67478

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Лекция

Физика

Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Русский

2014-09-10

147.5 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я   16

ОСНОВЫ  КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ  КВАНТОВОЙ   ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

  (r,t) = .

Рассмотрим нерелятивистский предел

 v << c: p2 << 2c2,     p  c2.

В функции w+(p) с положительной энергией имеем:

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w(p) с отрицательной энергией получим

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при 1 2

 

  = 0.

Действительно,

 .

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

   +,

запишем это условие как

 {w++(p) w+(p) + w-+(p) w-(p)} = const.

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=p1 в состояние с Е2=p2, где p2>p1. При этом выделится «даровая» энергия

 Е = Е1  Е2 = p2  p1  >  0.

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2c2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц,  с  энергией    (и с зарядом  , если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p , и постоянство вероятности запишется как

  {w++(p) w+(p)+ w-+(p) w-(p)} = C.

Будем считать, что функции w+ описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

 w++(p)w+(p)

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=p, p , ( - значение спиновой переменной), так что

 w+w  N(p).

Введем число частиц в системе N, равное

 N ={N-(p)+ N+(p)}.

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 Е = p{N+(p) + N-(p)}

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или p, или   p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 N(p) = 1,     N+(p) = 0,

так что

 N0=.

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 Nфиз =  N  N0 = {N+(p) - [1 -N-(p)]}

и

 Ефиз = Е  Е0 = p{N+(p) + [1 - N-(p)]}.

Так как N(p)1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем

 (p) 1N(p).

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 N(p)  N+(p).

Тогда получим

 Ефиз = p{N(p) + (p)}.

Поэтому (p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд  е. Тогда полный заряд будет

 Q = eN = e{N+(p) + N-(p)}.

Наблюдать же будем разность над фоном

 Qфиз = Q  Q0 = Q  eN0 = e{N(p) - (p)}.

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а е. Тогда это будет записываться как

 Qфиз = {eN(p) + (-e) (p)},

и все хорошо. Уравнение непрерывности

  + divj = 0

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

  + divje = 0,

где

 е = е(  0), je = ej.

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 1 = ,

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с p и p  не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц p и p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией.  Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с  p может стать частицей с p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 ,

где в явной форме записи

 .

Рассмотрим оператор орбитального момента

 ,

у которого третий компонент есть

 .

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 0,      j = 1, 2, 3,

а потому  не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому  - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

 .

Тогда из  будет следовать

 ;

в частности,

 .

