67553

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Лекция

Физика

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Русский

2014-09-12

317.5 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  3

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор x есть собственный для оператора координаты :

 x = xx.

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор :

  = òdxxx,

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор  задается континуальным множеством чисел

 x  (x),

т.е. фактически некоторой функцией (x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора  имеем:

 1 =  = òdxRdxxx =

= òdxRdx (x-xR)x = òdx*(x)(x)dx = òdx(x)2,

т.е. волновая функция нормируется условием

 ò(x)2 dx = 1.

Волновая функция (x) -это координатная реализация вектора  состояния  из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L2. Если векторы 1 и 2 нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 12 = òdx*1 (x)2 (x)

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор , подействуем на него оператором  и введем обозначение

   .

Для волновой функции состояния  имеем:

 (x) = x  = x  (x,) = (x,) = 

= x (x,) = xyx.

Таким образом,

 (x) = x(x)  = x,

т.е. в координатной реализации оператор  есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии имеем:

 xy =    12 = ò*1 (x)2 (x)dx =

= ò* (x)x(x)dx,

т.е.

 xy = òdxx(x)2.

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля (x)2 задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения (x) как x и из вероятностной интерпретации x  (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что (x) = x есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния в состояние x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t0 функция (x,t0) однозначно определяет состояние . Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние  в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию (x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать (x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать

.

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было =  - см. ниже), а  - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

,

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

.

Подставляем производные   и  из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

Получаем

0 = ò dx (y*+y - y*y),

т.е.

  y* ydx = ò+ydx      (y, y) = (y, y).

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 = +.

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор  не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 (x,t) = Q(t)(x)

и подставляем в уравнение

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 Q (t) = const.e-iwt.

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 (x) = w(x).

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 (x,t) = n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в n (x)).

Разложим функции n (x) в интеграл Фурье и подставим в (x,t):

 (x,t) = òdk+ikx (k).

Вводя обозначения

 E  i,    p  ik,

получим:

 (x,t) = òdp,

где

.

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть  - произвольный оператор, и n - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор :

  = cnn 

и подействуем на него оператором:

  = cnAnn .

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для (x,t)и действуем на него оператором :

 (x,t) = òdpEn 

Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть

 = .

Аналогично,

 (x,t) = òdpp,

а потому оператором импульса является

 = .

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

  = i(x,t).

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 i = .

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 = (x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае = (r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

 (r,t) = òdp.

Операторы

  =

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

.

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:

Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.

Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.

РЕЗЮМЕ

В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: = (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера

 i = ,

где  - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид

  (q, t) =  Q(t) (q),

причем функции  и Q подчиняются уравнениям

 yE (q) = E yE (q), ii(t).

Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр Е системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:

 QE (t) = .

В результате получим набор состояний с волновыми функциями

 yE(q, t) = yE (q) ,

в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности

 r (q, t) = yE (q, t) 2  =   yE (q) 2 ,

т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.

Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть

 H = .

В квантовой механике получим оператор Гамильтона

  =  =+V(r,t).

Уравнение Шредингера будет записываться как

 =  +(r,t).

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

  yE (r) = Е yE (r)  +V(r) yE (r) = Е yE (r)

(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).

Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):

  = +V(r)y* (r,t).

Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:

  = (-)

  (.

Величина

 r (r,t) = |y(r,t) |2

есть плотность вероятности. Введем вектор

 j(r,t) = (y*y,

чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:

 + div j = 0.

Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.

В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид

 y(r,t) =  yE (r),

где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:

 r = yE (r)2, j = .

FILENAME lecture03.doc

-  PAGE 18 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26516. Основные направления отечественной и зарубежной историографии 43.5 KB
  Барг, Лавровский: уникальная особенность Англии в том, что она является ед. в Европе страной где развитие буржуазных отношений происходило одновременно в городе и деревне. Именно в деревне кап. Отношения развились более глубоко, именно из деревни шел импульс. Центр тяжести АБР лежал в деревне.
26517. Аграрный вопрос в Великой английской и Великой французской революциях 38.5 KB
  До революции в английской деревни было 2 формы собственности: крестьянская копигольд и буржуазнодворянская рыцарское держание. Революции лекция феодализма ко времени ВФР уже не было. Эта идея поддержана целым течением яркий представитель Фюре феодализм как таковой во Франции исчез до революции. необходимости в революции не было.
26518. Основные проблемы и особенности войны северо-американских колоний Англии за независимость и образование США 45.5 KB
  Северовосточные колонии новая Англия территории с ранним развитием ремесел мануфактуры судостроение и судоходство рыболовство. Это колонии которые пошли по буржуазному пути. Среднеатлантические колонии. Южные колонии плантации основанные на труде рабов.
26519. Дискуссии в отечественной и зарубежной историографии о периодизации ВФ буржуазной революции, ее характере, движущих силах и итогах 44 KB
  Ленин развил мысли Маркса и Энгельса; показал решающую роль крестьянства и плебейского элемента городов в победе революции высоко оценил роль якобинцев и диктатуры. революции роль перешла к историкам радикального направления. атлантической революции.
26520. Проблемы якобинской диктатуры в историографии 34 KB
  Якобинцы: Террор декрет о подозрительных каждый кто своими делами помыслами мешает революции подлежит суду в лице революционного трибунала Якобинцам нужно накормить город установить республику Закон о реквизициях обещали в будущем заплатить оставляли только семейный запас. принудительный займ у богачей в 1млрд франков Вся нация мобилизовалась до полной победы революции Попытка ввести новую религию. Революции восходящей линии см. 20 века стали задаваться вопросом о классовой природе революции чьи интересы она...
26521. Внутренняя и внешняя политика Фр. в период консульства и 1-й империи Наполеона. Наполеоновская эпоха в исторической науке 38.5 KB
  давно мечтал о власти; Манфред: чтобы не проиграть. Для закрепления своей власти Н. оставалась республикой но власть в руках 1го консула главнокомандующий армией назначал членов всех органов законодательной власти выбирал их из кандидатов которые избирались гражданами на 5 лет он назначал перфекты заменивших местное самоуправление назначал министров которые ему непосредственно подчинялись. начались 100 дней период кратковременного возвращения Бонапарта к власти.
26522. Революции 1848-1849 гг. в Европе. Общие черты и особенности 74.5 KB
  Австрийская монархия: препятствием для развития был национальный гнет т. было насильственно объединены разные национальности т. задачей революции являлось создание независимых национальных государств. Германия: нац объединение освобождение крестьян уничтожение феодализма.
26523. Объединение Германии и Италии. Общие черты и особенности 30 KB
  Малогерманский вариант во главе с Пруссией и без Австрии; 2. Бисмарк предложил Австрии и Пруссии воевать с Данией и в результате войны Шлезенгер отошел Пруссии а Гольдштейн Австрии. Здесь Бисмарк резко заявил что доводить до конца не надо а от Австрии потребовать только отказ от объединения Германии вокруг Австрии. Перед ними стояла цель надо найти союзника для того чтобы избавиться от гнета Австрии.
26524. Движущие силы, характер, периодизация и итоги Второй Американской революции 43.5 KB
  поделили в пользу Юга территорию к западу от р. активизировалось движение против рабства аболиционисты они организовывали тайные маршруты для беглецов с Юга. в отличие от юга здесь индустрия работала на полную мощность на благо фронту. Осенью взяли промышл центр Юга Атланту.