67480

ЭЛЕКТРОН В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Лекция

Физика

Имея полный гамильтониан, легко убедиться, что он коммутирует с При этом не входит в уравнение, а потому по проекции полного момента будет вырождение. Энергетические уровни будут характеризоваться собственными значениями трех первых операторов...

Русский

2014-09-10

550.5 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я   18

ЭЛЕКТРОН В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Рассмотрим движение дираковской частицы  с S=12 в электростатическом поле с точностью до членов порядка v2c2. Исходим из точной системы уравнений для двухкомпонентных спиноров и :

  =:

(ЕеА0) = С

(Е+2c2  еА 0) = С 

и полагаем в нем А = 0, еА0 = V(r) - потенциальная энергия частицы в электростатическом поле:

(ЕV) = С(р)

(Е + 2c2  V) = С(р)

Выражаем из второго и разлагаем в ряд до первого члена:

Подставляем в первое уравнение:

(Е V) = ( р ) .

Для преобразования правой части используем прежде всего коммутационное соотношение

 

,

а затем действуем примерно так же, как в предыдущей лекции:

 (р )f(r)( р)=f(r)( р)( р)i ( р) =

 

С учетом этого, уравнение переписывается как

(E -V) = .

Разберемся с условием нормировки. Исходно оно записывается как

.

Учитывая, что

,

получим

,

или, подставляя сюда совсем приближенное выражение для через :

 

найдем

 

Видно, что для избавления от неприятного множителя удобно ввести новую функцию :

 

где второе равенство получено в используемом приближении. В том же приближении для новой функции условие нормировки запишется обычно:

.

Подставляем через в переписанное уравнение, представим его (с той же точностью) в виде стационарного уравнения Шредингера:

.

Разберемся, что же мы получили. Уравнение имеет вид

 =E,

где гамильтониан равен

Член

+V

есть обычный нерелятивистский гамильтониан. Рассматриваем член

.

Учтем, что Е - «обычная» энергия, а значит Е+c2 - полная релятивистская энергия, а значит (Е+c2)V - релятивистская «кинетическая» энергия (включающая и энергию покоя). Она обычным образом связана с импульсом, и можно записать

.

Таким образом,  - просто следующая поправка к обычной кинетической энергии. Так как в нулевом приближении

 Е V =        p2 = 2(E-V),

то можно записать также

.

Член

 

называется дарвиновской поправкой - это есть релятивистская поправка к потенциальной энергии. Третий член

 

называется спин-орбитальным взаимодействием. Причина этому следующая. Пусть V=V(r), т.е. электрическое поле - центральное. Тогда

 V(r) = .

Тогда, подставляя это в  и учитывая, что

 

получим

,

откуда и название.

Рассмотрим теперь водородоподобный атом, когда

.

Стационарное уравнение Шредингера (с поправками) записывается как

.

Здесь

,

причем

,

,

.

Полезно ввести полный момент электрона

 

Возводя в квадрат, получим

,

так что

 

Кроме того, запишем 0 в сферических координатах:

.

Имея полный гамильтониан, легко убедиться, что он коммутирует с  При этом  не входит в уравнение, а потому по проекции полного момента будет вырождение. Энергетические уровни будут характеризоваться собственными значениями трех первых операторов, т.е. квантовыми числами Е, , j (S можно не писать, ибо оно раз и навсегда фиксировано и равно 12). Волновые функции стационарных состояний будут собственными функциями для и потому в гамильтониане эти операторы можно заменить их собственными значениями, равными соответственно

 l(l+1),    3/4,    j(j+1).

В рассматриваемых состояниях угловая и спиновая зависимости волновых функций нам известны - они были выписаны в теории сложения моментов:

 

Но явный вид даже не важен. Важно, что все моменты действуют только на углы и спины, «вышибая» при этом соответствующие собственные значения. Поэтому, подставляя данную волновую функцию в уравнение Шредингера, получим для радиальной волновой функции уравнение

Здесь W1 и W2 приведены выше, а вместо W3 теперь следует писать

 

Уравнение можно переписать так:

 

и искать его решения по теории возмущений. Однако здесь есть хитрость - нужно применять теорию возмущений на вырожденном уровне, а не хочется. Но все будет хорошо, если мы сразу выберем правильные волновые функции нулевого приближения - с теми же квантовыми числами, что в точных состояниях. Ими являются

,

где радиальная функция подчиняется водородному уравнению

,

из которого

 En = -,     n =1, 2,...

Тогда в секулярном уравнении все недиагональные матричные элементы обратятся в нуль, и для поправок к энергии первого порядка получим формально те же формулы, что и в теории возмущений на невырожденном уровне. Они будут задаваться средними значениями возмущения по соответствующим невозмущенным состояниям:

 Enlj =.

