67554

А-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Лекция

Физика

Здесь предполагается, что спектр оператора - невырожденный. Если есть вырождение, то нужен еще один индекс, связанный с необходимостью введения по крайней мере еще одного оператора, коммутирующего с . Тогда строим базис из общих собственных векторов операторов и (см. лекцию 2):

Русский

2014-09-12

642 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я 4

АПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

На прошлой лекции мы построили некую конкретную схему квантовой механики, взяв в качестве основного оператор координаты . Делалось это так. Ставим задачу на собственные значения оператора:

 x = xx

и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов x:

 xx’ = d (x-xR),òdx xx = .

Разлагаем по этому базису произвольный вектор:

    = òdxx’ x

и характеризуем состояние  не вектором , а волновой функцией

 (x)  x.

Но можно взять не , а произвольный оператор :

 jAn = AnjAn

причем для определенности считаем спектр чисто дискретным:

 jAnjAm = dnm,  jAnjAn =.

Разлагаем произвольный вектор:

    = jAnjAn

и характеризуем состояние набором чисел (последовательностью)

 (An)  jAny,

которая имеет смысл волновой функции состояния  в - представлении.

Замечание. Здесь предполагается, что спектр оператора  - невырожденный.      Если есть вырождение, то нужен еще один индекс, связанный с необходимостью введения по крайней мере еще одного оператора , коммутирующего с . Тогда строим базис из общих собственных векторов операторов  и  (см. лекцию 2):

 jAnBm = AnjAnBm,   jAnBm = BmjAnBm;

 (An,Bm)   jAnBm.

Таким образом, в квантовой механике число степеней свободы можно ввести по определению как число независимых взаимно коммутирующих операторов ( число  операторов полного набора).

Итак, рассматриваем A-представление, в котором состояние  характеризуется последовательностью (« волновой функцией»)

 (An) = jAn.

Пусть имеется произвольный оператор , переводящий  в :

     = .

Состояние  характеризуется последовательностью

 (An) =  jAn .

Ясно, что отображение   индуцирует отображение

 (An)  (An), или (An) = (An),

 

где  есть оператор наблюдаемой F в Aпредставлении. Его легко можно найти в явном виде, для чего умножим равенство  =  слева на jAn  и воспользуемся разложением единицы :

 jAn = jAn  jAn =

= jAn j Am jAm,

Вводя обозначение

  jAn jAm   Fnm

и вводя волновые функции состояний и , получим

 (An) = Fnm(An).

Таким образом, в A-представлении наблюдаемая F представляется матрицей Fnm оператора .

Построим теперь другое - -представление:

 jRBn = Bn jRBn  ; jRBn jRBm = dnm,

где волновые функции записываются как

 yR(Bn) =  jRBn , (Bn) = jRBn,

и

(Bn) = yR (Bn), или (Bn) = ,  FRnm  jRBnjRBn.

Оператор (матрица FRnm) есть оператор (матрица) наблюдаемой F в B-представлении.

Свяжем величины в A- и B- представлениях. Для волновой функции, пользуясь разложением единицы, имеем

yR(Bn)  jRBn  =  jRBn jAmjAm = jRBnjAmyAm,

что можно записать как

 yR (B) = (B,A)(A),    ()

где (B,A) - некоторый оператор. Установим его основное свойство, для чего преобразуем выражение для скалярного квадрата вектора  :

  = (An)(An)((A),(A)) =

 =(Bn) yR (Bn)( yR (B), yR (B)) =

 = ((A),(A)) = ((A),(A)).

Таким образом,

  ((A),(A))  ((A),   (A)) = ((A),(A)),

откуда, в силу произвольности (A),

 = .

Видим, что оператор  является унитарным.

 

Замечание. Строго говоря, унитарным называется оператор, для которого

  =  = ,

что получается из  = , если у  есть обратный  оператор. Но нам достаточно свойства     = .

В математике такие операторы называются изометрическими.   

Посмотрим теперь на связь операторов  и  в A- и -представлениях. Они вводятся как (см. выше)

 (A) =(A)  и  (B) = yR (B).

Заменяем во втором равенстве yR на :

(A) = (A).

Умножаем слева на  и используем унитарность:

(A) = (A).

Сравнение с определением  дает

 =    = .      ().

