67555

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Лекция

Физика

Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами. До сих пор мы пользовались картиной Шредингера в которой считается что всю зависимость от времени несут векторы состояния волновые функции а в операторы наблюдаемых она может входить лишь в исключительных...

Русский

2014-09-12

611.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  5

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

В координатном представлении

 = r,   = iiÑ.

Коммутаторы этих операторов таковы :

 = iidkl

Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса (скажем,  с ) равен нулю. Проверим, что

 = ii (  и , аналогично ).

Имеем:

 y(x) = y- y = x +ii(xy) =

 

 = ii x+ ii x+ ii y = ii  y,

откуда в силу произвольности y и получаем, что надо.

Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии, называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для наблюдаемых A и B, записывая

 = i,

где . Операторы  и  эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы оператор  был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы уклонения от среднего значения в заданном состоянии:

  ,   .

Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению:

 = i.

Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии y  называется

 Dy(A) (DA)2 .

Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B.

Образуем скалярное произведение (D,D) и найдем его мнимую часть:

Im(Dy, Dy) = 1/2i (Dy, D y) - (Dy, Dy)* =

= 1/2i( D y, D y)-( Dy, D y) =

= 1/2i( y, DD y)-( y, DD y) =

= 1/2i (y, y) = 1/2i(y, y) = 1/2C.

Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем воспользуемся неравенством Коши - Буняковского:

Im(Dy, Dy)   (Dy, Dy)  =

=  = (DA)(DB).

Сравнивая с предыдущим, мы и приходим к общему соотношению неопределенностей:

 DADВ l 1/2UCU.

В частности, для координаты и импульса  = i, а потому C = i, и получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:

 DxDpx l i/2.

Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями. Значит x и px совместно неизмеримы.

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Возьмем какой-то эрмитов оператор  и поставим задачу на собственные значения:

 n = Ann.

Допустим, что спектр - чисто дискретный. Это значит, что собственные векторы образуют ортонормированный базис:

(jn, jm) = dnm  Û  jnjm = dnm,

 jnjn = .

Любой вектор y можно разложить по этому базису:

 y = ynjn,

где дискретная последовательность коэффициентов Фурье

 yn = jny

будет однозначно задавать состояние y. Расположим числа yn в матрицу - столбец:

 y = .

Она и представляет вектор состояния y. Образуем эрмитово сопряженную матрицу, которая будет матрицей - строкой с компонентами

= jn y* = yjn = y*n.

Она будет представлять совектор y :

 y= (y*1, y*2,...).

С использованием условия полноты jnjn =  скалярный квадрат запишется как

 y y  = y  jn jny = yn2 .

Если вектор y  нормирован, т.е. y y =1, то сумма также равна 1, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим теперь некоторый оператор ,который действуя на y  переводит его в :

 = y .

Умножая скалярно на  jn и пользуясь условием полноты, найдем:

  jn y  =  jn y  =  jn jm jm y ,

или

 =Fnmym,

где введена матрица оператора:

 Fnm   jn jm.

Оператор  переводит y в , а матрица Fnm переводит компоненты  yn вектора y в компоненты  вектора . Если оператор эрмитов, то и его матрица эрмитова:

 Fnm = (Fmn)*.

Среднее значение оператора  в состоянии y теперь вычисляется так:

F =  = ,

т.е.

 F = Fnm y*n ym.

Рассмотрим теперь другое представление, порожденное оператором :

  jR n = Bn jR n,  jR n jR m = dnm,  jR n jR n = .

Векторы y в нем представляются другими волновыми функциями:

 yRn =  jR n y,

а операторы  - другими матрицами:

.

Но так как оба базиса - ортонормированные, то волновые функции и матрицы операторов в обоих представлениях связаны унитарным преобразованием:

 yRn = Unmym, FRnm = UnnRFnRmRU+mRm.

Раньше мы формулировали эти утверждения на языке операторов.

Найдем шпур (след) матрицы оператора  в B -представлении:

 

= ,      (U+U = ),

т.е. шпур матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования - не зависит от выбора представления.

Задача на собственные значения оператора

 y = Fy

в матричном A-представлении ставится как

(Fnm-Fdnm)ym = 0.

