67479

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ. УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Лекция

Физика

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона - релятивистскому уравнению второго порядка, которому должна подчиняться любая волновая функция. Из него было ранее получено уравнение непрерывности

Русский

2014-09-10

250 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  17

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

  УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Будем искать оператор  в виде

 =а12 .

При коммутации с  его член c2 даст нуль, ибо антикоммутирует с  1 и 2, а значит, коммутирует с их произведением. Поэтому

 .

Используя перестановочные соотношения для j , найдем

 .

Сравнивая с нужным результатом, найдем а = , и потому

 12.

Учитываем явный вид матриц j :

 ,

а также то, что 12=i3 :

 .

Аналогично вычисляются :

 .

Оператор квадрата спина есть

 ,

так как 2j=1. Таким образом,

 .

С другой стороны, из перестановочных соотношений для операторов момента мы в свое время получали

 ,

где S-значение спинового момента. Сравнивая с 342, находим

 S = 2,

т.е. уравнение Дирака описывает частицы со спином 12 (электрон, позитрон, мюон, протон, нейтрон и т.д.). Для описания нейтрино, у которых тоже S= 12, уравнение Дирака нужно модифицировать, так как у них m = 0.

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона - релятивистскому уравнению второго порядка, которому должна подчиняться любая волновая функция. Из него было ранее получено уравнение непрерывности

  + divj = 0,

где

  = {()-()},

причем величина не является положительно определенной и не может поэтому быть интерпретирована как плотность вероятности. Но, рассматривая уравнение Дирака, мы перешли от и j к е и je - величинам, описывающим плотность зарядов и токов. Это означает, что в релятивистских уравнениях нужно отказаться от точного описания одночастичных систем, а считать, что они описывают как-то системы многих частиц. Итак, делаем переходы

 

   e = e,     j  je  = ej

 

Так как e=const, то e и je также удовлетворяют уравнению непрерывности

 + divje = 0,

которое теперь выражает закон сохранения электрического заряда. Так как

  Е = р ,   р ,

то в любой релятивистской теории возникают решения с положительными и отрицательными энергиями

 

 +:  E = р ,     -: E = -р.

Им отвечают плотности заряда

 .

Рассмотрим нерелятивистский предел этих выражений. Так как удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона, то для них

   E,        -  E

(см. самое начало релятивистских рассмотрений). Подстановка дает

 e = e.

Нерелятивистский предел-это 2<< 2c2, или рc2.

1. При Е=р получаем Е  c2, и

 е+ = е++.

 Это есть положительно определенная величина. При нормированной функции + интеграл от нее будет равен е, а значит е можно интерпретировать как плотность заряда одной частицы с q=e. В многочастичной системе е+ - это плотность зарядов, описываемых функцией +.

2. При Е = р получаем Е  c2 , и

 е- = -е.

Это есть плотность зарядов для частиц с q = е.

Таким образом, в нерелятивистском приближении решения УКГ с положительной и отрицательной энергиями задают плотность вероятности обнаружения частиц и античастиц, соответственно.

Найдем спин частиц, описываемых УКГ. Убедимся, что орбитальный момент для  этих частиц сохраняется, т.е. его оператор коммутирует с гамильтонианом. Этот оператор

 

в импульсном представлении записывается как

 ,

откуда, в частности,

 .

Записываем уравнение на собственные значения гамильтониана в импульсном представлении:

 

и рассматриваем коммутатор на его решениях:

 

Аналогично получаем, что

 - = 0.

Таким образом, оператор орбитального момента сохраняется, и его можно считать полным моментом. Поэтому УКГ описывает частицы с нулевым спином: S=0.

Примечание. Показано только для , но совершенно аналогично доказывается, что  тоже коммутируют с . Тем не менее, отсюда строго говоря, не следует, что S=0. Мы доказали только, что коммутирует с , и отсюда следует только то, что и  коммутирует с , так как в силу изотропии пространства  коммутирует с  всегда. Значит, по ходу дела совершено предположение, что =, но оно-то ниоткуда не следует. Тем не менее, все можно обосновать и абсолютно строго. Мы доказали только то, что УКГ может описывать частицы с S=0.

Так или иначе, принимаем, что УКГ описывает частицы с нулевым спином - например, пионы, каоны.

Вернемся вновь к уравнению Дирака и введем в рассмотрение взаимодействие частиц с внешним электромагнитным полем. Оно описывается 4-потенциалом

 А = А0,А1,А2,А3 = ,А,

и по общему правилу нужно от обычного 4-импульса перейти к обобщенному 4-импульсу

 p  p   А,

что в трехмерных обозначениях сводится к известным заменам

 Е  Е  е,     p  p  А.