Это можно получить и непосредственно. Записываем точные решения в виде (индексы для краткости опускаем):

 Е = Е0 + Е,     f = f0 + f,

и подставляем в уравнение:

(f0+f).

Раскрываем

,

здесь первое и третье слагаемые в сумме равны нулю в силу нулевого уравнения Шредингера

 E0f0 - f0 = 0,

а слагаемые, включающие Еf и Wf, являются членами второго порядка малости, которые мы не учитываем.

Остается

 Ef0 = f0,

и, замечая, что

(f0,f0) = 1;   f0, f) = E0(f0, f), (f0,E0f) = E0(f0, f),

получим после скалярного умножения на f0 слева

 E =  ,

а отсюда и требуемый результат.

Итак, поправка в первом порядке теории возмущений есть

 Enlj = r2dr.

При вычислениях интегралов удобно перейти к атомным единицам

и ввести постоянную тонкой структуры

     1/137.

Тогда можно записать

 nlj = I1 + I2 + I3,

где Ik - соответствующие интегралы от Wk, и вычислить:

;

  ;

 

Во втором члене получился 0 при  потому, что f0rl при r 0, а интегрируется дельта-функция.

Собирая все поправки вместе, а также переходя к обычным единицам энергии, получим в первом порядке теории возмущений

Enj   En(0) + Enj = -.

Видим, что теперь энергетические уровни помимо главного квантового числа n зависят также от полного момента j. В нулевом приближении уровни были 2n2 - кратно вырождены (без учета спина n2 - кратно), а теперь вырождение в значительной степени снято. Но все-таки немножко осталось, так как в энергию не входит . И пары уровней, имеющие одинаковые n и j при , остаются вырожденными. К тому же есть вырождение и по mj - по проекции полного момента (это в силу изотропии пространства) - оно, как и всегда, (2j +1) - кратное. Последнее вырождение снимается при учете спина ядра, который взаимодействует со спином электрона - это есть сверхтонкое расщепление, а то, что мы получили, именуется тонким расщеплением  (почему  и называется постоянной тонкой структуры). Интересно, что при точном решении уравнения Дирака двукратное вырождение при  все равно остается. И только при учете взаимодействия электрона с вакуумом оно снимается - возникает так называемый лэмбовский сдвиг, открытый Лэмбом и Ризерфордом (именно «и»!) в 1947 г. Его объяснила квантовая электродинамика, с чего и начинается ее современная история. Именно на этом эффекте (и на аномальном магнитном моменте электрона - см. чуть выше) была отработана процедурой перенормировок, о которой говорилось в связи с силой радиационного трения и проблемой полевой массы электрона.

АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрим водородоподобный атом во внешнем поле. На самом деле результаты, получаемые ниже, справедливы для произвольного атома, если сделать замены lL, sS, jJ, где большими буквами обозначены соответствующие моменты атома в целом, которые складываются из моментов отдельных электронов.

Как мы видели, гамильтониан электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами А0 и А задается в нерелятивистском приближении выражением

+е H.

Повозимся немножко с первым членом:

.

Чтобы снять знак вопроса, вычисляем коммутатор

,

т.е.

.

Таким образом, для коммутативности  необходимо и достаточно

 div A = 0.

Но в стационарном случае именно так и записывается дополнительное условие Лоренца, накладываемое на потенциалы, которое считаем выполненным (в противном случае можно совершить подходящее калибровочное преобразование). Это - электродинамика! Итак, можно записать

,

где мы пренебрегли квадратичным по А2 членом, считая магнитное поле Н достаточно слабым (при реальных полях это пренебрежение всегда оправдано).

Пусть теперь поле Н - однородное, что также всегда оправдано, ибо нас интересует его изменение на атомных размерах, а здесь, конечно, никакого изменения нет. Для однородного поля можно положить

=1/2[Hr],

в чем можно убедиться тривиально, вычисляя rot A , который будет как раз Н. Элементарно проверяется и равенство div A = 0 для этого А. Поэтому в данном случае

.

Учитываем тождество, несомненно справедливое при Н = const:

.

После подстановки в гамильтониан найдем

,

где введены магнитные моменты - спиновый s и орбитальный l 

.

И все-таки для дальнейшего их удобно вновь выразить через механические моменты. Окончательно для гамильтониана водородоподобного атома в достаточно слабом и однородном магнитном поле получаем:

.

