67552

СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ. ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Лекция

Физика

Разные собственные векторы при фиксированном Al автоматически не являются взаимно ортогональными. Но их всегда можно ортогонализовать процедурой Шмидта, а кроме того, их можно и нормировать.

Русский

2014-09-12

593.5 KB

0 чел.


Л Е К Ц И Я   2

СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ.

ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Продолжение

Согласно принципу, если система может находиться в состояниях 1 и 2, то она может находиться и в состоянии , описываемом вектором

  = с11 +с22 , с1, с2  C.

Это значит, что в состоянии можно обнаружить результаты измерений, соответствующие состояниям 1 и 2. Им будут соответствовать определенные вероятности, и нужно уметь вычислять подобные вероятности.

Постулат II.  Если векторы  и  нормированы, и система находится в состоянии , то вероятность обнаружить ее в состоянии равна  2.

Для векторов гильбертова пространства справедливо неравенство Коши - Буняковского (оно же Шварца)

.

Отсюда следует, что для вероятностей

0 £  £ 1,

как это и должно быть.

Замечание. Если векторы  и  состояний  и ненормированы, то их всегда можно сделать таковыми, умножая на подходящие числа:

 

.

 

Поэтому в общем случае указанная вероятность вычисляется так:

 

 

Постулат III. Каждой динамической переменной (наблюдаемой) соответствует некоторый линейный оператор  ,  который действует в пространстве векторов состояния, и который является самосопряженным (эрмитовым): + = .

Вспомним некоторые математические понятия. Для линейного оператора

 c11 + c22 = c11 + c22;

 2,2  c2,    c1  C.

В множестве операторов вводятся операции сложения:

def

 (1+2)  =  1 + 2,

умножения на комплексные числа:

 def

(с)  = с ()

и перемножения:

def

(12)  =  1 (2).

Операция умножения операторов, вообще говоря, некоммутативна:

  .

В связи с этим вводится понятие коммутатора двух операторов:

 , = – .

Оператор +называется сопряженным к оператору , если

( 1, +2) = (1,2),      1,2  .

Это в обычных обозначениях, принятых математиками. Перейдем к обозначениям Дирака, где   :

( 1, 2)  áy1Uy2  áy1UUy2.

Операцию сопряжения можно ввести и для векторов: по определению

 ()+= , (áy1U)+ = ,

а для чисел она понимается просто как комплексное сопряжение. Для скалярного произведения (числа) имеем, применяя правила сопряжения:

 12+ = 21,

а это, в силу свойства эрмитовости скалярного произведения, и есть число, комплексно сопряженное к 12. Теперь в дираковских обозначениях определение эрмитова оператора можно записать так:

 1+2 = 21+.

Оператор  называется самосопряженным (или эрмитовым), если +=.

В более подробной форме записи это означает, что

 12 = 21+.

Постулат IV. Среднее значение динамической переменной  в    нормированном состоянии вычисляется так:

    = .

Среднее значение физической величины должно быть действительным. Но действительность  равнозначна эрмитовости , откуда и возникает это требование.

В квантовой механике (и в математике) важнейшую роль играет задача на собственные значения данного эрмитова оператора :

 l = Al l,

где l - собственные векторы, Al - собственные значения. Если собственные значения различны (Al Al,), то соответствующие им собственные векторы взаимно ортогональны:

        = 0.

Если данному Al соответствует несколько линейно независимых собственных векторов, то оно называется вырожденным (в противном случае - простым). Максимальное число линейно независимых собственных векторов l  с заданным Al называется кратностью вырождения Al. Разные собственные векторы при фиксированном Al автоматически не являются взаимно ортогональными. Но их всегда можно ортогонализовать процедурой Шмидта, а кроме того, их можно и нормировать. Будем считать все эти операции проделанными и введем единый индекс n  .Тогда получим систему ортонормированных векторов:

 mn = dmn; (n  al, m  bn).

Здесь предполагается, что все собственные значения l принадлежат дискретному (а не непрерывному) спектру оператора . Совокупность всех таких собственных значений образует дискретный спектр.

Построим всевозможные линейные комбинации вида

 n.

Если всякий вектор из H может быть представлен в такой форме, то оператор  имеет чисто дискретный спектр. В противном случае расширим исходное пространство:

 H , H 

и доопределим оператор , распространяя его на все  и сохраняя свойство линейности. Теперь можно говорить об обобщенных собственных векторах A оператора , лежащих в , но не принадлежащих H:

 A  . A = AA.

