67547

Соотношения подобия в механике, электричестве и магнетизме

Лекция

Физика

Простейшим видом подобия является геометрическое подобие. Коэффициент пропорциональности назовем коэффициентом подобия. Геометрически подобные треугольники Определяющим называется размер выбранный для задания коэффициента подобия.

Русский

2014-09-12

227 KB

1 чел.

ГЛАВА V. ПОДОБИЕ  В  ЭЛЕКТРОПРИВОДАХ

ЛЕКЦИЯ  23

Соотношения подобия в механике, электричестве и магнетизме.

В природе и технике наблюдается подобие или схожесть формы живых существ и искусственных объектов. Одной из причин такого явления считают подобие оптимальных вариантов. В процессе эволюции животные, птицы и рыбы приобретают формы и пропорции, наиболее благоприятные для их среды обитания, образа жизни и способов охоты или добывания пищи. В технике результаты оптимального проектирования или оптимизации процессов часто оказываются геометрически подобными при различных значениях исходных данных. Это позволяет легко пересчитывать размеры нового варианта по размерам базового объекта, а также может быть использовано при моделировании.

Простейшим видом подобия является геометрическое подобие. Предположим, что имеется базовый объект, размеры которого будем обозначать буквами с индексом '0'. Другой объект будем называть объектом сравнения и его размеры будем обозначать буквами без индексов.

Рассмотрим два треугольника, показанные на рис. 23.1. Базовый треугольник имеет вершины A0, B0, C0, а треугольник сравнения – вершины A, B, C. Одинаково расположенные точки двух объектов назовем сходственными. Фигуры называются геометрически подобными, если расстояния между их сходственными точками пропорциональны. Коэффициент пропорциональности назовем коэффициентом подобия. Для указанных треугольников имеем:

AB = γA0B0;  BC = γB0C0;   CA = γC0A0;   h = γh0.

Рис. 23.1. Геометрически подобные треугольники

Определяющим называется размер, выбранный для задания коэффициента подобия. Для треугольников это может быть длина основания:

l = γl0 .                (23.1)

Соотношение (23.1) является характерным для линейных размеров.

Площади двух подобных фигур относятся как квадраты их размеров, откуда следует:

S = γ2S0 .               (23.2)

Объемы двух подобных тел относятся как кубы их размеров, откуда имеем

V = γ3V0 .               (23.3)

На рис. 23.2 показаны две подобные пирамиды. За определяющий размер может быть принята высота пирамиды:

h = γh0

Рис. 23.2. Подобные пирамиды

В некоторых случаях пространство можно представить как прямое произведение подпространств меньшей размерности, в каждом из которых имеется свой коэффициент подобия. Такое подобие называется аффинным. Например, пусть два цилиндра имеют разные диаметры и осевую длину, причем выполняются равенства:

d = γ1 d0 ,      l = γ2 l0 .

Тогда для объемов этих цилиндров справедливо равенство:

V = γ12 γ2V0 .              (23.4)

Для масс геометрически подобных тел справедливо равенство:  

,             (23.5)

где ρ0 – плотность материала базового тела;  ρ – плотность тела сравнения.

Осевой момент инерции тела с двумя закрепленными точками определяется интегралом

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Видно, что при полном подобии тел имеет место равенство

             (23.6)

При аффинном подобии формула изменяется:

            (23.7)

Видно, что при увеличении диаметра цилиндра в два раза момент инерции возрастает в 16 раз.

Важной составной частью электропривода является электродвигатель, имеющий ряд электрических и магнитных параметров. Рассмотрим сначала электрические величины.

Активное сопротивление проводника с длиной l и с постоянным сечением S определяется по формуле:

где ρ – удельное сопротивление.

Рассмотрим два геометрически подобных проводника, выполненных из различных материалов. Их активные сопротивления удовлетворяют равенству

            (23.8)

а при аффинном подобии

           (23.9)

Для активной проводимости имеем обратные формулы. При полном геометрическом подобии

           (23.10)

а при аффинном подобии

          (23.11)

Электрический ток I и напряжение U определяются формулами

           (23.12)

           (23.13)

где  Eнапряженность электрического поля;  j – плотность тока;  E = ρ j.

Емкость конденсатора С может быть определена по формуле

где S – площадь одной пластины конденсатора; δ – расстояние между пластинами; ε – диэлектрическая проницаемость материала между пластинами. Получаем формулу для емкости:

           (23.14)

Обмотка с числом витков w и током I создает магнитодвижущую силу

F = wI.

Эту формулу желательно преобразовать, чтобы в нее входили линейные размеры и плотность тока:

F = kз.м bhj,

где kз.м – коэффициент заполнения поперечного сечения катушки медью; b, hширина и толщина катушки; jплотность тока. Отсюда следует, что при подобии двух катушек справедлива формула:

           (23.15)

При протекании тока по катушке в ней выделяется мощность в виде тепла. Эта мощность определяется по закону Джоуля-Ленца:

P=RI2.