В операторном виде

    ,,

и уравнение Дирака превращается в следующее:

 Aj) + c.

Желаем выяснить, во что переходит это полное уравнение Дирака в нерелятивистском пределе. Нас интересуют стационарные состояния, а потому ищем решения в виде

 (r,t) = .

Сама функция -4 - компонентный столбец, а записанные функции и - двухкомпонентные столбцы:

 

(см. выше). В искомой волновой функции Е+c2 - полная энергия, а  c2 - энергия покоя, значит Е-«просто» энергия, как раз и имеющая непосредственный релятивистский аналог. Подставляем написанное  в полное уравнение Дирака, и получаем

 (Е  еА0) = C (

 

  (Е + 2c2  еА0) = C (.

Пока все точно. Теперь рассматриваем нерелятивистское приближение, в котором Е <<c2, причем считаем поле слабым - в том смысле, что  еА0<<c2. Из второго уравнения системы выражаем через и делаем указанные приближения:

 .

Видим, что в нерелятивистском  пределе мала:   vc. Подставляем эту функцию в первое уравнение системы:

  (ЕеА0) = 12  (  )2.

Теперь начинаем преобразовывать с учетом того, что

 i2 = 1,      ij  = iijk    ( i  j).

Имеем

  ( )2 =

=

=

=

=

= (,H)

где H - напряженность магнитного поля. Переход к предпоследней строке осуществляется так:

 

=  

,

но второй член симметричен по индексам i и j, и его свертка с антисимметричным тензором ijk дает нуль. При переходе к последней строке учтено, что в тензорной символике ротор определяется так:

 (rota)k = ijk

После этих выкладок самое верхнее на странице уравнение можно переписать так:

  = E.

Это есть что-то вроде стационарного уравнения Шредингера для дираковской частицы со спином S=12 (электрона) в электромагнитном поле, причем в нерелятивистском приближении. Оно называется уравнением Паули. Слева стоит полный гамильтониан, содержащий три члена. Первый отвечает кинетической энергии частицы и взаимодействию ее орбитального момента с внешним магнитным полем. Второй член - энергия частицы в электрическом поле. Третий член следует интерпретировать как взаимодействие собственного (спинового) магнитного момента частицы с внешним магнитным полем. Имея в виду, что в электродинамике энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем есть

  (H) ,

как раз и естественно отождествить величину

 

с собственным магнитным моментом. Тогда уравнение Паули запишется как

 =E.

Таким образом, у электрона есть некий врожденный магнитный момент, не зависящий от состояния его движения. Его можно записать как

,

где

 

есть магнетон Бора. Вспоминая, что оператор спина , найдем

,

а для орбитального движения

.

Отношение магнитного момента к механическому называется гиромагнитным отношением. Видим, что для спинового магнетизма он вдвое больше, чем для орбитального. Выбирая ось z вдоль поля, запишем для магнитной энергии

  (.

Так как Sz = , то вклад в энергию будет таким:

  0H = H.

Для электрона, позитрона и мюонов получается значение собственного момента очень хорошо согласующееся с опытом. Правда, отклонение все-таки есть, но оно составляет около 0,1% и полностью объясняется квантовой электродинамикой («аномальный» магнитный момент возникает за счет вакуумных поправок). При обсуждении свойств нуклонов вводится ядерный магнетон

.

Если бы протон и нейтрон описывались уравнением Дирака, то получалось бы

 р = я,         п =0.

Эксперимент же дает

 р  2,79я,     п -1,91я.

Эти расхождения происходят из-за того, что для нуклонов приближение свободных частиц неверно с самого начала: они участвуют в очень интенсивном сильном взаимодействии, которое следует как-то сразу учитывать. Так, из-за этого взаимодействия каждый «голый» нуклон оказывается окруженным пионной «шубой», которая и портит затравочные магнитные моменты. На самом деле это старая точка зрения. Все дело в том, что нуклоны состоят из кварков, у которых тоже есть магнитные моменты. Вот из них-то и складываются магнитные моменты протона и нейтрона, и здесь все получается более или менее хорошо. Для нуклонов можно использовать уравнение Паули, но в него нужно включать экспериментальные значения магнитных моментов (для электрона он получился!).

