67553

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Лекция

Физика

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Русский

2014-09-12

317.5 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  3

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор x есть собственный для оператора координаты :

 x = xx.

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор :

  = òdxxx,

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор  задается континуальным множеством чисел

 x  (x),

т.е. фактически некоторой функцией (x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора  имеем:

 1 =  = òdxRdxxx =

= òdxRdx (x-xR)x = òdx*(x)(x)dx = òdx(x)2,

т.е. волновая функция нормируется условием

 ò(x)2 dx = 1.

Волновая функция (x) -это координатная реализация вектора  состояния  из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L2. Если векторы 1 и 2 нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 12 = òdx*1 (x)2 (x)

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор , подействуем на него оператором  и введем обозначение

   .

Для волновой функции состояния  имеем:

 (x) = x  = x  (x,) = (x,) = 

= x (x,) = xyx.

Таким образом,

 (x) = x(x)  = x,

т.е. в координатной реализации оператор  есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии имеем:

 xy =    12 = ò*1 (x)2 (x)dx =

= ò* (x)x(x)dx,

т.е.

 xy = òdxx(x)2.

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля (x)2 задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения (x) как x и из вероятностной интерпретации x  (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что (x) = x есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния в состояние x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t0 функция (x,t0) однозначно определяет состояние . Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние  в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию (x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать (x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать

.

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было =  - см. ниже), а  - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

,

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

.

Подставляем производные   и  из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

Получаем

0 = ò dx (y*+y - y*y),

т.е.

  y* ydx = ò+ydx      (y, y) = (y, y).

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 = +.

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор  не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 (x,t) = Q(t)(x)

и подставляем в уравнение

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 Q (t) = const.e-iwt.

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 (x) = w(x).

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 (x,t) = n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в n (x)).

Разложим функции n (x) в интеграл Фурье и подставим в (x,t):

 (x,t) = òdk+ikx (k).

Вводя обозначения

 E  i,    p  ik,

получим:

 (x,t) = òdp,

где

.

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть  - произвольный оператор, и n - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор :

  = cnn 

и подействуем на него оператором:

  = cnAnn .

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для (x,t)и действуем на него оператором :

 (x,t) = òdpEn 

Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть

 = .

Аналогично,

 (x,t) = òdpp,

а потому оператором импульса является

 = .

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

  = i(x,t).

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 i = .

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 = (x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае = (r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

 (r,t) = òdp.

Операторы

  =

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

.

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:

Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.

Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.

РЕЗЮМЕ

В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: = (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера

 i = ,

где  - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид

  (q, t) =  Q(t) (q),

причем функции  и Q подчиняются уравнениям

 yE (q) = E yE (q), ii(t).

Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр Е системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:

 QE (t) = .

В результате получим набор состояний с волновыми функциями

 yE(q, t) = yE (q) ,

в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности

 r (q, t) = yE (q, t) 2  =   yE (q) 2 ,

т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.

Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть

 H = .

В квантовой механике получим оператор Гамильтона

  =  =+V(r,t).

Уравнение Шредингера будет записываться как

 =  +(r,t).

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

  yE (r) = Е yE (r)  +V(r) yE (r) = Е yE (r)

(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).

Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):

  = +V(r)y* (r,t).

Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:

  = (-)

  (.

Величина

 r (r,t) = |y(r,t) |2

есть плотность вероятности. Введем вектор

 j(r,t) = (y*y,

чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:

 + div j = 0.

Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.

В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид

 y(r,t) =  yE (r),

где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:

 r = yE (r)2, j = .

