67479

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ. УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Лекция

Физика

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона - релятивистскому уравнению второго порядка, которому должна подчиняться любая волновая функция. Из него было ранее получено уравнение непрерывности

Русский

2014-09-10

250 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  17

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

  УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Будем искать оператор  в виде

 =а12 .

При коммутации с  его член c2 даст нуль, ибо антикоммутирует с  1 и 2, а значит, коммутирует с их произведением. Поэтому

 .

Используя перестановочные соотношения для j , найдем

 .

Сравнивая с нужным результатом, найдем а = , и потому

 12.

Учитываем явный вид матриц j :

 ,

а также то, что 12=i3 :

 .

Аналогично вычисляются :

 .

Оператор квадрата спина есть

 ,

так как 2j=1. Таким образом,

 .

С другой стороны, из перестановочных соотношений для операторов момента мы в свое время получали

 ,

где S-значение спинового момента. Сравнивая с 342, находим

 S = 2,

т.е. уравнение Дирака описывает частицы со спином 12 (электрон, позитрон, мюон, протон, нейтрон и т.д.). Для описания нейтрино, у которых тоже S= 12, уравнение Дирака нужно модифицировать, так как у них m = 0.

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона - релятивистскому уравнению второго порядка, которому должна подчиняться любая волновая функция. Из него было ранее получено уравнение непрерывности

  + divj = 0,

где

  = {()-()},

причем величина не является положительно определенной и не может поэтому быть интерпретирована как плотность вероятности. Но, рассматривая уравнение Дирака, мы перешли от и j к е и je - величинам, описывающим плотность зарядов и токов. Это означает, что в релятивистских уравнениях нужно отказаться от точного описания одночастичных систем, а считать, что они описывают как-то системы многих частиц. Итак, делаем переходы

 

   e = e,     j  je  = ej

 

Так как e=const, то e и je также удовлетворяют уравнению непрерывности

 + divje = 0,

которое теперь выражает закон сохранения электрического заряда. Так как

  Е = р ,   р ,

то в любой релятивистской теории возникают решения с положительными и отрицательными энергиями

 

 +:  E = р ,     -: E = -р.

Им отвечают плотности заряда

 .

Рассмотрим нерелятивистский предел этих выражений. Так как удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона, то для них

   E,        -  E

(см. самое начало релятивистских рассмотрений). Подстановка дает

 e = e.

Нерелятивистский предел-это 2<< 2c2, или рc2.

1. При Е=р получаем Е  c2, и

 е+ = е++.

 Это есть положительно определенная величина. При нормированной функции + интеграл от нее будет равен е, а значит е можно интерпретировать как плотность заряда одной частицы с q=e. В многочастичной системе е+ - это плотность зарядов, описываемых функцией +.

2. При Е = р получаем Е  c2 , и

 е- = -е.

Это есть плотность зарядов для частиц с q = е.

Таким образом, в нерелятивистском приближении решения УКГ с положительной и отрицательной энергиями задают плотность вероятности обнаружения частиц и античастиц, соответственно.

Найдем спин частиц, описываемых УКГ. Убедимся, что орбитальный момент для  этих частиц сохраняется, т.е. его оператор коммутирует с гамильтонианом. Этот оператор

 

в импульсном представлении записывается как

 ,

откуда, в частности,

 .

Записываем уравнение на собственные значения гамильтониана в импульсном представлении:

 

и рассматриваем коммутатор на его решениях:

 

Аналогично получаем, что

 - = 0.

Таким образом, оператор орбитального момента сохраняется, и его можно считать полным моментом. Поэтому УКГ описывает частицы с нулевым спином: S=0.

Примечание. Показано только для , но совершенно аналогично доказывается, что  тоже коммутируют с . Тем не менее, отсюда строго говоря, не следует, что S=0. Мы доказали только, что коммутирует с , и отсюда следует только то, что и  коммутирует с , так как в силу изотропии пространства  коммутирует с  всегда. Значит, по ходу дела совершено предположение, что =, но оно-то ниоткуда не следует. Тем не менее, все можно обосновать и абсолютно строго. Мы доказали только то, что УКГ может описывать частицы с S=0.