Система однородных линейных уравнений для определения ym имеет нетривиальные решения при условии

det CFnm-FdnmC = 0

Это вековое или характеристическое уравнение является алгебраическим. Его решения F1,F2,...Fk... есть искомые собственные значения. Подставляя каждое из них в систему уравнений, найдем последовательности

 F1:                     y(1)1, y(1)2,... y(1)n,.....

 F2:                              y(2)1, y(2)2,... y(2)n...

                  ..............................................................

представляющие собственные векторы y(n), т.е. являющиеся их волновыми функциями.

Если в качестве базисных векторов выбрать собственные векторы  yn  оператора , то его матрица будет диагональной:

 Fnm = yn ym  = yn Fmym  = Fm yn ym  = Fmdnm

Таким образом, решение задачи на собственные значения оператора  равнозначна диагонализации его матрицы: находимUyn, устанавливаем унитарное преобразование, связывающее Uyn с Ujn, и совершаем это унитарное преобразование над исходной матрицей Fnm. В результате и получим диагональную матрицу.

Все те же операции можно проделать и в случае, когда спектр оператора  - непрерывный, но все надо понимать в обобщенном смысле. Базис образуют обобщенные собственные векторы:

 A = AA, AB = d(A-B),    òdAAA = .

Волновая функция

 y ()= Ay

есть «настоящая» функция, ибо зависит от непрерывного аргумента. Если оператор  переводит вектор y в , т.е.

 = y,

то для волновых функций имеем:

(A)  A = Ay = òAAR ARy,

т.е.

(A) = òF(A,AR)y(AR)dAR,

где

 F(A,AR)  AAR

ядро интегрального оператора .

Для произведения двух операторов

 

 

получим

 F1(A,AR) = A23 AR = A2ARR ARR3AR dARR,

т.е. ядро произведения получается как свертка операторов-сомножителей:

 F(A,AR) = ò F(A, ARR) F(ARR,AR)dARR.

- . .- . - . - .

Рассмотрим уравнение Шредингера

 iiy = y,

которое для одной частицы во внешнем поле записывается как

 iiy = y +V(r)y.

В координатном представлении мы его уже получали:

 iiy(r,t) = -i2/2m Ñ2 y(r,t) + (r) y(r,t).

Найдем теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении. Нам нужно найти действие оператора , т.е.  =  и V(r) на волновую функцию (p), которая есть

 (p) = ácpy.

Для ядра оператора V имеем

 W(p,pR) = ácpcpR = (cp(r),V(r) cpR (r)),

где cp(r) - собственные функции оператора импульса в координатном представлении:

 cp(r) = .

Подстановка дает:

W(p,pR) = ,

т.е. ядро W получается из V путем преобразования Фурье:

W(p,pR) = .

Для оператора кинетической энергии  имеем:

K(p,pR) =  i2/2m(cp(r),Ñ2cp(rR)) =  i2/2m=

=  i2/2m  = p2/2md(p-pR):

                  K(p,pR) = p2/2md(p-pR).

Подставляем все это в уравнение Шредингера в импульсном представлении:

ii.

Получаем:

 ii ,

т.е.

 ii ,

где

 W(p,pR) = .

В итоге получилось интегро-дифференциальное уравнение.

Если V(r)есть полином от r2,т.е. включает сумму членов вида

 Vn = anr2n,

то eсть уравнение Шредингера сводится к дифференциальному. Действительно, в этом случае

Wn(p,pR) = =

= an (-i2Ñ2p )n = an(-i2Ñ2p )nd(p-pR);

ò Wn(p,pR) (pR,t)dpR = an(-i2Ñ2p )nò d(p-pR) (pR,t)dp = an (-i2Ñ2p )n(p,t);

ii(p,t) = (p2 /2m +an(-i2Ñ2p )n) (p,t).

Важный пример - изотропный гармонический осциллятор, с

 V(r)= (2  k/m).

В координатном представлении уравнение Шредингера записывается как

 iiy(r,t) = -i2/2mÑ2 y(r,t) + (m w2 r2/2)y(r,t).

В импульсном представлении, учитывая, что n = 1 и a = mw22, имеем:

 ii(p,t) = p2/2m(p,t) - i2mw22Ñ2(p,t)

Уравнения с точностью до переобозначения констант идентичны, а значит идентичны и их решения. Но они, как функции в координатном и импульсном представлениях, должны быть связаны преобразованием Фурье. Поэтому, если не обращать внимания на константы, волновые функции изотропного гармонического осциллятора инвариантны относительно преобразования Фурье: сами функции и их фурье-образы практически совпадают. Таким свойством обладают функции Эрмита и только они, и мы предсказываем волновые функции стационарных состояний осциллятора.