FILENAME lecture03.doc

-  PAGE 18 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46487. Л.С. Выготский. «Вопросы детской (возрастной) психологии 17.22 KB
  Говоря о кризисах он выделяет помимо очевидного негативного характера ребенок становится капризен и трудновоспитуем еще и позитивный то есть возникновения новообразование. В этот период центральным новообразованием является индивидуальное существование собственная психическая жизнь хотя отделяясь от матери физически ребенок еще зависит биологически от нее способ питания новорожденного смешанный внеутробное своеобразен сон составляющий большую часть его времени новорожденный уязвим и беспомощен. Теперь ребенок переходит в период...
46488. Особенности защиты населения от возможных последствий аварий на АЭС 17.25 KB
  Предупреждение накопления радиоактивного йода в щитовидной железе путем приема внутрь лекарственных препаратов стабильного йода йодная профилактика; Впервые два месяца после аварии доза внутреннего облучения обусловлена радионуклидами йода и в первую очередь йода 131. Важное значение также имеет йодная профилактика как наиболее эффективный метод защиты щитовидной железы от радиоактивных изотопов йода. Суть ее в приеме внутрь лекарственных препаратов стабильного йода.
46489. Ставка капитализации 17.29 KB
  Существует несколько методов определения коэффициента капитализации: с учетом возмещения капитальных затрат с корректировкой на изменение стоимости актива; метод связанных инвестиций или техника инвестиционной группы; метод прямой капитализации. Определение коэффициента капитализации с учетом возмещения капитальных затрат. Коэффициент капитализации состоит из двух частей:1 ставки доходности инвестиции капитала являющейся компенсацией которая должна быть выплачена инвестору за использование денежных средств с учетом риска и других...
46490. Распад СССР, образование СНГ. Формирование независимой российской государственности и системы права в нач.1990-х годов 17.38 KB
  Распад СССР образование СНГ.1990х годов РаспадСССР: причины и последствия. Предпосылки распада СССР: идеологический кризис раскол КПСС с ее интернациональной идеологией ее политическая недееспособность создали почву для развития идей национализма и сепаратизма как на уровне СССР так и внутри союзных республик; резкий переход к рыночным отношениям подорвал экономическую опору государственного единства СССР стержнем которой являлись плановая экономика и централизованное распределение материальнотехнических ресурсов. А отсутствие...
46491. МЕТОДЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ 19.71 KB
  МЕТОДЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ Неразрушающий контроль НК это совокупность таких видов контроля которые производятся непосредственно на объекте при этом исправный объект сохраняет работоспособность без какоголибо повреждения материала. Неразрушающий физический контроль это совокупность таких видов неразрушающего контроля которые требуют применения специальных веществ сложных приборов и достаточно наукоемких технологий. Из всех видов неразрушающего контроля используемых на опасных производственных объектах лишь один не относится к...
46492. Дополнительное профессиональное образование 19.75 KB
  Программы дополнительного профессионального образования реализуются в следующих формах: с отрывом от основной работы очная форма обучения; без отрыва от работы заочная дистанционная; с частичным отрывом от работы; обучение по индивидуальным формам; экстернат. 1 учитель в процессе работы по изучению нового материала обращал внимание на подготовку учащихся к выполнению домашнего задания. дз не сводилось лишь к воспроизводящей деятельности учащихся а включало в себя элементы творческой работы. Задавая урок на дом необходимо не только...
46493. Острый абсцесс легкого: клиника, диагностика, дифференциальная диагностика. Принципы лечения 17.46 KB
  Рак печени. Клиника диагностика дифференциальная диагностика лечение Рак печени.этиологиявирус гепат ВС и Dцирроз печени параз инвазияхим канцерогены гепатотропные яды микотоксины добро пухоли ген болезни и нарушения обмена веществ радиационный фактор другие факторы: курение алкоголь противозачаточные средства травма.ДИФФУЗНАЯ циррозрак печени4.
46494. Инновации как главный фактор поддержания конкурентоспособности предприятия 17.48 KB
  Инновации влияющие на конкурентоспособность предприятий классифицируются по следующим признакам: характеру отношений: социальноэкономические организационные технологические инновации; сфере распространения: управленческие производственные технические социальные инновации; предметносодержательной структуре: продуктовые процессные и аллокационные инновации. Управленческие инновации это то новое знание которое воплощено в новых управленческих технологиях новых административных процессах и организационных структурах. Данные...
46495. Пятилетняя гражданская война. Политика военного коммунизма 17.51 KB
  При этом остававшийся экономический потенциал не обновлялся на протяжении всего периода войны и представлял собою полуразвалившееся оборудование и транспорт. Сельское хозяйство производило продукции на 40 меньше чем до войны. Одним из главных итогов гражданской войны стали глубочайшие социальные изменения в российском обществе. Вместе с тем итоги гражданской войны включали не только результаты разрушительных процессов но и определенное созидающее начало.