67510

Потоки платежей и финансовые ренты. Сущность потока платежей и основные категории

Лекция

Финансы и кредитные отношения

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций...

Русский

2014-09-11

203 KB

32 чел.

Глава 4. Потоки платежей и финансовые ренты

4.1. Сущность потока платежей и основные категории

До сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат. В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

  •  член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;
  •  период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
  •  срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
  •  процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

  •  В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют
    •  годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;
    •  срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.
  •  По числу начислений процентов различают
    •  ренты с начислением 1 раз в год;
    •  ренты с начислением m раз в год;
    •  непрерывное начисление.
  •  По величине членов ренты могут быть
    •  постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;
    •  переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.
  •  По числу членов ренты они бывают
    •  с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
    •  с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.
  •  По вероятности выплаты ренты делятся на
    •  верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
    •  условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.
  •  По методу выплаты платежей выделяют
    •  обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего,– с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
    •  ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

4.2. Обобщающие характеристики финансовых потоков

Обобщающими характеристиками финансовых потоков являются:

  •  наращенная сумма
  •  современная величина потока платежей.

4.2.1. Наращенная величина аннуитета

Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.

Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.

Рис. 7. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты.

Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:

где FVA – наращенная сумма ренты;

R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок ренты в годах,

s n ; i – коэффициент наращения ренты.

Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами (Приложение 4), содержащими коэффициенты наращения ренты:

FVA = R • s5 ; 30 = 500 • 9,0431 = 4'521,55 руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n • R = 5 • 500 = 2'500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4'521,55 - 2'500 = 2'021,55 руб.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2'021,55 руб.

Для овладения методами финансовой математики важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета.

Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу.

Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера:

Расчет наращенной величины аннуитета

Период

Взносы*

Проценты, начисленные за период

Наращенная сумма на конец периода

1

500,00

-

500,00

2

500,00

150,00

1150,00

3

500,00

345,00

1995,00

4

500,00

598,50

3093,50

5

500,00

928,05

4521,55

* Взносы поступают в конце периода.

Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета.

Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:

где j – номинальная ставка процентов.

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу, изменив условия: проценты начисляются поквартально.

Решение:

В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее количество начислений составит 20 раз. Отсюда сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна:

Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4'840,76 - 2'500,00 = 2'340,76 руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m. Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:

4.2.2. Современная (текущая) величина аннуитета

Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

Рис. 8. Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей.

В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:

Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (an ; i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n) (Приложение 5).

Пример. Определить по данным примера современную величину ренты.

Решение:

Современная величина ренты составит:

Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1'217,78 руб.

Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:

  •  годовая рента с начислением процентов несколько раз в год

  •  срочная рента при начислении процентов один раз в год

  •  срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m.

4.3. Определение параметром аннуитета

Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:

R – размер платежа;

n – срок ренты в годах;

i – годовая ставка процентов.

Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:

Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб.

б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.

Решение:

Известна современная величина долга, отсюда:

Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2'504,56 руб.

Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:

FV = 10'000 • (1 + 0,08)5 = 14'693,28 руб.

Наращенная сумма для потока платежей размером 2'504,56 руб. составит:

Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.

Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.

4.4. Оценка некоторых видов аннуитета

4.4.1. Бессрочный аннуитет

Если денежные поступления осуществляются достаточно длительное время и их число заранее не может быть известно, то такой поток называется бессрочным аннуитетом или вечной рентой. В этом случае определение будущей величины такого аннуитета не имеет смысла.

Для данного вида финансовой ренты имеет смысл только характеристика современной величины потока платежей. Поток, даже с неограниченным числом платежей все же имеет конечную приведенную стоимость, поскольку с финансовой точки зрения, деньги, поступающие через много лет, сейчас практически ничего не стоят.

Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула современной величины принимает следующий вид:

При больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной величины срочного аннуитета можно пользоваться формулой бессрочного аннуитета, поскольку полученный приблизительный результат не слишком будет отличаться от точного значения, т.к. при сроке более 40-50 лет коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется из приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо, скорректированного на коэффициент (1 + i), т.е. отличается на величину первого платежа.

4.4.2. Непрерывный аннуитет

Если промежутки между последовательными поступлениями являются бесконечно малой величиной, то такой аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью.

При начислении непрерывных процентов для получения формул определения наращенной или современной величины потока платежей необходимо перейти к пределу, откуда:

  •  наращенная величина потока платежей

где σ – сила роста.

  •  современная величина потока платежей

4.5. Нерегулярные потоки платежей

В финансовых операциях возможны ситуации, когда величина платежа либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени, например, под влиянием инфляции. В таких случаях говорят о нерегулярных потоках платежей.

Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием хотя бы одного нерегулярного параметра: период ренты или размер платежа.

