67479

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ. УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Лекция

Физика

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона - релятивистскому уравнению второго порядка, которому должна подчиняться любая волновая функция. Из него было ранее получено уравнение непрерывности

Русский

2014-09-10

250 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  17

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

  УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Будем искать оператор  в виде

 =а12 .

При коммутации с  его член c2 даст нуль, ибо антикоммутирует с  1 и 2, а значит, коммутирует с их произведением. Поэтому

 .

Используя перестановочные соотношения для j , найдем

 .

Сравнивая с нужным результатом, найдем а = , и потому

 12.

Учитываем явный вид матриц j :

 ,

а также то, что 12=i3 :

 .

Аналогично вычисляются :

 .

Оператор квадрата спина есть

 ,

так как 2j=1. Таким образом,

 .

С другой стороны, из перестановочных соотношений для операторов момента мы в свое время получали

 ,

где S-значение спинового момента. Сравнивая с 342, находим

 S = 2,

т.е. уравнение Дирака описывает частицы со спином 12 (электрон, позитрон, мюон, протон, нейтрон и т.д.). Для описания нейтрино, у которых тоже S= 12, уравнение Дирака нужно модифицировать, так как у них m = 0.

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона - релятивистскому уравнению второго порядка, которому должна подчиняться любая волновая функция. Из него было ранее получено уравнение непрерывности

  + divj = 0,

где

  = {()-()},

причем величина не является положительно определенной и не может поэтому быть интерпретирована как плотность вероятности. Но, рассматривая уравнение Дирака, мы перешли от и j к е и je - величинам, описывающим плотность зарядов и токов. Это означает, что в релятивистских уравнениях нужно отказаться от точного описания одночастичных систем, а считать, что они описывают как-то системы многих частиц. Итак, делаем переходы

 

   e = e,     j  je  = ej

 

Так как e=const, то e и je также удовлетворяют уравнению непрерывности

 + divje = 0,

которое теперь выражает закон сохранения электрического заряда. Так как

  Е = р ,   р ,

то в любой релятивистской теории возникают решения с положительными и отрицательными энергиями

 

 +:  E = р ,     -: E = -р.

Им отвечают плотности заряда

 .

Рассмотрим нерелятивистский предел этих выражений. Так как удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона, то для них

   E,        -  E

(см. самое начало релятивистских рассмотрений). Подстановка дает

 e = e.

Нерелятивистский предел-это 2<< 2c2, или рc2.

1. При Е=р получаем Е  c2, и

 е+ = е++.

 Это есть положительно определенная величина. При нормированной функции + интеграл от нее будет равен е, а значит е можно интерпретировать как плотность заряда одной частицы с q=e. В многочастичной системе е+ - это плотность зарядов, описываемых функцией +.

2. При Е = р получаем Е  c2 , и

 е- = -е.

Это есть плотность зарядов для частиц с q = е.

Таким образом, в нерелятивистском приближении решения УКГ с положительной и отрицательной энергиями задают плотность вероятности обнаружения частиц и античастиц, соответственно.

Найдем спин частиц, описываемых УКГ. Убедимся, что орбитальный момент для  этих частиц сохраняется, т.е. его оператор коммутирует с гамильтонианом. Этот оператор

 

в импульсном представлении записывается как

 ,

откуда, в частности,

 .

Записываем уравнение на собственные значения гамильтониана в импульсном представлении:

 

и рассматриваем коммутатор на его решениях:

 

Аналогично получаем, что

 - = 0.

Таким образом, оператор орбитального момента сохраняется, и его можно считать полным моментом. Поэтому УКГ описывает частицы с нулевым спином: S=0.

Примечание. Показано только для , но совершенно аналогично доказывается, что  тоже коммутируют с . Тем не менее, отсюда строго говоря, не следует, что S=0. Мы доказали только, что коммутирует с , и отсюда следует только то, что и  коммутирует с , так как в силу изотропии пространства  коммутирует с  всегда. Значит, по ходу дела совершено предположение, что =, но оно-то ниоткуда не следует. Тем не менее, все можно обосновать и абсолютно строго. Мы доказали только то, что УКГ может описывать частицы с S=0.

Так или иначе, принимаем, что УКГ описывает частицы с нулевым спином - например, пионы, каоны.

Вернемся вновь к уравнению Дирака и введем в рассмотрение взаимодействие частиц с внешним электромагнитным полем. Оно описывается 4-потенциалом

 А = А0,А1,А2,А3 = ,А,

и по общему правилу нужно от обычного 4-импульса перейти к обобщенному 4-импульсу

 p  p   А,

что в трехмерных обозначениях сводится к известным заменам

 Е  Е  е,     p  p  А.

В операторном виде

    ,,

и уравнение Дирака превращается в следующее:

 Aj) + c.

Желаем выяснить, во что переходит это полное уравнение Дирака в нерелятивистском пределе. Нас интересуют стационарные состояния, а потому ищем решения в виде

 (r,t) = .

Сама функция -4 - компонентный столбец, а записанные функции и - двухкомпонентные столбцы:

 

(см. выше). В искомой волновой функции Е+c2 - полная энергия, а  c2 - энергия покоя, значит Е-«просто» энергия, как раз и имеющая непосредственный релятивистский аналог. Подставляем написанное  в полное уравнение Дирака, и получаем

 (Е  еА0) = C (

 

  (Е + 2c2  еА0) = C (.