Они ортогональны обычным собственным векторам (из H) и взаимно ортогональны при разных собственных значениях , но их норма равна уже бесконечности, и они нормируются на - функцию. Таким образом,

 nA = 0, .

 

Всякий вектор   H может быть разложен по обычным собственным векторам n (в сумму) и по обобщенным собственным векторам A ( в интеграл):

  = n + òdAc(A)A.

Множество  есть непрерывный спектр оператора , а  объединение множеств l и  есть его полный спектр.

Постулат V. Результатом измерения наблюдаемой может быть только значение, принадлежащее спектру соответствующего ей оператора .

Введем важное понятие дисперсии наблюдаемой А в состоянии :

 Dy(A)  (A)2  .

Раскрывая скобки, получим:

Dy(A) = 2 - 2 + 2 = 2-22+2,

т.е.

 Dy(A) = 2 - 2.

Если  - собственный вектор оператора  ( = A), то дисперсия величины A в состоянии  равна нулю:

  = A     Dy(A) = 0.

Это сразу следует из последнего представления Dy(A) как
2  2.

Таким образом, можно говорить, что наблюдаемая A в собственном состоянии имеет строго определенное значение - равное собственному значению A.

Вычислим теперь среднее значение A в произвольном состоянии, для чего разложим его по собственным векторам оператора :

  =n +A,

  = n +B;

  =  =

               = mn + mA  +

 +Bn +BA =

  = Andmn+ 0 + 0 +Ad(B-A):

  = +c(A)2A.

Отсюда и из элементарной теории вероятностей сразу видно, что

cn2- вероятность в состоянии получить значение An,

c(A) - плотность вероятности в состоянии  получить значение A.

Пусть теперь  - эрмитов оператор, спектр которого дискретный и невырожденный. Тогда все собственные векторы

 l = All

лежат в H и автоматически ортогональны:

   = .

Таким образом, l есть ортонормированный базис в H. Разложим по нему произвольный вектор :

  = l.

Для отыскания коэффициентов разложения умножим слева на :

   = l =  = ,

откуда

 bl = l,

и

  = l = ll.

При наличии вырождения векторы l не будут однозначно определяться своими собственными значениями Al. И необходимо вместе с A ввести еще одну величину B с оператором  - так, чтобы собственные векторы Uj lñ оператора  были бы собственными векторами и оператора . Для последнего они будут иметь свои собственные значения Bn , и каждый вектор будет нумероваться двумя индексами - и :

 ln = Al ln,  ln = Bn ln.

Если теперь нет общего вырождения, т.е. паре чисел и , а фактически Al и Bn, отвечает один вектор ln, то процедура закончена. В противном случае нужно ввести еще одну величину C с оператором  - так, чтобы старые собственные векторы операторов  и  были бы собственными векторами , и так далее.

Для того, чтобы оператор  обладал указанным свойством, необходимо, чтобы он коммутировал с оператором :

 , = 0.

Действительно, имеем:

 ,  = (-) =

= (-)a...ln =

=(-) =

 = (-) =

 = (AlBn - Bn Alaln... = 0,

откуда, в силу произвольности вектора , , = 0.

Имеет место следующее полезное свойство:

 , = 0       ()+=.

Действительно,

()+ = ++ =  = .

Определение. Набор независимых наблюдаемых называется полным, если все их операторы коммутируют, и  если он не может быть расширен.

 Смысл названия выявляет описанная выше процедура. У операторов полного набора есть собственные векторы, общие для них, которые образуют базис в H, и совокупный спектр которых является невырожденным (простым). Это означает, что каждому множеству индексов .., т.е. каждой совокупности собственных значений Al,Bn ,...отвечает только один вектор ln.

Вернемся к оператору, спектр которого дискретный и простой. (В общем случае под  можно понимать весь полный набор, а под  n  - весь набор индексов, однозначно задающих общие собственные векторы). Поставим задачу на собственные значения

 n = Ann,

разложим произвольный вектор  по базису n

  = n = nn

и подействуем на  оператором:

  = nn = Annn,

т.е.

  = Annn.

По определению, функция F() от оператора  определяется так:

 F()  F (An)n n,

откуда

 F() = F (An)nn.

Полагая  = , где  - единичный оператор, получим формулу разложения единицы:

 = nn.

Обозначим каждое слагаемое:

 Pn  nn

и выясним его смысл, для чего подействуем на произвольный H:

 Pn = nn,

но n - есть коэффициент разложения  по  n:

 n = bn,

а потому

 Pn = bnn.

