67553

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Лекция

Физика

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Русский

2014-09-12

317.5 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  3

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор x есть собственный для оператора координаты :

 x = xx.

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор :

  = òdxxx,

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор  задается континуальным множеством чисел

 x  (x),

т.е. фактически некоторой функцией (x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора  имеем:

 1 =  = òdxRdxxx =

= òdxRdx (x-xR)x = òdx*(x)(x)dx = òdx(x)2,

т.е. волновая функция нормируется условием

 ò(x)2 dx = 1.

Волновая функция (x) -это координатная реализация вектора  состояния  из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L2. Если векторы 1 и 2 нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 12 = òdx*1 (x)2 (x)

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор , подействуем на него оператором  и введем обозначение

   .

Для волновой функции состояния  имеем:

 (x) = x  = x  (x,) = (x,) = 

= x (x,) = xyx.

Таким образом,

 (x) = x(x)  = x,

т.е. в координатной реализации оператор  есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии имеем:

 xy =    12 = ò*1 (x)2 (x)dx =

= ò* (x)x(x)dx,

т.е.

 xy = òdxx(x)2.

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля (x)2 задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения (x) как x и из вероятностной интерпретации x  (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что (x) = x есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния в состояние x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t0 функция (x,t0) однозначно определяет состояние . Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние  в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию (x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать (x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать

.

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было =  - см. ниже), а  - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

,

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

.

Подставляем производные   и  из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

Получаем

0 = ò dx (y*+y - y*y),

т.е.

  y* ydx = ò+ydx      (y, y) = (y, y).

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 = +.

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор  не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 (x,t) = Q(t)(x)

и подставляем в уравнение

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 Q (t) = const.e-iwt.

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 (x) = w(x).

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 (x,t) = n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в n (x)).

Разложим функции n (x) в интеграл Фурье и подставим в (x,t):

 (x,t) = òdk+ikx (k).

Вводя обозначения

 E  i,    p  ik,

получим:

 (x,t) = òdp,

где

.

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть  - произвольный оператор, и n - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор :

  = cnn 

и подействуем на него оператором:

  = cnAnn .

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для (x,t)и действуем на него оператором :

 (x,t) = òdpEn 

Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть

 = .

Аналогично,

 (x,t) = òdpp,

а потому оператором импульса является

 = .

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

  = i(x,t).

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 i = .

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 = (x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае = (r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

 (r,t) = òdp.

Операторы

  =

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

.

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:

Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.

Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.

РЕЗЮМЕ

В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: = (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера

 i = ,

где  - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид

  (q, t) =  Q(t) (q),

причем функции  и Q подчиняются уравнениям

 yE (q) = E yE (q), ii(t).

Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр Е системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:

 QE (t) = .

В результате получим набор состояний с волновыми функциями

 yE(q, t) = yE (q) ,

в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности

 r (q, t) = yE (q, t) 2  =   yE (q) 2 ,

т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.

Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть

 H = .

В квантовой механике получим оператор Гамильтона

  =  =+V(r,t).

Уравнение Шредингера будет записываться как

 =  +(r,t).

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

  yE (r) = Е yE (r)  +V(r) yE (r) = Е yE (r)

(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).

Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):

  = +V(r)y* (r,t).

Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:

  = (-)

  (.

Величина

 r (r,t) = |y(r,t) |2

есть плотность вероятности. Введем вектор

 j(r,t) = (y*y,

чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:

 + div j = 0.

Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.

В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид

 y(r,t) =  yE (r),

где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:

 r = yE (r)2, j = .