Таким образом, переход от величин в A-представлении к величинам в B-представлении осуществляется с помощью формул () и () ,т.е. с помощью унитарного преобразования. Говорят также, что A- и B-представления унитарно эквивалентны. Покажем, что представления не только формально, но и физически эквивалентны. При унитарном преобразовании:

  1.  структура суперпозиционного состояния сохраняется:

 y = c11 + c2 2        yR = c1 yR 1 + c2 yR2;

  1.  скалярные произведения, а значит нормировки и вероятности переходов сохраняются:

(yR, jR) = (y, j) = (y, j) = (y, j) = (y,j);

3. линейные операторы переходят в линейные;

  1.  сумма операторов переходит в сумму:

 +  =  +  = ( + );

  1.  структура произведения оператора на число сохраняется:   

 = a = (a);

  1.  произведение операторов сохраняется:

 = ()() = (),

  1.  коммутатор операторов сохраняет структуру:

 =    = ,

что следует из свойств 4 и 5;

  1.  средние значения наблюдаемых сохраняются:

(yR, yR) = ( y, y) = ( y, y) = ( y, y);

  1.  спектральные свойства операторов сохраняются:

n = Fnn: yRn = n = n = Fnn = Fnyn = Fn yRn

Итак, разные квантовомеханические представления (A и B) эквивалентны не только математически, но и физически. Они дают два разных способа описания одной и той же физической схемы. Разные представления - разные реализации одного и того же гильбертова пространства и одной и той же алгебры операторов, действующих в нем. Аналогия - описание 3-мерного пространства в разных декартовых базисах. Поэтому A-представление иногда называется (и это лучше) A-базисом.

То, что мы рассматривали на прошлой лекции в качестве примера, есть, таким образом, координатное представление. Для одной частицы в трехмерном пространстве вектор состояния y записывается как

  = òdr cr  cr  òdry(r)cr,

и

 y(r)  cr

есть ее волновая функция (это напоминание). Подействуем на абстрактный вектор  оператором , разложим его по координатному базису и воспользуемся уже известным нам уравнением Шредингера:

  = òdr(r,t) cr = òdr(,t) cr .

Получим уравнение Шредингера в абстрактной картине

 (t) = (t),

где  - оператор Гамильтона в этой картине.

Продолжим рассмотрение координатного представления. Как мы видели в начале лекции 3, оператор координаты в своем «родном» представлении есть оператор умножения:

 (r) = r(r).

Найдем его собственные функции cr(r):

  cr(r) = r cr(r)rcr(r)       (-r) cr(r) = 0,

откуда видно, что cr(r) равна нулю при r¹r. Поэтому cr(r) должна быть некой линейной комбинацией d-функции и ее производных. Учитывая, что

 d (х) = 0, d (х) = - d(х),...

заключаем:

 cr(r) =Ad(r-r).

Константа A находится из условия нормировки:

d(r-rR) = (cr, crR) = UA2Uòd(r-r) d(r-rR)dr =UA2U(r-rR) UA2U=1 A=1.

Таким образом, окончательно

 cr(r) = d(r-r).

Ниже этот результат будет получен другим способом.

Найдем теперь собственные функции оператора импульса

 

(см. лекция 3) в координатном представлении:

 fp(r) = fp(r)  -iiÑ fp(r) = fp(r)  fp(r) = A.

Константа A определяется из условия нормировки:

d (p-pR) = (fp(r), fpR(r)) = òf*p(r)dr = UAU2òdr =

= UAU2òdr = UAU2i3 ò =

= UAU2(2i)3d (p-pR) A = (.

Таким образом, нормированные собственные функции оператора импульса имеют в координатном представлении следующий вид:

(fp(r) = (.

Перейдем теперь от координатного представления к импульсному, в котором волновая функция определяется как

 yR(p) = fpUy.

Для нее, используя разложение единицы в x -представлении, имеем:

 yR(p)  fpy = òdrfpcr cry = òdrcrfpcry =

= òdrf*p(r)y(r)  (fp(r), y(r)) = òdr( y(r).

Таким образом, волновые функции в импульсном и координатном представлениях связаны интегральным преобразованием Фурье (с точностью до i) :

 yR (p) = ( òy (r)dr 

и

 y (r) = (òyR (p)dp.

( Не путать штрих с символом дифференцирования функции!).

Оператор импульса в координатном и импульсным представлениях действует на «родные» волновые функции и имеет явно разный вид:

 j (r) = y (r), jR(p) = yR (p).

Чтобы связать  с =-iiÑ и тем самым найти вид , умножим первое уравнение скалярно на fp(r):

(fp(r),j (r))  jR(p) = (fp(r),y (r)),

откуда

 yR (p) = (fp(r),y (r)) = -ii(2òÑy (r)dr =

= -ii (2òÑy (r)dr + ii(2òÑy (r)dr =

= -ii(2i)3y (r)dS +ii(2 i)3(-ipiy (r)dr =

= 0 + 1(2 i)3pòy (r)dr=pyR (p).

Таким образом,

  yR (p) = p yR (p)  = p,

т.е. действие оператора импульса на волновую функцию сводится к умножению на независимую переменную. Легко показать, что это же справедливо и для любого оператора в его «родном» представлении (для координаты уже убедились).

Действуя аналогично, найдем оператор координаты в импульсном представлении:

  yR (p) = (fp(r),y (r)) = (òr y (r) dr

  ( iiÑpòy (r)dr = iiÑpyR (p).

Итак,

  yR (p) = iiÑpyR (p)     = iiÑp.

