67554

А-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Лекция

Физика

Здесь предполагается, что спектр оператора - невырожденный. Если есть вырождение, то нужен еще один индекс, связанный с необходимостью введения по крайней мере еще одного оператора, коммутирующего с . Тогда строим базис из общих собственных векторов операторов и (см. лекцию 2):

Русский

2014-09-12

642 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я 4

АПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

На прошлой лекции мы построили некую конкретную схему квантовой механики, взяв в качестве основного оператор координаты . Делалось это так. Ставим задачу на собственные значения оператора:

 x = xx

и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов x:

 xx’ = d (x-xR),òdx xx = .

Разлагаем по этому базису произвольный вектор:

    = òdxx’ x

и характеризуем состояние  не вектором , а волновой функцией

 (x)  x.

Но можно взять не , а произвольный оператор :

 jAn = AnjAn

причем для определенности считаем спектр чисто дискретным:

 jAnjAm = dnm,  jAnjAn =.

Разлагаем произвольный вектор:

    = jAnjAn

и характеризуем состояние набором чисел (последовательностью)

 (An)  jAny,

которая имеет смысл волновой функции состояния  в - представлении.

Замечание. Здесь предполагается, что спектр оператора  - невырожденный.      Если есть вырождение, то нужен еще один индекс, связанный с необходимостью введения по крайней мере еще одного оператора , коммутирующего с . Тогда строим базис из общих собственных векторов операторов  и  (см. лекцию 2):

 jAnBm = AnjAnBm,   jAnBm = BmjAnBm;

 (An,Bm)   jAnBm.

Таким образом, в квантовой механике число степеней свободы можно ввести по определению как число независимых взаимно коммутирующих операторов ( число  операторов полного набора).

Итак, рассматриваем A-представление, в котором состояние  характеризуется последовательностью (« волновой функцией»)

 (An) = jAn.

Пусть имеется произвольный оператор , переводящий  в :

     = .

Состояние  характеризуется последовательностью

 (An) =  jAn .

Ясно, что отображение   индуцирует отображение

 (An)  (An), или (An) = (An),

 

где  есть оператор наблюдаемой F в Aпредставлении. Его легко можно найти в явном виде, для чего умножим равенство  =  слева на jAn  и воспользуемся разложением единицы :

 jAn = jAn  jAn =

= jAn j Am jAm,

Вводя обозначение

  jAn jAm   Fnm

и вводя волновые функции состояний и , получим

 (An) = Fnm(An).

Таким образом, в A-представлении наблюдаемая F представляется матрицей Fnm оператора .

Построим теперь другое - -представление:

 jRBn = Bn jRBn  ; jRBn jRBm = dnm,

где волновые функции записываются как

 yR(Bn) =  jRBn , (Bn) = jRBn,

и

(Bn) = yR (Bn), или (Bn) = ,  FRnm  jRBnjRBn.

Оператор (матрица FRnm) есть оператор (матрица) наблюдаемой F в B-представлении.

Свяжем величины в A- и B- представлениях. Для волновой функции, пользуясь разложением единицы, имеем

yR(Bn)  jRBn  =  jRBn jAmjAm = jRBnjAmyAm,

что можно записать как

 yR (B) = (B,A)(A),    ()

где (B,A) - некоторый оператор. Установим его основное свойство, для чего преобразуем выражение для скалярного квадрата вектора  :

  = (An)(An)((A),(A)) =

 =(Bn) yR (Bn)( yR (B), yR (B)) =

 = ((A),(A)) = ((A),(A)).

Таким образом,

  ((A),(A))  ((A),   (A)) = ((A),(A)),

откуда, в силу произвольности (A),

 = .

Видим, что оператор  является унитарным.

 

Замечание. Строго говоря, унитарным называется оператор, для которого

  =  = ,

что получается из  = , если у  есть обратный  оператор. Но нам достаточно свойства     = .

В математике такие операторы называются изометрическими.   