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67479_735fed505f30b625ea774fb7b8cb8237.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31407. Дослiдження сiнхронного двигуна змiнного струму 84.5 KB
  Дослiдити вплив зсуву фаз додоткової обмотки збудження статора на напрямок обертання ротора двигуна. Обладнання: Стенд з сiнхронного двигуна змiнного струму з постійним магнiтом в якостi ротора обладнаний понижуючим фрікціонним редуктором обертiв та регулятором напруги. Використана у стенді модель двигуна має дві незалежні обмотки статорів.
31408. Дослiдження послiдовного та паралельного з’єднання опорiв 48.5 KB
  Обчислення опору кола за вiдомими опорами складових. Занотувати значення опорiв R1 R2 R3 R4 R5 Перемички X0X5 дозволяють тимчасово розiрвати дiлянку кола для пiдєднання амперметру до мiсця розриву. Тимчасово розiрвiть дiлянку кола витягнувши одну з перемичок X0X5 i пiдєднавши замiсть перемички амперметр попередньо перемкнути мультиметр на вимiр струму.
31409. Дослiдження фазообертача на обертовому трансформаторі 90.5 KB
  Дослiдити зміни фази напруги на роторі обертового трансформатора в залежності від кута ротора. А з ротора знімається напруга U3. Якщо вісь обмотки ротора співпадає з вісю обмотки на яку подано напругу U1 то фаза напруги ротора U3 співпадає з фазою U1. Відповідно коли вісь обмотки ротора співпадає з вісю обмотки з напругою U2 фаза U3 співпадає з фазою U2.
31410. Дослiдження потенцiалу i напруженностi поля у електричнiй ваннi 149.5 KB
  Мета: Вимiр потенцiалiв i напруженностi поля для заданної конфiгурацiї електродiв. План роботи Зiбрати макет з заданою конфiгурацiє електродiв згiдно малюнка варiанту завдання. Намалювати свою конфiгурацiю електродiв на графiку. Вставити виводи електродiв моделi у кришку згiдно малюнку завдання так щоб електроди опинились у вiдповiдних отворах кришки.
31412. Дослiдження потужностi у системi джерело-навантаження 112 KB
  Джерело живлення та лiнiя постачання моделюются ЕРС та опором RS що вiдповiдає спiльному опору джерела та лiнiї. Занотувати значення опору RS. Вимiряти ЕРС джерела живлення E падiння напруги на опорi джерела US напругу на навантаженнi споживача UL струм кола I для рiзних значень опору RL. Для кращого вiдтворення результатiв вимiрiв доцiльно провести вимiри для усього диапазону змiн опору навантаження вiд мiнiмального до максимального його значення з приблизно рiвномiрним шагом по опору приблизно 10 максимального значення опора RL.
31413. Дослiдження лічильника електроенергії 69 KB
  Визначити залежність швидкості обертання диска лічильника від потужності активного навантаження. Зичайний асінхронний двигун переважно працює в області малих значень коефіциента ковзання тобто в умовах коли швидкість обертання ротора близка до швидкості обертання магнітного поля. Для двополюсного двигуна масимальна швидкість обертання становить 3000 обертів на минуту для частоти мережі 50 Hz 5060=3000. На відміну від звичайного двигуна ротор лічильника працює в області великих значень ковзання тобто швидкість обертання ротора...
31414. Дослiдження схеми напiвпровiдникового випрямляча 83.5 KB
  Серед них найпоширiнiшi схеми: однонапiвпериодного випрямляча; мостового випрямляча; випрямляча з подвоєнням напруги. Пiд час вимiру опора слiд вибрати полярнiсть мультиметру таким чином щоб дiоди випрямляча не шунтировали опiр RL. Якщо вимiри виконуються за допомогою осцилографа замалювати епюри напруги на виходi випрямляча для максимального i середнього значення опорiв навантаження.
31415. Дослiдження елементiв кола змiнного струму – R, L, C за умов 125.5 KB
  Дослiдження RC ланки Зiбрати стенд для одного з варiантiв ємностi C згiдно завдання C=C1 C=C2 C=C1C2 Електрична схема Перемичкою X3 закорочено iндуктивнiсть L точки 23. Вимiряти напругу джерела живлення E точки 111 напругу на опорi UR точки 12 наругу на конденсаторi UC точки 511. Вимiряти напругу джерела живлення E точки 111 напругу на опорi UR точки 12 напругу на iндуктивностi UL точки 24. Вимiряти напругу джерела живлення E точки 111 напругу на опорi UR точки 12 напругу на iндуктивностi UL точки...