67553

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Лекция

Физика

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Русский

2014-09-12

317.5 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  3

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор x есть собственный для оператора координаты :

 x = xx.

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор :

  = òdxxx,

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор  задается континуальным множеством чисел

 x  (x),

т.е. фактически некоторой функцией (x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора  имеем:

 1 =  = òdxRdxxx =

= òdxRdx (x-xR)x = òdx*(x)(x)dx = òdx(x)2,

т.е. волновая функция нормируется условием

 ò(x)2 dx = 1.

Волновая функция (x) -это координатная реализация вектора  состояния  из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L2. Если векторы 1 и 2 нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 12 = òdx*1 (x)2 (x)

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор , подействуем на него оператором  и введем обозначение

   .

Для волновой функции состояния  имеем:

 (x) = x  = x  (x,) = (x,) = 

= x (x,) = xyx.

Таким образом,

 (x) = x(x)  = x,

т.е. в координатной реализации оператор  есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии имеем:

 xy =    12 = ò*1 (x)2 (x)dx =

= ò* (x)x(x)dx,

т.е.

 xy = òdxx(x)2.

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля (x)2 задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения (x) как x и из вероятностной интерпретации x  (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что (x) = x есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния в состояние x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t0 функция (x,t0) однозначно определяет состояние . Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние  в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию (x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать (x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать

.

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было =  - см. ниже), а  - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

,

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

.

Подставляем производные   и  из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

Получаем

0 = ò dx (y*+y - y*y),

т.е.

  y* ydx = ò+ydx      (y, y) = (y, y).

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 = +.

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор  не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 (x,t) = Q(t)(x)

и подставляем в уравнение

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 Q (t) = const.e-iwt.

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 (x) = w(x).

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 (x,t) = n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в n (x)).

Разложим функции n (x) в интеграл Фурье и подставим в (x,t):

 (x,t) = òdk+ikx (k).

Вводя обозначения

 E  i,    p  ik,

получим:

 (x,t) = òdp,

где

.

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть  - произвольный оператор, и n - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор :

  = cnn 

и подействуем на него оператором:

  = cnAnn .

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для (x,t)и действуем на него оператором :

 (x,t) = òdpEn 

Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть

 = .

Аналогично,

 (x,t) = òdpp,

а потому оператором импульса является

 = .

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

  = i(x,t).

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 i = .

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 = (x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае = (r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

 (r,t) = òdp.

Операторы

  =

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

.

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:

Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.

Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.

РЕЗЮМЕ

В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: = (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера

 i = ,

где  - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид

  (q, t) =  Q(t) (q),

причем функции  и Q подчиняются уравнениям

 yE (q) = E yE (q), ii(t).

Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр Е системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:

 QE (t) = .

В результате получим набор состояний с волновыми функциями

 yE(q, t) = yE (q) ,

в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности

 r (q, t) = yE (q, t) 2  =   yE (q) 2 ,

т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.

Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть

 H = .

В квантовой механике получим оператор Гамильтона

  =  =+V(r,t).

Уравнение Шредингера будет записываться как

 =  +(r,t).

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

  yE (r) = Е yE (r)  +V(r) yE (r) = Е yE (r)

(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).

Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):

  = +V(r)y* (r,t).

Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:

  = (-)

  (.

Величина

 r (r,t) = |y(r,t) |2

есть плотность вероятности. Введем вектор

 j(r,t) = (y*y,

чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:

 + div j = 0.

Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.

В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид

 y(r,t) =  yE (r),

где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:

 r = yE (r)2, j = .

