67553

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Лекция

Физика

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Русский

2014-09-12

317.5 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  3

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор x есть собственный для оператора координаты :

 x = xx.

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор :

  = òdxxx,

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор  задается континуальным множеством чисел

 x  (x),

т.е. фактически некоторой функцией (x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора  имеем:

 1 =  = òdxRdxxx =

= òdxRdx (x-xR)x = òdx*(x)(x)dx = òdx(x)2,

т.е. волновая функция нормируется условием

 ò(x)2 dx = 1.

Волновая функция (x) -это координатная реализация вектора  состояния  из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L2. Если векторы 1 и 2 нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 12 = òdx*1 (x)2 (x)

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор , подействуем на него оператором  и введем обозначение

   .

Для волновой функции состояния  имеем:

 (x) = x  = x  (x,) = (x,) = 

= x (x,) = xyx.

Таким образом,

 (x) = x(x)  = x,

т.е. в координатной реализации оператор  есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии имеем:

 xy =    12 = ò*1 (x)2 (x)dx =

= ò* (x)x(x)dx,

т.е.

 xy = òdxx(x)2.

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля (x)2 задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения (x) как x и из вероятностной интерпретации x  (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что (x) = x есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния в состояние x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t0 функция (x,t0) однозначно определяет состояние . Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние  в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию (x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать (x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать

.

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было =  - см. ниже), а  - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

,

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

.

Подставляем производные   и  из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

Получаем

0 = ò dx (y*+y - y*y),

т.е.

  y* ydx = ò+ydx      (y, y) = (y, y).

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 = +.

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор  не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 (x,t) = Q(t)(x)

и подставляем в уравнение

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 Q (t) = const.e-iwt.

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 (x) = w(x).

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 (x,t) = n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в n (x)).

Разложим функции n (x) в интеграл Фурье и подставим в (x,t):

 (x,t) = òdk+ikx (k).

Вводя обозначения

 E  i,    p  ik,

получим:

 (x,t) = òdp,

где

.

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть  - произвольный оператор, и n - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор :

  = cnn 

и подействуем на него оператором:

  = cnAnn .

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для (x,t)и действуем на него оператором :

 (x,t) = òdpEn 

Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть

 = .

Аналогично,

 (x,t) = òdpp,

а потому оператором импульса является

 = .

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

  = i(x,t).

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 i = .

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 = (x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае = (r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

 (r,t) = òdp.

Операторы

  =

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

.

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:

Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.

Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.

РЕЗЮМЕ

В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: = (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера

 i = ,

где  - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид

  (q, t) =  Q(t) (q),

причем функции  и Q подчиняются уравнениям

 yE (q) = E yE (q), ii(t).

Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр Е системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:

 QE (t) = .

В результате получим набор состояний с волновыми функциями

 yE(q, t) = yE (q) ,

в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности

 r (q, t) = yE (q, t) 2  =   yE (q) 2 ,

т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.

Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть

 H = .

В квантовой механике получим оператор Гамильтона

  =  =+V(r,t).

Уравнение Шредингера будет записываться как

 =  +(r,t).

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

  yE (r) = Е yE (r)  +V(r) yE (r) = Е yE (r)

(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).

Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):

  = +V(r)y* (r,t).

Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:

  = (-)

  (.

Величина

 r (r,t) = |y(r,t) |2

есть плотность вероятности. Введем вектор

 j(r,t) = (y*y,

чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:

 + div j = 0.

Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.

В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид

 y(r,t) =  yE (r),

где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:

 r = yE (r)2, j = .