Оператор  не действует на r , а потому оператор  должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через j и . Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67478_9e06c61e7b37139bda16253bc7fdbdfe.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26601. СТАНДАРТНАЯ СОРТИРОВКА ТУШ ПО УПИТАННОСТИ 15.96 KB
  Говядину взрослого скота молодняка а также баранину и козлятину подразделяют на 1ю и 2ю категории. Говядина 1й категории должна иметь как минимум удовлетворительное развитие мускулатуры; остистые отростки позвонков седалищные бугры и маклоки не должны резко выступать жировые отложения должны быть заметны в виде небольших участков на шее лопатках бедрах в тазовой полости и в области паха; слои подкожного жира от 8го ребра к седалищным буграм могут иметь значительные просветы. Говядина 2й категории характеризуется менее...
26602. СУЩНОСТЬ «ЗАГАРА» МЯСА. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ «ЗАГАРЕ». ЗАГАР 2.3 KB
  СУЩНОСТЬ ЗАГАРА МЯСА. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ЗАГАРЕ. Это особый вид порчи мяса в первые сутки после убоя животного. Наблюдают его при недостаточно интенсивном охлаждении парного мяса а также при слабой аэрации если туши в парном состоянии плотно укладывают или тесно подвешивают одна к другой в душных помещениях при температуре выше 1520 С.
26603. СУЩНОСТЬ ПОНЯТИЙ «УСЛОВНО ГОДНОЕ МЯСО», «МЯСО ВЫНУЖДЕННО УБИТЫХ ЖИВОТНЫХ» 878 Bytes
  СУЩНОСТЬ ПОНЯТИЙ УСЛОВНО ГОДНОЕ МЯСО МЯСО ВЫНУЖДЕННО УБИТЫХ ЖИВОТНЫХ. Мясо вынужденно убитых животных мясо от больных животных лишенных жизни ввиду нецелесообразности или неэффективности дальнейшего лечения с целью недопущения падежа. Условногодное мясо мясо использование которого для пищевых целей допускается после обеззараживания.
26604. СУЩНОСТЬ ПРОЦЕССА ПОСОЛКИ И ГИГИЕНА ПОСОЛКИ МЯСА. ЗНАЧЕНИЕ И СУЩНОСТЬ ПОСОЛА 6.28 KB
  СУЩНОСТЬ ПРОЦЕССА ПОСОЛКИ И ГИГИЕНА ПОСОЛКИ МЯСА. Посол мяса один из самых древних ранее широко распространенных и доступных методов консервирования. В связи с развитием холодильной техники использованием высоких температур для консервирования мяса и мясопродуктов развитием колбасного производства посол уступил первое место этим методам консервирования. Однако и сейчас в сельской местности в личном хозяйстве он находит и будет находить применение как самостоятельный метод консервирования мяса н мясопродуктов.
26605. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ МЯСА НА ОБСЕМЕНЕННОСТЬ ВОЗБУДИТЕЛЯМИ ТОКСИКОИНФЕКЦИЙ 1.54 KB
  СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ МЯСА НА ОБСЕМЕНЕННОСТЬ ВОЗБУДИТЕЛЯМИ ТОКСИКОИНФЕКЦИЙ. Схема бактериологического исследования мяса и мясопродуктов по ГОСТ 2123775.
26606. ТЕХНОЛОГИЯ УБОЯ КРС И ПЕРВИЧНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТУШ. ОГЛУШЕНИЕ. 22.62 KB
  ТЕХНОЛОГИЯ УБОЯ КРС И ПЕРВИЧНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТУШ. Чтобы предотвратить загрязнение туш и крови содержимым преджелудков на пищевод животным перед их обескровливанием накладывают лигатуру. Во избежание попадания крови от больных животных емкости нумеруют соответствующими номерами туш от которых собрана кровь. После этого полый нож извлекают из туши.
26607. ТЕХНОЛОГИЯ УБОЯ СВИНЕЙ И ПЕРВИЧНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТУШ. УБОЙ. ОГЛУШЕНИЕ 22.1 KB
  При сборе крови только для технических целей обычным боенским ножом производят глубокий разрез тканей в месте соединения шеи с грудной частью туши и направляя лезвие ножа вверх перерезают кровеносные сосуды у правого предсердия. Зачистка этих участков приводит к потерям массы туши и снижению ее товарного вида. Как указано выше свиные туши обрабатывают со съемкой шкур со съемкой крупонов и со шпаркой туш без съемки шкур. На конвейере вручную кольцеобразно подрезают гузенки снимают шкуру с бедер голяшек и паховой части от туш самцов...
26608. ТРАНСПОРТИРОВКА СКОРОПОРТЯЩИХСЯ ПРОДУКТОВ 8.39 KB
  ТРАНСПОРТИРОВКА СКОРОПОРТЯЩИХСЯ ПРОДУКТОВ. Главными задачами транспортировки являются быстрая доставка продуктов к местам назначения и сохранение их первоначальных качеств. Температурный режим при перевозке скоропортящихся продуктов В рефрижераторных поездах и секциях устанавливается в зависимости от температуры груза в момент погрузки. Совместная перевозка в одном вагоне разных видов скоропортящихся продуктов допускается при условии одинакового способа их обслуживания и на срок не превышающий установленного для наименее стойкого груза.
26609. ТРАНСПОРТИРОВКА СКОТА АВТОМОБИЛЬНЫМ ТРАНСПОРТОМ, ПО ЖЕЛЕЗНЫМ ДОРОГАМ И ВОДНЫМ ПУТЯМ. АВТОМОБИЛЬНЫЙ ТРАНСПОРТ 9.12 KB
  В 23 раза по сравнению с железнодорожным транспортом автомобильные перевозки ускоряют доставку животных на убой. В них не должно быть торчащих предметов дыр в полу и других неисправностей которые могли бы травмировать животных. Для предохранения животных от перегрева и охлаждения кузова покрывают брезентом. Крупных животных размещают в кузове на привязи головами вперед или к боковой стенке овец свиней и молодняк крупного рогатого скота перевозят без привязи.