КАРТИНЫ ШРЕДИНГЕРА И ГЕЙЗЕНБЕРГА

Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами. Они называются разными картинами (представлениями).

До сих пор мы пользовались картиной Шредингера, в которой считается, что всю зависимость от времени несут векторы состояния (волновые функции), а в операторы наблюдаемых она может входить лишь в исключительных случаях (например, в гамильтониан системы, находящейся в нестационарных внешних условиях). Основным динамическим уравнением в картине Шредингера является уравнение Шредингера.

iiyш(t) = ш yш(t).

Оно позволяет связать вектор состояния yш(t) в произвольный момент времени t с вектором состояния yш(t0), заданным в начальный момент . Ведем оператор эволюции ) определением

 yш(t) = )yш(t0).

Так как нормировка векторов не должна меняться во времени, имеем:

1 = áyш(t0)Uyш(t0)  = áyш(t)Uyш(t)  = áyш(t0)  yш(t0) ,

т.е. ) должен быть унитарным оператором:

 .

Если гамильтониан  не зависит явно от времени (стационарные внешние условия), то оператор эволюции может быть выписан в явном виде:

) =

Тогда

 yш(t) = .

Дифференцируя это соотношение по времени, найдем::

  yш(t) =- i/iш=- i/iш yш(t)  ii yш(t) = ш yш(t),

т.е. получим уравнение Шредингера, как и должно быть.

Перейдем теперь к картине Гейзенберга, совершая унитарное преобразование

 yг(t) = yш(t) =  )yш(t0) =

= yш(t0) = yш(t0)

т.е.

 yг(t) = yш(t0) = yг(t0)  yг.

Таким образом, в картине Гейзенберга векторы состояний не меняются во времени: один и тот же вектор описывает состояние системы во все моменты времени.

Но теперь вся зависимость от времени перекидывается на операторы наблюдаемых, унитарное преобразование которых дает

 г(t) = ш) .

При унитарном преобразовании средние значения наблюдаемых не меняются. Их в разных картинах можно записать как

 áFñ (t) = áyш(t) Uш yш(t) =

= áyгUш)yг = áyгUг(t) yг.

Таким образом, зависимость от времени средних значений не зависит от выбора картины, а именно она-то и является самой главной.

В картине Гейзенберга уравнения Шредингера нет, так как векторы состояний постоянны. Основные динамические уравнения формулируются для операторов. Чтобы получить их, найдем сначала уравнение, которому подчиняется оператор эволюции и сопряженный ему. Имеем:

 yш(t)  = )yш(t0) .

Дифференцируем по времени:

 iiyш(t)  = ii)yш(t0) .

С другой стороны, согласно уравнению Шредингера,

 iiyш(t)  = ш yш(t0)  = ш yш(t0) .

Сравнение дает уравнение

 ii) = ш ),

к которому нужно добавить очевидное начальное условие

.

Переходя к сопряженному уравнению с учетом эрмитовости найдем

  ii = ш

Гамильтониан в КГ имеет вид

 г = 

Если

,

то мы выносим ш налево и пользуемся унитарностью . Тогда получим

 г (t) = ш  .

Это справедливо, в частности, когда ш не зависит от времени и (см. выше)

.

Очевидно, что в этом случае .

Теперь, пользуясь уравнениями для  и , мы можем получить динамические уравнения для операторов наблюдаемых в картине Гейзенберга:

 г(t) = .

Дифференцируем по времени: 

 г(t) =

 

.

В итоге получаем уравнения Гейзенберга - динамические уравнения в картине Гейзенберга:

 г(t) ,

где по определению

.

Картина Шредингера хороша при практической работе (уравнения для векторов состояний в определенном представлении становятся дифференциальными уравнениями для обычных функций - волновых функций). Картина Гейзенберга с этой точки зрения хуже (уравнения для операторов), но она хороша при общих размышлениях. В частности, позволяет с легкостью обсудить законы сохранения.

