67553

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Лекция

Физика

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Русский

2014-09-12

317.5 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  3

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор x есть собственный для оператора координаты :

 x = xx.

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор :

  = òdxxx,

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор  задается континуальным множеством чисел

 x  (x),

т.е. фактически некоторой функцией (x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора  имеем:

 1 =  = òdxRdxxx =

= òdxRdx (x-xR)x = òdx*(x)(x)dx = òdx(x)2,

т.е. волновая функция нормируется условием

 ò(x)2 dx = 1.

Волновая функция (x) -это координатная реализация вектора  состояния  из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L2. Если векторы 1 и 2 нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 12 = òdx*1 (x)2 (x)

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор , подействуем на него оператором  и введем обозначение

   .

Для волновой функции состояния  имеем:

 (x) = x  = x  (x,) = (x,) = 

= x (x,) = xyx.

Таким образом,

 (x) = x(x)  = x,

т.е. в координатной реализации оператор  есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии имеем:

 xy =    12 = ò*1 (x)2 (x)dx =

= ò* (x)x(x)dx,

т.е.

 xy = òdxx(x)2.

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля (x)2 задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения (x) как x и из вероятностной интерпретации x  (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что (x) = x есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния в состояние x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t0 функция (x,t0) однозначно определяет состояние . Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние  в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию (x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать (x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать

.

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было =  - см. ниже), а  - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

,

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

.

Подставляем производные   и  из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

Получаем

0 = ò dx (y*+y - y*y),

т.е.

  y* ydx = ò+ydx      (y, y) = (y, y).

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 = +.

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор  не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 (x,t) = Q(t)(x)

и подставляем в уравнение

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 Q (t) = const.e-iwt.

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 (x) = w(x).

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 (x,t) = n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в n (x)).

Разложим функции n (x) в интеграл Фурье и подставим в (x,t):

 (x,t) = òdk+ikx (k).

Вводя обозначения

 E  i,    p  ik,

получим:

 (x,t) = òdp,

где

.

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть  - произвольный оператор, и n - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор :

  = cnn 

и подействуем на него оператором:

  = cnAnn .

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для (x,t)и действуем на него оператором :

 (x,t) = òdpEn 

Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть

 = .

Аналогично,

 (x,t) = òdpp,

а потому оператором импульса является

 = .

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

  = i(x,t).

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 i = .

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 = (x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае = (r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

 (r,t) = òdp.

Операторы

  =

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

.

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:

Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.

Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.

РЕЗЮМЕ

В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: = (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера

 i = ,

где  - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид

  (q, t) =  Q(t) (q),

причем функции  и Q подчиняются уравнениям

 yE (q) = E yE (q), ii(t).

Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр Е системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:

 QE (t) = .

В результате получим набор состояний с волновыми функциями

 yE(q, t) = yE (q) ,

в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности

 r (q, t) = yE (q, t) 2  =   yE (q) 2 ,

т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.

Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть

 H = .

В квантовой механике получим оператор Гамильтона

  =  =+V(r,t).

Уравнение Шредингера будет записываться как

 =  +(r,t).

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

  yE (r) = Е yE (r)  +V(r) yE (r) = Е yE (r)

(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).

Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):

  = +V(r)y* (r,t).

Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:

  = (-)

  (.

Величина

 r (r,t) = |y(r,t) |2

есть плотность вероятности. Введем вектор

 j(r,t) = (y*y,

чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:

 + div j = 0.

Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.

В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид

 y(r,t) =  yE (r),

где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:

 r = yE (r)2, j = .