Рассматриваем  как невозмущенный гамильтониан, а  как малое возмущение. Считаем поле направленным вдоль оси z и достаточно слабым:

  1.  можно пренебречь квадратичным членом (что уже сделали );
  2.  зеемановское расщепление много меньше тонкого расщепления.

Даже в отсутствие Н векторы L и S не сохраняются, а потому стационарным состояниям нельзя сопоставить квантовые числа l, ml, s, ms. Но без поля есть центральная симметрия, и J сохраняется. Поэтому стационарные состояния характеризуем четверкой чисел

 l, s, j, mj  m.

Все направления равноправны, а потому в нулевом приближении каждый уровень с заданными l, s, j  вырожден по m, причем с кратностью 2j+1 . При включении магнитного поля выделяется направление z (H), и каждый уровень расщепляется на 2j+1  подуровней.

Чтобы упростить теорию возмущений, т.е. формально как бы не учитывать вырождение, будем характеризовать и невозмущенные состояния теми же квантовыми числами - это отвечает правильному выбору нулевых волновых функций. Тогда в первом порядке величины расщепления есть

,

где усреднение проводится по невозмущенным состояниям с определенными значениями l, j, s, но главное - m, от которых и зависит величина расщепления.

Среднее значение в родном состоянии есть

               Jz = m, (выделено в )

и задача свелась к вычислению среднего от . Для этого заметим, что в отсутствие поля сохраняется только вектор J и ничего более, а потому только он задает выделенное направление, а потому только вдоль него и может быть направлен вектор S:

 S = J.

Для отыскания умножаем на постоянный вектор J:

 JS = JS = J2 = = j(j+1),

откуда

  = ,

и

  Sz = Jz = m = JS.

Чтобы найти JS, возьмем равенство , возведем его в квадрат и получим

.

Средние от операторов в их родных состояниях равны просто собственным значениям, и потому получаем

 JS = 1/2{j(j +1) - l(l +1) - s(s + 1)},

откуда

 Sz = {j(j + 1) - l(l + 1) - s(s + 1)}.

Подставляя найденные значения Sz и Jz в Е, найдем

 Е lsjm = -{m +[j(j +1) - l(l + 1) - s(s + 1)]},

или, окончательно

 Е nlsj;m = -gm,

где величина

 

называется фактором Ланде. В частности, при s=0 (для электрона и водорода это не бывает, но для других атомов сколько угодно) g=1, и

 Е m = Hm  BHm.

Как это все сказывается на спектральных линиях? Обозначим частоту перехода между какими-то нерасщепленными в отсутствие поля уровнями Е1(0) и Е2(0) через 0 . При наличии поля получим

 (0 + ) = (E1(0) + E1) - (E2(0) + Е2).

Принимая во внимание, что

 Е1(0)  Е2(0) = 0 ,

найдем

  = (g1m1 - g2m2).

Таким образом, вместо одной линии получится несколько - в зависимости от значений факторов Ланде (при перечислении всех частот нужно использовать правила отбора m=0,1, которые будут доказаны потом). В частности, если спина нет, то, учитывая правила отбора по m , сразу получим

  = m = (0,1),

т.е. исходная линия с частотой 0 расщепится на три  с частотами

               1= 0-,       2 = 0,       3 = 0+

Это есть нормальный эффект Зеемана, объясненный Лоренцом еще в рамках классической физики.

Но на самом-то деле нормальным является общий эффект Зеемана, который по историческим причинам называется аномальным - расщепление на большее число линий и с другими интервалами. Он поставил в тупик всех физиков в 20-е г.г., когда начала создаваться квантовая механика. У Паули тогда кто-то спросил, почему он такой грустный и растерянный. «Но каким может быть человек, думающий об аномальном эффекте Зеемана?» Все прояснилось после гипотезы Паули об «удвоении» числа состояний электрона, а окончательно - после введения спина.

Рассмотрение проводилось в предположении слабости поля. Что это такое? Мы говорили, что величина зеемановского расщепления должна быть много меньше расстояния между соседними уровнями тонкой структуры, а это значит

.

Для водорода минимальное расстояние между уровнями тонкой структуры составляет величину порядка 10-17 эрг. Учитывая, что магнетон Бора по порядку величины есть 10-20 эрг, получим, что все будет хорошо при полях Н< 1000 Эрстед.

А что дальше? Если Е велико по сравнению с тонким расщеплением, то говорят о сильном магнитном поле. В нем разрывается связь спина и орбитального моментов, и они взаимодействуют с магнитным полем независимо, причем сохраняются. Тогда правильными волновыми функциями нулевого приближения будут функции с квантовыми числами . Величина расщепления в этих состояниях

 

вычисляется сразу, так как состояния - родные для :

.