FILENAME lecture03.doc

-  PAGE 18 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54673. Как помочь учиться учащимся 107.5 KB
  Для сильных учащихся подбираю задания требующие самостоятельности творческого поиска высокого уровня обобщения и систематизации изучаемого. Для слабых задания повышающие активность в процессе восприятия осмысления нового материала задания оказывающие школьникам оперативную помощь в процессе первичного закрепления материала обучающие приемам рациональной умственной деятельности. Я объясняю новый материал второй раз и самостоятельные задания получают учащиеся средней группы. В конце урока я проверяю задания которые выполняли учащиеся...
54674. Опора і рух 149 KB
  Тіло згниває а кістки не стлівають. Під час розкопок при добуванні будівельних матеріалів піску вапняку мармуру люди знаходили кістки за ними визначали геологічний вік людини і починали їх вивчати. Історія вивчення скелета Повідомлення учня Давньогрецький вчений філософ Демокріт сам збирав кістки на цвинтарі щоб вивчати скелет. А відомий римський лікар Клавдій Гален примушував своїх учнів приносити кістки мерців.
54675. Порушення функцій скелета та їхня профілактика 48.5 KB
  Мета уроку: розглянути вікові особливості опорнорухової системи показати причини що негативно й позитивно впливають на опорнорухову систему ознайомити учнів з наслідками порушень гігієни опорнорухової системи навчити дотримуватись правильної постави як запоруки здоровя та довголіття закріпити знання про опорнорухову систему виховувати естетичну насолоду від споглядання правильної постави як складової зовнішньої краси Обладнання та...
54676. Година спілкування 42 KB
  Виховувати почуття патріотизму поваги до ветеранів;поважне ставлення до історичної памяті свого народу своїх рідних;моральну культуру учнів розвивати здатність відчувати співпереживати вміння слухати оточуючих. Обладнання: фотографії дідусів учасників Великої Вітчизняної війнифотографії памятників нашого міста малюнки дітей. Не щезне в памятілюдській як в ті страшні 19411945 роки воїни захищали рідну землю. Це свято не затьмариться в віках В цей день нестимуть люди квіти Ну обміліє памятіріка В серцях нащадків буде жити.
54677. Органи чуття людини. Узагальнення 13.22 MB
  Мета: Узагальнити знання учнів про будову та функції сенсорних систем. Встановити особливості будови та функцій органів чуття людини, та їх пристосовування для дії в певних умовах. Сформувати усвідомлення цілісності організму людини. Навчити дітей самостійно обирати інформацію, коментувати її, створюючи презентації у програмі M.P.P.
54678. Предмет органической химии. Особенности органических соединений. Источники органических веществ. Значение органических веществ 309.5 KB
  Именно этому акту органическая химия обязана своим названием Органические соединения органические вещества класс химических соединений в состав которых входит углерод за исключением карбидов угольной кислоты карбонатов оксидов углерода и цианидов Соединения углерода выделенные из живых организмов назвали органическими веществами....
54679. Организация питания в походах и путешествиях 45.5 KB
  Турист в водных походах тратит приблизительно 60 ккал день на кг собственного веса или 3500 ккал день а при нормальных ежедневных нагрузках 25003000 Ккал день. Такой вид питания часто необходимо предусматривать в транспорте утром с поезда сошли а потом ещё часов 56 на автотранспорте до реки добираться надо в день стапеля Стапелем называется процесс сборки сплавных средств. Часто проходит в населённом пункте где нет возможности развести костёр в последний день прохождения населённый пункт в близи ж д станции во время ожидания...
54680. Організація змістовної життєдіяльності дітей в групі продовженого дня 135 KB
  Мета особистісне орієнтованої освіти знайти підтримати розвинути людину в людині закласти в ній механізм самореалізації Передмова Внаслідок посилення демократичних тенденцій у житті суспільства освітні системи як його значущі складові почали переносити акцент із масових педагогічних явищ на особистість дитини вивчення можливостей і обставин її індивідуального розвитку умов саморозкриття і самореалізації людини на різних етапах ЇЇ життєдіяльності. На сторінках проблемної...
54681. Будова та функції органів дихання 362 KB
  Цілі: сформувати в учнів поняття про дихання як процес необхідний для життя; устоновити взаемозвязок будови і функції органів дихання; зясувати як змінюеться повітря в дихальних шляхах; обгронтувати необхідність дихання носом; продовжувати формувати науковий світогляд на основі знань про еволюцію дихальної системи; розвивати вміння порівнювати аналізувати загальнувати;вдосконалювати вміння а навички роботи з текстом підручникамалюнками. Обладнання: таблиці Органи дихання таблиці з...