FILENAME lecture03.doc

-  PAGE 18 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24031. Тонкая кишка, ее отделы, их топография, отношение к брюшине, строение стенки, кровоснабжение, иннервация 262.5 KB
  Располагается тонкая кишка в области чревья средняя область живота книзу от желудка и поперечной ободочной кишки достигая входа в полость таза. Длина тонкой кишки у живого человека колеблется от 22 до 44 м; у мужчин кишка длиннее чем у женщин. У трупа вследствие исчезновения тонуса мышечной оболочки длина тонкой кишки составляет 5 6 м. Верхней границей тонкой кишки является привратник желудка а нижней илеоцекальный клапан у места ее впадения в слепую кишку.
24032. Кровоснабжение и иннервация легких. Пути оттока лимфы от правого и левого легких, их регионарные лимфатические узлы 206 KB
  У женщин тазовая часть мочеточника проходит позади яич ника затем мочеточник с латеральной стороны огибает шейку матки после чего ложится между передней стенкой влагалища и мочевым пузырем. У женщин задняя поверхность моче вого пузыря соприкасается с передней стенкой шейки матки и влагалища а дно с мочеполовой диафрагмой. Эта связка в виде круглого тяжа идет от маточного конца яичника к латеральному углу матки располагаясь между двумя листками широкой связки матки. Яичник фиксирован также короткой брыжейкой mesovarium которая...
24033. Влагалище: строение, топография, кровоснабжение, иннервация, отношение к брюшине 277 KB
  Влагалищные артерии происходят из маточных артерий а также из нижних мочепузырных средних прямокишечных и внутренних половых артерий. Большие и малые половые губы получают кровь по передним губным ветвям из наружной половой артерии правой и левой ветви соответствующей бедренной артерии а также по задним губным ветвям из промежностных артерий являющихся ветвями внутренних половых артерий. В кровоснабжении клитора и луковицы преддверия принимают участие парные глубокая артерия клитора дорсальная артерия клитора артерии луковицы...
24034. Острые лейкозы. Классификации 37.38 KB
  Неотложная помощь при гипертоническом кризе гиперкинетического типа Неотложную терапию при гипертоническом кризе гиперкинетического типа начинают с внутривенного введения 6 10 мл 05ного раствора или 3 5 мл 1ного раствора дибазола. Для купирования криза индерал или обзидан вводят внутривенно струйно в дозе 5 мг на 10 15 мл изотонического раствора натрия хлорида. Внутривенно или внутримышечно вводят 1 мл 01ного раствора рауседила. Внутривенно капельно вводят 1 мл 25ного раствора аминазина на 100 250 мл 5ного раствора глюкозы или...
24035. Бронхоэктатическая болезнь: клиника, диагностика, лечение 34.59 KB
  Существуют несколько классификаций бронхоэктатической болезни но в клинической практике чаще используется классификация А. Форма болезни: а легкая бронхитическая б выраженная в тяжелая г сухая кровоточащая. Течение болезни: а стационарное б прогрессирующее частота и длительность обострении. При хорошо собранном анамнезе часто удается выявить перенесенную в раннем детском возрасте пневмонию послужившую причиной развития бронхоэктатической болезни.
24036. Симптоматические язвы желудка и двенадцатиперстной кишки: клиника, диагностика 33.68 KB
  Симптоматические язвы желудка и двенадцатиперстной кишки это язвы которые возникают под действием язвопровоцирующего фактора. Их отличает от язвенной болезни то что всегда удается выявить провоцирующий язву фактор и если убрать этот фактор заживление язвы и выздоровление происходит достаточно быстро. Симптоматические язвы бывают: стрессовые лекарственные эндокринные возникшие на фоне заболеваний других внутренних органов.
24037. Ревматоидный артрит: клиника, диагностика, лечение 36.22 KB
  Течение болезни Ревматоидный артрит прогрессирует в трёх стадиях. Критериями неблагоприятного прогноза являются: раннее поражение крупных суставов и появление ревматоидных узелков увеличение лимфатических узлов вовлечение новых суставов при последующем обострении; системный характер болезни; персистирующая активность болезни при отсутствии ремиссии более года; стойкое увеличение СОЭ; раннее появление в течение первого года и высокие титры ревматоидного фактора ранние до четырёх месяцев рентгенологические изменения со стороны поражённых...
24038. Хронические обструктивные болезни легких 33.58 KB
  Мерцание и трепетание предсердий: тактика лечения. Мерцание предсердий хаотичное сокращение отдельных групп мышечных волокон предсердий при этом предсердия в целом не сокращаются а в связи с изменчивостью атриовентрикулярного проведения желудочки сокращаются аритмично обычно с частотой около 100150 в 1 мин. Трепетание предсердий регулярное сокращение предсердий с частотой около 250300 в 1 мин; частота желудочковых сокращений определяется предсердножелудочковой проводимостью желудочковый ритм может быть при этом регулярным или...
24039. Желчекаменная болезнь: этиология, клиника, диагностика 27.21 KB
  АМИЛОИДОЗ ПОЧЕК АП является проявлением общего амилоидоза который представляет собой системное заболевание характеризующееся внеклеточным отложением особого белковополисахаридного комплекса амилоида что приводит в конечном итоге к нарушению функции органов. До сих пор не существует общепринятой классификации амилоидоза. По наличию или отсутствию причинного фактора выделяют следующие формы амилоидоза: 1 идиопатический первичный; 2 наследственный генетический встречающийся при периодической болезни и некоторых формах семейного...