Активное сопротивление катушки и ток даются выражениями

,  

где Sплощадь сечения проводника по меди;  jплотность тока; lср – средняя длина одного витка катушки. 

Подставляя эти выражения в формулу мощности Р, получаем формулу

или

P = ρj2Vм,

где Vм – объем меди катушки.

Если имеются две геометрически подобные катушки, то для мощности потерь имеем формулу

          (23.16)

Рассмотрим теперь магнитные величины.

Магнитное сопротивление ферромагнитного стержня длиной l и с постоянным сечением S определяется по формуле:

где μ – магнитная проницаемость стержня.

Рассмотрим два геометрически подобных стержня, выполненных из различных материалов. Их магнитные сопротивления удовлетворяют равенству

          (23.17)

а при аффинном подобии

          (23.18)

Для магнитной проводимости Λ имеем обратные формулы. При полном геометрическом подобии

           (23.19)

а при аффинном подобии

          (23.20)

Магнитный поток Ф и магнитное напряжение Uм определяются формулами

        (23.21)

        (23.22)

где  Н – напряженность магнитного поля,  H = B/μ.

Индуктивность катушки L определяется формулами

Здесь w – число витков катушки. Отсюда получаем формулу

        (23.23)

Как видно, без числа витков здесь не обойтись.

Мощность потерь в стали (магнитных потерь) определяется формулой

где Pв.т , Pгмощности потерь на вихревые токи и гистерезис; ξ, η – постоянные коэффициенты; Bm – амплитуда магнитной индукции; fчастота перемагничивания; Vc – объем стали.

Отсюда следует, что мощности потерь в геометрически подобных магнито-проводах при одинаковой частоте связаны соотношением

        (23.24)

Отметим, что формулы (23.8) – (23.11) похожи на формулы (23.17) – (23.20),  формулы (23.12) – (23.13) похожи на формулы  (23.21) – (23.22), формула (23.14) похожа на формулу  (23.23), а формула (23.16) похожа на формулу  (23.24).

Обратимся теперь к теплопроводности. При теплопередаче теплопровод-ностью имеет место формула:

где λ – коэффициент теплопроводности; S – площадь стенки;  δ – ее толщина; θ1 и θ2 – температура стенки с двух сторон. Эту формулу можно записать в виде

 

Здесь тепловое сопротивление Rθ и тепловая проводимость Gθ определяются формулами Здесь тепловое сопротивление Rθ и тепловая проводимость Gθ определяются формулами

 

При полном геометрическом подобии получаем соотношения:

 

При теплопередаче конвекцией имеет место формула:

где α – коэффициент теплоотдачи; S – площадь стенки;  θ1 и θ0 – температура стенки и температура воздуха на некотором расстоянии от стенки. Эту формулу можно записать в виде

 

Здесь тепловое сопротивление Rθ и тепловая проводимость Gθ определяются формулами

 

При полном геометрическом подобии получаем соотношения:

 

Отметим, что сам коэффициент теплоотдачи зависит от размеров тела.

Коснемся кратко вопроса подобия динамических процессов в электроприводах. Пусть имеется базовый электропривод постоянного тока. При подаче на обмотку якоря напряжения U0 его скорость вращения изменяется по закону ω0(t0). Имеется электропривод постоянного тока сравнения. При подаче на обмотку якоря напряжения U его скорость вращения изменяется по закону ω(t). Как видно, время электроприводов обозначено по-разному.

Обозначим

 

Коэффициент подобия по времени  γt  будем считать постоянным. Если при некотором соотношении между параметрами электроприводов коэффициент подобия по скорости вращения γω постоянен, то электроприводы назовем динамически подобными. Иначе говоря, при этом можно подобрать такие масштабы для времени и скорости вращения, что графики  ω(t)  и  ω0(t)  совпадут.

Пусть базовый электропривод имеет уравнения

         (23.25)

          (23.26)

Электропривод сравнения описывается уравнениями

          (23.27)

           (23.28)

Характеристическое уравнение для системы дифференциальных уравне-

ний (23.25), (23.26) имеет вид

где

 

Аналогично характеристическое уравнение для системы дифференциальных уравнений (23.27), (23.28) имеет вид

где

 

Чтобы графики переходных процессов в электроприводах были подобны, необходимо, чтобы совпали отношения электромагнитной и электромеханической постоянных времени:

откуда следует основное условие динамического подобия электроприводов:

           (23.29)

Коэффициент подобия по времени можно определить из равенства

откуда следует

          (23.30)

Коэффициент подобия по скорости вращения можно определить по сравнению установившихся скоростей:

         (23.31)

На рис. 23.3 представлены  графики  скорости  базового  электропривода и электропривода  сравнения  при  значениях  коэффициентов  подобия  и

Рис. 23.3. Графики скоростей вращения

в динамически подобных электроприводах

Вопросы для самопроверки

1. Каковы причины подобия живых существ и технических объектов? Как подобие может быть использовано?

