67478

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Лекция

Физика

Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Русский

2014-09-10

147.5 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я   16

ОСНОВЫ  КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ  КВАНТОВОЙ   ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

  (r,t) = .

Рассмотрим нерелятивистский предел

 v << c: p2 << 2c2,     p  c2.

В функции w+(p) с положительной энергией имеем:

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w(p) с отрицательной энергией получим

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при 1 2

 

  = 0.

Действительно,

 .

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

   +,

запишем это условие как

 {w++(p) w+(p) + w-+(p) w-(p)} = const.

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=p1 в состояние с Е2=p2, где p2>p1. При этом выделится «даровая» энергия

 Е = Е1  Е2 = p2  p1  >  0.

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2c2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц,  с  энергией    (и с зарядом  , если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p , и постоянство вероятности запишется как

  {w++(p) w+(p)+ w-+(p) w-(p)} = C.

Будем считать, что функции w+ описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

 w++(p)w+(p)

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=p, p , ( - значение спиновой переменной), так что

 w+w  N(p).

Введем число частиц в системе N, равное

 N ={N-(p)+ N+(p)}.

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 Е = p{N+(p) + N-(p)}

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или p, или   p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 N(p) = 1,     N+(p) = 0,

так что

 N0=.

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 Nфиз =  N  N0 = {N+(p) - [1 -N-(p)]}

и

 Ефиз = Е  Е0 = p{N+(p) + [1 - N-(p)]}.

Так как N(p)1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем

 (p) 1N(p).

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 N(p)  N+(p).

Тогда получим

 Ефиз = p{N(p) + (p)}.

Поэтому (p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд  е. Тогда полный заряд будет

 Q = eN = e{N+(p) + N-(p)}.

Наблюдать же будем разность над фоном

 Qфиз = Q  Q0 = Q  eN0 = e{N(p) - (p)}.

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а е. Тогда это будет записываться как

 Qфиз = {eN(p) + (-e) (p)},

и все хорошо. Уравнение непрерывности

  + divj = 0

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

  + divje = 0,

где

 е = е(  0), je = ej.

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 1 = ,

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с p и p  не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц p и p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией.  Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с  p может стать частицей с p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 ,

где в явной форме записи

 .

Рассмотрим оператор орбитального момента

 ,

у которого третий компонент есть

 .

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 0,      j = 1, 2, 3,

а потому  не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому  - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

 .

Тогда из  будет следовать

 ;

в частности,

 .

Оператор  не действует на r , а потому оператор  должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через j и . Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67478_9e06c61e7b37139bda16253bc7fdbdfe.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72808. Гипотеза образования Земли и ее внутреннее строение 72.5 KB
  Гипотеза образования Земли и ее внутреннее строение. лет назад из холодного газа пылевого облака вследствие взрыва Земли 1го поколения. Тяжёлые элементы опустились вниз и образовали ядро Земли. В определённый момент размеры Земли стали такие что газы выделявшиеся на поверхности из недр стали удерживаться и образовалась атмосфера.
72809. Гипотезы происхождения жизни на земле. Уровни организации живой природы 138 KB
  Вначале Земля была безжизненной но под действием солнечной радиации а так же процесса на поверхности Земли химических веществ произошёл синтез органических соединений который привел к образованию первых примитивных организмов. Исследование метеоритов показали наличие в них сложных органических соединений углеводородов спиртов...
72810. Устройства ввода-вывода информации. Внешние накопители 38 KB
  Благодаря достаточно большому объему и довольно высокой надежности чаще всего используются в рамках устройств резервного копирования данных на предприятиях и в крупных компаниях хранят резервные копии баз данных и другой важной информации.
72812. Компьютерные сети 54 KB
  Компьютерная сеть — это два или более компьютера, обменивающихся информацией по линиям связи. Компьютерная сеть позволяет передавать информацию с одного компьютера на другой, а значит, совместно использовать ресурсы, например, принтеры, модемы и устройства хранения информации.
72813. ФАЙЛЫ И ФАЙЛОВАЯ СИСТЕМА 46.5 KB
  Имя файла состоит из двух частей разделенных точкой: собственно имя файла и расширение определяющее его тип программа данные и т. Собственно имя файлу дает пользователь а тип файла обычно задается программой автоматически при его создании.
72814. Алгоритм, его свойства. Виды алгоритмов. Формы записи алгоритмов 53 KB
  Виды алгоритмов. Формы записи алгоритмов. Решение задач на компьютере основано на понятии алгоритма. Алгоритм - это точное предписание определяющее вычислительный процесс ведущий от варьируемых начальных данных к исходному результату.
72815. Устройства вывода информации, мониторы и принтеры 46 KB
  Матричные игольчатые принтеры - это самые дешевые аппараты обеспечивающие удовлетворительное качество печати для широкого круга рутинных операций главным образом для подготовки текстовых документов.
72816. Устройства ввода информации 46.5 KB
  Для непосредственного считывания графической информации с бумажного или иного носителя в ПК применяется оптические сканеры. Существует множество видов и моделей сканеров. Какой из них выбрать зависит от задач для которых сканер предназначается.