67551

СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ. ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Лекция

Физика

Всякая физическая теория изучает определенный класс физических систем. Одно из основных понятий любой физической теории – понятие состояния физической системы которое задается переменными состояния. а Если заданы переменные состояния в некоторый фиксированный момент времени то мы имеем максимально...

Русский

2014-09-12

136 KB

1 чел.


л е к ц и я  1

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая механика родилась не на голом месте, а возникла в недрах классической физики. Последняя оказалась неспособной объяснить широкий круг физических явлений. Два ее основных составных элемента ньютонова механика и максвеллова электродинамика пришли в несоответствие друг с другом. Выявились особенности поведения объектов на микроскопическом уровне, не свойственные макроскопическим объектам.

Корпускулярно-волновой дуализм

В классической физике всякий процесс есть либо движение частицы, либо распространение волны. В микромире ситуация иная.

(а) В XIX в. распространение света считали волновым процессом (интерференция, дифракция, поляризация) и развитие этой точки зрения увенчалось построением электромагнитной теории света (Максвелл).

Однако, эта теория вместе с классической статистической физикой (прежде всего, с теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы) для спектральной интенсивности излучения черного тела давала формулу Рэлея-Джинса

 

.

Она противоречила опыту (см. рис. 1) и приводила к “ультрафиолетовой” катастрофе.

Рис. 1

Для полной плотности энергии излучения формула Рэлея - Джинса дает:

 !

В 1900 году М. Планк, пытаясь объяснить излучение черного тела, предположил, что энергия излучения испускается и поглощается веществом отдельными порциями - квантами. Энергия кванта света есть

 e = iw,     i h 1,0510-34Джс

Величина i есть постоянная  Планка (раньше вместо нее использовалась h = 2pi). В 1905 году А. Эйнштейн объяснил законы фотоэффекта (в частности, существование красной границы), предположив, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется отдельными квантами.  Их корпускулярные и волновые характеристики связаны соотношениями

e  =  iw,    p = ik   

-длина волны.

Встал кардинальный вопрос: свет - волны или частицы? Возникла концепция корпускулярно-волнового дуализма.

(б) В 1924 г. Л. де Бройль предположил, что у всех микрообъектов, считавшихся ранее частицами (например, у электронов) должны быть не только корпускулярные характеристики и p, но и волновые характеристики , k, . Они связаны теми же соотношениями:

, k,         ().

Корпускулярные характеристики выявляются, скажем, при детектировании частиц (появилось ли пятно на фотопластинке или нет, счетчик щелкнул или нет). Волновую природу электронов выявили экспериментально в 1927 году Дэвисон и Джермер, обнаружившие дифракцию электронов на кристалле.

Таким образом, все микрообъекты ведут себя в одном круге явлений как частицы, а в другом - как волны. Это и есть корпускулярно-волновой дуализм, не известный классической физике.

ДИСКРЕТНОСТЬ значений физических величин

Классическая физика не могла объяснить основные атомные явления. В 1911 г. Э. Резерфорд установил планетарную модель атома. Но с классической точки зрения:  (а) атомы Резерфорда неустойчивы; (б) атомы одного элемента не должны быть тождественными; (в) спектры атомов  должны быть непрерывными. Это резко противоречило опыту.

В 1913 г. Н. Бор для “объяснения” свойств атомов предположил, что электроны могут двигаться не по любым орбитам, а лишь по избранным. Энергия электрона, в отличие от классической физики, может принимать лишь ряд дискретных значений. Эта гипотеза нашла прямое подтверждение в опытах Франка-Герца по неупругому рассеянию пучка электронов на атомарной ртути.

Рассмотрим другой пример дискретности, необходимый для дальнейшего. У электрона есть собственный магнитный момент , равный магнетону Бора:

.

В классической физике его направление может быть произвольным, и проекция вектора на внешнее магнитное поле может принимать любое значение от -m и +m. Опыты Штерна-Герлаха показали, что эта проекция может принимать лишь два значения: -и +.

Итак, в физике накопилось много экспериментальных данных, которые не объяснялись классической физикой. Нужна была новая теория. Ей стала КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, которая была создана в 1925 г. и окончательно завершена в 1927 г.

СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ

ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Всякая физическая теория изучает определенный класс физических систем. Физическая система описывается характерными масштабами, скоростями и взаимодействиями. (Нерелятивистская) квантовая механика изучает системы малых масштабов (R  10-8 м), с малыми скоростями (v << с) и с частицами, подверженными, главным образом, электромагнитному взаимодействию. Задание системы подразумевает, что заданы ее частицы, в частности их внутренние характеристики (массы, заряды и т.п.), и законы взаимодействия между частицами.

Одно из основных понятий любой физической теории – понятие состояния физической системы, которое задается переменными состояния. Здесь есть два аспекта  «статический» и «динамический».

(а) Если заданы переменные состояния в некоторый фиксированный момент времени, то мы имеем максимально возможную информацию о данной системе в этот момент времени. В частности, можем найти значения всех физических величин (энергии, импульса, координат и т. д.) по крайней мере, их вероятностные распределения. Последняя оговорка очень существенна, ибо в квантовой механике мы обычно можем судить только о вероятностях распределения значений физических величин.

