67555

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Лекция

Физика

Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами. До сих пор мы пользовались картиной Шредингера в которой считается что всю зависимость от времени несут векторы состояния волновые функции а в операторы наблюдаемых она может входить лишь в исключительных...

Русский

2014-09-12

611.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  5

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

В координатном представлении

 = r,   = iiÑ.

Коммутаторы этих операторов таковы :

 = iidkl

Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса (скажем,  с ) равен нулю. Проверим, что

 = ii (  и , аналогично ).

Имеем:

 y(x) = y- y = x +ii(xy) =

 

 = ii x+ ii x+ ii y = ii  y,

откуда в силу произвольности y и получаем, что надо.

Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии, называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для наблюдаемых A и B, записывая

 = i,

где . Операторы  и  эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы оператор  был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы уклонения от среднего значения в заданном состоянии:

  ,   .

Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению:

 = i.

Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии y  называется

 Dy(A) (DA)2 .

Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B.

Образуем скалярное произведение (D,D) и найдем его мнимую часть:

Im(Dy, Dy) = 1/2i (Dy, D y) - (Dy, Dy)* =

= 1/2i( D y, D y)-( Dy, D y) =

= 1/2i( y, DD y)-( y, DD y) =

= 1/2i (y, y) = 1/2i(y, y) = 1/2C.

Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем воспользуемся неравенством Коши - Буняковского:

Im(Dy, Dy)   (Dy, Dy)  =

=  = (DA)(DB).

Сравнивая с предыдущим, мы и приходим к общему соотношению неопределенностей:

 DADВ l 1/2UCU.

В частности, для координаты и импульса  = i, а потому C = i, и получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:

 DxDpx l i/2.

Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями. Значит x и px совместно неизмеримы.

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Возьмем какой-то эрмитов оператор  и поставим задачу на собственные значения:

 n = Ann.

Допустим, что спектр - чисто дискретный. Это значит, что собственные векторы образуют ортонормированный базис:

(jn, jm) = dnm  Û  jnjm = dnm,

 jnjn = .

Любой вектор y можно разложить по этому базису:

 y = ynjn,

где дискретная последовательность коэффициентов Фурье

 yn = jny

будет однозначно задавать состояние y. Расположим числа yn в матрицу - столбец:

 y = .

Она и представляет вектор состояния y. Образуем эрмитово сопряженную матрицу, которая будет матрицей - строкой с компонентами

= jn y* = yjn = y*n.

Она будет представлять совектор y :

 y= (y*1, y*2,...).

С использованием условия полноты jnjn =  скалярный квадрат запишется как

 y y  = y  jn jny = yn2 .

Если вектор y  нормирован, т.е. y y =1, то сумма также равна 1, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим теперь некоторый оператор ,который действуя на y  переводит его в :

 = y .

Умножая скалярно на  jn и пользуясь условием полноты, найдем:

  jn y  =  jn y  =  jn jm jm y ,

или

 =Fnmym,

где введена матрица оператора:

 Fnm   jn jm.

Оператор  переводит y в , а матрица Fnm переводит компоненты  yn вектора y в компоненты  вектора . Если оператор эрмитов, то и его матрица эрмитова:

 Fnm = (Fmn)*.

Среднее значение оператора  в состоянии y теперь вычисляется так:

F =  = ,

т.е.

 F = Fnm y*n ym.

Рассмотрим теперь другое представление, порожденное оператором :

  jR n = Bn jR n,  jR n jR m = dnm,  jR n jR n = .

Векторы y в нем представляются другими волновыми функциями:

 yRn =  jR n y,

а операторы  - другими матрицами:

.

Но так как оба базиса - ортонормированные, то волновые функции и матрицы операторов в обоих представлениях связаны унитарным преобразованием:

 yRn = Unmym, FRnm = UnnRFnRmRU+mRm.

Раньше мы формулировали эти утверждения на языке операторов.

Найдем шпур (след) матрицы оператора  в B -представлении:

 

= ,      (U+U = ),

т.е. шпур матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования - не зависит от выбора представления.

Задача на собственные значения оператора

 y = Fy

в матричном A-представлении ставится как

(Fnm-Fdnm)ym = 0.

