67478

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Лекция

Физика

Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Русский

2014-09-10

147.5 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я   16

ОСНОВЫ  КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ  КВАНТОВОЙ   ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

  (r,t) = .

Рассмотрим нерелятивистский предел

 v << c: p2 << 2c2,     p  c2.

В функции w+(p) с положительной энергией имеем:

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w(p) с отрицательной энергией получим

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при 1 2

 

  = 0.

Действительно,

 .

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

   +,

запишем это условие как

 {w++(p) w+(p) + w-+(p) w-(p)} = const.

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=p1 в состояние с Е2=p2, где p2>p1. При этом выделится «даровая» энергия

 Е = Е1  Е2 = p2  p1  >  0.

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2c2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц,  с  энергией    (и с зарядом  , если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p , и постоянство вероятности запишется как

  {w++(p) w+(p)+ w-+(p) w-(p)} = C.

Будем считать, что функции w+ описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

 w++(p)w+(p)

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=p, p , ( - значение спиновой переменной), так что

 w+w  N(p).

Введем число частиц в системе N, равное

 N ={N-(p)+ N+(p)}.

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 Е = p{N+(p) + N-(p)}

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или p, или   p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 N(p) = 1,     N+(p) = 0,

так что

 N0=.

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 Nфиз =  N  N0 = {N+(p) - [1 -N-(p)]}

и

 Ефиз = Е  Е0 = p{N+(p) + [1 - N-(p)]}.

Так как N(p)1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем

 (p) 1N(p).

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 N(p)  N+(p).

Тогда получим

 Ефиз = p{N(p) + (p)}.

Поэтому (p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд  е. Тогда полный заряд будет

 Q = eN = e{N+(p) + N-(p)}.

Наблюдать же будем разность над фоном

 Qфиз = Q  Q0 = Q  eN0 = e{N(p) - (p)}.

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а е. Тогда это будет записываться как

 Qфиз = {eN(p) + (-e) (p)},

и все хорошо. Уравнение непрерывности

  + divj = 0

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

  + divje = 0,

где

 е = е(  0), je = ej.

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 Nфиз = {N(p) - (p)}.

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 1 = ,

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с p и p  не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц p и p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией.  Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с  p может стать частицей с p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 ,

где в явной форме записи

 .

Рассмотрим оператор орбитального момента

 ,

у которого третий компонент есть

 .

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 0,      j = 1, 2, 3,

а потому  не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому  - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

 .

Тогда из  будет следовать

 ;

в частности,

 .

Оператор  не действует на r , а потому оператор  должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через j и . Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67478_9e06c61e7b37139bda16253bc7fdbdfe.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10987. Кластерный анализ. Анализ временных рядов 79.16 KB
  КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ПРОДОЛЖЕНИЕ Монотонность Для графического представления процесса объединения все индивиды группы размещаются в соответствующем порядке на оси абсцисс. Последовательность объединений иерархия или дендрограмма требует чтобы каждое объединени
10988. Сглаживание временного ряда (выделение неслучайной компоненты) 98.62 KB
  Сглаживание временного ряда выделение неслучайной компоненты Одной из важнейших задач исследования временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса выраженной неслучайной составляющей тренда либо тренда с циклической или/и сезонной ком...
10989. Newton Interpolating Polynomial 76.5 KB
  Newton Interpolating Polynomial Case 1: Constant Polynomial Only one xvalue is given in the table X x1 Y y1 Let P0x be the interpolating polynomial function. Hence P0x1 = y1. It passes through the one point x1y1 given in the table. Hence choose 6.1 Case 2: Linear Polynomial Two xvalues are given in the table ...
10990. Spline Interpolation 87.5 KB
  Spline Interpolation In the previous sections n 1th order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...
10991. Numerical Integration 156.5 KB
  2. Numerical Integration 2.1. Introduction Numerical integration which is also called quadrature has a history extending back to the invention of calculus and before. The fact that integrals of elementary functions could not in general be computed analytically while derivatives could be served to give the field a certain panache and to set it a cut above the arithmetic drudgery of numerical analysis during the whole of the 18th and 19th centuries. With the invention of automa...
10992. Extended Formulas (Closed) 145 KB
  Extended Formulas Closed If we use equation 2.5 N 1 times to do the integration in the intervals x1; x2; x2; x3; xN 1; xN and then add the results we obtain an extendedr or compositer formula for the integral from x1 to xN. Extended trapezoidal rule: In this method the area under the curve is approximated by sums of trapezoids areas under the curve see Fig. 2.3.. Figure 2.3. Extended trapezoidal rule. Trapezoid formul...
10993. Solution of Linear Algebraic Equations 132.5 KB
  Lesson 6 3. Solution of Linear Algebraic Equations 3.1. Introduction A set of linear algebraic equations looks like this: 3.1 Here the n unknowns xj j = 1 2 n are related by m equations. The coefficients aij with i = 1 2 m and j = 1 2 n are known numbers as are the righthand side quantities bi i = 1 2 m. If n = m then there are as many equations as unknowns and there is a good chance of solving for a unique solution...
10994. Проблема истины. Аргументы агностицизма 69 KB
  Проблема истины Способно ли человеческое познание в том числе и научное приводить к истине Автоматически ответить на этот вопрос положительно философия не может поскольку за тысячелетия ее существования было сформулировано немало аргументов выражавших на сей счет ...
10995. Культура и цивилизация, содержание и закономерности развития культуры 127.5 KB
  Культура и цивилизация Понятиями культура и цивилизация обозначены чрезвычайно важные точки роста на нескончаемой нити человеческого познания. Феномены культуры и цивилизации стремительно преображают окружающую среду оцениваются как факторы творческого жизнеустр