(б) Если заданы переменные состояния в некоторый момент времени t0 , то можно найти переменные состояния этой системы и в произвольный момент времени t , а значит, получить максимально возможную информацию о системе в этот момент t . Это есть принцип причинности в его конструктивной формулировке.

В классической механике состояние системы из N частиц без связей задается набором 3N координат и 3N компонентов импульсов (скоростей) – всего 6N величинами, которые можно считать координатами точки фазового пространства.

В квантовой механике так задавать состояния нельзя, хотя бы потому, что соотношение неопределенностей запрещает координатам и импульсам иметь одновременно строго определенные значения. Рассмотрим примеры. Состоянию частицы с определенным импульсом p=ik сопоставляется плоская монохроматическая волна волна де Бройля:

 A(r, t) = A0ei(kr  wt)      .

Здесь импульс определен, но про координату ничего сказать нельзя частицу с равными вероятностями можно обнаружить гдеугодно. В квантовой механике допустимы и состояния, которые описываются не монохроматическими волнами:

 A(r, t) = ò dkf0(k)ei(kr-wt).

В таких состояниях не имеют определенных значений ни координаты частицы, ни ее импульс.

Рассмотренный пример подводит нас к одному из самых фундаментальных положений квантовой механики - принципу суперпозиции. Немонохроматическая волна описывает суперпозицию состояний частицы с определенными значениями импульса (каждая гармоника). При измерении импульса мы получим не какое-то его усредненное значение, а одно из тех, которые входят в гармоники. В этом принципиальное отличие от классического принципа суперпозиции.

Рассмотрим еще один пример, обратившись к опыту Штерна-Герлаха.

У электрона есть состояние, в котором проекция магнитного момента m на внешнее поле H H равна      равна   (при ее измерении всегда получается  ). У него есть  состояние и с проекцией +. Но есть и бесконечно много других состояний - суперпозиций двух указанных. Что для них характерно? Если будем в таком состоянии измерять проекцию , то получим либо +, либо , и ничего более, причем эти значения будем получать с определенными вероятностями, которые определяются состоянием. В классической физике мы получили бы какое-то значение проекции, промежуточное между  и +.

Перейдем к описанию состояний в квантовой механике. Итогом огромной работы теоретиков и обобщения большого числа опытных данных явилась формулировка следующего утверждения.

Постулат. Состояниям квантовомеханической системы сопоставляются векторы гильбертова пространства Н.          

Эти векторы будем обозначать как U...ñ, и они иногда называются кет-векторами. Так как гильбертово пространство линейно (см. ниже), то векторы можно складывать и умножать на комплексные числа. Какой это имеет смысл? Он заложен в следующем постулате.

Постулат.  Если состояние  является суперпозицией состояний 1 и 2, то для соответствующих им векторов 

  = с11 + с22, с1, с2С.

Примечание. Потом мы увидим, что с1 и с2 имеют вероятностный смысл. Пусть  1 состояние электрона с проекцией , а  2  с проекцией +, и пусть мы измеряем значение этой проекции. Тогда с вероятностью   |с1|2 будем получать проекцию , а с вероятностью |с2|2 проекцию +. Поэтому должно быть

|с1|2 + |с2|2 = 1.

В пространстве векторов можно ввести не только операции умножения на числа и сложения, но и скалярное произведение любых двух векторов   и , которое будем обозначать как . Свойства:

(а) линейность по второму аргументу

 с1+с2 = с1 +с2;

(б) эрмитовость  

 

  = *;

(в) положительная определенность

   :     = 0   = 0.

Определение.  Линейное бесконечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется гильбертовым пространством.

На самом деле в определение нужно включить еще требование полноты пространства (всякая последовательность Коши, или фундаментальная последовательность, сходится к некоторому вектору из H), но это требование является математическим, и в физике оно обычно не нужно.

Символы  также можно рассматривать как векторы некоторого пространства, которое называется сопряженным исходному. Величины  именуются совекторами, или бра-векторами. Их можно складывать между собой, как и векторы, но нельзя сложить вектор с совектором.   

Заметим, что из линейности скалярного произведения по второму аргументу и из его эрмитовости следует антилинейность по первому аргументу:

 c = c* .

Используется и другое обозначение – векторы без угловых скобок:

   .

 c = c;    d = d*().

Положительная определенность скалярного произведения позволяет ввести неотрицательное число  = , называемое нормой вектора  (аналог обычной длины). Оно будет использоваться ниже.

Насколько однозначно определен вектор , сопоставляемый данному физическому состоянию ? Для ответа заметим, что суперпозиция состояния с собой не приводит к новому состоянию. Обобщаем это.

РЕЗЮМЕ

Постулат I.  Состояния квантовой системы задаются векторами   Н.  Векторы  и с  с любым с  С отвечают одному и тому же состоянию. Суперпозиции  состояний отвечает линейная комбинация векторов.

Итак, вектор состояния можно умножать на произвольное комплексное число. Произвол уменьшится, если потребовать, чтобы векторы состояний были нормированными: U=1. Но полностью произвол не
устраняется: вектор еще может быть умножен на произвольный фазовый множ
итель:

    = e ,        U = U.

Этот произвол устранить уже не удается. Практически фазу  мы выбираем из соображения удобства.

FILENAME lecture01.doc

-  PAGE 1 -