2. Какие объекты называются геометрически подобными и что такое аффинное подобие? Что называется коэффициентом подобия?

3. Напишите соотношения подобия для площади, объема, массы и момента инерции объектов.

4. Напишите соотношения подобия для электрических и магнитных сопротивлений и проводимостей.

5. Напишите соотношения подобия для тока и напряжения электрического элемента, для магнитного потока и магнитного напряжения на магнитном элементе.

6. Напишите соотношения подобия для мощности электрических и магнитных потерь.

7. Напишите соотношения подобия для емкости конденсатора и индуктивности катушки.

8. Объясните смысл динамического подобия объектов.

9. Как определить сходственные точки двух колебательных процессов?

10. Каков смысл коэффициента подобия по времени?

11. Каково условие динамического подобия электроприводов постоянного тока независимого возбуждения?

12. Напишите формулы для коэффициентов подобия по скорости вращения и по времени для динамически подобных электроприводов.


A0

B0

C0

0

h0

h

l

C

B

A

B

h

C

D

A

h0

t,t0

C0

D0

A0

B0

tf

tf0

0

ω0

ω

ω0(t0)

ω(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37822. Робота із утилітою SiSoftware Sandra 26 KB
  SiSoftwre Sndr розроблена для роботи в ОС Windows 32. Запустити програму SiSoftwre Sndr Ознайомитись із меню програми. За допомогою SiSoftwre Sndr отримати інформацію про систему список підключених пристроїв.
37823. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ 143.5 KB
  = Координаты нуля фильтрапробки на zплоскости. = Частота режекции в единицах главного диапазона Ширина фильтрапробки на уровне 0.9 полосы подавления должна быть равна Гц = Координаты нуля фильтрапробки на zплоскости.
37824. Діагностика комп’ютерних мереж 866.5 KB
  Головне вікно програми EtherSnoop Для роботи процесу перехоплення пакетів оберіть мережений інтерфейс вбудованої або зовнішньої мережевої карти що обирається за допомогою списку зображеного на рисунку 2. Рисунок 2 – Список для вибору мережевого інтерфейсу Для налагодження режиму перехоплення пакетів виконуються три етапи підготовки: Виділення буферу – розміру пам’яті для збереження інформації про перехоплені пакети рис. Рисунок 3 – Вікно налагодження розміру буфера Рисунок 4 – Вибір фільтру пакетів Рисунок 5 – Вибір...
37825. Безпека в мережі 226 KB
  Перераховані порушення роботи в мережі викликали необхідність створення різних видів захисту інформації. Умовно їх можна розділити на три класи: засоби фізичного захисту; програмні засоби антивірусні програми системи розмежування повноважень програмні засоби контролю доступу; адміністративні міри захисту доступ у приміщення розробка стратегій безпеки фірми і т. Одним із засобів фізичного захисту є системи архівації і дублювання інформації. Для боротьби з комп'ютерними вірусами найбільше часто застосовуються антивірусні...
37826. Обробка масивів 87 KB
  Мета роботи: вивчити властивості компонента TStringGrid. Компонент TStringGrid При роботі з масивами введення і виведення інформації на екран зручно організовувати у виді таблиць використовуючи компонент TStringGrid. Значення N вводити в компонент Tedit А и В – у компонент TStringGrid. Результат після натискання кнопки типу TButton вивести в компонент TStringGrid.
37827. Організація обробки графічної інформації 57.5 KB
  При необхідності за допомогою убудованого редактора EditingChrt компонентові TChrt передаються дані про товщину стиль і колір ліній параметрах шрифту підписів кроках розмітки координатної сітки й інші настроювання. Для уведення вихідних даних використовуються вікна TEdit. З'явиться вікно редагування EditingChrt див. Натискаючи різні кнопки меню познайомитися з іншими можливостями EditingChrt.
37828. ОБРОБКА ПОДІЙ У DELPHI. КОМПОНЕНТИ TLISTBOX І TCOMBOBOX 69 KB
  Типи даних для роботи з рядками Короткі рядки типу ShortString і String[N]:Короткі рядки мають фіксована кількість символів. Рядок ShortString може містити 255 символів. Рядок String[N] може містити N символів але не більш 255. На етапі виконання програма визначає необхідну довжину ланцюжка символів і звертається до ядра операційної системи з вимогою виділити необхідну пам'ять.
37829. Програмування підпрограм та модулів 41 KB
  Контрольні запитання: Що називають підпрограмою Які види підпрограму мові Pscl Ви знаєте Які види параметрів Ви знаєте Які види змінних Ви знаєте Що називають моделем Яка структура модуля Як організувати модуль у Delphi Теоретичні відомості. Створення модуля: Створюючи модуль варто звернути увагу на те що він не повинний мати своєї форми. Для створення модуля в меню File вибрати File New і потім у репозиторії – піктограму. Ім'я модуля можна перемінити на інше що відповідає внутрішньому змістові модуля наприклад Unit...