Система однородных линейных уравнений для определения ym имеет нетривиальные решения при условии

det CFnm-FdnmC = 0

Это вековое или характеристическое уравнение является алгебраическим. Его решения F1,F2,...Fk... есть искомые собственные значения. Подставляя каждое из них в систему уравнений, найдем последовательности

 F1:                     y(1)1, y(1)2,... y(1)n,.....

 F2:                              y(2)1, y(2)2,... y(2)n...

                  ..............................................................

представляющие собственные векторы y(n), т.е. являющиеся их волновыми функциями.

Если в качестве базисных векторов выбрать собственные векторы  yn  оператора , то его матрица будет диагональной:

 Fnm = yn ym  = yn Fmym  = Fm yn ym  = Fmdnm

Таким образом, решение задачи на собственные значения оператора  равнозначна диагонализации его матрицы: находимUyn, устанавливаем унитарное преобразование, связывающее Uyn с Ujn, и совершаем это унитарное преобразование над исходной матрицей Fnm. В результате и получим диагональную матрицу.

Все те же операции можно проделать и в случае, когда спектр оператора  - непрерывный, но все надо понимать в обобщенном смысле. Базис образуют обобщенные собственные векторы:

 A = AA, AB = d(A-B),    òdAAA = .

Волновая функция

 y ()= Ay

есть «настоящая» функция, ибо зависит от непрерывного аргумента. Если оператор  переводит вектор y в , т.е.

 = y,

то для волновых функций имеем:

(A)  A = Ay = òAAR ARy,

т.е.

(A) = òF(A,AR)y(AR)dAR,

где

 F(A,AR)  AAR

ядро интегрального оператора .

Для произведения двух операторов

 

 

получим

 F1(A,AR) = A23 AR = A2ARR ARR3AR dARR,

т.е. ядро произведения получается как свертка операторов-сомножителей:

 F(A,AR) = ò F(A, ARR) F(ARR,AR)dARR.

- . .- . - . - .

Рассмотрим уравнение Шредингера

 iiy = y,

которое для одной частицы во внешнем поле записывается как

 iiy = y +V(r)y.

В координатном представлении мы его уже получали:

 iiy(r,t) = -i2/2m Ñ2 y(r,t) + (r) y(r,t).

Найдем теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении. Нам нужно найти действие оператора , т.е.  =  и V(r) на волновую функцию (p), которая есть

 (p) = ácpy.

Для ядра оператора V имеем

 W(p,pR) = ácpcpR = (cp(r),V(r) cpR (r)),

где cp(r) - собственные функции оператора импульса в координатном представлении:

 cp(r) = .

Подстановка дает:

W(p,pR) = ,

т.е. ядро W получается из V путем преобразования Фурье:

W(p,pR) = .

Для оператора кинетической энергии  имеем:

K(p,pR) =  i2/2m(cp(r),Ñ2cp(rR)) =  i2/2m=

=  i2/2m  = p2/2md(p-pR):

                  K(p,pR) = p2/2md(p-pR).

Подставляем все это в уравнение Шредингера в импульсном представлении:

ii.

Получаем:

 ii ,

т.е.

 ii ,

где

 W(p,pR) = .

В итоге получилось интегро-дифференциальное уравнение.

Если V(r)есть полином от r2,т.е. включает сумму членов вида

 Vn = anr2n,

то eсть уравнение Шредингера сводится к дифференциальному. Действительно, в этом случае

Wn(p,pR) = =

= an (-i2Ñ2p )n = an(-i2Ñ2p )nd(p-pR);

ò Wn(p,pR) (pR,t)dpR = an(-i2Ñ2p )nò d(p-pR) (pR,t)dp = an (-i2Ñ2p )n(p,t);

ii(p,t) = (p2 /2m +an(-i2Ñ2p )n) (p,t).

Важный пример - изотропный гармонический осциллятор, с

 V(r)= (2  k/m).

В координатном представлении уравнение Шредингера записывается как

 iiy(r,t) = -i2/2mÑ2 y(r,t) + (m w2 r2/2)y(r,t).