Видим, что координатное и импульсное представления связаны принципом взаимности. Волновые функции в них получаются друг из друга прямым или обратным преобразованием Фурье. Операторы координаты и импульса в «родных» представлениях - операторы умножения на независимые переменные. Операторы координаты и импульса в «чужих» представлениях - операторы дифференцирования (с точностью до множителя ii). Обращаем внимание на разные знаки у операторов   и  .

Уравнение на собственные значения оператора   в импульсном представлении лишь знаком отличается от уравнения для оператора  в координатном представлении:

 cRr(p) = rcRr(p) +iiÑp cRr(p) = rcRr(p).

Поэтому сразу можно выписать его собственные функции:

 cRr(p) = (.

Найдем собственные функции оператора в импульсном представлении:

 fRq (p) = qfRq (p).

Для левой части имеем:

fRq (p) = (fp (r),fq (r)) = 1(2i)3òdr(-iiÑr)=

= q(2i)3òdr= qd (p-q).

Сравнивая с верхним уравнением, получаем:

 fRq (p) = d (p-q).

Аналогично, путем перехода к импульсному представлению, можно решить и уравнение на собственные значения оператора  в координатном представлении:

  cr(r) = rcr(r)     r cr(r) = rcr(r).

В итоге получим уже известный нам результат:

 cr(r) = d(r-r).

Он очень естественен. По своему физическому смыслу собственная функция оператора координаты описывает состояние с определенным значением координаты. Это значит, что квадрат ее модуля (плотность вероятности) должен быть отличен от нуля лишь в одной точке. Но для дельта- функции так оно и есть . То же относится и к интерпретации собственных функций оператора   в импульсном представлении, где волновая функция (точнее, квадрат ее модуля) задает распределение значений импульса в данном состоянии.

FILENAME lecture04.doc

-  PAGE 25 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59741. Сценарій уроку: Свято Матері 42.5 KB
  Шановні гості Дорогі діти батьки Вітаємо Вас з Святом Матері Мати. ВЕДУЧА II: У травні коли прокидається від сну природа коли дзвенить у блакиті пташиний спів коли травами і квітами замаїться земля теплий весняний вітер приносить до нас Свято Матері.
59742. Сценарій уроку Масляна 38.5 KB
  Тиждень перед Великоднім постом називається Масляна. Щодня жінки, молодь і діти гуляли, пригощались варениками з сиром. Набиралися сил перед довгим постом. Молодь збиралась на вечорниці і гуляла до ранку (досвітки).
59743. Сценарій уроку: Де коза ходить, там жито родить 41 KB
  В цей вечір ватаги дівчат і дітей ходять по хатах і щедрують. Сценарій бажано доповнити книжковою виставкою Щедрий вечір добрий вечір. Щедрий вечір Розкажіть онуку...
59744. Сценарій уроку Золота осінь 44 KB
  Осінь завжди красива барвиста. Осінь ведуча одягнена у однокольорове плаття на якому нашите листя клена. На сцені 5 дітей: 1й: Непомітно зявилася осінь Заходить Осінь вклоняється тим хто в залі Все коротшає день щодоби Глянь берізки уже злотокосі І в дубів багряніють чуби.
59745. Прийди, прийди, весно, прийди, прийди, красна 45.5 KB
  До залу заходить Весна дівчина у квітчастому вбранні на голові віночок з квітів. ВЕСНА: Добрий день мої любі друзі Я Весна я Весна. ВЕСНА: Яка ж бо ти люта сестро Лютуй не лютуй а час твій пройшов. ВЕСНА: Так сестро це було та все пройшло.
59746. Сценарій уроку: Святий Спас прийшов до нас 46 KB
  У серпні Спас крім 19-го святкується ще двічі 14-го та 29-го. Правда назва його Спас мені не зрозуміла. Що воно означає ВЕДУЧА: На Русі свято відоме під назвою Спаса від слова спаситель рятівник яким православна церква іменує Ісуса Христа.
59747. Сценарій уроку: Несу кутю на покутю… 41.5 KB
  Дійові особи: Батько; мати; Оленка старша дочка 1012 р. БАТЬКО: Піду кину сіна вівцям коням та корові. БАТЬКО: Заходячи в хату. БАТЬКО: Обовязково зайду а потім піду кликати Мороза вечеряти з нами.
59748. Сценарій уроку Вечорниці 44.5 KB
  На передньому плані появляється Галя яка поспішає на вечорниці. Галя йде потім зупиняється: Он хтось стоїть чи не Степан Голохвастов уздрівши її: А на ловця і звір біжить ціпціп куріпочко Галя хоче його обійти а Голохвастов заступа їй дорогу Голохвастов...
59749. Сценарій уроку: Різдвяний вертеп 38.5 KB
  ДІТИ: Христос рождається ГОСПОДАР: Славімо його ЗВІЗДАР: Щедрий вечір добрий вечір Мир українській світлій хаті ЗВОНАР: дзвонить виступає вперед хору Добрий вечір тому Хто в цьому дому Старому молодому І Богу святому. Всі проходять до хати і співають: Добрий вечір тобі пане господарю радуйся...