Так или иначе, принимаем, что УКГ описывает частицы с нулевым спином - например, пионы, каоны.

Вернемся вновь к уравнению Дирака и введем в рассмотрение взаимодействие частиц с внешним электромагнитным полем. Оно описывается 4-потенциалом

 А = А0,А1,А2,А3 = ,А,

и по общему правилу нужно от обычного 4-импульса перейти к обобщенному 4-импульсу

 p  p   А,

что в трехмерных обозначениях сводится к известным заменам

 Е  Е  е,     p  p  А.

В операторном виде

    ,,

и уравнение Дирака превращается в следующее:

 Aj) + c.

Желаем выяснить, во что переходит это полное уравнение Дирака в нерелятивистском пределе. Нас интересуют стационарные состояния, а потому ищем решения в виде

 (r,t) = .

Сама функция -4 - компонентный столбец, а записанные функции и - двухкомпонентные столбцы:

 

(см. выше). В искомой волновой функции Е+c2 - полная энергия, а  c2 - энергия покоя, значит Е-«просто» энергия, как раз и имеющая непосредственный релятивистский аналог. Подставляем написанное  в полное уравнение Дирака, и получаем

 (Е  еА0) = C (

 

  (Е + 2c2  еА0) = C (.

Пока все точно. Теперь рассматриваем нерелятивистское приближение, в котором Е <<c2, причем считаем поле слабым - в том смысле, что  еА0<<c2. Из второго уравнения системы выражаем через и делаем указанные приближения:

 .

Видим, что в нерелятивистском  пределе мала:   vc. Подставляем эту функцию в первое уравнение системы:

  (ЕеА0) = 12  (  )2.

Теперь начинаем преобразовывать с учетом того, что

 i2 = 1,      ij  = iijk    ( i  j).

Имеем

  ( )2 =

=

=

=

=

= (,H)

где H - напряженность магнитного поля. Переход к предпоследней строке осуществляется так:

 

=  

,

но второй член симметричен по индексам i и j, и его свертка с антисимметричным тензором ijk дает нуль. При переходе к последней строке учтено, что в тензорной символике ротор определяется так:

 (rota)k = ijk

После этих выкладок самое верхнее на странице уравнение можно переписать так:

  = E.

Это есть что-то вроде стационарного уравнения Шредингера для дираковской частицы со спином S=12 (электрона) в электромагнитном поле, причем в нерелятивистском приближении. Оно называется уравнением Паули. Слева стоит полный гамильтониан, содержащий три члена. Первый отвечает кинетической энергии частицы и взаимодействию ее орбитального момента с внешним магнитным полем. Второй член - энергия частицы в электрическом поле. Третий член следует интерпретировать как взаимодействие собственного (спинового) магнитного момента частицы с внешним магнитным полем. Имея в виду, что в электродинамике энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем есть

  (H) ,

как раз и естественно отождествить величину

 

с собственным магнитным моментом. Тогда уравнение Паули запишется как

 =E.

Таким образом, у электрона есть некий врожденный магнитный момент, не зависящий от состояния его движения. Его можно записать как

,

где

 

есть магнетон Бора. Вспоминая, что оператор спина , найдем

,

а для орбитального движения

.

Отношение магнитного момента к механическому называется гиромагнитным отношением. Видим, что для спинового магнетизма он вдвое больше, чем для орбитального. Выбирая ось z вдоль поля, запишем для магнитной энергии

  (.

Так как Sz = , то вклад в энергию будет таким:

  0H = H.

Для электрона, позитрона и мюонов получается значение собственного момента очень хорошо согласующееся с опытом. Правда, отклонение все-таки есть, но оно составляет около 0,1% и полностью объясняется квантовой электродинамикой («аномальный» магнитный момент возникает за счет вакуумных поправок). При обсуждении свойств нуклонов вводится ядерный магнетон

.