В импульсном представлении, учитывая, что n = 1 и a = mw22, имеем:

 ii(p,t) = p2/2m(p,t) - i2mw22Ñ2(p,t)

Уравнения с точностью до переобозначения констант идентичны, а значит идентичны и их решения. Но они, как функции в координатном и импульсном представлениях, должны быть связаны преобразованием Фурье. Поэтому, если не обращать внимания на константы, волновые функции изотропного гармонического осциллятора инвариантны относительно преобразования Фурье: сами функции и их фурье-образы практически совпадают. Таким свойством обладают функции Эрмита и только они, и мы предсказываем волновые функции стационарных состояний осциллятора.

КАРТИНЫ ШРЕДИНГЕРА И ГЕЙЗЕНБЕРГА

Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами. Они называются разными картинами (представлениями).

До сих пор мы пользовались картиной Шредингера, в которой считается, что всю зависимость от времени несут векторы состояния (волновые функции), а в операторы наблюдаемых она может входить лишь в исключительных случаях (например, в гамильтониан системы, находящейся в нестационарных внешних условиях). Основным динамическим уравнением в картине Шредингера является уравнение Шредингера.

iiyш(t) = ш yш(t).

Оно позволяет связать вектор состояния yш(t) в произвольный момент времени t с вектором состояния yш(t0), заданным в начальный момент . Ведем оператор эволюции ) определением

 yш(t) = )yш(t0).

Так как нормировка векторов не должна меняться во времени, имеем:

1 = áyш(t0)Uyш(t0)  = áyш(t)Uyш(t)  = áyш(t0)  yш(t0) ,

т.е. ) должен быть унитарным оператором:

 .

Если гамильтониан  не зависит явно от времени (стационарные внешние условия), то оператор эволюции может быть выписан в явном виде:

) =

Тогда

 yш(t) = .

Дифференцируя это соотношение по времени, найдем::

  yш(t) =- i/iш=- i/iш yш(t)  ii yш(t) = ш yш(t),

т.е. получим уравнение Шредингера, как и должно быть.

Перейдем теперь к картине Гейзенберга, совершая унитарное преобразование

 yг(t) = yш(t) =  )yш(t0) =

= yш(t0) = yш(t0)

т.е.

 yг(t) = yш(t0) = yг(t0)  yг.

Таким образом, в картине Гейзенберга векторы состояний не меняются во времени: один и тот же вектор описывает состояние системы во все моменты времени.

Но теперь вся зависимость от времени перекидывается на операторы наблюдаемых, унитарное преобразование которых дает

 г(t) = ш) .

При унитарном преобразовании средние значения наблюдаемых не меняются. Их в разных картинах можно записать как

 áFñ (t) = áyш(t) Uш yш(t) =

= áyгUш)yг = áyгUг(t) yг.

Таким образом, зависимость от времени средних значений не зависит от выбора картины, а именно она-то и является самой главной.

В картине Гейзенберга уравнения Шредингера нет, так как векторы состояний постоянны. Основные динамические уравнения формулируются для операторов. Чтобы получить их, найдем сначала уравнение, которому подчиняется оператор эволюции и сопряженный ему. Имеем:

 yш(t)  = )yш(t0) .

Дифференцируем по времени:

 iiyш(t)  = ii)yш(t0) .

С другой стороны, согласно уравнению Шредингера,

 iiyш(t)  = ш yш(t0)  = ш yш(t0) .

Сравнение дает уравнение

 ii) = ш ),

к которому нужно добавить очевидное начальное условие

.

Переходя к сопряженному уравнению с учетом эрмитовости найдем

  ii = ш

Гамильтониан в КГ имеет вид

 г = 

Если

,

то мы выносим ш налево и пользуемся унитарностью . Тогда получим

 г (t) = ш  .

Это справедливо, в частности, когда ш не зависит от времени и (см. выше)

.

Очевидно, что в этом случае .

Теперь, пользуясь уравнениями для  и , мы можем получить динамические уравнения для операторов наблюдаемых в картине Гейзенберга:

 г(t) = .

Дифференцируем по времени: 

 г(t) =

 

.

В итоге получаем уравнения Гейзенберга - динамические уравнения в картине Гейзенберга:

 г(t) ,

где по определению

.

Картина Шредингера хороша при практической работе (уравнения для векторов состояний в определенном представлении становятся дифференциальными уравнениями для обычных функций - волновых функций). Картина Гейзенберга с этой точки зрения хуже (уравнения для операторов), но она хороша при общих размышлениях. В частности, позволяет с легкостью обсудить законы сохранения.

