89 KB
  В XVI в. Население Польши росло вплоть до середины XVII в. Судя по данным описей второй половины XVI в.
22017. Скандинавия до XV в. 127.5 KB
  Температура января в Северной Норвегии 0 7 в Южной и Центральной Швеции от 1 до 3. Климат морской в Норвегии Дании Исландии умеренно континентальный на большей части Швеции. Это было вызвано тем что доля территории Швеции и Норвегии это не касается Дании на которой можно вести земледельческое хозяйство невелика в Норвегии 3 в Швеции 9 в Исландии около 1 от площади страны. Полная деревня Швеции 48 дворов.
22018. Кальциевый насос животной клетки 208.5 KB
  Он выполняет важнейшую функцию активный перенос ионов кальция через мембраны клеток поддерживая тем самым низкую концентрацию этих ионов в клетке 107 М по сравнению с окружающей средой 3103 М. Введение В цитоплазме клеток концентрация ионов кальция составляет всего 50100 нМ 5108 1107 М тогда как в окружающей клетки среде она равна примерно 3 мМ 3103 М. Поддерживает эту разницу в концентрации на четыре порядка величины система активного транспорта ионов кальция главную роль в которой играет кальциевый насос ...
22019. Общая схема реакций 129.5 KB
  Кинетика окисления ионов Fe2 образование продуктов перекисного окисления липидов MDA и хемилюминесценции I в суспензии митохондрий к которой добавлены ионы двухвалентного железа момент введения показан стрелкой Vladimirov Yu. Кинетика окисления ионов Fe2 образование продуктов перекисного окисления липидов MDA и хемилюминесценции I в суспензии митохондрий к которой добавлены ионы двухвалентного железа момент введения показан стрелкой Vladimirov Yu. Кинетика процесса перекисного окисления обладает большой сложностью...
22020. Кинетика химических реакций 144.5 KB
  Зависимость изменения концентрации участников реакции т. субстратов и продуктов от времени называют кинетикой реакции. Итак повторим некоторые определения: Субстраты вещества вступающие в реакцию Продукты вещества образующиеся в результате реакции Промежуточные вещества продукты сразу же вступающие в новую реакцию Скорость реакции изменение концентрации одного из продуктов который рассматривается в качестве главного.
22021. Принцип метода ЭПР 488.5 KB
  Кроме свободнорадикальных состояний методом ЭПРисследуют триплетные состояния возникающие в ходе фотобиологических процессов. Пионерами применения ЭПР в биологических исследованиях в СССР были Л. Характеристики спектров ЭПР Амплитуда сигнала Сигнал ЭПР представляет собой первую производную от линии.
22022. Сила, работа и энергия 219 KB
  Экспериментальная работа с биологическими объектами ставит своей задачей по сути дела моделирование процессов протекающих в живом организме. Сила работа и энергия Из физики мы знаем что сила это причина изменения скорости тела. По определению работа A равна произведению силы F действующей на некоторое тело на перемещение s этого тела в направлении действия силы. И сила и перемещение векторы; работа же скалярная величина равная призведению этих векторов: 1 Будучи скаляром работа рассматривается в термодинамике а...
22023. Реакции окисления-восстановления 126.5 KB
  Атомы цинка могут переходить из металлической решетки в водный раствор в виде ионов цинка Zn2; при этом освободившиеся электроны уходят по электрической цепи т. происходит процесс: Zn Zn2 2e Отрыв электрона от цинка называется процессом его окисления присоединение электронов к ионам цинка называют их восстановлением. Интуитивно мы понимаем что увеличение потенциала будет способствовать восстановлению ионов цинка до металлического цинка тогда как его уменьшение наоборот окислению цинка до ионов см. Для этого рассчитаем количество...