Таким образом, оператор Pn сопоставляет каждому вектору  его проекцию на базисный орт n, т.е. Pn есть оператор проектирования на , или просто проектор.

Обобщение на случай смешанного спектра очевидно:

 F() = F (An)nn + òdAF(A)AA,

и формула разложения единицы принимает вид

  = nn + òdAAA.

Прежде чем двигаться дальше, необходимо кратко резюмировать основные положения квантовой механики, которые были сформулированы выше.

РЕЗЮМЕ

Постулат 1. Состояния квантовомеханической системы описываются нормированными векторами  гильбертова пространства H:

  H: =1.

Если вектор   не нормирован, то его можно сделать таким:

.  

 

Принцип суперпозиции. Если система может находиться в состояниях 1 и 2, то она может находиться и в любом состоянии  с вектором

  = c11 + c22, c1,c2 .

Постулат II.   Если векторы  и   нормированы, и система находится в состоянии , то вероятность обнаружить ее в состоянии  равна 2.

Постулат III. Каждой динамической переменной (наблюдаемой)  соответствует некоторый эрмитов оператор  = .

Важнейшую роль играет задача на собственные значения

 A  = AA.

Если A   H, то собственный вектор - обычный, если  A   H, то он обобщенный. Обычные собственные значения образуют дискретный спектр, обобщенные - непрерывный спектр, совокупность тех и других образует полный спектр оператора . Если данному собственному значению отвечает один (с точностью до множителя) собственный вектор, то оно невырожденное, или простое; в противном случае собственное значение вырожденное, или кратное.

Собственные значения эрмитова оператора вещественны. Собственные векторы, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны. Собственные векторы, отвечающие данному вырожденному собственному значению, автоматически не ортогональны, но если они линейно независимы, то их всегда можно сделать взаимно ортогональными. Таким образом,

 nm = dnm для дискретного спектра,

 nA = 0,

 A = d(A-A)для непрерывного спектра.

Совокупность всех собственных векторов A  эрмитова оператора  образует базис  в H, т.е. по ним можно разложить любой вектор   H:

  = n + òdAC(A)A .

Постулат IV. Среднее значение наблюдаемой A в состоянии вычисляется как

 Ay = .

Постулат V. Результатом измерения наблюдаемой A в любом состоянии может быть только одно из значений, принадлежащих спектру оператора .

Важную роль играет понятие дисперсии наблюдаемой A в состоянии :

 Dy(A)  (DA)2y = (- )2 = 2y - 2y.

Если Dy(A) = 0, то говорят, что в этом состоянии наблюдаемая имеет определенное значение. Физический смысл собственных векторов: они и только они описывают состояния с определенными значениями данной наблюдаемой.

Вероятность получить при измерении наблюдаемой A в состоянии  значение An или A из ее спектра равна

 cn2 или c(A)2,

где cn и c(A) - коэффициенты разложения  по A :

 cn = áj nUyñ,   с(A) = ác AUy ñ.

Уточнение: для точек непрерывного спектра c(A)2 есть не вероятность, а плотность вероятности получения значения A. Величина же c(A)2dA есть вероятность получить при измерении какое-то значение из малого интервала (A, A+dA).

Набор независимых наблюдаемых называется полным, если все операторы этих наблюдаемых взаимно коммутируют, и если набор не может быть расширен. У операторов 1,...,N полного набора имеются общие собственные векторы:

 1 = ,...  = ,

образующие базис в H. Совокупный спектр операторов полного наборявляется простым: совокупности собственных значений ,...,(индексов n1,...nN) отвечает только один общий собственный вектор.

Если  = An Uj nñ   и   Uc Añ = Uc Añ, т.е. оператор  имеет смешанный спектр, то функция от этого оператора определяется так:

 =  UjnñájnU + òdAF(A)Uc Añá c AU.

При  =  получаем разложение единицы:

 = .

Операторы Pn = UjnñájnU,  PA = Uc Añá c AU суть проекторы на базисные ортыUjnñ, Uc Añ.