Пока все точно. Теперь рассматриваем нерелятивистское приближение, в котором Е <<c2, причем считаем поле слабым - в том смысле, что  еА0<<c2. Из второго уравнения системы выражаем через и делаем указанные приближения:

 .

Видим, что в нерелятивистском  пределе мала:   vc. Подставляем эту функцию в первое уравнение системы:

  (ЕеА0) = 12  (  )2.

Теперь начинаем преобразовывать с учетом того, что

 i2 = 1,      ij  = iijk    ( i  j).

Имеем

  ( )2 =

=

=

=

=

= (,H)

где H - напряженность магнитного поля. Переход к предпоследней строке осуществляется так:

 

=  

,

но второй член симметричен по индексам i и j, и его свертка с антисимметричным тензором ijk дает нуль. При переходе к последней строке учтено, что в тензорной символике ротор определяется так:

 (rota)k = ijk

После этих выкладок самое верхнее на странице уравнение можно переписать так:

  = E.

Это есть что-то вроде стационарного уравнения Шредингера для дираковской частицы со спином S=12 (электрона) в электромагнитном поле, причем в нерелятивистском приближении. Оно называется уравнением Паули. Слева стоит полный гамильтониан, содержащий три члена. Первый отвечает кинетической энергии частицы и взаимодействию ее орбитального момента с внешним магнитным полем. Второй член - энергия частицы в электрическом поле. Третий член следует интерпретировать как взаимодействие собственного (спинового) магнитного момента частицы с внешним магнитным полем. Имея в виду, что в электродинамике энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем есть

  (H) ,

как раз и естественно отождествить величину

 

с собственным магнитным моментом. Тогда уравнение Паули запишется как

 =E.

Таким образом, у электрона есть некий врожденный магнитный момент, не зависящий от состояния его движения. Его можно записать как

,

где

 

есть магнетон Бора. Вспоминая, что оператор спина , найдем

,

а для орбитального движения

.

Отношение магнитного момента к механическому называется гиромагнитным отношением. Видим, что для спинового магнетизма он вдвое больше, чем для орбитального. Выбирая ось z вдоль поля, запишем для магнитной энергии

  (.

Так как Sz = , то вклад в энергию будет таким:

  0H = H.

Для электрона, позитрона и мюонов получается значение собственного момента очень хорошо согласующееся с опытом. Правда, отклонение все-таки есть, но оно составляет около 0,1% и полностью объясняется квантовой электродинамикой («аномальный» магнитный момент возникает за счет вакуумных поправок). При обсуждении свойств нуклонов вводится ядерный магнетон

.

Если бы протон и нейтрон описывались уравнением Дирака, то получалось бы

 р = я,         п =0.

Эксперимент же дает

 р  2,79я,     п -1,91я.

Эти расхождения происходят из-за того, что для нуклонов приближение свободных частиц неверно с самого начала: они участвуют в очень интенсивном сильном взаимодействии, которое следует как-то сразу учитывать. Так, из-за этого взаимодействия каждый «голый» нуклон оказывается окруженным пионной «шубой», которая и портит затравочные магнитные моменты. На самом деле это старая точка зрения. Все дело в том, что нуклоны состоят из кварков, у которых тоже есть магнитные моменты. Вот из них-то и складываются магнитные моменты протона и нейтрона, и здесь все получается более или менее хорошо. Для нуклонов можно использовать уравнение Паули, но в него нужно включать экспериментальные значения магнитных моментов (для электрона он получился!).

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67479_735fed505f30b625ea774fb7b8cb8237.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34253. Микро эволюция 45.12 KB
  Критерии вида: морфологический позволяет различать разные виды по внешним и внутренним признакам; физикобиохимический фиксирует неодинаковость химических свойств разных видов; географический каждый вид обладает своим ареалом; экологический позволяет различить виды по комплексу абиотических и биологических условий в которых они сформировались приспособились к жизни; репродуктивный обуславливает репродуктивную изоляцию вида от других даже близкородственных. Целостность вида обусловлена...
34254. Естественный отбор 15.03 KB
  Стабилизирующий – форма отбора при котором действие направлено против особей имеющих крайние отклонения от средней нормы в пользу особей со средней выраженностью признака. отбора ввел Шмальгаузен. Движущий – форма отбора которая действует при направленном изменении окр. Дизруптивный – форма отбора при которой сохраняются особи с крайними вариантами изменчивости а особи с промежуточным проявлением признака подвергаются отрицательному отбору.
34255. Антропогенез 18.08 KB
  Место человека в системе животного мира. Биологические особенности человека: сложный мозг; вертикально ориентированный скелет; развитая НС и ВНД; подвижные пальцы; объемное цветовое зрение. Особенности человека связанные с прямо хождением: мощная мускулатура нижних конечностей; Sобразный изгиб позвоночника; широкий таз; сводчатая стопа; более мощное развитие костей нижних конечностей; грудная клетка уплощена в спиннобрюшном направлении; большой палец ноги не противопоставлен остальным.
34256. Медицинская экология. Экологически зависимые заболевания 15.69 KB
  Экологически зависимые заболевания – болезни которые при загрязнении окруж. Это заболевания органов дыхания в т.железы и многие другие заболевания развитие которых обусловлено комплексом генетических иммуногенетических инфекционных и других факторов.