Так как действует еще правило отбора ms = 0, то в спектре мы увидим вновь три линии, т.е. в сильных полях аномальный эффект Зеемана всегда превращается в нормальный. Это называется эффект Пашена-Бака. Из формулы для Е видно, что каждый уровень Еnl(0) расщепляется на 2+3 равноотстоящих компонентов, отвечающих 2+3 возможным значениям суммы . Поскольку ms=12, то при данном  значениями  будут +1, , 1,...,(+1). Из этих компонентов два высших и два низших не вырождены, а остальные двукратно вырождены в соответствии с двумя возможными способами получения одного :

 = .

ЭЛЕКТРОН ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Изменение энергии стационарных состояний атома при включении внешнего электрического поля есть эффект Штарка. При  = 0

.

При включенном поле

 =-(d)=-e(r).

Считаем поле направленным вдоль оси z:  = (0,0, ), тогда

 W = ez.

Этот оператор инвариантен относительно вращения на произвольный угол вокруг направления поля, но главное - относительно отражения в любой плоскости, проходящей через ось z. При таком отражении, например при операции

 x   x,        y  y,       z  z

оператор

 

переходит в оператор , а потому m  m. Поэтому при наличии даже поля энергетические уровни с m и m совпадают, т.е. имеется двукратное вырождение. Заметим, что в магнитном поле нет инверсной инвариантности, а потому и нет этого вырождения.

Характеризуем состояния квантовыми числами n, l, ml , и тогда в первом порядке теории возмущений

.

Если состояние обладает определенной четностью, то эта поправка равна нулю. Действительно, в явном виде

 E = -ez|(r)|2dr.

Функция или четная, или нечетная ((r) =  (r) ), а потому квадрат ее модуля - всегда функция четная. Но из-за z тогда вся подынтегральная функция будет нечетной, и интеграл от нее в симметричных пределах даст нуль. Но невырожденное состояние всегда обладает определенной четностью, так как  имеет определенное значение орбитального момента, а четность равна (1)l. Поэтому штарк-эффект в невырожденных состояниях отсутствует. Такова, в частности, ситуация для основного состояния рассматриваемого атома водорода (l=0):

 Е1 = 0.

Казалось бы, и в общей ситуации эффект Штарка будет отсутствовать в первом порядке теории возмущений, так как стационарные состояния имеют определенные , а значит, и определенные четности. И это действительно так для всех атомов, кроме атома водорода. Он представляет исключение, ибо здесь имеется дополнительное кулоновское вырождение по , и из волновых функций с данной энергией можно образовать суперпозиции с той же энергией, но с разными , а значит с разными четностями, а значит без определенного значения четности.

Рассмотрим с этой точки зрения первое возбужденное состояние атома водорода с n=2 Электрическое поле в первом приближении не действует на спин, а тонкой структурой можно пренебречь, и спин поэтому учитываться не будет. Состояния |nlml являются «неправильными» с точки зрения теории возмущений на вырожденном уровне. В соответствии с общей теорией мы будем искать их в виде линейной комбинации невозмущенных волновых функций, каковых имеется четыре - одна с = 0 и три с =1 (при n = 2 возможны значения =0, 1):

=aii;     1= |2, 0, 0,     2=|2, 1, 0,      3=|2, 1, +1,      4=|2, 1, -1.

Как показывалось в свое время, энергетические сдвиги Е находятся из секулярного уравнения

 det (Wi jЕi j) = 0,

где Wi j  матричные элементы оператора возмущения по невозмущенным волновым функциям. Они вычисляются достаточно просто с учетом явного вида водородных функций и того, что z = rcos:

W12 = W21 = -e2,0,0|z|2,1,0 = -3ea,       W13=W23=W14=W24=0,

где а - радиус Бора. После этого детерминант расписывается элементарно и дает алгебраическое уравнение четвертой степени

 ((E)2 - 9e22a2)(E)2 = 0,

которое имеет три различных решения:

 E1 = 3ea,       E2 = -3ea,      E3 = E4 = 0.

В итоге ранее 4-кратно вырожденный уровень расщепился на три с энергиями

 Е2(0) 3ае,      Е2(0),       Е2(0) + 3ае.

Средний подуровень остался 2-кратно вырожденным, о чем уже говорилось: энергии состояний с проекциями момента m и m совпадают. Величина расщепления пропорциональна и говорят о линейном эффекте Штарка.

Он может наблюдаться только в кулоновских системах, где есть вырождение по . В произвольном центральном поле и в других атомах, кроме водорода, уровни с разными  имеют разные энергии, а потому стационарные состояния имеют определенную четность, и для них диагональные матричные элементы от W равны нулю. Эффект Штарка в первом порядке теории возмущений отсутствует и возникает только во втором порядке, где в соответствии с теорией

.