FILENAME lecture02.doc

 -  PAGE 9 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76858. Вены нижней конечности 182.02 KB
  Прободающие вены соединяют между собой многочисленные глубокие и поверхностные вены расположенные в разных плоскостях и уровнях. В области лодыжек перфорантные вены не имеют прямых связей с подкожной сетью. Поверхностные вены вливаются в глубокие в разных отделах ноги в подколенной ямке и под паховой связкой.
76859. Принципы строения лимфатической системы 182.88 KB
  Лимфатические капилляры отсутствуют в тех органах и тканях где кровеносные капилляры не имеют базальной мембраны: в головном и спинном мозге и их оболочках глазном яблоке внутреннем ухе эпителии кожи и слизистых оболочек в пульпе селезенки хрящах костном мозге и плаценте. Начиная с выносящих лимфатические сосуды располагают полулунными клапанами в виде складок эндотелия придающих сосуду снаружи четкообразный вид. Лимфатические сосуды подразделяются на висцеральные органные и париетальные поверхностные и глубокие. Внеорганные...
76860. Грудной проток 180.8 KB
  Образование протока явление многовариантное: слияние поясничных или кишечных или тех и других стволов правой и левой стороны; слияние только поясничных и кишечных стволов 25; образование стволами млечной цистерны cistern chyli в виде конусовидного ампулярного расширения 75; сетевидное начало в виде крупного петлистого сплетения из поясничных чревных брыжеечных стволов и выносящих сосудов. Проток возникает на уровне XII грудного II поясничного позвонков и располагается рядом с брюшной аортой. В грудном протоке от начала...
76861. Правый лимфатический проток 179.63 KB
  Он проходит рядом с подключичной веной имеет клапаны и сфинктер впадает либо в венозный угол и вены его образующие либо в правый лимфатический проток. Бронхомедиастинальный правый ствол truncus bronchomedistinlis собирается из выносящих лимфатических сосудов от средостенных трахеобронхиальных и бронхолегочных лимфатических узлов. Он имеет клапаны впадает в правый лимфатический проток или в правый яремный венозный угол или в вены его составляющие внутреннюю яремную подключичную плечеголовную.
76862. Лимфатический узел 181.03 KB
  Лимфатические синусы в паренхиме узла делятся на краевой подкапсульный sinus mrginlis seu subcpsulris корковые sinus corticles мозговые sinus medullres воротный sinus chilris. По приносящим сосудам лимфа поступает в краевой синус из него в корковые из них в мозговые синусы а потом в воротный откуда начинаются выносящие лимфатические сосуды. Лимфатические узлы располагаются группами с вариабельным числом узлов в каждой 420 66404 всего образуется до 150 региональных групп. У висцеральных узлов наблюдается несколько...
76863. Лимфатические сосуды и узлы головы и шеи 182.17 KB
  Они формируются из однослойной сети кожных лимфатических капилляров и посткапилляров и впадают в поверхностные лимфатические узлы расположенные на границе головы и шеи. Поверхностные лимфатические узлы головы. Они принимают лимфу от лобной теменной височной областей наружного уха слуховой трубы верхней губы и от околоушной железы а направляют её в поверхностные и глубокие шейные узлы.
76864. Лимфатические сосуды и узлы руки 180.47 KB
  По поверхностным сосудам оттекает лимфа от кожи подкожной клетчатки поверхностной фасции поверхностных мышц используя крупные и длинные лимфатические сосуды трех групп латеральной медиальной и средней. Латеральные лимфатические сосуды 510 начинаются от кожи IIII пальцев латеральной поверхности кисти предплечья плеча проходят вместе с цефалической веной и впадают в подмышечные лимфатические узлы латеральную группу. Медиальные лимфатические сосуды 515 начинаются на IVV пальцах медиальной поверхности кисти предплечья...
76865. Лимфатические сосуды и узлы ноги 179.36 KB
  sphen mgn а впадают в поверхностные паховые лимфатические узлы. Задние приносящие сосуды 35 начинаются от лимфатических сетей кожи подошвы пятки сопровождают малую подкожную вену и вливаются в подколенные лимфатические узлы. Глубокие приносящие сосуды начинаются из капиллярных лимфатических сетей мышц суставных капсул наружной оболочки эпиневрия периферических нервов надкостницы и проходят вместо с глубокими венами стопы голени бедра вливаясь в паховые лимфатические узлы.
76866. Пути оттока лимфы от молочной железы 182.41 KB
  Они впадают в следующие лимфатические узлы. Непостоянные 15 межгрудные лимфатические узлы nodi lymphtici interpectorlis расположенные между большой и малой грудными мышцами. Выносящие из них сосуды направляются в предаортальные узлы но могут вливаться непосредственно в грудной проток и левый яремный ствол. Часть приносящих лимфатических сосудов обходит лимфатические узлы и напрямую вливается в выносящие сосуды или подключичные яремные и бронхомедиастинальные стволы что приводит к отдаленному метастазированию опухолевых клеток из...