Посмотрим теперь на связь операторов  и  в A- и -представлениях. Они вводятся как (см. выше)

 (A) =(A)  и  (B) = yR (B).

Заменяем во втором равенстве yR на :

(A) = (A).

Умножаем слева на  и используем унитарность:

(A) = (A).

Сравнение с определением  дает

 =    = .      ().

Таким образом, переход от величин в A-представлении к величинам в B-представлении осуществляется с помощью формул () и () ,т.е. с помощью унитарного преобразования. Говорят также, что A- и B-представления унитарно эквивалентны. Покажем, что представления не только формально, но и физически эквивалентны. При унитарном преобразовании:

  1.  структура суперпозиционного состояния сохраняется:

 y = c11 + c2 2        yR = c1 yR 1 + c2 yR2;

  1.  скалярные произведения, а значит нормировки и вероятности переходов сохраняются:

(yR, jR) = (y, j) = (y, j) = (y, j) = (y,j);

3. линейные операторы переходят в линейные;

  1.  сумма операторов переходит в сумму:

 +  =  +  = ( + );

  1.  структура произведения оператора на число сохраняется:   

 = a = (a);

  1.  произведение операторов сохраняется:

 = ()() = (),

  1.  коммутатор операторов сохраняет структуру:

 =    = ,

что следует из свойств 4 и 5;

  1.  средние значения наблюдаемых сохраняются:

(yR, yR) = ( y, y) = ( y, y) = ( y, y);

  1.  спектральные свойства операторов сохраняются:

n = Fnn: yRn = n = n = Fnn = Fnyn = Fn yRn

Итак, разные квантовомеханические представления (A и B) эквивалентны не только математически, но и физически. Они дают два разных способа описания одной и той же физической схемы. Разные представления - разные реализации одного и того же гильбертова пространства и одной и той же алгебры операторов, действующих в нем. Аналогия - описание 3-мерного пространства в разных декартовых базисах. Поэтому A-представление иногда называется (и это лучше) A-базисом.

То, что мы рассматривали на прошлой лекции в качестве примера, есть, таким образом, координатное представление. Для одной частицы в трехмерном пространстве вектор состояния y записывается как

  = òdr cr  cr  òdry(r)cr,

и

 y(r)  cr

есть ее волновая функция (это напоминание). Подействуем на абстрактный вектор  оператором , разложим его по координатному базису и воспользуемся уже известным нам уравнением Шредингера:

  = òdr(r,t) cr = òdr(,t) cr .

Получим уравнение Шредингера в абстрактной картине

 (t) = (t),

где  - оператор Гамильтона в этой картине.

Продолжим рассмотрение координатного представления. Как мы видели в начале лекции 3, оператор координаты в своем «родном» представлении есть оператор умножения:

 (r) = r(r).

Найдем его собственные функции cr(r):

  cr(r) = r cr(r)rcr(r)       (-r) cr(r) = 0,

откуда видно, что cr(r) равна нулю при r¹r. Поэтому cr(r) должна быть некой линейной комбинацией d-функции и ее производных. Учитывая, что

 d (х) = 0, d (х) = - d(х),...

заключаем:

 cr(r) =Ad(r-r).

Константа A находится из условия нормировки:

d(r-rR) = (cr, crR) = UA2Uòd(r-r) d(r-rR)dr =UA2U(r-rR) UA2U=1 A=1.

Таким образом, окончательно

 cr(r) = d(r-r).

Ниже этот результат будет получен другим способом.

Найдем теперь собственные функции оператора импульса

 

(см. лекция 3) в координатном представлении:

 fp(r) = fp(r)  -iiÑ fp(r) = fp(r)  fp(r) = A.

Константа A определяется из условия нормировки:

d (p-pR) = (fp(r), fpR(r)) = òf*p(r)dr = UAU2òdr =

= UAU2òdr = UAU2i3 ò =

= UAU2(2i)3d (p-pR) A = (.