FILENAME lecture03.doc

-  PAGE 18 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42786. Монетарная политика в рыночной системе и функции Центрального Банка 2.99 MB
  Основные концепции денежнокредитной политики государства. Неоклассическая теория как одна из основ денежнокредитного регулирования. Кейнсианская теория денежнокредитного регулирования. Неоконсервативный подход монетаризм в денежнокредитном регулировании.
42787. Автоматические промышленные средства испытаний изделий на прочность и надежность при воздействии линейных ускорений 521.59 KB
  Точность поддержания ускорения существенно влияет на выбор конструкции и определяет точность изготовления отдельных узлов центрифуги. Факторы влияющие на измерение: изменение температуры окружающей среды отклонение стола от горизонтальной плоскости скорость нарастания ускорения изменение ускорения по площади изделия вибрация возникающая в системе привода центрифуги изменение длины плеча при изменении скорости центрифуги. В процессе разгона центрифуги кроме центробежных сил определяющих линейное ускорение возникают силы инерции...
42788. ПРОФИЛЬ ДОРОЖНОЙ ТРАССЫ. ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЯ ДОРОЖНОЙ ТРАССЫ 202.05 KB
  Вычисление координат пунктов замкнутого теодолитного хода. Вычисление координат вершин диагонального теодолитного хода. Вычисление отметок съёмочных точек замкнутого хода. Построение прямоугольной сетки и теодолитного хода Нанесение на план съемочных пикетов пикетных точек.
42789. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия ОАО «ТНК-ВР Холдинг» 119.62 KB
  Орджоникидзе Кафедра Управление предприятиями МСК Курсовая работа по дисциплине Анализ и диагностика финансовохозяйственной деятельности предприятия на тему: Анализ и диагностика финансовохозяйственной деятельности предприятия ОАО ТНКВР Холдинг Выполнила: студентка группы ЭГ09 Тутарова...
42790. Усовершенствование организационной структуры ООО «Тез Тур» 127.59 KB
  Анализ организационной структуры управления на примере ООО Тез Тур. Организация управления выступает как один из факторов трансформации экономики через нее реализуется действие объективных законов функционирования рынка; она является организационным началом всей системы факторов радикальной реформы управления экономикой. Ключевой проблемой в организации управления является структура управления оргструктура. Зная структуру можно целенаправленно воздействовать на состав и содержание отдельных элементов...
42791. Индексный метод изучения динамики среднего уровня цен 376.43 KB
  Сущность цены и ее виды 4 Индексный метод изучения динамики среднего уровня цен 6 Формулы индекса цен Пааше и Ласпейреса 6 Идеальная формула цен Фишера 9 Система индексов цен 10 Использование индексного метода 10 Использование выборочного метода для расчета индексов цен 12 Расчетная часть 14 Задание 1 14 Задание 2 19 Задание 3 21 Задание 4 22 Аналитическая часть 24 Заключение 27 Список использованной литературы 28 Введение Так как в практике статистики индексы наряду со средними величинами...
42792. Разработка технологического процесса термической обработки для изготовления кузовов и крыльев легковых автомобилей 380.16 KB
  Анализ условий работы кузовов крыльев автомобилей и выбор марки стали .3 Выбор марки стали для горячей штамповки . 35 Приложение 36 РЕФЕРАТ Курсовая работа содержит информацию о разработке технологического процесса термической обработки кузовов и крыльев легковых автомобилей из стали 5ХНМ. Проведен анализ условий работы кузовов и крыльев легковых автомобилей материалов применяемых для производства данной детали на основании чего выбрана марка стали разработан технологический...
42793. Диагностика финансового состояния предприятия на примере ОАО «Электроприбор» 130.25 KB
  Горячкина Факультет заочного образования Кафедра: Финансы и диагностика предприятия КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: Анализ финансовохозяйственной деятельности предприятия на тему: Диагностика финансового состояния предприятия на примере ОАО Электроприбор Выполнил: студент 37ЭК3 группы ФЗО Аладьев Н. Анализ имущества и положения...
42794. Технико-экономический расчет для участка распределительной сети 10/0,4 кВ 135.31 KB
  Годовой фонд основной заработной платы одного работника при повременной оплате труда определяется по формуле: ФЗП г о = Бч ∙ Фд ∙ к ∙ Ч руб 4 [ 9 ] где Б ч минимальная часовая ставка оплаты труда минимальный часовой тариф руб час; Фд действ. Минимальная часовая ставка оплаты труда рассчитывается по формуле: Б ч = ЗПм Н руб ч...