При вычислении матричных элементов нужно учесть, что z=rcos, и

 cosYl m=AY l+1, m+BY l-1, m.

Поэтому ненулевые матричные элементы отвечают состояниям, в которых  отличается на 1. Из приведенной формулы видно, что 2, и это есть квадратичный эффект Штарка. Коэффициент пропорциональности при 2 должен быть квадратным трехчленом по m. Но в силу вырождения уровней с m и m линейный по m  член в нем будет отсутствовать, и получим

 Еn l m = En(0)  + ( + m2) 2,

где и определяются видом поля (конкретным атомом).

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67480_0d7839c07fff683baad2a4971a011bdc.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47891. Культура України епохи бароко. Феномен українського бароко 331 KB
  Феномен українського бароко Культура бароко в Україні охоплює другу половину ХУІІХУШ ст. Порівняно із Західною Європою стиль бароко в Україні поширився із значним запізненням. Дух бароко в Україні утверджували великі національні зрушення козацькі звитяги бурхливі державотворчі процеси. ароко в Україні є універсальний стилем органічною системою що включає усі сфери духовного життя літературу історіографію архітектуру образотворче і прикладне мистецтво музику театр тощо.
47892. Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії 15.13 MB
  Обчислимо значення функції. Тоді а nа інтегральна сума для функції. Поняття функції декількох змінних Поряд з поняттям функції однієї незалежної змінної можна розглянути функцію двох і більше незалежних змінних. Аналогічно можна дати визначення функції трьох і більше змінних.
47894. Теорія і методика викладання атлетизму 829 KB
  Основні поняття лекції: теорія і методика атлетизму тренувальні навантаження мастодонти. Основні поняття лекції: теорія і методика атлетизму тренувальні навантаженнякласифікація фізичних вправ. ТРЕНУВАЛЬНЕ НАВАНТАЖЕННЯ Тренованість розвивається під впливом фізичних вправ. Якщо вони дозуються так що дають тренувальний ефект тобто сприяють розвитку зміцненню або збереженню тренованості то говорять про тренувальне навантаження.
47895. ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ БЕЗПЕКИ ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ В ТУРИСТИЧНІЙ ІНДУСТРІЇ 100 KB
  Основний вид втрат втрата здоровя життя і матеріального майна персоналу та туристів. Безпека туристичних послуг це відсутність будьякого ризику для життя здоровя майна туристів і оточуючого природного середовища за звичних умов їх виробництва і споживання. В систему заходів із забезпечення безпеки туристів входять: запобігання ризикам для туристів пов'язаних з природними і техногенними катастрофами в туристичних центрах; попередження епідеміологічних бактеріологічних і інших медичних ризиків і дотримання відповідних...
47896. ПРИРОДА І СУТНІСТЬ ПІДПРИЄМНИЦТВА 78 KB
  Успіх у здійсненні підприємницької діяльності залежить від багатьох чинників проте однією з неодмінних умов досягнення високої результативності практично в будьякій її сфері є отримання мінімально необхідних знань уявлень про форми принципи та умови підприємницької діяльності. Умови і принципи підприємницької діяльності. Сутність і функції підприємництва Правові основи підприємницької діяльності в Україні встановлює Господарський кодекс від 16 січня 2003 року № 436IV набрав чинності з 1 січня 2004 р.
47897. ФОРМУВАННЯ І РОЗВИТОК ІСТОРИКО-ЕТНОГРАФІЧНИХ РЕГІОНІВ УКРАЇНИ 1.3 MB
  Першоначала людського життя на території сучасної України.Поява перших людей на території сучасної України Історія України бере свій початок з появи перших людей на її території. На думку сучасних українських істориків розселення прадавніх людей на території України відбувалося південнозахідним та західним шляхами.
47898. Розвиток енергетики України 259 KB
  Організація роботи робітників енергетики. Цехи допоміжного виробництва забезпечують основному виробництву необхідні умови для нормальної роботи здійснюють ремонт обладнання постачання матеріалами інструментами та пристосуванням запасними частинами різними видами енергії транспортом. Для кожного виду палива існує своя спеціальна система паливоподачи на підставі котрої організується свій режим роботи цеху. Завдання що поставлені перед майстром потребують від нього не тільки технічної підготовки але й знань економіки виробництва...
47899. Економічний аналіз 435 KB
  Зміст предмет та види економічного аналізу Зміст та предмет економічного аналізу Принципи економічного аналізу