Таким образом, нормированные собственные функции оператора импульса имеют в координатном представлении следующий вид:

(fp(r) = (.

Перейдем теперь от координатного представления к импульсному, в котором волновая функция определяется как

 yR(p) = fpUy.

Для нее, используя разложение единицы в x -представлении, имеем:

 yR(p)  fpy = òdrfpcr cry = òdrcrfpcry =

= òdrf*p(r)y(r)  (fp(r), y(r)) = òdr( y(r).

Таким образом, волновые функции в импульсном и координатном представлениях связаны интегральным преобразованием Фурье (с точностью до i) :

 yR (p) = ( òy (r)dr 

и

 y (r) = (òyR (p)dp.

( Не путать штрих с символом дифференцирования функции!).

Оператор импульса в координатном и импульсным представлениях действует на «родные» волновые функции и имеет явно разный вид:

 j (r) = y (r), jR(p) = yR (p).

Чтобы связать  с =-iiÑ и тем самым найти вид , умножим первое уравнение скалярно на fp(r):

(fp(r),j (r))  jR(p) = (fp(r),y (r)),

откуда

 yR (p) = (fp(r),y (r)) = -ii(2òÑy (r)dr =

= -ii (2òÑy (r)dr + ii(2òÑy (r)dr =

= -ii(2i)3y (r)dS +ii(2 i)3(-ipiy (r)dr =

= 0 + 1(2 i)3pòy (r)dr=pyR (p).

Таким образом,

  yR (p) = p yR (p)  = p,

т.е. действие оператора импульса на волновую функцию сводится к умножению на независимую переменную. Легко показать, что это же справедливо и для любого оператора в его «родном» представлении (для координаты уже убедились).

Действуя аналогично, найдем оператор координаты в импульсном представлении:

  yR (p) = (fp(r),y (r)) = (òr y (r) dr

  ( iiÑpòy (r)dr = iiÑpyR (p).

Итак,

  yR (p) = iiÑpyR (p)     = iiÑp.

Видим, что координатное и импульсное представления связаны принципом взаимности. Волновые функции в них получаются друг из друга прямым или обратным преобразованием Фурье. Операторы координаты и импульса в «родных» представлениях - операторы умножения на независимые переменные. Операторы координаты и импульса в «чужих» представлениях - операторы дифференцирования (с точностью до множителя ii). Обращаем внимание на разные знаки у операторов   и  .

Уравнение на собственные значения оператора   в импульсном представлении лишь знаком отличается от уравнения для оператора  в координатном представлении:

 cRr(p) = rcRr(p) +iiÑp cRr(p) = rcRr(p).

Поэтому сразу можно выписать его собственные функции:

 cRr(p) = (.

Найдем собственные функции оператора в импульсном представлении:

 fRq (p) = qfRq (p).

Для левой части имеем:

fRq (p) = (fp (r),fq (r)) = 1(2i)3òdr(-iiÑr)=

= q(2i)3òdr= qd (p-q).

Сравнивая с верхним уравнением, получаем:

 fRq (p) = d (p-q).

Аналогично, путем перехода к импульсному представлению, можно решить и уравнение на собственные значения оператора  в координатном представлении:

  cr(r) = rcr(r)     r cr(r) = rcr(r).

В итоге получим уже известный нам результат:

 cr(r) = d(r-r).

Он очень естественен. По своему физическому смыслу собственная функция оператора координаты описывает состояние с определенным значением координаты. Это значит, что квадрат ее модуля (плотность вероятности) должен быть отличен от нуля лишь в одной точке. Но для дельта- функции так оно и есть . То же относится и к интерпретации собственных функций оператора   в импульсном представлении, где волновая функция (точнее, квадрат ее модуля) задает распределение значений импульса в данном состоянии.