FILENAME lecture05.doc

 -  PAGE 32 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30129. Исследование методов позиционирования, а так же разработка устройства для дистанционного мониторинга технических объектов, транспортных средств и человека 873.95 KB
  Одним из основных компонентов системы позиционирования является устройство под названием GPSтрекер.4 Применение систем навигации Кроме навигации координаты получаемые благодаря спутниковым системам используются в следующих отраслях: Геодезия: с помощью систем навигации определяются точные координаты точек Картография: системы навигации используется в гражданской и военной картографии Навигация: с применением систем навигации осуществляется как морская так и дорожная навигация Спутниковый мониторинг транспорта: с помощью систем...
30130. Створення газети на тему «Молодь обирає спорт» у програмі Page Maker 639.28 KB
  Програма PageMaker є складовою частиною лінійки програмних продуктів фірми Adobe, до складу якої крім того входять Adobe Table, Adobe FrameMaker, Adobe PageMill, Adobe Photoshop, Adobe Illustrator, Adobe Streamline, Adobe Premier. Практично кожна з цих програм є світовим лідером в своїй області
30131. Создание управляющих программ с использованием сплайновой интерполяции типов AKIMA(ASPLINE), NURBS(BSPLINE) и кубического сплайна(CSPLINE). Воспроизведение сплайновой интерполяции в системе ЧПУ WinPCNC 184.33 KB
  Воспроизведение сплайновой интерполяции в системе ЧПУ WinPCNC Выполнил: студент гр. Ход Работы В процессе обучения будет рассмотрено использование сплайновой интерполяции на двух примерах. Будем использовать три основных типа сплайна: SPLINE kim сплайн BSPLINE NURBS сплайн CSPLINE кубический сплайн.
30132. Генерация и редактирование сплайн контуров. Создание и отработка управляющих программ 236.41 KB
  Полученную кривую можно сохранить в файле в формате txt, где будут записаны последовательности координат X и Y. Таким образом, с помощью программы можно не только просмотреть, как будет строиться та или иная кривая, но и использовать полученные оцифрованные точки в дальнейшем.
30133. Основы программирования в оболочке ОС UNIX 25.44 KB
  Пользователь имеет возможность присвоить переменной значение некоторой строки символов. Например команда mrk= usr ndy bin присваивает значение строки символов usr ndy bin переменной mrk типа строка символов . Для этого в соот ветствующем месте командной строки должно быть употреблено имя этой переменной которому предшествует метасимвол . Использование значения присвоенного некоторой переменной называется подстановкой.
30134. БАЗЫ ДАННЫХ 34.53 KB
  В начале работы следуют выбрать интересующего работника. После этого будут выведены данные о заданиях выбранного работника в соответствующую таблицу. При выборе конкретного задания выводятся данные о работниках.
30135. ИЗУЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАСПРЕДЕЛЕННО ВЫПОЛНЯЮЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ 65.72 KB
  Осуществить построение топологии сети требуемого вида (рис. 3.1); выполнить широковещательную рассылку вводимого с клавиатуры сообщения от узла S на все остальные узлы. На узле, инициирующем рассылку, выводить (в виде матрицы) топологию сети и остовное дерево, на остальных хостах сети после получения сообщения выводить номер хоста и сам текст сообщения.
30136. Средства создания и сопровождения сайта 139.29 KB
  Подпись Дата Лист 2 КОГУ Проверил Бегун Э.контур утвердить Лит Листов КОГУ Лабораторная работа 9. Подпись Дата Лист 2 КОГУ Проверил Бегун Э.контур утвердить Лит Листов КОГУ создал hobby.
30137. Теория сплайнов. Параметры, влияющие на точность аппроксимации контура 3.81 MB
  SPLINE SPLINE kim spline проходит точно через заданные точки. Минимально допустимое количество точек определяется особенностями системы ЧПУ; например система ЧПУ Sinumerik позволяет построить кривые только через 6 смежных точек в то время как система ЧПУ WinPCNC через 4 точки в предельном случае можно использовать две точки но в этом случае кривая трактуется как отрезок прямой. Главная область применения этого типа сплайна прохождение через точки полученные от контрольноизмерительной машины КИМ или от аналогичных машин. В...