FILENAME lecture05.doc

 -  PAGE 32 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81375. Теория структурного функционализма в социологии и возможность ее применения для анализа социальной работы 37.56 KB
  Структурный функционализм методологический подход в социологии и социокультурной антропологии состоящий в трактовке общества как социальной системы имеющей свою структуру и механизмы взаимодействия структурных элементов каждый из которых выполняет собственную функцию. Базовой идеей структурного функционализма является идея социального порядка то есть имманентное стремление любой системы поддержать собственное равновесие согласовать между собой различные её элементы добиться согласия между ними. Основные положения Общество...
81376. Теории социального конфликта К. Маркса и Л. Козера, их применение для анализа социальной работы 35.67 KB
  Согласно концепции Маркса именно конфликты объясняют социальные процессы и изменения именно они пронизывают жизнь общества во всех его направлениях именно конфликтами объясняется осуществление революций и переход к новому типу общества. Маркс характеризовал конфликт как естественное состояние классового основанного на частной собственности общества присущее изначально его природе. В качестве основного типа конфликта для него выступало взаимодействие между производительными силами и производственными отношениями которые на определенном...
81377. Теория символического интеракционизма при анализе социальной работы 40.33 KB
  Сходное понимание слов жестов других символов облегчает взаимодействие позволяет интерпретировать поведение друг друга. Понимая поведение друг друга люди меняют свое поведение приспосабливая свои поступки к действиям другого координируя свои действия с другими людьми обучаясь видеть себя глазами группы обучаясь учитывать ожидания других людей. Социальные ожидания экспектации влияют на поведение человека он вынужден вести себя так как требуют нормы поведения как ожидают другие люди и общество в целом реализуя те права и...
81378. Феноменологический подход в социологии. Значение положений теории А. Шюца в анализе социальной работы 38.26 KB
  Следовательно необходимо погружение в мир в котором живет человек т. в мир жизни или жизненный мир. Отсюда центральные понятия его феноменологической социологии: жизненный мир повседневный мир повседневность социальный мир. В целом это мир наполненный смыслом который придают ему люди в повседневной жизни.
81379. Познавательные возможности и особенности количественной методологии в социологии при анализе социальной работы 37.93 KB
  Организация наблюдения включает в себя определение характеристик объекта целей и задач наблюдения выбор вида наблюдения разработку программы и процедуры наблюдения установление параметров наблюдения разработку техники выполнения результатов анализ результатов и выводов. добивается максимального взаимодействия с объектом наблюдения не обнаруживая как правило своих исследовательских намерений на практике.
81380. Понятие и виды социологических исследований 34.64 KB
  Качественные методы социологии позволяют социологу понять суть какоголибо социального явления а количественные понять насколько массово часто встречаемо это социальное явление и насколько оно важно для общества. Количественные методы: социологический опрос анкетирование и интервьюирование контентанализ документов наблюдение эксперимент Качественные методы: фокус группа исследование случая кейс стади этнографические исследования неструктурированные интервью.
81381. Измерение эффективности социальной работы и типы шкал. Приведите примеры использования 36.91 KB
  Показатели эффективности социальной работы. В связи с тем что социальная работа направлена на удовлетворение социальных потребностей человека правомерно признать главным критерием эффективности социальной работы как и определяющим критерием гуманности общества полноту удовлетворения интересов отдельного человека или различных сообществ людей во всех сферах жизни. Исходя из этих особенностей следует подходить к определению критериев социальной работы.
81382. Понятие и построение выборки в социологическом исследовании социальной работы 41 KB
  Задача построения выборки возникает всякий раз когда необходимо собрать информацию о некоторой группе или большой совокупности людей. Выборка это подмножество заданной совокупности популяции позволяющее делать более или менее точные выводы относительно совокупности в целом. Первым шагом в построении любой модели отбора включая вероятностную является определение генеральной совокупности. Любую генеральную совокупность характеризует какойлибо значимый признак или набор признаков по которым мы можем отнести конкретный объект к данной...
81383. Обработка и обобщение социологической информации в социологическом исследовании 36.58 KB
  Обработка данных включает в себя следующие компоненты: Редактирование и кодирование информации. Основное назначение этого шага состоит в приведении к единой форме унификации и формализации отображение объектов некоторой предметной области с помощью символов той информации которая была получена в ходе исследования. В зависимости от методов получения первичной информации возможно применение различных приемов обработки и анализа данных.