FILENAME lecture04.doc

-  PAGE 25 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76464. Осуществление и защита семейных прав 16.22 KB
  7 СК граждане вправе по своему усмотрению распоряжаться принадлежащими им правами если иное не установлено СК. Пределы осуществления семейных прав имеют свои ограничения. Так семейные права могут быть ограничены требованиями закона.
76465. Семейно-правовая ответственность (понятие и особенности) 17.48 KB
  Специфика семейно-правовой ответственности заключается в том что во-первых ее субъекты связаны уже возникшим семейным правоотношением во-вторых к ней не могут быть привлечены третьи лица не участвующие в данном правоотношении. Основания наступления семейно-правовой ответственности зависят от того какая сфера пострадавшего лица личная или имущественная подверглись воздействию в результате правонарушения. Семейное законодательство не содержит указания на формы вины но на практике они играют важную роль особенно при определении объема...
76466. Меры защиты в семейном праве и их отличие от семейно-правовой ответственности 16.31 KB
  Защита нарушенных или оспариваемых семейных прав происходит в судах в порядке искового производства взыскание алиментов раздел совместно нажитого супружеского имущества; защита охраняемых интересов происходит в порядке особого производства установление факта признания отцовства фактов регистрации рождения усыновления брака развода. В административном порядке защита семейных прав осуществляется путем обращения в государственные органы или к конкретному должностному лицу органы исполнительной власти органы опеки и...
76467. Понятие брака, условия и порядок его заключения 19.11 KB
  Основаниями для брака признаются правовые нормы а не моральные: брачный союз лишь определяет систему прав и обязанностей. Современный институт брака находится в состоянии трансформации. Заключение брака Брак заключается в государственных органах записи актов гражданского состояния по истечении месячного срока после подачи женихом и невестой совместного заявления.
76468. Прекращение брака. Основание, причины и мотивы развода 16.87 KB
  В случае смерти супруга или объявления судом одного из супругов умершим не требуется какого-либо специального оформления прекращения брака. В таких случаях брак считается прекращенным с момента смерти супруга или с момента вступления в законную силу решения суда об объявлении супруга умершим
76469. Расторжение брака в органах загса 17.21 KB
  Расторжение брака в органах загса по заявлению обоих супругов. 19 СК расторжение брака в органах загса по заявлению обоих супругов производится при наличии двух оснований: супруги выразили взаимное согласие на расторжение брака; супруги не имеют общих несовершеннолетних детей. Взаимное согласие супругов на расторжение брака выражается в их совместном письменном заявлении установленной формы в орган загса.
76470. Расторжение брака в судебном порядке 19.54 KB
  У супругов имеются общие несовершеннолетние дети кроме случаев когда один из супругов признан судом безвестно отсутствующим недееспособным или осужден за совершение преступления к лишению свободы на срок свыше трех лет; отсутствует согласие одного из супругов на расторжение брака; в один из супругов несмотря на отсутствие у него возражений уклоняется от расторжения брака в органе загса например отказывается подать совместное заявление. Рассмотрение дел о расторжении брака осуществляется судом в порядке искового...
76471. Последствия расторжения брака 16.57 KB
  При рассмотрении такого дела судья обязан изучить все стороны характеризующие личные качества родителей взаимоотношения родителей с ребенком интересы самого ребенка и его мнение если он достиг десятилетнего возраста. Также суд учитывает возраст ребенка его большая или меньшая симпатия к одному из родителей а также к другим членам семьи братья сестра. Не менее важны условия воспитания и обучения которые будут созданы для проживания ребенка и материальное положение одного из родителей хотя последний фактор не всегда является...
76472. Понятие недействительности брака и основания признания брака недействительным 15.31 KB
  С момента государственной регистрации заключения брака в органах загса. Основания для признания брака недействительным установлены в п. Заключение брака при отсутствии условий установленных законом для заключения брака: взаимного добровольного согласия лиц вступающих в брак и достижения ими брачного возраста если этот возраст не был снижен в порядке установленном законом ст.