FILENAME lecture03.doc

-  PAGE 18 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25835. Структура и свойства конструкционных сплавов цветных металлов 973.5 KB
  Микроструктура металла (от микро... и лат. structura — строение), строение металла, выявляемое с помощью микроскопа (оптического или электронного). Микроскоп для исследования металла впервые применил П. П. Аносов (1831) при изучении булатной стали. Металлы и сплавы состоят из большого числа кристаллов неправильной формы (зёрен)
25836. Сплавы цветных металлов, обрабатываемые давлением 319.5 KB
  К цветным металлам и сплавам относятся практически все металлы и сплавы, за исключением железа и его сплавов, образующих группу чёрных металлов. Цветные металлы встречаются реже, чем железо и часто их добыча стоит значительно дороже, чем добыча железа. Однако цветные металлы часто обладают такими свойствами, какие у железа не обнаруживаются, и это оправдывает их применение.
25837. Аудит операций на расчетном, валютном и других счетах банка 37.5 KB
  Целью аудиторской проверки операций по расчетному валютному и других счетам в банке является формирование мнения о достоверности бухгалтерской отчетности по разделу Денежные средства и соответствии применяемой методики учета денежных средств на счетах в банке действующим в Российской Федерации нормативным документам. Аудитор при проверке операций по счетам в банке должен учитывать основные нормативные документы регулирующие порядок проведения операций на расчетном валютном и других счетах в банках и бухгалтерский учет этих операций....
25838. Аудит прочих доходов и расходов 58.5 KB
  Целью аудиторской проверки прочих доходов и расходов является формирование мнения о правильности учета прочих доходов и расходов. Задача аудиторской проверки прочих доходов и расходов состоит из следующих вопросов на которые должен ответить аудитор: Бухгалтерский учет прочих доходов и расходов соответствует положениям нормативных актов Данные аналитического и синтетического учета по счету 91 Прочие доходы и расходы соответствуют данным главной книги и баланса Корреспонденция счетов по счету 91 Прочие доходы и расходы составлена в...
25839. Учет расчетов по авансам выданным и полученным 36.5 KB
  Согласно положениям Плана счетов Инструкции по применению Плана счетов бухгалтерский учет сумм полученных и или выданных авансов организуется на балансовых счетах связанных с расчетами за отгруженную продукцию выполненные работы оказанные услуги. Для учета сумм авансовых платежей предварительной оплаты к балансовым счетам открываются обособленные субсчета учета. В частности суммы выданных поставщикам и подрядчикам авансов учитываются обособленно на балансовом счете 60 Расчеты с поставщиками и подрядчиками суммы полученных...
25840. Аудит расчетов по авансам выданным 27.5 KB
  Так например выдавая авансы поставщику предприятие изымает из оборота денежные средства до момента поступления ТМЦ выполнения работ оказания услуг также возрастает вероятность непоступления данных ценностей на предприятие вопреки договору поставки. На счете 61 €œРасчеты по авансам выданным€ обобщается информация о расчетах по выданным авансам под поставку продукции либо под выполнение работ а также по оплате продукции и работ принятых от заказчиков по частичной готовности. Суммы выданных авансов а также произведенной оплаты и работ...
25841. Аудит расчетов по претензиям 30 KB
  Можно выделить несколько видов претензий: при выявлении ошибок в счетах поставщиков неправильно указаны тарифы и цены арифметические ошибки и др. Аудитору необходимо проверить: обоснованность своевременность и правильность оформления документов несоблюдение сроков предъявления претензий может быть использовано для сокрытия фактов хищения материальных ценностей так как при отказе в удовлетворении претензий числящиеся суммы списываются на издержки производства; обоснованность претензий предъявляемых к проверяемому предприятию в случае...
25842. Аудит расчетов по совместной деятельности 32.5 KB
  Внесенное товарищами имущество а также произведенная в результате совместной деятельности продукция и полученные от такой деятельности плоды признаются как правило их общей долевой собственностью. Прибыль полученная товарищами в результате их совместной деятельности распределяется пропорционально стоимости вкладов в общее дело если иное не предусмотрено договором или другим соглашением товарищей. Исходя из описанного подхода к организации деятельности простого товарищества в новом Плане счетов поиному решена схема учета операций...
25843. Структура и свойства сталей и чугунов 74 KB
  В углеродистых сталях углерод является основным элементом, определяющим структуру и свойства стали. С увеличением содержания углерода в стали возрастают твердость и предел прочности (НВ, ств), уменьшаются относительное удлинение, относительное сужение и ударная вязкость.