Если бы протон и нейтрон описывались уравнением Дирака, то получалось бы

 р = я,         п =0.

Эксперимент же дает

 р  2,79я,     п -1,91я.

Эти расхождения происходят из-за того, что для нуклонов приближение свободных частиц неверно с самого начала: они участвуют в очень интенсивном сильном взаимодействии, которое следует как-то сразу учитывать. Так, из-за этого взаимодействия каждый «голый» нуклон оказывается окруженным пионной «шубой», которая и портит затравочные магнитные моменты. На самом деле это старая точка зрения. Все дело в том, что нуклоны состоят из кварков, у которых тоже есть магнитные моменты. Вот из них-то и складываются магнитные моменты протона и нейтрона, и здесь все получается более или менее хорошо. Для нуклонов можно использовать уравнение Паули, но в него нужно включать экспериментальные значения магнитных моментов (для электрона он получился!).

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67479_735fed505f30b625ea774fb7b8cb8237.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66321. Сказка о попе и работнике его Балде 237.5 KB
  Пушкиным Сказки Пушкина мы читаем в детстве и с уверенностью считаем что до конца разобрались в этом вопросе что никаких загадок в нем больше нет. Практически все сказки в разное время были написаны Пушкиным в имении Болдино.
66322. БАСКЕТБОЛЬНОЕ ШОУ 31 KB
  В нашей программе вы увидите выступление баскетболистов профессионалов нашей школы конечно это не профессионалы НБА но тем не менее вы сможете увидеть виртуозное ведение мяча точные броски молниеносные передачи
66323. Байки. Езопова байка «Хлібороб і орел» 89.5 KB
  Тема нашого уроку Езопові байки. Що таке байка З яких частин складається байка Що таке мораль Хто є героями байок Як називають авторів байки Яких байкарів знаєте Чим байка відрізняється від казки Гра З якої байки предмет...
66324. Білокора красуня 67 KB
  Як зовуть її Берізка Назва берізка прийшла до нас із глибокої давнини. Чому радіє берізка Що шепоче теплому вітерцю сонечку Складемо казочку Сонечко та Берізка. Послухайте початок: Жила була собі Берізка.
66325. Учитель творить Людину… 54.5 KB
  Учитель знайомить їх із спогадами про свою першу вчительку українського письменника І. Чендеєм Бесіда за змістом Класний керівник: Який загальний настрій цих спогадів На яких спогадах акцентує увагу письменник Чому навчала дітей учителька Який основний урок виніс письменник з її розповідей...
66326. Урок-путешествие в «Огненную страну» 62 KB
  Огонь одно из самых больших чудес природы с которым человек познакомился. Огонь дарил человеку тепло свет защищал от диких зверей. Люди сколько жили на свете Пуще глаза огонь берегли. Ведь огонь в холода в непогоду У костра их всегда согревал.
66327. Безпека вдома. Електроприлади. Безпека під час користування електроприладами 59 KB
  Діти за кожну правильну відповідь маємо можливість із частин збудувати будинок. Та не збагну я діти Хто мені допомагає світити Учитель: Дорога лампочко Не сумуй лапочко Зараз розкажуть діти що відбувається з тобою у світі. То ж запамятай лампочко І запамятайте діти...
66328. Волшебная страна – библиотека 183.5 KB
  Книги встречают нас с самого раннего детства и сопровождают нас всю жизнь они заставляют нас совершенствоваться. Что же тогда в них хранили Книги Конечно же книги В Египте их писали на папирусе а в Индии составляли их из нарезанных пальмовых листьев в Междуречье выцарапывали на глиняных дощечках.
66329. ОПИС НАТЮРМОРТУ КАТЕРИНИ БІЛОКУР «КАВУН, МОРКВА, КВІТИ» 130.5 KB
  Мета: вчити аналізувати художнє полотно виділяти головне відбирати відповідні прикметники для опису предметів; розвивати структурно композиційні та мовностилістичні вміння; виховувати естетичні смаки. Обладнання: репродукція натюрморту Катерини Білокур Кавун морква квіти...