Для получения их обобщающих характеристик требуется прямой счет, т.е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию.

Однако в ряде случаев можно применять следующую формулу:

Пример. По приведенным данным о денежных потоках рассчитать для каждого наращенную величину, если потоки имеют место в конце года. Процентная ставка 12% годовых.

Поток

1

2

3

4

5

А

100

200

200

300

300

В

200

-

200

-

200

Решение:

Для решения данной задачи произведем прямой расчет наращенной суммы по каждому периоду, представив данные в виде таблиц.

Наращение суммы для потока А

: k

Платеж

Проценты

Наращенная сумма

1

100

-

100,00

2

200

12,00

312,00

3

200

37,44

549,44

4

300

65,93

915,37

5

300

109,84

1325,21

Итого

1100

225,21

x

Таким образом, наращенная сумма потока А через пять лет составит 1'325,21 рублей.

Наращение суммы для потока В:

k

Платеж

Проценты

Наращенная сумма

1

200

-

200,00

2

-

24,00

224,00

3

200

26,88

450,88

4

-

54,11

504,99

5

200

60,60

765,59

Итого

600

165,59

x

Для потока В наращенная сумма через пять лет составит 765,59 рублей.

Если воспользуемся вышеприведенной формулой, то

  •  для потока А наращенная величина составит:

FVA = 100 • (1 + 0,12)4 + 200 • (1 + 0,12)3 + 200 • (1 + 0,12)2 + 200 • (1 + 0,12)1 + 300 = 1'325,22 руб.

  •  для потока В наращенная величина составит:

FVA = 200 • (1 + 0,12)4 + 200 • (1 + 0,12)2 + 200 = 765,58 руб.

Таким образом, расчет по формуле для нерегулярных потоков платежей дает такой же результат, как и прямой счет.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67510_df5f398fc920e4f3b334b720596fba6c.doc  - 8 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8353. Main trends in the government’s policy on internationalization 71 KB
  Main trends in the governments policy on internationalization Internationalization of higher education is a reality. The Russian higher educational institutions have at their disposal much less funds than universities in the developed co...
8354. История древней Индии и Китая 37.5 KB
  Особый расцвет в индии наступает с 5-6 веков н.э, начинается процесс урбанизации. Ahimsa - не причинение вреда всему живого. Начинается развитие товарно-денежного обращения. Члены всех 4-ех варн отходили от своих традиционных занятий...
8355. Культура Древнего Востока. Бхавадгита 98 KB
  Культура Древнего Востока. БХАГАВАДГИТА КАК ОНА ЕСТЬ Арджуна спросил: О мой Господь, о Высшая личность, что такое Брахман? Что такое душа? Что такое кармическая деятельность? Что представляет собой это материальное проявление? Кто такие полубоги? По...
8356. История Китая. Краткий обзор 482.32 KB
  История Китая Китайская цивилизация - одна из старейших в мире. По утверждениям китайских учёных, её возраст может составлять пять тысяч лет, при этом имеющиеся письменные источники покрывают период не менее 3500 лет. Наличие систем администрат...
8357. Хрестоматія Китайської Літератури (від найдавніших часів до ІІІ ст. н.е.) 中国古代文学作品选 4.19 MB
  Хрестоматія Китайської Літератури(від найдавніших часів до ІІІ ст. н.е.) У хрестоматії широко представлена перекладна й оригінальна давньокитайська література, зокрема народна та авторська поезія, міфологічна, літописна, філософська ...
8358. Історія Китаю та китайських традицій 86.5 KB
  На сьогодні дві держави використовують назву Китай. Це Китайська Народна Республіка (КНР), яка контролює територію материкового Китаю, Гонконг та Макао, а також Республіка Китай, яка володіє островами Тайвань, Мацу і Кіньмень Китай (традиц...
8359. Влияние иностранных инвестиций на экономику Китая 124 KB
  Влияние иностранных инвестиций на экономику Китая Введение Процессы, происходящие в экономике Китая, на протяжении нескольких последних десятилетий привлекают к себе внимание специалистов и широкой мировой общественности. Достижения, демонстрируемые...
8360. История Китая 168.5 KB
  КИТАЙ По истории Китая вы помните, что в Китае сменялись разные династии. Для истории Китая характерна определенная цикличность. Приходит к власти новая династия, проводит реформы, все идет хорошо, процветание. А потом наступает упадок, и смена дина...
8361. Китайские церемонии или радостно встречая 18-ый съезд КПК 47.5 KB
  Китайские церемонии или радостно встречая 18-ый съезд КПК Связка трех сил внутри китайского руководства Учение Маркса (марксизм-ленинизм - идеи Мао Цзэдуна) было всесильным и верным в период индустриального общества борьбы труда и капитала. Теперь ж...